Algorithmes Recherche opérationnelle et théorie des Graphes

8/19/2019 Algorithmes Recherche opérationnelle et théorie des Graphes

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Chapitre 22.3.4. Organigramme de l'algorithme fondé sur le test 2 permettant de testant

l'absence de circuit.

Il existe dans A uneligne i ne comportant

que des zéros.

Supprimer dans A la ligne et lacolonne i.Soit R la matrice résultante..Redéfinir A en posant A =R

A ne contientque des zéros.

OUI

NON

OUINON

Eventuellement,obtention d'uncircuit enappliquantl'algorit me !.".#.

Il existe au moins uncircuit.

e graphe est sans circuit.

Soit M la matrice d'ad$acence d'ungrap e %.&éfinir la matrice A en posantA =M .


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2.3.!. Organigramme de l'algorithme d'obtention d'un circuit.Supposons qu'apr s l'application de l'algorit me !.".(, nous vo)ons qu'un grap e %poss de au moins un circuit. Il est possible alors de construire explicitement un telcircuit. *our ce faire, il faut partir d'un sommet du sous grap e %+ défini par lamatrice + = -a+ i$ obtenue / la derni re itération de l'algorit me !.".(.

01 2i +=

=

i1i3I

$ ai +

∈∃

M*;I={i

1}

;k=1;

Obtention d'un circuit :

45I

646 7 oisir ∉ tel que :

k=k+1


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2.3.". Organigramme de l'algorithme d'obtention des ni#eaux d'un graphe sanscircuit.

7onsidérons un grap e sans circuit %=-8,5 de matrice d'ad$acence .9es n niveaux de % sont les n sous:ensembles de sommets définis en !.".!.X -i , i=;,..n de la fax 3 x∈8 , Γ ? -x =∅@X -0 =>x 3 x∈8 : X -; , Γ ? -x ⊆X -; @X -! =>x 3 x∈8 : - X -; ∪X -0 ,Γ ? -x ⊆X -; ∪X -0 @...

$ -n =>x 3 x∈8 : - X -; ∪X -0 ∪A ∪X -n:0 ,Γ ?-x ⊆ X -; ∪X -0 ∪A ∪X -n:0 @

9'algorit me suivant permet de construire les niveaux successifs d'un grap e sanscircuit

9e partage en niveaux d'un grap e simplifie la rec erc e de c emon minimale oumaximale entre sommets.

i=;

X (i) est l'ensemble des sommets correspond nts u! li"nes nonm rqu#s ne conten nt que des 1 b rr#es ou des $#ros%

X (i) = ∅

M rquer lesli"nes de X (i) et

b rrer lescolonnescorrespond ntes

646BI6

45I

i=i?0


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2.4.4. Organigramme de l'algorithme d'obtention du no%au d'un graphe sanscircuit.

L'existence d'un tel noyau est justifiée par le théorème 2.4.2.

&

7 oisir une ligne ne contenant que des zéros.

arquer cette ligne d'une croix. Entourer lacolonne correspondante / cette ligne. Carrer leslignes a)ant un 0 dans la colonne entourée. Carrerles colonnes correspondantes.

Il existe une ligne nonmarquée et non barréene contenant que des 0barrés ou des zéros.

7 oisir une ligne non marquée etnon barrée ne contenant que des 0barrés ou des zéros

6o)au = > sommets marqués@


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Chapitre 3

3.2. (ersion récursi#e du parcours en profondeur d'un graphe.

3.2. . )lgorithme général

9e programme principal a la structure suivante var i integer 2

gr %RD* E 2 marque arra% F0..nG of boolean 2AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA.beginfor i =0 to n do marque FiG =false 2for i =0 to n do if not -marqueFiG then prof(i,gr,marqueend*

9a procédure récursive prof de parcours en profondeur ressemble / procedure prof -i Integer2 g %RD* E2 #ar arra% F0..nGof boolean 2

>s est un sommet o! commence le parcours @#ar i," Integer 2 > " est un sommet @# Fs G =true 2> on marque le sommet s @> première rencontre a"ec s @

for j =0 to n do dH ? de s dans g dobegin"$%j ième& succ&de s dans g >rencontre de l arc (s," ) l aller @if not -# FvGthen prof(",g,# 2 > rencontre de l arc -s,v au retour @end>2 dernière rencontre a"ec s @end prof 2


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3.2.2. +arcours d'un graphe en profondeur représenté par sa matrice ad,acente.

t%pe %RD* E= arra% F0..n,0.. nG of boolean2

procedure prof -i Integer2 g %RD* E2 #ar arra% F0..nG of boolean 2#ar $ Integer2begin

FiG =true 2for $ =0to n doif gFi,$Gand not - F$Gthen prof -$,g, 2end prof 2

3.2.3. +arcours d'un graphe en profondeur représenté par listes d'ad,acence.

J)pe adr= ↑ doublet2%RD* E= record

no *..n 2sui" adr2end*

procedure prof -i Integer2 g %RD* E2 #ar arra% F0..nG of boolean 2#ar $ Integer2 s adr2begin

FiG =true 2 s =gFiG2 -hile s ≠ nil do begin $ =s↑.no2if not - F$Gthen prof-$,g, 2

s =s↑.suivend

end prof 2


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3.2.2. +rocédure iterprof de parcours en profondeur itérati#e.

procedure iterprof -s Integer2 g %RD* E2 #ar arra% F0..nG of boolean 2>s désigne un sommet de départ@#ar i,j,d Integer2 > i et $ sont des sommets@ poursuite boolean2 + *ile2

begin i$%s pile&"ide(+ > partir avec une pile vide@

poursuite =false2FiG =true2

> premi re rencontre avec avec i @+$%empiler(+,iif d - de i dans g ≠ then begin

poursuite =true2 j$%premsucc(i,g 2 > premier successeur de i dans g@end 2-hile not -est&"ide(+ do begin

-hile poursuite do if not - F$Gthen begin > $ n'est pas marqué et donc on progresse@ F$G =true 2 > premi re rencontre avec $ @ +$%empiler(+,j

i =$2 > on passe aux successeurs@ if d - de i dans g / then j$%premsucc(i,gelse poursuite =false > pas de successeur@endelse begin > $ est marqué, donc on regarde les autres successeurs de i @d$%d - de i dans gif j ≠ d ème&succ&de i dans g then j$%succsui"ant(i,j,gelse poursuite =false > il n') a pas d'autres successeurs de i@end2> retour arri re@

j$%sommet(++$%dépiler(+ 'derni re rencontre avec $@

if not -est0"ide(+ then begini$%sommet(+d$%d - de i dans gif j ≠ d ème&succ&de i dans g then begin

j$%succsui"ant(i,j,g

poursuite =trueend>sinon tous les successeurs de i ont été marqués2 on est sur la derni re rencontre de i2on continue le retour arri re@ endendend iterprof 2


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3.4. +arcours en largeur.

gorithmeUtilisation d'une structure de file lors/ue l'on #isite les successeurs nonmar/ués d'un sommet s0 il faut les ranger successi#ement dans une file 1I1O*la recherche au ni#eau sui#ant repartira des chacun des successeurs de s0 partir du premier de la file.Rappelons que pour le type File, les adjonction se font à une extrémité et lesaccès ou suppression à l'autre extrémité.

+rocedure larg s integer* G raphe* #ar arra%5 ..n6 of boolean7*>s est un sommet 8#ar !,",i integer* F 1ile*9# et - sont des sommets8beginF :file;#ide* &5s6 : de # dans G do begin

- :i ?me successeur;de ! dans G if not % )"*& then begin

)"*#$ true* F#$ajouter%F,"&end

endend

end larg *


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Chapitre 5Or" ni"r mme de l' l"orit&me de color tion de els& et o ell

@anger les sommets de $ par ordre dedegrés non croissants soit & la matriced'ad,acence du graphe ainsi ordonné

A:

N:&

Colorer par la couleur cA la premi?re ligne non

encore colorée dans N0 ainsi /ue la colonnecorrespondante.

N : ensemble des lignes non encore coloréesa%ant un Béro dans les colonnes de couleur c

A

N: ∅

*

Changer decouleur


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!.!.3.2. )lgorithme du couplage maximun

!.D.2. Organigramme de l'algorithme de coloration des arEtes

e probl me de color tion des r,tes de - est #qui. lent / l color tion des sommets de -'%

: $ ∪ F0G7

Couplage initial C

$&

:F&

: ∅ * $N:$ * F

N:F

x∈$;C

&ar/uer > un tel sommet x$

&:$

&∪9x8 * $

N:$

N ; 9x8

%∈Γ x7∩ FN

&ar/uer >0x7 un tel sommet % F &:F &∪9%8 * FN:F N ; 9%8

x∈Γ %7∩C∩$N

oH %∈ F&

&ar/uer ;0%7 un tel sommet x$&

:$&∪

9x8 * $N:$

N ; 9x8

Tous les y ∈YM

appartiennent à C

STOP. Le couplage C obtenuest un couplage maximum

upprimer dans C toutesles arEtes appartenant C/ui sont reprises dans lacha ne ).),outer dans C toutes lesarEtes n'appartenant pas C /ui sont reprises dans lacha ne ).

oit %J∈ F&

; C *Kéterminer la cha ne): x0L0%J7commennMant en unsommet mar/ué > et/ui a conduit aumar/uage de %J

NON

OUI

NON

7OUI

NON

OUI

NON

OUI

27

: $0G7

+onstruire le graphe adjacent G' de G

Colorer les sommets de ' en appli/uant algorithme '!.4.2.de coloration de elsh et +o-ell. a coloration obtenue est

une A;coloration des arEtes de


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!.".4. Organigramme de l'algorithme de rusAal

Algorithme de Kruskal

: $0G70 -

@anger les arEtes de par ordre depoids décroissants

1:9e 8 * A:

1 possede;il n;éléments P

A:A>

Gxiste;t;il unc%cle dans

1∪9eA8 P

F$ F e-

/top

)J: $017 est l'arbrepartiel de poidsminimum

OUI

010

OUI

010


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Chapitre 6

2rincipe de l'algorithme de Ford

OUI

λ0=;

λ $=∞, ∀ $≠0 λ

$=:∞, ∀ $≠0

-chemin plus court -chemin plus long

xi0x,7∈U tel /ue λ

, Q λ i >l

i j λ , R λ i >l

i j

&ar/uer x , de

λ , : λ i >

l i j


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+hemin de !aleur optimale

On part a#ec les mar/ues λ

,7,: 0..n

A:n*

µ: x n7

@echercher x , tel /ue λ

,: λ

A ; l

j k

+oser A:,

µ : xA0µ7

xA:x


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3lgorithme de 4ellman(5ala6a

λ S7:S

λ ,

S7:∞0 ,≠ λ ,

S7:;∞0 ,≠-chemin plus court -chemin plus long

x , tel /ue

λ ,

A7≠ λ ,

A; 7


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3lgorithme de 4ellman(5ala6a pour un graphe partagé en ni!eaux

est un graphe partagé enni#eaux tels /ue 9x 8⊆N 0N

20 N

A0L09x

n8⊆N

A:Sλ :S

A:A>

x , ∈N

A

non mar/ué

&ar/uer x ,

1 ,:

9 λi > l

i j T x

i∈N

∪N

2∪L ∪N

A;8

λ ,:min 1

, λ

,:max1

,

xn mar/ué


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3lgorithme de 7ij-stra

K:9x 8 *

λ :S*

λ ,: l

1j 0 ,≠

λA:min λ

,

x ,∉

K Voir remarque

K:K ∪ 9 xA

8

λ ,:min 9 λ

,0λ

A> l

kj 8

x n ∈K


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Chapitre 0l"orit&me de ord ulkerson:2ersion 1 T!"#$%$C&

lot r# lis ble initi l ϕ de . leur Φ(ϕ) ; m1=3∞ ; +4

un x '

non mar(u) tel (ue

pour un xi mar(u)

"*& ci '

+ϕ i '

, - ou bien

"**&ϕ ' i

,-

Choisir un tel x '

cas "*& ou

cas "**)

Mar(uage irect e x ' /

m '!0i 1 α

'1 2 3

a4ec

α ' !min α i $ r i ' !c i ' +ϕ i '

Mar(uage in irect e x ' /

m ' ! 0i 1 α

' 1 +3 a4ec

α ' !min α i $ r i ' ! ϕ ' i

xn mar(u)

Φ"ϕ&! Φ"ϕ& 2α n

'!n

m '

!

"*& 0 i 1α '

1 2 3

"**& 0 i 1α ' 1 + 3

ϕ i '

! ϕ i '

2 α n

ϕ ' i

! ϕ ' i

+α n

'!i

788acer m ' $ '≠9 '!9

56O % e 7lotϕ

obtenu est un 7lot

de . leur

minim le

:O:

O%*

"*& "**&

:O:

O%*

"*&"**&

:O:O%*


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Dlgorit me de Bord Bul1erson Kersion !

T ! "# $ % $C&

;lot r)alisable initial ϕ $ e 4aleur Φ"ϕ&

Construire le graphe


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L.#.!. 4rganigramme de l'algorit me permettant d'obtenir un flot de valeur

;lot r)alisable initial ϕ! ϕ i '

!- $ "xi$x

'&∈% $ e

4aleur Φ"ϕ&!-

τ ! "# $ % $C& 1 8 1φ-

Construire le graphe


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Chapitre AC 7 ) O@I


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O@ )NI @)&&G KG ') O@I c

'+E

',-

P r sort si x r >xr I ! min i xi > xi I > xi I ,- "x r I est dit le &i*ot &

(+) Constru"tion du nou*eau tableau du im&le! Sur la ligne e pi4ot / x<

I ! x

r> x

r I

x<I '

! xr '>x

r I

Billeurs "i ≠I& / x<i ! x

i F "x

i I > x

r I & x

r

x x

r I & "c

I F E

I &

c ' FE<

' ! c

' FE

' F"x

r ' >x

r I & "c

I +E

I &


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Organigramme e la m)tho e M et e la m)tho e en eux phases

ettre les contraintes sous forme d'é alités*9 / maximum.

Rendre positif le second membre des contraintes

Introduire des variables artificielles dans les contraintes n

=+ x $ % n i m )ontraites C - thode - - thode -

Résoudre le *9

∑∑==

−=m

ii j

n

j j $ xc * +

1

m !

sous les contraintes C (M 9> rbitr irement "r nd)

éthodes en deux phaseséthodes en deux phases

2 2 :3/; :3/; i m $ i = 9 > i mNON NON

OUI OUI

BI69a solution

optimale du *9 dedépart est atteinte

BI6*as de solution

réalisable2 2 :3/; :3/; = =

Résoudre le *9

x jn

jc + j∑

=

=1

?m !

bi xa jn

j

ij =∑

=1 x j ≥ %, j, ,n ( i, ,m

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