Algebre Lineaire I

7/24/2019 Algebre Lineaire I

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Planche no 1. Algbre linaire I

* trs facile ** facile *** difficult moyenne **** difficile ***** trs difficileI : Incontournable

Exercice no 1 (** I)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels dun espace vectoriel E.

Montrer que : [(F Gsous-espace deE) (FG ou GF)].Exercice no 2 (****)

Gnralisation. Soient n un entier suprieur ou gal 2 puis F1, ... , Fn n sous-espaces de E o E est un espace vectoriel

sur un sous-corps K de C. Montrer que

(F1 ... Fn sous-espace deE) (il existei1, n/

j=i

FjFi).

Exercice no 3 (** I)

E= Kn o K est un sous-corps de C.Soient F = {(x1,...,xn) E/ x1+ ... +xn = 0} et G = Vect ((1,...,1)). Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.Montrer queF et G sont supplmentaires dans E. Prciser le projet dun vecteur x de E sur F paralllement G et sur Gparalllement F.

Techniques de dmonstration dindpendance (du no 4 au no 12).

Exercice no 4 (**)

Les familles suivantes de R4 sont-elles libres ou lies ? Fournir des relations de dpendance linaire quand ces relationsexistent.

1) (e1, e2, e3) o e1 = (3,0,1, 2), e2 = (1,5,0, 1) et e3 = (7,5,2,1).2) (e1, e2, e3, e4)o e1 = (1,1,1,1), e2 = (1,1,1, 1), e3 = (1,1, 1, 1) et e4 = (1, 1,1,1).3) (e1, e2, e3, e4)o e1 = (0,0,1,0), e2 = (0,0,0,1), e3 = (1,0,0,0) ete4 = (0,1,0,0).4) (e1, e2, e3, e4)o e1 = (2, 1,3,1), e2 = (1,1,1,1), e3 = (4, 1, 5, 3)ete4 = (1, 2,2,0).

Exercice no 5 (***)

Montrer que (1,

2,

3)est une famille libre du Q-espace vectoriel R.

Exercice no 6 (**)

Soit f(x) = ln(1+x) pour x rel positif. Soient f1 = f, f2 = f f et f3 = f f f. Etudier la libert de (f1, f2, f3) dans[0, +[[0,+[.Exercice no 7 (**)

Soitfa(x) =|x a|pouraet x rels. Etudier la libert de la famille (fa)aR.

Exercice no 8 (**I)

On pose fa(x) =eax pouraet x rels. Etudier la libert de la famille de fonctions (fa)aR.

Exercice no 9 (**)

Montrer que toute famille de polynmes non nuls de degrs deux deux distincts est libre.

Montrer que toute famille de polynmes non nuls de valuations deux deux distinctes est libre.Exercice no 10 (**I)

E= Rn[X]. Pour 0 k n, on posePk = Xk(1X)nk. Montrer que la famille (Pk)0kn est une base de E.

Exercice no 11 (**I) (Polynmes dinterpolation de Lagrange)

Soient a0,..., an n+1 nombres complexes deux deux distincts et b0,...,bn n+1 nombres complexes.Montrer quil existe une unique famille de n + 1 polynmes coefficients complexes de degr n exactement vrifiant(i, j)0, n2, Li(aj) =1 si i = j et 0sinon.Montrer que la famille (Li)0in est une base de Cn[X].Montrer quil existe un unique polynme P de degr infrieur ou gal n vrifianti 0, n, P(ai) = bi. Expliciter Ppuis dterminer tous les polynmes vrifiant les galits prcdentes.

c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits rservs. 1 http ://www.maths-france.fr


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Exercice no 12 (**)

1) Calculer pour p et q entiers naturels donns les intgrales suivantes :

J(p, q) =

20

cos(px) cos(qx)dx, K(p, q) =

20

cos(px) sin(qx)dx et L(p, q) =

20

sin(px) sin(qx)dx.

2) Montrer que la famille de fonctions (cos(px))pN (sin(qx))qN est libre.Exercice no 13 (***I)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels dun espace vectoriel de dimension finie sur K.

Dmontrer que dim(F+G) =dimF+dimGdim(F G).Exercice no 14 (**)

Soient F, G et H trois sous-espaces dun espace vectoriel E de dimension finie sur K.Montrer que : dim(F+G+H) dimF+dimG+dimHdim(F G) dim(G H) dim(H F) +dim(F G H).Trouver un exemple o lingalit est stricte.

Exercice no 15 (***)

Soient F1, F2,..., Fn n sous-espaces vectoriels dun espace E de dimension finie sur K (n 2).Montrer que dim(F1+...+Fn) dimF1+...+dimFn avec galit si et seulement si la somme est directe.

Exercice no 16 (**I)

SoitE un K-espace vectoriel de dimension n 3. Montrer que lintersection de n 1 hyperplans deE est non nulle.

Exercice no 17 (**)

Soient (x1, . . ,xn)une famille de n vecteurs de rang r et (x1,...,xm)une sous famille de rang s (m net s r). Montrerques r+mn. Cas dgalit?

Exercice no 18 (**)

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soient f et g deux applications linaires de E dans F. Montrerque |rgfrgg| rg(f+g) rgf+rgg.

Exercice no 19 (**)

Soient E, Fet G, trois K-espaces vectoriels puis fL(E, F)et gL(F, G).Montrer que rgf+rggdimF rg(g f) Min{rgf, rgg}.Exercice no 20 (***)

Soient E un espace de dimension finie et F et G deux sous-espaces de E. Condition ncessaire et suffisante sur F et G pourquil existe un endomorphisme f de E tel queF = Kerf et G = Imf.


Soient E un espace vectoriel non nul de dimension finie et f un endomorphisme de E.Montrer que : 1) (fnon injective) (f = 0 ou f diviseur de zro gauche).

2) (fnon surjective) (f = 0 ou f diviseur de zro droite).Exercice no 22 (*** I)

Soient E un espace de dimension finie nnon nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que fn =0.

Exercice no 23 (***I)

Soient AM3,2(R) et BM2,3(R) telles que AB= 8 2 22 5 4

2 4 5

. Justifier lexistence de A et B puis calculer BA.

Exercice no 24 (**I) (Noyaux itrs)

Soient E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Pour k N, on pose Nk = Ker(fk) et Ik = Im(fk) puisN=

kN

Nk et I =kN

Ik. (N est le nilespace de f et I le cur de f)

1) a) Montrer que les suites (Nk)kN et (Ik)kN sont respectivement croissante et dcroissante pour linclusion.b) Montrer que N et Isont stables par f.c)Montrer quek N, (Nk =Nk+1) (Nk+1 = Nk+2).

2) On suppose de plus que dimE= n entier naturel non nul.



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a) Soit A = {k N/ Nk = Nk+1}et B= {k N/ Ik = Ik+1}. Montrer quil existe un entier p ntel queA = B = {k N/ k p}.b) Montrer que E = Np Ip.c)Montrer que f/N est nilpotent et que f/IGL(I).

3)Trouver des exemples o a) A est vide et B est non vide b) A est non vide etB est videc) (****) A et B sont vides.

4) Pour kN, on pose dk = dim(Ik). Montrer que la suite (dkdk+1)kN est dcroissante.Exercice no 25 (***I)

SoitE un espace vectoriel non nul. Soitf un endomorphisme deE tel que pour tout vecteur x de E la famille (x, f(x))soitlie. Montrer que f est une homothtie.


SoitE un espace de dimension finie. Trouver les endomorphismes (resp. automorphismes) de E qui commutent avec tousles endomorphismes (resp. automorphismes) de E.


Soient p et q deux projecteurs dun C-espace vectoriel E.Montrer que (p+qprojecteur) (p q= q p= 0) (Im(p)Ker(q)et Im(q)Ker(p)).Dans le cas o p +q est un pro jecteur, dterminer Ker(p+q)et Im(p+q).


SoitE un espace de dimension finie. Montrer que la trace dun projecteur est son rang.

Exercice no

29 (****)Soientp1,...,pnn projecteurs dun C-espace de dimension finie. Montrer que(p1+...+pnprojecteur) i=j, pipj = 0.Exercice no 30 (***)

SoitE un C-espace de dimension finie n. Soient p1,...,pn nprojecteurs non nuls de E tels quei=j, pipj = 0.1) Montrer que tous les pi sont de rang 1.2) Soient q1,..., qn n projecteurs vrifiant les mmes galits. Montrer quil existe un automorphisme f de E tel quei1, n, qi = f pi f1.Exercice no 31 (***)

SoitE un espace vectoriel. Soit G un sous-groupe fini de GL(E)de cardinaln. SoitF un sous-espace de E stable par tous

les lments de G et p un projecteur dimage F. Montrer que 1

n gGg

p

g1 est un projecteur dimageF.


SoitG un sous-groupe fini de GLn(R)tel queMG

Tr(M) =0. Montrer queMG

M= 0.

Exercice no 33 (***) :

SoitG un sous-groupe de GL(E)avec dimE= n et cardG= p. SoitF = {xE/gG, g(x) =x}.Montrer que dim(F) =

1

p

gG

Trg.


SoientA1,...,App matrices distinctes et inversibles deMn(R)telles queG = {A1,...,Ap}soit stable pour la multiplication.SoitA= A1+...+Ap. Montrer que TrAest un entier divisible par p.

Exercice no 35 (****)

Montrer que tout hyperplan deMn(R) contient des matrices inversibles.


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