CARACTERISATION DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE EN DYNAMIQUE DU VEHICULE

Universit de Technologie de Belfort-Montbliard

COLE DOCTORALE

SCIENCES POUR LINGENIEUR ET MICROTECHNIQUES

Anne 2009 N B.U. :

THESE DE DOCTORAT

Spcialit : AUTOMATIQUE, SYSTEMES ET TRAITEMENT DU SIGNAL

Prsente et soutenue publiquement par :

BOUALEM BADJI

Le mardi 15 dcembre 2009 luniversit de technologie de Belfort Montbliard

CARACTERISATION DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE EN

DYNAMIQUE DU VEHICULE

JURY

Rapporteurs : - Xavier MOREAU. Professeur lUniversit Bordeaux 1, Bordeaux - Ali CHARARA. Professeur lUTC, Compigne

Examinateurs : - Mohammed EL BAGDOURI. Professeur lUTBM, Belfort - Abdellatif MIRAOUI. Professeur lUTBM, Belfort - Eric FENAUX. Expert en scurit active chez PSA, Sochaux - Abdellah El MOUDNI. Professeur lUTBM, Belfort - Houcine CHAFOUK. Professeur lESIGELEC, Rouen

Directeurs de thse : Mohammed EL BAGDOURI et Abdellatif MIRAOUI Laboratoire : SET - Systmes Et Transports Co-encadrant : Eric FENAUX Entreprise : PSA Peugeot Citron automobiles N ED :

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A mes parents Rachid et Ghania

A mes surs Imne et Malya et mes frres Sofiane, Lyes et Fahim

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Remerciements

La recherche est un travail de longue haleine men la plupart du temps en solitaire.

Sans laide et la patience de mes encadrants rien ne pouvait aboutir. Sans la bonne volont et

le dsir de transmettre de mon tuteur rien naurait t possible. Je tiens donc remercier du

fond du cur les personnes qui ont permit ce travail dexister, Mr. EL Bagdouri, Mr.

Miraoui et Mr. Fenaux.

Un grand merci Amina qui ma soutenu et aid surmonter les moments difficiles que jai

connu durant mes annes de doctorat.

Mes sincres remerciements Paul, Julien, EL-Mahdi, Renaud et Franois pour toute laide

apporte et les conseils aviss.

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SOMMAIRE

REMERCIEMENTS............................................................................................................................. 5

SOMMAIRE.......................................................................................................................................... 7

INTRODUCTION GENERALE........................................................................................................ 11

CHAPITRE 1. ELEMENTS DE DYNAMIQUE DU VEHICULE................................................. 17

1.1. INTRODUCTION........................................................................................................................ 19

1.2. CONSTITUTION DE LAUTOMOBILE ET ORGANES DE LIAISON AU SOL .............. 19 1.2.1. LES PNEUMATIQUES............................................................................................................... 19

1.2.2. ESSIEUX ET TRAINS ROULANT ............................................................................................... 22

1.2.3. SUSPENSION ............................................................................................................................ 23

1.2.4. CHASSIS .................................................................................................................................. 24

1.2.5. SYSTEME DE DIRECTION........................................................................................................ 25

1.3. LES DYNAMIQUES MISES EN JEU ....................................................................................... 26

1.4. CINEMATIQUE DE MISE EN VIRAGE ................................................................................. 27 1.4.1. REFERENTIELS ....................................................................................................................... 28

1.4.2. VARIABLES DETATS .............................................................................................................. 32

1.4.3. MODELE BICYCLETTE ET ANGLE DACKERMANN ............................................................... 35

1.4.3.1. Notion dangle dAckermann ......................................................................................... 37

1.4.3.2. Vitesse dun point quelconque du vhicule.................................................................... 38

1.4.3.3. Calcul des angles de drives ........................................................................................... 40

1.4.3.4. Angle de surbraquage ..................................................................................................... 41

1.4.3.5. Taux de surbraquage ...................................................................................................... 44

1.5. PHENOMENES PHYSIQUES LIES A LA MISE EN VIRAGE ............................................ 46 1.5.1. EPURE CINEMATIQUE DU TRAIN ........................................................................................... 47

1.5.2. EPURE ELASTO-CINEMATIQUE DU TRAIN ............................................................................. 48

1.5.3. ANALYSE DES TRANSFERTS DE CHARGES TRANSVERSALES................................................ 50

1.5.3.1. Transfert de charges avec une voiture complte en virage stabilis ............................. 52

1.5.3.2. Expression des charges verticales aux quatre roues en virage stabilis ....................... 54

1.5.3.3. Prise en compte de lamortissement dans les transferts de charges.............................. 54

1.6. NON LINEARITE DU FONCTIONNEMENT DES ORGANES ........................................... 55 1.6.1. DIAGRAMME G-G .................................................................................................................. 55

1.6.2. NON LINEARITE DUE AU SYSTEME DE SUSPENSION.............................................................. 58

1.6.3. NON LINEARITE DUE AU PNEUMATIQUE ............................................................................... 60

1.6.3.1. Non linarit lie lvolution de langle de drive ...................................................... 61

1.6.3.2. Non linarit lie linfluence de la charge verticale................................................... 62

1.7. CONCLUSION............................................................................................................................. 65

CHAPITRE 2. MODELISATION..................................................................................................... 67

2.1. INTRODUCTION........................................................................................................................................ 69

2.2. MODELISATION DU PNEUMATIQUE.................................................................................. 69 2.2.1. ETAT DE LART....................................................................................................................... 70

2.2.1.1. Modles dinteractions roue-sol ..................................................................................... 70

2.2.1.2. Modles du pneumatique................................................................................................ 71

2.2.2. MODELE DE PACEJKA FORMULE MAGIQUE .................................................................... 71

2.2.2.1. Forme analytique de base du modle de Pacejka .......................................................... 72

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2.2.2.2. Modle de Pacejka pour leffort latral pur en fonction des micro-coefficients .......... 75

2.2.3. APPROXIMATION POLYNOMIALE.......................................................................................... 80

2.2.3.1. Prsentation .................................................................................................................... 80

2.2.3.2. Approximation polynomiale charge constante ........................................................... 80

2.2.3.3. Approximation polynomiale charge variable.............................................................. 83

2.2.3.4. Consquences.................................................................................................................. 84

2.3. MODELISATION DE LA DYNAMIQUE LATERALE DU VEHICULE............................. 85 2.3.1. CONTEXTE .............................................................................................................................. 85

2.3.2. ETAT DE LART....................................................................................................................... 85

2.3.3. REPRESENTATION DES EFFORTS SUR LE VEHICULE ............................................................ 86

2.3.4. ELABORATION DUN MODELE GENERALE ............................................................................ 87

2.3.4.1. Principe de la somme dynamique................................................................................... 88

2.3.4.2. Principe du moment dynamique..................................................................................... 91

2.3.5. MODELE LACET-DERIVE LD .......................................................................................... 96

2.3.6. MODELE LACET-ROULIS-DERIVE ET TRANSFERT DE CHARGE LRDT ........................ 97

2.3.6.1. Complexit du modle LRDT et les boucles algbriques............................................... 99

2.4. ANALYSE DU MODELE BICYCLETTE LINEAIRE LD................................................... 100 2.4.1. FONCTIONS DE TRANSFERT ................................................................................................. 100

2.4.2. STABILITE DU MODELE BICYCLETTE LINEAIRE................................................................. 104

2.5. CONCLUSION........................................................................................................................... 107

CHAPITRE 3. METHODES DANALYSE NON LINEAIRE..................................................... 109

3.1. INTRODUCTION...................................................................................................................................... 111

3.1. INTRODUCTION...................................................................................................................... 111

3.2. CONTEXTE DE LETUDE ET ETAT DE LART ................................................................ 111

3.3. NON LINEARITES STRUCTUREES..................................................................................... 115 3.3.1. IMPACT FREQUENTIEL......................................................................................................... 117

3.3.2. IMPACT TEMPOREL.............................................................................................................. 123

3.4. DETECTION DES DYNAMIQUES NON LINEAIRES........................................................ 126 3.4.1. PRESENTATION DE LA FONCTION DE COHERENCE ............................................................ 127

3.4.2. APPLICATION DE LA FONCTION DE COHERENCE ............................................................... 129

3.5. METHODE DEQUILIBRAGE HARMONIQUE.................................................................. 131 3.5.1. PRESENTATION DE LA METHODE ........................................................................................ 132

3.5.1.1. Systme linaris quivalent......................................................................................... 134

3.5.1.2. Cas dune fonction non linaire : Rigidit cubique..................................................... 136

3.5.1.3. Cas dune fonction non linaire : Amortisseur frottement ...................................... 138

3.5.2. TECHNIQUE DE RESOLUTION .............................................................................................. 139

3.5.3. CONVERGENCE VERS UNE SOLUTION GLOBALE ................................................................ 141

3.5.4. APPLICATION DE LA METHODE DEQUILIBRAGE HARMONIQUE AU MODELE LD-P3...... 142

3.6. METHODES DE KRYLOV-BOGOLIUBOV POUR LES REGIMES TRANSITOIRES . 155 3.6.1. PRESENTATION..................................................................................................................... 156

3.6.2. MISE EN FORME DES EQUATIONS ........................................................................................ 158

3.6.3. APPLICATION DE LA METHODE KB AU MODELE LD-P3 ................................................... 159

3.7. METHODES DES SERIES DE VOLTERRA......................................................................... 165 3.7.1. PRESENTATION DE LA BASE THEORIQUE............................................................................ 165

3.7.2. REPONSES DES SERIES DE VOLTERRA A DES ENTREES SPECIFIQUES ............................... 169

3.7.2.1. Excitation Harmonique ................................................................................................ 169

3.7.2.2. Excitation harmonique multi-frquentielle ................................................................. 170

3.7.2.3. Excitation Impulsionnelle ............................................................................................ 171

3.7.3. CALCUL DES NOYAUX DE VOLTERRA ................................................................................. 172

3.7.3.1. Etat de lart.................................................................................................................... 172

3.7.3.2. Mthode du sondage harmonique ................................................................................ 173

3.7.4. ANALYSE FREQUENTIEL ...................................................................................................... 175

3.7.4.1. Extraction de la fonction rponse frquentielle (FRF) dordre 1............................... 175

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3.7.4.2. Taux de distorsion harmonique ................................................................................... 177

3.7.5. ANALYSE TEMPORELLE ....................................................................................................... 178

3.7.5.1. Etat de lart.................................................................................................................... 178

3.7.5.2. Analyse en rgime permanent ...................................................................................... 179

3.7.5.3. Calcul des rponses temporelles par la mthode des associations de variables ......... 180

3.7.6. APPLICATION DE LA METHODE DES SERIES DE VOLTERRA AU MODELE LD-P3 ............. 182

3.7.6.1. Calcul des noyaux de Volterra ..................................................................................... 182

3.7.6.2. Courbes des FRF .......................................................................................................... 191

3.7.6.3. Rgime permanent ........................................................................................................ 194

3.7.6.4. Rponse temporelles une entre arbitraire ............................................................... 196

3.8. CONCLUSION........................................................................................................................... 209

CHAPITRE 4. IDENTIFICATION DES PARAMETRES PHYSIQUE EN REGIME

PERMANENT ................................................................................................................................... 211

4.1. INTRODUCTION...................................................................................................................... 213

4.2. MODELE DE REFERENCE.................................................................................................... 214 4.2.1. PRESENTATION DU MODELE DE REFERENCE ..................................................................... 215

4.2.2. VALIDATION DU MODELE DE REFERENCE .......................................................................... 216

4.2.2.1. Rgime permanent Rayon constant........................................................................... 217

4.2.2.2. Vitesse caractristique .................................................................................................. 219

4.2.2.3. Calage (chelon volant) ................................................................................................ 219

4.3. TECHNIQUE DOPTIMISATION.......................................................................................... 221 4.3.1. FORME CANONIQUE DU PROBLEME DES MOINDRES CARRES LINEAIRES ......................... 222

4.3.2. REDUCTION A UNE EQUATION NORMALE FACTORISEE ..................................................... 222

4.3.2.1. Equation normale ......................................................................................................... 222

4.3.2.2. Equation normale factorise ........................................................................................ 223

4.3.2.3. Equation normale factorise de systmes pondrs..................................................... 223

4.3.2.4. Calcul itratif dune quation normale factorise de systmes pondrs ................... 224

4.3.3. CALCUL DES PARAMETRES IDENTIFIABLES ....................................................................... 224

4.3.3.1. Dfinition ...................................................................................................................... 224

4.3.3.2. Cas des moindres carres ............................................................................................. 225

4.3.4. CALCUL DE LA SOLUTION PARAMETRIQUE........................................................................ 227

4.3.4.1. Solution au sens des moindres carrs .......................................................................... 227

4.3.4.2. Solution au sens des moindres carrs totaux............................................................... 227

4.4. IDENTIFICATION DU MODELE LD-P3 EN REGIME PERMANENT ........................... 228 4.4.1. MISE EN FORME DES EQUATIONS ........................................................................................ 228

4.4.1. APPLICATION A LIDENTIFICATION DU MODELE LD-P3 ................................................... 229

4.5. IDENTIFICATION DU MODELE LRDT-P3 EN REGIME PERMANENT...................... 231 4.5.1. LIMITATION DES CHARGES PAR PNEU ................................................................................ 231

4.5.2. MISE EN FORME DES EQUATIONS ........................................................................................ 233

4.5.3. IDENTIFICATION DES PARAMETRES DES RAIDEURS ANTIROULIS ..................................... 235

4.5.4. IDENTIFICATION DES PARAMETRES DE BRAQUAGES INDUIT PAR LES PRISES DE PINCES 236

4.5.5. APPLICATION A LIDENTIFICATION DU MODELE LRDT-P3 ............................................. 237

4.5.5.1. Avec prise en compte des lasto-cinmatiques dans les donnes de simulation......... 237

4.5.5.2. Sans prise en compte des lasto-cinmatiques dans les donnes de simulation......... 241

4.6. CONCLUSION........................................................................................................................... 244

CONCLUSION GENERALE........................................................................................................... 247

PERSPECTIVE................................................................................................................................. 249

ANNEXE A. METHODES DE QUASI-NEWTON SECANTE.................................................................... 250

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ANNEXE B. APPLICATION DE LA METHODE KB AU MODELE LD-P3 :

DEVELOPPEMENT DES CALCULS............................................................................................ 254

ANNEXE C. NONLINEAR SINGLE TRACK MODEL ANALYSIS USING VOLTERRA

SERIES APPROACH....................................................................................................................... 257

ANNEXE D. ADVANCED THEORETICAL METHODS FOR NON LINEAR SINGLE

TRACK MODEL ANALYSIS ......................................................................................................... 276

BIBLIOGRAPHIE............................................................................................................................ 288

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Introduction gnrale

1. Cadre de travail

Les travaux prsente dans ce mmoire ont t ralis dans le cadre dune thse

CIFRE mene luniversit de technologie de Belfort-Montbliard UTBM en

collaboration avec la direction de recherche et dinnovation automobiles de PSA Peugeot

Citron automobiles.

2. Contexte et problmatique

Les ressources nergtiques mis part leurs natures constituent latout majeur dans le

dveloppement des grandes civilisations daujourdhui. Contrler ces nergies et les

transformer au service de lhomme (transport, agriculture, communication,etc.) reprsente

la premire proccupation industrielle au monde. Dans ce contexte, lindustrie de

transformation des nergies fossiles alimente en continue le moyen de locomotion le plus

utilis qui est la voiture.

La voiture joue un rle prpondrant dans lamlioration de notre qualit de vie, en rendant

accessible un plus grand espace de libert de mouvement chacun dentre nous. Nous

pouvons donc facilement imaginer les enjeux conomiques et commerciaux qui en dcoulent.

Depuis lavnement de ce moyen de transport, lindustrie automobile ne cesse dapporter des

amliorations leurs produits. La crativit et linnovation technologique sont les principaux

atouts de dveloppement et de croissance conomique dans lindustrie automobiles. Les

capacits dinnovation propres chaque constructeur engendrent une grande concurrence

technique et scientifique. Dans ce sens, un grand nombre de systmes et de nouveaux

dispositifs destin amliorer le confort de conduite quipent les nouveaux vhicules.

Parmi les plus importants dentres eux nous retrouvons les systmes de scurit actifs tels

que : Les systmes ABS (Antilock Braking System) qui permet dviter le blocage des roues,

lors des freinages en situation durgence. Il assure donc une directivit permanente du

vhicule et une distance darrt optimale. Egalement, nous retrouvons les systmes ASR (Anti

Skid Regulation). Cest la fonction anti-patinage des roues qui rgule le couple des roues

motrices en intervenant la fois sur le moteur et les freins, afin dempcher le patinage des

roues sur les surfaces glissantes ou lors des pertes dadhrence en acclration. Plus

rcemment, les constructeurs quipent les vhicules avec un systme de control de stabilit

quon appel lESC (Electronic Stablity Control) o lapport de llectronique et linformatique

savre incontournable.

Concevoir de tels dispositifs require une bonne connaissance de la dynamique du vhicule. Il

est donc important de dcrire lensemble des rgles et des principes physiques

permettant de faire le lien entre le comportement dynamique dune voiture (sous

sollicitations) et les paramtres physiques des organes le constituant. Ceci peut tre fait

par une modlisation rigoureuse de diffrents composants pour reproduire le comportement

exact du vhicule.

A ce niveau, on distingue deux types de modles, les modles comportementaux (non

paramtriques) et les modles analytiques (paramtriques).

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Les modles comportementaux sont non paramtriques. Ils servent reproduire le

comportement du vhicule, sans avoir une connaissance du fonctionnement de ses sous

systmes. Ces modles sont calculs partir de mthodes didentification en utilisant des

donnes issues de lexprimentation.

Les modles analytiques sont de natures paramtriques. Ils sont obtenus laide des lois de la

physique, qui rgissent le comportement global du chssis et des liaisons au sol (LAS). La

connaissance des modles de fonctionnement des sous systme LAS, permet dlaborer des

modles de comportement vhicule dont les coefficients dpendent directement des

paramtres organiques. On distingue alors, deux types de modles paramtriques : les

modles linaires simplifis et les modles complets.

Les modles linaires simplifis sont les modles issus des linarisations des caractristiques

fonctionnelles des organes autour dun point de fonctionnement donn. Ceci est le cas du

modle bicyclette. Avec ces modles, Lavantage est li la simplicit et la linarit de la

structure. Cependant, ces modles souffrent des limitations de fonctionnement trop restreintes.

En effet, lors des fortes sollicitations au niveau des organes LAS (comme dans le cas des

pneumatiques), le vhicule est gnralement soumis de fortes acclrations latrales

(suprieure 4ms-2) rendant le comportement des pneumatiques clairement non linaires. Le

modle linaire devient donc inadapt pour prdire les sorties du systme et pour analyser son

comportement.

Pour y remdier, la solution est dutiliser des modles complets o le vhicule est reprsent

dans sa globalit, en modlisant chaque sous-systme le constituant. Le modle de

pneumatique est donc celui dcrit par la formule de Pacejka. Ces modles sont trs puissants

et permettent de prendre en considration toute la plage de fonctionnement, quelque soit la

sollicitation. Ils servent prdire le comportement le plus raliste dun vhicule, travers des

formulations analytiques dont la rsolution est faite par des algorithmes de rsolution

numriques et ils sont considrs comme des modles de rfrences On peut ainsi, citer le

modle AMESim, IPG-CarMaker, CarSim,, etc. Linconvnient avec ces modles est quils

savrent trs complexes analyser compte tenu du nombre important de degrs de liberts et

des paramtres traiter.

3. Objectifs

Le prsent travail consiste proposer un modle paramtrique dcrivant le

comportement du vhicule en dynamique latrale. Les caractristiques dynamiques de la

rponse de ce systme doivent tre lies directement ses coefficients et par consquent aux

paramtres organiques du vhicule. Ltude des caractristiques dynamiques de la rponse

de ce modle lors des fortes sollicitations, aide affiner les rsultats des prdictions du

comportement vhicule et donne une pertinence et une consistance lobjectivation des tests

rels. Ce modle devrait nous permettre de prendre en considration plus de non linarit des

organes constituant le vhicule. Il devrait galement accrotre le pouvoir prdictif en fortes

sollicitations au volant. En conclusion, on cherche satisfaire trois conditions :

Le modle doit tre paramtrique (dpend des paramtres organiques du vhicule) ;

Une plage de validit plus largie que le modle bicyclette linaire ;

Un modle moins complexe analyser que les modles complets.

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Le modle recherch sinscrit comme modle intermdiaire entre le modle linaire et le

modle complet.

4. Prsentation du plan de travail

Les travaux dvelopps dans ce mmoire sont structurs en quatre chapitres. Un

premier chapitre ddi aux principes gnraux de la dynamique de vhicule o lensemble des

dfinitions et terminologies seront prsents. Nous prsenterons ensuite, les dynamiques

auxquelles la voiture est soumise ainsi que le rle de chaque organe dans ces dynamiques

Egalement abord dans ce chapitre, les phnomnes les plus importants lis la mise en

virage du vhicule (les pures de trains cinmatiques et lasto-cinmatiques, les transferts de

charges, les drives et les acclrations). Egalement, il sera prsent les diffrentes non

linarits de fonctionnement des organes LAS gnres lors des fortes sollicitations.

Le second chapitre est entirement consacr la modlisation. En premire partie et aprs une

prsentation de ltat de lart, nous aborderons la modlisation du comportement du

pneumatique. Nous tudierons en dtail un modle semi-empirique quasi-statique qui est lun

des plus reprsentatifs de la ralit physique du comportement dun pneu. Ce modle est

appel formule de Pacejka . Ensuite, nous prsenterons les facteurs motivant le choix

dune approximation polynomiale de la formule de Pacejka. Nous prsenterons galement les

limitations qui peuvent sengendrer aprs une telle approximation.

Lensemble des quations ncessaire pour aboutir un modle de dynamique latrale sera

prsent. A partir de ces quations nous pouvons obtenir deux variantes de modle. Un

premier modle non linaire bas sur le modle bicyclette qui servira dcrire les

mouvements de lacet et de drive au CdG. Le deuxime modle non linaire propos sera plus

complet que le premier, il intgrera en plus les mouvements de roulis, les transferts de charges

et les braquages induit par les pures de trains.

Le troisime chapitre constitue lessentielle de travail en terme danalyse on linaire. Une

prsentation du contexte gnrale permettra de justifier notre choix sur les mthodes

danalyse non linaire qui seront utilises pour ltude du modle bicyclette non linaire

polynomial. Trois mthodes seront retenues pour lanlayse non linaire : lquilibrage

harmonique , les sries de volterra et la mthode de Krylov-Bogoliubov . A la fin de

chaque prsentation thorique, nous discuterons des rsultats obtenus aprs lapplication des

ces mthodes. Lensemble des applications et des rsultats qui seront prsents dans ce

chapitre constitue une relle avanc dans le domaine de dynamique de vhicule. Il sagit dun

dveloppement thorique jamais ralis auparvant.

Enfin, le quatrime chapitre sera ddi lidentification des paramtres des modles de

dynamique latrale de vhicule dcrits dans le chapitre 2. Ce travail didentification semble

ncessaire et utile pour atteindre un double objectif savoir, lobtention dune approximation

des paramtres non mesurables et lamlioration de la reprsentativit du modle lorsquon le

compare avec des mesures ralises sur vhicule rel. Dans ce chapitre une procdure

didentification en rgime permanant de ces modles sera prsente. Les rsultats seront

discuter et analyser afin dimaginer une gnralisation pour des modles plus complexes.

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Chapitre 1. Elments de dynamique du vhicule

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CHAPITRE 1.

ELEMENTS DE DYNAMIQUE DU

VEHICULE

1.1. Introduction___________________________________________________________ 19

1.2. Constitution de lautomobile et organes de liaison au sol_______________________ 19

1.2.1. Les pneumatiques ________________________________________________________ 19

1.2.2. Essieux et trains roulant___________________________________________________ 22

1.2.3. Suspension ______________________________________________________________ 23

1.2.4. Chssis _________________________________________________________________ 24

1.2.5. Systme de direction ______________________________________________________ 25

1.3. Les dynamiques mises en jeu _____________________________________________ 26

1.4. Cinmatique de mise en virage ____________________________________________ 27

1.4.1. Rfrentiels _____________________________________________________________ 28

1.4.2. Variables dtats _________________________________________________________ 32

1.4.3. Modle bicyclette et angle dAckermann _____________________________________ 35

1.5. Phnomnes physiques lis la mise en virage _______________________________ 46

1.5.1. Epure cinmatique du train ________________________________________________ 47

1.5.2. Epure lasto-cinmatique du train __________________________________________ 48

1.5.3. Analyse des transferts de charges transversales________________________________ 50

1.6. Non linarit du fonctionnement des organes ________________________________ 55

1.6.1. Diagramme G-G _________________________________________________________ 55

1.6.2. Non linarit due au systme de suspension ___________________________________ 58

1.6.3. Non linarit due au pneumatique___________________________________________ 60

1.7. Conclusion____________________________________________________________ 65

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1.1. Introduction

Ltude de dynamique de vhicule requiert une importante comprhension du rle de

chaque organe constituant une voiture et les phnomnes physiques qui se manifestent autour

de ces organes. Le prsent chapitre peut tre considr comme une introduction la dfinition

des lments que nous pouvons retrouver dans le domaine de la dynamique de vhicule.

Dans un premier temps, nous introduisons la terminologie utilise travers une

prsentation des lments constitutifs de lautomobile et des organes des liaisons au sol

(LAS). Nous discutons ensuite des dynamiques auxquelles la voiture est soumise ainsi que le

rle de chaque organe dans ces dynamiques. En se limitant uniquement laspect latral de la

dynamique du vhicule, nous tudions la cinmatique de mise en virage qui sera aborde en

dtail en prsentant les repres lis chaque partie du vhicule et les variables dtat qui

servent reprsenter lattitude du vhicule.

Nous tudions galement dans ce chapitre, les phnomnes les plus importants causs

par la mise en virage du vhicule. Dans ce contexte nous citons les pures de trains

cinmatiques et lasto-cinmatiques ainsi que les transferts de charges. Bien videmment,

nous exposons systmatiquement le dveloppement des calculs associs chaque tape.

Finalement, nous prsentons les diffrentes non linarits de fonctionnement des organes LAS

causes lors des fortes sollicitations.

1.2. Constitution de lautomobile et organes de liaison au sol

Parmi lensemble des lments et des organes constituants lautomobile, on ne

sintresse qu ceux qui ont un impact important sur le comportement dynamique du

vhicule. Ces lments sont les organes de liaisons au sol (LAS). Dans le but de normaliser

les appellations et dintroduire les termes courants qui seront utiliss dans la suite de la thse,

nous prsenterons une dfinition de ces diffrents organes LAS.

1.2.1. Les pneumatiques

Le pneumatique est un organe de liaison au sol fix sur une roue rigide assurant la

rotation autour dun lment porteur (pivot ou bras). Il constitue le seul organe permettant la

liaison direct entre le vhicule et le sol, ce qui rend le comportement du vhicule fortement

conditionn par les changes dynamiques des efforts gnrs la surface de contact. Sur la

figure 1.1, on montre les diffrentes couches de matriaux entrant dans la fabrication du

pneumatique architecture radiale. En toute vidence le pneumatique est un organe composite

issu dun assemblage solidaire de fibres synthtiques ou mtalliques et de caoutchouc. La

nature, la disposition et la tension des fibres confrent au pneu rsultant des proprits

dlasticit et dadhrence particulires. Les diffrentes parties constitutives du pneumatique

sont :

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Figure 1.1. Constitution dun pneumatique architecture radiale.

Zone basse : ensemble qui permet la fixation de la carcasse sur la jante permettant de

transmettre les forces directionnelles aux lments de ceinture et bande de roulement.

Tringles : permettant la fixation du pneu sur la jante tout en assurant ltanchit en

plus de la gomme intrieure entre la zone basse et la jante.

Les flancs : en gomme souple pour protger la carcasse et assurer llasticit en

compression.

Nappe carcasse : De type radial, cest la plus utilis actuellement, compos de minces

cbles en fibres textiles dispos en arceaux droits. Elle transmet les efforts entre la

jante et la ceinture (traction, freinage, ordre de direction). Elle absorbe les flexions

verticales et les pousses latrales.

Nappes sommet : constitue de plusieurs nappes en acier fins et rsistants, croises

obliquement et formant une triangulation indformable. Elles procurent une grande

rigidit de torsion la bande de roulement. langle de triangulation des nappes

contribue la raideur en flexion, cisaillement,, etc. des nappes.

Bande de roulement : En caoutchouc, elle assure le contact avec le sol. Elle permet

de transmettre les efforts, dobtenir ladhrence avec un minimum de glissement et

dvacuer leau.

Le contact pneumatique-sol se rduit une petite surface appel air de contact, cest ce niveau que se crent tous les efforts permettant au vhicule de se mouvoir, il serait donc

judicieux danalyser et de comprendre les phnomnes physiques apparaissant sur cette

surface de contact afin dobtenir une description complte du comportement du pneumatique.

A ce sujet, une tude des rgions dadhrence et de glissement dans lair de contact est

prsente dans [Ste04]. La modlisation du comportement des pneumatiques est base

essentiellement sur ltude de limpact des diffrents facteurs physiques de lenvironnement

direct du pneumatique : nature de la gomme, pression de gonflage, temprature, nature du sol,

etc. sur les efforts gnrs en base de roue. Le modle du pneumatique doit prendre

galement en compte les entres de sollicitations extrieures ainsi que le positionnement du

plan de roue par rapport au sol [Fer02]:

- Charges verticales ZF (normale au sol) ;

- Angle de drive p qui caractrise le glissement latral (voir 1.4.2.2) ;

Bande de roulement

Bourrage zone basse Tringles

Gomme intrieur

Nappe carcasse

Nappes sommet

Zone basse

Flanc

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- Angle de carrossage par rapport au sol (rotation du plan de roue selon laxe longitudinal de la roue x

r) ;

- Taux de glissement longitudinal , Il est ngatif en freinage et positif en roue motrice. Il vaut 100% pour une roue bloque, mais varie de 0 10% pour des freinages nuls

forts sans blocage des roues.

Leffort latral est principalement d au glissement latral que subit le pneumatique.

Ce glissement est caractris par langle de drive p entre le vecteur de vitesse Vr du centre

de roue et laxe longitudinal du plan de la roue, do :

=

x

yp V

Vr

r

arctan

A cette drive, sajoute la charge verticale et le carrossage qui jouent un rle trs important

dans la gnration deffort latral et on crit ),,( zpy FF (cf. figure 1.2a et 1.2b). Ltude du phnomne de drive permit dtablir plusieurs modles servant dcrire le comportement

statique et dynamique du pneumatique. Dans cette optique, on retrouve principalement les

travaux de Pacejka [Pck06][Miz98][Pck96].

Leffort longitudinal dpend de la charge verticale ZF et du taux de glissement qui est calcul en fonction de la vitesse de rotation de la roue et de la vitesse de translation du centre de roue V, tel que :

Dans le cas dun freinage : V

VReff =

Dans le cas dune acclration :

eff

eff

R

VR =

Le paramtre effR dsigne le rayon de roulement effectif calcul en fonction du rayon cras

ecR et du rayon libre lR (cf. figure 1.2c), quelques approches destimation de ces paramtres

sont prsentes dans [Kie00] [Gen97].

Figure 1.2. (a) drive et effort latral (b) carrossage (c) glissement et effort longitudinal.

En combinant les diffrents paramtres cits ci-dessus, on peut obtenir un modle

dcrivant le torseur deffort gnr lair de contact [Kie00][Pck06][Bro06][Mil95]. Une

zF

xF

V

cR

(c)

lR

(b)

0zr

0yr

p Vr

yF

(a)

0yr

0xr

yVr

xVr

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modlisation simple est gnralement suffisante pour dcrire et tudier la stabilit du

vhicule. Par contre, sil est question dune analyse pointue de la dynamique vhicule, il serait

ncessaire de tenir compte des saturations du pneumatique et des couplages entre le

mouvement longitudinal et transversal. Dans le 1.7, on verra plus en dtails les diffrents

aspects comportementaux des pneumatiques ainsi que les modles utiliss dans la suite de

cette thse.

1.2.2. Essieux et trains roulant

Le contact avec le sol est assur par les pneumatiques monts sur les roues. Ces

dernires sont relis la caisse par lintermdiaire dun systme de liaison au sol appel

essieu. Les essieux permettent de guider lorientation du plan de roue selon une gomtrie complexe par rapport la caisse. On distingue dune part la cinmatique rigide dcrivant le

positionnement de la roue par rapport au chssis en fonction du dbattement relatif de la roue

(triangles, bras, etc.) et dautres part, on retrouve la cinmatique flexible qui dcrit la

variation du plan de la roue due aux efforts appliques aux pneumatiques au niveau de lair de

contact transmises aux liaisons lastiques.

On retrouve galement les lments de suspension, les organes de transmission, les

organes de freinage et de guidage. Lensemble de ces organes combins avec lessieu

constitue ce quon appel les trains roulants. On distingue les trains roulants avant et arrire par lorgane de direction (transmission des angles de braquage volant) gnralement

positionn au train avant en lui donnant un pouvoir directionnel, cest dire la possibilit de

braquer les roues avant. Sur la figure 1.3 on montre un train avant double triangle pivot

dcoupl dune Peugeot 407 utilis en commun avec la Citron C6, ainsi que le train arrire

multibras.

Figure 1.3. Train C6 avant (gauche) et arrire (droite).

Il existe un trs grand nombre darchitectures diffrentes des essieux. Les prestations

dun vhicule sont directement lies aux performances de lessieu utilis et la faon dont ses

lments sont conus [Mil95][Hal95][Zar02]. Chaque architecture possde un modle

diffrent et son utilisation varie dun vhicule un autre en fonction des spcifications

techniques associs. On retrouve titre dexemple : les essieux de type pseudo Mac Pherson

(PMP) ; les bras superposs ; les multibras ; les essieux bras tir ; les essieux rigidesetc.

La modlisation permettant de situer les plans de roues par rapport la caisse

comprend six degr de libert savoir : trois translations (longitudinale x, transversal y et

vertical z) et les trois rotations (la pince p , le carrossage et lenroulement ) comme montr sur la figure 1.4. On distingue alors deux parties :

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Le modle de la cinmatique qui devrait dcrire ces grandeurs en fonction du

dbattement de la roue par rapport au chssis ce qui constitue le seul degr de libert

par rapport la caisse.

Le modle de llasto-cinmatique qui devrait dcrire ces grandeurs en fonction des

efforts transmis par les pneumatiques la flexibilit de lessieu appel aussi dforms sous efforts.

Dans 1.5, on aborde laspect cinmatique et lasto-cinmatique dans larchitecture des trains

roulant. Les variations des degrs de libert donnant lorientation du plan de la roue y sont

reprsentes.

Figure 1.4. Orientation du plan de roue.

Lessieu a plusieurs fonctions principales qui sont les suivantes :

- Piloter le paralllisme et le carrossage : le contrle du paralllisme et du carrossage

permet doptimiser le fonctionnement du pneumatique qui gnre des efforts en

fonction de ces deux grandeurs.

- Piloter le braquage des roues avant en transformant le mouvement de translation de la

crmaillre en braquage des roues.

- Participer lanti-roulis ou lanti-plong : en prsence dacclration latrale

(respectivement longitudinal) relative aux efforts horizontaux aux points de contact

pneus-sol, le chssis tendance changer dattitude sous forme de roulis

(respectivement du tangage) que lon cherche diminuer pour assur un confort

optimal au passagers. La participation de lessieu en dynamique du vhicule est

principalement la gestion de la trajectoire prise par la roue en dbattement vertical. Ce

dbattement gnre un centre de rotation fictifs appel centre de roulis en dynamique

latrale, ou centre de tangage en dynamique longitudinale. Le contrle de ce point de

rotation permet de diminuer considrablement lamplitude de ces rotations afin de

garder un confort de conduite et une sensation de scurit pour le conducteur. Cette

aspect est appel Effet Brouilhet [Fen05]. - Maitriser les variations de demi-voie au sol qui sont directement lies aux effets

Brouilhet transversaux, car si cet effet est important, les variations de demi voie le sont

galement, ce qui perturbe la stabilit du vhicule notamment sur sol bossel.

1.2.3. Suspension

La suspension permet de suspendre la caisse sur les roues et remplit le rle dune

liaison dynamique entre les mouvements en dynamique verticale de la roue et les mouvements

jr

ir

zr

p

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de la caisse. La suspension est compose dun ressort et dun amortisseur. Le ressort

emmagasine lnergie lorsquil est cras sous un effort et la restitue si leffort diminue. Ainsi

lcrasement du ressort dpendra de la charge quil supporte et il est caractris par sa raideur

rk . Lamortisseur permet damortir les sollicitations vibratoires. Leffort gnr par lamortisseur soppose au mouvement et il est fonction de sa vitesse de dplacement. Il

transforme une nergie cintique en une nergie calorifique, on dit quil est dissipatif.

Lamortisseur est caractris par son coefficient damortissement amoA . Les variations du

profile routier et les sollicitations au volant font que les roues dbattent verticalement.

Lensemble ressort-amortisseur agit comme un filtre de ces excitations en assurant le contact

roues-sol. La suspension rempli aussi le rle de gestion du dbattement pour matriser les

mouvements de la caisse en participant comme un anti-roulis. Il est noter que les barres anti-

dvers participent galement la tenue de caisse en virage.

Le groupe PSA utilise deux technologies de suspension : la suspension mtallique

(ressorts hlicodaux avec amortisseurs hydrauliques) et la suspension olopneumatique

[Guy00]. En ralit lensemble ressorts-amortisseurs possde des caractristiques dynamiques

non linaires [Zar02][Hal95], en effet, la raideur dun ressort dpend du niveau dcrasement

ou de dtente quil subit, ainsi on la note )( xkr avec x lcrasement du ressort. Sans oublier les butes qui jouent un rle important dans la caractristique des suspensions. Le

coefficient damortissement quant lui dpend non linairement de la vitesse de la tige tigev et

de la frquence de dbattement f , comme illustrer dans [Caf97], on le note ),( tigeamo vfA .

Une tude dtaille des modles de suspension fait lobjet des travaux ralis dans

[St04][Nou02]. Dans 1.6 on prsente laspect non linaire du fonctionnement des organes

de liaisons au sol.

1.2.4. Chssis

Le chssis reprsente la partie suspendue du vhicule port par les suspensions et les

roues. On retrouve donc : la carrosserie, le groupe motopropulseur, lhabitacle intrieur,etc.

Cest gnralement la partie considre lors dune modlisation en dynamique de vhicule,

sachant quil subit des sollicitations provenant des efforts aux pneumatiques, des efforts de

suspension et des efforts inertiels et arodynamiques. Les mouvements du chssis se

dcomposent comme pour un corps solide dans lespace en six degr de liberts.

Trois translations pour dcrire la dynamique longitudinale suivant xr, la dynamique

latrale suivant yr et la dynamique verticale (pompage) suivant laxe z

r, et trois rotations pour

dcrire les mouvements : du lacet suivant zr , du roulis suivant xr et du tangage suivant y

r. Sur la figure 1.5 sont reprsents les six degrs de libert et un repre associ au

CdG (Centre de Gravit). Les mouvements en dynamique longitudinale, verticale et du

tangage ne seront pas abords dans cette thse. Ainsi, le droulement de la modlisation ne se

portera que sur la dynamique latrale. Les quations de mouvement rgissant la dynamique du

vhicule seront issues des principes fondamentaux de la dynamique, cf. 1.2.

=

=

dyn

ext

M I

F Mrr

&

rr

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Figure 1.5. Reprsentation des degrs de libert au repre CdG.

1.2.5. Systme de direction

Le systme de direction permet de transmettre les ordres du conducteur dune rotation

en angle volant un braquage de roue localis sur certaines roues. Gnralement les roues

concernes par le braquage se situes lessieu avant et sont appeles roues directrices. Il existe galement des vhicules qui possdent quatre roues directrices ou des roues directrices

situes lessieu arrire comme les engins de manutention. Les principales spcifications

dun systme de direction concernent la prcision, le confort, la scurit, lassistance et

linformation sur la situation du vhicule.

Actuellement, diffrents systmes sont utiliss dans lindustrie automobile et cela en

fonction de la technologie employe. On retrouve donc, la direction assist hydraulique

(DAH) o leffort dassistance est gnr par un circuit hydraulique (pompe, vrins,

valve,.), les systmes assistance variable (DAV) o lassistance est adapt selon la

situation de vie ou la vitesse du vhicule [Gay00]. Il existe aussi la direction assistance

lectrique (DAE) schmatis sur la figure 1.6 o lassistance est fournie par un moteur

lectrique fix sur la crmaillre, lavantage de ce systme est quon peut matriser le couple

dassistance en sadaptant toutes les situations de vie par des lois de commande

performante. La modlisation de la direction ne sera pas aborde dans le cadre de cette thse,

et on se limitera une loi de dmultiplication constante entre langle au volant et le braquage

des roues directrices.

Figure 1.6. Direction assiste lectrique.

CdGzr

CdGxr

CdGyr

CdG

Colonne de direction

Capteur deffort

Crmaillre

Transmission double pignon

Moteur lectrique

Boitier lectronique

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1.3. Les dynamiques mises en jeu

Lorsquon cherche dcrire thoriquement le comportement dun vhicule, les

quations de mouvement doivent tre connues et les interactions physiques entre les diffrents

sous systmes doivent apparatre explicitement sous formes dquations mathmatiques

faisant interagir les diffrentes sollicitations extrieures et les tats reprsentant lattitude du

vhicule. Comme nous lavons vu ci-dessus, le vhicule automobile est form dun certain

nombre dlments et dorganes ayant chacun une fonction bien prcise. Lorsquon sollicite

un vhicule, soit en appliquant un angle volant de sorte le diriger selon une trajectoire

souhaite, ou en agissant sur le couple acclrateur ou freineur, il apparat trois diffrentes

dynamiques du chssis. Ces dynamiques peuvent tre dcomposes selon les trois axes du

repre sol, on retrouve :

La dynamique longitudinale

En se rfrant la figure 1.5, la dynamique longitudinale dcrit le

comportement du vhicule suivant laxe longitudinal xr en acclration/dclration xa

r

et laxe yr en rotation du tangage . Lacclration longitudinale est due une

application dun couple acclrateur fourni par le moteur ou dun couple freineur fourni

par les organes de freinage. Langle du tangage est dtermin par les caractristiques de la

suspension et lacclration longitudinale que subit le chssis. La modlisation doit

prendre en compte les efforts longitudinaux xijF la base des roues (qui sont gnrs en

fonction du glissement longitudinal et de la charge verticale des pneumatiques zijF ), les

transferts de charges, les efforts de suspension ainsi que leffort d au profil

arodynamique de la caisse.

La dynamique latrale

La dynamique latrale du vhicule est dcrite par lacclration latrale yar

, la

vitesse de lacet & , le roulis et les efforts latraux yijF la base de roues. Lors dune mise en virage aprs application dun angle de braquage aux roues, les pneumatiques

gnrent des efforts latraux relatifs lacclration latrale permettant au vhicule de

tourner sur une trajectoire dcrite par un centre de rotation instantan quon peut obtenir

en fonction des quatre vitesses de translation des roues. Les efforts latraux sont calculs

partir de la vitesse de glissement latral et de la charge verticale sur chaque pneumatique.

La modlisation doit prendre en compte le phnomne du transfert de charges en faisant

intervenir le mouvement de roulis et les caractristiques de la suspension. La littrature

traitant de la dynamique latrale est assez abondante et les approches utilises sont

diffrentes [Bro06][Kie00][Fen05][Gen97][Evr03].

Le potentiel dun pneumatique gnrer un effort au niveau de lair de contact

dpend du coefficient dadhrence (latrale et longitudinal) et de la charge verticale. Dans

le cas dune dynamique mixte, longitudinale-latrale, il apparat un phnomne de

couplage entre les efforts latraux et longitudinaux tel quune demande excessive en effort

longitudinal fait chuter leffort latral [Gay00][Por03].

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La dynamique verticale

La dynamique verticale dcrit le comportement du chssis (masse suspendue)

en fonction des efforts de sollicitation des pneumatiques transmis travers les suspensions

et du profil vertical de la route. Cette dynamique implique un transfert de charges vertical

sur les pneumatiques et un dplacement vertical du chssis. Globalement, on considre

que le chssis se comporte comme un systme masse-ressort-amortisseur, ainsi, on peut

trouver le modle quart de vhicule, modle de demi-vhicule et le modle de suspension quatre roues [Ste04][Nou02]. Linteraction avec les dynamiques longitudinale et latrale est vidente. Dune part le mouvement de dbattement vertical

agit sur lorientation du plan de roue, et dautre part, il agit sur les charges verticales aux

pneus. Gnralement pour une modlisation simplifie, une distinction est faite entre les

dynamiques directionnelles et la dynamique verticale.

Mme si les interdpendances sont avres entre toutes ces composantes de la

dynamique du vhicule [Evr03], les modles tudis dans cette thse ne concerneront que la

dynamique latrale sans prise en compte des couplages au niveau des efforts gnrs par les

pneus. Les couplages entre les efforts latraux et longitudinaux sont tudis dans [Pck06].

1.4. Cinmatique de mise en virage

Pour suivre une trajectoire, le conducteur excute une srie de commande au volant tel

quun angle volant nulle correspond une conduite en ligne droite, alors quun angle volant

non nulle correspond une mise en virage du vhicule. Lensemble de ces commandes qui

sajoute aux commandes dacclration ou de freinage dsigne linterface de commandes

entre le couple conducteur-vhicule. Une boucle de conduite classique peut tre schmatise

comme montr sur la figure 1.7 [Kie00][Fen05].

Figure 1.7. Modle standard de la boucle de commande du conducteur.

Les diffrentes taches queffectue un conducteur sont les suivantes :

1. Analyser la route et calculer la trajectoire et la vitesse (gnrateur de consignes).

2. Calculer et actionner les ordres en fonction de ltat du vhicule (rgulateur).

3. Percevoir lattitude du vhicule en trajectoire et en vitesse (Capteur).

La deuxime tche (rgulateur) concerne le calcul de laction fournir pour acclrer, freiner

ou tourner le volant pour sadapter la trajectoire et la vitesse souhaite. Ces actions

permettent de contrler la dynamique longitudinale et transversale du vhicule. Dans le cadre

Perception de

lenvironnement

et de la route

Conducteur Vhicule

Perception de la dynamique

du vhicule et de la trajectoire

Influence

environnementale

Route

Information

additionnelle

Trajectoire

et vitesse

Variables

de control

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de cette thse ltude portera uniquement sur laspect transversal vitesse constante, ce qui

implique que lanalyse dune situation de mise en virage est suffisante pour dcrire la

cinmatique et la dynamique latrale du vhicule.

Ltude de la cinmatique dun vhicule, revient tudier les grandeurs qui dfinissent

les mouvements du vhicule par rapport un rfrentiel fixe. Cette tude concerne lanalyse

de la trajectoire et des vitesses de chaque point appartenant au vhicule (essieux, roues, CdG,

etc.) sans prendre en compte les causes gnrant ces mouvements.

Durant son dplacement, le vhicule est considr comme un ensemble dlments

rigides en mouvement. La caisse est suspendue par les lments de suspension et les essieux.

Lensemble est en contact avec le sol travers les roues qui permettent le guidage du

vhicule. Les liaisons de suspension entre le chssis et les essieux ne sont pas rigides et donc

elles permettent au chssis de se mouvoir en rotation lors dune situation de mise en virage

(roulis) ou de freinage (tangage). Lattitude du vhicule peut tre caractrise par un ensemble

de variables qui seront appels variables dtats , celles qui seront utilis dans la suite concerneront seulement la dynamique latrale, on cite alors : la vitesse de lacet & , la drive au CdG et le roulis .

Pour dfinir les diffrentes variables dtats du vhicule, on a besoin dun ensemble de

repres. Chaque partie du vhicule sera lie un repre appropri. Les repres fixs seront

utiliss par la suite pour tablir une modlisation du comportement du vhicule ce qui

implique quun mauvais choix de repres peut entrainer une modlisation complexe et

fastidieuse. Le choix qui sera prsent ici nest pas universel, chaque auteur la libert de

choisir lensemble de repre qui semble faciliter le calcul et allger les quations, comme on

peut le constater dans [Bro06][Kie00][Sch99].

1.4.1. Rfrentiels

Afin dintroduire les lments ncessaire ltude de la cinmatique gnrale dun

vhicule, on adopte le cas dune situation de mise en virage o le vhicule dcrit une

trajectoire circulaire de rayon fini.

A. Repre inertiel

La trajectoire du vhicule est repre sur un

rfrentiel galilen li la route et appel repre inertiel

(figure 1.8). Dans la suite, ce repre sera not

),,,( 00000 zyxORrrr

, tel que :

0O : point quelconque appartenant au plan de la route.

0zr : vecteur ascendant normal au plan de la route.

0xr : vecteur arbitraire horizontal au sol.

000 xzyrrr

= .

La trajectoire du vhicule est dcrite sur le plan de la route

dfinit par ),,( 000 yxOrr

. Dans certains cas o ltude de la

trajectoire nest pas importante, le point 0O peut tre

Vr

0O

0zr

0xr

0yr

Figure 1.8. Repre inertiel.

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confondu avec la projection verticale du CdG sur le plan de la route.

B. Repre caisse

Cest le repre li la masse suspendue not ),,,( 1111 zyxGRrrr

. (figure 1.10 1.12). Il est

dfinit par :

G : lorigine du repre confondue avec le centre de gravit. 1z

r : est colinaire 0z

r au repos

1xr : est dans le plan de symtrie et dirig vers lavant.

111 xzyrrr

= .

C. Repre intermdiaire (repre masse non suspendue)

Soit B1 et B2 les centres des roues lessieu avant et B3 et B4 les centres des roues lessieu arrire. On dsigne par M1 le centre de lessieu avant et M2 le centre de lessieu

arrire, tel que 1211 MBBM = et 2432 MBBM = . Le point M est la projection verticale de G

sur 21MM et dsigne lorigine du repre intermdiaire ),,,( 10101010 zyxMRrrr

, voir figure 1.10

1.12. Ce repre est dfinit par :

10zr

: est colinaire 0zr.

10xr

: est colinaire 1xr et dirig positivement vers lavant.

101010 xzyrrr

= .

On dfinit dans ce repre les points importants de la gomtrie du vhicule qui sont :

1011 xLMMr

= , 1022 xLMMr

= , 1012 xLMMr

=

101

112

yE

BMr

= , 102

322

yE

BMr

=

1L , 2L et L dsignent lempattement avant, arrire et totale, respectivement. Egalement, 1E

et 2E dsignent la voie avant et arrire.

D. Repre intermdiaire de roulis

Soit 1I et 2I les centres de roulis lessieu avant et arrire, respectivement (figure

1.12). On dfinit le point 1O comme tant la projection du point M sur 21II . Le point 1O est

un point fictif et dsigne lorigine du repre intermdiaire de roulis ),,,( *10*

10

*

101

*

10 zyxORrrr

comme

montr sur la figure 1.11 et 1.12. On dfinit alors *10R par :

10*

10 zzrr

= .

10*

10 xxrr

= .

*

10

*

10

*

10 xzyrrr

= .

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On constate que la seule diffrence avec le repre 10R et *

10R est lorigine du repre.

Ceci nous permettra de mieux visualiser langle de roulis (1.4.2.3).

E. Repres roues

Chaque roue du vhicule possde un repre fixe. Dans le cas de la roue avant gauche,

on associe le repre ),,,( 1 AvGAvGAvGAvG zyxBRrrr

tel que :

AvGyr

est port par laxe de rotation de la roue.

AvGxr

est horizontal et dirig vers lavant de la roue et constitue avec AvGzr

le plan de la

roue ),,( 1 AvGAvG zxBrr

.

AvGAvGAvG yxzrrr

= .

Avec ce repre, on dfinit langle de braquage de la roue avant gauche par

( )AvGr xx rr ,10= . De la mme manire, le carrossage de la roue avant gauche est ( )AvGzz rr ,10= . En utilisant la mme dfinition, on peut facilement retrouver les repres associs aux roues

restantes en utilisant les abrviations GArAv ,, et D pour exprimer Avant, Arrire, Gauche et Droite, respectivement.

F. Repre aire de contact

En utilisant une terminologie similaire au repre roue, le repre associ chaque aire

de contact sera not ),,,( CijCijCijkCij zyxARrrr

o i reprsente lessieu ( ArAvi ,= ), j reprsente

la roue ( DGj ,= ) et k reprsente lindice des centres des surfaces de contacts ( 4,...,1=k ). A titre dexemple, on montre sur la figure 1.9, le repre aire de contact avant gauche

),,,( 1 CAvGCAvGCAvGCAvG zyxARrrr

, tel que :

Figure 1.9. Repre air de contact CAvGR

CAvGzr

est colinaire 0zr.

CAvGxr

est colinaire AvGxr

et dirig positivement vers lavant de la roue.

101010 xzyrrr

= .

1A

CAvGxr

AvGxr

AvGzr

CAvGzr

1B

1A

0O

0xr

0yr

CAvGxr

CAvGyr

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10xr

10yr

0xr

0yr

& 1L

2L

1E

2E

1M

2M

CAvGxr

1yr

MG,

1A

3A 4A

2A

r

CAvGyr

Figure 1.10. Reprsentation des repres et de larchitecture du vhicule Vue verticale.

2

1E 2

1E

1zr

10zr

10yr

*

10zr

*

10yr

1yr

G

AvDzr

AvDyr

M

1O 0h

CdGh

2B 1B

2A 1A

Figure 1.11. Reprsentation des repres Vue longitudinale de face (virage droite).

Vr

G

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32

G

M

1O

1L 2L

1h 2h 0h

h 10xr

*

10xr

1xr

AvGzr

*

10zr

1zr

10zr

1A 4A

1I

2I

1B

2B

Figure 1.12. Reprsentation des repres et de larchitecture du vhicule Vue latrale.

Les repres adopts serviront formaliser les quations mathmatiques qui dcrivent

les diffrents aspects de la cinmatique. En plus de la reprsentation des repres, les figures

1.9 1.11 montrent quelques paramtres importants de larchitecture du vhicule qui sont :

1L et 2L : les empattements avant et arrire ;

1E et 2E : les voies avant et arrire ;

21,hh et 0h : les Hauteurs des Centres de Roulis (HCR) lessieu avant, arrire et au

CdG, respectivement.

Avec : 21

12210 LL

hLhLh

+

+=

CdGh et h : la hauteur du Centre de Gravit (CdG) au sol et la hauteur du roulis actif,

respectivement.

Chaque point appartenant au vhicule dcrit un mouvement qui peut tre reprsent

dans nimporte quel repre condition davoir une description pralable des mouvements des

repres entre eux. Hormis le repre inertiel 0R , tous les autres repres sont en mouvement par

rapport au sol. Daprs les dfinitions, on constate que les repres 10R et *

10R dcrivent un

mouvement plan sur plan par rapport 0R . Ce dernier constat sera utilis dans la suite pour

extraire les vitesses de quelques points stratgiques qui sont : les quatre points de contact

pneu/sol et les centres des essieux avant et arrire.

1.4.2. Variables dtats

Pour dfinir lattitude du vhicule, on utilise trois paramtres dynamiques : La vitesse

de lacet, langle de drive du vhicule au CdG et langle de roulis de la caisse. Lensemble de

ces paramtres reprsentent les variables dtats du vhicule.

1.4.2.1. Vitesse de lacet &

Sur la figure 1.10, langle de lacet est langle form entre le repre inertiel et le repre

intermdiaire ( ) ( )010010 ,, yyxx rrrr == . Dans la littrature il est galement appel angle de cap . La vitesse de lacet est la drive temporelle de langle de lacet, tel que :

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dt

d =&

1.4.2.2. Angle de drive au CdG G

Comme dfinit prcdemment (figure 1.2 (a)), la drive pneumatique est langle entre

laxe de symtrie longitudinale de la roue (ou plan de roue) et le vecteur vitesse du centre de

la roue. De la mme manire, on dfinit langle de drive au CdG G comme tant langle entre 1x

r et le vecteur vitesse au CdG, comme montr sur la figure 1.10. On a donc :

=

y

xG V

Varctan

1.4.2.3. Angle de roulis

Le roulis est langle de rotation gnr par le mouvement de la masse suspendue

suivant laxe *10xr

. On crit alors ( )1*10 , zz rr= , cet angle dpend fortement des ressort et des amortisseurs utiliss pour dimensionner la suspension de la voiture. Laxe de rotation est

appel axe de roulis . Il est dfinit par la droite 21II . Les points 1I et 2I sont des points fictifs dfinis gomtriquement par les pures des trains et dsigne les centres de roulis avant

et arrire respectivement. Ces points varient dun vhicule un autre selon le type de train

utilis. La figure 1.13 montre la dtermination gomtrique du centre de roulis de lessieu

avant.

Dtente

Attaque

(N2) (N1)

(T2) (T1)

1O

G

*

10zr

*

10yr

2A 1A 1I

21E

21E

Figure 1.13. Reprsentation gomtrique du centre de roulis lessieu avant.

Pour trouver la position du centre de rotation de la caisse 1I lessieu avant, on

suppose quon connat la variation de la demi-voie ( 21E ) en fonction du dbattement vertical des roues dun mme essieu. En partant dun point quelconque, il est alors possible de

tracer la trajectoire (T1) du point de contact roue-sol not 1A , pour un dbattement de suspension. La normale cette trajectoire au point de contact est la droite (N1).

Symtriquement, la roue oppose dcrit une trajectoire (T2) et une droite (N2) normale cette

trajectoire au point 2A . Par dfinition, le centre de rotation 1I est situ lintersection de (N1) et de (N2) et se trouve galement sur le plan de symtrie de la caisse.

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Il est important de noter quici aucune connaissance de la conception de la suspension

nest utile. Seule compte la variation de demi-voie en dbattement. Le centre de roulis est

donc dfinit par la cinmatique du train. Le point 1I nest pas une donne du train mais une consquence de la conception et plus prcisment la variation de demi-voie . De la mme manire, on peut situer le centre de roulis arrire 2I qui forme avec 1I laxe de roulis de la

caisse 21II .

1.4.2.3.1. Moment de roulis actif et effet Brouilhet

A partir des figures 1.12 et 1.13, nous constatons que la caisse dcrit un mouvement de

roulis autour de laxe 21II . Alors, le moment de roulis actif peut sexprim par :

hMM tsx =

o sM et t sont la masse suspendue et lacclration latrale, respectivement.

Par rapport un moment de roulis naturel tscdgx MhM =* , qui prend en compte la hauteur du centre de gravit par rapport au sol, la caisse nest plus soumise qu une partie

donn par xM . Une premire constatation est que la cinmatique du train qui donne les

centres de roulis introduit un anti-roulis cinmatique qui pour valeur CdGh

h=1 exprime

en %. Cette anti roulis cinmatique est plus connu sous lappellation Effet Brouilhet .

Dans le cas dune dynamique longitudinale o il est question de mouvement de

tangage (angle de plong), la cinmatique des trains entraine le mme effet, appel galement

effet Brouilhet . Cet aspect de la cinmatique ne fera pas lobjet dune tude dans cette thse. Par contre, une tude synthtique et dtaille concernant leffet Brouilhet est prsente

dans [Hal95].

1.4.2.3.2. Anti roulis de suspension

Comme mentionn plus en amont, le mouvement de roulis est fortement conditionn

par le dimensionnement du systme de suspension (ressorts, barres anti-dvers et

amortisseurs). En effet, le mouvement de roulis est contr par les diffrents organes

constituants la suspension des trains. Comme dcrit au 1.2.3, Les ressorts et les amortisseurs

gnrent des efforts contraire pour amortir le dplacement de la caisse en roulis. Le moment

de ces efforts par rapport au centre de roulis de la caisse et donn par :

kAM susp += &

O : 21 AAA +=

21 kkk +=

avec 1A et 2A : les amortissements respectives aux essieux avant et arrire. 1k et 2k : les

raideurs des ressorts et des barre anti-dvers respective aux essieux avant et arrire.

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En virage stabilis, on obtient lgalit entre le moment actif de roulis et le moment

anti roulis de suspension, sous la forme :

xsusp MM = khM ts =

Dans le 1.8, nous verrons comment cet anti roulis intervient dans les quations de

mouvements.

1.4.3. Modle bicyclette et angle dAckermann

La trajectoire de G dcrit un cercle de rayon fini lors dun braquage constant. Sur la figure 1.14, on montre le point SI qui dsigne le centre instantan de rotation statique pour un

roulement sans glissement des roues. On suppose que les roues se dplacent sans glissement

et les vitesses des points de contact sont confondues avec Cijxr

(axes longitudinaux aux points

de contact pneus/sol). Le point SI reprsente donc un centre de rotation gomtrique qui

dpend exclusivement de la structure du vhicule.

De la mme faon, on indique le point DI qui dsigne le centre instantan de rotation dynamique. Dans ce cas, les roues se dplacent avec des glissements caractriss par les

drives aux pneus ij . Le point DI reprsente le centre de rotation relle dun vhicule.

Les coordonnes du point SI dans 10R peuvent tre calcules gomtriquement. On a

les coordonnes du vecteur ( )SS IIS

YXMI , :

( ) ( ) ( ) ( )

++=++=

=

2211

1211

2

cotg2

cotg2

rrI

I

LLE

LLE

Y

LX

S

S

(1.1)

Une condition pour que les roues avant se dplace sans glissement est que les axes de

rotation des roues avant se croisent au mme point dintersection avec laxe de rotation des

roues arrires. Ceci signifie que le braquage de la roue intrieur est suprieur celui de la

roue extrieur. A partir de lquation (1.1), on peut trouver un lien entre les braquages des

roues avant qui est donn par :

( ) ( ) ( )211

12 cotgcotg LL

Err +

= (1.2)

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10xr

10yr

&

G

AvGVr

AvDVr

ArGVr

ArDVr

AvG

AvD

1r

ArG ArD

1L

2L

DI

SI

GM ,

Vr

2r

1r

2r

2M

1M

Figure 1.14. Centres instantans de rotation et rayons de virage.

Cette relation particulire est lorigine de Lpure de Jeantaud . Cette caractristique cinmatique ne sera pas traite dans cette thse, par contre le lecteur trouvera plus de dtails

dans [Bro06]. Dans la pratique la diffrence entre 1r et 2r est trs faible pour des braquages usuels de conduite, et devient importante pour les grands angles comme lors des manuvres

de parking. Le rayon de virage statique SR est donn par lquation 1.1, tel que :

( ) ( )2

12

12112

2 cotg2

+++== rSs LL

ELMIR (1.3)

Ou en utilisant le braquage de la roue extrieure

( ) ( )2

12

22112

2 cotg2

+++= rS LL

ELR (1.4)

Dans la littrature traitant de la dynamique de vhicule [Fen05][Bro06][kie00]

[Gen97][Pck06], des illustrations simplificatrices ont t apportes afin de rduire la

complexit des quations. Cette simplification se rsume au Modle bicyclette o on

r

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suppose que les deux pneumatiques dun mme train travaillent exactement dans les mmes

conditions, savoir :

Ils supportent la moiti de la charge du train au repos.

Possdent les mmes angles de drives et de carrossage.

Ceci implique que les deux pneumatiques peuvent tre confondues au centre de

lessieu pour cre un pneumatique quivalent fictif, comme reprsent sur la figure 1.14. Les

deux roues du modle bicyclette sont places sur laxe mdian du vhicule. Concernant le

braquage de la roue quivalente avant, on retrouve deux cas de figure :

Dans le cas o les roues ne possdent pas les mmes angles de braquage (lorsquon

considre lpure de Jeantaud, la cinmatique et llasto-cinmatique des trains), la

roue quivalente possde un braquage quivalent la moyenne des braquages, c d :

2

21 rrr

+=

Dans le cas simple o on considre que les roues possdent les mmes angles de

braquage, on a : 21 rrr == .

Le modle bicyclette fait preuve de son efficacit dans ltude de la dynamique de

vhicule. De nombreux rsultats significatifs ont t apports. Ils ont contribus amliorer la

comprhension du comportement de la voiture [Zar02]. Afin de ne pas rompre avec

lvolution de ce modle, dans la suite des travaux et pour des commodits de calcul, nous

ferons trs souvent appel au modle bicyclette.

1.4.3.1. Notion dangle dAckermann

En imaginant que les pneus ne drivent pas (figure 1.14), les vecteurs vitesses des

deux roues du modle bicyclette sont portes par les axes longitudinaux des plans de roues.

En consquence, le centre de rotation SI du vhicule se situe sur laxe de lessieu arrire. Le

rayon de virage du modle bicyclette est le mme que

le rayon statique SR . Pour des petits angles de

braquages, on considre que le rayon de virage est

suffisamment grand pour que yyxRS += . A

partir de la figure 1.15, on obtient gomtriquement :

( )SS

r R

L

R

LL=

+=

21tan (1.5)

pour des angles de braquages usuelles on peut faire les

approximations ( ) rr =sin et ( ) 1cos =r . On obtient finalement :

aS

r R

L == (1.6)

AvVr

r

& MG,

ArVr

GVr

x

y

SR

t

SI

Figure 1.15. Modle bicyclette.

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Cet angle de braquage avec des drives nulles est par dfinition langle dAckermann qui est un angle purement gomtrique. Langle dAckermann peut tre interprter comme

tant langle braquage ncessaire pour maintenir une trajectoire de rayon constant SR

pour un vhicule avec des pneumatiques qui ne drivent pas. Ce vhicule est appel vhicule dAckermann .

Le rayon nest pas une grandeur facile mesurer en essais. Les grandeurs mesures

habituellement sont la vitesse de lacet & ou lacclration transversale t . Pour des petits angles, lacclration transversale t est assimile lacclration normale n , tel que :

&VR

V

Sn ==

En remplaant dans lquation 1.6, on obtient :

V

L

V

L

R

L t

Sa

&===

2 (1.7)

Pour simplifier lquation 1.7, on considre que pour des angles usuels de drive au CdG, la

vitesse du vhicule V peut tre approxime par la vitesse longitudinale, on crit donc :

2222

xyx VVVV +=

Et on obtient :

xx

t

Sa V

L

V

L

R

L

&===

2 (1.8)

Lquation 1.8 montre les diffrentes expressions de langle dAckermann qui ne dpend que

de lempattement du vhicule et du rayon de la trajectoire. Il est donc inutile de la conserver

pour raliser des comparaisons entre voitures. Pour faire les comparaisons entre voitures on

sintressera la partie de langle volant qui correspond uniquement aux proprits

dynamiques de la voiture et qui ne dpend que de lacclration transversale quelque soit le

rayon ou la vitesse avec lesquelles celle-ci est obtenue. Cette angle sera appel angle de surbraquage . Cet angle sera introduit dans 1.4.3.4.

1.4.3.2. Vitesse dun point quelconque du vhicule

Sur la figure 1.13, on montre les diffrentes vitesses attaches aux points stratgiques

qui sont : les quatre points de contact roues-sol, le CdG et le point M. Dans cette schmatisation les drives au CdG et aux pneumatiques sont prises en compte. En utilisant les

lois de la cinmatique du solide [Bro06], la vitesse dun point quelconque P du vhicule peut facilement tre exprime en fonction de la vitesse au CdG ou en fonction de la vitesse du

point M. La relation gnrale est donne par

( ) ( ) ( ) GPRRRVRV GP += 0100 /rrr

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Ou en fonction de ( )010 /RRVMr

( ) ( ) ( ) MPRRRVRV MP += 01000 /rrr (1.9)

En utilisant lquation (1.9), on peut calculer les vitesses des quatre points de contact roues-

sol. Dans le cas du point 1A , on procde comme suit :

( ) ( ) ( ) 101000 /1 MARRRVRV MA += rrr

(1.10)

avec

( )

=

0

0 y

x

M V

V

RVr

; ( )

=

&

r0

0

/ 010 RR ;

=

lR

EL

MA2

1

1

1 (1.11)

En injectant 1.11 dans 1.10, on obtient :

( )

+

=

+

=

0

2

20

0

0

1

1

1

1

01

&

&

&

rLV

EV

R

EL

V

V

RV y

x

l

y

x

A (1.12)

En adoptant la mme dmarche, on obtient les vitesses aux points 2A , 3A et 4A par :

( )

+

+

=

0

2

1

1

02&

&r

LV

EV

RV y

x

A ; ( )

=

0

2

2

2

03&

&r

LV

EV

RV y

x

A ; ( )

+

=

0

2

2

2

04&

&r

LV

EV

RV y

x

A (1.13)

Les vitesses des points 1M et 2M milieux des essieux avant et arrire sont donnes par :

( )

+=

0

101&

rLV

V

RV y

x

M (1.14)

( )

=

0

202&

rLV

V

RV y

x

M (1.15)

Les vitesses donnes par les quations 1.14 et 1.15 correspondent galement aux

vitesses des roues moyennes qui dfinissent le modle bicyclette. Dans notre travail, ces

vitesses (1M

Vr

et 2M

Vr

) seront utilises pour extraire lexpression des drives aux pneus et aux

essieux avant et arrire en fonction de la drive au CdG et la vitesse de lacet.

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1.4.3.3. Calcul des angles de drives

En se basant sur le modle bicyclette de la figure 1.15, la vitesse de translation dun

pneumatique forme un angle de drive i avec le plan de roue. Ces angles de drive peuvent tre calculs en fonction de la drive au CdG not G et la vitesse de lacet & en utilisant les quations 1.14 et 1.15 qui donne les vitesses de translation laxe avant et arrire.

Drive du pneu laxe avant

A partir de la dfinition de la drive on a :

( )xAv

yAv

V

V=

*

1tan (1.16)

avec

+== &

rr

11 LV

VVV

y

x

MAv (1.17)

r

&

1

2

AvVr

ArVr

1xr

0xr

0yr

1M

2M

*

1 1 +r

2

DR

DI

G

0G

Figure 1.15. Reprsentation des drives avant et arrire du modle bicyclette.

en remplaant 1.17 dans 1.16, on obtient :

( ) ( ) &&x

Gxx

y

xAv

yAv

V

L

V

L

V

V

V

V11*

1 tantan +=+== (1.18)

-

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CARACTERISATION DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE EN DYNAMIQUE DU VEHICULE

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