Cours Automatique Lineaire

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AUTOMATIQUE ET RÉGULATION INDUSTRIELLE PROF. MOHAMED MASSOUR EL AOUD [email protected]

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  • AUTOMATIQUE ET RGULATION

    INDUSTRIELLE

    PROF. MOHAMED MASSOUR EL AOUD

    [email protected]

  • Prsentation 2

    Introduction lautomatique

    Modlisation et reprsentation des systmes

    linaires

    Schmas fonctionnels

    Rgulateur PID

    Analyse frquentielle

    Reprsentation et analyse des systmes

    multivariables

  • Introduction3

    Dfinition de lautomatique

    Automatique : ensemble des disciplines scientifiques et des techniques

    utilises pour la conception et lemploi des dispositifs qui fonctionnent

    sans lintervention dun oprateur humain.

    Notion de systme

    Le systme est un dispositif qui fonctionne en interaction avec son

    environnement gnrant un ensemble de phnomnes.

    Le mot Commande est en gnrale pris dans le sens de rgler ou

    contrler

    Un systme de commande est un assemblage de constituants branchs

    ou relis les uns au autres de telle sorte quil puisse se commander, se

    diriger ou bien commander un autre systme

  • Exemple de systme de commande4

    Rgulation des procds industrielsContrle / commande des machines / robotsSystmes avancs de rgulation dans le dveloppementdes produits technologiques de pointe (aronautique,

    spatial, etc.)

    Modlisation des systmes biologiques, conomiques dansla vie courante

    Automobile : rgulateurs de vitesse, de trajectoireAvions : rgulateurs dassietteSatellites : rgulation de position, dorientation, de vitesseTransports : tous les systmes autonomes (mtros, portes,etc.)

    Informatique : disques durs

  • Procd5

    Procd est un terme qui dsigne un ensemble dappareils

    destin obtenir un produit dtermin

    Lvolution du procd dpend dune ou plusieurs

    grandeurs incidentes

    ProcdGrandeurs

    incidentesGrandeurs

    matriser

  • Processus6

    Dfinition : Le mot processus vient du latin pro (au sens de vers l'avant ) et de cessus, cder (aller, marcher) ce qui signifie donc aller vers l'avant, avancer.

    Ensemble d'activits corrles ou interactives qui transforme des lments d'entre en lments de sortie

    Echange dinformations avec lutilisateur

    Echange

    dinformations avec lutilisateur

    Echange dinformations avec le systme(ressources, autres processus)

    Processus Rsultat

  • Grandeurs Entres sorties7

    Les signaux associs aux entres sont gnralement nots par la lettre U et les

    signaux associs aux sorties par la lettre Y.

    Les entres dun systme peuvent a priori tre modifies. Il peut galement exister des

    entres qui chappent au contrle et qui ne peuvent tre modifies. Elles sont appeles

    perturbations et sont notes D

    Schma dentre sortie:

  • Exemple : Serre agricole 8

  • 9 On appelle modle dun systme (ou processus) la loi

    qui relie lentre (cause) a la sortie (effet).

    On distingue deux rgimes dans le comportement des

    systmes :

    le rgime permanent ou tabli, caractrisant la rponse

    stabilise du systme a une entre quelconque,

    le rgime transitoire, caractrisant lvolution de la

    rponse avant que le rgime permanent ne soit atteint.

    Le rgime statique est le rgime permanent dans le cas ou

    lentre est constante.

  • 10

    Un systme est causal si sa sortie y(t) a un instant t0 ne

    dpend que des valeurs de son entre u(t) pour t t0

    Un systme a temps invariant a un modle identique tout

    instant (un retard t ne change pas la loi du modle) :

    Un systme est dit instantan si un instant donne sa

    sortie ne dpend que de lexcitation a cet instant :

    y(t) = a.u(t)

  • 11

    Un systme est linaire sil satisfait au principe de

    superposition :

    Ce cours traite des systmes causals, linaires et a temps

    invariant ; les S.L.T.I.

    Les systmes tudies sont analogiques, leurs signaux

    dentre et de sortie sont continus a la fois en temps et

    en amplitude.

    La relation qui lie leur entre et leur sortie est des lors

    une quation diffrentielle linaire a coefficients

    constants.

  • Systme statique12

  • Systme dynamique13

  • Caractristiques statiques d'un procd14

    La caractristique statique est la courbe reprsentative de

    la grandeur de sortie S en fonction de la grandeur

    d'entre E : S = f(E).

  • Gain statique15

    Si le systme est naturellement stable, le gain statique Gs

    est le rapport entre la variation de la grandeur de sortie

    s et la variation de la grandeur d'entre e.

  • Erreur statique16

    Si le systme est stable, l'erreur statique s est la diffrence entre la consigne w et la mesure x en rgime permanent, Es=W-X

  • Notion de boucle17

    Le principe en est dacqurir une information prsente sur les

    sorties et de lutiliser judicieusement pour modifier les entres.

    Exemple :

    Voiture

  • Boucle ouverte18

    Lobservation nest pas celle de la grandeurs matriser

    Inconvnient

    Exemple :

  • Boucle ferme19

    Exemple : Douche personnelle

    Boucle automatique?

  • Boucle ferme20

    Chane ferme de rgulation

  • Boucle ferme21

    Les lments fonctionnels

  • Activit dautomaticien22

    Activits essentielles en Automatique :

    Asservissement

    Rgulation

  • Rgulation industrielle 23

  • Rgulation industrielle 24

  • Qualits attendues dune rgulation25

    La stabilit1

    La prcision2

    La rapidit3

    4

  • Qualits attendues : La stabilit26

    Lobjectif de la rgulation est atteint ?

    1

  • Qualits attendues : La stabilit27

    Pourquoi un systme rgul deviendrait il instable?

    Un systme est considr comme stable, si pour une

    variation damplitude finie de la consigne ou dune

    perturbation, la mesure de la grandeur matriser se

    stabilise une valeur finie

  • Qualits attendues : La stabilit28

    Plus le rgime transitoire dun systme soumis une

    variation est amorti plus il est stable

  • Qualits attendues : La stabilit29

  • Qualits attendues : La stabilit30

  • Qualits attendues : La prcision31

    Dfinition : la prcision dun systme se mesure donc

    lcart entre la consigne demande et la mesure en rgime

    permanent : prcision statique

  • Qualits attendues : La prcision32

    cart relatif

    Correcteur 1 est de 10%

    Correcteur 2 est de 30%

    La prcision statique est une qualit importante respecterpour bien des systmes rguls

    Un cart trop leve peut savrer nfaste au produit

    Exemple:

  • Qualits attendues : La prcision33

    La prcision dynamique svalue gnralement par le dpassement

    maximal D que peut prendre la mesure par rapport la consigne

    cart relatif Corr 1 est de 0%

    Corr 2 est de 30%

    Dpassement Corr 1 est de |D|=0 units

    Corr 2 est de |D|=3.5 units

    Conclusion

  • Qualits attendues : La rapidit34

    La rapidit dun systme svalue par le temps que met la mesure

    entrer dans la zone 5% de sa variation finale (soit entre

    95 % et 105 %) : temps de rponse

  • Qualits attendues : La rapidit35

    Exemple : valuation de la rapidit des deux correcteurs

  • Compromis prcision - rapidit36

    Cahier des charges dune rgulation comporte plusieurs

    objectifs qui sont parfois contradictoires comme la prcision

    et la rapidit;

    Il est souvent difficile dobtenir une trs bonne prcision

    dynamique avec une trs grande rapidit;

    Un rglage optimale dune rgulation sera toujours le fruit

    dune recherche du meilleur compromis entre la prcision et

    la rapidit.

  • Mthodologie37

    En Automatique, la mthodologie utilise peut se diviser en plusieurs tapes qui sont les suivantes :

    Cahier des charges : lautomaticien doit prendre connaissance du problme et des diverses spcifications. Il doit, cette occasion, clairement dfinir le systme (avec ses entres et ses sorties) et les performances attendues pour ce dernier.

    Modlisation

    Analyse : il convient dans cette phase dutiliser des techniques de lAutomatique pour juger des performances du systme (stabilit, temps de rponse, oscillations, prcision...) partir du modle.

    Synthse : la dernire phase consiste `a concevoir une loi de commande cest-`a- dire une boucle intelligente qui confre au systme ainsi boucl les performances souhaites si cela est possible.

  • Modlisation ou reprsentation des systmes

    38

    La commande automatique dun systme ncessite une bonne connaissance de son comportement, en appliquant

    les lois de la physique

    On obtient un ensemble dquation qui dcrivent le comportement des diffrentes lments du systme ces

    quations constituent un modle mathmatique

  • Reprsentation par modles continus39

    LR

    Ce(t) v(t)

  • Systme mcanique40

    Force de rappel

    U(t)

    piston

    K(l)

    Masse

    m

    l(t)

  • Systme linaire41

    Systmes invariants

    Lquation diffrentiel dcrit le rgime dynamique

  • Fonction de transfert42

    Pour tudier le fonctionnement dun systme il faut le reprsenter sous la forme dun schma fonctionnel selon la figure

    Fonction mathmatique

    Reprsentant le systme

    Signal

    dentreSignal

    de sortie

    Le signal dentre et le signal de sortie sont des fonctions du temps; ce sont des fonction temporelles ils reprsentent le signal de commande de lactionneur et le

    signal du capteur

  • Fonction de transfert43

    Lobjectif atteindre est le suivant:

    La fonction du signal e(t) est connue et on cherche dterminer la fonction du signal s(t) qui dpend du systme ais aussi de e(t)

    Description

    De lentre e(t)

  • Fonction de transfert44

    Chaque procd industriel comporte plusieurs systmes lmentaires (actionneur, procd, capteur), ceux ci peuvent tre dcrits chacun par une quation

    diffrentielle.

    Alors on ne peut pas multiplier les quations diffrentielles entre elles et la nouvelle quation trouve pour le systme sera complique utiliser.

    Un nouvel oprateur mathmatique est ncessaire pour obtenir, rapidement, une fonction dcrivant le systme globale.

    Cet oprateur mathmatique est appel oprateur de Laplace .

    La mthode de recherche de la fonction du signal s(t) en fonction de e(t) est alors la suivante

  • 45

    Description

    De lentre e(t)

    Fonction de transfert

  • Transform de Laplace dune fonction 46

    On dfinit une fonction particulire u(t) dcrite ci-dessous fonction existence ou chelon unit.

    U(t) = 0 si t=0

    1

    0

    0

    t

    U(t)

    Lexistence de F(p) ncessite que lintgrale converge

  • Transform de Laplace dune fonction 47

    Exemple :

    Dans la transforme de Laplace, la fonction f(t).u(t) est nulle pour t

  • Transform de Laplace dune fonction 48

    Linarit de la transforme de Laplace

    Si les fonction f et g ont des transformes de Laplace, alors :

    Drivation :

  • 49

    Intgration :

  • Table de transform de Laplace50

  • Rponse temporelle des systmes51

    Rponse temporelle des systmes

    On veut caractriser les systmes dune part par leur fonction de

    transfert et, dautre part par leur comportement. Ce dernier peut

    tre mis en vidence par la rponse du systme une entre

    donne.

    On peut apprendre beaucoup des systmes en observant la

    rponse aux entres suivantes

    Limpulsion = rponse impulsionnelle

    Lchelon = rponse indicielle

    La rampe

    La sinusode = rponse frquentielle

  • 52

    Diffrents entre classiques

    Systme du premier ordre

    Rponse impulsionnelle

  • Exemple53

  • Rponse indicielle 54

  • Rponse une rampe55

    L'cart de tranage

  • exemple256

  • Rponse frquentielle57

  • 58

  • 59

  • Rponse indicielle systme du second ordre60

  • 61

  • 62

  • 63

  • Notion de stabilit64

  • 65

  • 66

  • 67

  • 68

  • 69

  • 70

  • 71

  • Critre de Routh72

  • 73

  • Exemple74

    On souhaite statuer sur la stabilit de ces trois systmes

  • Critre graphique75

  • 76

  • 77

  • 78

  • Prcision79

  • Prcision dynamique80

  • Prcision statistique81

  • Ecart de position82

  • 83

  • Ecart de vitesse84

  • Identification des systmes linaires85

    Un systme linaire a une fonction de transfert qui peut se

    calculer en tablissant les quations diffrentielles qui relient

    entre et sortie. Ces quations thoriques sont parfois

    difficiles crire car on n'a pas forcement toute la

    connaissance du systme ncessaire : valeurs numriques,

    processus mis en jeu, non linarit...

    Souvent, un modle dont le comportement ressemble a celui

    du systme a tudier est suffisant pour laborer une loi de

    commande adapte.

  • 86

    Ce document prsente diffrentes mthodes pour obtenir

    un modle sous forme de fonction de transfert quivalente

    en terme de rponse a un systme dont on ne sait pas

    modliser le comportement.

    Ces mthodes ne donnent donc pas la fonction de

    transfert du systme mais en donnent une dont la rponse

    ressemble a celle du systme.

  • Identification en Boucle Ouverte87

    On identifie la rponse indicielle en BO du systme celle

    d'un modle dont la forme est prdfinie avec certains

    paramtres.

    La mthode consiste a calculer les meilleurs paramtres en

    fonction de la forme de la rponse relle.

  • Mthode de Strejc88

    Cette mthode peut s'appliquer aux systmes dont la

    rponse indicielle ne prsente pas de dpassement. On

    identifie a une fonction de la forme :

    Les paramtres a identifier sont donc :

    le gain statique K,le retard r,la constante de temps et l'ordre n.

  • 89

    Rponses de modles de Strejc pour K = 1, r = 1

  • Mthode90

    Pour identifier le systme, la mthode peut se dcomposer

    en :

    Le gain statique est mesure directement par la valeur

    finale de la sortie. Celle-ci vaut K.E0 ou E0 est l'amplitude

    de lchelon d'entre.

    On trace la tangente au point d'inflexion I pour dterminer

    deux valeurs : T1 et T2.

    Relever T1 et T2 en dduire l'ordre n en utilisant le tableau

    suivant

    Entre deux lignes du tableau, on choisit la valeur de n la

    plus petite.

  • 91

    Dterminer la constante de temps partir de T2/ du tableau.

    Dterminer le retard r quand il existe a partir de la

    diffrence entre la valeur de T1 mesure et celle donne

    par la colonne T1/T2 du tableau.

  • 92

  • 93

  • 94

  • 95

  • La sortie du procd que lon commande doit voluer pour

    suivre la consigne demande. Il faut donc tout instant (ou

    priodiquement en rgulation numrique) appliquer,

    lentre puissance du procd, la commande approprie.

    Cette commande est calcule par un ensemble de

    traitements dinformations, le correcteur, qui utilise des

    oprateurs (sommateurs, gains, intgrateurs, drivateurs)

    laborant la commande partir du signal derreur et des

    mesures auxiliaires disponibles.

    Notion de correcteur

  • Le correcteur97

    Sans mettre en jeu dnergie apprciable, le correcteur

    constitue la partie intelligente de lasservissement et sa

    dtermination judicieuse confre lasservissement ses

    qualits. Ais modifier,

    le correcteur peut tre muni dune variation automatique

    de ses paramtres suivant la plage de fonctionnement du

    procd, dans le cas o celle-ci volue lentement.

  • But de la correction98

    Le concepteur de lasservissement rencontre deux types de

    situations, auxquelles il doit faire face :

    assurer une rponse acceptable pour des signaux de consigne

    dfinis en fonction du temps (par exemple : cycle de

    temprature pour un traitement thermique) ;

    fournir des caractristiques frquentielles (gain, dphasage)

    demandes dans une bande de frquences (par exemple :

    asservissement du mouvement dun haut-parleur dans un

    systme haute fidlit).

    On impose les qualits de lasservissement en termes de

    spcifications temporelles dans le premier cas, en

    spcifications frquentielles dans le second cas.

  • But de la correction99

    Le but de la correction est de doter lasservissement des

    qualits attendues, par le calcul et limplantation du

    correcteur ncessaire.

    Les oprateurs essentiels du correcteur sont ralisables

    partir damplificateurs courant continu et dlments

    rsistances/capacits.

    La ralisation numrique peut se transposer aisment

    partir dun schma analogique, en conservant la mme

    organisation fonctionnelle et en associant un intgrateur

    numrique chaque intgrateur lectronique.

  • Spcifications100

    Les spcifications sont formules dans le domaine temporel

    ou dans le domaine frquentiel, avec des rgles simples

    dquivalence entre ces deux domaines.

    Elles concernent trois aspects :

    la prcision en rgime tabli (erreurs de position, de vitesse) ;

    la rapidit (temps de rponse, bande passante) ;

    lallure de la rponse (rgime transitoire peu oscillant, courbe

    de rponse en frquence plate).

  • Correcteur PID 101

    Le correcteur standard le plus utilis dans lindustrie est le

    rgulateur PID (proportionnel intgral driv), car il

    permet de rgler laide de ses trois paramtres les

    performances (amortissement, temps de rponse) dune

    rgulation dun processus modlis par un deuxime ordre.

    Nombreux sont les systmes physiques qui, mme en tant

    complexes, ont un comportement voisin de celui dun

    deuxime ordre, dans une certaine chelle de temps. Par

    consquent, le rgulateur PID est bien adapt la plupart

    des processus de type industriel et est relativement robuste

    par rapport aux variations des paramtres du procd.

  • 102

    Si la dynamique dominante du systme est suprieure un

    deuxime ordre, ou si le systme contient un retard

    important ou plusieurs modes oscillants, le rgulateur PID

    nest plus adquat et un rgulateur plus complexe (avec

    plus de paramtres) doit tre utilis, aux dpens de la

    sensibilit aux variations des paramtres du procd.

  • 103

    La ralisation dune boucle dasservissement par PID est un

    problme trs important, car il influence :

    La qualit de la rgulation sur un site industriel ;

    Le temps de mise en uvre de la commande ; et comporte deux

    aspects essentiels :

    Le rglage du rgulateur PID, pour lequel la connaissance dun modle

    dynamique du procd dune part et les performances dsires dautre

    part dterminent le choix de la mthode de synthse ;

    Limplantation du rgulateur dans une version analogique ou numrique et

    dans une configuration srie, parallle ou mixte.

    De plus en plus, les rgulateurs PID commercialiss offrent la

    possibilit dautorglage, qui ralise le calcul automatique des

    paramtres, la demande de lutilisateur.

  • Rgulateur PID 104

    e(t) = w(t) - y(t)

    La commande u(t) est construite sur la base des signaux de consigne w(t) et

    de mesure y(t) de la grandeur rgle selon la loi de commande

    u(t) = u (w(t), y(t))

  • Rgulateur non linaire 105

  • 106

  • 107

    la non-linarit de ces rgulateurs simples rend difficile

    leur synthse sur la base d'un cahier des charges fixant les

    performances du systme asservi. Malgr cela, ils sont

    frquemment utiliss pour des applications dont

    l'actionneur supporte une forte sollicitation et pour

    lesquelles une oscillation constante de la grandeur rgle

    y(t) autour de la consigne w(t) est admissible.

    Un exemple d'application est la rgulation du courant

    fournit par une alimentation dcoupage

  • Rgulateur action proportionnelle (P)108

    Le rgulateur action proportionnelle, ou rgulateur P, a

    une action simple et naturelle, puisqu'il construit une

    commande u(t) proportionnelle l'erreur e(t).

    Cette action s'apparente un effet ressort (ressort de

    rappel).

    Loi de commande du rgulateur P :

  • 109

    Le Schma fonctionnel du rgulateur est le suivant

  • 110

    Rponse indicielle du rgulateur P (idal). La rponse en traitill

    rappelle qu'aucun systme physique ne peut ragir statiquement, i.e.

    sans retard.

    On voit que le rgulateur P assure une transmission instantane du

    signal derreur ; dans ce sens, son action est relativement dynamique :

    sa commande ne dpend pas du pass, ni dune tendance, mais

    simplement de ce qui se passe linstant prsent.

  • Avantages et inconvnients de laction P111

    Une limitation du rgulateur P est son incapacit annuler

    notamment lerreur statique

    Action proportionnelle :

    prcision amliore / stabilit diminue

    temps de monte rduit et plus de dpassement

    temps de rponse pas forcment diminu

  • Ralisation pratique dun rgulateur P112

  • 113

    Les exemples des asservissements de vitesse et de

    temprature ont montr qu'un systme, mme contre-

    ractionn par un rgulateur P, pouvait prsenter une

    erreur permanente en rgime permanent constant.

    Cette erreur intervenant alors que les signaux d'entre

    (consigne ou perturbation) sont constants, on la dsigne

    par erreur statique.

  • 114

    Pour remdier au problme du statisme, on pourrait dans

    un premier temps augmenter la consigne de la valeur de

    l'erreur statique constate

  • Rgulateur (PI)115

  • Rponse indicielle du rgulateur (P.I)116

  • Correcteur PI117

  • Correcteur retard de phase118

  • 119

  • Ralisation pratique120

    A la mise sous tension de l'installation, il faut veiller ce que

    la capacitC2 soit initialise une valeur correcte (en

    principe dcharge), sans quoi le

    systme risque d'emble de recevoir un saut de commande

    u(t).

    Un dispositif de dcharge de C2 est donc prvoir.

  • 121

    Rgulateur PI

  • 122

    Lajout dun terme intgrale dans la chane directe augmente

    sa classe. Par consquent, la prcision est amlior

    Le rgulateur PI est le rgulateur le plus utilis en pratique

    o ses contributions la prcision mais aussi la robustesse

    du systme asservi sont particulirement apprcies.

  • 123

    L'action intgrale est lente et ralentit ainsi la propagation

    des signaux dans la boucle. Elle augmente ainsi le risque

    d'instabilit inhrent tout systme contre-ractionn.

    Il faut donc tre sur ses gardes lorsque l'on s'apprte

    mettre en uvre un rgulateur comprenant une action

    intgrale.

  • 124

    Lajout dun terme intgrale dans la chane directe

    augmente sa classe. Par consquent, la prcision est

    amlior

    Avantages :

    intgration : convient donc bien lorsque lon souhaite

    annuler lerreur statique dun systme de classe 0

    correcteur le plus utilis

    Inconvnient :

    Action intgrale : saturation ventuelle de la commande il

    faut lassocier un dispositif danti-saturation, constitu le

    plus souvent dun simple crteur.

  • Rgulateur PD125

    Dans le cas dun systme de classe suprieur ou gale 1,

    cette action permet daugmenter la bande passante ou de

    rendre le systme plus stable, bande passante gale

  • Rgulateur PD idal 126

  • 127

    Un correcteur driv idal nest pas causale, donc pas

    physiquement ralisable. On lui substitue donc

    systmatiquement un correcteur approch : on parle alors

    de filtrage du terme driv

    L'action D apporte une amlioration notable du

    comportement dynamique, acclrant la vitesse de

    raction du rgulateur aux moindres variations de l'erreur.

    Ainsi, un signal d'erreur, si faible que soit son amplitude,

    pourra gnrer une r-action trs nergique du rgulateur

    si son taux de croissance de dt est lev.

  • 128

    Rgulateur (PD)

  • Correcteur avance de phase et correcteur PD129

    Avantages :

    Augmentation de la phase dans une certaine bande de

    frquence

    systme corrig plus stable : convient donc bien pour la

    correction des systmes peu stables (systmes de classe

    suprieure ou gale un)

  • Correcteur PD130

  • 131

  • 132

  • Correcteur avance de phase : caractristiques133

    Correcteur avance de phase : caractristiques

    Correcteur avance de phase : rglage

  • 134

    L'action D anticipe donc l'volution de la grandeur rgle

    y(t) et a tendance acclrer la propagation des signaux

    dans la boucle, comme le conforme la rponse harmonique

    ci-dessus, laquelle montre que les signaux de haute

    frquence subissent une avance de phase tendant

    asymptotiquement vers +90.

    On peut d'ores et dj dduire de cette constatation que

    l'action D a un effet plutt favorable sur la stabilit du

    systme asservi : il est donc important de raliser que

    l'action D est plutt stabilisante et amliore la rapidit des

    systmes.

  • Correcteur PID135

  • 136

    Correcteur avance et retard de phase

    Ce correcteur est bien videmment plus gnral que les

    correcteurs prcdents. Il a vocation corriger des

    systmes plus dlicats rgler. Il nest cependant pas

    ncessaire dutiliser ce type de correcteur si le cahier

    des charges peut tre rempli par un des correcteurs

    prcdemment voqus.

  • 137

  • Comparaison PID, PD, PI, P138

    Correcteur PID

  • 139

  • Analyse frquentielle140

    Introduction:

    Cette pour but de fournir les outils ncessaires

    lvaluation des performances des systmes asservis en se

    basant sur leur rponses frquentielles .

    Cette partie prsente donc un trs grand intrt en vue

    dapplications industrielles. De surcrot, les mthodes

    danalyse et de synthse frquentielles, quelque peu

    dlaisses durant les annes 70, connaissent un trs grand

    regain dintrt depuis 1980, o leur utilisation dans le

    domaine de la commande robuste sest avre trs

    avantageuse.

  • 141

    Lanalyse frquentielle des systmes dynamiques consiste

    tudier le comportement et les proprits de ceux-ci en

    rgime permanent sinusodal.

    Dans le cas des systmes linaires stables, lanalyse

    frquentielle fournit la rponse harmonique, fonction

    dpendant de la frquence et dcrivant comment, en

    rgime permanent, le systme amplifie et dphase les

    signaux sinusodaux appliqus son entre.

    Le rgime permanent sinusodal est obtenu lorsque les

    transitoires ont t amorties

  • 142

    Cette mthode est envisage lorsque le cahier des

    charges contient des spcifications relatives des

    considrations frquentielles : bande passante,

    coefficient de qualit, marge de stabilit (marge de

    gain ou marge de phase), avec ventuellement des

    spcifications sur la prcision et les caractristiques de

    la rponse transitoire.

    La stratgie consiste ajuster K de faon ce que

    G(j) ait une marge de phase M et une marge degain Am conformes aux valeurs recommandes

  • 143

    Linsertion du rgulateur dans la chane de commandepermet de modeler le lieu de transfert en boucle ouverteT(p) = R(p)G(p) confrant au systme en boucle ferme unfonctionnement tel quil prcis dans le cahier des charges.

    On rappelle brivement les performances attendues dansle domaine frquentiel :

    Un gain trs grand voire infini en basses frquences deT(p), ce qui assure une bonne prcision en rgimepermanent;

    Le lieu de transfert en boucle ouverte doit passer le plusloin possible du point critique, ce qui assure des bonnesmarges de stabilit ;

  • 144

    La bande passante doit tre la plus large possible de

    manire obtenir une bonne rapidit.

    Il nexiste pas en toute rigueur une dmarche systmatique

    suivre pour calculer les paramtres du rgulateur et

    souvent la synthse est guide par le bon sens du

    concepteur.

    On peut utiliser indiffremment lune des reprsentations

    graphiques pour reprsenter les lieux de transfert : Bode,

    Black ou Nyquist. En pratique, les deux premires

    reprsentations sont plus commodes dutilisation que la

    reprsentation dans le plan de Nyquist

  • Correction PI145

    L'inconvnient du rgulateur PI peut se dduire directement de sa rponse frquentielle, laquelle montre qu' basse frquence, tous les signaux sont dphass de 90

    Rglage dun correcteur PI en utilisant diagramme de Bode

    Hypothse

    Systme de classe zro avec deux ples rels, associs aux

    constantes de temps 1 et 2 1>> 2.

    Cest le type de systme pour lequel la correction PI est

    adapte

  • Algorithme 146

    Tracer le diagramme de Bode de Go(j)

    On choisit de compenser le ple dominant par le zro du

    correcteur PI, soit i = 1

    Une fois le ple dominant compens, il est alors intressent de spcifier les contraintes du cahier de charge en terme de marges de phase dsire M

    On repre la pulsation c laquelle le systme pour phase -180+ M

    Relever le gain de boucle |Go(j)| en cette pulsation

    Il suffit dajuster le gain Kp pour que le gain en dB de la boucle ouverte soit nul la pulsation c

  • 147

  • 148

  • 149

  • Correction avance de phase150

    Hypothse

    Systme de classe un avec un ple rel, associs la

    constante de temps 1, et possde outre lorigine, unautre ple rel

    Cest le type de systme pour la correction est adapte

    Avec, a

  • Algorithme151

    La mthode prsente impose tout dabord que la contraintede rapidit du systme soit transform en une contrainte debande passante, si ce nest pas le cas.

    Soit c la bande passante dsire pour le systme corrig

    Le rglage consiste apporter une avance de phase adapte, cette pulsation.

    Lavance de phase maximale M du correcteur tantparamtrable la pulsation M

    On choisit tout dabord c= M La contrainte de stabilit doit ensuite tre exprime en termes

    de marge de phase, pour dterminer lavance

    M=M-(180-Arg(GH(j c))) On rgle Kp pour que le gain en dB du systme en boucle ouverte

    soit nul la pulsation c

  • Algorithme152

  • 153

  • 154

  • Exemple 155

    Il sagit de raliser un asservissement de vitesse dun

    moteur courant continu et excitation indpendante.

    W dsigne la vitesse de rotation du moteur mesure par

    une gnratrice tachymtrique dlivrant une tension Vg

    V reprsente la tension de commande de linducteur.

  • 156

    Lobjectif est dasservir la vitesse W une tension de

    rfrence ve et de faire la synthse dun correcteur selon

    un cahier de charges.

    Le systme contrler est donn par sa fonction de

    transfert suivante :

    Avec, Ks=1 T1 = 0.1 s T2 = 0.5 s

  • 157

    Le cahier des charges est :

    Erreur indicielle nulle. (Prcision statique parfaite)

    Marge de phase MP = 45.

    La contrainte sur la prcision ncessite lintroduction dune

    intgration dans la chane en boucle ouverte.

    Comme le systme nen dispose pas, le rgulateur doit tre

    de type intgrateur.

    Quant la deuxime contrainte, elle peut tre assure

    par une action proportionnelle.

  • 158

    Soit donc le rgulateur PI suivant:

    On commence par ajuster le gain Kp du rgulateur P

    suppos agissant seul de manire satisfaire la contrainte

    sur la marge de phase :

    Soit :

    De lquation (2) on dduit que w0 =13.5rd/s et de

    lquation (1) on calcule le gain Kp; soit Kp = 2.3

  • 159

    La figure suivante confirme le respect de la contrainte sur

    la marge de phase.

  • 160

    Il convient prsent de calculer la constante dintgration

    Ti de manire ce que la marge de phase reste peu

    prs gale 45.

    Il est possible de choisir Ti de telle sorte que la contribution

    en module et en phase du terme soit ngligeable la

    pulsation w0. Pour ce faire, on prendra 1/Ti = 0.1 w0 (une

    dcade gauche de w0), ce qui permet de placer ce

    terme suffisamment gauche de la pulsation w0. Do la

    valeur de Ti = 0.74.

  • 161

    Le rgulateur est:

    Remarque : Comme le montre les courbes de Bode de

    R(p)G(p) donnes par la figure prcedente , la marge de

    phase est lgrement infrieure 45

    est d au fait que la phase apporte par le terme

    la pulsation w0 nest pas nulle. A priori une marge de

    phase de 40 est aussi correcte, nanmoins on peut

    remdier cette situation (sil le faut !!) en plaant ce

    terme davantage gauche ou surestimer la marge de

    phase ncessaire (50 au lieu de 45 par exemple).

  • 162

  • 163

    Ajustage des paramtres de

    rgulateurs P, PI et PID par la

    mthode de Ziegler-Nichols

  • Premire mthode en boucle ouverte164

    Ziegler et Nichols ont propos deux approches

    exprimentales destines ajuster rapidement les

    paramtres des rgulateurs P, PI et PID. La premire

    ncessite l'enregistrement de la rponse indicielle du

    systme rgler seul (Ga(s)), alors que la deuxime

    demande d'amener le systme en boucle ferme sa

    limite de stabilit.

  • 165

    Sur l'enregistrement de la rponse indicielle un seul systme rgler

    (c'est--dire sans le rgulateur), on trace la tangente au point

    d'inflexion Q de la courbe. On mesure ensuite les temps Tu

    correspondant au point d'intersection entre l'abscisse et la tangente

    ainsi que le temps Tg ("temps de monte de la tangente").

  • 166

    On peut alors calculer les coefficients du rgulateur choisi l'aide du tableau

    Gnralement les gains proportionnels (Kp) proposs

    par Ziegler-Nichols sont trop levs et conduisent un

    dpassement suprieur 20%.

    Il ne faut donc pas craindre de rduire ces gains d'un

    facteur 2 pour obtenir une rponse satisfaisante.

    Une illustration de cette dmarche est donne ci-dessous.

  • 167

    Considrant la rponse indicielle d'un systme apriodique prcdente,

    on peut y mesurer :

    Tg = 7,4 [s]

    Tu = 3,1 [s]

    Du tableau de Ziegler-Nichols, on tire les trois paramtres du rgulateurKp = 1,2 Tg/Tu = 2,8, rduit de 50%, ce qui donneKp = 1,4 Ti = 2,0 Tu = 6,2 [s] Td = 0,5 Tu = 1,55 [s]

  • 168

    La division par 2 de la valeur du gain proportionnel

    permet d'obtenir une rponse indicielle tout fait

    satisfaisante

  • Deuxime mthode en boucle ferme169

    Cette mthode ncessite de boucler le systme sur un

    simple rgulateur proportionnel dont on augmente le gain

    jusqu' amener le systme osciller de manire

    permanente; on se trouve ainsi la limite de stabilit du

    systme.

  • 170

  • 171

    Aprs avoir relev le gain critique Kcr et la priode

    d'oscillation Tcr de la rponse, on peut calculer les

    paramtres du rgulateur choisi l'aide du tableau

  • 172

    Les valeurs proposes par Ziegler et Nichols ont t

    testes dans de trs nombreuses situations et il faut

    souligner qu'ici galement elles conduisent un temps de

    monte relativement court assorti d'un dpassement lev.

    Cette situation n'tant pas toujours satisfaisante, on est

    amen corriger lgrement les coefficients proposs et,

    en particulier, diminuer le gain Kp.

  • 173

    Une modification possible est propose par le tableau

  • Conclusion174

    Les mthodes exprimentales prsentes permettentd'avoir de bonnes estimations gnriques pour un systmesraisonnablement simple ( rglable par un PID ! ).

    Cependant il faut continuer faire varier les coefficientsjusqu' obtenir une rponse satisfaisant le cahier des charges.

    Pour cela on utilise les rgles "simples"

    Kp augmente -> monte plus rapide mais plus de dpassement.

    Ki augmente -> monte plus rapide mais rgime stationnaire

    plus long, erreur statique plus faible.

    Kd augmente-> diminue le dpassement et le temps

    d'tablissement du rgime stationnaire, mais

    augmente la sensibilit au bruit.