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Mastre COMADIS

Lois de comportement non linaires des matriaux

J. Besson, G. Cailletaud, S. Forest Centre des Matriaux Ecole des Mines de Paris

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Mcanique non linaire des matriaux

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Mcanique non linaire des matriaux

Table des matires

Chapitre 1 Introduction 1.1. La mise en modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Applications des modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 2 Concepts gnraux Formulation des lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thermodynamique des processus irrversibles . . . . . . . . . . . . . Les grandes classes de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . Critres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthodes numriques de rsolution des systmes dquations non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Mthodes numriques dintgration des quations diffrentielles . . . 2.8. Elments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 3 Plasticit et viscoplasticit 3D 3.1. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Formulation des lois de comportement . . . . . . . . . 3.3. Directions dcoulement associes aux critres courants 3.4. Expression de quelques lois particulires en plasticit . 3.5. coulement vitesse de dformation totale impose . . 3.6. Plasticit non associe . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. crouissage non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Quelques variantes classiques . . . . . . . . . . . . . . 3.9. crouissage et restauration en viscoplasticit . . . . . . 3.10. Modles multimcanismes . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Comportement des matriaux poreux . . . . . . . . . Annexe Notations employes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

7 7 11 13 13 14 15 22 35 43 53 59 73 . 73 . 76 . 82 . 84 . 86 . 87 . 88 . 98 . 104 . 107 . 123 135

A.1. Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.2. Vecteurs, Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.3. Notations de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

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Mcanique non linaire des matriaux

Chapitre 1

Introduction

1.1. La mise en modle Connatre pour mieux utiliser, puis connatre pour inuencer, est un principe que lHomme applique depuis toujours son environnement. Cela peut commencer par une saveur, un tour de main, sans aucun besoin de quantication. Mais lorsque vient ensuite le besoin de transmettre lexprience, ou lorsque les systmes deviennent de plus en plus complexes, il faut songer dcrire cet environnement, naturel ou articiel, lui trouver des reprsentations simplies, qui contiennent ses principales caractristiques, et qui ragissent de faon similaire face une sollicitation extrieure donne. Il faut donc construire des modles, ensembles dalgorithmes et de nombres qui vont devenir de plus en plus abstraits. Le domaine des matriaux et des structures nchappe pas cette volution. A linterface entre recherche et ingnierie, il comporte son lot de modles pour la comprhension et de modles pour la conception, ceuxl servant mettre lpreuve lide que lon a dun mcanisme, ceuxci btir des reprsentations simplies de systmes complexes. Cet ouvrage aborde les modles mcaniques en considrant diffrentes chelles, depuis la structure ou systme mcanique jusqu la microstructure du matriau. Dans ce cadre, les modles pour comprendre seront souvent destins au dveloppement des nuances de matriau, les modles pour concevoir, au dimensionnement des pices mcaniques. Quoi quil en soit, il est maintenant raisonnable de penser que, au-del du dveloppement des matriaux euxmmes, ce sont les dveloppements des connaissances sur ceuxci qui sont critiques pour le dveloppement des performances. Ainsi, cest la bonne connaissance des lois de comportement des matriaux [LEM 85b] qui permet dutiliser la quantit optimale de matire dans les composants, et demployer les bons matriaux au bon endroit. Le fait de concevoir ainsi au plus juste les structures, est la marque dune dmarche qui, outre son lgance, prsente deux aspects importants : il y a une amlioration de la scurit, dans la mesure o il est prfrable davoir

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Mcanique non linaire des matriaux

une bonne connaissance des phnomnes physiques plutt que dappliquer un large coefcient de scurit, qui sapparente souvent un coefcient dignorance ; par ailleurs, dans certains cas, lutilisation de plus grandes quantits de matire peut devenir prjudiciable (ainsi, augmenter lpaisseur de paroi dune enceinte sous pression peut certes diminuer les contraintes purement mcaniques, mais aussi tre nfaste sil y a des gradients thermiques dans la paroi), le rsultat est une meilleure performance sur le plan cologique, ainsi le gain de quelques diximes de gramme sur chaque boteboisson conduit des conomies de matire premire importantes, si lon songe aux quelques centaines de milliards qui sont fabriques chaque anne ; de mme, la diminution de poids permet de rduire la consommation des automobiles ou des avions.

1.1.1. Modliser pour comprendre Lorsquon a un modle en main, cela signie que lon a captur une partie de la ralit. On peut, en faisant fonctionner le modle, vrier que le matriau ou le systme mcanique que lon considre ragit bien selon les prvisions. Cest pourquoi il se dveloppe actuellement toute une ligne de modles dductifs [FRA 91] qui cherchent prendre en compte la microstructure du matriau en vue de dterminer ses proprits macroscopiques. Ainsi un mtal sera considr comme un polycristal, agrgat de grains dorientations cristallographiques diffrentes, et au comportement individuel parfaitement caractris, un composite se verra reprsent par sa matrice et ses bres, un bton par la matrice et les granulats. Cette approche choisit donc de modliser lhtrognit des matriaux, en vue de mieux prvoir le comportement moyen global (par exemple si les proportions des constituants changent). Elle peut utiliser des mthodes simplies pour reprsenter la microstructure, mais fait aussi de plus en plus appel des calculs de microstructures, dans lesquels un lment de volume reprsentatif est discrtis an que sa rponse soit value au moyen dun calcul par lments nis. Elle est donc relativement riche, de par son principe mme, mais elle est galement lourde mettre en uvre, si bien que son utilisation est encore limite la prvision du comportement des matriaux, dans loptique de mieux comprendre leur fonctionnement et damliorer leurs proprits mcaniques. Lapproche inductive, linverse, cherchera simplement caractriser globalement le comportement dun lment de volume reprsentatif, faisant alors abstraction de la structure ne du matriau. Il sagit de dterminer les relations de cause effet qui existent entre les variables constituant les entres et les sorties du processus tudi. Elle trouve une justication dans le fait que des phnomnes de lchelle microscopique trs divers peuvent conduire, aprs des effets de moyenne, des rponses globales de mme nature. Par contre, son emploi aveugle peut tre dangereux sil sagit dappliquer le modle hors de son domaine de dtermination initial. Il reste que cette mthode est, dans bien des cas, la seule applicable dans un cadre industriel. Ces deux approches sont de nature phnomnologique : la construction du mo-

Introduction

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dle fait appel un ensemble dquations qui doivent ensuite tre talonnes pour un matriau donn laide dune base exprimentale constitue dessais mcaniques, et, ventuellement, dobservations microstructurales.

1.1.2. Modliser pour concevoir La bonne connaissance des matriaux et leur bonne utilisation font donc intervenir trois domaines dactivit. 1. Le dveloppement du matriau lui-mme (ce secteur tant absent dans le cas des gomatriaux). L se jouent lvolution du matriau, la dcouverte de nouvelles microstructures, qui concourent lamlioration des performances intrinsques. 2. La caractrisation des proprits demploi. Ce point a pour but dapporter une meilleure connaissance dun matriau existant, (mcanismes physiques qui provoquent ou accompagnent la dformation, effets mcaniques macroscopiques), donc de rduire les incertitudes et daugmenter la abilit des modles utiliss. 3. Le travail sur les modles numriques permet damliorer la reprsentation des pices, structures ou domaines calculs (par amlioration des algorithmes, qui autorisent le traitement de modles numriques plus importants, par exemple 3D au lieu de 2D). Le point (1) est le domaine des mtallurgistes et des chimistes. Le point (2) celui de la mcanique des matriaux (solides pour ce qui nous concerne ici). Le point (3) celui de la mcanique des structures. Cest au carrefour (2)(3) que se situent les chapitres qui suivent. La gure 1.1 schmatise par ailleurs les diffrents environnements, les diffrentes oprations industrielles auxquels se rattachent les ensembles de modles qui vont tre exposs. La phase de conception (gure 1.1a) met en uvre une approche synthtique du problme, qui est en fait rsolu par mthode inverse, soit : quelle forme donner la pice, en quel matriau la construire pour quelle rponde au cahier des charges. Dans la mesure o les lments extrieurs sont nombreux, et parfois non scientiques, il ny a en gnral pas dautre solution que de choisir des descriptions simples des matriaux, et dappliquer des codes ou rgles simplies. Dans la plupart des cas, cette approche est sufsante. Il peut subsister parfois des cas litigieux (pices de haute scurit,. . .) qui ncessitent la mise en place dune procdure de justication (gure 1.1b). Au contraire de la prcdente, cette dmarche est analytique, puisque la gomtrie, les charges, le matriau, etc. . . sont gs, et quil sagit simplement, par un calcul direct, de caractriser la bonne tenue. Cette procdure peut tre employe la construction, ou encore longtemps aprs la mise en route dune installation, an dobtenir une requalication qui prolonge la dure de vie : un systme (par exemple une centrale nuclaire) dont la dure de vie garantie est de 30 ans, en utilisant des mthodes de dimensionnement

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Mcanique non linaire des matriauxTemprature Efforts Prix Aspect Rgles simplifies Forme Type de matriau Elaboration

Temprature

Comportement du matriau Forme Type de matriau

Efforts

Disponibilit Dure de vie souhaite

Dure de vie prvue

Elaboration

a. ConceptionTemprature Efforts Forme Raisons de lchec Dure de vie Type de matriau Elaboration Comportement du matriauOui

b. JusticationNon Forme Type de matriau Elaboration

Objectif OK ?

Efforts Comportement du matriau Temprature

c. Expertise

d. Optimisation

Figure 1.1. Oprations industrielles o intervient le comportement des matriaux

simplies, peut voir sa vie prolonge dune dizaine dannes laide de mthodes plus prcises. Il faut encore avoir recours des modles plus prcis dans le cas de lexpertise (gure 1.1c) puisquune telle opration intervient aprs quun problme, grave ou non, soit apparu. Il est important dans ce cas de mettre en regard les modles utiliss et les phnomnes physiques qui se sont produits. Loptimisation (gure 1.1d) va tendre se gnraliser, grce larrive de calculateurs sufsamment puissants pour quil soit envisageable deffectuer plusieurs dizaines de fois le calcul de la structure tudier. Dans le cadre de ces applications, le modle choisi va dpendre des domaines dutilisation. Sans stendre sur ce sujet, il est facile dimaginer que par exemple un acier temprature ambiante pourra tre considr comme lastique linaire pour le calcul des ches dune structure mcanique, viscolastique pour un problme damortissement de vibrations, rigideparfaitement plastique pour un calcul de charge limite, lastoviscoplastique pour ltude de contraintes rsiduelles, ou quun polymre sera considr comme un solide pour un problme de choc, et comme un uide pour ltude de sa stabilit sur de longues dures.

Introduction

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1.2. Applications des modles Lutilisation de modles de comportement non linaire est encore relativement peu prsente dans lindustrie. Cest quil faut pouvoir disposer du modle adquat, des paramtres qui caractrisent le matriau considr, et du code de calcul de structures qui contient ce modle. Les annes 80 ont pourtant constitu une priode de dveloppements importants pour les modles. Cest ce moment que se sont simultanment panouis des modles macroscopiques rpondant une multitude de comportements diffrents, et que lon a commenc utiliser des modles plus complexes, issus des mthodes dhomognisation, la puissance des ordinateurs permettant de considrer un nombre de plus en plus grand de variables pour reprsenter le matriau. Cest ce moment-l que sest impos le terme de mcanique des matriaux pour dsigner ltude de llment de volume du mcanicien des structures. Les annes 90 ont permis une certaine dcantation dans les modles, mais surtout larrive de mthodes dintgration robustes, qui autorisent lexploitation de modles trs fortement non linaires dans des calculs de routine. Ces mthodes ont t implmentes dans les codes de calcul de structures. Il reste maintenant construire les bases de donnes matriau, et gagner du temps CPU, pour pouvoir traiter en quelques heures des problmes non linaires comportant entre 105 et 106 nuds. Le prsent ouvrage se donne donc comme but de faire le point sur les modles de comportement et les mthodes numriques associes. Le calcul de structures est une discipline part entire dans laquelle la reprsentation des matriaux ne tient quune (trop) petite place. Cet ouvrage naborde bien entendu pas les problmes de maillage, de mthodes numriques gnrales pour la rsolution de systmes linaires,... Par contre, le lecteur trouvera ici lexpos des mthodes numriques attaches lexploitation des lois de comportement dans les calculs de structures, notamment les mthodes dintgration. De mme, ltape didentication des coefcients du modle na pas t considre ici. Ce vide devrait tre combl lors de la parution dune suite au prsent ouvrage. Le lecteur trouvera donc successivement : le rappel de quelques outils fondamentaux pour la comprhension de louvrage ; on a rang dans cette partie une prsentation lmentaire de notions de mcanique et de thermodynamique, une introduction aux comportements non linaires des matriaux en uniaxial laide de modles rhologiques, la description des fonctions utilises classiquement comme critre de plasticit, mais aussi un minimum vital sur les mthodes numriques et la mthode des lments nis ; une prsentation des modles de plasticit et de viscoplasticit en petites perturbations, regroupant modles trs classiques et quelques propositions plus avances, notamment sur les modles multimcanismes ; quelques lments sur la mcanique de lendommagement, o lon discute notamment la notion de couplage endommagementcomportement, et le phnomne dactivationdsactivation de celuici ; une brve prsentation de la mcanique des milieux htrognes et des mthodes

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Mcanique non linaire des matriaux

dhomognisation, en lasticit, thermolasticit, et en nonlinaire, qui mentionne une solution pragmatique au problme de la rgle de localisation ; les lments ncessaires la gnralisation des modles prcdents aux transformations nies, o le propos est illustr par des exemples, et o on traite galement le cas des milieux continus gnraliss ; la mise en uvre dans un programme de calcul par lments nis des modles prsents, o laccent est mis sur le caractre gnrique des mthodes utilises ; la description des phnomnes de localisation de la dformation, avec quelques commentaires sur les mthodes de rgularisation, qui permettent de les limiter. Cet ouvrage vient la suite dun certain nombre de recueils gnralistes, quil est bien sr impossible de citer tous. Ayant en mmoire le motcl de matriaux, le lecteur se reportera aux livres de Friedel [FRI 64] et Jaoul [JAO 85], ou encore de MacClintock et Argon [MCC 66], de Argon [ARG 75], de Asbby et Jones [ASH 80]. Pour ce qui concerne la mcanique des solides, les livres considrer sont ceux de Hill [HIL 89], Germain [GER 73], Mandel [MAN 66, MAN 78], Salenon et ses collaborateurs [SAL 84, HAL 87], mais aussi des ouvrages sur les gomatriaux, qui permettront au lecteur de constater la similitude des outils thoriques et numriques entre les diffrents domaines de la mcanique des matriaux [DAR 87, COU 91]. Laspect loi de comportement est prsent dans le classique ouvrage de Lubliner [LUB 90]. Il faut enn citer louvrage de Simo et Hughes [SIM 97], qui constitue une importante contribution pour ce qui concerne le traitement numrique, et les tout rcents livres de Doghri [DOG 00] ou Doltsiris [DOL 00]. Mais parmi tous ceux qui sont cits ici, il convient daccorder une mention particulire aux ouvrages qui sont dans le courant franais de mcanique et matriaux [LEM 85b, FRA 91, FRA 93] dont se rclame galement ce travail.

Chapitre 2

Concepts gnraux

2.1. Formulation des lois de comportement Except le cas de llasticit, les modles considrs ici sexpriment habituellement sous forme diffrentielle, si bien que la rponse actuelle dpend de la sollicitation actuelle et de son histoire (proprit dhrdit). Il y a deux manires de prendre en compte celleci, la premire consiste la dcrire par une dpendance fonctionnelle entre les variables, la seconde fait lhypothse quil est possible de reprsenter son effet par des variables internes, qui concentrent les informations importantes dnissant ltat du matriau. Sauf quelques cas exceptionnels comme celui de la viscolasticit linaire, la seconde mthode de travail produit des modles dont lutilisation numrique est plus simple. Les autres hypothses importantes qui sont classiquement utilises pour lcriture de modles de comportement sont : 1. le principe de ltat local, qui considre que le comportement en un point M ne dpend que des variables dnies en ce point, et non pas du voisinage ; 2. le principe de simplicit matrielle, qui suppose que seul intervient dans les quations de comportement le premier gradient de la transformation ; 3. le principe dobjectivit, qui traduit lindpendance de la loi de comportement visvis de lobservateur, et qui implique que le temps ne peut pas intervenir explicitement dans les relations de comportement. Ces hypothses seront examines dans le chapitre ??. Dans le cas des matriaux homognes et isotropes, lensemble de ces hypothses se rsume par une expression entre les contraintes et les dformations du type :

t

F t

(2.1)

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Mcanique non linaire des matriaux

2.2. Principe des puissances virtuelles La prsentation donne ici donne un clairage minimal sur le principe des puissances virtuelles. Le lecteur est invit se reporter au chapitre ?? pour un expos plus complet. Le principe indique que, pour tout champ de vitesses virtuelles v x t , la somme des puissances des efforts intrieurs et extrieurs est nulle, quel que soit le domaine D , de surface extrieure D S considr dun solide (gure 2.1).

Su Sf

Figure 2.1. Domaine D dun solide avec ses surfaces extrieures.

La puissance virtuelle des efforts intrieurs svalue en formant le produit contract du tenseur des contraintes rel par le tenseur vitesse de dformation virtuelle, soit : : dV Pi (2.2)D

La symtrie du tenseur permet, en remplaant la vitesse de dformation par la partie symtrique du gradient de vitesse, deffectuer une intgration par partie, puis dappliquer le thorme de la divergence, ce qui dcompose la puissance intrieure en deux termes, lun qui reste volumique, et un second qui devient surfacique. En dsignant par n la normale sortante en un point courant de D , la nouvelle expression est alors : Pi div v dV n : v dS (2.3)DD

La puissance des efforts extrieurs comporte un terme volumique dactions distance, et un terme surfacique defforts de contact :D

f v dV

D

F v dS

Lapplication du principe conduit donc :DD

div

f v dV

n

F v dS

P

e

D

S

Su S f

0

(2.4)

(2.5)

Concepts gnraux

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Comme il ny a pour le moment aucune hypothse sur le champ de vitesse, il est possible de le choisir successivement nul sur la surface externe, ou nul en dehors dune partie quelconque de la surface externe, il vient alors :

Les conditions ncessaires et sufsantes de lquilibre du milieu et les conditions au bord sobtiennent en choisissant pour D le solide lui-mme. Le mme schma de calcul peut galement tre appliqu en utilisant un tenseur de contrainte statiquement admissible (CSA) , et un champ de vitesse cinmatiquement admissible (CCA) v (et a priori non relis par une loi de comportement), vriant respectivement les quations 2.9 et 2.10 et lquation 2.11 :

i o Sif sont les surfaces o la composante i des efforts surfaciques F est impose, S d sont les surfaces o la composante i de la vitesse est impose, avec :

f u dV

F u dS S

2.3. Thermodynamique des processus irrversibles Le but de cette section est de donner quelques lments sur les bilans nergtiques en prsence de dformation mcanique, et sur les interactions possibles entre la temprature et les dformations lastiques ou inlastiques. La formulation est propose ici en petites perturbations, les complments ncessaires pour les transformations nies tant donns au chapitre ??.

2.3.1. Premier et second principes de la thermodynamique Aprs la conservation de la masse et les relations dquilibre, la troisime grande loi de conservation de la mcanique des milieux continus exprime la conservation de lnergie ; il sagit du premier principe de la thermodynamique, qui indique que

: dV

Il vient alors :

0

S

i

123

i Sd

Sif

i Sd

Sif

vi

i j n j

div

f

0 Fi vd i

dans sur Sif i sur Sd

n

F

div

f

0

D x Dx

(2.6) (2.7) (2.8)

(2.9) (2.10) (2.11)

(2.12)

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Mcanique non linaire des matriaux

chaque instant, la drive particulaire de lnergie totale dun systme est la somme de la puissance des efforts exercs sur le systme, P e , et du taux de chaleur reue, Q. Lnergie est la somme de lnergie interne et de lnergie cintique, qui ne sera pas considre ici. Le principe scrit donc, en introduisant lnergie interne E sur un domaine D , ou lnergie interne spcique e :

En choisissant comme champs statiquement admissible et cinmatiquement admissible les champs rels, la section prcdente indique quil est possible dcrire la puissance des efforts extrieurs comme :D

Le terme Q est la somme de deux termes, le premier correspondant la densit surfacique du taux de chaleur reue, qui se dnit en fonction du vecteur courant de chaleur q et de la normale n, (n dsigne la normale sortante sur la surface D du domaine considr), le second, r, reprsentant une chaleur volumique, provenant des sources de chaleur, lies par exemple des ractions chimiques ou des transformations de phases non prises en compte directement dans la modlisation mcanique ou encore A des sources de chaleur externes, par rayonnement :DD

D

La variation dnergie interne spcique est donc la somme du taux dnergie spcique due aux forces intrieures et du taux de chaleur spcique reue :

Le second principe fournit une borne suprieure du taux de quantit de chaleur que peut recevoir le volume D une temprature T , et sexprime, en fonction de lentropie S ou de lentropie spcique s :

En introduisant lnergie libre spcique de Helmholz , telle que e T s, dans les quations 2.16 et 2.18, on aboutit alors lingalit dite de Clausius-Duhem :

:

sT

d dt

1 q grad T T

0

(2.19)

D

do :

div

dV

ds dt

dS dt

r dV T D

qn dS D T q T 0

r T

de dt

:

r

divq

rdV

q ndS

r

Q

P

e

: dV

dE dt

de dV D dt

P

e

Q

(2.13)

(2.14)

divq dV

(2.15)

(2.16)

(2.17) (2.18)

Concepts gnraux

17

2.3.2. Dissipation La mthode de ltat local postule que ltat thermomcanique du milieu en un point et un instant donn est compltement dni par la donne de variables dtat, ne dpendant que du point considr. Lvolution du systme est considre comme une suite dtats dquilibre, les drives des variables nintervenant pas pour dnir ltat. Lnergie libre dnit un potentiel qui dpend de la temprature et des variables dtat I qui caractrisent le systme mcanique. Il est donc possible dexprimer la drive de sous la forme :

En introduisant cette expression dans 2.19, on obtient successivement :

Lexpression 2.22 met en vidence deux types de contribution la dissipation, la dissipation intrinsque volumique 1 et la dissipation thermique volumique 2 :

2.3.3. quation de la chaleur Il est classique de considrer que les dissipations intrinsque et thermique sont dcouples, et quil faut donc assurer sparment leur positivit. Celle de la dissipation thermique est assure si on admet la loi de conduction de Fourier. Dans le cas dun matriau isotrope, elle sexprime par :

La fonction scalaire k, valeurs strictement positives, reprsente la conduction (en W/m/K). Cette forme assure la positivit de 2 , et indique que la chaleur se dplace des zones chaudes vers les zones froides. Dans le cas o la conduction est anisotrope, elle sera dnie par une forme quadratique non ngative :

2

1 gradT k gradT T

q

k T I grad T

2

1

:

I I

1 q grad T T

:

I I

s

T

1 q grad T T

d dt

T T

I I

(2.20)

(2.21)

0

(2.22)

(2.23) (2.24)

(2.25)

(2.26)

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Mcanique non linaire des matriaux

Le report de la loi de Fourier dans la relation 2.16 permet, en utilisant lexpression de la drive de en fonction de la temprature et des variables dtat, dobtenir, en posant C T s T (chaleur spcique dformation constante, en J/kg/K) :

Cette galit exprime lquation de la chaleur en prsence de dformations mcaniques. Le membre de gauche est proportionnel au laplacien T lorsque la conduction est isotrope avec un coefcient k constant. Avec exprim en kg m 3 , le produit C , qui caractrise la quantit de chaleur utilise par le matriau pour lever sa tempra ture, est donc en N m2 K, ce qui permet bien de mettre en regard le produit C T 3 ), et les termes dorigine mcanique : avec le terme volumique r (qui est en J m (en Pa/s). La forme de lquation crite ici est indpendante du type de comportement mcanique considr. Les diffrences entre les matriaux seront simplement prises en compte par la forme de lnergie libre et par les variables dtat introduites. Lner gie mcanique dissipe est reprsente par le terme 1 : I I , qui prend en compte lapport dnergie et la partie qui est stocke (momentanment ou non) dans le matriau. Il y a une possibilit de couplage thermomcanique au niveau des variables dtat si la drive croise 2 T I est non nulle.

2.3.4. Thermo-lasticit linaire Il sagit dun type de comportement o la dformation est dcompose en une partie lastique et une partie thermique ; la dformation lastique est nulle pour un tat de rfrence I , et la dformation thermique est nulle pour une temprature de rfrence T I . En se restreignant au cas isotrope, une loi de thermolasticit linaire peut tre construite en choisissant lnergie libre sous la forme suivante, dans laquelle K dsigne le coefcient de compressibilit du matriau (3K 3 2, et coefcients de Lam) et le coefcient de dilatation linaire :

(2.28) 1 C T TI 2 2 TI La variable dtat est la dformation thermolastique. Comme la thermolasticit est un processus rversible, la dissipation intrinsque, qui sexprime 1 : , doit tre nulle pour un incrment innitsimal quelconque de dformation thermolastique. La drivation de par rapport la dformation thermolastique permet donc de dnir la loi de comportement : 3K T

3 T

I

TI

I

2

trace()I

2

I trace()

TI I

(2.29) (2.30)

I :

2

:

3K trace() T

1 trace() 2

TI

div k grad T

r

C T

:

I

T

2 T I

I

(2.27)

Concepts gnraux

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Il est galement possible de calculer la variation dentropie spcique, puisque :

Cette expression justie la dnition de C au voisinage de la temprature T I : C T I s T . Il est intressant dans ce cas simple dillustrer la diffrence entre volutions isotherme et adiabatique. En supposant que s 0 dans lquation (2.31), il est possible de trouver la variation de temprature conscutive un changement relatif de volume V V trace() :

Le report de cette expression dans la loi de comportement (2.30) permet de comparer les rponses : 9K 2 2 T I

Le module de cisaillement est inchang par rapport au cas isotherme lors dune volution adiabatique, par contre le premier coefcient de Lam augmente. Lquation (2.31) montre par ailleurs quen chargement adiabatique, lorsque le volume augmente, (trace() > 0), par exemple lors dune traction simple, la temprature diminue, et vice versa. Les ordres de grandeur de ces perturbations sont en gnral faibles. Ainsi une valuation pour des valeurs typiques dun acier (E=200 GPa, =0,3, =8000 kg/m 3 , C = 500 J/kg/K, = 15 10 6) fournit :

Notons que la loi de thermo-lasticit dun milieu anisotrope quelconque pourra scrire : I : (2.36)

2.3.5. Comportement nonlinaire Ecriture de la dissipation On suppose, comme cela sera justi plus loin, que la dformation combine de faon additive une dformation thermolastique e (dformation mcanique + dilatation) et une dformation inlastique p (petites perturbations) :

e

p

(2.37)

o est le tenseur (ordre 4) des rigidits lastiques et la dilatation thermique T T I , reprsentant la dformation lastique.

T T

3K V C V

1 875

C

trace()I

V V

adiabatique :

I

isotherme :

I

T

trace()I

2 2

TI

3KT I trace() C

3Ktrace()

s

T

C T TI

TI

(2.31)

(2.32)

(2.33) (2.34)

(2.35)

20

Mcanique non linaire des matriaux

On modie galement lgrement les notations initiales, en venant distinguer parmi les variables I celles qui caractrisent lcrouissage du matriau, cest--dire lvolution de ses proprits par des mcanismes qui conservent la continuit locale de la matire (redistribution de contraintes locales, variations de densit de dislocations. . .), et pour lesquelles la dnomination I sera conserve, et celles qui caractrisent lendommagement, qui est li aux dtriorations du matriau, avec ouverture de porosits ou de microssures, qui seront notes dJ . Le jeu de variables dtat le plus gnral fait donc apparatre (e ,I , dJ ), et la dissipation intrinsque scrit :

Soit, comme il ny a pas de dissipation thermolastique (et le terme en temprature nintervient pas non plus cause de (2.21)) :

Lvaluation complte ncessite de choisir la loi de comportement, ce qui sera fait plus loin. Les deuxime et troisime termes du membre de droite dsignent le changement dnergie libre de llment de volume temprature constante. Cest la part dnergie qui est stocke dans le matriau du fait de lcrouissage, ou qui est utilise rompre les liaisons, et quil faut donc soustraire de la puissance plastique pour obtenir lnergie effectivement dissipe en chaleur. Garder 1 positif revient donc dire que le processus irrversible que lon considre produit de la chaleur. Llvation de temprature est gouverne par :

o is reprsente la somme des termes dits "isentropiques", dduits du second terme dans la parenthse au second membre de (2.27). Ce terme isentropique est en gnral faible. Il correspond la dpendance en temprature des forces thermodynamiques.

Evaluation approche de la dissipation Indpendamment du modle de comportement choisi, il est souvent dusage de remplacer le terme de dissipation intrinsque par une fraction de la puissance plastique (avec 0 1). Il sagit dune mthode approche pour prendre en compte empiriquement la proportion dnergie qui est effectivement dissipe en chaleur au cours de la dformation, lexprience montrant que la valeur de est en gnral suprieure 0,9 dans le domaine des dformations importantes. Le cas du chargement adiabatique sexprime dans cette relation en remarquant que, dans ce cas, le terme div k grad T est nul. Une valuation approche de llvation

div k grad T

C T

1

: p

I I

dJ dJ

r

1

1

: e e

: p

I I

dJ dJ

(2.38)

(2.39)

is

(2.40)

Concepts gnraux

21

de temprature est donc donne, dans le cas o il ny a pas de source de chaleur volumique, par lexpression : C T 1 (2.41) Llvation de temprature ne sera sensible que pour le cas de chargements sufsamment rapides pour quil ny ait pas dvacuation de chaleur. Contrairement au cas du couplage thermolastique, le couplage thermoplastique doit tre pris en compte, notamment dans des problmes de mise en forme. Il conduit des lvations de tempratures quelle que soit la sollicitation considre.

Modle standard gnralis En dnissant les forces thermodynamiques AI (resp. yJ associes aux variables dtat I (resp. dJ ) par :

en dsignant par Z le vecteur constitu par les composantes du tenseur de contraintes et celles des variables AI et yJ , et par z le vecteur constitu par les dformations plastiques et les variables dtat, la dissipation sexprime :

avec :

Z

;

z

Un modle sera dit standard gnralis sil existe un potentiel Z tel que : (2.45) Z Si est une fonction convexe de Z qui contient lorigine, la dissipation intrinsque est automatiquement positive, car, pour le point courant Z, tous les points du domaine dlimit par lquipotentielle Cte sont situs du mme ct du plan tangent, dni par la normale Z , et : 1 Z (2.46) Z Lapplication de la transformation de Legendre-Fenchel permet de dnir , dpendant des vitesses des variables dtat :Z

Les variables Z sobtiennent alors comme les drives partielles de par rapport z . Les modles standards gnraliss supposent donc que toute linformation concernant le comportement nonlinaire des matriaux peut tre rsume dans deux potentiels, lnergie libre, qui dcrit les relations entre les variables dtat et les forces thermodynamiques associes, et les lois de comportement des phnomnes rversibles, et le potentiel de dissipation , qui permet de caractriser les phnomnes dissipatifs.

max Z z

z

Z

z

AI y J

p

1

AI

;

yJ

: p

AI I

I

dJ

(2.42)

yJ dJ

Zz I d J

(2.43) (2.44)

(2.47)

22

Mcanique non linaire des matriaux

Couplages dtat, couplages dissipatifs Un couplage dtat [MAR 89] est le rsultat de la prsence dans lnergie libre de termes croiss des variables dtat, ce qui introduit une dpendance au niveau de la force thermodynamique. Ce type de couplage sera par exemple considr entre llasticit et lendommagement (chapitre ??). Il suppose une certaine symtrie des interactions, ainsi pour deux variables A1 et A2 forces associes de 1 et 2 :

On rencontre au contraire un couplage dissipatif lorsquil y a plusieurs potentiels , soit K , il vient alors : K z (2.49) K Z Ce type de couplage se rencontre galement dans les modles multisurfaces ou dans les approches cristallographiques.

2.4. Les grandes classes de comportement 2.4.1. Les briques de base Lallure qualitative de la rponse des matriaux quelques essais simples permet de les ranger dans des classes bien dnies. Ces comportements de base, qui peuvent tre reprsents par des systmes mcaniques lmentaires, sont llasticit, la plasticit et la viscosit. Les lments les plus courants sont, en gure 2.2 : 1. Le ressort, qui symbolise llasticit linaire parfaite, pour laquelle la dformation est entirement rversible lors dune dcharge, et o il existe une relation biunivoque entre les paramtres de charge et de dformation (gure 2.2a). 2. Lamortisseur, qui schmatise la viscosit, linaire (gure 2.2b) ou nonlinaire (gure 2.2c). La viscosit est dite pure sil existe une relation biunivoque entre la charge et la vitesse de chargement. Si cette relation est linaire, le modle correspond la loi de Newton. 3. Le patin, qui modlise lapparition de dformations permanentes lorsque la charge est sufsante (gure 2.2d). Si le seuil dapparition de la dformation permanente nvolue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, de plus, la dformation avant coulement est nglige, le modle est rigideparfaitement plastique. Ces lments peuvent tre combins entre eux pour former des modles rhologiques. Ceux-ci reprsentent des systmes mcaniques qui servent de support dans la dnition des modles. Il ne faut en aucun cas leur accorder un trop grand crdit

A1 2

A2 1

2 1 2

(2.48)

Concepts gnraux

23

a.

b. c.

d.

Figure 2.2. Les briques de base pour la reprsentation des comportements.

pour ce qui concerne la reprsentation des phnomnes physiques qui sont la base des dformations. Ils sont nanmoins brivement prsents ici, car ils permettent de comprendre la nature des relations introduire pour chaque type de comportement, en pratiquant par exemple lexercice qui consiste combiner deux deux les modles lmentaires. Cest aussi loccasion dintroduire lensemble du vocabulaire qui sera utile dans le cas gnral des chargements tridimensionnels. La rponse de ces systmes peut tre juge dans 3 plans diffrents, qui permettent dillustrer le comportement lors dessais de type : crouissage, ou augmentation monotone de la charge ou de la dformation, (plan dformationcontrainte, -) ; uage, ou maintien de la charge (plan tempsdformation, t-) ; relaxation, ou maintien de la dformation (plan tempscontrainte, t-).

2.4.2. Plasticit uniaxiale Modle lastiqueparfaitement plastique Lassociation dun ressort et dun patin en srie (gure 2.3a) produit un comportement lastique parfaitement plastique, modlis en gure 2.3c. Le systme ne peut pas supporter une contrainte dont la valeur absolue est plus grande que y . Pour caractriser ce modle, il faut considrer une fonction de charge f dpendant

y

E

1

N

y

24

Mcanique non linaire des matriaux

(H) (y ) (E) (y ) a. y p y y H p b.

Figure 2.3. Associations en srie ou parallle de patin et ressort

de la seule variable , et dnie par :

Le domaine dlasticit correspond aux valeurs ngatives de f , et le comportement du systme se rsume alors aux quations suivantes :

En rgime lastique, la vitesse de dformation plastique est bien entendu nulle, la vitesse de dformation lastique devenant son tour nulle pendant lcoulement plastique. Ceci implique que lexpression de la vitesse de dformation plastique ne peut pas se faire laide de la contrainte. Cest au contraire la vitesse de dformation qui doit tre choisie comme pilote. Le modle est sans crouissage, puisque le niveau de contrainte ne varie plus au sortir du domaine dlasticit. Il ny a donc pas dnergie stocke au cours de la dformation, la dissipation en chaleur est donc gale la puissance plastique. Le modle est susceptible datteindre des dformations innies sous charge constante, conduisant la ruine du systme par dformation excessive.

coulement plastique si :

f

0

p

dcharge lastique si

:

f

0

et f 0 et f 0

e

E

domaine dlasticit si :

f

0

f

c.

d.

y

(2.50)

e

E

Concepts gnraux

25

Modle de Prager Lassociation en parallle de la gure 2.3b correspond au comportement illustr en gure 2.3d. Dans ce cas, lcrouissage est linaire. Il est dit cinmatique, car dpendant de la valeur actuelle de la dformation plastique. Sous cette forme, le modle est rigideplastique. Il devient lastoplastique si lon rajoute un ressort en srie. La forme de la courbe dans le plan p est due au fait que, lors de lcoulement plastique, la contrainte qui stablit dans le ressort vaut X H p . Par ailleurs, cet coulement ne se produit que si la valeur absolue de la contrainte dans le patin, soit H p , est gale y . Pour une dformation donne, cette contrainte X est une contrainte interne qui caractrise le nouvel tat neutre du matriau. Ce deuxime exemple offre loccasion dcrire un modle plus complet que prcdemment. La fonction de charge dpend maintenant de la contrainte applique et de la contrainte interne. Elle scrit :

Do :

Dans ce cas, la contrainte volue au cours de lcoulement plastique, si bien quelle peut servir de variable de contrle. Mais il est aussi toujours possible dexprimer la vitesse dcoulement plastique en fonction de la vitesse de dformation totale, en utilisant la dcomposition de la dformation combine avec lexpression de la vitesse de dformation plastique, le cas o H 0 redonnant bien entendu le cas du matriau parfaitement plastique : E p (2.55) E H Il est remarquable de noter que le calcul de lnergie dissipe au cours dun cycle produit exactement le mme rsultat que pour le premier montage, ce qui indique que, pour ce type de comportement, une partie de lnergie est temporairement stocke dans le matriau (ici, dans le ressort), et entirement restitue la dcharge. Ceci donne une illustration physique de la notion dcrouissage renversable, alors que les rgles dcrouissage cinmatique nonlinaire considres plus loin seront accompagnes dune dissipation dnergie (paragraphe 3.7.2).

signe X signe X X et nalement : p H X,

f

f X X

0

(2.52)

0

(2.53) (2.54)

Il ny aura prsence dcoulement plastique que si on vrie la fois f Ceci conduit la condition suivante :

f X

X

y

(2.51) 0 et f 0.

26

Mcanique non linaire des matriaux

criture gnrale des quations de llastoplasticit uniaxiale Dans le cas gnral, les conditions de chargedcharge sexpriment donc : f Ai et f Ai et f Ai E E

Dans le cas gnral, le module H dpend de la dformation et/ou des variables dcrouissage. La valeur du module plastique au point ( Ai ) sobtient en crivant que le point reprsentatif du chargement reste sur la limite du domaine dlasticit au cours de lcoulement. Lquation qui en dcoule sappelle la condition de cohrence :

Ce formalisme peut paratre un peu lourd dans le cadre dun chargement uniaxial, mais il est utile de le mettre en place, car ce sont les mmes outils qui seront ensuite utiliss dans le cas plus complexe des chargements multiaxiaux. Dans les deux exemples qui ont t dcrits, le domaine dlasticit est soit xe, soit mobile, sa taille tant conserve. Le premier cas ne ncessite bien entendu aucune variable dcrouissage, le second fait intervenir une variable X qui dpend de la valeur actuelle de la dformation plastique. Cette variable deviendra tensorielle dans le cas gnral. Le type dcrouissage correspondant sappelle crouissage cinmatique (gure 2.4b). Dans le cas particulier illustr par le modle rhologique, lvolution de la variable X est linaire en fonction de la dformation plastique, cest le modle dcrouissage cinmatique linaire (Prager, 1958). Une autre volution lmentaire que peut subir le domaine dlasticit est lexpansion. Cet autre cas (gure 2.4a) correspond un matriau dont le domaine dlasticit voit sa taille augmenter, mais qui reste centr sur lorigine : il sagit dun crouissage isotrope (Taylor et Quinney, 1931). La variable dcrouissage qui intervient dans f est la dimension du domaine dlasticit, note R :

Lvolution de cette variable est la mme quel que soit le signe de la vitesse de dformation plastique. Elle sexprimera donc en fonction de la dformation plastique cumule, p, variable dont la drive est gale la valeur absolue de la vitesse de la dformation plastique : p p . Bien entendu, il ny a pas de diffrence entre p et p tant que le chargement est monotone croissant. Dans ce cas, vrier la condition de cohrence revient tout simplement exprimer que la valeur actuelle de la contrainte est sur la frontire du domaine dlasticit. Pour lcrouissage cinmatique, cela scrit X y , et pour lcrouissage isotrope R y . Cela signie donc que cest la loi dvolution de la variable dcrouissage qui dtermine exactement la forme de la courbe de traction. Les deux modles rhologiques invoqus donnent des courbes linaires, avec des modules plastiques nul ou constant. Il est souvent plus raliste de

f X R

f Ai

0

(2.56)

R

y

(2.57)

coulement plastique si :

0

0

f Ai

dcharge lastique si

:

0

0

p

domaine dlasticit si :

f Ai

0

E

Concepts gnraux

27

considrer une courbe qui se sature en fonction de la dformation, soit par exemple une fonction puissance (loi de RambergOsgood, avec deux coefcients matriaux K et m) ou une exponentielle, cette dernire formulation offrant lavantage dintroduire une contrainte ultime u supportable par le matriau (deux coefcients matriau, u et b en plus de y ) :

Dans bien des cas, les utilisateurs ne prennent pas la peine de dnir une forme explicite de la loi de comportement, et dcrivent la courbe de traction point par point. Cela revient implicitement considrer un crouissage isotrope. Ce type dcrouissage est prdominant pour les dformations importantes (au del de 10%). Cependant, lcrouissage cinmatique continue de jouer un rle important lors de dcharges, mme pour les grandes dformations, et cest lui qui est prpondrant pour les faibles dformations et les chargements cycliques. Il permet en particulier de simuler correctement leffet Bauschinger, cestdire le fait que la contrainte dlasticit en compression dcrot par rapport la contrainte initiale la suite dun prcrouissage en traction. Il est nanmoins moins souvent utilis que lcrouissage isotrope, car son traitement numrique est plus dlicat. y y y X y y p

R

p y

R

a. Isotrope

b. Cinmatique

Figure 2.4. Illustration des deux principaux types dcrouissage

2.4.3. Viscolasticit uniaxiale Un exemple de modle rhologique Le modle de Maxwell regroupe un amortisseur et un ressort en srie (gure 2.5a), celui de Voigt un amortisseur et un ressort en parallle (gure 2.5b). Leurs quations

y u

K p m y u exp

b p

(2.58) (2.59)

28

Mcanique non linaire des matriaux

(H) () (E0 ) () a. Maxwell 0 E0 0 H

b. Voigt

Maxwell

E0 0

Voigt t c. Fluage

Maxwell

t

d. Relaxation

Figure 2.5. Fonctionnement des modles de Maxwell et Voigt

respectives sont : Maxwell :

La particularit du modle de Voigt est de ne pas prsenter dlasticit instantane. Ceci entrane que sa fonction de relaxation nest pas continue et drivable par morceaux, avec un saut ni lorigine : lapplication dun saut de dformation en t 0 produit une contrainte innie. Ce modle nest donc pas utilisable en relaxation, sauf si la mise en charge est progressive, et sera pour cette raison associ un ressort en srie pour effectuer des calculs de structure (modle de KelvinVoigt du paragraphe suivant). Sous leffet dune contrainte 0 constante en fonction du temps, la dformation tend vers la valeur asymptotique 0 H, le uage est donc limit (gure 2.5c). Par ailleurs, si, aprs une mise en charge lente, la dformation est xe une valeur 0 , la contrainte asymptotique sera H 0 . Il ny a donc pas dans ce dernier cas disparition complte de la contrainte. Au contraire, dans le cas du modle de Maxwell, la vitesse de uage est constante (gure 2.5c), et la disparition de contrainte au cours dune exprience de relaxation est totale (gure 2.5d). Dans le cas de modles et de chargement aussi simples, la rponse est obtenue instantanment par intgration directe des quations diffrentielles. Les formules ob-

Voigt :

H

E0

; ou encore :

(2.60) H (2.61)

Concepts gnraux

29

(H) (E0 ) () (E2 )

(E1 )

()

a. KelvinVoigt

b. Zener

Figure 2.6. Exemple de modles composs.

tenues sont respectivement, pour le modle de Maxwell :

et pour le modle de Voigt :

Les constantes E0 et H sont homognes un temps, dsignant le temps de relaxation du modle de Maxwell.

2.4.4. tude dun modle compos Le modle de KelvinVoigt (gure 2.6a) prsente respectivement les rponses suivantes, pour t 0, en uage sous une contrainte 0 , en posant f H, et en relaxation pour une dformation 0 , en posant r H E0 :

Le temps caractristique en relaxation, r , est plus court que le temps correspondant en uage, f . Le matriau volue donc plus vite vers son tat asymptotique en relaxation quen uage. Le modle de Zener (gure 2.6b) peut se ramener au modle de KelvinVoigt, laide du double changement de variable 1 E1 1 E0 1 H, et E2 E0 H, ce qui prouve que les deux modles sont en fait identiques. La mme observation peut tre faite en uage. Ce modle correspond au comportement du bton. Les modles indiqus peuvent tre encore amliors :

t

E t 0

t

C t 0

1 1 1 exp t f 0 E0 H H E0 exp t r E0 0 H E0 H E0

uage sous une contrainte 0 :

0 H 1

exp t

uage sous une contrainte 0 : relaxation la dformation 0 :

0 E0 0 t E0 0 exp t

(2.62) (2.63)

(2.64)

(2.65) (2.66)

30

Mcanique non linaire des matriaux

le modle de KelvinVoigt gnralis est obtenu en ajoutant en srie dautres modules amortisseur-ressort (H ) dans le cas du premier modle ; ce modle reprsente en gnral correctement le comportement des polymres fortement rticuls ; le modle de Maxwell gnralis est obtenu en ajoutant en parallle dautres modules amortisseur-ressort (E2 ) au second modle ; ce modle reprsente qualitativement le comportement des polymres thermoplastiques.

2.4.5. Viscoplasticit uniaxiale Un exemple de modle rhologique (H) () y (y ) vp b. Comportement en traction

(E)

a. Schma du modle

Figure 2.7. Modle de Bingham gnralis

La gure 2.7a indique comment, en rajoutant un simple amortisseur, il est possible de passer trs simplement dun modle ayant un comportement plastique indpendant du temps un modle viscoplastique : le modle obtenu est le modle de Bingham gnralis. On retrouverait loriginal de ce modle en enlevant le ressort en srie (E , pas dlasticit instantane, on obtient alors un modle rigide viscoplastique, et en supprimant le ressort en parallle, H 0, pas dcrouissage). La dformation lastique se lit aux bornes du ressort de caractristique E, la dformation viscoplastique, que lon nommera vp , aux bornes de lassemblage en parallle. La dtermination des quations de ce modle seffectue en considrant les quations de comportement individuelles de chacun des lments :

o X, v et p sont respectivement les contraintes dans le ressort de caractristique H, dans lamortisseur et dans le patin, et : X

Il y a donc comme pour le modle plastique un domaine dlasticit, dont la frontire est atteinte lorsque p y . On distingue alors trois rgimes de fonctionnement,

X

Hvp

v

vp

p

v

p

y

(2.67)

(2.68)

Concepts gnraux

31

selon que la vitesse de dformation viscoplastique est nulle, positive ou ngative : p p

Le cas a correspond lintrieur du domaine dlasticit ( p y ) ou un tat de dcharge lastique ( p y et p 0), les deux autres cas de lcoulement ( p y et p 0 ). En posant x max x 0), les trois cas peuvent se rsumer par une seule expression :

ou encore :

X

avec

La nature du modle a maintenant compltement chang, puisque le point reprsentatif de ltat de contrainte courant peut se trouver dans la zone f 0, et que la vitesse dcoulement est maintenant rgie par le temps : elle peut tre non nulle sans quil y ait dincrment de contrainte ou de dformation. Ceci explique quen gure 2.7b la courbe de traction ne soit plus unique (plus la vitesse est grande, plus la contrainte visqueuse v sera leve, et plus la courbe de traction sera haute), et que, lors dune dcharge, le point de fonctionnement ne pntre pas immdiatement dans le domaine dlasticit (on peut donc avoir un coulement positif contrainte dcroissante). Par ailleurs, il est possible de simuler des expriences de uage ou de relaxation. En uage (gure 2.8), en supposant quon applique un chelon de contrainte (de 0 o y ) partir dun tat de rfrence o toutes les dformations sont nulles, le modle prvoit que la dformation viscoplastique est une exponentielle en fonction du temps t, avec un temps caractristique f H (gure 2.8a) : H 1 exp

La gure 2.8b montre, dans le plan contraintedformation viscoplastique, les volutions respectives de la contrainte interne X et du seuil X y . Lorsque ce dernier rejoint la contrainte applique o , la vitesse de dformation viscoplastique sannule. En relaxation, la rponse un chelon de dformation (de 0 o tel que Eo y ) fait cette fois intervenir un temps caractristique de relaxation r E H : E H 1 exp H E exp

La gure 2.9a montre le trajet parcouru par le point reprsentatif de ltat de contrainte au cours de la relaxation (pente E puisque vp E 0). La gure 2.9b reprsente

y

E

t r

Eo E H

t r

vp

o

y

vp

signe

f X

f

t f

X

vp

y signe

X

X

b c

0 0

H Hvp

vp

vp vp

a

0

vp vp vp

p

Hvp

y y y

(2.69) (2.70) (2.71)

(2.72)

y

(2.73)

(2.74)

(2.75)

32

Mcanique non linaire des matriaux

vp H

quant elle le trajet caractristique au cours dune exprience deffacement, ou encore de recouvrance. En fonction du niveau de chargement initial, on peut rencontrer aprs dcharge une vitesse dcoulement ngative ou nulle, mais en aucun cas on ne pourra ramener la dformation viscoplastique zro, sauf dans le cas particulier o la contrainte y est nulle. Il ny a alors plus de seuil initial, et on conoit bien quil nest plus ncessaire dans ce cas de dnir une dcomposition de la dformation : on retrouve dailleurs le modle de KelvinVoigt, donc une approche viscolastique. A

y vp

Figure 2.9. Fonctionnement du modle de Bingham dformation impose

Quelques modles classiques en viscoplasticit Dans lexemple prcdent, la vitesse de dformation viscoplastique est proportionnelle une certaine contrainte efcace, diffrence entre la contrainte applique et le seuil, qui reprsente la distance entre le point de fonctionnement actuel et la frontire du domaine dlasticit, qui nest rien dautre que la valeur de la fonction f au point de fonctionnement courant. La relation linaire peut tre remplace par une forme

0

y

0 y y X t a.Figure 2.8. Fluage avec le modle de Bingham

vp b.

E H y O D a. C b. B

OA : transitoire AB : relaxation BC : dcharge CD : effacement incomplet vp

Concepts gnraux

33

plus gnrale, en introduisant une fonction de viscosit, , qui fournit alors en traction simple : (2.76) vp f Pour un modle qui comporterait la fois de lcrouissage isotrope et cinmatique, cette relation sinverse sous la forme suivante, toujours en traction simple :

La courbe de traction est dtermine par lvolution du seuil, exactement comme dans le cas dun modle de plasticit (au travers de X et R), mais galement par la fonction de viscosit, qui pilote la valeur de la contrainte visqueuse v . Pour des raisons physiques videntes, on considre que 0 0, et on suppose galement que est une fonction monotone croissante. Dans le cas o v sannule, le modle reproduit un comportement plastique indpendant du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitation augmente, et plus la contrainte atteinte pour une dformation donne sera leve. Dans le cadre dun modle viscoplastique, il y a donc deux possibilits pour introduire de lcrouissage. On conserve les possibilits daction sur des variables de type X et R, et on peut galement jouer sur la forme de la contrainte visqueuse. On appelle classiquement modles crouissage additif ceux qui jouent sur les variables de type plasticit et modles crouissage multiplicatif ceux qui jouent sur la contrainte visqueuse, une approche o les deux mcanismes sont prsents tant bien entendu galement envisageable. Par ailleurs, contrairement au cas de la plasticit, on peut ici considrer un modle dans lequel le domaine dlasticit se rduit lorigine ( 0), et qui ne possde pas dcrouissage. Ainsi le modle le plus courant estil le modle de Norton (avec deux coefcients matriau K et n) :

On peut le gnraliser pour en faire un modle seuil sans crouissage, ou rintroduire X et R aux cts de y , ce qui conduit un modle crouissage additif ([LEM 85b]).

Il y a galement une grande libert pour choisir dautres formes que la fonction puissance, ainsi un sinus hyperbolique dans le modle de Sellars et Teggart (loi sans crouissage, coefcients A et K) :

vp

A sinh

signe

K

K

vp

signe

X

K

R

y

n

vp

signe

y

n

vp

signe

K

n

(2.78)

(2.79) X (2.80)

(2.81)

X

R

X R

y

1

vp

y

v

(2.77)

34

Mcanique non linaire des matriaux

Pour obtenir des lois crouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction ne dpend pas uniquement de f , ainsi la loi de Lemaitre (coefcients matriau K, m et n positifs) :

2.4.6. Inuence de la temprature Tous les coefcients caractristiques qui ont t dnis cidessus sont susceptibles de dpendre de la temprature. Les dpendances se dnissent en gnral par des tables, aprs examen du comportement isotherme. Dans certains cas, lorsque les mcanismes physiques sont bien dnis, il est possible de prciser explicitement linuence de la temprature. La loi la plus couramment utilise pour cela est la loi dArrhenius. Elle est valide en uage. Elle introduit une nergie dactivation thermique Q, et R, constante des gaz parfaits (le rapport Q R est homogne une temprature), et indique que plus la temprature est leve pour une charge donne, plus la vitesse de dformation est grande : (2.83) vp o exp Q RT Ceci permet de construire des quivalences tempstemprature, et, en menant en laboratoire des essais temprature plus leve que la temprature de fonctionnement vise dans les applications, dobtenir en un temps limit des informations sur le comportement long terme. Cette approche doit bien entendu tre manipule avec prcaution dans le cas de matriaux vieillissants, et elle ne peut tre tendue de trop grandes plages de temprature.

2.4.7. Rsum Les quations trs gnrales qui ont t crites pour le moment mettent en vidence la nature des modles de viscolasticit, de plasticit et de viscoplasticit. Ces deux derniers ont en commun lexistence dun domaine dlasticit (ventuellement rduit lorigine pour le modle viscoplastique) et de variables dcrouissage. Par contre, il faut aussi retenir que lcoulement plastique est instantan, alors que lcoulement viscoplastique est retard :

Ceci aura des consquences importantes pour lcriture du comportement lasto(visco)-plastique tangent. On na vu pour le moment que des formes trs naves dcrouissage. Les formes ralistes seront abordes plus loin, an de les considrer directement dans le cas tridimensionnel.

d p

g

d ; dvp

g

p

avec

p

dt

vp

n m

signe

K

n

vp

(2.82)

(2.84)

Concepts gnraux

35

2.5. Critres La description des modles utiliser sous chargement uniaxial qui a t faite dans le chapitre prcdent a mis en vidence un domaine dlasticit, dans lespace des contraintes et des variables dcrouissage, pour lequel il ny a pas dcoulement plastique ou viscoplastique. La trace de ce domaine sur laxe de la contrainte se limite un segment de droite, qui peut subir une translation ou une extension (il peut mme parfois se limiter un point). Par ailleurs certains modles sont capables de reprsenter une contrainte maximale supportable par le matriau. An de pouvoir aborder ltude des chargements multiaxiaux, il est ncessaire de se donner les moyens de dnir de telles limites en tridimensionnel. On passe donc en revue les outils disponibles pour crire ces modles dans le cas de milieux continus, enn on montre les principales classes de critres. De mme que pour les lois dcoulement qui ont t cites prcdemment, le choix de tel ou tel critre va dpendre du matriau tudi.

2.5.1. Les outils disponibles Le cas du chargement uniaxial tudi jusqu prsent fait apparatre un domaine dlasticit au travers de deux valeurs de contrainte, lune en traction, lautre en compression, pour lesquelles se produit lcoulement plastique. Ainsi dans le cas du modle de Prager, le domaine dlasticit initial est le segment y y , et sa position pour une dformation plastique p est y X y X , avec X H p . Il est dcrit par la fonction de charge (dnie de 2 dans ), f : X f X . Pour dnir ce mme domaine en prsence de chargements multiaxiaux, la fonction f devient une fonction du tenseur de contrainte, et du tenseur X H p , (de 12 dans ) telle que si f X 0, ltat de contraintes est lastique, si f X 0, le point de fonctionnement est sur la frontire, la condition f X 0 dnissant lextrieur du domaine. Dans le cas gnral, lensemble de dpart contiendra les contraintes et toutes les variables dcrouissage, scalaires ou tensorielles, il faut donc dnir f Ai . On va dans un premier temps limiter la prsentation la dnition du domaine dlasticit initial, pour lequel on supposera que les variables Ai sont nulles, si bien quon se contentera dcrire les restrictions des fonctions f dans lespace des contraintes. Lexprience montre que, pour la plupart des matriaux, le domaine dlasticit initial est convexe (cest en particulier vrai pour les mtaux qui se dforment par glissement cristallographique). La fonction de charge doit donc ellemme tre convexe en , ce qui implique, pour tout rel compris entre 0 et 1, et pour un couple ( 1 , 2 ) quelconque de la frontire :

Comme dans le cas de ltude du tenseur dlasticit, il faut ici encore respecter les symtries matrielles. Ceci implique en particulier dans le cas dun matriau isotrope

f 1

1

2

f 1

1

f 2

(2.85)

36

Mcanique non linaire des matriaux

que f soit une fonction symtrique des seules contraintes principales, ou bien encore, ce qui est quivalent, des invariants du tenseur des contraintes dont la dnition provient du polynme caractristique :

Lexprience montre que la dformation plastique dun grand nombre de matriaux est indpendante de la pression hydrostatique. Ceci amne considrer comme variable critique faire gurer dans la dnition du critre non plus le tenseur de contraintes lui-mme, mais son dviateur s, dni en enlevant la pression hydrostatique, et ses invariants :

s

I1 3 I 0 1 3 si j s jk ski2

Il est commode, en vue de raliser les comparaisons avec les rsultats exprimentaux, de disposer dexpressions des critres dans lesquelles les valeurs de f sont homognes des contraintes, cest ce qui amne par exemple utiliser la place de J2 linvariant J, qui peut galement sexprimer en fonction des contraintes principales 1 , 2 , 3 , ou de la contrainte dans le cas dun tat de traction simple :

La valeur prcdente est rapprocher de celle de la contrainte de cisaillement octadral. Les plans octadraux sont ceux dont le vecteur normal est de type 1 1 1 dans lespace des contraintes principales. Il est ais de montrer que le vecteur contrainte valu sur le plan (1,1,1) partir des valeurs de 1 , 2 , 3 a pour composantes normale oct et tangentielle oct :

La valeur de J dnit donc le cisaillement dans les plans octadraux. Les remarques prcdentes indiquent que le plan de normale (1,1,1) va tre un plan privilgi pour la reprsentation des critres. En effet, tous les points reprsentant des tats de contrainte qui ne diffrent que par un tenseur sphrique (donc qui sont quivalents visvis dun critre qui ne fait pas intervenir la pression hydrostatique) sy projettent sur le mme point. La gure 2.10 montre ce plan, dans lequel les projections des axes principaux dterminent des angles de 2 3, et qui a comme quation 1 2 3 I1 3.

1 3 I1

;

oct

oct

2 3 J

J

3 2 si j s ji

1 2

(2.87)

1 2

1

2

2

2

3

2

J3

1 3 Tr s

3

J2

1 2 Tr s

J1

Tr s

1 2 si j s ji

3

I3

1 3 Tr

3

1 3 i j jk ki

I2

1 2 Tr

2

I1

Tr

ii 1 2 i j ji

1

2

1 2

(2.86)

Concepts gnraux

37

3dsigne les points qui peuvent se ramener de la traction simple, ceux qui peuvent se ramener la compression simple (par exemple un chargement biaxial, car un tat o les seules 2 est contraintes non nulles sont 1 quivalent 3 ), est un tat de cisaillement

1

2

Figure 2.10. Dnition du plan dviateur

2.5.2. Critres ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique Critre de von Mises Dans la mesure o la trace du tenseur des contraintes nintervient pas, le critre le plus simple est celui qui nutilise que le second invariant du dviateur des contraintes, ou encore J. Ceci correspond un ellipsode dans lespace des tenseurs s symtriques (expression quadratique des composantes si j , qui sont toutes quivalentes), soit, si y est la limite dlasticit en traction : J

Critre de Tresca Lexpression du critre de von Mises fait intervenir les cisaillements maximaux dans chaque plan principal, reprsents par les quantits (i j ). La spcicit du critre de Tresca est de ne retenir que le plus grand dentre eux. Le fait de rajouter une pression chaque terme de la diagonale ne modie pas, comme prvu, la valeur du critre. Contrairement au cas prcdent, cette expression ne dnit en gnral pas une surface rgulire (discontinuit de la normale, points anguleux) :i j

Comparaison des critres de Tresca et von Mises Comme il nest bien entendu pas question de se placer dans lespace des 6 (ou 9) composantes du tenseur des contraintes, il faut se rsoudre ne visualiser les frontires

f

max i

j

y

f

y

(2.88)

(2.89)

38

Mcanique non linaire des matriaux

du domaine dlasticit que dans des sousespaces deux ou trois dimensions. Les reprsentations les plus courantes seffectuent : dans le plan tractioncisaillement (gure 2.11a), lorsque seules les composantes 11 et 12 sont non nulles ; les expressions des critres se rduisent alors :

dans le plan des contraintes principales (1 2 ) (gure 2.11b), lorsque la troisime contrainte principale 3 est nulle :

dans le plan dviateur (gure 2.10), le critre de von Mises est reprsent par un cercle, ce qui est cohrent avec son interprtation par le cisaillement octadral, le critre de Tresca par un hexagone ; dans lespace des contraintes principales, chacun de ces critres est reprsent par un cylindre de gnratrice (1,1,1), qui sappuie sur les courbes dnies dans le plan dviateur. 12 m t y 2 y

a.

Figure 2.11. Comparaison des critres de Tresca (en pointills) et de von Mises (traits pleins), (a) En traction-cisaillement (von Mises : m y 3, Tresca : t y 2), (b) En traction biaxiale

11 y

y

y b.

y

f 1 2

1 2 y si 2 0 (symtrie par rapport laxe 1 2 )

Tresca :

f 1 2 f 1 2

2 1

y y

von Mises :

si si

f 1 2

2 1

2 2

1 2

1 2

Tresca :

4

f

2

2 1 2

von Mises :

f

2

32

1 2

y y

y 0 0 1 2 2 1 1

1

Concepts gnraux

39

2.5.3. Critres faisant intervenir la pression hydrostatique Ces critres sont ncessaires pour reprsenter la dformation plastique des matriaux pulvrulents, des sols ou en prsence dendommagement du matriau. Ils expriment le fait quune contrainte hydrostatique de compression rend plus difcile la dformation plastique. Une des consquences de leur formulation est quils introduisent une dissymtrie tractioncompression. Cette section montre quelques exemples, certains dentre eux tant dtaills dans le paragraphe 3.11.

Critre de DruckerPrager Cest une extension du critre de von Mises, combinaison linaire du deuxime invariant du dviateur et de la trace du tenseur des contraintes. Cest toujours un cercle dans le plan dviateur, mais qui dpend de laltitude sur la trissectrice des axes 1 2 3 de contraintes principales (gure 2.12a) :

La limite dlasticit en traction reste y , et la limite dlasticit en compression est y 1 2 . Le coefcient dpend du matriau, il est bien entendu compris entre 0 et 1/2, et on retrouve le critre de von Mises pour 0 (gure 2.12b). 3 y 2 f 1 a.

0 y

Figure 2.12. Reprsentation du critre de DruckerPrager, (a) dans lespace des contraintes principales, (b) dans le plan I1 J.

Le critre de MohrCoulomb Il est apparent au critre de Tresca, faisant intervenir comme lui le cisaillement maximal, mais en mme temps la contrainte moyenne, reprsente par le centre du cercle de Mohr correspondant au cisaillement maximum, soit :

f

1

3

1

3 sin

2C cos

(avec 3

2

1 )

J

f

y I1 1

(2.90)

J y 1 I1 b.

(2.91)

40

Mcanique non linaire des matriaux

Ce critre est soustendu par la notion de frottement, et suppose que le cisaillement maximal que peut subir le matriau (Tt en gure 2.13a) est dautant plus grand que la contrainte normale de compression est leve. La limite admissible constitue une courbe intrinsque dans le plan de Mohr. La formule nonce cidessus est obtenue avec une rgle de frottement linaire :

La constante C est la cohsion, correspondant la contrainte de cisaillement qui peut tre supporte par le matriau sous contrainte moyenne nulle. Langle dsigne le frottement interne du matriau. Si C est nul et non nul, le matriau est dit pulvrulent. Si est nul et C non nul, comme dans le cas du critre de Tresca, le matriau est purement cohrent. Le critre peut galement sexprimer sous la forme suivante, en fonction de la pousse K p et de la limite dlasticit en compression, R p :

Dans le plan dviateur (gure 2.13b) on obtient un hexagone irrgulier, caractris 1 3 I1) : par les valeurs suivantes (avec p

Tt

3 c

f

0 a.

Tn

1

t

Figure 2.13. Reprsentation du critre de Mohr-Coulomb, (a) dans le plan de Mohr, (b) dans le plan dviateur

Critres ferms Les deux critres prcdents prvoient que le matriau devient inniment rsistant en compression triaxiale. Ce comportement nest en gnral pas vri sur les matriaux rels qui sont sensibles la pression hydrostatique. Pour permettre de simuler

2 6

p sin

3

c

C cos

sin

p sin

3

t

2 6 C cos

sin

avec K p

f

K p 1 3 1 sin 1 sin

Tt

Rp Rp 2C cos 1 sin

tan Tn

C

(2.92)

(2.93) (2.94)

(2.95) (2.96)

2 b.

Concepts gnraux

41

par exemple des oprations de compaction, on a recours des modles ferms, dans lesquels on dnit la courbe limite en deux parties, le raccord seffectuant pour une valeur critique ngative de la pression hydrostatique. On retiendra par exemple le cap model, qui ferme par une ellipse le critre de DruckerPrager, ou le modle de Cam clay (utilis pour les argiles), dont la courbe limite est dnie par deux ellipses dans le plan (I1 J).

2.5.4. Critres anisotropes Lorsquon mesure exprimentalement la surface de charge sur un matriau mtallique, on constate quen prsence de dformations inlastiques, elle subit une expansion, une translation, et une distorsion. Les deux premires modications sont reprsentes par les crouissages isotropes et cinmatiques, mais la dernire nest pas prise en compte par les modles courants, dautant que la forme volue au cours de la dformation sous chargement complexe : on est l en prsence danisotropie induite. Il existe par ailleurs des matriaux fondamentalement anisotropes par fabrication, matriaux composites bres longues par exemple. Les modles de matriaux htrognes permettent de tenir compte naturellement de certaines anisotropies, mais ils restent dun emploi dlicat, et on ne peut pas actuellement envisager de traiter dans un cadre industriel le cas de lanisotropie la plus complexe. Il existe nanmoins de nombreuses possibilits dextension des critres isotropes la description de matriaux anisotropes. La voie la plus gnrale, mais qui nest pas rellement oprationnelle, consiste considrer que le critre est une fonction des composantes du tenseur des contraintes dans une base donne. La forme choisie doit tre intrinsque, ce qui impose que le rsultat obtenu soit invariant par changement de repre. Un guide pour construire ce type de modle est fourni par les thories des invariants (voir par exemple [BOE 78]). La solution la plus gnralement adopte gnralise le critre de von Mises, en utilisant la place de J lexpression :

qui fait intervenir le tenseur du quatrime ordre B. Choisir pour B le tenseur J tel que s J : (s dviateur associ ) redonne bien entendu le critre de von Mises. Comme pour le cas de llasticit, on peut rduire le nombre de composantes libres du tenseur B par des considrations de symtrie. En plus des conditions habituelles sur les composantes Bi jkl Bi jlk B jikl Bkli j , il faut tenir compte du fait que B j jkl 0 si lon veut encore assurer lincompressibilit plastique (la vitesse de dformation plastique est porte par la direction B : ). Il reste donc 15 coefcients libres (comme une matrice 5 5 symtrique). Si le matriau admet 3 plans de symtrie perpendiculaires, les termes de couplage entre composantes axiales et composantes de cisaillement (tels B1112 ) sont nuls, et il ne reste que 6 composantes, lorsque le tenseur est exprim dans

JB

:B:

1 2

(2.97)

42

Mcanique non linaire des matriaux

le repre correspondant. On retrouve alors lexpression classique :

En reprsentant le tenseur dordre 4 comme une matrice 6x6, les termes de B scrivent dans ce cas particulier :

Une manipulation simple permet de vrier que le mme critre sexprime galement en fonction des composantes du tenseur dviateur associ , JB s:B :

Lisotropie transverse autour de laxe 3 ne laisse subsister que 3 coefcients indpendants, car on a alors F G, L M, N F 2H. Lisotropie complte implique de plus F H, L N, N 3F, ce qui redonne le tenseur J signal plus haut et linvariant de von Mises. Si on veut de plus reprsenter la dissymtrie entre traction et compression, il faut avoir recours une expression qui rintroduit une forme linaire, telle celle du critre de Tsa :

De mme quil existe une voie de gnralisation pour les critres exprims en terme dinvariants, il existe des rsultats pour ceux qui sont exprims en termes de contraintes principales. Un cas trs courant en gotechnique est celui des matriaux isotropes transverses, dont le critre peut scrire en fonction des contraintes normales principales et de N et T , qui sont respectivement les contraintes normales et tangentielles sur une facette perpendiculaire laxe de schistosit (cestdire une facette parallle au plan isotrope de schistosit), dni par le vecteur norm n.

N

T

nn ;

n

2

N2

1 2

f

fH

Q 22

33

P 11

33

F

2H

2F

H

2F

G 0 0 0 0 0

2H

0 2G 0 0 0 0

0 0 2G 0 0 0

0 0 0 0 0 0 2L 0 0 2M 0 0

0 0 0 0 0 2N

s

o les composantes de B scrivent :

1 2,

(2.100)

(2.101)

(2.102)

G

F

H F H 0 0 0

F F G 0 0 0

H 0 0 G 0 0 H G 0 0 0 2L 0 0 0 2M 0 0 0

0 0 0 0 0 2N

(2.99)

2L2 12

2M2 23

2N2 ) 13

1 2

y

fH

f

(F 11 22

2

G 22

33

2

H 33

11

2

(2.98)

Concepts gnraux

43

Ainsi le critre de Coulomb pour les matriaux isotropes transverses scrit :

et o dsigne langle de frottement dans le plan de schistosit, C la cohsion, langle de frottement pour le glissement dune lame par rapport lautre, C la cohsion.

2.6. Mthodes numriques de rsolution des systmes dquations nonlinaires On prsente ici les mthodes gnrales de rsolution de systmes dquations non linaires se mettant sous la forme :

R

U

0

(2.105)

o R est dpendant de U On se trouve dans le cas linaire quand R U se met sous la forme K U A o K est indpendant de U . Il est noter quune quation crite sous la forme R U A peut se rcrire sous la forme gnrale de lquation 2.105. Dans le cadre de la mthode des lments nis, ces mthodes de rsolution seront employes la fois lors de la rsolution du problme global et lors de lintgration des lois de comportement (problme local).

2.6.1. Mthodes de type Newton/Newton modi La mthode de Newton est itrative et consiste linariser lquation prcdente (k : numro ditration) :k k

ou

On obtient aprs rsolution du systme linaris (gure 2.14a) :

U

k 1

U

k

K

k

Ki j U

Ri U j

K

U

On notera :

R U

1

U

U k

R

k

R

U

R

U

R U

U

U

(2.106)

(2.107)

(2.108)

(2.109)

max K p maxi 1 sin Kp 1 sin

mini Rc T 2C cos Rc 1 sin

N tan

C

f

(2.103) (2.104)

44

Mcanique non linaire des matriaux

fonction itrations

fonction itrations

(a)

(b)

Figure 2.14. (a) Mthode de Newton, (b) Mthode de Newton modie.

Dans le cas de systmes comportant un grand nombre de variables, le cot du calcul de K 1 peut devenir trs important devant le cot du calcul de R U et du produit K 1 R k , de sorte que lon prfre se contenter de la matrice inverse obtenue pour la premire itration et de poursuivre les itrations sans recalculer cette matrice (voir gure 2.14b). Dans ce cas, la convergence est moins rapide en termes de nombre ditrations mais peut tre plus rapide en termes de temps de calcul. On a alors :

Il est possible dutiliser dautres variantes de la mthode de Newton modie. Ainsi, en inversant la matrice K lors des deux premiers incrments, puis en la gardant constante, on obtient : U U U U U K

2

1

K

1

Dans le cas o lon ralise un certain nombre dincrments pour lesquels il faut rsoudre un systme nonlinaire (comme dans le cas de la mthode des lments nis) on peut garder la matrice K 1 calcule au premier incrment. Il est toutefois clair que cette solution ne pourra pas sappliquer dans le cas de contacts, de grandes transformations, etc.

k 1

U

k

K

1

1

0

0 1

1

U

k 1

U

k

K

0

1

R

k

(2.110)

1

R R

0 1

(2.111)

R

k

U

U

R

0

R

R

R

U

U

0

Concepts gnraux

45

2.6.2. Cas une inconnue, ordre de convergence Mthode du point xe Il sagit ici de rsoudre lquation

o x est un scalaire. Une premire mthode consiste transformer cette quation sous la forme (2.113) x g x dont la solution est appele point xe. On obtient la solution de manire itrative en choisissant une valeur initiale x0 :1

Soit s la solution de x g x . Sil existe un intervalle autour de s tel que g K 1 alors la srie xn converge vers s. Pour prouver cette proposition, on remarque tout dabord quil existe toujours t vriant t x s tel que (thorme des acroissements nis) g x g s g t x s (2.115)

1

Ordre dune mthode itrative On note n lerreur sur xn En ralisant un dveloppement limit de xn1

On obtient alors1

1

1

xn

gs

xn

s

n

g s n

gs

g s n

1 g s 2 n 2

1 g s 2 n 2

xn

g xn

gs

g s xn

s

xn

s

Comme K

1, limn

xn

s

0.

n1

on obtient 1 g s xn 2 s2

xn

s

g xn

g s

Comme g s

s et xn

g xn

1

, on obtient :

g t K xn

xnn

1

s

1

s

K x0

s

(2.116)

(2.117)

(2.118)

(2.119)

xn

g xn

f x

0

(2.112)

(2.114)

46

Mcanique non linaire des matriaux

Lordre dune mthode itrative donne une mesure de sa vitesse de convergence. A lordre 1 on obtient n 1 g s n (2.120) et lordre 21

Application la mthode de Newton Dans le cas de la mthode de Newton, on ralise un dveloppement limit autour de xn pour trouver xn 1 :1 1

Ceci nous ramne la mthode du point xe avec

La mthode de Newton est donc dordre 2. En outre, il existe un intervalle autour de s tel que g s 1. La mthode de Newton converge toujours pour une valeur initiale x0 sufsamment proche de la solution.

Application la mthode de Newton modie Dans le cas de la mthode de Newton modie, on rcrit lquation 2.122 sous la forme f xn 1 f xn xn 1 xn K 0 (2.128) o K est une constante. On a donc1

xn

xn

f xn K

g s

On remarque que

g x

2

0

f x f x

f x f x f x3

f x f x f x2

2

et

g x

f x f x f x2

On a

gx

x

f x f x

1

xn

xn

f xn f xn

Soit

f xn

f xn

xn

xn f xn

n

1 g s 2 n 2

(2.121)

0

(2.122)

(2.123)

(2.124)

(2.125)

(2.126)

(2.127)

(2.129)

Concepts gnraux

47

2.6.3. Mthode BFGS (BroydenFletcherGoldfarbShanno) Une alternative la mthode de Newton [BAT 82, MAT 79, PRE 88], consiste ractualiser linverse de la matrice K an dobtenir une approximation scante de la matrice de litration k 1 litration k. Si on dnit lincrment de linconnue U par : (2.133) k U k U k 1 et lincrment de lcart la solution :k

k

k 1

la matrice actualise K k doit vrierk

La mthode BFGS se divise en trois tapes :

1. Evaluation dun incrment du vecteur U :k 1

U donne la direction du vritable incrment.

2. Recherche dune solution dans la direction U sous la forme

o est un scalaire. est calcul pour minimiser le produit scalaire

On peut toutefois omettre cette tape et prendre k et k .

U

k

U

k 1

U

U

R

k

K

U

1 k 1

K

k

k

R

R

(2.134)

(2.135)

R

(2.136)

(2.137)

(2.138) 1. On peut alors calculer

K tant une drive value litration i, soit K aient mme signe, et que f s 2 K.

f xi , il faut donc que K et f s

1

1

f s K

Comme g s

f x (2.131) K 0, cette mthode est dordre 1. Elle converge pour K tel que :

g x

1

et

gx

x

1

f x K

soit

(2.130)

(2.132)

48

Mcanique non linaire des matriaux

3. Evaluation de la matrice corrige K ractualise se met sous la forme :

k

o A est une matrice ayant la forme suivante :k

o v

k

et w

k

sont des vecteurs calculs partir de quantits dj connues :

La direction U est obtenue par le produit :k 1 k 1

1

1

k 1

k 1

Il nest pas ncessaire de calculer K k 1 , il suft de multiplier R k 1 par I v k 1 w k 1 I v 1 w 1 , puis le rsultat par K 0 1 et de faire les multiplications dans le sens inverse I w 1 v 1 I w k 1 v k 1 pour obtenir U .

2.6.4. Mthode itrative. Gradient conjugu Cette mthode [LUE 84] a t dveloppe pour rsoudre des systmes de la forme :

La drivation de lquation prcdente donne :

o r est le rsidu ou gradient de lquation 2.144. La mthode utilise lapproximation suivante de la solution :i

i 1

i

i

i 1

U

U

d

r i i d i 1 U i i d i

K

V U

U

V

U

1 U 2

K

U

U

F

(2.144)

F

r

(2.145)

i r

i i d

(2.146)

I

v

w

I

v

w

R

k 1

1

I

w

v

I

w

v

1

U

w

k

k

k

k

k

K

k

k

1

1 k 1

v

K

k

k

1 k 1

Ak

I

v

w

k

1 2

k

K

1

AT K k

1 k 1

1

. Dans la mthode BFGS, la matrice

Ak

(2.139)

(2.140)

k

k

(2.141) (2.142)

K

1

0

(2.143)

Concepts gnraux

49

i

On a :i 1 i i 1 i

1

et

1

Le problme revient alors trouver i et i tels quei 1 i

i 1

i 1

On ai 1

i

1

i 1

En notant que par construction, on a ri 1 i 1

i correspond au coefcient de descente optimal. A partir de i , il est possible de calculer d i . En utilisant la relation r i 1 r i i K d i et lquation r i 1 d i 0, on obtient : d

i

ri

i

d

i

Ceci correspond une orthogonalisation, au sens du produit scalaire associ K du nouveau gradient par rapport la direction prcdente. Le principal avantage de la mthode du gradient conjugu est quil nest pas ncessaire de calculer la matrice K 1 . Le plus grand volume de calcul rside dans les produits matricevecteur. Les autres phases du calcul ne sont que de simples produits scalaires et combinaisons linaires de vecteurs. Dans un contexte lments nis, il nest pas ncessaire de stocker la matrice globale K mais il faut alors recalculer les matrices lmentaires chaque itration.

K

d

i

d

i 1

i

d

i 1

K r i K d i 1

Soit

i 1

i

i 1

r

d

i d

i

i

i 1

i

d

i 1

0, on obtient i d

K

r

r r

i K i K

r i d i

i d

0

F F

K K

U i i r U i i K

r

F

K

U

i 1

r

d

r

d

0 0

i i d i r i i d

i 1

i 1

i 1

i 1

r

V i

V U i

U i i

1

i d

i r

d

K

V i

V U i

U i i

1

U

F

V i

0

V i

0

(2.147)

d

r

d

0 (2.148)

0 (2.149)

(2.150) (2.151)

(2.152)

(2.153)

(2.154)

(2.155)

o d soit :

est la direction de recherche. On cherche i et i de sorte minimiser V

u ,

50

Mcanique non linaire des matriaux

Force

a.

b. Dplacement

c.

Figure 2.15. Types de rponse chargedplacement : (a) Charge croissante. Couple UF unique dans tous les cas. (b) Courbe charge dplacement avec charge limite. Plusieurs solutions en dplacement pour une charge donne. (c) Courbe charge dplacement avec rebroussement en dplacement. Plusieurs solutions en charge pour un dplacement donn.

2.6.5. Mthode de Riks Cette mthode [RIK 79], de par sa formulation, sapplique tout particulirement au cas de la mcanique.

Pilotage du problme Le mode de pilotage le plus naturel du problme lments nis consiste imposer les charges extrieures ( Fe ). Le systme rsoudre est alors de la forme :

Ce type de pilotage convient bien au cas o la charge est une fonction monotone du dplacement. Dans les cas o il existe une charge limite (plasticit) ou une instabilit de structure (cloquage dune plaque), la charge nest plus monotone et il faut piloter dplacement impos. Cela revient diminuer le nombre de degrs de libert du systme. Les ractions correspondant ces degrs de libert sont alors libres. Dans les cas o il existe un rebroussement sur la courbe forcedplacement (cloquage), il convient de raliser un pilotage mixte en dplacement et chargement. La gure 2.15 rsume les trois situations.

Fi

U

Fe

(2.156)

Concepts gnraux

51

Paramtrage de la rponse chargedplacement Lquation dquilibre est crite sous la forme

Fe est le vecteur des charges de rfrence et est connu. est le paramtre de charge. Il y a donc dsormais une inconnue de plus. Le trajet U peut tre paramtr par la longueur darc s telle que

Le vecteur tangent unitaire la courbe scrit : 1d U m ds 1 d m ds

t

avec

m

d U ds

La drivation de lquation dquilibre (quation 2.157) par rapport s donne :

UF

K

1

On a donc :

Longueur darc impose La technique de pilotage mixte longueur darc impose consiste raliser des incrments dans lespace U de sorte que lincrment ait une longueur donne s : U U 2 s 2 (2.163) En crivant d UF ds

lquation prcdente se reformule sous la forme :

d ds