TD ASSERVISSEMENT -...

Y.D. _ JY.D. _ JY.D. _ JY.D. _ J----R.P.R.P.R.P.R.P. CPGE L.P.E. St Denis TD Modélisation. Simulation de système asservi. /12

TD ASSERVISSEMENT : JAMBES HUMANOIDES DE ROBOT.

1. OBJECTIFS (Tiré du sujet CCP TSI 2006)

- Modéliser un système par le formalisme de Laplace et les schémas blocs - Etablir la fonction de transfert en boucle fermée d’un système asservi. - Valider, par simulation, la stabilité d’un système asservi, par analyse de sa F.T.boucle ouverte. - Paramétrer un correcteur PID afin d’obtenir le meilleur compromis stabilité, rapidité et précision. - Valider la modélisation d’un système et définir les limites de ce modèle.

2. CONTEXTE INDUSTRIEL

2.1. Présentation générale Depuis maintenant un peu plus de trente ans, les robots sont apparus dans le milieu industriel. Ils

sont principalement destinés à remplacer l’homme dans ses tâches manuelles, répétitives et fatigantes. Depuis quelques années et à l’heure actuelle, des développements ont lieu sur des robots capables

d’imiter finement les mouvements d’un homme ou d’un animal. Ces robots « s’humanisent » et deviennent de plus en plus réalistes. Ils sont par exemple des jouets qui amusent l’homme ou des assistants de sécurité ou de services pour des personnes malades ou âgées (Japon). Ces robots sont dotés d’une « intelligence » impressionnante leur permettant de faire une multitude de gestes aussi complexes les uns que les autres. Les photos ci-après représentent les quatre robots les plus connus à ce jour. Tout d’abord deux robots jouets, commercialisés dans le monde entier : le i- CYBIE et le chien Aïbo. Ensuite, les deux plus importantes réalisations jamais conçues à ce jour : le P3 et le SDR-4X.

ASSERVISSEMENT : JAMBES HUMANOIDES DE ROBOT.


2.2. Problème technique posé :

Une entreprise souhaite réaliser un robot qui ne doit être constitué que de deux jambes et d’un début de tronc. La fonction globale du produit est de valider les algorithmes de déplacement élaborés par des laboratoires de recherche spécialisés en micro-robotique.

Le tronc du robot sert à la fixation de batteries d’alimentation et à la connexion d’une carte électronique de commande. Cette carte permet en effet de piloter les moteurs grâce à des microprocesseurs programmés selon des algorithmes dépendants du déplacement souhaité.

On limitera l’étude à l’asservissement en position de la rotation de la hanche du robot humanoïde. ********************************** Travail en 2 étapes :

1) Travail maison : § 3 2) Simulation sur logiciel en TD : §4, §5,§6

3. MODELISATION DE L’ENTRAINEMENT

3.1. Description

Le robot doit pouvoir tourner sur lui-même ; c'est le moteur de rotation de la hanche qui, par l'intermédiaire d'un réducteur, assure ce mouvement. Le capteur de position nécessaire à l'asservissement est un codeur incrémental dont l'implantation est représentée schématiquement :

Le moteur de

rotation de la hanche est un Portescap 26N48-216E (annexe 1) et le réducteur associé est un Portescap M22-180.8 (annexe 2).



3.2. Schéma bloc de l’ensemble La modélisation des différents éléments permet d’obtenir le schéma bloc suivant :

3.2.1.

En vous aidant des grandeurs physiques d’entrée et de sortie, définir pour chaque bloc l’élément du système qui lui est associé. Préciser la raison de l’intégrateur dans le schéma.

3.2.2. Afin de simplifier l’étude, on souhaite avoir une représentation avec retour unitaire.

Déterminer le bloc manquant. (Justifier).

3.3. Caractéristiques des éléments constitutifs du système

3.3.1. Réducteur

Parmi diverses raisons, la précisions du codeur choisi, impose que le rapport de réduction du réducteur soit supérieur à 180. Vérifier que le choix du réducteur, décrit en 3-1 et annexe 2, correspond à cette condition, et rappeler la valeur numérique du bloc T.

3.3.2. Hacheur Par simplification le hacheur sera modélisé comme un gain d’une valeur de 3,2

3.3.3. Capteur de position

Après traitement du signal numérique issue du codeur, on obtient une tension proportionnelle à la position, elle est de 10 V quand la hanche a fait un tour. En déduire la valeur du bloc B [en V/rd].

3.3.4. Moteur On rappelle brièvement les équations simplifiées régissant un moteur à courant continu (inducteur

à flux constant) :

Edtdi

.LiRU ++++++++⋅⋅⋅⋅==== (Équation électrique de l’induit)

iKC

KE

TM

ME

⋅⋅⋅⋅====ΩΩΩΩ⋅⋅⋅⋅====

(Équations électromécaniques)

réqMvéqMM

éq CfCdt

d.J −−−−ΩΩΩΩ⋅⋅⋅⋅−−−−====

ΩΩΩΩ (Équation fondamentale de la dynamique)

U θc εθ

θ

θ εu εco T H A C

Ωh Ω M 1 p

U θc Uc

Uθ

θ C A

εu εco T

Ωh Ω M H

B

B 1 p



ainsi que la fonction de transfert liant ΩM et U (pour un couple résistant nul Créq = 0)

2pLJp)RJfL()fRK.K(

K)p(U)p(

éqéqvéqvéqTE

TM

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++====

ΩΩΩΩ

Pourquoi est-il judicieux ici de prendre comme hypothèse un couple résistant nul ? Pour le système, on donne les caractéristiques mécaniques équivalentes vues par le moteur : Coefficient de frottement visqueux : fvéq = 10-4 N.m.s.rd-1 Moment d’inertie équivalent du système : Jéq = 1,45.10-6 kg.m2

A partir de la documentation du moteur (Annexe 1), déterminer les autres paramètres du moteur utiles au calcul de la fonction de transfert (coefficients électromoteurs KE = KT , inductance L et résistance d’induit R).

3.4. Fonction de transfert correspondant à la modélisation détaillé du moteur CC :

En vous aidant de la modélisation détaillée par schéma-blocs du moteur CC, modélisation déjà effectuée dans d’autres applications ou en cours, retrouver l’expression donnée ci-dessus de la fonction de transfert ΩM(p)/U(p) en expression littérale d’abord puis en expression numérique.

3.5. Fonction de transfert en boucle ouverte et fonction de transfert en boucle fermée du système représenté par le schéma-blocs à retour unitaire.

Ecrire la FTBO(p) et la FTBF(p) en expression littérale puis en numérique, sous forme canonique.

4. SIMULATION SANS CORRECTEUR

4.1. Outil de simulation Sous Labview ouvrir le fichier « Asservissement Hanche Robot.vi »

(Exemple d’écriture d’une valeur numérique en 10-6 (micro) d’une unité : 4.10-6 = 4u)



Sur l’écran, si l’onglet Schéma bloc est sélectionné, vous visualisez le schéma bloc du système en retour unitaire, ainsi que le calcul de la boucle fermée. Sur le coté gauche les paramètres du système peuvent être modifiés.

Sur la partie gauche vous disposez : - d’un bouton stop pour stopper la simulation, - d’un bouton de réglage de la consigne (amplitude de l’échelon), - d’un cadran indiquant la position finale du robot, - du paramétrage du correcteur PID. Pour le moment, le gain proportionnel est à 1

pour permettre l’étude sans correction.

Vérifier que les paramètres par défaut de l’interface logicielle correspondent à ceux déterminés précédemment.

4.2. Etude de la stabilité par la Fonction de Transfert en Boucle Fermée HBF

Quelle est l'ordre de la fonction de transfert en boucle fermée du système ?

Dans l’onglet pôles de la boucle fermée, relever leurs valeurs numériques. En déduire si le système est stable.



4.3. Etude de la stabilité du système en Boucle Ouverte HBO

Rappeler la méthode d’étude en boucle ouverte qui vous permet d’étudier la stabilité

d’un système asservi par son lieu de Bode.

Enoncer le critère de stabilité du système asservi, par lecture sur le diagramme de Bode.

D'une manière générale, que pouvez vous dire de la stabilité d’un système asservi d’ordre 3 ? Justifier.

4.4. Etude temporelle Afin de vérifier la stabilité, on vous propose de tracer la réponse temporelle à une consigne indicielle.

Dans l’onglet « réponse indicielle » : observez-vous des résultats en concordance avec votre conclusion issue de l’observation du lieu de Bode?

Mesurer le temps de réponse à 5%.

Relever l'erreur statique εεεε0 . Pourquoi est-elle nulle alors que le correcteur n’est pas activé ?



4.5. Conclusion

Que pensez-vous du temps de réaction du système, quel élément peut-on ajouter pour le rendre plus performant ? Justifier.

5. CORRECTEUR PROPORTIONNEL

5.1. Généralité : Afin d’augmenter la réaction du système, on va activer "le correcteur Kc", dont l’amplification va

agir sur la rapidité. Le correcteur est un montage électronique, qui se place à la sortie du comparateur. Un correcteur proportionnel est donc un gain, qui permet d'amplifier l'écart de manière à faire

réagir plus rapidement le système.

5.2. Simulation avec le correcteur proportionnel Afin de vérifier la stabilité, on vous propose de tracer la réponse temporelle à une consigne

indicielle (valeur de la consigne toujours de 1 radian).

Faîtes varier le gain du correcteur proportionnel Kc en visualisant la réponse indicielle. Observer en même temps le temps de réponse et le dépassement. Comment réagit le système corrigé, est-il plus rapide ? Et en termes de stabilité, comment a-t-il été modifié avec ce correcteur ? Que se passe-t-il si on augmente exagérément le gain (tester avec Kc=1000) Pensez vous qu’il est préférable d’avoir un gain faible, fort ou moyen ?



5.3. MARGE DE PHASE A 45° avec correcteur proportionnel

L'étude précédente fait apparaître la nécessité de déterminer un gain optimum Ko, qui

donnerait une réponse optimale du système. C’est à dire une réponse qui soit la plus rapide, avec un minimum d’oscillations. Ce gain correspond à un lieu de HBO(p) qui a une marge de phase à 45°, c'est à dire on veut |HBO(jωc)| = 1 pour Arg(HBO (jωc)) = -3π/4

A l’aide de l’onglet « Bode en boucle ouverte », régler approximativement la valeur de Ko qui donne une marge de phase à 45°

Relevez la réponse indicielle du système asservi. Qu’a-t-on le plus optimisé, le temps de réponse ou le dépassement ?

Pour cette valeur de gain K0, quel est le nombre de dépassements ? Hormis l’utilisation ludique du robot, pensez vous qu’une telle valeur de dépassement soit acceptable pour du positionnement dans le domaine de manipulation industrielle ?

6. CORRECTEUR PID

6.1. Rappel sur les caractéristiques d’un correcteur PID

Fonction transfert du PID : ( )

pTpTTpT1K

pT1

pT1Ki

2idic

idc ⋅

⋅⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅

Le réglage d'un PID consiste à déterminer les coefficients Kc, Td et Ti afin d'obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation. L'objectif est d'être stable, rapide, précis et robuste.

La robustesse est sans doute le paramètre le plus important et délicat. On dit qu'un système est robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle change un peu. Par exemple, les fonctions de transfert de certains systèmes peuvent varier en fonction de la température ambiante.



Un régulateur doit être capable d'assurer sa tâche même avec ces changements afin de s'adapter à des usages non prévus/testés (dérive de production, vieillissement mécanique, environnements extrêmes...).

La stabilité est assurée en limitant le ou les éventuels dépassements (overshoot) de la réponse temporelle à un échelon.

La rapidité du régulateur dépend du temps de montée et du temps d'établissement du régime stationnaire ou du temps de réponse à 5%.

Le critère de précision est basé sur l'erreur statique. La réponse type d'un procédé stable est la suivante :

Les paramètres du PID influencent la réponse du système de la manière suivante : Kc : Lorsque Kc augmente, le temps de montée (rise time) est plus court mais il y a un

dépassement plus important. Le temps d'établissement varie peu et l'erreur statique se trouve améliorée.

Ti : Lorsque iT

1 augmente, le temps de montée est plus court mais il y a un dépassement plus

important. Le temps d'établissement du régime stationnaire s'allonge mais dans ce cas on assure une erreur statique nulle.

Td : Lorsque Td augmente, le temps de montée change peu mais le dépassement diminue. Le temps d'établissement au régime stationnaire est meilleur. Pas d'influence sur l'erreur statique.

L'analyse du système avec un PID est très simple mais sa conception peut être délicate, voire difficile, car il n'existe pas de méthode unique pour résoudre ce problème. Il faut trouver des compromis, le régulateur idéal n'existe pas. En général on se fixe un cahier des charges à respecter sur la robustesse, le dépassement et le temps d'établissement du régime stationnaire.

6.2. Expérimentation Compte tenu de l’erreur statique, il n’est pas nécessaire d’activer le correcteur intégral (mettre

Ti=0). Le correcteur PID devient alors Proportionnel dérivé, sa fonction de transfert est : ( )pTK dc ⋅+⋅ 1

Régler le paramètre Td, pour ne plus avoir de dépassement, tout en gardant un temps de réponse qui ne soit pas supérieur à 20% du temps optimum.



7. VALIDITE DES MODELES

7.1. Correcteur Proportionnel Dérivé Pensez vous réalisable ce type de correcteur de manière analogique, pourquoi ?

7.2. Modélisation de la MCC De manière à simplifier les équations et donc l’étude, on néglige souvent, quand cela se justifie, la

constante de temps électrique, devant la constant de temps mécanique, ce qui reviendrait dans notre logiciel de simulation à mettre l’inductance à zéro.

En comparant la constante de temps mécanique du moteur (voir document technique annexe 1) et la constante de temps électrique (L/R), justifier si cette simplification est possible.

Réécrire la fonction de transfert littérale du moteur simplifiée en premier ordre. Simuler avec L=0 et un correcteur proportionnel uniquement. Qu’elle est l’ordre du système en

boucle fermée ? Comparer la valeur Kc0 pour avoir une marge de phase à 45° à celle obtenue précédemment.

Quelle est l’écart entre les deux valeurs ? Pensez-vous alors qu’il était judicieux dans cette étude d’avoir annulé l’inductance ?

Proposer un autre modèle du moteur qui soit un premier ordre, en n’utilisant cette fois-ci la constante de temps mécanique fournit par la documentation constructeur.

Déterminer alors K0, retrouve-t-on une valeur qui soit plus conforme à l’étude avec le modèle plus complet du second ordre.

Conclure plus généralement sur l’impact de la simplification mathématique d’un paramètre d’une partie du système, sur la modélisation de son ensemble.



Annexe 1 :



Annexe 2 :

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