Materieaux Non Lineaire

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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE CONCEPTION

MASTER GENIE MECANIQUE

Laboratoire de Mcanique des Contacts et des Structures (LaMCoS) UMR INSA-CNRS 5259

Equipe Mcanique des Solides et des Endommagements (MSE)

ANALYSE NON-LINEAIRE DES MATERIAUX ET DES STRUCTURES

CH-1 Mouvement et Lois de conservation

CH-2 Contraintes et Dformations

CH-3 Lois de comportement

CH-4 Thermodynamique et Hyperlasticit

CH-5 Plasticit et Endommagement

CH-6 Formulations non-locales

Annexe

M. BRUNET

EDITION 2009-2010

[Michel Brunet], [2009], INSA de Lyon, tous droits rservs

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CHAPITRE 1. MOUVEMENT ET LOIS DE CONSERVATION

1. DESCRIPTION DU MOUVEMENT

1.1. Formulations d'Euler et de Lagrange

1.2. Le tenseur gradient F

2. LOI DE CONSERVATION EN GENERAL

2.1. Qu'est-ce qu'une loi de conservation

2.2. Le vecteur flux

2.3. Forme locale de la loi de conservation

3. MILIEUX CONTINUS CLASSIQUES

3.1. La loi de conservation de la masse

3.2. Loi fondamentale de la dynamique

3.3. Premier principe de la thermodynamique

3.4. Synthse

4. PUISSANCES VIRTUELLES

4.1. Thorme des puissances virtuelles

4.2. Remarques sur les puissances virtuelles


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1. DESCRIPTION DU MOUVEMENT

1.1. Formulations dEuler et de Lagrange

Il y a deux possibilits de reprage dune particule : Description eulrienne : la particule est repre par sa position x linstant t Description lagrangienne : elle est repre par sa position 0, ou plus gnralement par une

position de rfrence X.

Le mouvement sera dfini par la fonction x(X, t) qui donne la position x linstant t de la particule rfrence par X, et dfinit donc la transformation faisant passer de la configuration de rfrence Co la configuration actuelle C (t).

x3

x2

x1

3e

2e

1e

C(t)

xd

X3

X2

X1

3E

2E

1E

Xd

Co

Ces deux configurations seront repres dans deux systmes de coordonnes que nous noterons :

XI = (X1, X2, X3) systme de coordonnes matrielles dans la configuration de rfrence initiale Co

xi = (x1, x2, x3) systme de coordonnes spatiales dans la configuration actuelle dforme C(t)

Ces deux systmes seront supposs cartsiens orthonorms et on leur appliquera les conventions de notation habituelles (sommation, drivation).

Remarque 1 : Dans les applications il est souvent commode de reprer Co et C(t) dans le mme systme de coordonnes, cest--dire didentifier ei et EI . Cependant

pour le dveloppement de la thorie, il est prfrable de conserver cette distinction.

Remarque 2 : Les coordonnes matrielles XI dfinissent un systme cartsien orthonorm sur la configuration de rfrence Co, mais elles dfinissent aussi un systme

de coordonnes curvilignes sur la configuration actuelle C(t).


5

1.2. Le tenseur gradient F Pour caractriser la dformation, on tudie la transformation dun vecteur matriel :

dX dx La transformation scrit : xi = xi (XI, t)

En diffrentiant on a : dx i =xi dX jXj

De mme on a : dXI =XI dx jx j

On dfinit alors le tenseur gradient F tel que :

xi(1) dx = F dX ou : dxi = FiJ dXJ avec FiJ = XJ

On a alors : dX = F1 dx-1 XIou : dXI = FIj -1 dxj avec FIj =

x j F, application linaire tangente, permet de caractriser les diverses transformations.

Si comme nous lavons voqu plus haut, on utilise le mme repre dans la configuration actuelle et la configuration de rfrence, il sera commode dintroduire le vecteur dplacement.

(2) xi (X, t) = Xi + ui (X, t)

Le tenseur gradient sera alors : ui(3) Fij = ij + ij: symbole de Kronecker ij = 1 si i = j Xj

= 0 si i j

Transformation de llment de volume

On considre un lment de volume dvo de la configuration de rfrence Co, qui se transforme en un lment dv de la configuration actuelle. On dmontre que : Le Jacobien de la transformation est :

(4) D (x ,x , x ) x2 31J = = det F = det D (X ,X ,X ) X1 2 3

et la transformation dun lment de volume scrit :

(5) dv = J dvo


6

Transformation de llment de surface

On considre de la mme faon la transformation dun lment de surface dSo de Co en un lment de surface dS de C(t).

n x dS N

dSo xd X

dX

Si N sont les vecteurs unitaires normaux aux surfaces So et S respectivement, on peut et n dmontrer la formule de Nanson :

(6)

o

Dem. : on a

n dS =

dx

x soit pour la ime composante, ni dS = ijk dxj xk avec ijk symboles de permutation,

=n NT o dS JF dS 1

F-1T est la transpose de linverse de F.

ijk =

+ permutation dej ksi i 1, 2, 3,,,1 (12 3) (2 31) (312) j k permutation impaire desi i 1, 2, 3,,1 (13 2) (213) (3 21) si deux indices rpts 0

Or on a : dxj = FjL dXL xk = FkM XM

Donc : ni dS = ijk FjL FkM dXL XM

FiP ni dS = ijk FiP FjL FkM dXL XM

= PLM det F dXL XM = J NP Dso

ou encore : FT nds = J N DSo

Exemple : dformation homogne triaxiale du cube unitaire :

X3

ndS 1

2 x2

3

1 X2

1

x3NdS o

1 x1 X1


7

Les quations de la transformation sont : x1 = 1 X1 x2 = 2 X2 x3 = 3 X3

1 0 0 2

et J = det F = 1 2 30 0le tenseur gradient est : F = 0 0 3

Transformation de llment de volume : dv o = 1

3

Transformation de llment de surface perpendiculaire X3 :

dv = J dv odv = 1 2

0

dSo = 1

dS = 1 2

n dS = 1 02 1

1

1/ 0 0 0 0

et J F-1t o = 1 2 = 1N dS 0 1/ 0 0 02 3 2

1 10 0 1/ 3

On vrifie donc bien les galits (5) et (6).

2. LOI DE CONSERVATION EN GENERAL

2.1. Quest-ce quune loi de conservation Dune manire gnrale, les lois de la physique expriment un bilan dune quantit A.

d(7) dt D Adv = D dS + D Bdv

Le premier terme correspond au taux de variation de la quantit de A contenue dans le domaine matriel D, cette variation provenant dune part des changes avec lextrieur travers la frontire D du domaine D (densit surfacique ), dautre part de la production interne de la quantit A dans le domaine D, dsigne B.

Ainsi A pourra tre la masse volumique, la quantit de mouvement, le moment cintique, l'nergie totale.

A = ; A = V ; A = .OM V ; A = (e + 1 V 2 ) .. 2

Il est ncessaire de prciser le domaine D considr, et son volution au cours du temps.

Cette loi de conservation prend deux formes quivalentes, selon que lon utilise une description eulrienne ou lagrangienne.


8

Forme Eulrienne

d(8) Adv = dS + Bdv dt D D D

On a affaire ici une drive particulaire dune intgrale de volume, et le domaine considr est un domaine matriel D(t).

d f f xi Remarque : Drive matrielle [f (x, t)] = + dt t xi t

Forme Lagrangienne

(9) Ao dv o = o dS o + Bo dv ot Do Do Do

Car en variables lagrangiennes la drive matrielle concide avec la drive partielle.

d f[f (X, t)] = car X = constante dt t

Exemple : loi de conservation de la masse

Nous noterons les masses volumiques dans les configurations actuelles et de rfrence, respectivement par et o : dm = dv = o dvo

Forme eulrienne : d D

dM (10) dv = 0 = M = constante dt dt

en effet : = 0 car on a une paroi matrielle impermable B = 0 par conservation

Forme lagrangienne

(11)

t Do o dv o = 0

2.2. Le vecteur flux Pour pourvoir utiliser la loi de conservation gnrale (7), on explicite en mathmatique la drive particulaire dune intgrale de volume qui est gale :

d A(12) Adv = dv + A V n . dS dt D D t D


9

Lgalit prcdente exprime que la variation de lintgrale provient dune part de la variation de la quantit intgre et dautre part de la variation du domaine dintgration o on considre que le domaine continu se dplace la vitesse V entre les instants t et t + dt.

On peut dautre part dmontrer en mathmatiques le thorme suivant, sur la transformation dintgrales : si est une fonction continue et drive continue dans D, et si D admet un plan tangent continu par morceaux, alors on a :

(13) grad dv = n dS D

D

ou Dxi

dv = D

ni dS

Ces deux rsultats vont permettre de transformer en intgrales de volume tous les termes de la loi de conservation eulrienne (8).

Pour cela on fait une hypothse analogue au postulat de Cauchy, savoir que la densit surfacique ne dpend du domaine D que par la normale extrieure en M D.

D M

D n

= (M, n )

Dans ce cas, on dmontre qu'il existe donc un vecteur flux associer la loi de conservation tel que :

(14)

M, - n M, n =

Il existe alors un vecteur flux a (exemple du vecteur contrainte) associ la loi de conservation tel que

(15) ( ) n = ai ni = a .n

La formule eulrienne (8) se rduit donc :

d(16) dt Adv = D a n dS + D Bdv

La forme lagrangienne (9) de la loi de conservation peut se traiter de la mme manire en

introduisant un vecteur flux lagrangien a o .

o = ao N


10

o oD

oo oD

oo oD

o dv B+dS N.adv A t

=

Les deux formes eulrienne et lagrangienne sont deux critures de la mme ralit

physique et les quantits Ao, ao , et Bo sont relies aux quantits A, a et B par les relations suivantes :

Adv = Ao dvo Ao = A J

Bdv = Bo dvo Bo = B J

dS = dSo o = ao .N dSo

or dS = a . n dS

=ao

aJ F 1-

= o -1T N dS a .J F

= J F N-1 oa dS

.

En rsum, on a donc :

Ao = A J (17) Bo = B J

1ao = J F a

2.3. Forme locale de la loi de conservation

On a la drive particulaire d'une intgrale de volume (q. 12) :

d A Adv = dv + A V . n dS dt D D t D

En utilisant le thorme de la divergence, on a :

A V. n dS = div (A V) dv = (A V ), dv D D D i i

( ),i signifiant ( ) / xi

Dautre part la loi de conservation sexprime par :

d Adv = dS + Bdv dt D D D

en utilisant le vecteur flux a :


11

dS D = D a n dS . = ai niD dS = ai D , idv

en galant les deux expressions on a :

AD

t dv + D (A Vi), idv = D ai,idv + D Bdv A

+ (A Vi ), i - ai ,i - B dv = 0 t

Cette quation tant vrifie, quel que soit le domaine D considr, on obtient la forme locale Eulrienne :

(18) 0=B-,a-), V(A + t A

iiii

De mme la forme locale Lagrangienne est :

(19) 0=B-a-o t

A oII,o

Les deux formes prcdentes expriment la mme ralit physique et sont donc strictement quivalentes. Mais on peut aussi le dmontrer directement partir des quations (17).

Admonstration : o - a - B = 0oI,I ot

Avec les q. (17) dans (19) on doit avoir :

(AJ) 1 -1

= (JF a ), + BJ A0 = AJ a = JF aki i k 0 Ki iKt

ce qui revient vrifier cette relation.

Dans la suite de la dmonstration on utilisera les formules sur le dterminant dune matrice, dans l'espace 3 dimensions

(F1) = 1 F FJi mP nQ imn JPQ 2 dt F FiK (F-1)Kj = ij

trace de ( )

Avant dexpliciter le calcul nous allons tablir la formule gnrale :

(20) d(dt A) = dt A tr(dA A-1) tr ( ) =

qui nous servira plus loin. Tr (A) = Aij ij = Aii = A11 + A22 + A33

dmonstration : dt A = 1 i jk mpq Aim A jp Akq 6


12

d(dt A) = 1 ijk mpq Aim A jp dA kq 2 -1d t A A 1k

= dt A tr (dA A-1)

lapplication de cette formule J = dt F donne :

2

J F -1 xi XK

= J tr F = J = JV = J div Vi,it t tX xK i

J -1de mme : J, = = JF FK jM, K Mj

XK

1Pour calculer , on se sert de :( ) KFKi 1 FFKi iM = KM -1 F FiM ,K = 0( Ki ) -1 -1 F ,K FiM = - F FjM,K( Ki ) Kj

-1 -1 -1On a donc : (J FKi ), = J,K F ( ),KK + J FKi Ki -1 -1 -1 1

= J F F F - J F F F = 0jM,K Mj Ki jM,K Mi Kj

2x jpuisque : FjM K = = FjK,M, XM XK

On obtient donc partir de la forme locale lagrangienne, en transformant la drive d

Ao d(AJ)lagrangienne en drive eulrienne : avec = soit : t dt

t dt dA J

1 1J + A = J F a + (JF ) a + BJKi i,K Ki ,K idt t O

dA X a aK i i J + A J V = J + BJ = J + BJ = Ja + BJK,K i,idt x X xi K i A

+ (A V ) a B = 0 on retrouve bien (18)i ,i i,it

dA A car : = + A, Viidt t

3. MILIEUX CONTINUS CLASSIQUES:

A partir de la loi de conservation : d A dv = dS + B dv dt D S D

On va suivre pour chaque grandeur physique le plan prcdent :


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1. construction dun vecteur flux = a . n (exemple vecteur contrainte) 2. forme locale

Il faudrait rajouter galement les quations aux discontinuits mais elles ne seront pas prsentes dans ce polycopi au nombre de pages limites.

3.1. La loi de conservation de la masse

La loi de la conservation de la masse se traduit par : dm (20) = 0 dt

Cette loi est une loi universelle au moins dans le cadre de la mcanique classique (non relativiste). La seule hypothse sous-jacente cette criture concerne lhomognit du matriau (un constituant unique). m est la masse dun domaine matriel, soit : m = dv = dv D D

On a donc : A = et , a et B nuls.

d forme locale (21) + (Vi), i = 0 = + div V (Euler)

t dt (22) = 0 (Lagrange) t

Cas particuliers des milieux incompressibles :

= = cte dv

= dv = Jdv

J = dt F = 1

Forme locale div V = 0 Lquation de conservation de la masse permet dcrire la forme locale Eulrienne dune loi de conservation sous la forme :

= B + ai,i

d A(23) dt

dA 1 d = A

dt dt dA

= + A div V dt

= (A V ), + a + B + A div V + A, i Vi i i,i i = a + Bi,i

3.2. Loi fondamentale de la dynamique La loi fondamentale de la dynamique sexprime par :

dt d [ ] [Fext ]C =

d dt

d A 1 dA 1 Dmonstration : A

= 2

dt dt


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[C] torseur cintique Fext [ ] torseur des efforts extrieurs

et elle conduit deux lois de conservation vectorielle (rsultante et moment).Pour expliciter ces lois il faut prciser la schmatisation des efforts extrieurs. Nous supposons que ceux-ci se dcomposent en :

effort distance caractris par une densit massique f (en gnral la pesanteur f = g )

effort de contact schmatis par T :

Postulat de Cauchy a. les efforts exercs sur une partie D dun milieu continu par le complmentaire de D

peuvent tre schmatiss par une rpartition surfacique de forces. b. cette densit surfacique ne dpend du domaine considr que par sa normale extrieure.

n

T ds

T = T M n )( , M ds D

Cette schmatisation des efforts extrieurs conduit la mcanique des milieux continus classique mais dautres schmatisations sont possibles.

En particulier on peut introduire, en plus des densits de forces massique f et surfaciques

T , des densits de couple (matriaux avec des couples de contraintes).

Remarque : nous ne nous interessons ici qu la forme eulrienne de la loi fondamentale. La forme lagrangienne sera envisage plus loin (chapitre II.1.1.). Compte-tenu de

ces hypothses nous explicitons A, et B :

Conservation de la quantit de mouvement : d

dt D V dv = S T dS + D f dv

Le flux associ au vecteur contrainte T est le tenseur classique des contraintes ij :

Ti = ij nj ou T = n tenseur des contraintes de Cauchy

On obtient alors directement : dVi

forme locale si on note dt

i = fi + ij,j

i = lacclration

(24) (daprs (23))

Conservation du moment cintique (moment par rapport 0)


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d(25) dt D OM V dv = S OM T dS + D OM f dv

Pour le moment cintique on a donc :

A = ijk xj Vk = ijk xj TK = al nl al = ijk xj kl B = ijk xj fK

Compte-tenu de l'quation du mouvement, la forme locale de cette quation donne la symtrie du tenseur des contraintes : ij = ji.

d A dmonstration : = B + devient ici : ai,idt

d (ijk xj Vk) = (ijk xj kl),l + ijk xj fkdt

+ ijk xj k = ijk jl kl + ijk xj kl,l + ijk xj fk

Le premier terme disparat car ijk est antisymtrique en j et k. La forme locale de lquation de conservation de la quantit de mouvement est donc:

k = fk + kl,l do ijk xj k = ijk xj fk + ijk xj kl,l

Il reste donc : ijk jl kl = 0

soit ij = ji

3.3. Premier principe de la thermodynamique

Le premier principe de la thermodynamique, ou loi de conservation de lnergie, exprime que la variation de lnergie totale (nergie interne + nergie cintique) est gale la somme de la puissance des efforts extrieurs dveloppe sur le systme et de la quantit de chaleur

ijk Vj Vk

apporte au systme par unit de temps :

(26) [ ] QPKE dt d ext +=+

Pour dterminer la forme locale, on va exprimer chacun des termes de lquation prcdente :

Energie cintique (27) K = D1 2

V dv 2

Lnergie interne E est une fonction extensive (lnergie interne de lensemble de deux systmes est la somme des nergies internes de chacun des systmes). On peut donc crire :

(28) E = edv D o e est lnergie interne spcifique ou nergie interne par unit de masse.


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Puissance des efforts extrieurs P(ext)

(ext)(29) P = f V dv + T V dSD i i S i i On suppose que les changes de chaleur sont de deux types : surfaciques (conduction) et volumiques (apport de chaleur de lextrieur dans le systme : rayonnement ...),

La quantit taux de chaleur Q sera donc crite sous la forme : (rayonnement + conduction) (30) Q = rdv + hdS D S

r est une donne du problme par unit de temps.

Le premier principe (26) scrit donc :

d 1 2 e + V dv = (fi vi + r) dv + (Ti Vi + h) dS dt D 2 D S

Ce qui est bien une loi de conservation telle que dfinie auparavant avec : 1 2A = e + V 2

= Ti Vi + h B = (fi Vi + r)

On a : = Ti Vi + h = ij nj Vj + h = aj nj h = (-ij Vj + aj)nj = -qj nj (31) h = q . n

o q est le vecteur flux de chaleur caractrisant les changes de chaleur par conduction. On a donc : aj = ij Vj - qj La forme locale de lquation de conservation de lnergie est alors :

(e + Vi i) = (fi Vi + r) + (ij Vi - qj),j e + ( i - ij,j - fi) Vi = r + ij Vi,j - qj,j

Or, on sait daprs la forme locale de la loi de conservation de la quantit de mouvement (24), que : i = ij,j + fi

Il reste donc finalement

(32) e = r + ij Vi,j - qj,j

3.4. Synthse

Les diffrentes lois de conservations, en formulation eulrienne : d

dt D Adv = S dS + D Bdv avec = a . n


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peuvent donc tre rsumes laide du tableau suivant :

Conservation de A

a B

Masse

O o o Quantit de mvt

Vi Ti ij fi Moment cintique

ijK xj Vk ijK xj kl ijk xj kl ijk xj fk Energie

e +

V 1 2

2 Ti Vi + h ij Vj - qj fi Vi + r

4. PUISSANCES VIRTUELLES

4.1. Thorme des puissances virtuelles : On part de la forme locale de la conservation de la quantit de mouvement :

(24) i = ij,j + fi

On la multiplie par Vi*, champ de vitesses virtuelles :

i Vi* = ij,j Vi* + fi Vi*

et lon somme sur le domaine D :

i V dv = (ij j V + ii , i f V i ) dvD D ij, j Vi dv = (ij Vi ), j dv ij Vi , j dv D D D

= V n dS V dv en utilisant le thorme de la divergenceS ij i j D ij i, j

On obtient alors le thorme des puissances virtuelles :

(33) i Vi dv = fi Vi dv + Ti Vi dS _ ij Vi, j dv D D S D

P*(acc)(34) = P*(ext) + P*(int)

Dans le champ de vitesses virtuelles, la puissance virtuelle des quantits dacclration est gale la somme de la puissance virtuelle des efforts extrieurs (efforts distance et efforts de contact) et de la puissance virtuelle des efforts intrieurs.

Ce thorme est valable pour tout champ de vitesses virtuelles et en prenant le champ de vitesse rel Vi = Vi, on obtient le thorme de lnergie cintique et du fait de la

conservation de la masse on peut crire:

1 d d 1 dK V dv = (V ) dv = V dv =D i i

2 2 2 dt dt 2 dt


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dK P(ext) (int) (35) = + P dt

La drive par rapport au temps de lnergie cintique est gale la puissance des efforts extrieurs et intrieurs.

En combinant avec le premier principe de la thermodynamique (26) :

d dE (ext) (int) (E + K) = P + Q ; on obtient : = Q P dt dt

La forme locale associe cette forme redonnerait directement (32).

4.2. Remarques sur les puissances virtuelles :

Pour tout systme de solides rigides, la loi fondamentale quivaut au principes des puissances virtuelles (mcanique analytique).

Cette dmarche peut stendre la mcanique des milieux continus. En postulant le principe des puissances virtuelles :

P*(acc) = P*(ext) + P*(int) (34)

pour tout champ de vitesses virtuelles.

On peut montrer que lon peut reconstruire lensemble de la MMC partir de cet nonc.

Pour construire un cadre dynamique en mcanique analytique, il faut donc :

1. choisir une description cinmatique cest--dire un champ V* de vitesses virtuelles, 2. choisir la forme des diffrentes puissances avec les hypothses suivantes :

dK P(acc)a. = pour le mouvement rel dt

P*(ext) P*(ext distance) P*(ext de contact) b. = +

P*(int) c. = 0 pour le mouvement rigidifiant

3. en dduire les quations du mouvement et les conditions aux limites.


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CHAPITRE 2. CONTRAINTES ET DEFORMATIONS

1. DESCRIPTION DES CONTRAINTES

1.1. Flux de contraintes

1.2. Tenseurs des contraintes

1.3. Exemples

1.4. Conditions aux limites

2. DESCRIPTION DES DEFORMATIONS

2.1. Tenseurs de dformation

2.2. Dcomposition polaire

2.3. Les mesures de dformation

2.4. Exemples et remarques

2.5. Petites perturbations (linarisation)

2.6. Coordonnes matrielles

3. VITESSE DE DEFORMATION

3.1. Tenseur taux de dformation et taux de rotation

3.2. Description Lagrangienne ractualise

3.3. Dualit contraintes - dformations

4. Les FORMES de RESOLUTION 4.1 Forme incrmentale Lagrangienne Totale

4.2 Forme incrmentale Lagrangienne Actualise

4.3 Forme en vitesse Lagrangienne Actualise

4.4 Forme Eulrienne


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1. DESCRIPTION DES CONTRAINTES

1.1. Flux de contraintes Ltude des grandes dformations impose la distinction entre grandeurs eulriennes et lagrangiennes. Nous avons vu au chapitre 1 que lquation de conservation de la quantit de mouvement, en rsultante, prenait deux formes :

Ecriture eulrienne

d(1) V dv = T dS + f dv dt D i D i D i

Ecriture lagrangienne

d o(2) V dv = T dS + f dv o i o i o o i odt Do Do Do

La premire forme traduit la conservation de grandeurs eulriennes (vitesse, contraintes, forces par unit de masse) dans la configuration eulrienne C(t). Donc le tenseur des contraintes = T dfini par Ti = Tijnj est un tenseur eulrien. Nous notons dsormais T le tenseur que nous notions auparavant , ce changement de notation sera justifi au 1.4.

La seconde forme traduit la conservation de ces mmes grandeurs eulriennes, mais dans la oconfiguration lagrangienne Co. Donc le tenseur (pi) dfini par Ti = ij N j est un tenseur

mixte, puisquil lie les composantes, eulriennes par dfinition, du vecteur contrainte, aux composantes lagrangiennes du vecteur unitaire normal dSo.

(3) T n

T ijNj i ij j

i o

T=

=

=

=

oji

jij i dS ijN df

dS nTdf

=

=

odSNfd

dSnTfd

odf

N

Co

dSo F

df dS

n

Ct


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T dsigne le tenseur des contraintes de Cauchy. Nous avons vu au ch. 1 que lcriture de la conservation du moment cintique conduisait la symtrie du tenseur Tij = Tji.

est le premier tenseur de Piola Kirchoff (PK1) ou tenseur de Boussinesq. Il nest pas symtrique ij ji

Exprimons alors la conservation de la quantit de mouvement laide de ces deux tenseurs :

Dans Ct lquation 1 nous donne :

f dv + T n dS = dv D i D ij j D i

Tij On en dduit lcriture eulrienne : (4) + fi = ix j

Dans Co lquation (2) nous donne :

o fi dvo + ij Nj dSo = o i dvoDo Do Do

ij On en dduit lcriture mixte : (5) + o fi = o iXj

Ces deux quations sont deux formes quivalentes de lquation du mouvement. Dans le cas statique ou quasi-statique, lacclration disparat pour redonner les quations dquilibre :

(6) Tij j , + fi = 0 (7) ij j , + ofi = 0

Quant lquation de conservation du moment cintique, qui dans sa version eulrienne conduit, comme nous lavons vu plus haut, la symtrie du tenseur de Cauchy, elle donne sous sa forme lagrangienne :

d o ijk x j k dv o = o ijk x j fk dvo + o ijk x j kL NL dS odt Do Do Do

Ecriture nouveau mixte, car on crit en lagrangien la conservation dune quantit eulrienne. La forme locale associe donne simplement :

(8) FjL kL = FkL jL ou F T = FT = J T


22

1.2. Les tenseurs des contraintes :

Nous allons construire, partir du tenseur mixte non symtrique , un tenseur exclusivement

lagrangien et symtrique. Pour cela nous introduisons artificiellement un vecteur df o ,

transform de df par le tenseur gradient inverse F-1 : df o = F1 df et df = Fdf o

Le vecteur df o ainsi construit na aucune signification physique, la notion de force nayant de

sens que sur la configuration dforme. Cependant, cette transposition de df dans Co prsente

lavantage de permettre lcriture dune relation lagrangienne entre df o et N :

(9) df N dS o o

= S. ou dfoI = SIJNJdSo

S est le second tenseur de Piola Kirchoff (PK2), ou tenseur de Piola Lagrange. On introduit dautre part le tenseur eulrien = JT, appel tenseur des contraintes de

Kirchoff ; cest un tenseur symtrique qui joue un rle important pour la formulation variationnelle des problmes en grande dformation.

Compte-tenu des dfinitions prcdentes et de lexpression de la transformation dun lment

de surface n dS = JF 1T N dSo , on peut lier les quatre tenseurs des contraintes :

1 Tdf = N dS o = J F n dS = T n dS T = J1 FT

1 1 df o = F df = F N dS o = S N dS o

S = F1 1 1T 1 Tdonc S = F J T F et T = J F S F

On obtient en rsum :

(10) = JT = FT = F S FT S = F-1 = F-1 F-1T = JF-1 T F-1T

Ces quations montrent que les tenseurs T, et S sont symtriques tandis que ne lest pas.

Nous nous retrouvons donc, pour dcrire les contraintes, avec quatre tenseurs , T, et S, chacun ayant ses avantages et ses inconvnients. Nanmoins et S nont pas de signification physique, tandis que T et caractrisent directement les efforts appliqus. Ce sont donc eux qui interviendront dans lcriture des conditions aux limites de type statique, comme on le verra plus loin et dans les exercices.


23

Exemple : Invariance des contraintes de PK2 dans une rotation de solide rigide

Soit entre la configuration initiale Co et la configuration linstant t Ct le gradient de la deformation donn par :

1 0.2 0 1000 Ft et un tat de contrainte vrai de Cauchy par : Tt = = 1000 et entre les configurations t et t+t uniquement une rotation R de =+60 dfini par la

matrice :

0 1.5 2000

23cos sin 23

21

R = =

sin 21cos

Contraintes de Cauchy et de PK2 t+ t ?

A t et t+ t on a les contraintes de Cauchy T avec :

tdf tdSttT n= et +ttdf ttdS +++ = tttt nT or dans la rotation ttdf + tRdf =

ttn + tRn = mais le scalaire element de surface : ttdS + tdS=

634 1370 do en identifiant on a : T = RT R T = t+t t

1370 1370

Pour PK2 t :

346 733 -1 -Tdet F F T F S = =

t t t t t 733 1330 Pour PK2 t+ t :

-1 -T S = det F F T Ft+t t+t t+t t+t t+t or dans la rotation :


24

-1 -1 T -T -T F = RF det F = det R det Ft = det Ft F = F R F = RF t+t t t+t t+t t t+t t

et comme RR T = R T R = 1 il vient en reportant :

346 733 S = S = t+t t 733 1330

1.3. Exemple : Contraintes et dformation homogne triaxiale

X3

1

1

So So

So

X1

2

3

1

x3

x1

S1

S3 S2

-F1

F1

F x2

X2

1

1X1 0 0 x1 = 1

et J = 1 2 3 F =2X 0 02 = 2 2x 3X 0 03 = 3 3x

F1T11 = 1 = dsigne la contrainte vraie ( true stress en anglais) puisque S1 est la S1 surface en configuration dforme.

1J F1 = = = dsigne la contrainte nominale ( engineering stress en

1 So anglais) puisque So est la surface avant dformation. Cest elle que lon mesure simplement dans un essai de traction. Pour PK2 et Kirchhoff :

11 1 2 3

1J F1S11 = =

2 So1

Ces deux tenseurs nont pas de signification physique.1

11 = J 1

1.4. Conditions aux limites :

On utilise pour exprimer les conditions aux limites de type statique, lun ou lautre des tenseurs T ou . Une des difficults majeures en grandes dformations rside en effet dans le fait que les conditions aux limites de type statique font intervenir la manire dont les efforts


25

appliqus varient avec la gomtrie du solide, cest--dire la technologie dapplication des dformations. On rencontre trois cas importants : a. Dans le cas dune charge morte, cest--dire lorsque les efforts appliqus sont donns par unit de surface sur la configuration non dforme les conditions aux limites sont alors exprimes sous la forme :

(11) Tid = ij N j Cest le cas le plus courant et le plus commode tudier, car la configuration de rfrence Co est connue.

b. Dans le cas o les efforts sont donns par unit de surface dans la configuration dforme (exemple du formage hydraulique o les efforts sont appliqus par lintermdiaire dun fluide sous pression), les conditions aux limites sont donnes sous la forme :

(12) pdni = Tij n j

c. Dans le cas des surfaces libres, on a pd = 0 et Tid = 0 . On pourra donc indiffremment crire les conditions aux limites avec lun ou lautre des tenseurs T ou . Bien videmment toutes ces difficults disparaissent en petites perturbations. Nous montrerons au paragraphe 2.5 que les quatre tenseurs , T, S et concident alors au premier ordre pour redonner le tenseur des contraintes classique , qui est en ralit le tenseur de Cauchy T, mais que nous noterons dans ce cas pour souligner le fait que lon est en petites perturbations.

2. DESCRIPTION DES DEFORMATIONS:

Le tenseur gradient F dcrit le mouvement local du solide. Pour dfinir sa dformation, cest--dire ses changements de forme, il faut, comme en petites perturbations, liminer la rotation. On peut donc : soit dfinir directement les dformations (paragraphe 2.1.), soit utiliser une dcomposition permettant disoler la rotation en bloc du solide de la

dformation pure (paragraphe 2.2.), c'est la dcomposition polaire de F=RU=VR.

2.1. Les tenseurs de dformation

Pour caractriser les changements de forme, il faut caractriser les variations de longueur et les variations dangle, soit, en fait, les variations de produit scalaire.

M F

m

X = Mso N x = ms

n dX = N dso dx = nds


26

On dfinit :

ds ds ds o lallongement dans la direction N (N) = et (N) =

ds o ds o

le glissement dans les directions perpendiculaires M et N :

= -M, N m, n 2

Explicitons le produit scalaire dx.x partir des vecteurs fibres matrielles dX et X :

dx.x = dxi.dxi = (FiJdXJ) (FiK XK)

= (FiJFiK) (XK dXJ) = CJK dXJ XK

avec CJK = FiJ FiK = Fji t FiK symtrique

Ainsi (13) dx x = dX C X

Avec (14) C = FT F tenseur des dilatations de Cauchy-Green droit (F droite)

la variation du produit scalaire sexprime alors par : 1dx x dX X = 2 dX E X o E = (C )IJ IJ IJ 2

On dfinit donc le tenseur de Green-Lagrange E par :

(15) 1E = (C - 1)2

C est le tenseur des dilatations, ou tenseur de Cauchy-Green droit. Cest un tenseur lagrangien, symtrique. E est le tenseur des dformations de Green-Lagrange.

Si lon introduit le vecteur dplacement u , il vient : xi = XI + uI (XI, t)

x uDonc : F = i = + i iJ iJ

X I X J do:

1 u u u uI J K KEIJ = + + 2 X X X XJ I I J

Cette expression est souvent utilise pour introduire dans une thorie essentiellement linaire quelques lments de non-linarit (thorie des plaques de Von Karman, problme de flambage, par exemple).

De faon tout fait symtrique, on peut expliciter le produit scalaire dX X en fonction des

vecteurs dx et x :


27

dX X

= XI I dX . ( ) ( )F FIj j Ik k = dx dx 1 1 = ( ) kj 1 Ik 1 iJ xdx FF = B xjk j k

1 dx

Bjk 1

= Ij 1F Ik

1F = jI T1F Ik

1F B = (F-T F-1)-1 = F FT

Ainsi : (16) dX X = dx B x 1

Avec (17) B = F.FT Cest le tenseur des dilatations de Cauchy-Green gauche (F est gauche) La variation du produit scalaire sexprime alors :

dx A = 1 ( B 1 )x dX X = 2 dx A x o ij ij ij 2 On dfinit donc le tenseur A par la relation :

1(18) A = 1(1 B )2 B est le tenseur de Cauchy-Green gauche. Cest un tenseur eulrien, symtrique. A est le tenseur des dformations dAlmansi.

On obtient ainsi la relation entre les tenseurs A et E :

(19) A = F-1T E F-1 ou E = FT A F

1 1en composantes : A = F F Eij Ki Lj KL Exprimons alors lallongement et le glissement laide de lun de ces deux tenseurs, par exemple le tenseur de Cauchy Green droit C:

1 2 / 1 2 /

1 2 C dX dX ( IJ I J ) /dx dx ds = N C N ds o

= =

soit

(N ) ds NCN

ds 0 ds dso

N = = dso

= =

1NCN

(20)

E1

= C11 1en particulier dans la direction X1 on a : 1 = 12 E11 +

T [1 0 0]car en composantes avec N N =

dx x cos (dx , x) = do pour langle complmentaire :

ds s


28

(21) (M, N) = Arcsin N M

N M C M

C

C N

On peut aussi crire : ( M, N) = Arc sin 2 M E N )

)

+

1 + (M 1 (N+

On a par exemple dans les deux directions X1 et X2 :

C 2 E

12 12 E1 , E = Arc sin Arcsin = CC2 1 1 Ainsi les composantes diagonales de E caractrisent les allongements dans la direction des axes, alors que les composantes non diagonales caractrisent les glissements dans les directions des axes dans la configuration initiale.

Exemple : Dformations biaxiales et rotation dun lment :

2E 2 E+ 11 22 11 22

1.5 0 0.5

0

Soit le gradient de la dformation entre les configurations Co et Ct : Ft =

et une rotation R de +45 entre les configurations t et t+t, on a t :

2.25 0 0.625 0 1 [C 1]TF Ft t t et Green-Lagrange E t == = =

t 0 0.375 0 0.25 2

et comme dx = F dX dx = Rdx dx = F dX F = RF et RR T = R T R = 1t t t+t t t+t t+t t+t t on a bien linvariance dans la rotation :


C

29

2.25 0 0.625 0 C t C E E= = = =

+ +t t t t t 0 0.375 0 0.25

Remarque : sur la figure llment reste bien rectangle, pas de distorsion dangle droit ici, on dit que lon a un tat de deformation biaxiale (2D)

2.2. Dcomposition polaire Thorme de dcomposition polaire :

On peut crire de manire unique : (22) F = R U = V R

o F est un tenseur gradient de la transformation quelconque rgulier U et V sont deux tenseurs symtriques dfinis positifs R est un torseur orthogonal : R RT = RT R = 1

Et on dfinit : R est le tenseur de rotation U est le tenseur des dformations pures droit V est le tenseur des dformations pures gauche

U est un tenseur lagrangien, V est un tenseur eulrien et R est un tenseur mixte. On a :

FiK = RiJUJK = VijRjK Calculons U et V :

(23) C = FT F = UT RT R U = UT U

Nous allons montrer que U est le tenseur C1/2, cest--dire le tenseur ayant mmes directions propres que C, et pour valeurs propres les racines positives des valeurs propres de C notes

2i et vecteurs propres associs Ni (i = 1, 2, 3) on notera X' = [N1, N2, N3] la matrice dont

les colonnes sont les composantes des vecteurs propres norms:

(24) B = F FT = V R RT VT = VVT

De mme V est le tenseur B1/2, cest--dire le tenseur ayant les mmes directions propres que B note ni, et pour valeurs propres les racines carres des valeurs propres de B qui sont les mmes que C mais pas les vecteurs propres sauf cas particuliers.

Cette construction se gnralise tout tenseur F. Les tenseurs B et C tant symtriques,

dfinis et positifs, B et C sont diagonalisables. R sobtient directement en crivant :

R = F U-1 = V-1 F

Diagonalilisation de C et de B:

T 2 2 T 2De llongation : N CN = = N N on a le systme homogne [C - I]N = 0


30

qui aura des solutions non triviales =0 si son dterminant est nul. Les racines de lquation caractristique sont relles car C est symtrique et sont les longations principales au carr, les vecteurs propres associs sont les directions principales dans la configuration initiale.

Do :

T 2 2 2 T 2U U[N , N , N ] [N , N , N ]= U UX - X[ ] = 01 2 3 1 1 2 2 3 3 i or les vecteurs propres tant norms : XXT = XTX = I do :

T T T 2U U = XiX XiX = U

Le tenseur des dformation pures droite est gale :

U = XiXT

= UT

De la mme manire ( faire en exercice), avec B = FFT on obtient le systme homogne [B - 2I]n = 0 , donc les mmes valeurs propres que C mais les vecteurs propres n i qui sont les directions principales des longations dans la configuration dforme. En notant la matrice orthogonale x = [n , n , n ] on obtient de la mme faon que pour C, le tenseur des 1 2 3 dformations pures gauche :

V = xi xT

= VT

1 0 0 1 0 0 1

N = Xe n = xe n = xXT N n = RN do R = xXT i i i i i i i i Les directions principales qui se dduisent bien par la rotation R Dautre part :

0

on a la rotation R:Avec les vecteurs de la base = = =e1 e2 e3, ,

0

(25)

(26)

V = R U RT

B = R C RT

Le thorme de dcomposition polaire permet de sparer dans F la dformation pure et la rotation Rsum : Calcul des lments principaux de C ou B avec i matrice diagonale

T2 i X' X' C =

T2 i x' x' B =

d'o U = X' i X'T V = x' i x'T x' = RX' F = x' i X'T R = x' X'T

On peut illustrer cette dcomposition par les exemples suivants :


31

Exemple lmentaire de F=RU=VR:

2 0

2 0 bU =

10

dX

a

b

1

0

b a

0 1 0

V

a b R =

0

0 dx 2

1 01

=

1 0 2

a

Exemple : 3/ 4 5 / 4 Soit la matrice du gradient de la transformation en 2D: [ ]F =

5 / 4 3 / 4

34 30

dont les valeurs propres sont les longations principales au carr et les vecteurs propres les directions principales dans la configuration initiale soit :

2 2 1 11 = 4 2 = soit : 1 = 2 2 = 4 2

1

30 Le tenseur des longations de Cauchy-Green droit est : C = FTF = 1 34 16

1 1

Le tenseur des dformations pures droite U est :

1 1N1 N 2 = = 2 2 1

1 1 1

On peut calculer directement la rotation avec R = FU-1

5 3

1 T 1 = XX U X= =

2

i1 3 54

rotation de + 2

3 3 5 5 -1

1 0 0

1-1 1 TU = X X

do R ==

4i


32

do les directions principales des longations dans la configuration dforme :

1 1 1

On obtient la mme chose en partant de Cauchy-Green gauche B = FFT ( vrifier en exercice)

Interprtation gomtrique sur un carr homogne :

1 1RN RN= = = =n n 2 21 1 2 2 1

AB = A B = 2AB CD = CD = CD/2

2.3. Les mesures de dformation

La dformation totale F se dcompose donc en une rotation R suivie dune dformation pure V, ou en une dformation pure U suivie dune rotation R. Par rapport au systme daxes initial X1X2X3, la dformation pure se traduit par des variations de longueurs (lies aux composantes diagonales de C) et des variations dangles (lies aux composantes non diagonales de C). Cependant, les tenseurs C et U, B et V tant symtriques, on peut les diagonaliser et, dans les repres propres correspondants OX 3 X 2 X 3 et Ox 3 x 2 x 3, les dformations pures ne se traduisent que par des variations de longueurs, sans variations dangles.

De la dcomposition polaire de F, on dduit que les dformations seront dcrites par V ou B dans la configuration actuelle, et par U ou C dans la configuration initiale, cest une question de point de vue.


33

Plus gnralement, pour dcrire les dformations, Hill a propos de dfinir une double famille de mesures :

En configuration Lagrangienne Co 1

e

=

[U 1] 0 1

eo = Log U = Log C 2

Exemples :E1 = U 1

e2 = E Green-Lagrange

En configuration eulrienne Ct

e = 1 [V 1] 0

1eo = Log V = Log B

2 Exemples :

e1 = V 1 e

2 = A Euler-Almansi

1Le tenseur h = eo = Log V = Log B, dit tenseur de Henky, ou tenseur des dformations 2 logarithmiques, joue parfois un rle particulier (plasticit, visco-plasticit).

On remarque que lon a, entre ces deux familles, la relation :

(27) TReRe

= pour tout avec

Log U = X' Log i X'T et Log V = x' Log i x'T

o Log i est la matrice diagonale des Log (npriens) des allongements principaux.

2.4. Exemples et remarques :

a. Exemple 1 : mouvement de solide rigide :

x (X t , ) = C t ( ) + Q( )t X = translation + rotation en bloc

Q est un tenseur orthogonal : Q QT = QT Q = 1 xLe tenseur gradient est donc : F = Q = X

dou R = Q B = C = 1 U = V = 1 E = A = 0

b. Exemple 2 : dformation triaxiale :

x1 = 1X1 1 0 0 U V F= =

x2 = 2X2 F =

0 2 0 0 0 3

R = 1

x3 = 3X3


34

2 0 01

2

B = C = 0 02

20 0 3

Tous les tenseurs seront diagonaux, et la premire composante des principaux tenseurs de

dformation sera : si on note = allongement principal suivant 1 et = ( - o)/ o1 1 o

1 12 2( 1) =E = + 1 1 1 12 2

1 1 1 (1 + )2 1 2 1 1A1 1 += = 2

2 2 1 dh = Log = log (1 + ) = 1 1 1

Epsilon Green Lagrange Hencky

o

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

0 0 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 8 0 9 1 1.1 1 2 1 3 1.4 1 5 1 6 1.7 1 8 1 9

Dform

ation

Allongement

c. Exemple 3 : glissement simple :

x3 = X3 J = 1 car la dformation est isovolume.

X1

X2

A B B' A'

0 C

(t) x1 = X1 + (t) X2

x2 = X2


2

35

2

1

1 0 + 0 1 0 2

+ F = 0 1 0 B = 1 0 et C = 1 0

0 0 1 0 0 1

0

0 0 1

0

0 0

On remarque, en particulier lexistence dune composante E22 = 2/ 2 , absente en petites dformations, et qui physiquement correspond lallongement du segment OA.

Les tenseurs R, U, V et autres mesures se calculent, mais leurs expressions ne sont pas particulirement simples, on pourra le faire en exercice. Les longations principales au carr sont :

2 2

Green-Lagrange : E = 2 2 0 0

= [2 + 2 + ]/ 2 [2 ] 2/442 2 2 + 2 2 2 31 = 1+ += 2 On obtient par exemple aprs quelques calculs, la rotation propre R:

sin 1 / 2 0 0 cos

1

1

=

= R = / 2 1 0 sin 0 tan cos 1 2+ 2 / 4

20 0 / 4 0 0 1+

d. Composition des dformations :

Considrons prsent le cas dun solide soumis successivement deux dformations. Par exemple, partant dune configuration de rfrence Co, une tle est lamine, la conduisant dans une configuration C1 partir de laquelle elle est emboutie.

F

Fo F1

Ct Co

C1

La composition de ces deux dformations conduit une composition multiplicative des tenseurs gradient de dformation : F = F1 F0. Cependant, les rgles de composition pour les autres tenseurs ne sont pas directes.


36

dx1 = Fo dX dxt = F1 dx1 dxt = F dX = F1 Fo dX

Mais par exemple : 1 1T T T( F )=E = F 1 (F F F F 1)o 1 1 o2 2

or 2 E1 = F1T F1 1

1 Tdonc E = (F (2 E + 1) F - 1)o 1 o2 1 T 1 TE = F (2 E ) F + (F F 1)o 1 o o o2 2

Tdo la relation : E = E + F E F E + Eo o 1 o o 1

Ce rsultat est logique. En effet le tenseur de Green-Lagrange E mesure la dformation dans la configuration de dpart, donc dans Co pour Eo, C1 pour E1 et Co pour E. Avant dajouter les tenseurs, il est donc ncessaire de transporter E1 dans la configuration Co. Ce type de raisonnement est fondamental en grandes dformations : chaque fois que lon utilise un tenseur, il faut conserver prsent lesprit sa configuration de dfinition.

On a de mme : U U1 Uo, V V1 Vo, R R1 Ro, etc .

2.5. Petites perturbations (linarisation) : uiConsidrant lcriture : xi = Xi + ui (XI, t), il vient FiJ = iJ + Xj

Sous forme tensorielle : (28) F = 1 + H

Lhypothse des petites perturbations se dcompose en deux ides : le dplacement ui est petit. On peut donc identifier Co et Ct, do XI et xi. H

37

Alors : R = 1 + = 1 + HA

La dcomposition de H en parties symtriques HS et antisymtriques HA fait donc apparatre les tenseurs et classiques en petites dformations :

(31) 1 uI uJ IJ = + 2 XJ XI 1 uI uJ

IJ = 2 XJ XI

Explicitons les diffrents tenseurs de dformation : 1E = (C 1) = 2

A = 1 1 B 1 = 2 ( )

e

= 1 ((1 + ) 1) = 1 (U ) = 1

1 1 (V )e = 1 = ((1 + ) - 1) =

eo = Log U = Log (1 + ) = eo = Log V = Log (1 + ) = h = 1 1 Log (1 + 2 ) = Log B =

2 2 Tous ces tenseurs sidentifient donc au tenseur infinitsimal des dformations .

Explicitons de mme les tenseurs des contraintes :

= JT = (1 + tr H) T = T = F-1 T = T (1 - HT) = T

F-1 S = = (1 - HT) T = T Les trois tenseurs des contraintes , et S sidentifient donc, en petites perturbations, au tenseur des contraintes de Cauchy T, que nous notons habituellement .

2.6. Coordonnes matrielles

Dans tout ce qui prcde, nous avons bas la reprsentation sur les deux configurations Co et Ct, de chaque grandeur dans un mme repre cartsien orthonorm. Il existe une autre manire de voir, qui ne considre que des grandeurs dfinies dans Ct, mais repres par deux

systmes de coordonnes : les coordonnes spatiales xi (vecteurs de base ei ), et les

coordonnes matrielles (entraines) XI (vecteurs de base GI base dite "convective"). Le systme de coordonnes XI a t introduit comme un systme cartsien orthonorm pour la configuration de rfrence Co. Mais lorsque le solide se dforme, les axes XI dfinissent sur


38

Ct un systme de coordonnes curvilignes appeles coordonnes matrielles entraines , car elles suivent la matire.

1G

X3

X2 X1

x2

x3

3G

2G

1e

2e 3

e

X2

X1

X3

Ct Co

1E 2E

3E

F

x1

Si nous adoptons ce systme de coordonnes matrielles, nous devrons distinguer les tenseurs covariants et les tenseurs contravariants, donc prter attention la position haute ou basse des indices.

X M MDans Co dX dX E dX= = MMX

x xdx dx

GM vecteurs de base covariants dite base convective

La relation xi = xi (XI, t) ne dfinit plus la dformation de Co Ct, mais le passage des coordonnes matrielles XI aux coordonnes spatiales xi linstant t. Nous dfinissons alors

localement la base covariante par : G = F E . Ainsi dx = dx i e = dX I G . On peut alors I I i I

xi i J i J i icrire : dx = J dX = F dX et G = F e , de sorte que les composantes FJ de F J J J iX

dfinissent la matrice de passage de la base spatiale (ei ) la base matrielle (G ) .I

I J JOn dfinit de mme la base contravariante (G ) , duale de (G ) , par : G G = I et I I

I 1I i iG = F e , ou e = e , puisque le systme de coordonnes spatiales xi est suppos i i orthonorm (mais pas ncessairement). En fait ce formalisme se construit sur le tenseur mtrique :

Voir sur la figure ci-aprs un exemple 2D en repre rectiligne (1,2) et un vecteur x

i i M MDans Ct dx dx mais aussi dX G dX = = = =ei Mi M

x X


39

Rappels sur le tenseur mtrique et de quelques rgles de calcul :

La base contravariante ou duale est dfinie par les produit scalaires des vecteurs de base: i

ig g j = j et le tenseur mtrique par ses composantes 2 fois covariantes et 2 fois contravariantes :

i j ij ji g g = g = g g .g = g = gi j ij ji si bien que le vecteur x a deux reprsentations possibles par ses composantes covariantes sur la base contravariante ou par ses composantes contravariantes sur la base covariante (figure):

i jx = x g = x gi j Remarque : Ceci constitue la vraie convention dEinstein o un indice muet haut et bas est ncessairement un indice de sommation.

Consquences : par exemple x g = x gi g = x i = x1 i 1 i 1 1 mais aussi x g = x ig g = x ig = x1 i 1 i1 1 On dit parfois que les composantes du tenseur mtrique sont des ascenseurs dindices Si on pose en faisant apparatre le produit vectoriel et le produit mixte:

g g1 1 1 2 3g = k(g g ) g g = 1 = kg (g g ) = k(g ,g ,g ) do g = 2 3 1 1 2 3 1 2 3 (g ,g ,g )1 2 3 2 On note par exemple avec la premire composante : g = g g = g1 1 1 11

i j ij jou encore : x =

x x = g x x = g x x = x xij i j j


40

x

y = x y cos

Composantes physiques (covariantes ou contravariantes) dun vecteur x : g

i *iOn a par exemple: x = x igi = xi g = xi g i

g i g i

x*i = x i g ii

Relations avec les composantes cartsiennes notes x m o la position haute et basse des indices na pas dimportance sur ces composantes cartsiennes:

x = x ig = x g j = x ei j m m i j j jx gi g = x = x m (em g )

Produit scalaire de deux vecteurs a et b :

a b = (a g ) (b g ) = a b = a b

a b = (a

g ) (b

g ) = a

b

g

a b = (a g

) (b g

) = a b g

Produit tensoriel de deux vecteurs x et y , cest un tenseur du 2me ordre : T = x y tel que par exemple :

i j i j ij T = (x g ) (y g ) = x y (g g ) = T (g g )i j i j i j qui est dfini ici par ces composantes 2 fois contravariantes. Mais il y a 3 autres possibilits, par ses composantes 2 fois covariantes et ses composantes mixtes :

i j i j j iT = T (g g ) = T (g g ) = T (g g )ij j i i j

Produit contract (ici droite) : x = T a ij k ij k ij k ij ix = T a = T (g g ) a g = T a (g g ) g = T a g g = T a g = x gi j k i j k jk i j i i

do la composante contravariante : x i = Tij a j

Remarque : x = a T = T a que si le tenseur T est symtrique ( vrifier en exercice).

Symtrie dun tenseur du 2me ordre :

ij ji mn nm Si on a : T = T alors T = gim g jn T = gim g T = Tij jn ji i im mi iDe mme en mixtes : T = g T = g T = T j jm jm j

Composantes physiques dun tenseur du 2me ordre :

ggij ij i j *ij ij T = T (g g ) = T g g ( ) T = T g gi j ii jj ii jj g gii jj


41

Elments principaux dun tenseur du 2me ordre :

Valeurs propres et vecteurs propres droite par exemple : T a = a

i i j k (T 1)a = 0 (Tj j )(g i g ) (a g k ) = 0 i i j(T j j )a gi = 0

Systme homogne et on retrouve dans ce cas lquation caractristique habituelle :

det(Tj i ji ) = 0 mais autrement avec les composantes covariantes ou contravariantes le tenseur mtrique reste, par exemple :

ij ij (T g )a ig j = 0

On revient la Mcanique des Milieux Continus, o les vecteurs covariants et contravariants de la base matrielle dans la configuration actuelle dfinissent les tenseurs mtriques :

g = G GMN M N MN M Ng = G G N N

= GM GM On a les diverses reprsentations du gradient de la transformation F :

x X K i J i J J JF = J (ei E ) = FJ (ei E ) = J (G K E ) = (G J E )

X X T J -1 J -T Jdo F = (E G ) F = (E G ) F = (G E )J J J

On vrifie bien que : G I = F.EI = (G J EJ ).E I = G J IJ = G I

I -T I J I J I IG = F .E = (G E J ).E = G J = G

M NLa mesure : dx dx - dX dX = (g - ) dX dX permet de dfinir : MN MN 1 M NE = (g - ) (E E ) Green Lagrange ou MN MN 2 1 M NA = (g - ) (G G ) Euler-Almansi MN MN 2

et on a bien (exercice) E = FTAF. T J I J IPar exemple on a : C = F F = (E GJ ) (GI E ) = g (E E )JI

T JI B = FF = (G G )J I Ainsi les composantes gJI peuvent tre considres comme tant :

les composantes cartsienne du tenseur C sur la base cartsienne EI de Co (point de vue utilis jusqu prsent et dans la suite).


42

les composantes matrielles covariantes du tenseur mtrique dans Ct. De la mme manire on aurait pour le tenseur des contraintes de Kirchoff :

ij iJ IJ = ei e j = ei GJ = S GI GJ

Ainsi les composantes SIJ sont :

les composantes de S sur la base cartsienne orthonome EI de Co les composantes matrielles contravariantes du tenseur .

Dans ce polycop nous avons prfr travailler en repre orthonorm sur diffrents tenseurs, plutt que sur moins de tenseurs exprims dans diffrents repres, car cela simplifie le formalisme et minimise loutillage gomtrique ncessaire. Nanmoins, il est possible de construire toute la Mcanique des Milieux Continus en coordonnes matrielles entranes, et cest un point de vue que lon trouvera dans certains ouvrages, ce qui peut tre avantageux pour traiter certains problmes (sur les coques par exemple). Cependant il est ncessaire dutiliser galement les notions de drivation vectorielle dun vecteur par un autre ou de tenseurs entre eux ce qui introduit les drives covariantes, contravariantes ou mixtes dun maniement plus dlicat (ou plus expriment !).

Exemple avec le glissement simple dj vu prcdemment :

On choisit comme base matrielle entrane la base cartsienne initiale do :

1 0

i

iAvec g g = on obtient :

0 1

1 0 0 1

2

g1 (0) g

2 (0) g

1 (t) g

2 (t) qui devient := = = = 1 1

=

1g (t) 2g (t) = j j -

1

Les composantes covariantes apparaissent bien comme les composantes cartsiennes de C sur la base cartsienne de la configuration initiale.

1 + gij (t) Do : gij (t) = =

2

1+ 1

0 1 1[g ]= ij ij 2 sont les composantes cartsiennes de Green-Lagrange mais Ainsi : 22 aussi les composantes 2 fois covariantes dEuler-almansi sur la base contravariante On peut tablir les composantes mixtes du tenseur dEuler-Almansi (symtrique) avec:

2

Akj = A jm g

mk =

1 2

0

1 2qui a pour valeurs propres : = [ i 2 ])4( 22 +


43

Exemple : Utilisation de coordonnes matrielles sur un lment fini 4 noeuds

Un lment fini isoparamtrique est une forme gomtrique plus ou moins simple dfini par un jeu de fonctions de forme qui paramtre llment rel tout instant sur llment de base (ou parent) qui est ici un carr bi-unitaire en coordonnes cartsiennes dites naturelles ou intrinsques qui vont constituer sur llment rel le systme de coordonnes matrielles entraines (voir figure ci-dessus), ce qui peut tre interessant pour suivre des fibres relles dans llment (fibres, renforts, ).

On a les bases covariantes en un point de llment (un poin de Gauss dintgration par exemple) dans la configuration initiale Co et actuelle Ct avec :

X x uG = g = = G +i i i i i ir r r

o r1 = et r 2 = notation habituelle des lments finis pour les coordonnes intrinsques c'est--dire matrielles. La paramtrage du Q4 est classiquement donn par (voir cours lments-finis):

4

Xi = Nk (,)Xi(k) o k est un indice de numro de noeud k=1

avec le jeu de fonctions de formes : 1 1N1(,) = (1+ )(1+ ) N 2 (,) = (1 )(1+ )4 4 1 1N3 (,) = (1 )(1 ) N 4 (,) = (1+ )(1 )4 4


44

si bien que les composantes des vecteurs covariants se caculent aisment pour tous points ( , ) par exemple pour le point de Gauss ( 1/ 3 , 3/1 ) de la figure.

X X X X 1 2 1 2G = e + e G = e + e1 1 2 2 1 2

de mme car cest un isoparamtrage : x x x x 1 2 1 2g = e + e g = e + e1 1 2 2 1 2

Les composantes 2 fois covariantes de Green-lagrange peuvent alors se calculer : 1 i j i jE = (g G )(G G ) = E (G G )ij ij ij 2

On peut associer un comportement avec les composantes 2 fois contravariantes de PK2 tel ij ijkl que : S = M E kl

Lintrt tant que le module de comportement M constant ou non par ses composantes 4 fois contravariantes dans la base matrielle des Gi est facilement identifiable exprimentalement (fibres,fils, renforts,). Ainsi dans le cas de constantes, lnergie de dformation lastique par unit de volume dans Co scrira :

1 1ij W = S E = S : Eij 2 2 Remarque : correspondance avec les composantes cartsiennes

S = Sij (G G ) = s (e e )i j mn m n ij i jdo : S = s (e .G )(e .G ) de mme E = e (e .G )(e .G )mn m n ij mn m i n j

1 1 0 1

et = 0.1 = 0.2 = 0.3e11 e22

1

Par exemple si on a G1 G 2 100 60 = 200= = = = avec s11 s12 s 22 2 e12

1 0

2

1 1W = Sij E = s e = 47 ij mn mn 2 2

3. VITESSES DE DEFORMATIONS

3.1. Tenseur taux de dformation et taux de rotation Pour caractriser les vitesses, on introduit le vecteur vitesse V , drive matrielle par rapport

au temps du vecteur position x (XI, t), et que lon peut considrer comme : fonction de XI (description lagrangienne) fonction de xi (description eulrienne)

1

400

i i G1 G 2 = Avec G G on obtient la base contravariante : = = j j

2140 )210 /(3

S11 S12 = S22 = Do : 180 = E11 = 0.1 E12 0.4E22 = =


45

-1

dx = F dX = FF dx = L dx dX = 0

On introduit ainsi le tenseur gradient de vitesse L dfini par :

Vi(33) FiJ = F = iJ t XJ

car

(32) L = 1FF

dxLxd jij i =

V V Xi i k 1Lij = = = F FiK Kj x X xj k j

La dcomposition de L en partie symtrique et antisymtrique permet de dfinir le tenseur taux de dformation D et le tenseur taux de rotation W :

(34) D = LS = 1 2

(L + LT)

W = LA = 1 (L - LT)2

V

i ViVj1 V 1 jDij = Wij =

+

2 2j xix x xj i

Le tenseur W correspond au rotationnel du champ des vitesses V , et dcrit donc la vitesse de rotation du solide, tandis que D dcrit la vitesse de dformation. En effet on peut crire :

d (dx x)= dx x + dx x dt

= L dx x + dx L x = 2 dx D x

Dautre part, on a : dx x dX X = 2 dX E X dpar diffrentiation, il vient : (dx x) = 2 dX E X

dt Ainsi la vitesse de dformation est donne dans Co par E , et dans Ct par D, ces deux tenseurs tant transports lun de lautre par la relation :

directement relies au tenseur des taux de dformation. Il nen va pas de mme pour les tenseurs eulriens, comme le montrent les calculs suivants :

T T T T T T B = F F + F F = L F F + F F L = LB + BL 1 1 1

1 1 1 1 T 1 A = B = B B B = (B L + L B )2 2 2

De mme, contrairement ce que lon pourrait croire, les tenseurs taux de dformation D et taux de rotation W ne sont pas directement relis aux drives temporelles des tenseurs de dformation pure ou de rotation. Le calcul montre en effet que ( faire en exercice):

(35) C 2 1FDFE T ==

Les drivs par rapport au temps des tenseurs lagrangiens dcrivant la dformation sont donc


46

R W et U D

Dans un mouvement de corps rigide :

x (X, t) = C ( ) t + Q ( ) t X avec Q QT = QT Q = 1 Dans ce cas F = Q L = W = Q QT

Q QT = 1 Q QT = Q QT Le tenseur L est bien antisymtrique, et D = 0. Rciproquement : on peut montrer que si D est identiquement nul, alors W est constant, et le corps a un mouvement de solide rigide. Enfin on remarquera quen petites perturbations :

1 1T 1 1T TD = (L + L ) = (F F + F F )2 2 1 1T T T (H + H )

( ) H(1 H) (1 H ) HD + ==

2 2 On a donc : (36) D =

Exemple : Lintgrale du taux de dformation D dpend du chemin de dformation suivi, ce nest donc pas une trs bonne mesure de dformation totale

Sur le chemin de dformation ci-dessus de la configuration de 1 5, toute mesure de dformation totale devrait tre nulle. En ractualisant dune configuration lautre (voit paragraphe suivant), on calcul le gradient de la dformation relatif, paramtr sur un intervalle de temps entre 0 et 1, et on en dduit pour chaque tape le gradient de vitesse, le taux de dformation et la vitesse de Green-Lagrange. A la fin on intgre sur les 4 tapes le taux de dformation et la vitesse de Greenlagrange. Ainsi : De 1 2 : x = X + atY et y = Y pour 0 t 1 (cest le glissement) do :

1 at 0 a1 at 0 a F1 = 1F = FFF= L = =

0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1[L L ] a aT E FT DF D = + = = =a 0

2

a 2a

2 t2 2

De 2 3 : x = X + aY et y = (1+ bt)Y pour 0 t 1 , on obtient pour D (le faire pour E ) :


47

0 0 1D =

0 b1+ bt

De 3 4 : x = X + a(1 t)Y et y = (1+ b)Y pour 0 t 1 : 0 a 1D =

02(1+ b) a

De 4 5 : x = X et y = (1+ b bt)Y pour 0 t 1 : 0 0 1D =

bt 0 b1 b+

et ensuite en sommant les 4 intgrales de D dt sur 0 t 1 on a: 1 0 1 ab

qui est du 2me ordre par ab mais pas nul Ddt = 0

1 02(1+ b)

tandis que lon doit trouver pour la vitesse de Green-Lagrange ( faire en exercice): 1 0 0Edt = E =

0 0

0

3.2. Description lagrangienne ractualise :

Xd

xF () = X

dxC(

)

Co

F =

Ct

dxt xt Ft () =x

xt(t) X

Pour que le taux de rotation (respectivement de dformation) apparaisse comme la drive par rapport au temps du tenseur de rotation R (respectivement de la dformation pure U ou V), il faut faire intervenir une nouvelle description, la description lagrangienne ractualise. On prend comme configuration de rfrence, la configuration actuelle linstant t.

On peut alors crire : (37) F () = Ft () F (t) Ft () = F () F-1 (t)

En introduisant le gradient relatif de dformation Ft (), gradient de la dformation subie par le matriau entre les instants t et . On a donc :


48

dx

= t dx t F ( ) On peut dfinir partir de Ft (), les mmes tenseurs que ceux introduits aux paragraphes 2.1. et 3.1. En particulier :

Ft t t t ( ) Rt ( ) ( ) = R ( ) U ( ) = V t t ( ) Ct ( ) = F Ft ( )

Bt ( ) = F FT ( ) t ( ) etc. t L () = F () F1 () (F (t) pas fonction de pour > t) t t t

S 1 T

D () = F () F () = 1 [L () + L ()]t t t 2 t t

A 1 T

[L () L ()] W () = F () F () = 1 t t t 2 t t

En faisant la limite t = , il vient : Ft (t) = Rt (t) = Ut (t) = Wt (t) = 1

On peut alors montrer que :

L ( ) t = Ft ( ( ) ) = tt

car F (t) = (F ()) F(t) d'une part t t

et F (t) = L(t) F(t) d'autre part f'o :

D ( ) t = (Ut ( ) ) = tt

W ( ) t = (Rt ( ) ) = tt

Mais L, D et W apparaissent comme des drives temporelles des tenseurs F, U et R que dans cette description lagrangienne ractualise. Autrement on retombe sur les difficults voques au paragraphe 3.1.

3.3. Dualits contraintes-dformations Nous avons vu au paragraphe 1.1. que les quations dquilibre scrivaient :

iJ Tij Avec PK1 + o i f = 0 ou + fi = 0 avec Cauchy XJ x j

On obtient le thorme des puissances virtuelles en multipliant ces deux galits par le champ de vitesses virtuelles Vi*, et en intgrant sur le domaine Do ou D. Il vient :

Vi iJ do = o fi Vi dvo + iJ NJ Vi dSoDo X Do DoJ


49

ou Tij Dij d = fi Vi dv + Tij n j Vi dS D D D

ocar Tij = Tji et dv = J dvo = dv o

Par ailleurs, un calcul direct permet de transformer TijDij :

TJ Tij Dij = ij Dij = FiK SKL FLj Dij ( = FSFT) T 1T 1Mais E = F D F et donc D = F E F

1 1 Alors J T D = F S F F E F = S Eij ij iK KL jL Ki KL Lj KL KL

En rsum, on peut exprimer la puissance des efforts intrieurs de trois faons diffrentes : * Avec V = V relle. i i

P(int) = T D dv T :D dv D ij ij = D

(38) = iJ FiJ dvo = : F dvoDo Do

= SIJ E IJ dvo = S: E dvoDo Do

On a adopt la notation : A : B pour la quantit tr (A BT) = AijBij.

Ce produit scalaire (ou contract) entre deux tenseurs possde la proprit caractristique suivante :

A : B C = A CT : B = BT A : C

Ainsi, il ressort que les tenseurs T, et S sont respectivement duaux des tenseurs cinmatiques D, F et E.

S : E = S : FT DF = SFT : FTD = FSFT : D = : D

De mme : 1

: D = : T T[L + L ] = : L = F : L = : LF = : F 2

La puissance massique des efforts intrieurs est donne par : 1 1 1(int) W = S:E = : F = T : D

o o

Do les galits :


50

(39) : D = : F = S : E

Contraintes Vitesses de dformation

En petites perturbations, ces trois grandeurs sidentifient :

Cette dualit joue en grandes dformations un rle important.

4. LES FORMES DE RESOLUTION

4.1. Forme incrmentale Lagrangienne Totale :

Pour les codes de calculs par lments finis en version implicite , c'est--dire o lquilibre du maillage doit tre vrifi la fin de chaque pas de temps o dincrment, il faut construire un formalisme incrmentale (pas de temps fini) qui fournira directement le schma itratif de Newton entre les incrments t et t+t. Si les calculs seffectuent sur la configuration initiale, ce sera le schma Lagrangien Total, autrement si cest sur la confugaration qui vient dtre obtenue t, ce sera le schma Lagrangien Ractualis. Ainsi du tableau de dualit contrainte-dformation du paragraphe prcdent, on peut crire lnergie virtuelle de dformation en terme de contrainte de PK2 et de variation virtuelle de dformation de Green-Lagrange tel que :

*Si on note le champ de dplacement virtuel : u = v t

On a lnergie virtuelle de dformation avec : U = S : EdV 0V0

E dformation de Green-Lagrange qui a pour variation virtuelle E dont on rappelle que virtuel veut dire perturbation autour dune position quilibre, continue, arbitraire, diffrente de zro et compatible avec les liaisons:

T T

u u 1 1 1[ ]

u uFT F E = I + +

=

X X 2 2 X 2 X u u u en notant que : F = 1+ F = F = X X X

1 T Ton a : E = Et = [F F + F F]2


51

Expression de lenergie virtuelle de dformation t+t :

U = U + (U)t+t t do :

(U) = V0 [S : E + S : (E)]dV 0

On linarise (pour la rsolution numrique) en crivant:

1 T T(E) = [F F + F F]

2

1 T T 1 T T TDo : S : [F F + F F]= (S + S ): (F F) = S : F F 2 2

Donc lnergie virtuelle de dformation t+t : T

U = V0 [(S + S) : E + S : F F]dV t+t 0 Pour le travail virtuel du chargement extrieur t+t (on se limite ici la statique mais la dynamique sintroduirait ce niveau avec le travail virtuel des forces dinertie dacclration et damortissement) :

Wt+t = u (t 0 + t 0 )dS 0 + u 0 (f + f )dV 0 T T S V0 0 Lquilibre t+t scrit :

= WU t+t t+t


52

soit lcriture prte pour le schma itratif de Newton : (40)

T T T T T [S : F F + S : F F]dV 0 = u (t 0 + t 0 )dS 0 + [u 0 (f + f ) S : F F]dV 0V S V0 0 0 o encore en dveloppant en composantes :

[SIJ x k,I u k,J + SIJ u k,I u k,J ]dV 0 = ui (t 0i + t 0i )dS 0 [ui0 (f i + f i ) SIJ x k,I u k,J ]dV 0V S V0 0 0 (Rappel : les indices aprs la virgule en lettres majuscules signifient drives par rapport aux coordonnes initiales X)

Aprs lintroduction dune loi de comportement en terme de lincrment de contrainte de PK2 et de lincrment (linaris) de dformation de Green-Lagrange c'est--dire :

S = f(E, t) : E loi qui est bien objective (invariante dans une rotation de solide rigide) car entre tenseurs lagrangiens (voir exemples dans les chapitres suivants), la discrtisation spatiale par lments finis des expressions ci-dessus donne (voir cours lments finis):

T T{u} [K E + K G ]{u}= {u} {R ext Fint }

o [K E ] est la matrice tangente de comportement et [K G ] la matrice gomtrique qui disparat dans le cas des petites perturbations. Soit [KT ] = [K E + K G ] la matrice de raideur tangente globale et {R ext } les forces nodales quivalentes extrieures de toutes natures et {Fint } les forces nodales quivalentes aux contraintes. Dans les codes de calculs implicites, dans un incrment t, le schma itratif de Newton-Raphson se rsume lquation et aux figures ci-dessous:

(i) t+t t+t (i1)(41) [K ]{u} = { R F }= fT ext int


53

jusqu ce que le rsidu f (le second membre) soit suffisamment petit (au sens dune norme), lquilibre est ainsi vrifi t+ t et on applique un nouvel incrment. En formulation Lagrangienne Totale, les calculs se font donc sur le maillage initial

La gnralisation la dynamique est immdiate avec les forces dinertie dacclration, voire damortissement vues comme forces extrieures qui passes au premier membre donnent le schma implicite dintgration en temps avec (i) lindice ditration :

t+t (i) t (i) t+t t+t (i1) }[M] {u} + [ K ]{u} = { R FT ext int o M est la matrice de masse cohrente avec les fonctions de forme des lments (mais pas ncessairement).

Remarque : Sur le systme ci-dessus, il y a beaucoup de schmas dintgration possibles en espace et en temps.

Cependant la dynamique permet galement dcrire la forme discrtise de lquation du mouvement linstant t :

t t t[M] {u}= { R ext Fint } qui avec une matrice de masse diagonale M est la base des codes de calculs explicites aprs discrtisation en temps de lacclration par diffrences finies.

4.2. Forme incrmentale Lagrangienne Ractualise :

Si on considre maintenant la configuration linstant t comme configuration de rfrence, voir ce qui a t dit au paragraphe 3-2, x sidentifie X t par ractualisation des neuds du maillage do :

xF(t) = = I ; S et T sont confondus t mais attention pas leurs incrments de t t+ t X

(voir paragraphe suivant) si bien que lexpression (40) devient :

T T T(42) [S : F + T : Ft Ft ]dV = u (t + t)dS + [u (f + f ) T : D]dVtV S V 1

car la configuration t tant la rfrence on a : D = [F + FT ] variation virtuelle du taux 2 t t

de dformation (voir paragraphe 3-2) et de la symtrie des contraintes de Cauchy T. Ecriture de (42) en composantes :

(43) V [S u + T u u ]dV = S u (t + t )dS + V [u (f + f ) T u ]dVij i, j ij k,i k, j i i i i i i ij i, j (Rappel : les indices aprs la virgule en lettres minuscules signifient drives par rapport aux coordonnes actuelles x)


54

Attention : On introduit maintenant une loi de comportement en terme de lincrment de contrainte de PK2 rfrenc t et de lincrment du taux de dformation :

St = f (D, t) : D Si toutes les rgles de transformation entre les diffrents tenseurs sont respectes, le systme numrique itratif (41) est le mme entre les formulations Lagrangienne Totale et Ractualise, ce nest que la faon de le calculer qui change. Cest par commodit en fonction surtout de la loi de comportement que lon choisira une formulation plutt que lautre, par exemple hyperlasticit en Lagrange Totale et lastoplasticit en Lagrange Ractualis

4.3. Forme en vitesse Lagrangienne Ractualise :

Du fait de la symtrie des tenseurs des contraintes PK2 et Cauchy, le premier membre de (42) ou (43) peut encore scrire :

(U) = (U) = [S + Tik u ]u dVij j,k j,iV

et on peut faire apparatre le gradient de vitesse L en divisant lexpression incrmentale prcdente par t 0 do la formulation en vitesse:

T T (44) (U) = V [S + T.L ]: L dV On peut exprimer la vitesse de PK2 rfrence t en fonction de la vitesse de Cauchy de la manire suivante : Le tenseur des contraintes de PK2 qui mesure ltat de contrainte t+ t mais rfrenc t scrit :

t+tS = T + S t

pour un temp t compris entre t et t+ t, on a la drive de ce tenseur avec :

t+ t ' 1 TS = (S ) = [JF .T.F ]t+ t ' t' t'

1 T -1 T 1 T 1 T 1 Tavec [JF .T.F ] = JF TF + JF TF + JF T F + JF TFt+ t ' t'

-1 1 1 Compte tenu que J = TrD F = L.F F = F FF Avec t0 on a J1 et FI , il reste en dfinitive :

(45) S = T + T trD - L.T - T.LT = TTR

La drive de PK2 rfrenc t est parfois appele drive de Truesdell de Cauchy


55

T (45) (U) = (Pint ) = [T + Ttr(D) L.T]: L dV = (Pext )V En composantes : (U) = V [T + T v v T ]v dV = (P )ij ij k,k i,k kj j,i ext

La variation virtuelle de la puissance intrieure est intressante pour ltude des instabilits

4.4. Forme Eulrienne:

La forme de rsolution Eulrienne est lapproche essentielle de la Mcanique des Fluides mais pas uniquement o du fait de certaines lois de comportement (voir chapitres suivants) on peut sinteresser qu la vitesse des particules (mais galement la pression, temprature,). Pour pouvoir exprimer lquilibre et la conservation de la masse des particules, on utilise un volume de contrle avec un maillage fixe dlments finis (ou de diffrences finies). Comme vu au premier chapitre, ici la drive totale (ou particulaire, ou matrielle) dune quantit par rapport au temps contient le terme de transport :

D ( ) . = ( ) . + v ( ). Dt t j x j

alors quen Lagrange ce nest que la drive partielle (car les X fixes), on suit la particule dans son mouvement. En Lagrange, la conservation de la masse se traduit par le

0dterminant du gradient de la transformation F : = det F

alors quen Euler on a (1er chapitre) : D vi( ) + 0 = Dt x i


56

vavec la condition i = 0 si le fluide est incompressible.

x i

Ainsi lquation local du mouvement avec les contraintes vraies de Cauchy T et des forces par unit de volume f :

Tij 2uEn Lagrange : + f = i x j

i t 2

Tij D ( )En Euler : + f i = vix j Dt

La discrtisation spatiale dans la forme Eulrienne sappuie directement sur le principe des vitesses virtuelles linstant t tel que :

D = ( ) v dV + t v dS T D dV f vij ij i i i i i V V S Dt

1avec la variation virtuel du taux de deformation Dij = 2

[vi, j + v j,i ]

et typiquement une loi de comportement entre contraintes vraies de Cauchy et le taux de dformation (voir chapitre suivant sur lobjectivit du taux de dformation), par exemple pour un fluide visqueux :

T = p + 2D ou bien T = p cas du fluide parfait ij ij ij ij ij

La difficult avec la formulation Eulrienne est que si le domaine dtude change ce qui est le cas des coulements surface libre, il faudrait crer un nouveau volume de contrle chaque instant. Cette limitation de la formulation Eulrienne est efficacement rsolue avec une formulation dite Arbitrary Lagrange Eulerian , ALE dans les codes de calculs, o pour faire simple, les neuds du maillage sur la surface libre sont compltement Lagrangiens pour la dcrire, les nuds du domaine fluide pouvant tre compltement Eulriens ou ractualiss de manire arbitraire. Ce formalisme est la base de la rsolution des problmes dintraction fluide-structure , voir les ouvrages spcialiss.

Exemple : Illustration des points de vue Lagrangien et Eulrien Si on considre le cas uniaxial dune particule dans un tuyau tel que son mouvement soit dcrit par lquation :

x = (X, t) = -5 + 25 +10X + X 2 + 4t

En Lagrange : x = X + u dx du 2 d 2u 4

v = = = et = 1/ 2 2 3 / 2dt dt 2 dt 2[25 +10X + X + 4t] [25 +10X + X + 4t]qui sont la vitesse et lacclration de la particule de coordonne initiale X (son tiquette en somme) un instant donn t.

2 +En Euler : comme ici x + 5 = 25 +10X + X 4t


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On voit que : du 2 d 2u 4

v = = = dt x + 5 dt 2 (x + 5) 3

qui sont la vitesse et lacclration de la particule quand elle passe la coordonne spatiale x.

Dv v vRemarque : on vrifie aussi que = + v donne bien lacclration Dt t x

Dv 2 2 2 40

+= =

5)3 xDt 5 5 5 (x ++ + +t x x x

o ici la drive locale de la vitesse est nulle.


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CHAPITRE 3. LOIS DE COMPORTEMENT

1. THEORIE GENERALE

1.1. Forme gnrale 1.2. Liaisons internes 1.3. Objectivit 1.4. Matriaux lastiques

2. ISOTROPIE et ANISOTROPIE

2.1. Matriaux isotropes 2.2. Solides isotropes 2.3. Fonctions isotropes 2.4. Matriau lastique isotrope 2.5. Fluides

3. GENERALITE sur les MILIEUX VISQUEUX

3.1. Forme gnrale du modle de Kelvin-Voigt viscolastique 3.2. Exemple de fluides visqueux et plastiques

4. LOIS DIFFERENTIELLES

4.1. Drives convectives 4.2. Drive de Jaumann - Rfrentiel corotationnel 4.3. Lois de type taux 4.4. Hypolasticit 4.5. Viscolasticit

5. FLUIDES VISQUEUX NON NEWTONIENS (exemples) 5.1. Contraintes viscomtriques 5.2. Ecoulement dans un canal 5.3 Ecoulements de Poiseuille et de Couette 5.4 Ecoulements viscomtriques


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1. THEORIE GENERALE

1.1. Forme gnrale

La loi de comportement permet de relier les contraintes aux dformations subies par le matriau. Cest elle qui prendra en compte la nature du matriau. Avant daborder les divers cas particuliers de lois de comportement, nous allons introduire quelques principes gnraux. De manire gnrale, la loi de comportement doit permettre de calculer les contraintes linstant t partir de la dformation subie par le matriau jusqu linstant t, soit :

(1) T (t) = T {F ()} ou (1) (t) = {F ()} t t

ou (1) S (t) = S {F ()} t

T(.), (.), S(.) sont les fonctionnelles de rponse pour Cauchy, PK1 et PK2.

Nous supposons que la cinmatique du matriau nintervient que par le tenseur gradient F.

Nous excluons fortiori les thories non locales o la contrainte en un point donn peut dpendre des dformations de lensemble du solide ou dun voisinage, ces thories connaissent lheure actuelle un certain succs, voir chapitre 6. Le cadre ainsi dfini est celui des milieux matriellement simples et cest le cadre qui est cohrent avec le cadre dynamique introduit au chapitre I. En effet, lorsque lon raffine la description cinmatique, il faut galement raffiner le cadre dynamique cest--dire la schmatisation des efforts. On remarque aussi que la loi de comportement (1) (ou les formes (1) et (1) qui lui sont quivalentes) donne le tenseur des contraintes linstant t en fonction des dformations subies jusqu linstant t. Mis part le cas particulier des milieux lastiques, les matriaux prsentent tous des effets de mmoire.

Exemple : Matriau plastique.

A un mme allongement, correspond deux contraintes possibles

On parlera de fonctionnelle de rponse pour indiquer que leur argument nest pas la dformation linstant t mais lhistoire de dformation, cest--dire lensemble des dformations subies par le matriau jusqu t.

Nous pouvons crire la loi de comportement en description Lagrangienne Totale mais aussi Ractualise qui a t vue au chapitre II.

1

2

o


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Les diffrentes critures Ecriture 1 Ecriture 2 : Lagrangien ractualis

Co

F () F (t)

Co

F (t)

Ft ()X

C (t) C (t)

mmoire absolueC () F (t)

Co : configuration de rfrence mmoire du pass

Le matriaux se souvient de toutes Le matriau se souvient de sa configules dformations passes ration de rfrence et de ses dformations

relatives passes. On dissocie donc ici deux types de mmoire.

(2) T (t) = T {F ()} (3) T (t) = T {F (), F (t)}t t t

Cas particuliers Milieux lastiques Milieux fluides

Co Co

C (t) C (t)

C ()

Ces milieux nont pas de mmoire du Ces milieux nont pas de mmoire pass. sinon par le volume ce qui se traduit par : La loi de comportement dvient :

(4) T ( ) t = t {F ( )t } (5) T (t) = T {Ft (),J (t)} t

J (t) traduit le volume du fluide

1.2. Liaisons internes

Certains matriaux ne peuvent supporter certaines dformations. On parle de liaisons internes. Il faut alors rajouter la forme gnrale de la loi de comportement une contrainte indtermine ne travaillant pas dans tout mouvement compatible avec la liaison.

Soit : (6) T (t) = T {F ()}+ T avec T : D 0 t

o o


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Nous reviendrons plus loin sur lorigine de cette contrainte indtermine. Pour linstant, nous posons son existence comme un principe.

Exemple : Incompressibilit

Lincompressibilit se traduit par : dt F = J = 1, = o. La diffrentielle dun dterminant est donne par :

(7) (dt A) = dtA tr(A A-1) (cf. chapitre 1)

Lincompressibilit se traduit sur D par trD = 0. Ces deux conditions donnent la loi de comportement la forme suivante en ajoutant une contrainte T0 = p1:

(8) T (t) = p1+ T {F (t)} car To : D = - p trD = 0 t

p est une pression arbitraire dtermine par les quations dquilibre et les conditions aux limites. (voir les exemples chapitre 4 sur matriaux hyperlastiques)

1.3. Objectivit La loi de comportement doit relier les contraintes aux dformations. Or le tenseur F dcrit non seulement la dformation locale mais aussi la rotation. Il faut donc liminer cette dernire.

Pour ce faire on crira que la loi de comportement reste invariante lorsque lon superpose au mouvement une rotation quelconque. Ceci revient dire que deux observateurs en mouvement (translation + rotation) lun par rapport lautre observeront la mme loi de comportement. A chaque observateur est attach un rfrentiel dobservation, cest--dire un repre orthonorm dpendant du temps. Un changement de rfrentiel (ou dobservation) sera donc dfini par :

X3

Observateur 2

x3

x2

x1 C (t)

x'3

x'2

x'1

X1

X2

Co Rfrentiel x

Observateur 1

(9) x' = C (t) + Q (t) x

Un vecteur u est objectif si ses composantes se transforment selon : u' = Q u

u' composantes de u par rapport au rfrentiel x' et pour un tenseur du 2me ordre T :


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Q QT = 1 T' = Q T QT

si u = T. v u = T v et u' = T' v' en composantes u' = QT QT v' Nous sommes donc appels postuler :

Principe dobjectivit ou dindiffrence matrielle

La loi de comportement doit tre invariante dans tout changement de rfrentiel.

On adjoint trs souvent cette invariance, une invariance par changement de chronologie en crivant le changement de rfrentiel sous la forme :

(10) x ' = C (t') + Q (t') x t = t + a

ce qui revient supposer que le matriau est non vieillissant, cest--dire que son comportement reste le mme au cours du temps. En drivant (10) on voit immdiatement que le vecteur vitesse nest pas objectif.

Pour exploiter ce principe dobjectivit, on va chercher les lois de transformation des tenseurs introduits jusquici dans un changement de rfrentiel.

Pour avoir ces lois, il est ncessaire davoir celle de F :

' x' i x' i x kFiJ = = XJ x k XJ

donc (11) F(x, t) = Q (t) F (x, t) avec Q QT = 1

Q (t) est le tenseur de changement de repre. On en dduit alors les lois de transformations des diffrents tenseurs. C' = F'T F' = FT QT Q F = FT F = C

C = C F = Q F B = Q B QT U = U R = Q R V = Q V QT E = E A = Q A QT

e

= e

e'

= Q e

Q t S = S = Q T = Q T Qt

= Q Qt

Ce sont des tenseurs dans la Ils se comportent comme des configuration de rfrence Co des tenseurs lagrangiens dans qui nest pas affecte par le lactuelle Ct. Ils sont obje

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