11

Application des lois de probabilitéApplication des lois de probabilité-Variable aléatoire continue--Variable aléatoire continue-

Loi NormaleLoi Normale

Faculté de Médecine d’OranFaculté de Médecine d’OranLaboratoire de BiostatistiqueLaboratoire de Biostatistique

BOUKERMA AMEUR

22

Une v. a. c Une v. a. c XX pouvant prendre pouvant prendre toutes les valeurs réelles toutes les valeurs réelles xx dans dans l’intervalle de - l’intervalle de - à + à +, pour , pour μμ , pour , pour σσ ++ dont la fonction dont la fonction de densité est :de densité est :

x 2

1 f(x)

2 -x

2

1

e

La loi normale de Laplace – Gauss:N(μμ; ; σσ )

33

Soit Soit XX une variable aléatoire distribuée selon une loi une variable aléatoire distribuée selon une loi normale, et f(x) la fonction de densité (de probabilité) de normale, et f(x) la fonction de densité (de probabilité) de XX, , alors:alors:Conditions de densité de probabilitéConditions de densité de probabilité

x 2

1 f(x)

2 -x

2

1

e

44

La loi normale repose sur l'estimation de deux paramètres de la population statistique:

• la moyenne μ • l'écart - type σ La courbe (appelée "fonction de densité de probabilité") a la formule suivante:

2

2

σ2

)μ(

e π2σ

1 )(

x

xf

E(X) = E(X) = La moyenne arithmétique de X V(X) = V(X) = 22 = = S2 Variance de X σ = s Écart – type de X e = 2,72 Π = 3,14

Notation: X: Notation: X: N→ (→ (, , ) )

55

La représentation graphiqueLa représentation graphique

xx

ff((xx))

X

f(X)

X

f(X)

MoyenneMoyenne MédianeMédiane ModeMode

66

Forme de la distribution Forme de la distribution normalenormale

Il existe une famille entière de lois normales. Elles se différencient par leur moyenne et leur variance

Courbe en cloche Courbe symétrique La moyenne, le mode et la médiane correspondent au

même point (le point le plus élevé) L’écart type détermine la largeur de la courbe, plus il est

grand, plus la courbe sera large et aplatie L’aire totale sous la courbe est 1 Aussi appelée loi Gaussienne ou loi de Gauss

Résumé:

1-Symétrique 2-Médiane = moyenne = mode 3-Unimodale4-Étendue infinie de la variable aléatoire5-En forme de cloche

77

La loi normale centrée réduite: N(0;1) On dit que la variable X, suit une loi normale (ou loi On dit que la

variable X, suit une loi normale (ou loi de Laplace Gauss de moyenne μ et d’écart type σ. On résume cette loi par la notion N(μ ,

σ)

En pratique, on procède à un changement de cette variable (on dit qu’on norme la variable). Pour cela, on pratique le changement de X par t tel que:

La nouvelle variable t est dite variable Centrée, réduite, de moyenne t = 0 et sa variance σ=1. Elle est notée N (0,1).

T= x – μ σ

88

Transformation d’une loi normale quelconque en loi N(0;1)

• Soit X une v. a. continue suivant une loinormale de moyenne µ et d’écart- type σ

• Si on applique le changement de variable

la variable t suit une loi normale centrée réduite

99

La loi normale centrée réduiteLa loi normale centrée réduite

Une v. a. c. qui a une distribution de probabilité normale de Une v. a. c. qui a une distribution de probabilité normale de moyenne 0 et écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi moyenne 0 et écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi normale centrée réduite. normale centrée réduite.

Cette variable est souvent dénotée par la lettre TCette variable est souvent dénotée par la lettre T On peut convertir une v. a. c. X qui suit une loi normale de On peut convertir une v. a. c. X qui suit une loi normale de

moyenne moyenne μμ et écart type et écart type σσ en une variable normale centrée en une variable normale centrée

réduite réduite ttT= x – μ

σ

1010

68,26% des valeurs d’une variable aléatoire normale 68,26% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle sont comprises dans l’intervalle

[[μμ - - σσ; ; μμ + + σσ]]

95,44% des valeurs d’une variable aléatoire normale 95,44% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle sont comprises dans l’intervalle

[[μμ -2 -2 σσ; ; μμ +2 +2 σσ]]

99,72% des valeurs d’une variable aléatoire normale 99,72% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle sont comprises dans l’intervalle

[[μμ -3 -3 σσ; ; μμ +3 +3 σσ]]

1111

Étant donné une valeur t, nous utilisons la Étant donné une valeur t, nous utilisons la table normale centrée réduite pour table normale centrée réduite pour trouver la probabilité (l’aire sous la trouver la probabilité (l’aire sous la courbe) qui lui est associée.courbe) qui lui est associée.

1212

Distribution normale centrale Distribution normale centrale réduite-Utilisation de la tableréduite-Utilisation de la table

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753

.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753

.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

.03

.8

Dans cette table on voit l’aire entre t=0 et t: P(0≤T≤t) = P(-t≤T≤0)

.2967

1313

Distribution normale centrée réduiteDistribution normale centrée réduite

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753

.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753

.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

.03

.8 .2967

Dans cette table on voit l’aire entre t=0 et t: P(0≤T≤t) = P(-t≤T≤0)On a donc: P(T≤t)=0,5+ P(0≤T≤t) P(T ≥-t)=0,5+ P(-t ≤ T ≤0)

1414

Aire limitée par la courbe de la loi normale centrée réduite, l’axe des ordonnées et la droite d’équation T = G(t) =

t0, 00 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05

00,0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

.

.2,0

0,00000,03980,08320,11790,15540,19150,22570,25800,28810,31590,3413

.

.0,4772

0,00400,04380,08320,12170,15910,19500,22910,26110,29100,3186

0,00800,04780,08710,12550,16280,19850,23240,26420,29390,3212

0,01200,05170,09100,12930,16640,20190,23570,26730,29670,3238

0,01600,05570,09480,13310,17000,20540,23890,27040,29950,3264

0,01990,05960,09870,13680,17360,20880,24220,27340,30230,3289

Exemple : G (0,92) = 0, 3212. La valeur 0, 3212 est l’intersection de 0,9( lue dans la première colonne) et 0,02(lue dans la dixième ligne).0,92 = 0,9 + 0, 02.

avec g(t) = (1/ 2) . e (-1/2) t²

t

dttg0

)(

1515

Exemple 1 :

Si x suit une loi Normale N(μ;σ) de paramètre N(3.2;2.2) alors t=(x- μ)/ σ suit une une Loi Normale centrée N(0;1)

calculer la probabilité P(x ≤ 5 )?

• P(x ≤ 5) = p(t ≤ (5- 3;2)/ 2;2)=0;81818=0;82

• P(t ≤ 0;82) = 0;5 + G(0;82)

• La valeur G( 0;82) peut être lue dans la table

• G(0;82) = 0;2939 -> P(t ≤ 0;82) = 0;5+ 0;2939 = 0;7939

P(t ≤ 0;82) = 0;7939

1616

Exemple 2:Soit X une variable suivant une loi normale N (μ = 1,σ =3)♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7.

Réponse:Avant de chercher la probabilité demandée, il faut transformer la

variable X en variable centrée et réduite:

T1= x1- μ/ σ =-2 -1/3=-1 T2= x2- μ/ σ =7- 1/3= 2

)3

17

3

12()72(

tPxP

P(-2 ≤ x ≤ 7) = P (-1 ≤ t ≤ 2) = G(1) +G(2)

= 0;3413 +0;4772 = 0;8185

1717

1.C’est la loi de probabilité la plus importante, pour des raisons de 1.C’est la loi de probabilité la plus importante, pour des raisons de pratique, et pour des raisons théoriques.pratique, et pour des raisons théoriques.2.C’est la loi qui décrit les fluctuations des moyennes.2.C’est la loi qui décrit les fluctuations des moyennes.

3.Densité de probabilité : 3.Densité de probabilité : définie de définie de à + à +

4.La v. a. 4.La v. a. est centrée et réduite est centrée et réduite

Toute loi normale de paramètres Toute loi normale de paramètres et et peut être ainsi transformée peut être ainsi transformée en loi normale centrée réduite.en loi normale centrée réduite.

La loi normale de Laplace - Gauss

2

2

σ2

)μ(

e π2σ

1 )(

x

xf

2

2

σ2

)μ(

e π2σ

1 )(

x

xf

σμ X Z