ajustements_affines[1]

ajustement affine

Table des matières

1 ajustement par les points extrême 21.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 ajustement par les points moyens 52.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 ajustement par les moindres carrés 93.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 ajustement avec changement de variable 194.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.1.2 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.3 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.4 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 exercices 235.1 exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 corrigé exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4 corrigé exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.5 exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.6 corrigé exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

1 ajustement par les points extrême

1.1 activité

ai = année 1978 1984 1992 1994 2000 2004 2010 ?

xi = année - 1970 8 14 22 24 30 34 ? ?

yi = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8 ? 2

1. Construire le graphique associé à la série (xi ; yi).

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

yi

xi

2. Déterminer l’équation de la droite des points extrêmes (M1M6) où M1 et M6 sont les premiers etderniers points associés du tableau ci dessus. Les coefficients seront donnés à 0,01 près

3. Donner une estimation graphique puis par calcul de la part du logement dans le budget en 2010.les résultats obtenus sont-ils en accord ?

4. Estimer graphiquement puis par calcul, l’année à partir de laquelle la part du logement dans le budgetpassera sous 2%.les résultats obtenus sont-ils en accord ?

5. A partir de quelle année le modèle d’ajustement affine n’est-il manifestement plus valable ?

à retenir :

détermination de l’équation de la droite (AB) avec xA 6= xB

A(xA; yA) et B(xB; yB)

l’équation de la droite (AB) est de la forme�� y = ax+ b

avec :

�

�a =

yB − yA

xB − xAet

�� b = yA − axA

1.2 corrigé activité

ai = année 1978 1984 1992 1994 2000 2004

xi = année - 1970 8 14 22 24 30 34

yi = part du budget consacré au logement (%) 4,4 5,2 4,3 3,2 3,3 2,8

1. graphique associé à la série (xi ; yi).

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50

yi

xi

M1

M6

2. équation de la droite des points extrême (M1M6)

y = ax+ b

a =yM6

− yM1

xM6− xM1

=2, 8 − 4, 4

34 − 8≃ −0, 06 à 0,01 près

yM6= axM6

+ b =⇒ 2, 8 = −0, 06× 34 + b =⇒ b = 2, 8 + 0, 06 × 34 = 4, 84

�� y = −0, 06x+ 4, 84

3. la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée graphiquement à 2,4% (voir tracés)��

��la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,44% à 0,01 près

calculs :x = 2010 − 1970 = 40y = −0, 06× 40 + 4, 84 = 2, 44

les résultats graphiques et algébriques sont en accord.

4. graphiquement, la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de 1970 + 47 = 2017

par calcul,��

��la part du logement dans le budget passera sous les 2% à partir de 1970 + 47 = 2017

calculs :−0, 06 × x+ 4, 84 ≤ 2

⇐⇒ x ≥ 2− 4, 84

−0, 06

⇐⇒ x ≥ 47, 33


5. un pourcentage est positif ou nulle modèle d’ajustement affine n’est plus valable dès que : −0, 06 × x+ 4, 84 ≤ 0

c’est à dire pour : x ≥ −4, 84

−0, 06≃ 80, 66 soit : 1970 + 81 = 2051

1.3 à retenir

détermination de l’équation de la droite (AB) avec xA 6= xB

A(xA; yA) et B(xB; yB)

l’équation de la droite (AB) est de la forme�� y = ax+ b

avec :

�

�a =

yB − yA

xB − xAet

�� b = yA − axA

2 ajustement par les points moyens

2.1 activité

énoncé :

ai = année 1978 1984 1992 1994 2000 2004

xi = année - 1970 8 14 22 24 30 34


1. compléter la légende du graphique associé à la série (xi ; yi).

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

yi

xi

2. Calcul des coordonnées des points moyens à 0,01 près.

a. calculer les coordonnées du point moyen G( x ; y) de l’ensemble des 6 points et placer G

b. coordonnées du point moyen G1 ( x1 ; y1) de l’ensemble des 3 premiers points puis placer G1.

c. coordonnées du point moyen G2 ( x2 ; y2) de l’ensemble des 3 derniers points puis placer G2.

3. Déterminer une équation de la droite des points points moyens (G1G2) à 0,1 près.

4. Grâce à cette droite, estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget2010.y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement ?

5. Estimer de même graphiquement et algébriquement l’année pour laquelle la part du logement dans lebudget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement ?

6. A partir de quelle année le modèle d’ajustement affine n’est-il manifestement plus valable ?

à retenir

le point moyen G d’un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnéesdes points de cet ensemble.

L’ ensemble des p points M1(x1; y1),M2(x2; y2), ...,Mp(xp; yp) a pour point moyen G( x ; y)avec :�

�x =

x1 + x2 + ...+ xp

pet

�

�y =

y1 + y2 + ...+ yp

p


ai = année 1978 1984 1992 1994 2000 2004

xi = année - 1970 8 14 22 24 30 34



0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50

yi

xi

M1

M6

G

G1

G2

2. coordonnées de points moyens

a. coordonnées du point moyen G( x ; y) de l’ensemble des 6 points

x =8 + 14 + 22 + 24 + 30 + 34

6= 22

y =4, 4 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 2 + 3, 3 + 2, 8

6=

23, 2

6≃ 3, 87 à 0,01 près

donc��

��G(22; 3, 87)

b. coordonnées du point moyen G1 ( x1 ; y1) de l’ensemble des 3 premiers points

x1 =8 + 14 + 22

3=

44

3≃ 14, 67

y1 =4, 4 + 5, 2 + 4, 3

3=

13, 9

3≃ 4, 63 à 0,01 près

donc��

��G1(14, 67 ; 4, 63)

c. coordonnées du point moyen G2 ( x2 ; y2) de l’ensemble des 3 derniers points

de même on trouve��

��G2(29, 33 ; 3, 1)

3. équation de la droite des points points moyens (G1G2)

y = ax+ b

a =yG2

− yG1

xG2− xG1

≃ 3, 1 − 4, 63

29, 33 − 14, 67≃ −0, 1 à 0,01 près

yG2= axG2

+ b =⇒ 4, 63 = −0, 1× 14, 67 + b =⇒ b = 4, 63 + 0, 1× 14, 67 = 6, 1�� y = −0, 1x+ 6, 1

4. la part du logement dans le budget 2010 est estimée graphiquement à 2,1%��

��la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,1% car :

x = 2010 − 1970 = 40y = −0, 1× 40 + 6, 1 = 2, 1il y a bien cohérence pour les résultats trouvés.


par calcul,��


calculs :−0, 1 × x+ 6, 1 ≤ 2

⇐⇒ x ≥ 2− 6, 1

−0, 1

⇐⇒ x ≥ 41les résultats graphiques et algébriques sont en accord.

2.3 à retenir

le point moyen G d’un ensemble de points, a pour coordonnées la moyenne des coordonnéesdes points de cet ensemble.

L’ ensemble des p points M1(x1; y1),M2(x2; y2), ...,Mp(xp; yp) a pour point moyen G( x ; y)avec :�

�x =

x1 + x2 + ...+ xp

pet

�

�y =

y1 + y2 + ...+ yp

p

3 ajustement par les moindres carrés

3.1 activité

ai = année 1978 1984 1992 1994 2000 2004

xi = année - 1970 8 14 22 24 30 34


1. compléter la légende du graphique associé à la série (xi ; yi).

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

yi

xi

2. Déterminer l’équation de la droite de régression (des moindres carrés) (AB) grâce à la calculatrice à0,01 près.

3. Construire la droite (AB) dans le repère précédent en précisant les points A et B utilisés.

4. Estimer graphiquement et algébriquement la part du logement dans le budget 2010. y a t-il cohérenceentre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement ?

5. Estimer de même, graphiquement et algébriquement l’année pour laquelle la part du logement dans lebudget passera sous 2%. y a t-il cohérence entre les résultats trouvés graphiquement et algébriquement ?

6. Estimer l’année de fin de validité du modèle

à retenir

pour l’ ensemble des n points M1(x1; y1),M2(x2; y2), ...,Mn(xn; yn)il existe une unique droite d’ajustement affine qui minimise la somme des carrés des résidus��

��S = M1P

21+M2P

22+ ...+MnP

2n

où Pi est le projeté de Mi sur la droite d’ajustement parallèlement à l’axe (Oy)

cette droite est appelée la droite de régression linéaire de y en x ou droite des moindres carrés

l’équation de cette droite est donnée par les calculatrices scientifiques ou encore par :�� y = ax+ b

avec

�

�

�

�a =

1

n

i=n∑

i=1

xiyi − x y

1

n

i=n∑

i=1

x2i − x2et

�� b = y − ax


ai = année 1978 1984 1992 1994 2000 2004

xi = année - 1970 8 14 22 24 30 34



0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50

yi

xi

A

B

2. équation de la droite des moindres carrés (AB)y = ax+ b

la calculatrice donne : a ≃ −0, 08 et b ≃ 5, 58 à 0,01 près�� y = −0, 08x+ 5, 58

3. construction de la droite (AB)y = −0, 08x+ 5, 58

par exemple A(0;−0, 08 × 0 + 5, 58 = 5, 58) et B(40;−0, 08 × 40 + 5, 58 = 2, 38)

soit :

point A B

x 0 40

y 5,58 2,38

4. la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée graphiquement à 2,3%��

��la part du logement dans le budget 2010 est ainsi estimée par calcul à 2,38% :

calculs :x = 2010 − 1970 = 40y = −0, 08× 40 + 5, 58 = 2, 38


par calcul,��


calculs :−0, 08 × x+ 5, 58 ≤ 2

⇐⇒ x ≥ 2− 5, 58

−0, 08

⇐⇒ x ≥ 44, 75


remarque :

pour un même tableau de données

ai = année 1978 1984 1992 1994 2000 2004

xi = année - 1970 8 14 22 24 30 34


selon la droite utilisée :

droite des points extrêmedroite de points moyensdroite des moindres carrés

on obtient des prévisions différentes

droite points extrême points moyens moindres carrés

part du logement dans le budget 2010 2,44% 2,1% 2,38%

année pour passer sous les 2% 2017 2011 2014

quelle est la prévision la plus acceptable ? selon quel critère ?

activité 2 ( moindres carrés et résidus )

Enoncé

Soient trois points : M1(0; 0), M2(0, 5; 0, 8), M3(1; 1).

Mi M1 M2 M3

xi 0 0,5 1

yi 0 0,8 1

cherchons la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés parmi :_ droite des points extrême_ droite des points moyens_ droite de régression donnée par la calculatrice.

1. Construire les 3 points dans trois repères différents.Déterminer pour le premier repère, l’équation de la droite (M1M3) et construire cette droite.Déterminer pour le second repère, l’équation de la droite (G1G2) et construire cette droite.

( G1 est le point moyen de M1 et M2, G2 est le point moyen de M2 et M3 )

Déterminer pour le troisième repère, l’équation de la droite de régression (D) donnée par la calculatriceet construire (D)

points extrême points moyens régressiondroite (M1M3) droite (G1G2) droite (D)

avec avec avecM1(0; 0), M3(1; 1) G1(0, 25; 0, 4), G2(0, 75; 0, 9) M1(0; 0), M2(0, 5; 0, 8), M3(1; 1)

le calcul de a et b donne le calcul de a et b donne la calculatrice donne

yi

xi

1

1

yi

xi

1

1

yi

xi

1

1

2. Représenter graphiquent les résidus sachant que :

les longueurs M1P1, M2P2, et M3P3 sont appelées les RESIDUS de l’ajustement où, P1, P2, P3 sontles projetés respectifs de M1, M2, M3 sur la droite d’ajustement parallèlement à (Oy) .

On cherche, parmi les trois droites ci dessus, celle qui minimise la somme des carrés des résidusS = M1P

2

1+M2P

2

2+M3P

2

3

3. Calculer S pour les trois droites et déterminer la droite des moindres carrés à partir du tableausuivant.

droites carrés des résidus M1(0, 0) M2(0, 5; 0, 8) M3(1; 1)∑

(M1M3) [yi − xi]2 0 0

(G1G2) [yi − (xi + 0, 15)]2 0,0225 0,1675

(D) [yi − (xi + 0, 1)]2

activité 2 ( moindres carrés et résidus )

Corrigé

Soient trois points : M1(0; 0), M2(0, 5; 0, 8), M3(1; 1).

Mi M1 M2 M3

xi 0 0,5 1

yi 0 0,8 1

cherchons la droite qui passe au plus près des points au sens des moindres carrés parmi :_ droite des points extrême_ droite des points moyens_ droite de régression donnée par la calculatrice.

1. détermination des équations des trois droites et représentation graphique des points et des droites.

points extrême points moyens régression

droite (M1M3) droite (G1G2) droite (D)avec avec avec

M1(0; 0), M3(1; 1) G1(0, 25; 0, 4), G2(0, 75; 0, 9) M1(0; 0), M2(0, 5; 0, 8), M3(1; 1)le calcul de a et b donne le calcul de a et b donne la calculatrice donne

y = 1x+ 0 y = 1x+ 0, 15 y = 1x+ 0, 1

yi

xi

1

1M1

M2(x2; y2)

M3

P3

P2(x2; ax2 + b)

P1

y2

ax2 + b

x2

M2P2 = y2 − (ax2 + b)

yi

xi

1

1

M1

M2

M3

P3

P2

P1

yi

xi

1

1

M1

M2

M3

P3

P2

P1

2. représentation graphique des résidus :

les longueurs M1P1, M2P2, et M3P3 sont appelées les RESIDUS de l’ajustement où, P1, P2, P3 sontles projetés respectifs de M1, M2, M3 sur la droite d’ajustement parallèlement à (Oy) .

on cherche, parmi les trois droites ci dessus, celle qui minimise la somme des carrés des résidusS = M1P

21+M2P

22+M3P

23

3. calcul de S pour les trois droites et détermination de la droite des moindres carrés.

droites carrés des résidus M1(0, 0) M2(0, 5; 0, 8) M3(1; 1)∑

(M1M3) [yi − xi]2 0 0,09 0 0,09

(G1G2) [yi − (xi + 0, 15)]2 0,0225 0,0225 0,1225 0,1675

(D) [yi − (xi + 0, 1)]2 0,01 0,04 0,01 0,06

on constate que la droite de régression (D) donnée par la calculatrice est celle qui dans ce cas minimisela somme des carrés des résidus ( 0,06 < 0,09 < 0,1675 )c’est cette droite (D) qui réalise le meilleur ajustement de y en x au sens des moindres carrés.

3.3 à retenir

pour l’ ensemble des n points M1(x1; y1),M2(x2; y2), ...,Mn(xn; yn)

il existe une unique droite d’ajustement affine qui minimise la somme des carrés des résidus

��

��S = M1P

21+M2P

22+ ...+MnP

2n

où Pi est le projeté de Mi sur la droite d’ajustement parallèlement à l’axe (Oy)

cette droite est appelée la droite de régression linéaire de y en x ou droite des moindres carrés

l’équation de cette droite est donnée par les calculatrices scientifiques ou encore par :�� y = ax+ b

avec

�

�

�

�a =

1

n

i=n∑

i=1

xiyi − x y

1

n

i=n∑

i=1

x2i − x2et

�� b = y − ax

3.4 exercices

exercice 1 ( utilisation de la calculatrice pour la droite de régression )

Enoncé : (38p55)

ai = année 1975 1980 1985 1990 1995 2000

xi = année - 1975 0 5 10 15 20 25

yi = taux d’activité des femmes de 30 à 54 ans (%) 55,7 62,1 67,7 71,7 77 78,9

1. Construire le graphique associé à la série (xi ; yi) dans un repère d’origine O′(0; 55) avec 1cm pour 2en abscisses et 1cm pour 2% en ordonnées puis justifier si on peut envisager un ajustement affine.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G de l’ensemble des points et représenter G sur le graphique.

3. Déterminer à la calculatrice l’équation de la droite des moindres carrés (AB) puis construire cettedroite sur le graphique en précisant les points utilisés.

4. Estimer le taux d’activité des femmes de 30-54 ans en 2010 puis en 2020.Justifier si l’ajustement affine reste approprié pour toutes les années ultérieures à 2020 ?

Corrigé : (38p55)

ai = année 1975 1980 1985 1990 1995 2000

xi = année - 1975 0 5 10 15 20 25

yi = taux d’activité des femmes de 30 à 54 ans (%) 55,7 62,1 67,7 71,7 77 78,9


55

57

59

61

63

65

67

69

71

73

75

77

79

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

yi

xi

G

A

B

on peut envisager un ajustement affine car les points sont relativement alignés

2. coordonnées du point moyen G et représentation graphique :

la calculatrice donne G(12, 5; 68, 85) ( voir graphique pour la représentation )

3. équation de la droite des moindres carrés (AB) ( voir graphique pour la représentation )

la calculatrice donne : a ≃ 0, 941 et b ≃ 57, 086 à 0,001 près donc y = 0, 941x + 57, 086

construction de la droite (AB) :par exemple A(0; 0, 941 × 0 + 57, 086 = 57, 086) et B(20; 0, 941 × 20 + 57, 086 ≃ 75, 906)

4. le taux d’activité des femmes de 30-54 ans est ainsi estimée à 90% en 2010 car :x = 2010 − 1975 = 35y = 0, 941 × 35 + 57, 086 ≃ 90

le taux d’activité des femmes de 30-54 ans est ainsi estimée à 99,4% en 2020 car :x = 2020 − 1975 = 45y = 0, 941 × 45 + 57, 086 ≃ 99, 4

l’ajustement affine n’est plus approprié passé une certaine date car le taux dépasseraît 100%, ce quiest absurde

exercice 2 ( 29p52 ) ( utilisation de la calculatrice pour la droite de régression )

Enoncé

xi = année 1970 1980 1995 2003

yi = nombre d’écoles en milliers 74,5 67,6 61,8 57,1

1.a. Construire le graphique associé à la série (xi ; yi) avec pour origine O′(1970; 50), 2cm pour 5 ans enabscisses et 2cm pour 5 milliers en ordonnées.

1.b. Peut-on envisager un ajustement affine ? justifier.

2. Déterminer l’équation de la droite des moindres carrés (AB) puis construire cette droite dans le repère.Peut-on placer b dans ce repère ? justifier.

3. Estimer le nombre d’écoles en 2005 puis en 2020.

4. En quelle année le nombre d’écoles passe t-il en dessous de 45 milliers ?

Corrigé

xi = année 1970 1980 1995 2003

yi = nombre d’écoles en milliers 74,5 67,6 61,8 57,1

1.a. graphique associé à la série (xi ; yi).

50

55

60

65

70

75

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

yi

xi

A

B

1.b on peut envisager un ajustement affine car les points sont relativement alignés

2. équation de la droite des moindres carrés (AB) ( voir graphique pour la représentation )

la calculatrice donne : a ≃ −0.504 à 0,001 près et b ≃ 1066, 9 à 0,1 prèsdonc y = −0.504x + 1066, 9

construction de la droite (AB) :par exemple A(1970;−0.504 × 1970 + 1066, 9 = 74, 02) et B(2000;−0.504 × 2000 + 1066, 9 = 58, 9)On ne peut pas placer b car le point de coordonnées (0 ; 1066,9) est en dehors de ce graphique

3. le nombre d’écoles en 2005 est estimé à 56,38 milliers car :x = 2005y = −0.504 × 2005 + 1066, 9 = 56, 38

le nombre d’écoles en 2020 est estimé à 48,82 milliers car :y = −0.504 × 2020 + 1066, 9 = 48, 82

4. le nombre d’écoles passe en dessous de 45 milliers pendant l’année 2027 car :

45 = −0.504x + 1066, 9 ⇐⇒ x =45 − 1066, 9

−0, 504≃ 2027

4 ajustement avec changement de variable

4.1 activités

4.1.1 activité 1

xi = vitesse en km/h 0 30 60 90 120 140

di = distance de freinage en m 0 18 58 120 212 285

1. Graphique associé à la série (xi ; di).

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

di

xi

2. Pourquoi la forme du nuage de point ne permet-elle pas d’envisager un ajustement affine ?les points ne sont pas relativement alignés selon une droite.

3. On procède à un changement de variable, soit : yi =√di

a. Compléter le tableau de valeurs ci dessous à 0,1 près

xi = vitesse en km/h 0 30 60 90 120 140


yi =√di

b. Déterminer l’équation de la droite de régression de y en fonction de x à 0,01 près

c. Estimer par calcul la distance de freinage pour une vitesse de 50 km/h et vérifierla cohérence sur le graphique.

d. Estimer par calcul la vitesse qui correspond à une distance de 150 mètresvérifier la cohérence sur le graphique.

e. Déduire de b. l’expression de d en fonction de x ( d(x) = ...)compléter le tableau suivant à 1m prèsxi = vitesse en km/h 0 30 60 90 120 140


d(xi)

La formule trouvée pour d(x) est-elle une relativement bonne approximation à de la distance réellede freinage ?

4.1.2 corrigé activité 1

xi = vitesse en km/h 0 30 60 90 120 140


1. Graphique associé à la série (xi ; di).

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

di

xi

A

B

2. Pourquoi la forme du nuage de point ne permet-elle pas d’envisager un ajustement affine ?Parce que les points ne sont pas relativement alignés selon une droite.

3. On procède à un changement de variable, soit : yi =√di

a. Compléter le tableau de valeurs ci dessous à 0,1 près

xi = vitesse en km/h 0 30 60 90 120 140


yi =√di 0 4,2 7,6 11 14,6 16,9

b. Equation de la droite de régression de y en fonction de x à 0,01 près la calculatrice donne y =0, 12x + 0, 31

c. la distance de freinage pour une vitesse de 50 km/h est de 39,8 m à 1m près carx = 50y = 0,12×50 + 0,31 ≃ 6,31√d = 6,31

d = 6, 312 ≃ 39,8 mle point A(50 ;39,8) obtenu sur le graphique est cohérent avec l’allure du nuage

d. la vitesse qui correspond à une distance de 150 mètres est de 99 km/h à 1km/h près card =150y =

√d =

√150√

150 = 0, 12x + 0, 31

x =

√150 − 0, 31

0, 12≃ 99 à 1 près

le point B(99 ;150) obtenu sur le graphique est cohérent avec l’allure du nuage

e. On déduit de b. que d(x) = (0, 12x + 0, 31)2 car√d = 0, 12x + 0, 31 donc d(x) = (0, 12x + 0, 31)2 d’ou le tableau suivant à 1m près

xi = vitesse en km/h 0 30 60 90 120 140


d(xi) = (0, 12xi + 0, 31)2 0 15 56 123 216 293

On constate que la formule trouvée pour d(x) est une relativement bonne approximation à de ladistance réelle de freinage

4.1.3 activité 2

xi = prix au kg en euros 10 11,5 12 13 13,7 15 16,5 18,8 20

yi = quantité demandée en centaines de tonnes 4,7 4,1 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4

1.a. Construire le graphique associé à la série (xi ; yi) avec 1cm pour 1 euro en abscisses et 2cm pour 100tonnes en ordonnées.Un ajustement affine est-il justifié ?

1.b. Donner l’équation de la droite de régression de y en x à 0,01 près grâce à la calculatriceConstruction cette droite (AB) sur le graphique en présisant les points utilisés.

Calculer la quantité demandée pour un prix de 24,5 euros.

2. On procède à un changement de variable, soit : z =100

y

a. Construire un tableau de tableau pour z à 0,1 près.

b. Déterminer la droite de régression de z en fonction de x à l’unité près

c. En déduire la formule de la fonction f qui au prix x associe la quantité demandée y = f(x).Montrer que f(24, 5) = 2

3. Pour un prix de 24,5 euros, on sait que la demande est de 210 tonnes.Quel ajustement est le plus judicieux ? le premier ou le second ? justifier.

4.1.4 corrigé activité 2

xi = prix au kg en euros 10 11,5 12 13 13,7 15 16,5 18,8 20

yi = quantité demandée en centaines de tonnes 4,7 4,1 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4

1.a. Graphique associé à la série (xi ; yi).

0

1

2

3

4

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

yi

xi

A

B

Les points sont relativement alignés selon une droite, donc un ajustement affine est justifié.

1.b. La calculatrice donne l’équation de la droite de régression de y en x suivante : y = −0, 22x+ 6, 63Construction de la droite △ = (AB) :par exemple A(11;−0, 22 × 11 + 6, 63 = 4, 21) et B(20;−0, 22 × 20 + 6, 63 = 2, 23)

La quantité demandée pour un prix de 24,5 euros est alors estimée à 124 centaines car :−0.22 × 24, 5 + 6, 63 ≃ 1, 24

2. On procède à un changement de variable, soit : z =100

y

a. Nous obtenons le tableau de valeurs ci dessous à 0,1 près

xi 10 11,5 12 13 13,7 15 16,5 18,8 20

yi 4,7 4,1 4 3,7 3,5 3,2 2,9 2,6 2,4

zi =100

yi21,3 24,4 25 27 28,6 31,3 34,5 38,5 41,7

b. Pour la droite de régression de z en fonction de x à l’unité près la calculatrice donne : z = 2x+ 1

c. La fonction f qui au prix x associe la quantité demandée y est donc f(x) =100

2x+ 1car :

z = 2x+ 1 et z =100

y⇐⇒ 2x+ 1 =

100

y⇐⇒ y =

100

2x+ 1⇐⇒ f(x) =

100

2x+ 1

On a alors f(24, 5) =100

2× 24, 5 + 1= 2

3. Pour un prix de 24,5 euros, l’ajustement le plus judicieux est le second car :Le second donne une estimation de 200 centaines contre 127 centaines pour le premier( 210 est plus proche de 200 que de 127 )

5 exercices

5.1 exercice 1

Exercice 1 : ( ajustement par les moindres carrés et validité )

Le tableau ci-dessous donne le taux d’équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d’une certainerégion française de 1980 à 2000 tous les quatre ans.Dans ce tableau, xi représente l’expression : ai−1980

4.

Année ai 1980 1984 1988 1992 1996 2000

Rang xi de l’année 0 1 2 3 4 5

Taux yi en % 2 4 12 25 39 44

Par exemple, 2 % des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 1980.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (units graphiques : 2 cm par rang d’année sur l’axe des abscisseset 1 cm pour 10 % sur l’axe des ordonnées).

1. Représenter le nuage de points correspondant la série statistique (xi ; yi).

2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique

3. Dans la question a., aucun détail des calculs n’est demandé, les résultats pourront être obtenus à l’aidede la calculatrice ; ils seront arrondis à 10−2.

(a) Donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode desmoindres carrés.

(b) Représenter cette droite sur le graphique précédent en donnant les coordonnées de deux points

(c) On suppose que le modèle obtenu à la question 3.a. resta valable pour les années suivantes.

i. déterminer, par le calcul, le taux d’équipement en 2011 à 1% près

ii. déterminer, par le calcul, en quelle année le taux d’équipement dépassera 95%

iii. à partir de quelle année cet ajustement n’est-il plus valable ? justifier pourquoi

5.2 corrigé exercice 1

Corrigé exercice 1 : ( ajustement par les moindres carrés et validité )

Le tableau ci-dessous donne le taux d’équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) d’une certainerégion française de 1980 à 2000 tous les quatre ans.Dans ce tableau, xi représente l’expression : ai−1980

4.

Année ai 1980 1984 1988 1992 1996 2000

Rang xi de l’année 0 1 2 3 4 5

Taux yi en % 2 4 12 25 39 44

Par exemple, 2 % des couples avec enfant(s) de cette région possède un magnétoscope en 1980.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (units graphiques : 2 cm par rang d’année sur l’axe des abscisseset 1 cm pour 10 % sur l’axe des ordonnées).

1. graphique

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4

yi

xi

G

A

B

2. G( x ; y) le point moyen de l’ensemble des 6 points

x =0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

6= 2, 5

y =2 + 4 + 12 + 25 + 39 + 45

6=

126

6= 21

donc��

��G(2, 5; 21)

3. Dans la question a., aucun détail des calculs n’est demandé, les résultats pourront être obtenus à l’aidede la calculatrice ; ils seront arrondis à 10−2.

(a) la calculatrice donne�� y = 9, 37x − 2, 43 à 10−2

(b)

point A B

x 0 5

y -2,43 44,42

(c) On suppose que le modèle obtenu à la question 3.a. resta valable pour les années suivantes.

i. en 2011 à 1% près : x =2011 − 1980

4= 7, 75 donc y = 9, 37 × 7, 75 − 2, 43 ≃

�� 70% en 2011

ii. dépassement de 95% :

9, 37x− 2, 43 ≥ 95 ⇐⇒ x ≥ 95 + 2, 43

9, 37⇐⇒ x ≥ 10, 39

donc 10, 39 × 4 + 1980 = 2021, 56 soit pendant l’année�� 2021

iii. l’ajustement n’est plus valable dès que le pourcentage dépasse 100 % :

9, 37x − 2, 43 > 100 ⇐⇒ x >100 + 2, 43

9, 37⇐⇒ x > 10, 93 donc 10, 93 × 4 + 1980 = 2023, 72

soit pendant l’année�� 2023

5.3 exercice 2

Exercice 2 : (Ajustement Affine avec changement de variables et étude de fonction)

Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts àacheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Prix maximal xi en euros 5 10 15 20 25 30

Pourcentage yi d’acheteurs potentiels 84 58 30 19 7 4

On voit dans ce tableau, par exemple, que 58% des clients de ce négociant sont prêts à payer jusqu’à 10euros une bouteille de vin.

1. représenter le nuage de points correspondant à la série statistique (xi; yi) dans un repère orthogonaldu plan ( unités : 2cm pour 5 euros en abscisses et 1cm pour 10 % en ordonnées)

2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique

3. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de y en fonction de x sous la formey = ax+ b où a et b sont arrondis à 10−2 près.

4. Représenter cette droite sur le graphique précédent en donnant les coordonnées de deux points

5. Chez ce négociant, le prix moyen d’une bouteille est de 13 e . En utilisant l’ajustement précédent,calculer le pourcentage des clients prêts à acheter une bouteille à ce prix. On arrondira le résultat àl’entier le plus proche

6. On considère que la recette relative des ventes égale au produit du prix maximal par le pourcentaged’acheteurs.

a. montrer que cette recette est donnée en fonction de x par R(x) = −3, 22x2 + 90, 07x

b. déterminer par une étude de variations, le prix qui rend maximale cette recette relative à 1 e près



Un négociant en vins a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts àacheter une bouteille de vin. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Prix maximal xi en euros 5 10 15 20 25 30

Pourcentage yi d’acheteurs potentiels 84 58 30 19 7 4

On voit dans ce tableau, par exemple, que 58% des clients de ce négociant sont prêts à payer jusqu’à 10euros une bouteille de vin.

1. graphique

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20 25

yi

xi

G

A

B

2. G( x ; y) le point moyen de l’ensemble des 6 points

x =5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30

6= 17, 5

y =84 + 58 + 30 + 19 + 7 + 4

6=

126

6≃ 33, 7

donc��

��G(17, 5; 33, 6

3. la calculatrice donne�� y = −3, 22x+ 90, 07 à 10−2

4.

point A B

x 0 30

y 90,07 -6,53

5. pour x = 13 à 1% près : y = −3, 22× 13 + 90, 07 ≃�� 48%

6. On considère que la recette relative des ventes égale au produit du prix maximal par le pourcentaged’acheteurs.

a. R(x) = x× (−3, 22x + 90, 07) =��

��−3, 22x2 + 90, 07x

b. déterminer par une étude de variations, le prix qui rend maximale cette recette relative à 1 e près

•��

��R′(x) = −6, 44x + 90, 07

• Annulation de R′(x) : −6, 44x+ 90, 07 ⇐⇒ x =−90, 07

−6, 44≃

�� 14

• variations de R et signe de R′(x) : on utilise la règle du signe du binôme ax+ b

(signe de "a" à droite et de −a à gauche)

x 0 ≃ 14 +∞R′(x) + 0 - (a = −6, 44)

≃ 630R(x) ր ց

i. la recette maximale est�� ≃ 630e et

�� il faut fixer le prix à ≃ 14e pour maximiser la recette

5.5 exercice 3


Un artiste a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter uncertain modèle d’une de ses créations . Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Prix maximal xi en euros 5 10 15 20 25

Nombre yi d’acheteurs potentiels 626 401 224 101 24

On voit dans ce tableau, par exemple, que 401 des clients sont prêts à payer jusqu’a 10 euros la création enquestion.

1. On considère que le nuage de points représenté dans un repère suggère de faire le changement devariable suivant : z =

√y

a. Compléter le tableau de valeurs suivant à 0,1 près.

xi 5 10 15 20 25

yi 626 401 224 101 24

zi 25

b. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de z en fonction de x sous laforme z = ax+ b où a et b sont arrondis à l’unité près.

c. Déduire du b. le nombre de clients prêts à acheter la création jusqu’a 28 euros.

d. Déduire des questions précédentes que y est donné en fonction de x par y = (30 − x)2 et vérifierque pour un prix de 5 euros, le nombre d’acheteurs potentiels est cohérent avec l’effectif du tableauci dessus.

2. On considère dans cette question que le nombre d’acheteurs potentiels correspondant à un prix de x

euros est donné par n(x) = (30− x)2

a. Montrer que la recette des ventes est donnée en fonction de x par f(x) = x3 − 60x2 + 900x(Rappel : recette = nombre de ventes × prix de vente)

b. Etudier les variations de f pour x ∈ [ 0 ; 30 ] après avoir montré que f ′(x) = −3(x− 10)(30− x)

c. Quel doit être le prix de vente pour que la recette soit maximale et quelle est cette recettemaximale ?



Un artiste a fait mener une étude visant à déterminer quel prix maximal ses clients sont prêts à acheter uncertain modèle d’une de ses créations . Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Prix maximal xi en euros 5 10 15 20 25

Nombre yi d’acheteurs potentiels 626 401 224 101 24

On voit dans ce tableau, par exemple, que 401 des clients sont prêts à payer jusqu’a 10 euros la création enquestion.

1. On considère que le nuage de point représenté dans un repère suggère de faire le changement de variablesuivant : z =

√y

a. Complétons le tableau de valeurs suivant à 0,1 près.

xi 5 10 15 20 25

yi 626 401 224 101 24

zi 25 20 15 10,1 4,9

b. Déterminons à la calculatrice une équation de la droite de régression de z en fonction de x sousla forme z = ax+ b où a et b sont arrondis à l’unité près :

�� z = −x+ 30

c. On déduit du b. le nombre de clients prêts à acheter une bouteille jusqu’a 28 euros ainsi :x = 28 =⇒ z = −28 + 30 = 2 =⇒ √

y = 2 =⇒ y = 22 = 4 donc�� 4 clients .

d. On déduit des questions précédentes que y est donné en fonction de x par y = (30 − x)2 ainsi :

z = −x+ 30 =⇒ √y = −x+ 30 =⇒ y = (−x+ 30)2 =

��

��y = (30 − x)2

On vérifie que pour un prix de 5 euros, le nombre d’acheteurs potentiels est :y = (30− 5)2 = 252 =

�� 625 ce qui est cohérent avec l’effectif 626 du tableau ci dessus.

2. On considère dans cette question que le nombre d’acheteurs potentiels correspondant à un prix de x

euros est donné par n(x) = (30− x)2

a. Montrons que la recette des ventes est donnée en fonction de x par f(x) = x3 − 60x2 + 900x

En effet :�� recette = nombre de ventes × prix de vente

Donc : f(x) = (30−x)2×x = (302−2×30×x+x2)×x = (900−60x+x2)×x =��

��x3 − 60x2 + 900x

b. Etudions les variations de f pour x ∈ [ 0 ; 30 ]��

��f ′(x) = 3x2 − 120x + 900

en développant :−3(x− 10)(30− x) = (−3x+ 30)(30− x) = −90x+ 3x2 + 900− 30x = 3x2 − 120x+ 900 = f ′(x)

donc��

��f ′(x) = −3(x− 10)(30 − x)

x 0 10 30

−3 - | - |

x− 10 - 0 + |

30− x + | + 0

f ′(x) + 0 - 0

4000f(x) ր ց

0 0

f(0) = 03 − 60× 02 + 900 × 0

c. Le prix de vente est donc de�� 10 euros pour que la recette soit maximale et cette recette maximale

est de�� 4000 euros

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