Asservissement de position et de vitesse d'une...

République Tunisienne

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique

Université de Sousse

Institut Supérieur des sciences appliqués et de technologie De Sousse

Mini Projet – 2éme Ingénieur II

Asservissement de position et

de vitesse d'une articulation

Robotique

Réalisé par : Ben ismail Ameni Ben Slimane Nabil Guezguez Nadia

Encadré par : Mr.Rhif Ahmed

2011- 2012

Asservissement en vitesse et position d'une articulation robotique

ING II 02-02 Page 1

Sommaire

Introduction générale : .................................................................................................. 2

1. Généralités sur l’asservissement : ............................................................................. 2

Introduction : ................................................................................................................. 2

1.2 Notion de système, boucle ouverte(BO), et boucle fermée (BF) : ................................... 2

1.2 Nécessité de la boucle fermée : .................................................................................. 3

1.3 Equation d’un système linéaire : ................................................................................ 3

1.4 Fonction de transfert d'un système linéaire : ............................................................... 3

1.5 Fonction de transfert en boucle fermé : ...................................................................... 4

1.6 Comportement des systèmes asservis : ........................................................................ 4

2. Le contrôle avec le contrôleur PID : ........................................................................ 4

2.1 Principe général d’un correcteur PID : ....................................................................... 4

2.2 Réglage d'un PID : .................................................................................................... 5 2.2.1 Asservissement P : ............................................................................................................... 6

2.2.2 Asservissement PI : .............................................................................................................. 7 2.2.3 Asservissement PID : ........................................................................................................... 8

3. Etude du Système mode continue avec Le contrôleur PID : .................................. 9

3.1 Présentation du modèle PID à utilisé : ........................................................................ 9

3.2 Exemple d’un Bras Manipulateur Robotique Avancé (ARM 2.0) BF : ........................ 10

3.3 Asservissement en position : ................................................................................... 10 3.3.1. Calcul théorique de la fonction de transfert et les coefficients du PID en boucle fermée :

..................................................................................................................................................... 10

3.3.2 Exemple de simulation sur Matlab / Simulink : ................................................................. 12 3.3.3 Interprétations : ................................................................................................................. 14

3.4 Asservissement en vitesse : ...................................................................................... 14 3.4.1. Calcul théorique de la fonction de transfert et les coefficients du PID en boucle fermée :

..................................................................................................................................................... 14 3.4.2. Exemple de simulation sur Matlab / Simulink : ................................................................ 16 3.4.3 Interprétations : ................................................................................................................. 17

Conclusion : ................................................................................................................ 17

4. Etude du Système mode discret avec le contrôleur PID : ...................................... 17

4.1 Asservissement de position : ................................................................................ 17

4.2 Asservissement de vitesse : .................................................................................. 19

Conclusion General : ................................................................................................... 20

Liste des figures : ......................................................................................................... 20

Bibliographie : ............................................................................................................. 21


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Introduction générale :

Automatique est une science et une technique qui permet de maitriser le comportement d'un système

(traduit par ses grandeurs de sortie), en agissant de manière adéquate sur ses grandeurs d'entrée.

Cette discipline traite de la modélisation, de l'analyse, de la commande et, de la régulation des

systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la théorie du signal et

l’informatique théorique. L'automatique permet l'automatisation de tâches par des machines

fonctionnant sans intervention humaine. On parle alors de système asservi ou régulé. Dans les

systèmes à événements discrets. On parle d’automatisme (Séquence d'actions dans le temps). Par

exemples : les distributeurs automatique, les ascenseurs, le montage automatique dans le milieu

industriel, les feux de croisement, les passages à niveaux. Dans les systèmes continus, l’automatique

est synonyme d’asservir et/ou commander des grandeurs physiques de façon précise et sans aide

extérieure. Par exemples : l'angle d'une fusée, la vitesse de rotation d'un lecteur CD, la position du

bras d’un robot, le pilotage automatique d'un avion. Dans le travail que nous présentons, nous nous

intéressons à l’étude d’un asservissement de position et de vitesse appliqué à une articulation

robotique. Nous avons dégagé trois chapitres dont les deux premiers sont consacrés à donner juste

une idée sur l’asservissement en général et sur le contrôleur PID en particulier. Le dernier chapitre

présente la partie simulation avec les résultats et interprétations.

1. Généralités sur l’asservissement :

Introduction :

Pour un contrôle simple des articulations robotiques deux types de régulateur sont possibles, le

contrôleur PID et l'observateur/contrôleur d'état. Le principe de ces contrôleurs est présente dans des

cas avec une ou deux articulations sérielles, mais s'applique aussi pour des chaines plus longues.

Pour assurer que le système est stable et suit les exigences demande, les coefficients pour les

contrôleurs sont choisit par la méthode du placement des pôles, qui produise des résultats

acceptables pour les systèmes étudies. Dans Notre Cas l'asservissement en vitesse et position pour des articulations robotiques et présente.

Dans une première étape, le contrôle avec un contrôleur PID est présent et illustre avec des

exemples.

1.2 Notion de système, boucle ouverte(BO), et boucle fermée (BF) :

L'objet d'application de l'automatique est appelé système. Un système se caractérise par ses

grandeurs d'entrée, et de sortie. Les grandeurs d'entrée sont les grandeurs qui agissent sur le système.

Il en existe deux types :

Commandes : Ce sont les entrées du système qui dépendent de l’application.

Perturbations : Ces entrées sont aléatoires et difficiles à analyser. Elles sont difficiles à

maitriser.

Un système est en boucle ouverte (BO) lorsque la commande est élaborée sans l'aide de la

connaissance des grandeurs de sortie.

Dans le cas contraire, le système est dit en boucle fermée (BF). La commande est alors fonction de la

sortie et de la consigne (la valeur souhaitée en sortie). Pour observer les grandeurs de sortie, on

utilise des capteurs. C'est l'information de ces capteurs qui va permettre d'élaborer la commande.


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1.2 Nécessité de la boucle fermée :

Un système de commande peut opérer en boucle ouverte à partir du seul signal de consigne. Mais la

boucle fermée (contre réaction) est capable de stabiliser un système instable en BO.

Une (BF) permet de :

Compenser les perturbations externes.

Compenser les incertitudes internes au processus lui-même. Pour cela, un système de

commande peut réaliser deux fonctions distinctes :

L’asservissement, c'est à dire la poursuite par la sortie d'une consigne variable

dans le temps

La régulation, à savoir la compensation de l'effet de perturbations variables sur la sortie (la

consigne restant fixe)

L’utilisation du feedback (retour) est le principe fondamental en automatique. La commande

(appliquée au système) est élaborée en fonction de la consigne (sortie désirée) et de la sortie. La

figure suivante représente le principe du feedback :

Figure 1: Le Principe du feedback

1.3 Equation d’un système linéaire :

Un système est dit linéaire si l'équation liant la sortie à l'entrée est une équation différentielle linéaire

à coefficients constants. La forme générale de cette équation est :

L’indice n représente l'ordre du système linéaire. Seuls les systèmes pour lesquels m ≤ n sont

réalisables pratiquement.

1.4 Fonction de transfert d'un système linéaire :

On appelle fonction de transfert ou transmit tance d'un système linéaire le rapport entre la

transformée de Laplace de la sortie sur celle de l'entrée :

C'est une fonction rationnelle. L'ordre du système (qui est l'ordre de l'équation différentielle) est le

degré du dénominateur de T(p).


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1.5 Fonction de transfert en boucle fermé :

Le schéma fonctionnel d’un système asservi peut se représenter globalement par la figure suivante :

Figure 2: La FT en BF

1.6 Comportement des systèmes asservis :

Un gain dans la chaine directe permet d'améliorer la précision d'un asservissement (mais ce gain ne

permet pas d'annuler l'erreur de position ou de vitesse). Il n'est pas possible d'augmenter ce gain de

façon trop importante car il peut dégrader la stabilité du système, voire rendre le système instable.

D'ou le dilemme classique en automatique :

Un gain faible donne un système stable mais peu précis

Un gain fort donne un système plus précis mais moins stable.

Le gain de la boucle ouverte à une action sur l'asservissement, on parle d'un correcteur

proportionnel.

Un correcteur est un système qui va élaborer la commande d'un système en fonction de l'erreur

mesurée entre la sortie et la consigne. Un correcteur proportionnel est un système qui donne une

commande proportionnelle à l'erreur mesurée. Beaucoup de systèmes peuvent être commandés par

ces types de correcteurs simples à mettre en œuvre. Le réglage du gain va consister à obtenir un bon

compromis stabilité précision.

Figure 3: Système avec un correcteur

2. Le contrôle avec le contrôleur PID :

2.1 Principe général d’un correcteur PID :

L'erreur observée est la différence entre la consigne et la mesure. Le PID permet trois actions en

fonction de cette erreur :

Une action Proportionnelle : l'erreur est multipliée par un gain Kp

Une action Intégrale : l'erreur est intégrée sur un intervalle de temps s, puis multipliée par un

gain Ki

Une action Dérivée : l’erreur est drivée suivant un temps s, puis multipliée par un gain Kd

Les actions dérivées et intégrales ne s'emploient jamais seules mais en combinaison avec l'action

proportionnelle.


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Il existe plusieurs architectures possibles pour combiner les trois effets (série, parallèle ou mixte), on

présente ici une architecture parallèle :

Figure 4: Correcteur PID

La fonction de transfert avec la transformée de Laplace du régulateur PID parallèle est la somme des

trois actions:

2.2 Réglage d'un PID :

Le réglage d'un PID consiste à déterminer les coefficients Kp, Ki et kd afin d'obtenir une réponse

adéquate du procédé et de la régulation. L'objectif est d'être robuste, rapide et précis. Il faut pour

cela limiter le/ou les éventuels dépassements (overshoots).

La robustesse est sans doute le paramètre le plus important et délicat. On dit qu'un système

est robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle change un peu. Un

régulateur doit être capable d'assurer sa tâche même avec ces changements afin de s'adapter à

des usages non prévus.

La rapidité du régulateur dépend du temps de montée et du temps d'établissement du régime stationnaire.

Le critère de précision est basé sur l'erreur statique.


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Figure 5: Réponse d un système du second ordre

Les paramètres du PID influencent sur la réponse du système de la manière suivante :

Kp : Lorsque Kp augmente, le temps de montée (rise time) est plus court mais il y a un

dépassement plus important. Le temps d'établissement varie peu et l'erreur statique se trouve

améliorée.

Ki : Lorsqu’il augmente, le temps de montée est plus court mais il y a un dépassement plus

important. Le temps d'établissement au régime stationnaire s'allonge mais dans ce cas on

assure une erreur statique réduite. Donc plus ce paramètre est élevé, moins l'erreur statique

est grande, mais plus la réponse du système est ralentie.

Kd : Lorsque Kd augmente, le temps de montée change peu mais le dépassement diminue.

Le temps d'établissement au régime stationnaire est meilleur. Pas d'influences sur l'erreur

statique. Si ce paramètre est trop élevé, le système anticipe trop et la consigne n'est pas

atteinte dans des délais adéquats. Pour ces trois paramètres, le réglage au-delà d'un seuil trop

élevé a pour effet d'engendrer une oscillation du système de plus en plus importante menant à

l'instabilité.

2.2.1 Asservissement P :

L'asservissement proportionnel est essentiel au fonctionnement du PID. Il permet essentiellement de

donner de la puissance au moteur. Voici quelques résultats expérimentaux sans les effets dérivé et

intégral.


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La courbe noire représente la consigne que l'on désire atteindre c'est un échelon de valeur 32. La

courbe bleue représente la vitesse réelle du système. Comme vous pouvez le constater, plus Kp est

grand, plus le système converge vite vers sa valeur finale. Mais en contrepartie, pour des valeurs de

Kp trop grandes, le système oscille (c). Mais là n'est pas notre plus gros problème, en effet, sur ces

courbes on voit nettement que la vitesse du moteur n'atteint jamais la vitesse désirée. C'est ce que

l'on appelle l'erreur statique, elle correspond à la différence entre la vitesse réelle et la vitesse désirée

en régime établie (une fois que le système s'est stabilisé). Pour compenser cette erreur statique, on

rajoute le terme intégral.

2.2.2 Asservissement PI :

Le correcteur intégral sert principalement à supprimer l'erreur statique. L'idée principale est de

"charger" ou intégrer l'erreur depuis le début et d'ajouter cette erreur à la consigne jusqu'à ce qu'elle

devienne nulle. Lorsque cette erreur est nulle, le terme intégral se stabilise et il compense

parfaitement l'erreur entre la consigne et la vitesse réelle.


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On voit cette fois-ci que le terme intégral a bien fonctionné et que l'erreur statique est nulle. On

constate aussi que plus le gain Ki est grand, plus le système converge vite. En revanche, plus Ki est

grand, plus le système oscille et plus le dépassement est important. Sur des asservissements en

position le terme dérivé permet de diminuer le dépassement et les oscillations.

2.2.3 Asservissement PID :

Si on rajoute donc le terme dérivé, nous obtenons les résultats suivants :

On voit que lorsque l'on ajoute le terme dérivé, la commande est extrêmement bruitée. En réalité, on

ajoute à la commande la dérivée de la vitesse réelle, que l'on multiplie par un gain Kd. La dérivée

d'une vitesse est une accélération, cela signifie que l'on amplifie tous les bruits d'accélération et en

plus, on les multiplie par un gain Kd.

Ce bruit est typique des asservissements en vitesse. Sur des asservissements en position, ce problème

est moins fréquent, car la dérivée de la position est la vitesse. Ici, le problème était visible, ces

courbes ont été trouvées sur un système réel (le robot Type 1).


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3. Etude du Système mode continue avec Le contrôleur PID :

3.1 Présentation du modèle PID à utilisé :

Figure 6: L'intérieur du PID

Un contrôleur PID est un contrôleur de boucle ferme qui prend la différence entre un état voulu et

l'état réel et multiple cette différence, l'intégrale et la dérive avec les facteurs P, I et D pour produire

la commande pour le système. Ainsi un ≪direct feed through≫ de l'état voulu, multiplie par F peut

être ajoute.

Figure 7: La boucle ferme incluant le contrôleur et l'articulation robotique


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3.2 Exemple d’un Bras Manipulateur Robotique Avancé (ARM 2.0) BF :

Dans cette représentation on va restituer sur un exemple réel Manipulateur électronique avancé

(ARM 2.0). Ce ARM 2.0 est une version améliorée du bras d'origine avec le contrôle en boucle

fermée, et une structure plus rigide

Figure 8 : Bras Manipulateur électronique avancé (ARM 2.0)

La commande U qui sort du PID se calcule comme suit :

3.3 Asservissement en position :

3.3.1. Calcul théorique de la fonction de transfert et les coefficients du PID en

boucle fermée :

La fonction d'une articulation robotique (moteur électrique) peut être représente par :

Comme les fonctions de transfert (Eq. 2 et Eq. 3) ne possèdent pas de fréquence critique

les règles selon Ziegler/Nichols ne peuvent pas être appliquées. Un autre approche, celui du

positionnement des pôles de la fonction du transfert doit être utilise.

Avec la fonction du transfert de l'articulation (Eq. 2) et la fonction du contrôleur PID (Eq. 1) on

calcule que:



Alors la fonction de transfert de la chaine ouvert devient :

Cette équation peut être écrit dans la forme:

En comparaison les coefficients on obtient les coefficients du PID en fonction des pôles :

Pour la fonction de transfert :



La relation entre les coefficients du PID et les pôles de la fonction de chaine ouvert peut être calcule

de la même façon. Le résultat est :

Selon les notes du cours les pôles sont choisit a partir du temps de réponse (a 5%) Tr, facteur

d'amortissement désiré avec:

3.3.2 Exemple de simulation sur Matlab / Simulink :

Temps de réponse (5%) en mode suiveur désiré: Tr<0.5 sec

Dépassement inferieur a 5% en mode suiveur

Erreur a régime inferieure a 0.1 rad en mode suiveur.

Temps de stabilisation inferieur a 2 sec en mode suiveur

Minimiser l'influence de perturbation

Commande maximale 4 V

Etats de l'articulation possibles-3.14 a +3.14 rad

La simulation de ce système en SIMULINK:



Figure 9: Simulation du système de contrôle de position avec PID en

SIMULINK

Le signal R(s) change a t=0 sec de 0 a 2 rad. La commande sortant du PID est limite a une amplitude

maximale de 4V. A ce signal s'ajoute au temps t=3 sec une perturbation de -1 V. L'état de

l'articulation est, lui aussi, limite pour ne pas dépasser une amplitude de 3.14 rad.

Les gains du PID sont calcules en utilisant les équations 2.5 et 2.7 avec Tr=0.2 sec , psi=0.95 et

p3=−10 . Les gains résultants sont:

K1 = 6.3750, K2 = 0.3979, K3 = 28.1250 et K4 =-3.5625

Le résultat de la simulation est le suivant :

Figure10 : Le résultat de la simulation. Jaune : position commandée, Bleu : position réelle.

Violet : signal de commande.



3.3.3 Interprétations :

Il est bien visible comme la sortie de la fonction de transfert (en bleue) suit l'état désiré (en jaune)

avec les spécifications requis, en mode suiveur (t=1) ainsi que en mode régulateur (t=3).

Le seul problème qui arrive est que a t=1, le PID aimerait envoyer une commande (en violet) plus

grande que 4 Volts vers le moteur, mais il n'est pas capable de le faire. Comme le calcul des gains ne

prend pas compte des limites de sortie du PID, le temps de réponse réel est plus grand que les 0.2 sec

envisages mais encore bien plus petit que les 0.5 sec demandées

3.4 Asservissement en vitesse :

3.4.1. Calcul théorique de la fonction de transfert et les coefficients du PID en

boucle fermée :

Pour l'asservissement en vitesse d'une articulation robotique, la fonction du transfert est:

Eq .3.1

Comme la partie dérivative du PID produit un boucle de calcul, seulement les parties P, I et F sont

utilisées.

La fonction du transfert du contrôleur PI:

Alors:



En comparaissant Eq. 3.3 et 3.4 on trouve la relation entre les gains du PI et les pôles :



Selon les notes du cours les pôles sont choisit a partir du temps de réponse (a 5%) Tr de façon

suivante :

3.4.2. Exemple de simulation sur Matlab / Simulink :

Au lieu de contrôler la position, on veut faire un asservissement du système discute avant. La

fonction de transfert est alors:

Temps de réponse (5%) en mode suiveur désiré: Tr<0.5 sec

Dépassement inferieur a 5% en mode suiveur

Erreur a régime inferieure a 0.1 rad en mode suiveur

Temps de stabilisation inferieur a 2 sec en mode suiveur

Minimiser l'influence de perturbation

Commande maximale 4 V

La simulation de ce système en SIMULINK:

Figure 11: Simulation de l'asservissement en vitesse avec contrôleur PI

Les gains du PI sont calcules utilisant les équations 3.4 et 3.5 avec Tr=0.2 sec et p2=−20. Les gains

résultants sont:

K1 = 0.3542, K3 = 3.7500 et K4 = -0.1667

La figure de simulation obtenue est la suivante :



Figure12 : Résultats de la simulation. Jaune : vitesse commandée. Bleu : vitesse réelle.

Violet : signal de commande

3.4.3 Interprétations :

Pour l’asservissement en vitesse nous avons ajouté aussi une perturbation à t=3sec pour vérifier le

mode régulateur du PI utilisé. Sur la figure on remarque que la sortie de la fonction de transfert (en

bleu) qui représente la vitesse réelle suit l’état voulu qui représente la vitesse désirée (en jaune) en

mode suiveur à t=1sec ainsi qu’ en mode régulateur à t=3sec, car on voit bien que la perturbation à

influencer sur le comportement du système à t=3sec mais le correcteur PI a rétabli la vitesse de

l’articulation à la vitesse désirée.

Conclusion :

La simulation de ce système en SIMULINK a permis de voir le rôle du correcteur dans

l’asservissement de position et de vitesse de l’articulation robotique notamment en cas de

perturbation.

4. Etude du Système mode discret avec le contrôleur PID :

4.1 Asservissement de position : Apres les calculs de transformation en z du système en mode échantillonne on obtient la simulation

en simulink suivante :



Figure 13 : Schéma en BFD du système d articulation

K1 = 15, Kp = 10 et Kd = 2

On obtient le schéma suivant :

Figure 14 : simulation de commande échantillonnée de position



4.2 Asservissement de vitesse : Apres les calculs de transformation en z du système en mode échantillonne on obtient la simulation

en simulink suivante :

Figure 15 : Asservissement de vitesse discrète

K1 = 0.03, Kp = 0.6 et Kd = 0.2

On obtient le schéma suivant :

Figure 16 : simulation de commande échantillonnée de vitesse



Conclusion General :

Ce travail nous a permis de voir comment un asservissement en position et en vitesse peuvent être

atteins avec un contrôleur PID.

Avec la méthode de placement de pôles, les gains du contrôleur peuvent être choisis tels que le

temps de réponse demandé soit atteint pendant que le dépassement est minimisé. Il est à noter qu’il

est important de ne pas se confier aveuglement aux gains obtenus car le calcul ne prend compte ni

des signaux de commande qui peuvent être envoyés au système, ni des limites d'articulation d'un

robot. Il faut alors vérifier ces valeurs et si nécessaire les corriger. En définitif, pour éviter des

dommages à l’articulation à cause des limites articulaires frappées accidentellement, il peut être

intéressant d'installer des mesures de sécurité additionnelles. A la fin de ce travail, nous espérons

avoir répondu au cahier de charges tout en notant que le sujet est intéressant et demande de plus

amples recherches.

Liste des figures :

Figure 1: Le Principe du feedback

Figure 2: La FT en BF

Figure 3: Système avec un correcteur

Figure 4: Correcteur PID

Figure 5: Réponse d un système du second ordre

Figure 6: L'intérieur du PID

Figure 7: La boucle ferme incluant le contrôleur et l'articulation robotique

Figure 8 : Bras Manipulateur électronique avancé (ARM 2.0)

Figure 9: Simulation du système de contrôle de position avec PID en SIMULINK

Figure10 : Le résultat de la simulation. Jaune : position commandée, Bleu : position …

Figure 11: Simulation de l'asservissement en vitesse avec contrôleur PI

Figure12 : Résultats de la simulation. Jaune : vitesse commandée. Bleu : vitesse réelle.

Violet : signal de commande

Figure 13 : Schéma en BFD du système d articulation

Figure 14 : simulation de commande échantillonnée de position

Figure 15 : Asservissement de vitesse discrète

Figure 16 : simulation de commande échantillonnée de vitesse

Liste des abréviations : PID : Proportionnelle Intégral Dérivé BO : Boucle Ouverte BF : Boucle Fermée SA : Système Asservi FT : Fonction de Transfert BFD : Boucle ferme discrète



Bibliographie :

1/ M.Rivoire, J.L.Ferrier, ‘Cours d’Automatique’, Ed CIHAB- EYROLLES, 1994

2/ M.Rivoire, J.L.Ferrier, ‘Cours d’Automatique Tome 2’, Ed CIHAB- EYROLLES

3/http://www.etudiants.polymtl.ca/cege/quiz/ELE3201/ELE3201_CP_H03_QS.pdf

4/http://mach.elec.free.fr/simulation/intro_auto_matlab.pdf

5/http://dado59.free.fr/www2/automatique.htm

6/http://www.pobot.org/Asservissement-PID.html

7/http://www.iutenligne.net/ressources/automatique/verbeken/CoursAU_MV/ch

apitre7/chap75.html

8/http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5736

9/ http://public.iutenligne.net/automatique/Duplaix/MAU3/general/index.html

10/ ljegouzo56.free.fr/ELECTRONIQUE/.../Asservissement/Régulation

Asservissement de position et de vitesse d'une...

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