Le calcul mental au cycle 3

Pascal NOURRISSON CPS EPS Blois 2

« Les exercices de calcul mental figureront à l'emploi « Les exercices de calcul mental figureront à l'emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes »occupations considérées comme plus importantes »

Programmes de 1909Programmes de 1909

« Le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes »

Qu’apprend on à l’école élémentaire ? p 246

INTRODUCTIONINTRODUCTION

« Le temps consacré au calcul mental … est massivement estimé inférieur à une heure par semaine. »

L’enseignement des mathématiques au cycle 3 Rapport IGEN juin 2006


« Le calcul instrumenté n’est l’objet d’un apprentissage organisé que pour un très faible minorité d’enseignants. »

Rapport IGEN de juin 2006

« Il est clair que le calcul n’est pas suffisamment considéré : il conviendra de lui donner sa place dans toutes ses modalités. Il faut apprendre aux élèves à calculer intelligemment (la notion de calcul réfléchi). »

« Il faut éviter de trop séparer « réfléchi » et « automatique » puisque l’un s’appuie sur l’autre et réciproquement. »


« … un équilibre doit être trouvé dans l’enseignement et l’apprentissage du calcul entre automatisation et raison, ses deux facettes indissociables. »

Michèle Lartigue « L’intelligence du calcul » Actes de l’université d’été « Le calcul sous toutes ses formes », août

2005 « Le calcul doit être développé en jouant sur l’intérêt et le plaisir que chaque élève peut prendre en constatant ses progrès dans les activités qui lui sont proposées » »

L’enseignement des mathématiques au cycle 3 Rapport IGEN juin 2006

Un premier constat


En 1970 :« Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèvescalculent mentalement […]. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité ».

LE CALCUL MENTAL DANS LES LE CALCUL MENTAL DANS LES PROGRAMMESPROGRAMMESBref historique

En 1995 :On parle de « … pratique du calcul exact ou approché en utilisant … le calcul réfléchi (mentalement ou avec l’aide de l’écrit), l’ordre de grandeur (encadrement, valeur approchée » sur les nombres entiers ou décimaux.

En 1989 : (loi d’orientation)Dans les protocoles d’évaluations nationales (CE2 et 6e) figuraient des exercices de calcul mental.

En 2007 :En 2007 : Au cycle 3, dans la rubrique « calcul »:Au cycle 3, dans la rubrique « calcul »: « Calcul approché« Calcul approché: il doit être utilisé dans des : il doit être utilisé dans des

situations où les élèves peuvent lui donner du sens, situations où les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle d’un résultat obtenu par écrit par exemple: contrôle d’un résultat obtenu par écrit ou à l’aide d’une calculatrice. »ou à l’aide d’une calculatrice. »

En 2008:En 2008: « « L’entraînement quotidien au calcul mental L’entraînement quotidien au calcul mental

((portant sur les quatre opérationsportant sur les quatre opérations) permet une ) permet une connaissance plus approfondie des nombres et connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. »une familiarisation avec leurs propriétés. »

En 2002 :« Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper laplace principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’unepratique régulière, dès le cycle 2 »

LE CALCUL MENTAL DANS LES LE CALCUL MENTAL DANS LES PROGRAMMESPROGRAMMES

Éléments abordables par le calcul mental Éléments abordables par le calcul mental Utiliser les techniques opératoires des quatre Utiliser les techniques opératoires des quatre

opérations sur les nombres entiers et décimauxopérations sur les nombres entiers et décimauxUtiliser une calculatriceUtiliser une calculatriceRésoudre des problèmes relevant des quatre Résoudre des problèmes relevant des quatre

opérationsopérations

Le socle commun de connaissances et de Le socle commun de connaissances et de compétences compétences

Éléments relevant directement du calcul mental : Éléments relevant directement du calcul mental : Restituer les tables d’addition et de multiplication Restituer les tables d’addition et de multiplication

de 2 à 9de 2 à 9Calculer mentalement en utilisant les 4 opérationsCalculer mentalement en utilisant les 4 opérationsEstimer l’ordre de grandeurEstimer l’ordre de grandeur


CONNAISSANCES CAPACITES ATTITUDESConnaître les nombres et leur désignationConnaître les propriétés des opérationsConnaître les tables pour calculer

Savoir calculerAcquérir le sens des opérationsUtiliser des stratégies efficacesMettre en œuvre un calcul en situation

Attention, concentration, mémoirePlaisir, jeu, envieAutonomie et prise d’initiatives

Les finalités du calcul mental par rapport au socle commun

Christophe Bolsius « Fort en calcul mental » Scéren 2008


Les programmes de 2008 : les contenus

Éléments abordables par le calcul mental Éléments abordables par le calcul mental

Relations arithmétiques entre les nombres Relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant : double, moitié, quadruple, d’usage courant : double, moitié, quadruple, quart, triple, tiers,… la notion de multiple.quart, triple, tiers,… la notion de multiple.

Éléments relevant directement du calcul mental :Éléments relevant directement du calcul mental :

Calcul mental : tables d’addition et de Calcul mental : tables d’addition et de multiplication. L’entraînement quotidien au multiplication. L’entraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés.leurs propriétés.


Les programmes de 2008 : les progressionsAu CE2 : Au CE2 :

Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication.et de multiplication.

Calculer mentalement des sommes, des différences, des Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits.produits.

Au CM1 : Au CM1 : Consolider les connaissances et capacités en calcul Consolider les connaissances et capacités en calcul

mental sur les nombres entiers.mental sur les nombres entiers. Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par

10, 100, 1000.10, 100, 1000. Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat.

Au CM2 : Au CM2 : Consolider les connaissances et capacités en calcul Consolider les connaissances et capacités en calcul

mental sur les nombres entiers et décimaux.mental sur les nombres entiers et décimaux. Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000.Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000.


« Il (le calcul mental) est une façon privilégiée de lier calcul et raisonnement, en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations. Il n’est bien sûr pas question de viser l’apprentissage systématique de techniques ad hoc de calcul mental, comme on peut en trouver dans certains manuels d’arithmétique. Il s’agit d’utiliser les caractéristiques du calcul mental:pour susciter la réflexion sur le calcul, pour mettre en évidence la diversité des façons possibles d’aborder généralement un calcul, comparer leur coût, les connaissances qui les fondent,pour susciter des formulations, des généralisations et des preuves ».

Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques (CREM), dite commission Kahane

Le point de vue des experts

POURQUOI FAIRE DU CALCUL POURQUOI FAIRE DU CALCUL MENTAL ?MENTAL ?

POURQUOI FAIRE DU CALCUL POURQUOI FAIRE DU CALCUL MENTAL ?MENTAL ?C’est socialement utile

Moyen efficace en l’absence de support ou d’instrument : calcul d’usage

Nécessité de pouvoir effectuer un calcul approché

C’est pédagogiquement efficace

- Construction des premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des entiers naturels.- Enrichissement des conceptions numériques des élèves.- Utilisation implicite des propriétés des opérations (commutativité, associativité, distributivité);- Importance pour la mise en place de certaines notions mathématiques :

. Proportionnalité, fractions,

. Opérations sur les relatifs, calcul algébrique…

- Développement des capacités de raisonnement : élaboration de procédures originales

POURQUOI FAIRE DU CALCUL POURQUOI FAIRE DU CALCUL MENTAL ?MENTAL ?

QU’EST CE QUE LE CALCUL MENTAL ?QU’EST CE QUE LE CALCUL MENTAL ?

Quelle définition ?

« L’expression de « calcul mental » signifie qu’entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela n’implique pas qu’aucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat, voire dans le cours du calcul. »

« Le calcul mental à l’école élémentaire »Documents d’accompagnement des programmes 2002

Quelle définition ?

On peut être tenter d’opposer calcul mental et calcul écrit ou instrumenté (posé, techniques opératoires) « Le propre du calcul automatisé qu’il s’agisse de l’emploi de la calculette ou d’un algorithme appliqué avec papier ou crayon, est de délaisser l’intuition des nombres, l’ordre de grandeur. »

Documents d’accompagnement des programmes 2002

« Le calcul mental, calcul réfléchi ou raisonné, nécessite au contraire, une intuition sur les nombres ainsi qu’une part d’initiative et de choix. »



Le propre du « calcul automatisécalcul automatisé » est de délaisser « l’intuition » des nombres, de ne pas s’occuper de l’ordre de grandeur. On travaille avec les CHIFFRES en mettant en œuvre un algorithme officiel et standard. On se laisse guider par la technique : on perd le contrôle de ce qu’on veut faire, mais on est certain d’y arriver !

Par « calcul réfléchicalcul réfléchi », synonyme de calcul raisonné ou dans le temps de calcul rapide (qualificatif mal choisi), on entend choix d’une stratégie de calcul, non nécessairement uniforme, on entend élaboration de procédures (privées), avec un contrôle du déroulement du calcul ; par opposition à rapidité d’exécution. Par définition, le « calcul réfléchicalcul réfléchi » est le calcul qui fait appel aux propriétés des opérations et des nombres.

Patrick Wieruszewski PIUMF site de BloisPatrick Wieruszewski PIUMF site de Blois

Calcul automatisé et calcul réfléchi


Le calcul automatisécalcul automatisé cherche à constituer un répertoire de connaissances sur lequel l’élève pourra s’appuyer pour réduire la charge cognitive qui apparaît lors de la mise en place d’algorithmes ou de raisonnements complexes. Il intègre également la mémorisation de procédures et de pratiques plus abouties qui serviront ultérieurement à rassurer l’élève confronté à de nouvelles difficultés.

Le calcul réfléchicalcul réfléchi impose de - faire des choix efficaces de type de calcul- choisir des représentations pertinentes pour les objets engagés dans le calcul et interpréter celles qui apparaissent au fil du calcul,- faire des anticipations et piloter le calcul en fonction du but poursuivi, des anticipations faites, et de ce que produit le calcul effectif.





En résumé

Il convient donc de distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…) et ce qu’il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais s’appuyant sur ce qui est connu).



ToutefoisAu cycle 3, la frontière entre calcul automatisé et calcul réfléchi n’est pas toujours facile à préciser. A un même moment, elle peut varier d’un élève à l’autre et, surtout, elle se modifie au cours du cycle. Ainsi certains calculs placés dans la rubrique précédente sont d’abord traités par les élèves à l’aide d’un raisonnement avant d’être automatisés. Il ne faut pas oublier que l’automatisation est le résultat d’un travail qui allie compréhension, raisonnement, explications et entraînement, ce dernier n’étant pas le seul élément de la mise en mémoire de résultats ou de procédures. « Le calcul mental à l’école élémentaire »


Les formes de pratiques

COMMENT PRATIQUER LE CALCUL COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?MENTAL ?

Les situations saisies « à la volée » - associé à des situations concrètes, réelles ou de vie courante - saisi à la volée, sans développement excessif - pratique d’un calcul sans crayon, ni instrument - une recherche d’un résultat approché ou vraisemblableLes exercices - mémorisation de résultats simples (tables + ou x) - séances brèves (quelques minutes) car elles sollicitent fortement l’attention - on n’exclue pas les supports écrits - exigence de rapiditéLes séquences de recherches - exploration de stratégies nouvelles - s’effectue collectivement (confrontation des démarches : élément moteur) - durée plus longue - peut prendre la forme de défis et donner lieu à un affichage ou des recherches par équipes, de confrontation, débouchant sur une synthèse

Méthodologie

Les travaux de François Boule et Denis Butlen proposent d’organiser les séances de calcul mental autour de 3 temps forts :

La phase d’échauffement, très brève, pour mettre les élèves en condition d’écoute et de concentration, ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves.La phase d’entraînement, avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction.La phase de calcul réfléchi, plus complexe, où plusieurs procédures sont possibles, la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée.


Méthodologie



- percevoir : établir ce qui va être appris (3 x 2 = 6 car lorsque - percevoir : établir ce qui va être appris (3 x 2 = 6 car lorsque j’ai 3 ensembles de 2 billes j’en ai un total de 6 et par j’ai 3 ensembles de 2 billes j’en ai un total de 6 et par extension, lorsque je construis la table de Pythagore quand extension, lorsque je construis la table de Pythagore quand la colonne 3 rencontre la ligne 2, j’obtiens 6).la colonne 3 rencontre la ligne 2, j’obtiens 6).

- évoquer : rappeler la connaissance et constituer ainsi une - évoquer : rappeler la connaissance et constituer ainsi une image mentale qui peut être visuelle, auditive, ou image mentale qui peut être visuelle, auditive, ou kinesthésique (j’entends « deux fois trois six » ou je vois « la kinesthésique (j’entends « deux fois trois six » ou je vois « la colonne 3 rencontrer la ligne 2 »…).colonne 3 rencontrer la ligne 2 »…).

- faire le projet d'utiliser ultérieurement la connaissance qu’il - faire le projet d'utiliser ultérieurement la connaissance qu’il peut évoquer (si j’ai besoin de faire cette opération je peut évoquer (si j’ai besoin de faire cette opération je pourrai utiliser la comptine « deux fois trois six » ou cette pourrai utiliser la comptine « deux fois trois six » ou cette image de la table de Pythagore).image de la table de Pythagore).

- s'entraîner à restituer la connaissance comme s’il était dans - s'entraîner à restituer la connaissance comme s’il était dans la situation future projetée (je me place en situation de la situation future projetée (je me place en situation de calcul en recherchant des résultats d’opérations que je calcul en recherchant des résultats d’opérations que je compte maîtriser : 2 X 3 ; 3 X 4…).compte maîtriser : 2 X 3 ; 3 X 4…).

Le calcul automatisé : processus de mémorisation

- L’élève doit comprendre l’activité proposée et L’élève doit comprendre l’activité proposée et l’objectif visé : savoir ce qu’il recherche et quelles l’objectif visé : savoir ce qu’il recherche et quelles ressources il doit mobiliser.ressources il doit mobiliser.

- Il doit mesurer l’intérêt qu’il a à se constituer un Il doit mesurer l’intérêt qu’il a à se constituer un répertoire de résultats mémorisés : il sera plus actif répertoire de résultats mémorisés : il sera plus actif dans son apprentissage s’il est convaincu de la dans son apprentissage s’il est convaincu de la nécessité de connaître ce qu’il apprend.nécessité de connaître ce qu’il apprend.

- Il doit savoir ce qu’il connaît et ce qu’il lui reste à Il doit savoir ce qu’il connaît et ce qu’il lui reste à apprendre à l’intérieur d’un même apprentissage. apprendre à l’intérieur d’un même apprentissage.

- Il doit pouvoir s’appuyer sur ce qu’il sait déjà.Il doit pouvoir s’appuyer sur ce qu’il sait déjà.- Il doit s’entraîner et évoluer dans son entraînement Il doit s’entraîner et évoluer dans son entraînement

en fonction du niveau atteint.en fonction du niveau atteint.

Le calcul automatisé : conditions de mémorisation


- QUAND ?QUAND ?- Le calcul automatisé au début ou dans certains cas Le calcul automatisé au début ou dans certains cas

précis (nouvelle notion, nouvelle pratique, besoin précis (nouvelle notion, nouvelle pratique, besoin criant…)criant…)

- COMBIEN ? COMBIEN ? - Tous les jours une quinzaine de minutesTous les jours une quinzaine de minutes- COMMENT ?COMMENT ?

- En fonction des apprentissages mathématiques en En fonction des apprentissages mathématiques en courscours

- Avec le minimum de matériel : ardoise, Avec le minimum de matériel : ardoise, éventuellement une feuille de papier, une éventuellement une feuille de papier, une calculatrice et certains jeux adaptés calculatrice et certains jeux adaptés (jeux de lotos, (jeux de lotos, de dominos, de cartes, du gobelet…)de dominos, de cartes, du gobelet…)

- Selon le procédé LamartinièreSelon le procédé Lamartinière- OralementOralement

Le calcul automatisé : quand, combien, comment


COMMENT PRATIQUER LE CALCUL COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL ?MENTAL ?Le calcul automatisé : quelques activités

22 45 52

8 37 56

9 28 48

Loto Les nombres sont dictés par l’enseignant ou un élève.

Plusieurs activités sont envisageablesDictée de nombresLotos additifs et multiplicatifsDécompositions (ex : 14 + 10 + 4)Écritures équivalentes (50 = 25 x 2 = 100 : 2 = 10 x 5 = …)

Qui a ?


Le meneur de jeu distribue toutes les cartes aux élèves tout en conservant la première pour lui. Il énonce le premier calcul à effectuer. L’élève qui a la réponse la donne à l’ensemble de la classe puis, retourne sa carte et énonce à son tour le calcul à réaliser. On continue ainsi jusqu’à épuisement des cartes.

Doubles et moitiés

J’ai 16 J’ai 14 J’ai 10 J’ai 60 J’ai 20 J’ai 15 J’ai 150

J’ai 4 J’ai 7 J’ai 24 J’ai 40 J’ai 3 J’ai 50 J’ai 25 J’ai 300

J’ai 30 J’ai 2 J’ai 8 J’ai 22 J’ai 9 J’ai 200 J’ai 600 J’ai 400

Qui a le double de 15 ?

Qui a la moitié de 14 ?
























Les suites de nombres

En ligne

379 384

7,1 7,5

97

0,12

17,5

En rouleaux


Tables à compléter

X 3 2

18

10

12 16

54 36

X

25

24

24 9

1

Principe : mélanger l’ordre des tables

Travail sur la table de Pythagore :

- Jeu de code : une grille permet d’associer chaque lettre de l’alphabet à un nombre pris dans la table de Pythagore. Les élèves doivent décoder un mot écrit sous forme d’une succession de multiplications.

Trouver les en-têtes de lignes et de colonnes dans un tableau du type :

Le calcul automatisé : quelques activités


FF GG HH II JJ

AA 2424 3636 88

BB 1818 44

CC 1818 2424 2121

DD 3636 4848

EE 4545 3535

66 99 88 22 77

44 2424 3636 88

22 1818 44

33 1818 2424 2121

66 3636 4848

55 4545 3535

3737

-- Les puzzlesLes puzzles Quels sont les morceaux qui peuvent être Quels sont les morceaux qui peuvent être

placés dans la table de Pythagore? Comment placés dans la table de Pythagore? Comment les reconnaître?les reconnaître?

Comment décrire les autres tableaux?Comment décrire les autres tableaux? Reconstituer la table de PythagoreReconstituer la table de Pythagore


Travail sur la table de Pythagore : (suite)


oui oui

oui

oui

oui oui

oui oui

oui

oui ouinon

non

non

non

- Jeux du furetJeux du furet : compter, décompter de n en n. La : compter, décompter de n en n. La parole passe d’élève en élève dans un ordre prévu et parole passe d’élève en élève dans un ordre prévu et stable pour que les élèves mettent en place des stable pour que les élèves mettent en place des stratégies d’anticipation. Le maître peut choisir le stratégies d’anticipation. Le maître peut choisir le nombre de départ pour faire évoluer l’exercice. Il nombre de départ pour faire évoluer l’exercice. Il choisit n en fonction des objectifs de travail et de la choisit n en fonction des objectifs de travail et de la notion abordée. notion abordée.

- Multiplication par des puissances de 10 puis Multiplication par des puissances de 10 puis des multiples de 10des multiples de 10 : 10 X 45, 100 X 340…puis 30 : 10 X 45, 100 X 340…puis 30 X 60, 50 X 70…et enfin 300 X 2000, 40 X 800… X 60, 50 X 70…et enfin 300 X 2000, 40 X 800…

- Multiplications et division par 25 et 250Multiplications et division par 25 et 250 : :

« 25 X 3 », « 250 X 8 »… Les élèves apprennent à « 25 X 3 », « 250 X 8 »… Les élèves apprennent à repérer le multiple de 4 le plus proche du repérer le multiple de 4 le plus proche du multiplicateur en plus d’assimiler les produits de 25 multiplicateur en plus d’assimiler les produits de 25 et 250 par 1, 2, et 3.et 250 par 1, 2, et 3.



Un objectif différent : il ne s’agit plus de Un objectif différent : il ne s’agit plus de mémoriser mais de raisonner, de mobiliser mémoriser mais de raisonner, de mobiliser des savoirs pour obtenir un résultatdes savoirs pour obtenir un résultat

La réflexion et le choix de la démarche sont La réflexion et le choix de la démarche sont primordiaux et nécessitent de nombreux primordiaux et nécessitent de nombreux retours et des explicitations détaillées. retours et des explicitations détaillées.

Les élèves devront valider leurs résultats en Les élèves devront valider leurs résultats en présentant leur démarche. présentant leur démarche.

Le calcul mental réfléchi implique donc un Le calcul mental réfléchi implique donc un débat, des discussions et des analyses qui débat, des discussions et des analyses qui passent parfois par l’écrit.passent parfois par l’écrit.

Le calcul réfléchi : une autre logique


L’enseignant intervient le moins possible :L’enseignant intervient le moins possible : pour relever une erreur de raisonnement, pour relever une erreur de raisonnement, pour traduire mathématiquement un raisonnement pour traduire mathématiquement un raisonnement

complexe et donc le « mathématiser »,complexe et donc le « mathématiser », pour souligner les points importants méritant une pour souligner les points importants méritant une

réflexion plus approfondie, un apprentissage réflexion plus approfondie, un apprentissage nouveau…et rebondir sur les remarques ou les nouveau…et rebondir sur les remarques ou les affirmations qui sont propices à des explicitations affirmations qui sont propices à des explicitations opportunes, opportunes,

pour jouer le rôle d’arbitre objectif lorsqu’un débat pour jouer le rôle d’arbitre objectif lorsqu’un débat ne trouve pas de solution et qu’il en existe une du ne trouve pas de solution et qu’il en existe une du point de vue mathématique, ou pour point de vue mathématique, ou pour institutionnaliser les apprentissagesinstitutionnaliser les apprentissages

Pour relever les stratégies erronées, les soumettre à Pour relever les stratégies erronées, les soumettre à la réflexion de chacun et mettre en évidence une la réflexion de chacun et mettre en évidence une erreur à éviter, en définir la nature.erreur à éviter, en définir la nature.

Le calcul réfléchi : le rôle de l’enseignant


QUAND ? QUAND ?

Le calcul mental réfléchi apparaît plus tardivement dans Le calcul mental réfléchi apparaît plus tardivement dans l’année pour permettre aux habitudes matérielles et l’année pour permettre aux habitudes matérielles et techniques de s’installer et aux répertoires mémorisés techniques de s’installer et aux répertoires mémorisés d’être plus solidement ancrésd’être plus solidement ancrés

COMBIEN ? COMBIEN ?

Tous les jours mais la durée peut varier selon la pratique Tous les jours mais la durée peut varier selon la pratique et la notion abordéeet la notion abordée

COMMENT ? COMMENT ? En fonction des apprentissages mathématiques en En fonction des apprentissages mathématiques en

courscours Le recours à l’écrit ou à la calculatrice sera plus Le recours à l’écrit ou à la calculatrice sera plus

courant pour permettre aux élèves de se libérer d’un courant pour permettre aux élèves de se libérer d’un trop grand nombre de résultats mémorisés ou de trop grand nombre de résultats mémorisés ou de calculs mobilisateurs d’attentioncalculs mobilisateurs d’attention

Le calcul réfléchi : quand, combien, comment


Le calcul réfléchi : quelques exemples

Multiplications mentales en utilisant des nombres repères : - 34 X 11 =

34 X (10 + 1) = 340 + 34 = 374

- 21 X 9 =

21 X (10 - 1) = 210 – 21 = 210 – 10 – 10 – 1 = 189

- 101 X 14 =

(100 + 1) X 14 = 1400 + 14 = 1414

- 98 X 13 = (100 – 2) X 13 = 1300 – 26 = 1274

Divisions mentales :

- 355 : 5 =

(350 + 5) : 5 = 70 + 1 = 71

- 497 : 7 =

(490 + 7) : 7 = 70 + 1 = 71

- 248 : 4 =

(240 + 8) : 4 = 60 + 2 = 62


Puis utiliser cette capacité pour trouver un produit sans calcul complexe :

28 X 35


Décompositions multiplicatives :

Trouver plusieurs façons d’écrire un nombre X sous la forme d’un produit de facteurs :

12 = 6 X 2 = 4 X 3 = 12 X 1


= 7 X 4 X 5 X 7 = 7 X 20 X 7 = 20 X 49

= 2 X 49 X 10

= 2 X (50 - 1) X 10

= (100 – 2) X 10

= 98 X 10 = 980

Attention : Pour l’opération « 25 X 31 », un nombre important d’élèves proposera a priori une transformation en « 20 X 30 = 600 ». L’enseignant devra alors orienter le groupe vers une autre transformation possible : « 30 X 30 = 900 » et faire comparer les résultats trouvés avec le résultat exact du calcul : 775.


- Situations additives : « 2486 + 792 » devient « 2500 + 800 » soit environ 3300,

Calcul approché :

- Situations soustractives : « 347 – 191 » devient « 350 – 200 » soit environ 150,- Situations multiplicatives : « 31 X 39 » est transformé en « 30 X 40 » et s’approche donc de 1200,

- Situations de division : « 457 : 9 » devient « 450 : 9 » soit environ 50.


Jeu de l’autobus : Un bus comprenant X personnes s’arrête successivement en différents endroits, des passagers montent et d’autres descendent. Les élèves doivent trouver combien de personnes sont dans l’autobus au moment où il redémarre après chaque arrêt. L’enseignant peut utiliser des nombres variés pour faire évoluer les démarches. Ainsi « 15 – 5 + 8 » pourra être calculé par la démarche « (15 – 5) + 8 » alors que « 234 – 49 + 43 » devra être transformé en « 234 – (49 – 43) ». Le vocabulaire peut également être adapté : « la moitié des passagers descendent et 3 montent »…

Jeu de la chaîne : à partir d’un nombre de départ des transformations successives sont proposées. L’élève inscrit le nombre obtenu en fin de processus.



Le compte est bon : à partir d’une série de plusieurs nombres, les élèves doivent obtenir un nombre cible en utilisant les quatre opérations.


Le nombre pensé : l’enseignant énonce « j’ai un nombre en tête, je lui applique la ou les transformations suivantes et j’obtiens X, quel est-il ». Les élèves doivent trouver et appliquer les opérations inverses pour obtenir le nombre de départ. Jeux du portrait : l’enseignant fait le portrait d’un nombre sans le désigner. Il peut l’encadrer, en faire une décomposition canonique partielle, annoncer le nombre de chiffres…selon l’objectif de travail. Les élèves doivent, soit le retrouver dans une liste proposée, soit le construire à partir des informations énoncées. Celles-ci peuvent être écrites ou orales.


Exemple 2 : afficher 5,27 sans avoir le droit de taper sur les touches [5], [2], [7], avec éventuellement la contrainte supplémentaire de ne pouvoir utiliser la touche « virgule » (dans ce cas, le 0 est autorisé et les opérations peuvent en comporter autant que l’élève le souhaite)

Le calcul réfléchi : cas particulier du calcul instrumenté

Exercice 1 :

Afficher un nombre sans avoir le droit de taper sur les chiffres correspondants et en n’utilisant que des opérations comportant un chiffre et un signe (+, -, x, :). Plus les élèves sont performants, plus le nombre de chiffres peut être important. Le but est d’utiliser le moins d’opérations possible.Exemple 1 : afficher le nombre 134 sans avoir le droit de taper sur les touches [1], [3], [4]


Exemple 3 : Faire afficher 45,24 puis demander d’afficher 42,14


Exercice 2 :

A partir d’un nombre défini par le maître, afficher un nouveau nombre en utilisant un minimum de touches et sans effacer. Exemple 1 : faire afficher 47, puis demander d'afficher

77Exemple 2 : faire afficher 327, puis demander d'afficher 657


Exercice 3 : la chute à dix

Les élèves affichent un nombre entier n compris entre 100 et 1000. Ils doivent arriver à 10 en un minimum d'opérations, en n’utilisant que les touches [+], [], [] et [] et un chiffre.

Exemple résolu : on affiche n = 456.

Un trajet de la chute ou de la course peut être :

456 [+] 3 [=] 459

459 [] 9 [=] 51

51 [+] 9 [=] 60

60 [] 6 [=] 10



L’introduction d’un nouvel apprentissageL’introduction d’un nouvel apprentissage

Cette phase peut être très brève (une séance) quand il s’agit de calcul automatisé (compléments à 10) ou que l’apprentissage revient sur une notion partiellement connue (multiples de 25 en CM2). Elle peut également s’étendre sur une période plus longue (3 à 4 séances) quand la notion étudiée est nouvelle (calcul approché), ou qu’elle introduit des outils (calculatrice…) ou des démarches nouvelles (jeu du compte est bon). Son but est de placer l’élève en situation de recherche, de lui faire évaluer ce qu’il sait faire et ce qu’il doit apprendre et verbaliser l’intérêt de la notion abordée.


Le calcul réfléchi : construction des séquences

La recherche de solutions personnelles par les élèves La recherche de solutions personnelles par les élèves

Cette deuxième phase s’étend sur un nombre plus Cette deuxième phase s’étend sur un nombre plus important et assez variable de séances. Sa durée important et assez variable de séances. Sa durée dépend des solutions qui sont proposées et de la dépend des solutions qui sont proposées et de la capacité du plus grand nombre à découvrir un capacité du plus grand nombre à découvrir un procédé approprié. Il est important que tous puissent procédé approprié. Il est important que tous puissent d’abord participer à la recherche de solutions et d’abord participer à la recherche de solutions et ensuite être confrontés aux démarches proposées ensuite être confrontés aux démarches proposées par les pairs. Ainsi pour des additions du type « 23 + par les pairs. Ainsi pour des additions du type « 23 + 8 », une part importante des enfants de la classe 8 », une part importante des enfants de la classe reproduit mentalement l’algorithme écrit. Il faudra un reproduit mentalement l’algorithme écrit. Il faudra un peu de temps pour que de nouvelles approches peu de temps pour que de nouvelles approches émergent (23 + 7 + 1) et que leur efficacité puisse émergent (23 + 7 + 1) et que leur efficacité puisse être décelée au travers de la rapidité d’exécution des être décelée au travers de la rapidité d’exécution des utilisateurs. utilisateurs.



Bilan des modèles utilisés et analyseBilan des modèles utilisés et analyse

Un bilan des modèles utilisés et leur analyse : points Un bilan des modèles utilisés et leur analyse : points forts, points faibles et situations dans lesquelles ils forts, points faibles et situations dans lesquelles ils sont préconisés. Une séance est généralement sont préconisés. Une séance est généralement suffisante. suffisante.

RéinvestissementRéinvestissement

Nouvelle phase d’utilisation durant laquelle tous les Nouvelle phase d’utilisation durant laquelle tous les élèves sont invités à tester les modèles les plus élèves sont invités à tester les modèles les plus efficaces et à se familiariser avec eux. Le nombre de efficaces et à se familiariser avec eux. Le nombre de séances varie ici avec la difficulté de la notion. Les séances varie ici avec la difficulté de la notion. Les calculs approchés peuvent nécessiter cinq séances calculs approchés peuvent nécessiter cinq séances tout comme le jeu de l’autobus. En revanche, la tout comme le jeu de l’autobus. En revanche, la soustraction d’un nombre à un chiffre ne demande soustraction d’un nombre à un chiffre ne demande pas plus de 2 séances. pas plus de 2 séances.

COMMENT PRATIQUER LE CALCUL COMMENT PRATIQUER LE CALCUL MENTAL?MENTAL?


InstitutionnalisationInstitutionnalisation

Une solution efficace est établie comme référence et Une solution efficace est établie comme référence et validée comme solution experte.validée comme solution experte.

Par la suite elle est entérinée par une systématisation Par la suite elle est entérinée par une systématisation avec recherche de rapidité. Sous forme ludique, avec recherche de rapidité. Sous forme ludique, concours de rapidité, défis chronométrés, les élèves concours de rapidité, défis chronométrés, les élèves utilisent les modèles et mesurent leur capacité à utilisent les modèles et mesurent leur capacité à trouver les réponses et à opérer avec aisance. Cette trouver les réponses et à opérer avec aisance. Cette phase ne dépasse jamais deux séances. phase ne dépasse jamais deux séances.



BIBLIOGRAPHIEBIBLIOGRAPHIE

Les documents d’accompagnement des programmes: le calcul mental à Les documents d’accompagnement des programmes: le calcul mental à l’école élémentaire, p32 à 49 (l’école élémentaire, p32 à 49 (ce n’est plus une référence ce n’est plus une référence institutionnelle, mais c’est toujours une valeur sûre pour la conception institutionnelle, mais c’est toujours une valeur sûre pour la conception des apprentissages !)des apprentissages !)

BOULE F., BOULE F., Le calcul mental à l’école, histoire, expérimentation, Le calcul mental à l’école, histoire, expérimentation, propositions, propositions, Nouvelle version, IREM, Dijon, 1998, 54 pages.Nouvelle version, IREM, Dijon, 1998, 54 pages.

BOULE F., BOULE F., Le calcul mental au quotidien (cycles 2 et 3) Le calcul mental au quotidien (cycles 2 et 3) SCEREN, CRDP SCEREN, CRDP Bourgogne, 2008, 110 pagesBourgogne, 2008, 110 pages

BUTLEN D., BUTLEN D., Le calcul mental entre sens et techniqueLe calcul mental entre sens et technique, Presses , Presses Universitaires de Franche-Comté, collection Didactiques, Besançon, Universitaires de Franche-Comté, collection Didactiques, Besançon, 2007, 186 pages.2007, 186 pages.

BUTLEN D., BUTLEN D., Calcul mental, calcul rapideCalcul mental, calcul rapide, IREM Paris VII, 1987, IREM Paris VII, 1987

PPELTIER M.L., ELTIER M.L., Activités de calcul mentalActivités de calcul mental, Hatier, 2000., Hatier, 2000.

BOLSIUS CH., BOLSIUS CH., Fort en calcul mental ! Connaissances et stratégies pour Fort en calcul mental ! Connaissances et stratégies pour réussirréussir, SCEREN, CRDP Lorraine, 2008, 120 pages, SCEREN, CRDP Lorraine, 2008, 120 pages

SITOGRAPHIE SITOGRAPHIE

www.crocodilus.org/jeux/calcul

www.educalire.net

www.gomaths.ch

http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num

www.nicoland.com/fr/calculs/calcul-mental

POUR FINIR POUR FINIR

« Le calcul mental est une partie « Le calcul mental est une partie brillante et neuve de notre brillante et neuve de notre enseignement. […] On apprend à enseignement. […] On apprend à compter comme on apprend à compter comme on apprend à traverser une rue; il ne s’agit pas traverser une rue; il ne s’agit pas d’aller lentement ; mais il faut saisir d’aller lentement ; mais il faut saisir le moment, apprendre à disposer de le moment, apprendre à disposer de soi, et faire vite, sans aucune peur. »soi, et faire vite, sans aucune peur. »

Alain Alain « Propos sur l’éducation » « Propos sur l’éducation » 19321932

Le calcul mental au cycle 3

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