Dépannage du20 février 2007

Intra H04 no 4

On définit la distribution de probabilité d'une variable aléatoire X comme suit :

a) Déterminer la valeur de K. b) Déterminer la fonction de répartition F(x). c) Calculer E(X), l'écart type de X et le fractile d'ordre 0,90

de X.

ailleurs0

4ou x 3 xsix)-k(5

2ou x 1 xsi kx

0 xsi0,1

f(x)

a) Déterminer la valeur de K.

Si x = 0 alors f(x) = 0,1 Si x = 1 alors f(x) = k*x = k Si x = 2 alors f(x) = k*x = 2k Si x = 3 alors f(x) = k(5-x) = 2k Si x = 4 alors f(x) = k (5-x) = k Si x > 4 alors f(x) = 0

Retour sur la théorie

Conditions pour l’existence d’une fonction de probabilité discrète:

1.

2.

0 f(x)

1 f(x)

Selon la condition 2, en les additionnant tous, on obtiens 1:

0,1 + k + 2k + 2k + k = 1

En isolant, on obtient k = 0,15.

La fonction de probabilité sera alors:

ailleurs0

4 xsi0,15

3 xsi0,30

2 xsi 0,30

1 xsi 0,15

0 xsi0,1

f(x)

b) Déterminer la fonction de répartition F(x).Par définition, la fonction de répartition est:

Faisons un tableau:

x)P(X F(x)

x f(x) F(x)

0 0,10 0,10

1 0,15 0,25

2 0,30 0,55

3 0,30 0,85

4 0,15 1,00

5 0,00 1,00

La fonction de répartition F(x) est donc:

5 xsi1,00

4 xsi0,15

3 xsi0,85

2 xsi 0,55

1 xsi 0,25

0 xsi0,10

F(x)

c) Calculer E(X), l'écart type de X et le fractile d'ordre 0,90 de X.

E(x)

La moyenne est 2,25.

25,2

0,15*40,30*30,30*20,15*10,1*0

f(x)*

x

Pour trouver l’écart type, nous devons passer par le calcul de la variance:

Il y a deux formules pour calculer la variance:

et

Nous utiliserons la deuxième formule.

²)(²)(V(x) xExE

)(*)-(xV(x) 2 xf

²)(²)(V(x) xExE Calculons d’abord E(x²):

Alors,

La variance est 1,3875

45,6

0,15*4²0,30*3²0,30*2²0,15*1²0,1*0²

f(x)*²

x

3875,1

²25,245,6

²)(²)(V(x)

xExE

Trouvons maintenant le fractile d’ordre 0,9: Note: La méthode pour trouver un fractile

est basée sur la même logique que pour les centiles, les quartiles et les percentiles.

x f(x) F(x)

0 0,10 0,10

1 0,15 0,25

2 0,30 0,55

3 0,30 0,85

4 0,15 1,00

5 0,00 1,00

Nous cherchons x de sorte que

Le fractile d’ordre 0,9 est 4.

9,0)( xXP

Intra A03 no 4

Trois coiffeurs travaillent dans un salon de coiffure pour hommes. On estime à :

Le 1/15 du temps, le salon est vide Les 2/15 du temps, il n’y a qu’un client Les 3/15 du temps, il y a 2 clients Les 4/15 du temps, il y a 3 clients Les 5/15 du temps, il y a 4 clients ou plus.

Chaque client rapporte un revenu de 10 $ pour sa coiffure. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de clients

présents au salon.

a) Déterminer la distribution de probabilité de X.

x 0 1 2 3 4 et +

f(x) 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15

Note: Il est possible de s’assurer que la distribution de probabilité est valide en vérifiant si la somme de toutes les probabilités est égale à 1.

b) Déterminer sa fonction de répartition.

x 0 1 2 3 4 et +

F(x) 1/15 3/15 6/15 10/15 15/15

c) Calculer la probabilité que :

c1) au moins 3 coiffeurs soient en train de travailler:

c2) au moins l’un des coiffeurs du salon soit en train de travailler.

15

9

15

61)2(1)3( xPxP

15

14

15

11)0(1)1( xPxP

d) Sachant que le propriétaire du salon encourt des frais fixes hebdomadaires de 1000 $, quelle est la probabilité qu’il fasse des profits si la fonction de profits est exprimée par la relation suivante : P = 1200 $ X – 1000 $?

Observons le tableau suivant:

x 0 1 2 3 4 et +

Profit -1000 200 1400 2600 3800

f(x) 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15

On cherche donc :

15

14

15

11)0(1)1()0(Pr xPxPofitP

e) Quel est le profit espéré du salon de coiffure?

$220015

5*3800

15

4*2600

15

3*1400

15

2*200

15

1*-1000

f(x)*

p

E(profit):

Intra A04 no 3 (suite) b) Soit X une variable aléatoire discrète

définie par la fonction de masse de probabilité suivante, où certaines probabilités sont inconnues :

b1) Calculer la probabilité de P(2 X 4). b2) Calculer E(X) et Var(X).

x 1 2 3 4 5 6

P(X=x)

Commençons d’abord par déterminer la valeur de Nous savons que:

Alors,

En isolant, on obtient = 0,1. On obtient donc le tableau suivant:

1 f(x) 182,0)( xf

x 1 2 3 4 5 6

P(X=x) 0,4

b1) Calculer la probabilité de P(2 X 4).

7,0

1,02,04,0

)4()3()2()42(

XPXPXPXP

b2) Calculer E(X) et Var(X).

E(x)

E(x²)

V(x)

3

0,1*60,1*50,1*40,2*30,4*20,1*1

f(x)*

x

2,2

²32,11

²)(²)(

xExE

2,11

0,1*6²0,1*5²0,1*4²0,2*3²0,4*²20,1*1²

f(x)*²

x

QUESTION 4 (intra #3)

La demande journalière Q d’un produit obéit à la loi de probabilité suivante :

Quantité Q 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 0,05 0,15 0,25 0,30 0,15 0,05 0,05

Les demandes journalières successives sont supposées indépendantes.

a) Calculer l’espérance et l’écart type de Q.

b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on n’ait une rupture de stock1 que le dernier jour de la semaine.

c) Le prix de vente d’un article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût d’une rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance.

Note (1) : Une rupture de stock survient lorsque la demande excède la quantité en main d’un article donné.

a) Calculer l’espérance et l’écart type de Q. E(X) = (0 x 0,05) + (1 x 0,15) + (2 x 0,25 ) + (3 x 0,30) +

(4 x 0,15) + (5 x 0,05) + (6 x 0,05)= E(X) = 2,70 Calculons maintenant la variance pour par la suite

trouver l’écart type. Var (X) = E(X2) – (E(X))2 = 9,30 – (2,70)2 = 2,01 E(X2) = (02 x 0,05) + (12 x 0,15) + (4 x 0,25 ) + (9 x 0,30)

+ (16 x 0,15) + (25 x 0,05) + (36 x 0,05)= E(X2) = 9,30 L’écart type est donc la racine de la variance donc la

racine de 2,01 = 1,4177 b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en

début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on n’ait une rupture de stock1 que le dernier jour de la semaine.

0,955 x 0,05 = 0,0387

c) Le prix de vente d’un article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût d’une rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance.

Pour obtenir ces valeurs, on sais que chaque jour 5 unités de l’article sont en stock, si la demande pour une journée particulière est nulle alors 100$ par unité stockée en trop sont perdu d’où une perte de 500 $.

Si pour une journée particulière on a une demande d’une unité et bien on fait un profit de 400$ pour cette unité vendue mais une perte de 100$ pour chacun des 4 unités non vendues d’où le profit est nul. Et ainsi de suite.

E(Profit) = (-500 x 0,05) + (0 x 0,15) + (500 x 0,25) + (1000 x 0,3) + (1500 x 0,15) + (2000 x 0,05) + ( 1960 x 0,05) = 823 $