Algebre III Et IV 2015 - 2016 Cours Chapitre I

7/26/2019 Algebre III Et IV 2015 - 2016 Cours Chapitre I

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Mekki HOUBAD

Reduction des Endomorphismes

Chapitre I dAlgebre III et IV

Ecoles preparatoires en sciences et techniques

Septembre 2015


2/32

cMekki HOUBAD

Departement de Mathematiques

Universite Abou Bekr Belkaid

Tlemnce 13000

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Table des matieres

1 Reduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Determination des valeurs et des vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Determination des valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Determination des vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Applications de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Applications de la trigonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Polynome annulateur et minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1 Polynome annulateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.2 Polynome annulateur - Diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.3 Polynome minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.4 Recherche du polynome minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Reduction en blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1 Sous espaces caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.2 Reduction en blocs triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Decomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 Reduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10 Application de la decomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.1 puissance dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.2 Exponentielle dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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Reduction des endomorphismes

1.1 Position du probleme

Les endomorphismes qui sont des applications lineaires agissent sur un espace vectoriel E et prend ses valeurs

dans le meme espace, peuvent etre completement decrit dans le cas de la dimension finie de lespace E par des

matrices carrees, quon peut les definir par rapport a des bases de lespace en question. En particulier si on a un

endomorphismef dun K - espace vectoriel de dimension finie et si Best une base de lespace en question, on peut

montrer lexistence dune matrice carree dont la taille vaut la dimension de lespace sur lequel lendomorphismeagit et de telle sorte que

MBf. x /

D MB.f / MB. x / ;

tel que MB.f /est la matrice correspondanteafdans la base B, MB. x / respectivement MBf. x /

cest la

matrice colonne formee par les composantes du vecteur x respectivementf. x /dans cette base.

Technique 1

1. On calcule les valeurs def. ei /pouri D 1 n

2. On d ecompose le vecteurf. ei /dans la base f e1 ; ; en g pour avoir lecriture

f. ei / D a1i e1 C C ani en D

n

Xk D 1 aki ek :3. les composantes def. ei /dans la base f e1 ; ; en g qui peuventetre mise sous la forme dun vecteur

colonne 0BBBBBB@

a1i:::

aki:::

ani

1CCCCCCA ;

forme la i eme colonne de la matrice de f, ainsi

M.f /fei g D

0BBB@a11 a12 a1na21 a22 a2n

::::::

: : : :::

an1an2 ann

1CCCA :

Exemple 1 Soit lapplication lineaire de R3 definie par

8 X 2 R3 W f. X / D

0@x C 2 y C zx y

y C z

1A ;

et soit Bla base de R3 definie par

B D

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