ENSEIGNER LE CALCUL MENTAL

- Un enseignement essentiel

- Un paradoxe

- Des éléments clés

- Des incontournables pour un parcours

Vrai ou Faux à votre avis ?

• 1. Le calcul mental s’appuie uniquement sur la mémoire.

• 2. Lors de séances de calcul mental, seul le résultat peut être écrit.

• 3. Le calcul mental, permet de travailler les propriétés des opérations.

• 4. Le calcul mental permet de préparer la résolution de problèmes.

• 5. La répétition fréquente des tables suffit à en assurer la mémorisation.

• 6. Les compétences de calcul mental se préparent dès les premières années de maternelle.

• 7. Il faut imposer aux élèves des procédures de calcul réfléchi.

Le calcul mentalUne définition

• On parle de calcul mental lorsqu’il n’y a pas de traitement écrit du calcul en lui-même.

• On pourra tout de même avoir une trace écrite de l’énoncé, de la consigne, de la réponse, et éventuellement des résultats intermédiaires afin de soulager la part à mémoriser.

Le calcul mental peut être automatisé ou réfléchi

• automatisé : -concerne des faits numériques mémorisés (ex : répertoires additifs et multiplicatifs…). Réponse immédiate.

-concerne des procédures restituées par l’élève sans que celui-ci la reconstruise.

Un automatisme est le recours à un ensemble de procédures automatisées installées en mémoire et ayant fait l’objet d’un enseignement préalable.

• réfléchi : nécessite la mise en œuvre d’une procédure adaptée aux propriétés des opérations et des nombres. Cette adaptation fait appel au raisonnement (choisir des procédures automatisées ou non).

Testons nos connaissances

Les autres types de calculs

• Le calcul posé consiste à l’application d’un algorithme opératoire.

• Le calcul instrumenté est un calcul effectué à l’aide d’un ou plusieurs instruments, appareils ou logiciels (abaque, boulier, calculatrice, tableur…).

• Le calcul en ligne est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit, une étape vers le calcul mental. Il permet d’écrire les calculs intermédiaires qui encombreraient la mémoire.

Le passage par l’écrit permet d’expliciter les procédures et de suivre l’évolution de la mémorisation.

Le calcul mental : un enseignement essentiel

• La circulaire de rentrée 2019 - BO n°22 du 29 mai 2019

Repères annuels de progression et attendus de fin d’année - BO n°22 du 29 mai 2019

https://www.education.gouv.fr/pid285/bulletin_officiel.html?cid_bo=141642

• Enseignement du calcul : un enjeu majeur pour la maîtrise des principaux éléments de mathématiques à l’école primaire - BO spécial n°3 du 26 avril 2018

https://www.education.gouv.fr/pid285/bulletin_officiel.html?cid_bo=128731

• Le calcul aux cycles 2 et 3 - Ressource Eduscol – mars 2016

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/28/1/RA16_C2C3_MATH_math_calc_c2c3_N.D_609281.pdf

• Le calcul en ligne au cycle 2 – Ressource Eduscol – mars 2016

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/87/9/RA16_C2_MATHS_calcul_en_ligne_587879.pdf

• Les programmes du cycle 2 et du cycle 3 - Texte consolidé 26-07-2018 à partir du programme au BOEN spécial n° 11 du 26 novembre 2015

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/programmes_2018/20/0/Cycle_2_programme_consolide_1038200.pdf

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/programmes_2018/20/2/Cycle_3_programme_consolide_1038202.pdf

• Rapport Villani-Torossian - février 2018 http://www.education.gouv.fr/cid126423/21-mesures-pour-l-enseignement-des-mathematiques.html

• -Conférence de consensus du CNESCO (Conseil National d’Evaluation du Système Scolaire)http://www.cnesco.fr/fr/numeration/

• Le nombre au cycle 2 – Ressource Sceren CNDP – juillet 2010

https://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf

• Le nombre au cycle 3 – Ressource Sceren CNDP - juin 2012

https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/44/9/NombreCycle3_web_VD_227449.pdf

Programme cycle 2 consolidé juillet2018

• La pratique quotidienne du calcul mental conforte la maîtrise des nombres et des opérations et permet l’acquisition d’automatismes procéduraux et la mémorisation progressive de résultats comme ceux des compléments à 10, des tables d’addition et de multiplication. Les élèves s'approprient les nombres par la manipulation, le jeu et le calcul mental au quotidien

• L’appropriation de stratégies de calcul adaptées aux nombres et aux opérations en jeu. Ces stratégies s’appuient sur la connaissance de faits numériques mémorisés (répertoires additif et multiplicatif, connaissance des unités de numération et de leurs relations, etc.) et sur celle des propriétés des opérations et de la numération. Le calcul mental est essentiel dans la vie quotidienne où il est souvent nécessaire de parvenir rapidement à un ordre de grandeur du résultat d’une opération, ou de vérifier un prix, etc.

• Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leurs relations est le fondement de la compréhension des nombres entiers et ce champ numérique est privilégié pour la construction de stratégies de calcul et la résolution des premiers problèmes arithmétiques.

Programme du cycle 3 consolidé juillet2018

• Le cycle 3 vise à consolider l’automatisation des techniques écrites de calcul introduites précédemment (addition, soustraction et multiplication) ainsi que les résultats et procédures de calcul mental du cycle 2, mais aussi à construire de nouvelles techniques de calcul écrites (division) et mentales.

• En complément de l’usage du papier, du crayon et de la manipulation d’objets concrets, les outils numériques sont progressivement introduits. Ainsi, l’usage de logiciels de calcul et de numération permet d’approfondir les connaissances des propriétés des nombres et des opérations comme d’accroître la maîtrise de certaines techniques de calculs.

• Dans le prolongement du travail mené au cycle 2, l’institutionnalisation des savoirs dans un cahier de leçon est essentielle.

• La verbalisation reposant sur une syntaxe et un lexique adaptés est encouragée et valorisée en toute situation et accompagne le recours à l’écrit.

Note calcul avril 2018

• le calcul mental doit faire l'objet d'une pratique quotidienne moyenne d'au moins 15 minutes. On privilégiera l'alternance de séries de séances d'entraînement courtes (10 à 15 minutes) avec des séances longues (30 à 45 minutes) visant des apprentissages procéduraux spécifiques.

• La construction des faits numériques relève dans un premier temps du calcul mental, mais la pratique du calcul mental s'appuie aussi sur une bonne compréhension et une bonne connaissance de propriétés des nombres et des opérations qui doivent être enseignées et formalisées.

Le calcul aux cycles 2 et 3

Le calcul mental et le calcul en ligne sont pratiqués pour :

• construire puis travailler la compréhension de la notion de nombre et des propriétés de notre numération décimale de position

• développer la connaissance des nombres ;

• travailler le sens des opérations ;

• découvrir et utiliser les propriétés des opérations ;

• développer des habiletés calculatoires ;

• construire progressivement des faits numériques et des procédures élémentaires qui seront utiles pour mener des calculs posés et permettront de traiter des calculs (mentaux ou en ligne) plus complexes ;

• développer des compétences dans le cadre de la résolution de problèmes, par exemple au niveau du choix des opérations

• Par le calcul mental et le calcul en ligne, on apprend aussi à déterminer un ordre de grandeur et à pratiquer le calcul approché. Cette capacité est particulièrement utile pour contrôler un résultat et développer l’esprit critique

En articulation avec le calcul mental, le calcul en ligne participe• à la compréhension de la notion de nombre entier, de fraction et de

nombre décimal, ainsi que de la numération de position (travailler les diverses décompositions possibles d’un nombre favorise l’accès au sens du nombre et aux relations entre les nombres)

• à la compréhension des différentes écritures d’un même nombre (écritures diverses d’un nombre décimal par exemple), en motivant leur utilisation

• à la compréhension progressive des propriétés des opérations en favorisant leur utilisation (il est attendu des élèves qu’ils manipulent ces propriétés en situation et qu’ils les explicitent avec leurs mots ; les dénominations données ci-dessous ne sont pas des objectifs d’apprentissage pour les élèves)

Développez l’utilisation des propriétés des opérations et proposez une trace écrite

commutativité de l’addition et de la multiplication

5 + 7 =

3 × 8 =

associativité de l’addition et de la multiplication

7 + 3 =

24 × 5 =

distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction

8 × 13 =

Les propriétés des opérations

commutativité de l’addition et de la multiplication (un élève peut dire, par exemple : « dans une addition ou une multiplication, on peut changer l’ordre des termes ») : 5 + 7 = 7 + 5, 3 × 8 = 8 × 3

associativité de l’addition et de la multiplication (un élève peut dire, par exemple : « dans une addition ou une multiplication, on peut regrouper les termes comme on veut »): 7 + 3 = 2 + 8 car (2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3), 24 × 5 = 12 × 10 car (12 × 2) × 5 = 12 × (2 × 5)

distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction (un élève peut dire, par exemple : « quand on multiplie une somme de deux nombres, cela revient à multiplier chacun des termes ») :8 × 13 = 8 × (10 + 3) = (8 × 10) + (8 × 3) = 80 + 24 = 104 ;

Propriétés relatives aux opérations

Division, diviser par 4 :

268 ÷ 4 =

Conservation de l’écart pour la soustraction :

63 - 26 =

• à la connaissance de propriétés relatives aux opérations, pouvant faciliter le calcul mental ou en ligne en permettant de créer des étapes intermédiaires :division :diviser par 4, c’est diviser par 2 puis encore par 2268 ÷ 4 = (268÷2) ÷ 2 = 67 conservation de l’écart pour la soustraction : 63 - 26 = 67 - 30 = 37, on a ajouté 4 aux deux

termes, l’écart entre les deux nombres (résultat de la soustraction) ne change pas quand on leur ajoute ou soustrait le même nombre

• à la compréhension progressive de la signification du signe « = », à concevoir comme équivalence entre le membre écrit à gauche et le membre écrit à droite, et pas seulement pour donner le résultat d’un calcul

• à la mémorisation progressive de faits numériques et de stratégies de calcul qui seront ensuite mis en œuvre pour traiter des situations plus complexes en calcul mental et en ligne

• au développement de compétences relatives au calcul d’ordre de grandeur

Le nombre au cycle 2• Que faut–il mémoriser et quand ? Un premier élément consiste dans la mise en

place progressive de procédures élémentaires automatisées de calcul. Il s’agit d’accroître les performances des élèves en enrichissant leurs connaissances numériques, en installant de nouveaux faits numériques avec une pratique régulière du calcul mental. Cela devrait les amener à restituer des faits mémorisés sans avoir à les reconstruire à chaque fois. Ces procédures élémentaires de calcul jouent ensuite le rôle de modules de calcul intégrés dans des procédures plus riches et adaptées à d’autres nombres

• Mais certaines conditions doivent être remplies pour que cette dynamique soit possible. Les élèves doivent savoir détecter les moments où il faut inventer et ceux où il faut reproduire, ce qui nécessite, de la part du professeur, des institutionnalisations souples. Ce dernier doit non seulement faire expliciter les procédures mobilisées mais aussi les hiérarchiser et, pour certaines, institutionnaliser aussi leur domaine de validité.

• Une pratique régulière de calcul mental doit ainsi avoir pour objectif d’amener l’élève, non seulement à mettre en œuvre des procédures économiques, mais aussi à en percevoir le domaine d’efficacité

Le nombre au cycle 3

• Le calcul et raisonnement ne doivent pas être opposés. En effet, mis à part lors de la mobilisation de résultats automatisés (ce que certains appellent des faits numériques), tout calcul sollicite le raisonnement car même si à un certain moment, une part du calcul doit se routiniser, s’appuyer sur des répertoires de résultats comme de procédures qui ne peuvent être éternellement reconstruits mais doivent être mobilisables et disponibles, on peut dire, notamment dans l’activité de résolution de problème, que le calcul supporte le raisonnement.

• Il faudra aussi que l’élève ait perçu que ces faits numériques à connaître sont des résultats « incontournables » car intervenant dans de nombreux calculs et qu’il sache les mobiliser à bon escient. L’automatisation pourra aussi se situer au niveau de certaines procédures qui relèvent non seulement du calcul posé, donc des techniques opératoires, mais également du calcul mental.

Calcul mental: le paradoxe de l’automatisme (Butlen - Pezard 1992)

• Effectuez mentalement ce calcul en 15 secondes

32 x 25

Différentes procédures mobilisées

Cette mobilisation

• qui dépend de la disponibilité des connaissances numériques des élèves

qui est le résultat d’un compromis entre la qualité des connaissances mobilisées et le coût en calcul et en mémoire

• qui n’implique pas les mêmes apprentissages

Les procédures choisies détermineront l’efficacité du calcul.

La simulation du calcul posé

• A un moment ou à un autre du calcul, le sujet peut être amené à

« poser un calcul dans sa tête »

• Calcul de la multiplication « posée dans la tête » (l’algorithme écrit)

32x 25

Les procédures mobilisant des décompositions additives

Procédure canonique : utilisant la distributivité « simple » de la multiplication sur l’addition

•32 x 25 = 32 x 20 + 32 x 5 = 640 + 160 = 800•32 x 25 = 30 x 25 + 2 x 25 = 750 + 50 = 800

Calcul utilisant la distributivité « complexe » de la multiplication sur l’addition

•32 x 25 = 30 x 20 + 30 x 5 + 2 x 20 + 2 x 5•32 x 25 = 600 + 150 + 40 + 10 = 800

Les procédures mobilisant des décompositions multiplicatives

Les procédures mobilisant des décompositions multiplicatives

•32 x 25 = 8 x 4 x 25 = 8 x 100 = 800

•32 x 25 = 32 x 100 : 4 = 3200 : 4 = 800

•32 x 25 = 32 x 100 x 1/ 4 = 3200 x1/ 4 = 800

Ou bien encore :

•32 x 25 = 32 x 50/2 =( 32 x 5 x 10)/2 = 160x10/2 = 1600/2 = 800

L’enjeu de cette activité de calcul mental

• Effectuer le calcul

• Mobiliser les connaissances nécessaires pour réduire le coût en calcul et mémoire, s’adapter au calcul (mettre à distance certains automatismes)

• Appréhender (en quelques secondes) l’enjeu de la situation en terme d’apprentissage et pas seulement en terme d’action

• Fréquenter les propriétés des nombres et des opérations, accroître le domaine des connaissances disponibles (connaissances et procédures élémentaires automatisées)

Un diagnostique des procédures et des performances des élèves (Butlen – Pezard)

Un exemple 45 + 17 = Quelques procédures possibles- Simulation de l’algorithme écrit- Utilisation de la décomposition additive canonique45+17=40+5+10+7=40+10+7+5=50+12=6245+17=45+10+7=55+7=62- Utilisation de la décomposition additive de l’un des termes s’appuyant sur

un passage à la dizaine supérieure45+17=45+5+12=50+12=62- Utilisation de la décomposition soustractive de l’un des termes45+17=45+20-3=65-3=62 …

Deux dynamiques possibles

Deux dynamiques peuvent coexister dans une même classe quand on enseigne régulièrement le calcul mental

• Une dynamique positive : Des prérequis sur les nombres et les opérations —> des connaissances disponibles —> mobilisation de procédures adaptées —> exploration des nombres et des propriétés —> des connaissances plus riches, plus disponibles —> une plus grande adaptabilité

• Une dynamique négative : un manque de prérequis sur les nombres et les opérations —> des connaissances peu disponibles —> mobilisation de procédures sûres (automatisées) mais peu économiques —> peu ou pas d’exploration des nombres et des propriétés —> un déficit de connaissances disponibles —> une plus faible adaptabilité

• Trop peu d’automatismes (au sens de procédures automatisées) renforce l’automatisme (au sens du comportement automatisé)

• Davantage d’automatismes permet d’échapper à l’automatisme en mobilisant plus aisément des procédures adaptées aux nombres et au opérations en jeu

Un constat et des propositions d’action

Ainsi une installation suffisante de

• faits numériques mémorisés (enrichissement des connaissances numériques)

• de modules élémentaires de calcul

permet aux élèves de mobiliser des procédures plus adaptées, plus économiques et d ’échapper à l ’automatisme

Un enseignement paradoxal : pour échapper à une posture consistant à se réfugier dans des automatismes, il faut disposer d’automatismes (faits numériques mémorisés et procédures élémentaires disponibles)

Pour cela, il est nécessaire :

• de faire appel à la mémoire (répertoire numérique plus riche, procédures de calcul plus économiques, nouvelles propriétés des nombres et des opérations, connaissances plus riches, plus d’habileté pour de nouveaux calculs)

• d ’institutionnaliser à la fois la procédure et son domaine d ’efficacité

Les éléments clés du calcul mental

Les composantes de l’enseignement du calcul mental

ENSEIGNER DES FAITS NUMERIQUES

ENSEIGNER DES PROCEDURES ENSEIGNER LE CALCUL APPROCHE

LA MEMORISATION ET LA CONNAISSANCE DES TABLES ET DES RELATIONS NUMERIQUES REMARQUABLES

LA DECOMPOSITION ET LA MANIPULATION DES NOMBRES ET DES OPERATIONS EN S’APPUYANT SUR LES PROPRIETES DE LA NUMERATION DECIMALE ET DES OPERATIONS

L’UTILISATION DES ENCADREMENTSET DES VALEURS APPROCHEES POUR ASSURER LA VRAISEMBLANCE D’UN CALCUL

La mise en œuvre de séquences spécifiques d’apprentissage (voir doc. Trame séquence)

⚠ Dans cette étape , la rapidité d’exécution

des calculs n’est nullement l’objectif.

Des incontournables pour un parcours

• Pratiquer quotidiennement le calcul mental

• Alterner des temps d’apprentissage et des temps de réactivation

• Mettre en œuvre des séquences d’apprentissage

• Faire expliciter et verbaliser les procédures

• Réactiver régulièrement les tables d’addition et de multiplication

• Construire avec les élèves un outil mémoire pour les traces institutionnelles

Format du parcours de formation Parcours hybride de 9h : 4h30 de présentiel et 4h30 de formation à distance

Présentiel 1 : 2h15 jeudi 6 février 2020 Collège l’Arboretum Morhange Diaporama et documents fournis aux enseignants

- Un enseignement essentiel

- Un paradoxe

- Des éléments clés

- Des incontournables pour un parcours

Formation à distance : Concevoir et mener une séquence d’apprentissage dans le domaine du calcul mental

• Thèmes retenus qui mobilisent les faits numériques et les procéduresThème 1: retrouver les résultats des tables d’addition ou de multiplicationThème 2: connaitre et retrouver rapidement double, moitié, triple, tiers, quadruple,

quartThème 3: rechercher des complémentsThème 4: utiliser les propriétés des opérationsRepères annuels de progression et attendus de fin d’année - BO n°22 du 29 mai 2019

https://www.education.gouv.fr/pid285/bulletin_officiel.html?cid_bo=141642

• Constituer des groupes de travail par cycle et choisir une thématique de travail (répondre au sondage express avant le 14 février 2020)

• Deux dates sont fixées par les groupes de travail Date 1 : mars 2020 durant 2h15 après la classe Date 2 : mars avril 2020 durant 2h15 après la classe

• Objectif de travail pour la date 1 : Concevoir une séquence d’apprentissage dans le thème choisi

• Entre les dates 1 et 2 : Réaliser en classe la séquence d’apprentissage conçue, recueillir les

productions des élèves

• Objectif de travail pour la date 2 :Analyser les mises en œuvre de la séquence d’apprentissage en s’appuyant

sur des productions d’élèves (réussites, erreurs)

• À l’issue de ces deux temps de travail : la séquence d’apprentissage et un compte-rendu des analyses seront à envoyer au secrétariat de l’IEN, pour le vendredi 3 avril 2020.

• Présentiel 2 : 2h15

Cycle 2 GROUPE 1 Morhange mardi 12 mai 2020 17h-19h15

Cycle 2 GROUPE 2 Dieuze jeudi 14 mai 2020 17h-19h15

Cycle 3 Château Salins mardi 2 juin 2020 17h-19h15

Retour d’expériences, analyse de productions d’élèves et partage d’outils

Prolongement envisagé pour les groupes de travail

Quelques pistes concernant les tables de multiplication :

Il est très important de présenter explicitement aux élèves la commutativité de la multiplication. Les effets de la multiplication par 0 et par 1 sont explicitement étudiés.Progression possible :- Table de 2 (9 résultats à mémoriser) CE1 (début P2)- Table de 10 (8 résultats) CE1 (au plus tard en P3)- Tables de 5 (7 résultats) CE1 (au plus tard en P3)- Table de 3 (6 résultats) CE1 (au plus tard en P3)- Table de 4 (5 résultats) CE1 (au plus tard en P3)- Table de 9 (4 résultats) CE2 (au plus tard en P3)- Les carrés des nombres (3 nouveaux résultats : 6X6 – 7X7 – 8X8) CE2 (au plus tard en P3)- Les trois derniers résultats : 6x7, 6x8, 7x8 CE2 (au plus tard en P3)

Ce qui fait 45 résultats à mémoriser en tout.

Le tableau de Pythagore

Il est complété au fur et à mesure des apprentissages.

Il aura plusieurs fonctions :

Permettre aux élèves de suivre l’avancée de leurs progrès. Les élèves

pourront le compléter à leur propre rythme : crayon de papier pour ce

qui a été travaillé en classe, feutre pour ce qui a été mémorisé par

l’élève.

Visualiser le fait qu’ils n’ont qu’un nombre limité de résultats à

mémoriser.

Outils à disposition (site IEN)

• Diaporama « Enseigner le calcul mental » présentiel 1

• Banques d’activités

• Trame d’une séquence d’apprentissage en calcul mental

• Trame vierge, support des travaux des équipes pédagogiques

• Repères annuels de progression et attendus de fin d’année - BO n°22 du 29 mai 2019