Le calcul mental au cycle 3

Université Paris 5 télé formation math

Sophie Thuillier Cpc Fontaine Vercors

Michel Valla Cpc Grenoble 1

L’enseignement du calcul mental : quelle utilité?

Le calcul est formateur de la mémoire.

La pratique du calcul accompagne la découverte puis une bonne appropriation des nombres et de leurs propriétés.

Le calcul est formateur du raisonnement.

Une certaine maitrise des nombres et du calcul est indispensable dans la vie de tous les jours.

Le calcul est un outil indispensable à la pratique des autres sciences.

Historique de l’enseignement du calcul mental

Quatre périodes, quatre démarches, dans l’enseignement du calcul mental

• De 1883 à 1970 : calcul automatisé.

• De 1970 à 1980 : maths modernes.

• De 1980 à 2008 : le calcul ‘réfléchi’ est encouragé.

• Depuis 2008, le calcul mental, une activité fondamentale inscrite dans le socle commun des compétences en mathématiques (palier 1 et palier2).

BO 2008 et socle commun

« Du CE2 et CM2, l’élève renforce ses

compétences en calcul mental.

Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition

des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une

intelligence de leur signification. »

Socle, palier 2, compétence 3:

- calculer mentalement en utilisant les quatre opérations

- estimer l’ordre de grandeur d’un

résultat

CE2 - Calculer mentalement

- Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de

multiplication. - Calculer mentalement des sommes,

des différences, des produits.

CM1 - Calculer mentalement

- Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les

nombres entiers. - Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. - Estimer mentalement un ordre de

grandeur du résultat.

CM2 - Calculer mentalement

- Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les

nombres entiers et décimaux. - Diviser un nombre entier ou décimal

par 10, 100, 1 000.

Calcul mental : définition

C’est un calcul effectué ‘de tête’ englobant les procédures de calcul automatisé et réfléchi.

Ou, plus exactement…

• Entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser une opération posée.

Automatisé ou réfléchi?

Le calcul automatisé

Tout ce qui est mémorisé et qui n’a pas besoin d’être reconstruit.

Exemples: les tables d’addition,

de multiplication, les doubles, les moitiés , les compléments à la

dizaine, à la centaine etc.

Le calcul réfléchi

Nécessite des stratégies de calcul mental en faisant appel aux propriétés arithmétiques.

VRAI ou FAUX?

Il est indispensable de mémoriser les tables

d’additions et de multiplication …

VRAI et FAUX. Il est indispensable que les élèves deviennent capables de produire instantanément (ou presque) le résultat d’une addition de deux nombres inférieurs à 10, que ce soit parce que le résultat est connu (c’est-à-dire mémorisé) soit en le reconstruisant très rapidement. En effet, si certains individus mémorisent tous les résultats additifs, d’autres n’en mémorisent qu’une partie et à partir de là reconstituent les autres quasi-instantanément. Cette connaissance des tables est indispensable pour le calcul réfléchi, pour le calcul posé ou encore pour que la charge de travail soit allégée dans des tâches complexes. Ne pas les connaître alourdirait en effet la charge de la mémoire de travail et rendrait tout calcul très difficile. Le déficit de maîtrise de ces résultats fragilise gravement l’apprentissage des techniques écrites.

La répétition fréquente de ces tables suffit à en

assurer la mémorisation…

FAUX. Un entraînement répété, même s’il est indispensable, n’est pas suffisant. Il n’est pas le seul ressort de la mémorisation. Plusieurs conditions se révèlent tout aussi importantes : - Une bonne représentation des nombres ainsi qu’une bonne mise en relation entre ces nombres (en particulier le fait que ajouter 1 revient à dire le nombre suivant ou que soustraire 1 revient à dire le précédent). - La compréhension des opérations en jeu, soit du point de vue de leur sens (capacité à retrouver un résultat en évoquant une situation avec des objets, par exemple), soit du point de vue de leur propriété (capacité à prendre appui sur des résultats connus pour en obtenir d’autres). - La prise de conscience de l’intérêt de cette mémorisation. On retient mieux ce que l’on sait devoir resservir. - La prise de conscience que certains résultats sont mémorisés et qu’un répertoire mental est en train de se constituer.

Il faut imposer les procédures de calcul

réfléchi…

Faux.

Les procédures de calcul réfléchi sont des procédures personnelles qui dépendent des connaissances de chacun. Il peut être envisagé d’entraîner à l’exécution de certains types de calculs, pour obtenir des réponses rapides, mais en gardant à l’esprit que l’élève conserve le choix de la procédure qui lui paraît la plus adaptée ou la plus sûre. Ainsi pour calculer 23+9 ou 44+9 il est commode d’utiliser la suite d’opérateurs +10 suivi de –1 mais la décomposition 20 + (3 + 9) ou 40 + (4 +9) permet également d’obtenir la réponse. Il faut cependant prendre garde à faire apparaître les limites des procédés étudiés : pour 30+9 ou pour 31+9, d’autres procédures plus rapides sont disponibles.

Lors de séances de calcul mental, seul le

résultat peut-être écrit…

VRAI et FAUX.

Tout dépend du type de séance.

Pour une séance de calcul mental automatisé: seul le résultat sera écrit (ou dit) sur une ardoise par exemple.

Lors d’une séance de calcul réfléchi:

• on peut laisser les élèves écrire les résultats intermédiaires

pour soulager la mémoire immédiate, • l’écrit peut aussi être utilisé pour expliciter la démarche,

• enfin un support écrit comme la droite numérique peut être utiliser comme aide.

Le procédé Lamartinière est un

bon moyen de travailler le calcul

automatisé…

VRAI.

C’est moyen rapide qui permet à l’enseignant et aux élèves de savoir tout de suite ce qui est su et ce qui ne l’est pas. Il favorise la concentration s’il est mené de manière bien rythmée : l’enseignant énonce le calcul deux fois, et deux fois seulement, laisse 10 à 15 secondes de réflexion et fait lever les ardoises à un signal donné. Le fait de retarder un peu le lever de l’ardoise évite d’engendrer une course au plus rapide et incite donc davantage les élèves à réfléchir.

Les compétences en calcul mental se

préparent dès les premières années de

maternelle…

VRAI.

La première condition citée ci-dessus (une bonne représentation des nombres ainsi qu’une bonne mise en relation entre ces nombres) commence à se construire dès la petite section de maternelle. Avoir une bonne représentation de la quantité 5, par exemple, ne réside pas seulement dans la possibilité de lui associer une désignation verbale ou chiffrée, mais aussi dans la capacité à réaliser une collection de 5 éléments ou encore dans le fait de savoir que 5 c’est aussi 4 et 1 ou 3 et 2.

Les séances de calcul mental doivent être

courtes et quotidiennes…

VRAI et FAUX.

Les séances de calcul mental doivent être quotidiennes de façon à assurer un bon entraînement. Elles doivent être structurées avec un objectif précis. Celles de calcul automatisé sont courtes, il s’agit de produire très rapidement un résultat. Celles de calcul réfléchi peuvent être plus longues, les élèves devant avoir plus de temps pour élaborer et mettre en œuvre des procédures de calcul réfléchi, celles-ci étant ensuite explicitées, discutées, validées (ou non).

3 questions subsidiaires

…

Pourquoi le calcul mental est-il prioritaire

à l’école?

Le calcul mental nécessite une intuition des nombres (qui s’affine avec l’entraînement) ainsi qu’une part d’initiative et de choix. Il opère sur des nombres et permet d’enraciner l’ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité.) Par ailleurs, l’expérience atteste, depuis des dizaines d’années, que les enfants ont souvent tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental préalablement à l’apprentissage des techniques écrites qui sont souvent abordées trop tôt et, par la suite, à une prise de conscience insuffisante des différences de traitement entre calcul écrit et calcul mental. D’autre part, de bonnes compétences en calcul mental sont indispensables pour aborder de nouvelles connaissances, ce qui se réalise souvent d’abord avec des nombres de taille réduite. Si la charge de travail de l’élève se trouve allégée du côté du calcul sur des résultats supposés connus, davantage de place peut être réservée à l’attention portée à ce qui est nouveau.

Quelles sont les intérêts du calcul

réfléchi?

Les intérêts du calcul réfléchi sont multiples… - L’utilisation et la mémorisation des tables. Rappelons qu’un calcul peut être réfléchi pour certains et automatisé pour d’autres et que la pratique régulière de certains calculs peut favoriser leur mémorisation. - L’utilisation et l’exploration des relations entre les nombres. Le calcul réfléchi est à la fois un moyen d’utiliser les relations connues des élèves et d’en explorer de nouvelles en particulier grâce à la mise et évidence et à l’analyse des différentes procédures utilisées par les élèves. - Les techniques opératoires. Une bonne maîtrise d’un répertoire mémorisé et du calcul réfléchi est donc susceptible d’aider les élèves à mettre en œuvre ces techniques de calcul, en particulier celle de la division (avec l’intervention de la soustraction qu’elle soit posée ou non).

Les intérêts du calcul réfléchi sont multiples… (suite)

- La découverte des propriétés des opérations. Le calcul réfléchi, par l’utilisation implicite de ces propriétés est de nature à favoriser les futurs apprentissages à condition toutefois de donner lieu à une explicitation des procédures et des relations utilisées. - L’autonomie des élèves et la pratique du calcul au quotidien. Le calcul joue un rôle important à l’école mais aussi en dehors de l’école. C’est aussi une fonction importante du calcul réfléchi que de rendre l’élève autonome par rapport aux situations faisant intervenir des calculs. - Le développement de capacités d’initiative et de raisonnement. Ce type de calcul nécessite de faire choix d’une stratégie parmi plusieurs possibles pour un calcul donné, puis de décomposer le calcul en une suite de calculs plus simples articulés entre eux, selon un ordre défini. C’est en ce sens que certains parlent de calcul raisonné pour évoquer le calcul réfléchi.

Quels points d’appui au calcul mental faut-il

développer? http://dpernoux.free.fr/mental.htm

- Utilisation de la suite numérique, par surcomptage (en particulier dire le suivant c’est ajouter 1, dire le précédent c’est retrancher 1 ;

- Appui sur les doubles connus : 5 + 4, c’est 1 de plus que 4 + 4 ; - Utilisation de la commutativité de l’addition : 2 + 9 c’est comme 9 + 2 ;

- Utilisation du passage par la dizaine : pour calculer 8 + 5, on « complète à 10 » (avec 2), puis « on ajoute 3 » (le complément de 2 à 5), ce qui suppose de connaître les compléments à 10 et les décompositions additives des nombres inférieurs à 10.

- Utilisation des compléments à 10 pour des calculs de compléments à la dizaine supérieure, de compléments à 100 des dizaines entières ; - appui sur la numération orale pour des calculs du type « 20 + 7 », « 300 + 40 » ; - appui sur la numération chiffrée pour des calculs du type « ajouter, retrancher 10 » au moins dans les cas où il n’y a pas de changement de centaine (97 + 10 est plus compliqué mais à terme cela devrait aussi être automatisé) en utilisant les connaissances sur la numération chiffrée. De même pour les calculs du type « ajouter, retrancher 100 » et pour des calculs du type « ajout ou retrait de dizaines, de centaines » en utilisant là aussi les connaissances sur la numération chiffrée. - Les liens entre les opérations : savoir que « 6 + 4 ça fait 10 » permet de connaître le résultat de « 10 – 4 » et « 10 – 6 », de dire l’écart entre 4 (ou 6) et 10, de répondre à « combien pour aller de 4 (ou 6) à 10 ? »

Méthodologie

Méthodologie : Les travaux de F. Boule et D. Butlen proposent d’organiser les séances de calcul mental (automatisé, réfléchi) autour de trois temps forts :

La phase d’échauffement, très brève, pour mettre les élèves en condition d’écoute et de concentration, ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves. La phase d’entraînement, avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction. La phase de calcul raisonné, plus complexe, où plusieurs procédures sont possibles, la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée.

Quelles progressions?

La rédaction des nouveaux projets d’école peut être l’occasion d’aller vers une harmonisation des pratiques et une

déclinaison des apprentissages sur l’ensemble de la scolarité en mettant en perspective les programmations de cycles et

les progressions de classes.

Il est utile de distinguer les compétences à acquérir en fin d’année et les savoirs en construction au cours de l’année.

(propositions académie de Maine et Loire):

http://ecoles48.net/infos/IMG/pdf/Dossier_calcul_mental_ia49.pdf?PHPSESSID=3062a7a1d6614695ed8e0959ae09ad05