VARIABLE ALÉATOIRE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTEDISCRÈTE

Notion de variable Notion de variable aléatoirealéatoire

Dans le chapitre précédent, pour étudier une expérience aléatoire, on a construit un modèle mathématique sur la base de trois éléments:– : l’ensemble fondamental des résultats– Une famille d’événements associés à – Une fonction de probabilité P

Cependant, souvent, on ne s’intéresse pas aux résultats eux-mêmes mais plutôt à une ou des caractéristiques particulières de ces résultats

Une variable aléatoire fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience

Notion de variable Notion de variable aléatoirealéatoire

Lorsqu’on lance une pièce de monnaie 3 fois, les résultats ont la forme: (F,P,F), (F,P,P), etc.

Ce qui nous intéresse, ce n’est pas tellement un triplet particulier mais plutôt une caractéristique de ce triplet

– Par exemple le nombre de faces

De plus, il arrive souvent que les résultats ne soient pas définis sous forme numérique

Notion de variable Notion de variable aléatoirealéatoire

Il est pratiquement impossible d’effectuer des opérations mathématiques sur des résultats comme des triplets (P,F,P)

Il est donc utile de faire correspondre à chacun des résultats non numériques un résultat de type numérique

Ainsi à chaque triplet on fera correspondre, par exemple, le nombre réel défini comme le nombre de faces dans le triplet

ExempleExemple

X: x

(P,P,P) (P,F,P) (P,P,F)(F,P,P) (F,P,F)(F,F,P) (P,F,F) (F,F,F)

0 1 2

3

Le nombre de faces

Variable aléatoire - Variable aléatoire - DéfinitionDéfinition

Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre réel

Elle nous fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience

Elle associe une valeur numérique à chaque résultat possible

X :

x

NotationNotation

Une variable alétoire est identifiée par une lettre majuscule: – Soit X le nombre de faces obtenues en lançant 3 pièces

de monnaies Les résultats, les valeurs que X peut prendre

sont représentés par une lettre minuscule x :– x= 0, 1, 2 ou 3 faces

Variable aléatoire discrèteVariable aléatoire discrète

Variable aléatoire discrète (V.A.D.) :

– Lorsque l’ensemble des résultats est un ensemble fini ou infini dénombrable

– La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles 0, 1, 2, 3...

GénéralitésGénéralités

Les notions de variables aléatoires ne nous sont pas totalement inconnues– On les a abordées sous l’angle des statistiques descriptives

pour des échantillons L’étude des lois de probabilités permet de

caractériser d’une manière conceptuelle une population hypothétique et possiblement infinie

Le calcul des probabilités est l’aspect théorique des notions pratiques déjà traitées en statistiques descriptives

GénéralitésGénéralités

Les notions probabilistes sont associées à une population hypothétique (ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire)

Les notions statistiques sont associées à un nombre restreint d’observations (échantillon)

La loi des grands nombres nous permet d’établir un pont entre les notions probabilistes et les notions statistiques– Elle précise que la fréquence relative d’un événement tend vers sa

probabilité lorsque le nombre de répétitions de l’expérience aléatoire augmente

GénéralitésGénéralités

Notions probabilistes

(Concepts théoriques)

Notions statistiques

(Concepts pratiques)

Probabilité d’un événement

Fréquence relative

Variable aléatoire Variable statistique

Loi de probabilité Distribution statistique (empirique)

Espérance mathématique d’une variable aléatoire E(X)

Moyenne arithmétique d’une variable statistique

Variance d’une variable aléatoire Var(X)

Variance d’une variable statistique

x

Fonction de probabilité ou fonction masse de Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité d’une variable aléatoire probabilité d’une variable aléatoire discrètediscrète

(v.a.d.)(v.a.d.)

La distibution de probabilité d’une variable aléatoire décrit comment sont distribuées les probabilités des valeurs que peut prendre la v.a.

Définir la fonction (distribution, loi) de probabilité d’une v.a. discrète c’est associer à X, chacune des valeurs possibles de la v.a., la probabilité qui lui correspond

Pour une variable aléatoire discrète X, la distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x). Celle-ci donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x

ExempleExemple

Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer deux dés, on considère la v.a. X = la somme des résultats des deux dés. Construire un tableau de distribution de probabilité

L’ensemble des réalisations de X est : – x = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Il faut maintenant calculer la fonction de probabilité associée à chacun de ces résultats: f(x)

ExempleExemple

Tableau de distribution de probabilités (fonction de masse de probabilité):

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=x)

ou

f(x)

0

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

36

Pour une variable aléatoire discrète

ExempleExemple

X: x

(P,P,P) (P,F,P) (P,P,F)(F,P,P) (F,P,F)(F,F,P) (P,F,F) (F,F,F)

0 1 2

3

Le nombre de votants pour le parti vert

f(0)=1/8

f(3)=1/8

f(2)=3/8

f(1)=3/8

Représentation graphiqueReprésentation graphique

Fonction de masse

0

0,05

0,1

0,15

0,2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Somme des deux dés

Pro

ba

bili

té

Propriétés d’une fonction de Propriétés d’une fonction de probabilitéprobabilité

f(x) 0 x

f(xi) = 1

ExempleExemple

Considérons les ventes d’automobiles chez le concessionnaire Automax. Les données de ventes journalières sur une durée de 300 jours sont les suivantes: au cours de 117 jours, une auto a été vendue chaque jour; au cours de 72 jours, 2 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 42 jours, 3 autos ont été vendues chaque jour, au cours de 12 jours, 4 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 3 jours, 5 autos ont été vendues chaque jour. L’expérience consiste à sélectionner un jour parmi les 300 jours de l’opération.

Exemple - suiteExemple - suite

Définissons une variable aléatoire qui représente le nombre d’autos vendues par jour:– Soit X le nombre d’autos vendues par jour

– X est une variable aléatoire discrète

– Les valeurs que X peut prendre sont x= 0,1,2,3,4,5

– f(x) donne la probabilité qu’on vende x autos un jour donné.

– La distribution (fonction) de probabilité de x est:

f(0)= 54/300=0,18 ;f(1)= 117/300=0,39 ;

f(2)= 42/300=0,24 ;f(3)= 0,14 ;f(4)=0,04 ; f(5)= 0,01;

Exemple - suiteExemple - suite L’avantage de décrire une variable aléatoire et

sa distribution de probabilité est qu’une fois cette distribution connue, il est relativement facile de déterminer la probabilité d’occurrences des différents événements qui peuvent présenter un intérêt

La probabilité de vendre au moins 3 automobiles au cours d’une journée est: – f(3)+f(4)+f(5)= 0,14+0,04+0,01=0,19

Fonction de répartitionFonction de répartition

La fonction de répartition est la somme des probabilités des valeurs xj de X (inférieures à x) jusqu’à x:

– F(x) = P( X x ) = f(x1) + f(x2) +…+ f(xj)

• tel que x1, ..xj, x- C’est la fonction de probabilités cumulées des valeurs de X jusqu’à xj

- C’est aussi la surface sous la courbe f(x) jusqu’à la valeur xj

Exemple somme de 2 dés - suite Exemple somme de 2 dés - suite

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=x)

f(x)

0

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

36

P(Xx)

F(x)

0

36

1

36

3

36

6

36

10

36

15

36

21

36

26

36

30

36

33

36

35

36

36

36

j j

j jx x x x

F( x ) P( X x ) P( X x ) f ( x )

Représentation graphique Représentation graphique

Fonction de répartition

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

Somme des deux dés

Pro

bab

ilité

cu

mu

lée

Propriétés de la fonction de répartition

1. Une fonction de répartition F(xi) prends ses valeurs dans l’intervalle (0, 1)

2. F(-) = lim F(x) lorsque x tend vers - = 0

3. F(+) = lim F(x) lorsque x tends vers + = 1

4. F(x) est non-décroissante, i.e. si x1<x2 alors F(x1) F(x2)

Propriétés de la fonction de répartition

Pour une variable aléatoire discrète:

– P(a < X b) = F(b) – F(a)

– P(a < X < b) = F(b-) – F(a)

– P(a X < b) = F(b-) – F(a-)

– P(a X b) = F(b) – F(a-)

où : F(x-) = P(X <x)

Paramètres d’une v.a.d

• Paramètre de tendance centrale– Espérance mathématique

• Paramètres de dispersion– Variance– Écart type

L’espérance L’espérance mathématiquemathématique

L’espérance mathématique d’une v.a. X permet de caractériser la tendance centrale ou la position de l’ensemble des valeurs possibles d’une v.a.

Notation : E[X] ou

Si X est une v.a. discrète : E[X] = xi f(xi)

Exemple 1 - suiteExemple 1 - suite

xi1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=xi) 036

136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

xi .f(xi) 036

236

636

1236

2036

3036

4236

4036

3636

3036

2236

1236

E[X] = xi f(xi) = 0 + 2 + …+ 12 = 252 = 7 36 36 36 36

La varianceLa variance

La variance sert d’indicateur pour l’étalement des valeurs de la variable aléatoire par rapport à (l’espérance mathématique)

Var(X) = 2 = E[(X-)2] = in

ii xfx .

2

1

La variance

Var(X) = E[X2] – (E[X])2

i

ii xfxXE .22

Écart typeÉcart type

L’écart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté (X) ou simplement , est défini comme la racine carrée positive de Var(X)

(X) = )(XVAR

Processus Bernoulli et expérience Processus Bernoulli et expérience binomialebinomiale

Propriétés:1. L’expérience est une série de n tirages identiques

2. Deux événements sont possibles à chaque tirage: succès et échec

3. La probabilité de succès, notée p, ne se modifie pas d’un tirage à l’autre. La probabilité d’échec q=1-p ne se modifie pas non plus

4. Les tirages sont indépendants– Lorsque les propriétés 1, 2, 3, et 4 sont satisfaites, il

s’agit d’une expérience binomiale

Distribution binomialeDistribution binomiale

Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès lorsqu’on effectue n épreuves de Bernoulli, alors X obéit à une distribution binomiale.

– X Bi (n, p)

– Ce qui se lit «X obéit à une loi binomiale de paramètres n, p»

– L’intérêt est de connaître le nombre de succès après n tirages

Distribution binomialeDistribution binomiale

n = le nombre d’épreuves de Bernoulli p = la probabilité de succès Définition mathématique d’une v.a. binomiale :

– Une v.a. X qui prend les valeurs entières x telles que x = 0,1,2,…n pour n entier positif, 0 p 1, q=1-p, avec les probabilités :

xnxnx qpCxXPxf ..)()(

s’appelle une v.a. binomiale de paramètres n et p.

Distribution binomialeDistribution binomiale

Si X est une v.a. binomiale alors :

qpnXVAR

pnXE

..)(

.)(

ExempleExemple

Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer 2 dés où un succès consiste à obtenir une somme égale à 7. Si on répète 4 fois cette expérience aléatoire, quelle est la probabilité d’obtenir 2 succès ?

p= q= n= x=

Utilisation des tables p. 702: probabilité d’obtenir x succès en n tirages lors que p est la probabilité de succès

Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 3 succès?