Algebre Document Principal

Algèbre Animation pédagogique de l’inspection régionale de mathématiques Alain DIGER mai 2003

L’ALGEBRE ET EN PARTICULIER

LE CALCUL LITTERAL

DE LA 6ème à la 2de

Document de synthèse du travail conduit

pendant les journées d’animation pédagogique

destinées aux coordonnateurs des collèges de l’académie d’Orléans-Tours

Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques

Année scolaire 2002-2003

Ce document comporte 36 pages auxquelles il faut ajouter 12 pages d’annexes


PLAN DU DOCUMENT

1. Présentation

1.1. Objectifs du présent article …………………………………………. page 4

1.2. Le rôle des coordonnateurs …………………………………………. page 4

1.3. Le point de vue adopté ………………………………………………. page 5

2. Eléments à prendre en compte

2.1. Des documents récents ……………………………………………… page 7

2.2. L’enseignement du calcul : une révolution qui s’accélère ………….. page 8

2.3. La classe de 6ème marque le début de l’enseignement de l’algèbre …. page 9

2.4. Des évaluations permettant de dresser un bilan des débuts de

l’apprentissage de l’algèbre ………………………………………….. page 10

2.5. La classe de 5ème, niveau initiatique essentiel au

raisonnement algébrique ……………………………………………... page 12

2.6. Le point de vue « vertical » sur le calcul littéral ……………………. page 13

3. La progression proposée

3.1. Présentation …………………………………………………………. page 14

3.2. Explicitation de certains choix ……………………………………… page 14

3.3. Le chapitre 0 : « Raisonner en mathématiques » …………………… page 16

3.4. Le chapitre 2 : « Calculs sur les nombres décimaux » ……………… page 17

3.5. Le chapitre 4 : « Additions et soustractions de nombres relatifs » …. page 18

3.6. Le chapitre 6 : « Nombres en écriture fractionnaire » ……………… page 20

3.7. Le chapitre 10 : « Expressions littérales » ………………………….. page 21


4. Des situations de classe

4.1. Sit Pb1 : Une activité de première rencontre avec

la lettre nombre généralisé …………………………………………… page 23

4.2. Dms C1 et Dms C2 : construction de l’addition

et de la soustraction des nombres décimaux relatifs ………………… page 26

4.3. Sit Pb2 : des programmes de calcul pour travailler

sur les expressions littérales ………………………………………… page 31

Annexes

Annexe 1 : documents supports du travail en atelier (études d’erreurs)

Annexe 2 : proposition de progression en cinquième

Annexe 3 : documents relatifs au chapitre 0 « Démontrer en mathématiques »

Annexe 4 : fiche d’institutionnalisation finale du chapitre 10 « Expressions littérales »


1. Présentation

1.1. Objectifs du présent article

Comme l’an dernier à propos de la symétrie axiale, cet article vise à fournir une

synthèse du travail effectué lors des huit journées d’animation pédagogique qui ont réuni

successivement les coordonnateurs de mathématiques des différents départements de

l’académie, cette fois autour du thème de l’algèbre.

Chacun des coordonnateurs trouvera donc ici une synthèse du travail auquel il a

participé. Cette synthèse est élargie. D’abord parce que chaque journée d’animation a présenté

ses caractéristiques propres qui ont participé à l’enrichissement de ce document. Ensuite parce

que, comme toujours en pareil cas, eu égard à l’ampleur du thème abordé, le temps disponible

sur chaque réunion a imposé des limites au travail qui a pu être conduit. Ce document permet

d’alimenter un peu plus la réflexion. Il inclut notamment des propositions pour travailler sur

le test d’égalité en cinquième.

1.2. Le rôle des coordonnateurs

Une des fonctions de cet article est aussi d’encourager et faciliter la tâche de

démultiplication, souvent ardue, qui est celle des coordonnateurs dans leur établissement.

Force est de constater que le travail collectif au sein des équipes pédagogiques de

mathématiques reste très inégal. Pourtant chacun semble bien conscient que la discipline que

nous enseignons nécessite à la fois une cohérence forte et des temps d’apprentissage souvent

longs, dépassant largement l’année scolaire, sur des grands thèmes comme celui dont il est

question ici. L’approche « verticale » proposée devrait inciter à construire une démarche

visant à installer collectivement une stratégie d’enseignement du calcul littéral sur les quatre

années du collège. Si on ne peut attendre qu’une situation idéale s’installe rapidement partout,

il reste que nous faisons appel au sens des responsabilités de chacun des coordonnateurs pour

que cet article parvienne effectivement à tous les collègues de son établissement. Pour être

plus précis, il nous semble que les tâches minimum suivantes pourraient faire l’objet d’un

consensus :


i ) s’assurer que chaque collègue a eu connaissance et accès aux quatre articles

diffusés à ce jour dans la boîte des coordonnateurs ;

ii ) s’assurer que ces quatre articles sont disponibles au CDI ou ailleurs à la portée de

tous les collègues. (on peut ajouter à ces documents ceux qui ont servi de support à

l’installation des programmes actuels en particulier celui de 6ème 1. On trouve dans ce

document une proposition, « Les règles du débat mathématique »2, pour aborder la

démonstration. Ces règles du débat concernent essentiellement le raisonnement géométrique.

L’annexe 3 propose une version modifiée pour accorder une plus grande place au

raisonnement algébrique ;

iii ) proposer systématiquement aux nouveaux professeurs de mathématiques nommés

dans l’établissement l’accès à ces documents, tout particulièrement lorsque ces nouveaux

nommés se trouvent être des professeurs débutants, et encore plus particulièrement lorsque

ces professeurs débutants le sont sans avoir bénéficié au préalable d’une formation

professionnelle.

1.3. Le point de vue adopté

Comme l’an dernier encore, une partie importante de ce document est consacrée à une

proposition d’organisation de l’enseignement sur une année particulière. Il s’agit toujours,

après avoir pris en compte des contraintes ambitieuses, de montrer l’existence possible d’une

telle organisation. Il ne s’agit évidemment pas de fournir un modèle à suivre mais plutôt de

proposer une voie à explorer, susceptible d’enrichir la réflexion et de fournir des solutions

alternatives à celles généralement retenues dans les manuels.

L’an dernier, s’agissant de la symétrie axiale, le choix de privilégier le niveau sixième

allait de soi pour tout le monde. Cette année, s’agissant du calcul littéral, le choix de

privilégier le niveau cinquième n’apparaissait pas aussi évident a priori. Il s’agit déjà d’un

résultat fort, qui s’est imposé au cours des différents ateliers qui ont été organisés dans les

réunions de coordonnateurs : contrairement à ce que pourrait laisser penser une lecture de

surface des programmes, le niveau cinquième constitue bien le socle sur lequel l’édifice du

calcul littéral se construira dès la classe de quatrième.

1 Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques – MAFPEN. Document sur le nouveau programme de sixième. Académie d’Orléans-Tours, janvier 1996, 93 p. 2 Pressiat André. Initiation au raisonnement déductif en 6è-5è, p 37-41


Enfin, ébaucher une progression annuelle est un geste professionnel très impliquant. Il

amène à faire des choix, comme celui fait ici, d’accorder une place privilégiée aux

programmes de calcul. Il sollicite les conceptions personnelles et on pourra les retrouver au

travers des différents points déjà listés l’an dernier :

• la nature spiralée de la progression qui permet d’éclairer les grands thèmes par

des entrées diverses et d’allonger la durée disponible pour la réflexion et la

maturation ;

• la place et la forme des révisions pour lesquelles tout systématisme est évité.

L’expérience montre en effet que des révisions systématiques, d’abord ne sont

pas efficaces, mais surtout hypothèquent gravement la mise en place d’une

progression annuelle cohérente. Il s’agit donc là d’un premier écueil à éviter

absolument ;

• la place réservée au raisonnement dans les exercices mais aussi dans le cours,

en particulier pour justifier les techniques employées ;

• le recours à des dispositifs d’enseignement variés, de l’activité ouverte à

l’exposé magistral ;

• la mise en place volontariste de devoirs à la maison ;

• une gestion de l’hétérogénéité reposant aussi souvent que possible sur des

activités pouvant être exploitées à des niveaux cognitifs successifs ;

• le souci de présenter le savoir nouveau dans des situations problématisées où

ce savoir apparaîtra indispensable, ce qui légitimera son apparition ;

• le souci de travailler sur le fond et les concepts avant de travailler sur la forme

ou les techniques.

Il s’agit d’un deuxième écueil majeur à éviter sur lequel nous allons nous arrêter un instant

car il est particulièrement sensible dans l’enseignement de l’algèbre. Le travail technique ne

peut pas faire avancer l’apprentissage d’un élève dans le cas où ses connaissances

conceptuelles sont insuffisantes. Là encore le piège se referme sur le plan horaire : le temps

investi dans des exercices techniques est en général excessif et improductif parce que le temps

investi dans l’approche conceptuelle a été insuffisant. Le document d’accompagnement des

programmes de la classe de première3 souligne bien ce phénomène. Il nomme « gammes » ces

exercices techniques répétitifs (page 10 du document cité) dont il souligne certes le caractère

indispensable, mais aussi la nécessité qu’il y a à les mettre en œuvre de façon raisonnée. Cette 3 Ce document est disponible sur le cédérom « accompagnement des programmes de lycée rentrée 2002 », édité par le Scéren (CNDP) et distribué à deux exemplaires dans les collèges.


raison commande d’abord de ne pas les proposer aux élèves trop prématurément : les bases

conceptuelles, le sens doivent être installés auparavant. Dans ces conditions, la longueur de ce

travail n’a aucune raison d’être excessive mais il faut pour cela se garder de vouloir faire

jouer à ces exercices techniques un rôle d’installation du sens des notions en jeu, rôle que ces

exercices sont incapables de tenir. Dans la suite, ce document reprendra ce terme de

« gammes » pour désigner ces exercices techniques répétitifs et proposera, ce sera un enjeu

essentiel, des situations d’enseignement visant à permettre au préalable une installation aussi

réussie que possible des concepts concernés.

2. Eléments à prendre en compte

2.1. Des documents récents

La parution de nouveaux programmes en amont du collège, au cycle 3 de l’école, mais

aussi en aval, au lycée, intéresse doublement le professeur de collège. D’abord parce que leur

connaissance est nécessaire pour mettre en cohérence le plan d’enseignement sur le collège.

Ensuite parce que ces nouveaux textes marquent une évolution forte en particulier sur

l’enseignement du calcul. Les rapports produits par la Commission de Réflexion sur

l’Enseignement des Mathématiques4, et notamment celui concernant le calcul, inscrivent ces

évolutions dans une perspective plus large.

Ces trois documents (programme du cycle 3, programmes du lycée avec pour chacun

de riches documents d’accompagnement et rapport de la CREM) constituent des sources

d’informations riches et convergentes.

4 Constituée en 1999 à la demande du ministère, la CREM est présidée par le professeur Jean-Pierre Kahane. Elle a produit un rapport de synthèse et quatre rapports d’étapes sur la géométrie, l’informatique et l’enseignement des mathématiques, le calcul, les probabilités et statistiques. Ces rapports sont disponibles sur le site Eduscol ou en livre aux éditions Odile Jacob.


2.2. L’enseignement du calcul : une révolution qui s’accélère

Commençons par un constat sans concession de la CREM sur l’enseignement du

calcul :

« Le calcul renvoie à une activité purement mécanique, automatisable, sans

intelligence, il est réduit à sa part mécanisée. Son apprentissage renvoie à l’idée

d’entraînement purement répétitif. »

(CREM. Rapport d’étape sur le calcul, p16)

L’absence d’intelligence est évidemment un reproche fort s’agissant d’un enseignement des

mathématiques pour lequel la formation au raisonnement est précisément un objectif essentiel.

Outre cette carence qualitative, un tel enseignement se heurte de plus en plus rudement à des

réalités qui mettent en cause sa raison d’être :

« On estime par ailleurs que, si l’on dispose d’instruments pour effectuer la partie

mécanisée du calcul, il n’y a plus rien à apprendre puisque le calcul s’y réduit. »


Or ces instruments, nos élèves en disposent effectivement : ce sont les calculatrices

numériques et bientôt ce seront les calculatrices formelles. Il est donc urgent, si on veut éviter

que l’enseignement de l’algèbre ne perde son sens et sa légitimité, de prendre enfin ces

réalités en compte. Mais alors quelle direction donner à cet enseignement ?

La CREM fournit une réponse claire :

« Il nous semble tout à fait essentiel de mettre mieux en évidence la fonction

généralisatrice du calcul algébrique et sa valeur d’outil de preuve. Ceci peut se faire très tôt

avec des situations très simples, en se limitant à des objets familiers à l’élève… »

Une telle ambition peut surprendre voire faire naître des craintes : cela signifie-t-il que nos

élèves ne doivent plus apprendre à calculer ?


Le document d’accompagnement des programmes de terminale, dont la portée est générale

pour l’enseignement des mathématiques et non limitée au cycle terminal, fournit une réponse

sans appel :


« La maîtrise du calcul reste un objectif de base de l’enseignement des

mathématiques… faciliter l’acquisition de réflexes qui tout à la fois libèrent la pensée et

procurent confiance en soi. L’acquisition de ces réflexes doit cependant respecter

l’intelligence de calcul et répondre à un besoin avéré sur le long terme… »

(accompagnement des programmes de terminale, p10)

Ainsi donc apprendre à calculer reste bien un enjeu majeur mais il doit s’inscrire plus

visiblement dans une formation générale dont l’objectif essentiel est, pour les mathématiques,

l’apprentissage de la rationnalité.

Tout le travail présenté dans la suite vise ainsi à montrer que chaque règle de calcul qui

apparaît répond à un besoin d’une part, se construit rationnellement d’autre part. On

n’oubliera pas non plus de situer autant que possible le travail des élèves dans un contexte qui

sollicite leurs capacités de recherche, leur intérêt, leur créativité… Bref tout ce qui peut être

une manifestation de cette intelligence de calcul que la CREM appelle de ses vœux.

2.3. La classe de 6ème marque les débuts de l’enseignement de l’algèbre

Roland CHARNAY5 soulignait que du cycle 3 à la classe de 6ème « la progression

n’est pas marquée par une répartition des notions entre école et collège, mais plutôt par

l’évolution des niveaux de conceptualisation, de formulation et des méthodes de résolution. »

Ceci constitue une particularité du programme de la classe de sixième. Elle peut

conduire certains élèves, mais aussi des collègues, à sous estimer les difficultés et

l’importance de ce programme de sixième. Ces thèmes de travail inchangés peuvent donner

l’illusion dangereuse d’une banale reprise des contenus de l’école. En réalité, sur chaque

thème, la mathématisation progresse fortement. C’est le cas sur la symétrie axiale, où le

travail conduit l’an passé a permis de réfléchir à cette transition entre les pratiques

expérimentales de l’école et les pratiques de démonstration abordées en fin d’année de

sixième, notamment en utilisant la symétrie axiale, cette fois pour étudier mathématiquement

des figures du programme. C’est une évolution tout à fait comparable, mais sans doute encore

davantage masquée, qui est à l’œuvre sur le thème des quotients. A l’idée de partage de

l’unité qui est construite à l’école autour de l’écriture ¾ par exemple, va s’adjoindre en

5 Roland Charnay est professeur à l’IUFM de Lyon et chargé de recherche en didactique des mathématiques à l’INRP. Il a participé à l’élaboration des nouveaux programmes de l’école ainsi qu’à ceux du collège.


sixième une représentation algébrique, à savoir : ¾ est l’unique nombre qui vérifie 4 × ? = 3.

Comme dans l’exemple précédent de la symétrie axiale, il s’agit là de l’ouverture d’une porte

sur un monde mathématique aux possibilités insoupçonnables pour les élèves. Là encore cette

approche nouvelle autorisera une vraie construction mathématique dans laquelle toutes les

règles de calcul trouveront des raisons d’exister et des preuves de leur validité.

L’évaluation d’entrée en cinquième de septembre 2002 a montré que ce travail engagé

en sixième sur les quotients est évidemment loin d’être achevé à ce niveau. C’est une force

que le professeur de sixième doit posséder : être conscient que la définition des quotients est

un enjeu fort à long terme et que les difficultés soulevées méritent d’être combattues dans la

durée. De telles difficultés accompagnent d’ailleurs inévitablement toute remise en question

des connaissances antérieures. Mais les surmonter constitue une nécessité pour progresser

dans l’apprentissage.

En sixième, un autre point du démarrage de l’enseignement de l’algèbre et du calcul

littéral, consiste en l’apprentissage de la substitution dans une expression littérale d’une lettre

par une valeur numérique. Ce travail s’engage fréquemment avec des formules de géométrie,

par exemple celle donnant la longueur du cercle. Il convient d’être conscient de sa grande

importance pour la suite et de développer à chaque occasion qui se présente cette compétence

dans un cadre moins contextualisé que celui de ces formules de géométrie dans lesquelles les

lettres en jeu ont un statut algébrique faible.

2.4. Des évaluations permettant de dresser un bilan des débuts de l’apprentissage de

l’algèbre

Le moment de travail en ateliers qui s’est tenu dans chaque réunion de coordonnateurs

s’est appuyé sur trois évaluations et a consisté à analyser les erreurs produites par les élèves.

Ces trois documents figurent dans l’annexe 1. Résumons quelques conclusions obtenues sur

ces trois études :

L’étude N°1 a permis de rappeler l’importance essentielle de la propriété de

distributivité de la multiplication sur l’addition. Il est apparu que cette propriété n’est pas

maîtrisée autant qu’on pourrait l’attendre par les élèves de collège. En particulier des

confusions avec l’associativité de la multiplication sont fréquentes. L’associativité est une

propriété de la multiplication (et de l’addition) qui est utilisée en acte par les élèves dès

l’école primaire. Cette utilisation est souvent conjointe avec celle de la commutativité par


exemple dans des calculs réfléchis du type : 2,5 × 13 × 4. Mais, contrairement à la

distributivité de la multiplication sur l’addition qui est institutionnalisée et étudiée

algébriquement en classe de cinquième, cette propriété d’associativité ne sera, elle, jamais

institutionnalisée dans le cursus des études secondaires. On peut d’ailleurs s’interroger au vu

du document extrait du programme de seconde qui figure à la fin de l’annexe 1, pour savoir si

les concepteurs des programmes n’ont pas réalisé qu’il existait là une réelle lacune. Pour

nous, la conclusion est bien qu’il n’est pas souhaitable de laisser perdurer ce vide didactique

concernant l’associativité de la multiplication et une proposition sera faite en ce sens dans la

suite, au paragraphe 3.3.

L’étude N°2 a rappelé l’importance, là encore essentielle, du test d’égalité. En

l’occurrence, il fournissait la procédure la plus efficace pour vérifier que le nombre 2 qui était

proposé n’était pas solution de l’équation, sans qu’il soit nécessaire de la résoudre. On notera

au passage que, s’il n’est pas envisageable de donner une définition formelle de ce qu’est une

équation, ce test d’égalité permet de donner du sens conjointement aux termes d’équation, de

solution et de résoudre : un nombre est solution d’une équation lorsque les deux membres de

l’équation prennent des valeurs égales si on substitue à l’inconnue ce nombre en question. Le

test d’égalité est la clef qui permet d’entrer dans la problématique des équations. Or ces

équations sont indissociables de la résolution de problèmes qui motive l’entrée dans le calcul

littéral.

L’étude N°3 attirait l’attention sur un dernier point à nouveau essentiel pour

l’enseignement de l’algèbre : la distinction entre deux aspects qui tendent à s’opposer dans la

nature de toute expression algébrique. Ainsi dans 4 x² + 12 x il faut savoir, si on veut par

exemple substituer la valeur 3 à la variable, que l’opération prioritaire est le carré, puis les

multiplications et enfin l’addition. C’est l’aspect procédural (à relier avec la procédure de

calcul associée) que les élèves connaissent bien car elle est pratiquée très tôt en cinquième

avec les priorités opératoires. L’opération importante est ici la première qu’on doit effectuer

dans l’ordre des priorités de calcul. Par contre si on veut résoudre l’équation 4 x² + 12 x = 0,

il faut reconnaître que 4 x² + 12 x est une somme et penser à transformer cette somme en

produit pour achever la résolution. C’est l’aspect structural (à relier avec la structure de

l’expression) que les élèves maîtrisent moins facilement car il est classiquement moins

travaillé que l’aspect procédural. Cette fois, l’opération importante est la dernière qu’on doit

effectuer dans l’ordre des priorités opératoires. Cet aspect est à la base de la reconnaissance

de forme d’une expression et donc aussi à la base des transformations de formes qui sollicitent


cette intelligence de calcul à laquelle la CREM souhaite que l’enseignement s’intéresse

davantage.

2.5. La classe de 5ème , niveau initiatique essentiel au raisonnement algébrique

Les trois études d’erreurs précédentes possèdent une caractéristique commune : elles

renvoient toutes au programme de la classe de cinquième. En effet, la distributivité de la

multiplication sur l’addition, le test d’égalité et les priorités opératoires qui permettent de

distinguer les deux aspects procédural et structural d’une expression algébrique sont trois

éléments contenus dans le programme officiel de cette classe.

Même si quelques éléments algébriques déjà cités précédemment apparaissent en

classe de sixième (la substitution, la définition algébrique des quotients), c’est bien en classe

de cinquième que s’installe le raisonnement algébrique. C’est à ce niveau qu’apparaissent les

expressions littérales et avec elles la lettre outil de preuve et de généralisation. Le test

d’égalité amène, lui, à s’interroger sur la valeur de vérité de certaines égalités et à remettre en

cause le statut du signe d’égalité. Désormais une égalité devra être regardée comme une

assertion dont il convient de se demander si elle est vraie ou fausse. On a déjà signalé que ce

test d’égalité permet de construire le concept d’équation. Il permet également de construire le

concept d’identité : c’est une égalité qui est toujours vraie quelque soit la valeur numérique

qu’on substitue à la variable. C’est ce caractère universel qui donne toute sa force au concept

d’identité et en fait un outil de preuve puissant pour montrer, par exemple, que deux figures

dont des dimensions dépendent d’une même variable ont toujours la même aire. Pour que les

élèves maîtrisent cet outil il est indispensable qu’ils soient pleinement conscients de ce

caractère universel lorsqu’ils écrivent , par exemple, une identité comme 5 x + 3 x = 8 x :

cette égalité reste vraie quelque soit la valeur choisie pour la lettre x. Comprendre cela

nécessite un travail spécifique qui relève bien du programme de cinquième et qui permettra

d’aborder l’écriture d’identités plus complexes, comme celles résultant de développements en

quatrième, avec de meilleures chances d’en saisir le sens.

C’est bien un travail de conceptualisation, de construction du sens dont il est question

sur ce niveau cinquième dans lequel aucun exigible technique n’apparaît. Par contre ces

exigibles techniques vont apparaître rapidement et massivement dès la classe de quatrième

(développements, réductions, double distributivité, équations). Les impératifs horaires ne

permettront plus à ce moment de laisser le temps nécessaire aux élèves d’effectuer cette


réflexion sur le sens : le souci sera ailleurs, dans les exigibles techniques justement. C’est

donc bien en classe de cinquième où il existe, malgré les récentes restrictions horaires, un

temps pour cela, qu’il convient d’installer le sens des grandes notions algébriques évoquées

précédemment.

2.6. Le calcul littéral : point de vue « vertical » de la 5ème à la 2de

Comme pour la mise en place du raisonnement géométrique, on trouvera dans la

présente approche de l’algèbre un plaidoyer, conforme aux préconisations du programme

officiel, pour une plus grande progressivité, un plus grand étalement dans le temps visant à

maximiser la durée disponible pour l’appropriation des savoirs par les élèves.

La proposition faite ici peut se schématiser ainsi :

6ème 5ème 4ème 3ème

substitution test d’égalité développements, équations factorisations … définition quotients usage lettre outil de preuve et de généralisation

On peut la comparer avec certaines pratiques existantes :

6ème 5ème 4ème 3ème

développements factorisations … équations

Dans le premier cas, le travail sur le calcul littéral (symbolisé par le trait épais)

s’étend sur huit trimestres, dans le second sur quatre seulement. Les deux situations sont

évidemment aux deux extrémités des pratiques existantes mais les deux existent. Qu’on songe

à la masse des exigences techniques attendues en fin de troisième, à l’extrême fragilité des

connaissances acquises tardivement au troisième trimestre de la classe de quatrième et la

cause est entendue : dans le deuxième cas, seuls quelques élèves réussiront à s’approprier les

connaissances algébriques visées.

Intro lettre outil de preuve et de généralisation


3. La progression proposée

3.1. Présentation

Quatre raisons principales justifient le choix de détailler cette progression sur le niveau

cinquième :

• C’est à ce niveau qu’apparaissent les premiers grands éléments constitutifs de

l’édifice algébrique. Et les évaluations menées auprès des élèves, par exemple

celles présentées au 2.4 , mettent en évidence que ce sont ces éléments qui,

lorsque les élèves les maîtrisent mal, font obstacle à l’apprentissage de façon

durable.

• C’est le niveau de classe sur lequel on peut installer la pratique de l’algèbre sur

des bases conformes à celles préconisées par la CREM. C’est à dire que le

programme de cinquième, peu marqué par des exigences techniques, offre

l’occasion de travailler sur le sens et les concepts. Il y a là, réellement, une

occasion de placer le calcul sur les rails de la rationalité.

• C’est en faisant entrer les élèves de cinquième dans la démarche algébrique le

plus tôt possible, qu’on peut étendre les temps de maturation et d’appropriation

de l’algèbre. Nous avons vu au 2.6 que cette durée peut fluctuer de quatre à

huit trimestres ce qui crée des conditions d’apprentissage d’une hétérogénéité

considérable.

• Enfin, et c’est un argument décisif pour que ce niveau cinquième ait été choisi

ici, cette approche possible de l’algèbre est méconnue. Les programmes sont en

effet peu explicites et les manuels ne travaillent pas dans ce sens.

La proposition faite ici offre donc cette voie alternative permettant de choisir en lieu et

place d’une algèbre faite de règles admises et de calculs d’application, une algèbre construite

sur les mêmes bases rationnelles que la géométrie.


3.2. Explicitation de certains choix

La progression proposée figure dans l’annexe 2. Ce n’est pas une progression

complète de l’année de cinquième. Sont présentés dans leur intégralité les chapitres qui

prennent place dans le thème algèbre. Sont présentés également des extraits d’autres chapitres

lorsqu’ils ont à voir avec ce thème algèbre.

Les démonstrations de cours les plus significatives sont détaillées dans les paragraphes

qui suivent. Elles sont repérées dans l’annexe 2 par la mention Dms Ci ( 1 ≤ i ≤ 2 ). Ces

démonstrations de cours poursuivent deux objectifs généraux :

• Il s’agit d’abord d’inscrire l’algèbre dans une démarche rationnelle donc de

construire les règles qui apparaissent. De ce point de vue, l’effet attendu sur

l’image que se font les élèves des mathématiques est important : même pour un

élève qui n’a pas compris l’ensemble de la démonstration, il doit rester l’idée

que la règle institutionnalisée a été démontrée, qu’elle a des raisons d’être ce

que le professeur a dit.

• Il s’agit ensuite de mobiliser l’outil algébrique : la lettre nombre généralisé, un

calcul littéral même modeste, la lettre nombre inconnu… Ceci permet de

réinvestir et de favoriser l’appropriation de ces démarches nouvelles que les

élèves ne sont pas en mesure de mettre en œuvre seuls à ce stade de leur

formation. Là encore, il doit ressortir une idée générale forte : l’algèbre est un

outil puissant et fonctionnel (au sens où il sert à quelque chose).

De la même façon les situations problèmes les plus significatives sont elles aussi

détaillées et repérées par la mention Sit Pbi ( 1 ≤ i ≤ 2 ). Il faut entendre par situation

problème des moments d’enseignement caractérisés notamment par les éléments suivants :

« Les activités choisies doivent :

• Permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc ne donner que des

consignes très simples et n’exiger que les connaissances solidement acquises par

tous ;

• Créer rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures ;

• Rendre possible la mise en œuvre des outils prévus ;

• Fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des occasions de contrôle de leurs

résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en

prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons. »

(Programme de la classe de sixième, p18)


Leur fonction consiste donc à réactiver les connaissances anciennes, en faire percevoir les

limites puis à motiver un dépassement de ces limites vers des savoirs nouveaux. De tels

dispositifs nécessitent une élaboration très soignée. Les règles du débat mathématique déjà

évoquées, constituent un bon exemple de situations problèmes. Pour être efficaces ces

situations doivent impliquer très fortement les élèves qu’il faut donc placer dans des

conditions de recherche autonome et significative. Un corollaire important est que ce type de

dispositif est consommateur de temps. A titre d’exemple la situation problème 1 proposée

plus loin représente un investissement horaire de deux à trois heures. Un tel investissement ne

se justifie donc que pour les thèmes d’étude les plus délicats et importants de l’année. Les

retombées espérées doivent être importantes et durables. La situation étudiée a vocation à

devenir une situation de référence souvent évoquée dans le travail ultérieur de la classe. Enfin,

la résolution du problème posé doit être suivie d’une phase d’institutionnalisation qui pointe

précisément le savoir visé et fixe ce qui doit être retenu par les élèves.

Ces deux dispositifs, démonstrations de cours magistrales et situations problèmes, se

situent aux antipodes des différentes pratiques d’enseignement possibles. Il est important que

les élèves bénéficient des apports de ces deux types de pratiques. Dans le premier cas, il s’agit

pour le professeur d’apporter aux élèves un savoir qu’ils ne peuvent produire par eux-mêmes.

Dans le second, il s’agit au contraire de placer les élèves en situation de participer autant que

possible à l’élaboration d’un savoir nouveau.

3.3. Le chapitre 0 : « Raisonner en mathématiques »

L’objectif de ce chapitre est de fournir aux élèves un document de référence

concernant les pratiques qui s’installent progressivement en matière de raisonnement.

Sa particularité est bien signifiée aux élèves par sa numérotation inhabituelle et par la

manière donc il est traité. Il ne s’agit pas à proprement parler d’un chapitre mais plutôt d’une

fiche de synthèse qui regroupe les règles du débat mathématique. Ces différentes règles sont

institutionnalisées et consignées dans cette fiche au fur et à mesure de leur apparition qui

s’étend sur plusieurs chapitres. Les documents relatifs à ce chapitre figurent dans l’annexe 3

qui contient les textes des problèmes à soumettre aux élèves et les énoncés institutionnalisés

constituant le document qui figure dans les cahiers de cours.

La remarque importante figurant en bas de la première page de cette annexe rappelle

que la gestion de classe nécessaire pour que ce travail atteigne sa pleine efficacité est tout à


fait spécifique. Il est donc indispensable de se référer à l’article d’André Pressiat déjà cité

dans les notes de bas de page 1 et 2, page 5 de ce document, pour prendre connaissance de ces

modalités précises.

3.4. Le chapitre 2 : « Calculs sur les nombres décimaux »

Ce chapitre poursuit deux objectifs. Le premier concerne le calcul numérique où il

s’agira de mettre en place les priorités opératoires, la distributivité de la multiplication sur

l’addition et la soustraction ainsi que les éléments permettant de dissocier les aspects

procédural et structural d’une expression numérique. Le second est l’introduction de la lettre

comme nombre généralisé et du calcul littéral, ces deux éléments permettant de faire

apparaître l’algèbre comme outil puissant, et indispensable, de généralisation et de preuve.

Ce chapitre est essentiel dans la progression. Il marque pour les élèves l’entrée dans

l’algèbre, la situation problème 1 constituant le moment précis choisi pour effectuer cette

entrée. La position très précoce de ce chapitre dans l’organisation annuelle permet d’étendre

sur une durée maximale l’apprentissage de l’algèbre, conformément à un besoin exprimé au

2.6. Dès lors, il importera d’assurer la continuité de ce travail jusqu’au terme du collège, ce

qui suppose notamment d’assurer la reprise de cette étude de l’algèbre le plus précocement

possible dans les classes de quatrième et de troisième.

Voici le plan de ce chapitre :

1. Travail sur le numérique :

Chaînes d’additions, chaînes de soustractions, chaînes de multiplications,

chaînes de divisions, commutativité et associativité en acte, rôle du 1 et du 0

Deux contextes de travail sont utilisés : les problèmes type école primaire dans lesquels le

sens des opérations rend naturelles les propriétés visées et le calcul mental ou réfléchi dans

lequel le recours à ces propriétés est indispensable. Les propriétés rencontrées sont

énoncées en langage naturel.

Chaînes comportant plusieurs opérations, priorités de calcul en lien avec

calculatrice, « gammes » (aspect procédural), reconnaissance de sommes et

produits (aspect structural)

Problèmes et distributivité en acte Sit Pb1 � 2. Première rencontre avec la lettre Cette situation problème est décrite au 4.1.


3. Institutionnalisation de la règle du débat 5

Cette institutionnalisation est indispensable pour donner tout leur sens aux points 4. et 5. qui

suivent.

4. Institutionnalisation de la distributivité de la multiplication sur l’addition et

la soustraction

5. Réécriture en langage symbolique (littéral) des propriétés déjà énoncées en

langage naturel

A ce moment on peut insister en particulier sur l’associativité de la multiplication dont on a

vu au 2.4. que sa méconnaissance pouvait s’opposer à une bonne maîtrise de la distributivité

de la multiplication sur l’addition. L’objectif est alors de bien dissocier les schémas

a ×××× ( b + c ) et a ×××× ( b ×××× c ). Il est clair que ces travaux menés au 1. et au 5. sont des activités

participant à la formation des élèves mais que les identités écrites, hormis celle concernant

la distributivité de la multiplication sur l’addition qui figure dans le programme, ne sont pas

des exigibles. Les noms de ces différentes propriétés n’ont également aucune raison d’être

imposées aux élèves.

6. Applications et réinvestissements : littéral, procédural et structural, test

d’égalité, calcul mental et réfléchi …

Peu de manuels proposent une initiation à l’aspect structural des expressions numériques ou

littérales. C’est cependant le cas de la collection Triangle des éditions Hatier dans laquelle

les auteurs Gisèle Chapiron, Michel Mante, René Mulet-Marquis et Catherine Pérotin

fournissent de nombreux exercices dans ce but.

Concernant le littéral, le travail proposé ici ne vise pas à développer des techniques

calculatoires prématurées mais à conforter le recours à la lettre pour généraliser, en lien

avec l’initiation au raisonnement, comme cela s’est fait au cours du chapitre.

Exemple d’exercice possible :

On demande aux élèves de choisir un entier puis de multiplier son prédécesseur par son

suivant. On conserve le résultat. On reprend le nombre choisi au départ. On calcule son

carré et on soustrait 1. On compare avec le résultat obtenu précédemment.

On recommence avec d’autres choix initiaux puis on demande d’émettre une conjecture.

Cette conjecture doit se traduire par :

Si x est un nombre entier, on a toujours : ( x −−−− 1 ) ( x + 1 ) = x² −−−− 1

On admet que cette conjecture est vraie. On peut ensuite se demander si on peut « faire

mieux » au sens de plus général. Une idée, que des élèves sont susceptibles d’apporter, peut

être de remplacer les 1 par des y. Dans ce cas un contre exemple invalidera la nouvelle

conjecture. Par contre tester l’égalité avec des nombres non entiers permettra de conjecturer

qu’elle reste vraie même si x n’est pas entier.


3.5. Le chapitre 4 : « Additions et soustractions de nombres relatifs »

Ce chapitre vise trois objectifs. Le premier est la maîtrise par les élèves des

opérations exigibles du programme sur les nombres décimaux relatifs. Le second consiste à

installer la pratique du calcul dans la démarche rationnelle évoquée au début de cet article. En

particulier ici, il s’agira de construire les deux opérations nouvelles que sont l’addition et la

soustraction des nombres décimaux relatifs. Enfin, le troisième vise à réinvestir et consolider

des démarches algébriques déjà abordées dans le chapitre 2. Ces objectifs ne sont évidemment

pas sans lien entre eux. On peut d’abord espérer que le second contribue à la réalisation du

premier, par exemple en réglant clairement le problème des simplifications d’écriture dans les

sommes algébriques. Ensuite le troisième se réalise en recourant à des méthodes algébriques

qui seront mises au service du second.

Voici le plan de ce chapitre :

1. Activité d’introduction6 (équation a + ? = b ; b − a avec a et b dans � ;

identification de � et ID+, chaînes d’additions et soustractions)

Cette activité est décrite au 4.2. avec les deux démonstrations de cours qui suivent. Elle vise à

introduire la problématique qui suit.

2. Mise en place de la problématique du chapitre (principe de permanence,

l’algèbre comme outil de construction des connaissances)

Cette problématique situe bien le travail dans une démarche algébrique. Elle donne son sens

aux démonstrations qui suivent mais elle constitue aussi une démarche générale permettant

d’étendre des opérations à des sur-ensembles. Elle sera ainsi réinvestie au chapitre 6 pour

construire les opérations sur les quotients mais également en classes de quatrième et de

troisième.

3. Institutionnalisation sur l’opposé Dms C1 → 4. Construction de l’addition dans ID (et institutionnalisation) Dms C2 → 5. Construction de la soustraction dans ID, notation de l’opposé (et

institutionnalisation)

Les points 4. et 5. sont traités à la suite l’un de l’autre, sans temps mort. Traiter

conjointement l’addition, les simplifications d’écriture et la soustraction permet de donner

une unité à ce travail. La soustraction est en effet destinée à disparaître aussitôt qu’elle sera

construite : soustraire un nombre c’est additionner son opposé. D’autre part l’étude de la

soustraction permet d’achever l’examen des différents cas de simplification d’écriture. Ce 6 � désigne l’ensemble des décimaux de l’école et ID désigne l’ensemble des décimaux relatifs.


passage aux écritures simplifiées est ici abordée rigoureusement et dès le début de la

construction. Les élèves seront incités d’emblée à traiter les calculs en écriture simplifiée.

6. Exercices d’application (« gammes », moyennes de températures,

modélisation de situations classiques comme pertes et gains successifs …)

7. Sommes algébriques et écritures simplifiées, les 3 significations du signe −,

retour sur l’activité d’introduction et sur le structural (et institutionnalisation et

mise en évidence de vertus simplificatrices de l’algèbre)

L’institutionnalisation consiste ici à bien montrer aux élèves que si le signe – possède

maintenant trois significations qu’il faut toutes connaître (négatif, opposé, soustraction), ces

trois significations ne sont pas source de complications mais au contraire de simplifications.

En effet, dans un calcul on peut interpréter ce signe – comme on le souhaite et, en

particulier, une chaîne d’additions et de soustractions peut désormais être regardée comme

une somme de relatifs ce qui autorise à utiliser la commutativité et l’associativité.

Ceci a aussi des conséquences sur l’aspect structural les expressions numériques ou

littérales : en algèbre on n’utilisera plus le terme différence (ce point peut être anticipé au

chapitre 2 dans le travail sur le structural).

8. Exercices d’application (« gammes », sommes algébriques, transformations

d’écritures, opposés (prévention du théorème en acte : 3x est positif, −4x est

négatif),

signe, ordre et graduation (a négatif signifie a ≤ 0 ou encore − a positif),

distance de 2 points sur un axe gradué

9. Réinvestissement dans le littéral (reconnaissance sommes/produits, sommes

algébriques sans s’interdire de calculer des produits du type :

− 5 � 3 = 3 � (−5) = (−5) + (−5) + (−5) )

10. pratiques de calcul mental

3.6. Le chapitre 6 : « Nombres en écriture fractionnaire » (présentation succincte)

Le travail sur les nombres en écriture fractionnaire vise d’abord à poursuivre deux

grands objectifs déjà esquissés en classe de sixième. Assurer la maîtrise de la définition du

quotient a/b qui figure dans les programmes, à savoir a/b est le nombre qu’il faut multiplier

par b pour obtenir a, est le premier de ces deux objectifs. Cette définition se situe sans

ambiguïté sur le terrain algébrique puisque a/b est défini ici comme l’unique solution d’une

équation. Les élèves ne s’approprient donc pas facilement cette définition d’autant que celle


rencontrée à l’école, qui est de nature différente et évidemment mieux connue d’eux, fait

obstacle à cette appropriation. Mais ce travail s’insère bien dans le thème du présent article.

En particulier cette définition est autrement plus puissante que celle dont disposaient

antérieurement les élèves et elle permet de construire toutes les règles d’opérations sur les

nombres en écriture fractionnaire. Cette construction s’effectue selon une démarche analogue

à celle proposée au chapitre 4 pour construire l’addition et la soustraction des nombres

relatifs. Il est donc intéressant de proposer une nouvelle fois cette démarche algébrique aux

élèves. Cette présentation a déjà été effectuée l’an dernier par André PRESSIAT. On pourra

donc se reporter à l’article qu’il a rédigé pour les coordonnateurs : « Quotients-

Proportionnalité-Grandeurs ». Le second objectif à poursuivre est d’installer l’idée chez les

élèves que a/b est bien un nombre. Pour cela les problèmes relevant de la proportionnalité

fournissent un contexte approprié. De plus le chapitre 10 contribuera également à la

réalisation de cet objectif.

A ces deux objectifs déjà pris en compte en sixième il faut en ajouter un troisième

plus technique : les élèves doivent progresser dans la maîtrise des opérations d’addition, de

soustraction et de multiplication de deux nombres en écriture fractionnaire. Là encore, comme

sur les relatifs, on peut espérer que la construction des règles participe à leur appropriation.

Deux autres objectifs plus généraux sont poursuivis au cours du travail sur les

quotients. Il s’agit, comme à l’occasion du travail précédent sur les relatifs, d’ancrer la

pratique du calcul dans une démarche rationnelle ainsi que de légitimer et consolider des

démarches algébriques.

3.7. Le chapitre 10 : « Calcul littéral »

Ce chapitre comporte trois objectifs principaux. Le premier consiste à légitimer

l’apparition du calcul littéral en mettant en valeur son efficience pour résoudre, pour prouver

et pour simplifier. Le second vise à construire des représentations correctes concernant les

égalités : égalités toujours vraies, qu’on nommera égalités littérales ou identités, égalités

parfois vraies pour lesquelles on se posera généralement la question de déterminer les valeurs

de la lettre qui les rendent vraies et qu’on nommera équations. A ce moment le test d’égalité et

la substitution de la lettre par une valeur numérique trouvent toute leur place. Enfin le

troisième objectif est d’installer les premières bases techniques de ce calcul littéral. Ces

techniques se limiteront essentiellement à développer les produits du type a ( b x ± c ) avec a ;


b et c décimaux positifs et à réduire les sommes du type a x + b x avec a et b décimaux

relatifs. Ces objectifs sont repris et détaillés davantage dans la situation problème 2 qui figure

au 4.2.

D’autres objectifs secondaires, en terme de réinvestissements, y sont également

signalés. Ils concernent les règles du débat, la distributivité de la multiplication sur l’addition,

le statut de nombre pour les quotients et les relatifs ainsi que les opérations sur ces nombres.

C’est donc une véritable synthèse sur la partie numérique du programme de la classe de

cinquième que ce chapitre permet d’effectuer.

Un contexte de travail est privilégié dans cette proposition : il s’agit des programmes

de calcul d’ailleurs déjà rencontrés au chapitre 2 à l’occasion de l’introduction de la lettre.

Bien adapté aux élèves de cet âge qui l’apprécient, il permet de problématiser tous les objets

de savoir visés dans le chapitre en fournissant systématiquement une interprétation susceptible

de faciliter la prise de sens. En effet, toute expression littérale peut être interprétée en terme de

programme de calcul. Dès lors, la substitution, le test d’égalité, les équations, les identités

peuvent elles aussi être traduites dans ce registre des programmes de calcul. Ce contexte en

prise avec des pratiques de l’école primaire contribue également à rassurer les élèves auxquels

il est rapidement familier. Enfin, il est d’une grande souplesse, il n’introduit pas de biais

dommageable dans les conceptions qu’il génère chez les élèves. Ceci pour une raison très

précise : ce contexte appartient au domaine mathématique. On peut ainsi, par exemple,

l’utiliser pour mettre en jeu les nombres négatifs ou les nombres rationnels non décimaux, ce

qui est rarement le cas dans des situations « concrètes ». Il reste évidemment que, comme pour

tout objet destiné à assurer une transition vers un concept nouveau, il faut savoir s’en détacher

dès que possible pour que les élèves s’approprient effectivement le concept visé qui est ici le

calcul littéral. Pour cela d’autres types d’exercices sont proposés en fin de chapitre.

L’ensemble du travail envisagé est long. On trouvera au 4.2. toutes les situations

proposées et dans l’annexe 4 une fiche d’institutionnalisation finale du chapitre. Ces travaux

plaisent aux élèves par leur aspect ludique et à suspense. Puis les exercices de « gammes » leur

apportent une satisfaction liée à leur aspect systématique et simple… pour peu qu’on se soit

approprié auparavant les bases conceptuelles nécessaires. Ce préalable constitue une condition

indispensable pour qu’un travail de « gammes » soit pertinent. Néanmoins l’ampleur du travail

prévu nécessite qu’il soit réparti sur une durée importante, en parallèle avec un autre thème,

plutôt que conduit en un bloc compact.


4. Des situations de classe

4.1. Sit Pb1 : Une activité de première rencontre avec la lettre nombre généralisé

Les deux grands objectifs assignés à cette activité sont :

• Organiser un moment de première rencontre avec la lettre en tant que nombre

généralisé dans lequel le recours à cette lettre apparaisse comme nécessaire

• Introduire le calcul littéral comme un élément indispensable à l’élaboration de

certaines preuves

L’importance de ces objectifs et le saut conceptuel qu’ils imposent par rapport aux

pratiques antérieures des élèves justifient le recours à ce type de dispositif consommateur de

temps : il faut compter environ deux heures (une demi-séance pour chacune des quatre

premières phases décrites ci-dessous) pour mener cette activité à son terme. Mais ce type

d’organisation est le seul capable d’impliquer réellement les élèves dans une recherche et une

réflexion de nature à leur permettre de comprendre la nécessité qu’il y a à construire ces

démarches nouvelles. Une fois cette nécessité perçue par les élèves, l’activité se termine par

un moment magistral au cours duquel le professeur réalise un travail d’un type nouveau, un

calcul littéral, mais avec une forte adhésion de la classe qui se trouve en situation d’attente de

cette solution. L’essentiel n’est pas à ce moment d’inculquer des règles de calcul littéral mais

d’atteindre les deux objectifs affichés précédemment.

L’activité prend place dans le chapitre 2 entre les activités numériques du début du

chapitre et l’institutionnalisation de la distributivité de la multiplication sur l’addition et la

soustraction. Elle fait aussi partie des activités répertoriées dans le chapitre 0 comme

permettant d’introduire les règles du débat mathématique. Les règles du débat 1 et 2

constituent d’ailleurs des préalables indispensables à la mise en place de cette activité. Il est

en effet nécessaire que les élèves aient déjà rencontré les notions de conjecture et preuve

d’une part, les rapports entre preuve, exemples et contre exemples d’autre part.


La question posée aux élèves :

« Fais fonctionner chacun des deux programmes de calcul ci-dessous en choisissant le nombre 1, puis le nombre 2, puis le nombre 3, puis le nombre 4. Observe les résultats obtenus. Quelle propriété générale peut-on conjecturer ? Cette conjecture est-elle fausse ou vraie ? Prouve le.

Programme N°1 Programme N°2 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier ce nombre par lui-même 2 ) Multiplier ce nombre par 0,25 3 ) Ajouter 35 3 ) Ajouter 0,5 4 ) Soustraire le décuple du nombre choisi 4 ) Multiplier par 4 5 ) Multiplier par le nombre choisi au début 5 ) soustraire 2 6 ) Multiplier par le nombre choisi au début 6 ) Fin 7 ) Ajouter 24 8 ) Soustraire le produit de 49 par le nombre choisi au début 9 ) Fin »

Principe : le programme 1 est construit de telle façon que le résultat s’exprime en fonction du

nombre choisi par une fonction polynomiale f de degré 4. Elle est telle que l’équation f(x) = x

a quatre solutions qui sont justement 1 ; 2 ; 3 et 4. Pour le programme 2, la fonction associée

est l’identité ce qui signifie que le résultat est toujours égal au nombre choisi.

La conjecture attendue est donc, pour chaque programme, que le résultat semble être

toujours égal au nombre choisi. Pour le programme 1, la preuve attendue des élèves est qu’ils

exhibent un contre exemple montrant que la conjecture est fausse. Pour le programme 2, la

réponse attendue des élèves est que, en l’état de leurs connaissances actuelles, rien ne permet

de conclure.

Ce constat est essentiel pour légitimer l’intervention du professeur qui apportera les outils

nouveaux indispensables à la conclusion de l’activité.

Phase 1 : appropriation du problème7

Après avoir précisé la signification du mot décuple, le professeur place les élèves en situation

de travail individuel. Il faut que chaque élève s’approprie le sens global du problème et le

fonctionnement de chaque programme de calcul. Si tous les élèves sont normalement capables

d’engager le travail, il n’est pas exclu que quelques uns aient besoin d’une aide ponctuelle

7 Rappelons que pour plus de précisions sur la conduite d’une telle situation problème il faut se référer à l’article d’André Pressiat cité dans les notes du bas de la page 5.


dans la conduite des calculs. Le professeur peut apporter cette aide technique indispensable

pour que l’activité fasse sens par la suite.

Phase 2 : travaux de groupes

Placés par groupes de 3 ou 4, les élèves doivent produire une affiche (feuille de format A3 par

exemple) exposant leur réponse collective au problème posé.

Phase 3 : débat de classe et conclusion provisoire

Les solutions proposées sont débattues sous la conduite du professeur qui organise les

échanges sans perdre de vue les objectifs fixés : invalider la conjecture à propos du

programme 1, faire le constat de l’insuffisance des connaissances actuelles à propos du

programme 2. Cette double conclusion est notée dans les cahiers. La deuxième ne satisfait

évidemment pas les élèves.

Phase 4 : apport du professeur et conclusion définitive

A ce stade, l’attente des élèves, la pression pour aller vers des outils nouveaux sont très fortes

et évidemment très favorables au projet du professeur.

Il peut donc proposer, puisqu’on ne peut pas faire fonctionner le programme pour tous les

nombres qu’on connaît, de faire fonctionner ce programme avec une lettre qui vaudra pour

tous ces nombres. Un seul calcul, mais littéral cette fois, se substituera donc à une infinité de

calculs numériques.

Le programme est conçu pour que ce calcul littéral soit, non pas réalisable par les élèves, mais

compréhensible par eux lorsque le professeur le prend en charge, ce qu’il peut donc faire à ce

moment. La compréhension des calculs présentés par le professeur est facilitée par le travail

effectué auparavant sur les propriétés des opérations.

Ce moment constitue une révélation pour les élèves. Il est sans doute le moment le plus fort

de l’année de cinquième.

Phase 5 : institutionnalisation

On consigne dans le chapitre 0 la règle du débat N°5 :

« 5 ) Démontrer en calcul :

Pour démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les nombres (ou pour beaucoup de

nombres) on peut utiliser une lettre et effectuer un calcul littéral. »


4.2. Dms C1 et Dms C2 : construction de l’addition et de la soustraction des

décimaux relatifs

Ces deux activités participent au premier objectif du chapitre qui est la maîtrise par les

élèves des opérations exigibles du programme sur les nombres décimaux relatifs. Elles

réalisent l’essentiel des deux autres objectifs qui visent à installer la pratique du calcul dans

une démarche rationnelle et à réinvestir et consolider des démarches algébriques déjà

abordées dans le chapitre 2.

Ce sont des situations magistrales. En effet les élèves ne peuvent construire eux-

mêmes de telles démarches. Si le professeur les estime utiles pour leur formation, il est bien

dans l’obligation d’en assumer la présentation. Comme tout dispositif magistral il présente

l’avantage d’être efficace sur le plan horaire : ici deux séances suffisent pour ces deux

démonstrations de cours qui permettent d’installer l’addition, la soustraction mais aussi les

simplifications d’écritures. Il reste évidemment à rajouter le temps consacré à l’indispensable

activité d’introduction sans laquelle la problématique posée dans les deux démonstrations

risque de rester étrangères aux élèves, soit une séance, et le temps investi ensuite dans les

exercices d’application divers et les « gammes ».

Activité d’introduction : le texte pour les élèves 1 ) Trouve dans chaque cas le nombre manquant : a ) 8 � ? = 56 b ) 14 � ? = 196 c ) 17 � ? = 0 d ) 6 � ? = 9 e ) 36 � ? = 45 f ) 6 � ? = 11 g ) 6 � ? = 8 h ) 6 � ? = 6 i ) 6 � ? = 3 j ) 6 � ? = 2 k ) 6 � ? = 1 l ) 6 � ? = 0 m ) 18 + ? = 31 n ) 18 + ? = 100 p ) 18 + ? = 50 q ) 18 + ? = 20 r ) 18 + ? = 18 s ) 18 + ? = 10 t ) 18 + ? = 8 u ) 18 + ? = 0 v ) 143,2 + ? = 0 2 ) Calcule en disposant correctement les lignes intermédiaires : A = 23,7 + 38,8 + 5,4 − 26,8 − 13,7 − 3,4 B = 14,478 + 2,866 − 6,91 + 7,134 − 4,478 Principe : Les douze premières équations de la question 1 ) permettent de réactiver la

définition des quotients vue en sixième. Elles permettent aussi de mesurer l’intérêt qu’il y a à

disposer de démarches systématiques, ce qui est une caractéristique du travail algébrique. Ici


on peut conclure en écrivant que si a et b sont deux nombres (avec a non nul) il existe

toujours un et un seul nombre qui répond à la question : a � ? = b. Ce nombre est b/a.

Evidemment cela donne envie de traiter les neuf équations suivantes sur un mode analogue.

On réinvestit d’abord une connaissance de sixième : les décimaux positifs peuvent être

identifiés avec les décimaux de l’école puis ceci permet d’introduire la problématique

suivante :

« Etendre l’addition connue dans ��(ensemble des décimaux de l’école) à ID (ensemble des

décimaux relatifs) en conservant les propriétés connues (on peut changer l’ordre des termes

et les regrouper comme on veut, rôle du 0) et de telle sorte que l’équation a + ? = b possède

toujours une solution unique qui sera b – a »

Pour les calculs des expressions A et B, il est important d’imposer aux élèves l’épreuve

désagréable qui consiste à calculer, en écrivant les lignes intermédiaires, ces deux

expressions par la seule méthode licite à ce stade, c’est à dire en effectuant les opérations une

à une à partir de la gauche, puisqu’il s’agit ici de chaînes d’additions et de soustractions. Le

retour qui sera fait sur ces deux calculs à la fin du chapitre, où on pourra alors les

interpréter comme des sommes algébriques, sera d’autant plus intéressant que les

simplifications qui apparaîtront seront très importantes.

Construction de l’addition dans ID Cas 1 : (+8) + (+5) = 8 + 5 = 13

On sait donc effectuer l’addition de deux décimaux positifs.

On pose ensuite, en appui sur l’intuition et sur l’activité d’introduction :

« Si a est un nombre positif l’équation a + ? = 0 a une solution et une seule qui est l’opposé

du nombre a » (axiome)

Cas 2 : (+8) + (−5) = ?

(+8) + (−5) = s

(+8) + (−5) + (+5) = s + (+5) (substitution)

(+8) = s + (+5)

8 = s + 5

s = 3

Conclusion : (+8) + (−5) = (+3)


Ou encore : 8 + (−5) = 3 à comparer avec 8 − 3 = 5

Donc 8 + (−5) = 8 − 5

On sait maintenant calculer la somme d’un positif et négatif dans le cas où la distance à zéro

du positif est supérieure à celle du négatif.

Cas 3 : (−8) + (+5) = ?

(−8) + (+5) = s

(−8) + (+5) + (+3) = s + (+3) (substitution)

(−8) + (+8) = s + (+3)

0 = s + (+3)

3 + s = 0

s = (−3)

Conclusion : (−8) + (+5) = (−3) ou encore − 8 + 5 = − 3

On sait maintenant calculer la somme d’un positif et négatif dans le cas où la distance à zéro

du positif est inférieure à celle du négatif.

Cas 4 : (−8) + (−5) = ?

(−8) + (−5) = s

(−8) + (−5) + (+5) = s + (+5)

(−8) + 0 = s + (+5)

(−8) = s + (+5)

(−8) + (+8) = s + (+5) + (+8)

0 = s + (+13)

s + 13 = 0

s = (−13)

Conclusion : (−8) + (−5) = (−13)

On sait maintenant calculer la somme de deux négatifs.

Conclusion finale : on sait effectuer l’addition de deux relatifs dans tous les cas possibles. On

peut donc institutionnaliser les règles ainsi construites.


On formule une règle d’action :

La somme de 2 nombres de même signe a :

- le même signe que ces 2 nombres

- une distance à 0 égale à la somme des distances à 0 de ces 2 nombres

La somme de 2 nombres de signes différents a :

- le même signe que celui des 2 nombres qui a la plus grande distance à 0

- une distance à 0 égale à la différence des distances à 0 de ces 2 nombres

Remarques :

• il resterait mathématiquement à vérifier que l’opération ainsi construite répond bien

aux contraintes posées à priori. Cette vérification est didactiquement difficile à

envisager.

• La construction effectuée dans chaque cas, l’est sur un exemple. Il faut prendre la

précaution de le faire observer aux élèves : ceci n’a pas valeur de preuve générale.

Néanmoins la méthode mise en œuvre a clairement une portée générale : elle

apparaît reproductible pour tout autre exemple qu’on pourrait choisir . D’ailleurs

certains élèves demandent sur chaque cas à en reprendre un individuellement. On

peut évidemment accéder à leur demande, et même la provoquer, ce qui permet de les

associer davantage au travail mais aussi de faire prendre conscience de ce caractère

reproductible de la méthode mise en œuvre.

• Ainsi présentée dans un document, cette démarche peut paraître abrupte, voire

inadaptée aux élèves. L’expérience montre pourtant qu’elle n’intéresse pas moins les

élèves que les situations « concrètes » classiquement utilisées pour effectuer cette

introduction. Par ailleurs, même pour certains élèves n’accédant pas à la

compréhension de toutes les étapes du raisonnement, il reste l’idée que les règles

institutionnalisées ont des raisons d’être ce qu’elles sont et que leur validité a été

démontrée, ce qui est en soi déjà une entrée dans la compréhension du

fonctionnement des mathématiques. De plus, la durée de cette phase magistrale est

courte ce qui limite d’autant le sentiment de difficulté éventuellement apparu chez

certains élèves. Les remarques faites ici valent également pour la construction de la

soustraction proposée dans la suite.


On institutionnalise les connaissances concernant l’opposé :

Définition : l’opposé d’un nombre relatif est le nombre relatif qui la même distance à 0 et un

signe différent.

Propriété : La somme de deux nombres opposés est nulle.

Réciproque : Si la somme de deux nombres est nulle alors ces 2 nombres sont opposés.

Remarque : cette institutionnalisation n’est pas la seule possible. Celle consistant à poser

comme définition : l’opposé d’un nombre a est l’unique nombre qui ajouté à a donne une

somme nulle, est plus conforme au savoir mathématique. Cependant la définition choisie ici

est mieux reliée avec les connaissances antérieures des élèves. Il faut pourtant être conscient

que la portée de cette définition est très faible. Par contre, la caractérisation exprimée ensuite

à l’aide de deux énoncés réciproques l’un de l’autre permettra de travailler comme le

recommandent les programmes et comme les élèves en ont l’habitude sur le raisonnement

géométrique.

Construction de la soustraction dans ID

Si a et b sont 2 nombres relatifs, comment faire pour calculer leur différence a – b ?

Par exemple comment fera-t-on pour calculer ( − 8 ) − (− 5 ) ou ( − 7 ) – ( + 4 ) ? (on peut

consigner les pronostiques émis par les élèves)

Cette nouvelle soustraction devra prolonger celle que nous connaissons déjà sur les

décimaux de l’école. (rappel oral de ce principe de permanence rencontré au préalable sur

l’addition)

Si je nomme d cette différence inconnue (réflexe algébrique à signaler )

a – b = d donc a = b + d par définition de la soustraction

donc a + opp( b ) = b + d + opp( b )

soit a + opp( b ) = d + b + opp( b )

a + opp( b ) = d + 0

a + opp( b ) = d

Conclusion : a – b = a + opp( b )

Pour ajouter un nombre relatif il suffit de soustraire son opposé.

On institutionnalise la règle :

Pour soustraire un nombre on additionne son opposé.


On note aussitôt que la soustraction et la différence sont deux notions sans intérêt en algèbre.

On remarque que pour a = 0 : 0 − b = 0 + opp(b)

Ce qui nous conduit à poser : opp(b) = − b

Ceci permet de simplifier l’écriture du cas 4 de l’addition (qui était le dernier à ne pas l’être) :

(−8) + (−5) = (−8) − (+5) = − 8 − 5

On sait donc désormais simplifier l’écriture des additions et soustractions dans tous les cas.

Retour sur l’activité d’introduction :

1 ) a + ? = b a toujours une solution unique parmi les nombres relatifs. Cette solution est

donnée par b − a qui est une opération toujours possible parmi les nombres relatifs.

2 ) on reprend les calculs déjà faits de A et B dans l’activité d’introduction mais en les

considérant maintenant comme des sommes algébriques de relatifs. Cette reprise permet de

mettre en évidence une fonctionnalité des opérations nouvelles : les calculs sont cette fois

beaucoup plus simples.

4.3. Sit Pb2 :des programmes de calcul pour travailler sur les expressions littérales

Situation 1 :

Programme 1 Programme 2 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Soustraire 6 au nombre choisi 2 ) Multiplier le nombre choisi par 0,4 3 ) Multiplier la différence obtenue par le nombre choisi 3 ) Ajouter 1,8 au produit obtenu 4 ) Ajouter 11 au produit obtenu 4 ) Multiplier la somme obtenue par 5 5 ) Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi 5 ) Soustraire au produit obtenu le double du 6 ) Ajouter 1 au produit obtenu nombre choisi 6 ) Fin 7 ) Fin Faire fonctionner ces 2 programmes avec le nombre 1 puis avec le nombre 2 puis avec le nombre 3. Que constate-t-on ? Que peut-on conjecturer ? Justifier. Objectifs :

• réactiver les règles du débat : raisonnement par contre-exemple sur le programme 1,

généralisation et preuve sur le programme 2 à l’aide de la lettre et d’un calcul littéral ;

• réactiver la distributivité de la multiplication sur l’addition et l’associativité de la

multiplication ;

• confier aux élèves, ce qui n’avait pas été le cas dans la situation problème 1 du

chapitre 2, la responsabilité du recours au calcul littéral et de son traitement.


Situation 2 :

Programme 3 Programme 4 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Calculer le carré du nombre choisi 2 ) Calculer le carré du nombre choisi 3 ) Ajouter 35 au carré obtenu 3 ) Ajouter 5 au carré obtenu 4 ) Multiplier la somme obtenue par le 4 ) Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi carré du nombre choisi 5 ) Multiplier le produit obtenu par 10 5 ) Ajouter 24 au produit obtenu 6 ) Fin 6 ) Fin Faire fonctionner ces 2 programmes avec le nombre 1 puis avec le nombre 2 puis avec le nombre 3. Que constate-t-on ? Que peut-on conjecturer ? Justifier. Programme 5 Programme 6 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier le nombre choisi par 2 2 ) Multiplier le nombre choisi par 3 3 ) Ajouter 3 au produit obtenu 3 ) Ajouter 2 au produit obtenu 4 ) Multiplier la somme obtenue par 5 4 ) Multiplier la somme obtenue par 4 5 ) Ajouter au produit obtenu le double du nombre choisi 5 ) Fin 6 ) Soustraire 7 à la somme obtenue 7 ) Fin Mêmes questions pour ces deux programmes.

Objectifs :

• Pratiquer le calcul littéral

• Introduire la notion d’égalité toujours vraie (identité) interprétée pour cette première

rencontre en terme de programmes équivalents (c’est à dire donnant les mêmes

résultats quelque soit le nombre choisi).

Situation 3 :

Programme 7 Programme 8 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier le nombre choisi par 7 2 ) Ajouter 1 au nombre choisi 3 ) Ajouter 9 au produit obtenu 3 ) Multiplier la somme obtenue par 8 4 ) Fin 4 ) Soustraire 1 au produit obtenu 5 ) Fin Programme 9 Programme 10 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier le nombre choisi par 2 2 ) Ajouter 24 au nombre choisi 3 ) Ajouter 1 au produit obtenu 3 ) Multiplier la somme obtenue par 5 4 ) Multiplier la somme obtenue par 12 4 ) Fin 5 ) Fin Programme 9 1 ) Choisir un nombre 2 ) Ajouter 9 au nombre choisi 3 ) Multiplier la somme obtenue par 10 4 ) Soustraire au produit obtenu le triple du nombre choisi 5 ) Fin Pour chacun de ces 5 programmes il est possible de choisir un nombre de telle façon que le résultat obtenu soit 100. Trouve pour chaque programme quel nombre il faut choisir pour cela.


Objectifs :

• Pratiquer le calcul littéral

• Conforter le statut de nombre pour les relatifs (programme 8) et les quotients

(programmes 7 et 9)

• Réinvestir les calculs sur les relatifs et sur les quotients

• Introduire la notion d’égalité parfois vraie (équation) interprétée pour cette première

rencontre en terme de résultat à atteindre par un programme de calcul. (la résolution

s’effectue en « remontant » le programme)

• Introduire (programme 9) une deuxième fonctionnalité du calcul littéral. Jusqu’ici une

seule fonction du calcul littéral a motivé son introduction : il s’agit de sa fonction

d’outil de preuve. La deuxième, qui apparaît maintenant, est celle d’outil de

résolution : sans le calcul littéral la ligne 4 du programme 9 constitue un obstacle

infranchissable.

Remarques :

• A propos du quatrième objectif : les élèves sont donc capables de résoudre toute

équation du type a x + b = c avec leurs connaissances actuelles qui n’utilisent que des

méthodes arithmétiques (« remonter » un programme de calcul est une compétence

d’école primaire liée au sens des opérations). Il faudra en tenir compte en classe de

quatrième : les équations de ce type ne justifient pas l’introduction d’une méthode

algébrique. Cette méthode nouvelle qui relève du programme de la classe de quatrième

ne pourra être légitimée qu’à partir de la rencontre d’équations du type

a x + b = c x + d.

• A propos du cinquième objectif : la fonction de résolution qui apparaît ici est la

fonction la plus visible affectée au calcul littéral dans les programmes officiels. La

fonction d’outil de preuve est beaucoup moins visible mais c’est celle que la

commission Kahane recommande de valoriser (voir 2.2.). Ces deux fonctions du

calcul littéral sont fortes car dans les deux cas le calcul littéral apparaît comme un outil

indispensable. Une troisième fonction, moins forte, peut être montrée aux élèves : le

calcul littéral permet de simplifier l’étude de certaines situations. Par exemple

lorsqu’une grandeur dépend d’une mesure inconnue et qu’on cherche à calculer cette

grandeur pour différents choix de la mesure inconnue, une expression littérale permet

d’établir l’algorithme de calcul une fois pour toutes et elle permet de plus, en


simplifiant l’expression, de simplifier également les calculs attendus. Ces trois

fonctions sont reprises dans le document d’institutionnalisation finale du chapitre qui

figure dans l’annexe 4.

Situation 4 :

Programme 10 Programme 11 Programme 12 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier ce nombre par 4 2 ) Multiplier ce nombre par 7 2 ) Multiplier ce nombre par 4 3 ) Ajouter 3 au produit obtenu 3 ) Fin 3 ) Ajouter à ce produit le triple 4 ) Fin du nombre choisi 4 ) Fin Ces trois programmes donnent-ils tous le même résultat lorsqu’on choisit un nombre ? Ecris l’expression littérale correspondant à chacun de ces trois programmes. On peut avec ces trois expressions littérales écrire une égalité toujours vraie. Laquelle ? Comment peux-tu la justifier ? On peut avec ces trois expressions littérales écrire deux égalités qui ne seront vraies que pour une valeur bien choisie de la lettre. Ecris ces deux égalités puis trouve cette valeur particulière de la lettre. Programme 13 Programme 14 Programme 15 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 1 ) Choisir un nombre 2 ) Multiplier ce nombre par 4,7 2 ) Multiplier ce nombre par 7,9 2 ) Multiplier ce nombre par 4,7 3 ) Ajouter 3,2 au produit obtenu 3 ) Fin 3 ) Ajouter à ce produit le produit 4 ) Fin du nombre choisi par 3,2 4 ) Fin Mêmes questions que pour les programmes 10 ; 11 et 12.

Objectifs :

• Synthèse sur les réductions d’expressions du type a x + b x (a et b décimaux relatifs).

Irréductibilité des expressions du type a x + b et lutte à ce sujet contre l’obstacle qui

consiste pour les élèves à regarder une telle expression comme un calcul à effectuer et

donc à ne pas l’accepter comme un résultat.

• Introduction des simplifications d’écriture (suppression du signe de multiplication).

Remarques :

• La preuve prévue pour 4 x + 3 x = 7 x repose sur le recours à l’addition réitérée :

4 x + 3 x = (x + x + x + x) + (x + x + x) = x + x + x + x + x + x + x = 7 x

• Pour 4,7 x + 3,2 x = 7,9 x la distributivité est par contre le seul recours disponible.


Situation 6 :

Parmi les égalités suivantes certaines sont toujours vraies, d’autres sont toujours fausses, d’autres sont vraies pour une seule valeur de la lettre. Reconnais pour chacune d’elle à quel cas elle se rattache. Quand l’égalité est vraie pour une seule valeur de la lettre, trouve cette valeur. 7 ( 3 a + 2 ) = 21 a + 2 b × b = 2 b (!) c + 11 = 6 9 d = 12 5 ( 3 e – 2 ) + e = 10 7 f × 3 f = 21 f 3 g – g = 3 7 h – 8 = 1 5 ( 7 i – 3 ) = 35 i – 15 6 j – 2 = 4 j 8 k + k = 9 k 11 m = 6 n ( 3 n – 4 ) = 3 n² - 4 n p + 4,7 = 4 3 = 5 q + 3 – 5 q 2 r² + r = 3

Objectif :

• Synthèse sur égalités toujours vraies, toujours fausses ou parfois vraies.

Remarques :

• Les égalités proposées sont choisies pour permettre aux élèves de les interpréter

facilement en terme de programmes de calcul si ils en éprouvent le besoin. A ce stade,

pour des raisons de commodité et d’efficacité, on pourra prendre l’habitude de

schématiser les programmes de calcul (par exemple le programme associé à

7 ( 3 a + 2 ) pourra être écrit sous la forme :

1 ) a 2 ) × 3 3 ) + 2 4 ) × 7 5 ) fin

• Lorsque l’égalité est vraie pour une seule valeur de la lettre, cette valeur est choisie

pour être accessible aux élèves soit en utilisant une procédure arithmétique

(« remonter » le programme de calcul associé dans le cas d’une équation à second

membre constant) soit par tâtonnement (en s’appuyant sur le test d’égalité pour une

équation à second membre non constant). La seconde égalité est signalée par le

symbole ( !) car il s’agit en fait d’une équation possédant deux solutions.

• Les calculs du type 7 × 3 a ou 7 f × 3 f ou n × 2 n permettent de réinvestir

l’associativité de la multiplication.


Suite et fin du chapitre :

Ce travail étant terminé on peut proposer aux élèves la fiche d’institutionnalisation

finale du chapitre qui figure dans l’annexe 4.

Il reste ensuite à se détacher de ces programmes de calcul, même si leur rôle reste de

fournir un point d’appui lorsque le besoin s’en fait sentir, et à effectuer des « gammes » aussi

complètes que possible. On n’oubliera pas en particulier de familiariser les élèves avec

l’expression « en fonction de » qu’on peut aussi illustrer à l’aide des programmes de calculs

dans lesquels on a déjà pris l’habitude d’exprimer le résultat en fonction du nombre choisi. Un

manuel déjà cité, celui de la collection Triangle des éditions Hatier8, fournit pour cela le

matériel nécessaire. Les neuf activités et les quarante-quatre exercices qu’il offre dans son

chapitre intitulé « initiation au calcul littéral » correspondent exactement au travail envisagé

ici.

8 Voir page 17

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