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CSMA 201311e Colloque National en Calcul des Structures

13-17 Mai 2013

1

Modlisation dun assemblage multi-matriaux par un lment

quivalent

Orwa OMRAN1*, Viet-Dung NGUYEN1, Haidar JAFFAL2, Patrick MARCHAND2, PatriceCOOREVITS1

1Universit de Picardie Jules Verne, Eco-PRocds, Optimisation et Aide la Dcision, (EPROAD EA 4669), IUT del'Aisne, 48 rue d'Ostende, F-02100 Saint-Quentin, France. E-mail : orwa.omran@u-picardie.fr2CETIM, Ple ICS, 52 avenue Flix Louat, F-60304 Senlis, France.* Auteur correspondant

Rsum Lobjectif de ce travail consiste dvelopper une mthodologie permettant de simplifierun point dassemblage, tout en gardant un comportement physique raliste, en diminuant le temps decalcul des simulations numriques. Afin didentifier le comportement de llment quivalent partirde rsultats exprimentaux, nous proposons une solution analytique base sur la Rsistance desMatriaux. Dautres essais avec plusieurs points dassemblage permettent de tester la validit dumodle retenu.Mots cls boulonnage, assemblage, connecteur, modle simplifi

1.

Introduction

Le boulonnage et le rivetage font partie des techniques dassemblage dont les domainesdapplication se trouvent dans de nombreux secteurs industriels : aronautique, ferroviaire,

automobile Afin doptimiser une conception de ce type, une modlisation complte de grandesstructures (aile davion, rame de train ) peut-tre trs complexe et trs coteuse cause du nombreimportant de degrs de libert et des non-linarits du comportement des matriaux et des contacts.Pour maitriser la taille du modle global et le temps de simulation, un modle simplifi doit treutilis.

Dans la littrature, les tudes exprimentales de Langrand [9] et de Dang-Hoang [3] ont montrlinfluence des effets de bords, du jeu et du nombre de fixations sur le comportement mcaniqueglobal dun assemblage mono-matriau. Dans [9], lauteur a montr quun modle simple defrottement tel que celui de Coulomb nest pas adapt la modlisation dassemblage de ce type. Il fautprendre en compte linfluence de la dformation, de la pression et de ltat de surface de contact pouramliorer les rsultats.

Du point de vue numrique, ltude [3] a montr quon peut dcrire le comportement dunassemblage boulonn mais en introduisant les prcontraintes pour prendre en compte le couple deserrage. Dans ltude [1], Berot considre une simplification dun rivet par un troisime corpscylindrique plac entre les deux plaques ; cette approche montre des inconvnients car elle nereprsente pas la gomtrie relle du systme dassemblage (introduction de distance entre les plaques,pas de prise en compte de la tte de rivet, ). Dans une deuxime tude, le rivet est remplac par unereprsentation virtuelle, cest--dire une zone lie aux deux plaques avec un comportement spcifique.Les rsultats sont assez satisfaisants concernant le comportement global mais cette mthode ne peutpas dcrire le comportement local du point dassemblage ; lauteur a aussi remarqu quil est difficiledautomatiser cette mthode.

Une autre mthode simplifie consiste modliser les plaques par des lments finis surfaciques et

le point dassemblage par un lment quivalent. Dans la littrature, les tudes [1, 4, 9, 16] ont montrquon peut utiliser des contraintes cinmatiques (relation entre les dplacements de points ou desurfaces), des lments non-linaires (lments finis type poutre, lments de ressort ou lments

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mixtes) et des formulations hybrides. Langrand a montr que lutilisation des contraintes cinmatiquesnest pas approprie pour dcrire le comportement non-linaire dune liaison [9]. De plus, cetteapproche dpend de la conformit des maillages.

Nous proposons un modle lment fini simple [10]. Ce modle est un lment quivalent(connecteur) qui cr une connexion entre deux nuds, ce type de connecteur tant disponible dans de

nombreux codes industriels. La difficult est alors de dfinir son comportement mcanique, en prenanten compte les paramtres gomtriques et matriaux de lassemblage.

Le modle lments finis propos pour les prouvettes dessai se compose ainsi de deux plaquesavec un lment linaire reliant les six degrs de libert de chaque nud dattache du boulon. Enthorie, il faut 36 raideurs pour dcrire la matrice de rigidit; nous faisons ici une hypothse dedcouplage entre les diffrentes sollicitations. Ainsi, nous devons dterminer seulement 3 raideurs detraction et 3 raideurs de torsion correspondant aux six degrs de libert.

Ce modle est rsolu analytiquement. Cela permet didentifier les 6 raideurs du connecteur partirdes rsultats de deux essais simples de traction et de flexion-torsion issus dune campagneexprimentale mene par le CETIM.

2.

Modle dassemblage par lment quivalent

2.1. Description du modle propos

Pour pouvoir reproduire le comportement dun assemblage, il est ncessaire de dfinir une solutionde rfrence sur laquelle identifier ce comportement mcanique quivalent. La figure 1 nous montredeux types de sollicitation utiliss pour identifier le comportement mcanique de la fixation.

a) b)Fig. 1. Sollicitations de base (a-traction; b- flexion)

Lobjet de ce travail est de modliser la connexion entre deux plaques de type tle mince,assembles par un boulon, par un connecteur simple de manire obtenir une rponse proche de laralit avec un cot numrique raisonnable. Le modle lments finis propos se compose ainsi dedeux plaques et dun lment reliant les six degrs de libert zyxzyx uuu de chaque

nud dattache du boulon. Ce modle ncessite donc la dtermination de six raideurs correspondantaux six degrs de libert selon les axes zyx

rrr

,, :

-3 raideurs de traction xK , yK , zK ,

-3 raideurs de torsion xC , yC , zC .

En thorie, pour relier les 6 degrs de libert de chaque nud, il faudrait 36 raideurs mais nousfaisons ici une hypothse de dcouplage entre les diffrentes sollicitations. Dans un premier temps,nous allons essayer didentifier le comportement lastique de lassemblage. Les paramtres dfinissantle comportement mcanique du connecteur seront identifis sur plusieurs essais : traction, flexion ettorsion des tles. Chaque test permet d'identifier deux ou trois paramtres mcaniques.

Nous prsentons une tude analytique qui permettra d'identifier les 6 rigidits du connecteur propos partir de rsultats exprimentaux. Pour la premire exprience, on considre que la structure estencastre une extrmit et soumise lautre extrmit un effort de traction (cf. figure 2).

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Fig 2. Modle propos de l'assemblage

Les plaques sont de longueurL , de largeur b , dpaisseur ie et de module dYoung iE . Onsuppose, dans cette premire tude, que le matriau est le mme pour les deux plaques et quelles ontles mmes dimensions : EEE == 21 et eee == 21 . Le tableau 1 donne les caractristiquesgomtriques et mcaniques de lassemblage tudi ; les plaques sont en acier S235 et le boulon est dutype M8x30.

L (mm) b (mm) e (mm) E (MPa)

135 40 8 205 000

Tableau 1. Caractristiques gomtriques et mcaniques

2.2.Solution analytique

Lide consiste trouver une solution analytique permettant didentifier les 6 paramtres duconnecteur partir de rsultats exprimentaux. Les plaques sont modlises par des poutres ; nouspouvons ainsi utiliser les formules classiques de Rsistance des Matriaux. Les plaques sontreprsentes par des plans moyens dcales dune distance gale lpaisseur eh = . La structure est

encastre lextrmit A et bloque par un mors en B:ByB

MZ , sont les ractions du mors sur

lprouvette. Il sagit donc dun problme de traction-flexion dans le plan ( zx rr

, ) (cf. figure 3).

Fig. 3. Modle analytique de traction-flexion 1D

Pour le modle plaque de la structure, nous ferons l'hypothse de Love-Kirchhoff donc, au cours dela dformation, les sections droites restent planes (sans gauchissement) et perpendiculaires la courbemoyenne. Il rsulte de cette approche que les champs de dplacement varient linairement danslpaisseur de la plaque (cf figure 4). On peut donc crire :

zuyh

uxh

uzh

uU

zuyh

uxh

uUzh

uU

zxyyxJ

zxyyxII

rrrr

r

r

r

rrr

r

r

r

r

r

.)..2

()..2

(.2

.)..2()..2(.2

333333

222222

3

2

+++=

+=

+++=

+=

(1)

Fig. 4. Cinmatique du connecteur

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Pour le modle poutre, nous faisons lhypothse dEuler-Bernoulli. partir des conditions limites, desquations dquilibre et des lois de comportement, on obtient :

( )x

yyxK

FLL

h

ES

FL=Lu +++ )()(.

2

2)2(

32 (2)

++

+

=

y

G

Gz

G

G

yLC

EI/

EI

hLF

KL

EI/

EI

hLF(L)

y

y

y

y

21

22

31

8

332

(3)

++

++

+

=

y

Gz

yy

G

Gz

G

G

yLC

EI

C

hF

LC

EI/

EI

hLF

KL

EI/

EI

hLF(L)

y

y

y

y

21/

221

22

31

8

333

(4)

o Sest la section etyG

I le moment quadratique des poutres selon laxe yr

.

A partir des solutions analytiques (2-4) et des rsultats exprimentaux ))2(,( LuF x , ))(,(2

LFy

,

))(,(3 LF y , nous pouvons ainsi identifier les paramtres yzx C,K,K . La difficult actuelle est la

mesure prcise des angles qui sont assez faibles sur la structure tudie.

2.3.Matrice de rigidit du connecteur

En tenant compte de lquation (1), lnergie potentielle du connecteur scrit :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )22

2222

2323

232323232323

21

21

2

1

2

1.

22

1.

22

1

zzzyyy

xxxzzzxxyyyyyxxx

CC

CuuKh

uuKh

uuKW

++

++

++

+=

(5)

partir du principe de minimisation de lnergie potentielle, on obtient la matrice de rigidit duconnecteur :

++

+

++

+

zz

xyxxyx

yxyxy

zz

yyyy

xxxx

zz

xyxxyx

xyyxy

zz

yyyy

xxxx

CC

hKC

hK

hKC

hK

hKC

hKC

hK

KK

hKK

hKK

hKK

hKK

CC

hKChKhKChK

Ch

Kh

KCh

K

KK

hKK

hKK

hKK

hKK

0000000000

04

.0002

04

0002

004

.02

00002

0

0000000000

002

00002

00

02

00002

000

0000000000

04

0002

04

.0002

0002

0004

.02

0

0000000000

002

00002

00

02

00002

000

22

2

22

2

(6)

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3. Rsultats exprimentaux

3.1. Modles exprimentaux de la littrature

Ils existent de nombreux modles, dans la littrature, pour estimer la valeur du paramtre xK .

Tate et Rosenfeld dans [13] daprs [14], partir dune tude semi-exprimentale, donnent laformulation suivante :

4

3

21

5

96

9

)1(6422

bb

b

b

xE

e

E

ve

eEeEK +

+++=

(7)

o bE est le module dYoung, bv le coefficient de Poisson et le diamtre du boulon.

Gore, dans [5] daprs [8], donne la formulation suivante :

4

3

21

40

12

5

)1(1622

bb

b

b

x

E

e

E

ve

eEeE

K ++

++=

(8)

Cette formulation est aux coefficients prs semblable celle de Tate et Rosenfeld.

Le constructeur Boeing, dans [15] daprs [7], donne partir de travaux exprimentaux :

+=

b

e

xEEe

K8

3122

85.0

1

(9)

Le constructeur McDonnel Douglas, dans [11] daprs [7], donne une formulation semi-empiriquen

pour la configuration en simple cisaillement :

eEEK

b

x

6.151+=

(10)

Par ailleurs, Swift, dans [12], donne la formulation exprimentale :

++=

eCA

EKx

211 (11)

Les valeurs des constantesAet Csont respectivement 1.666 et 0.86 pour un boulon en acier.

Huth, dans [7], tire de ses essais, la formulation suivante :

+

=

b

HxeEeE

Be

K221

(12)

Cope et Lacy, dans [2], donnent les formulations suivantes, bases sur une approche nergtique et surdes essais, partir de la formulation de Swift [12], de la raideur en flexion et en cisaillement desfixations :

4

2F

x

G

K =

3

4

64

Fy

E

C = (13)

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o les modules d'Young FE et de cisaillement FG de la fixation sont donns par les relations

suivantes :

( )

)1(2

238

18

2

v

EG

eCBv

EE

FF

CLCLF

+

=

+

++=

(14)

Le coefficient zK peut tre estim par la formule suivante [6]:

( )

bb

zSE

K 4.021 +

=

(15)

o est la longueur de la fixation et bS la section du boulon.

Les valeurs du coefficient xK pour ces modles sont donnes dans le tableau 2.

Boeing Tate Gore Swift Huth

Kx(N/mm) 269 885 83 928 94 687 219 942 122 994

Tableau 2. Valeurs de Kxsuivant les modles

3.2. Modle lment finis 3D

Un modle lments finis 3D permet de modliser la connexion entre les tles minces assemblespar un boulon. Ce modle est fait l'aide du logiciel de CAO (Pro Engineer), et le calcul par lments

finis est effectu avec le logiciel ANSYS Workbench. Le calcul est ralis dans le domaine lastiquelinaire et le maillage est ralis avec des lments volumiques, avec un raffinement au niveau duboulon et de la zone de recouvrement (cf. Figure 5).

Fig. 5. Modle 3D de lassemblage

Sur la courbe force-dplacement (cf. Figure 6), on remarque 3 phases : la premire est la phaselastique des plaques et de la fixation, la deuxime est une phase de glissement de la fixation, et latroisime est une phase lastique. Notre tude concerne la premire phase lastique avant glissement.

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Fig. 6. Effort global en fonction du dplacement

4. Comparaison des rsultats

La structure est modlise par des lments plaques DKT. Le modle de connecteur propos a timplant dans le code lments finis Castem. Nous avons compar les rsultats obtenus par la solutionanalytique propose en prenant en compte les valeurs de rigidit du tableau 3, avec un calcul lmentsfinis d'un modle 3D (cf. Figure 6).

Kx (N/mm) Huth = 122 994

Kz (N/mm) Guillot = 4,01E+05

Cy (N.mm/rd) Cope = 1,59E+06

Tableau 3. Valeurs de rigidit yzx CKK ,,

La figure 6 et le tableau montre une bonne concordance du entre les trois modles prsentsprcdemment (3D, analytique et plaque). Les rsultats obtenus dpendent des rigidits qui devronttre cales sur de nouveaux rsultats exprimentaux.

Fig.6. Effort en fonction du dplacement pour les modles 3D, analytique et DKT.

Modle 3D EF 0.110

Analytique 0.086

Simulation 2D (DKT) 0.098

Tableau 4. Valeurs du dplacement maximal obtenu en mm pour un effort de 12kN.

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5. Rfrences

[1] Berot M., Modlisation simplifie d'assemblages par lments quivalents, Thse de Mines ParisTech, 2009.

[2] Cope D.A., Lacy T.E., Stress intensity determination in lap joints with mechanical fasteners, Proceedings of

41st AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials conference, AIAA-

2000-1368, 3-6 avril 2000, Atlanta, GA, 2000.

[3] Dang-Hoang T., Rupture et endommagement dun assemblage boulonn : approche exprimentale et

simulation numrique, Thse de Universit de Lille 1, 2009.

[4] Deletombe E., IMT crashworthiness for commercial aircraft-Modlisation par lments finis des

assemblages, rotules plastiques et rotules- Rapport final, ONERA-Lille, 96/25, 1996.

[5] Gore, Essais sur panneaux raidis raidisseurs rivs, March STPA, AEROSPATIALE, Rapport dtudes N

51 132, 1990.

[6] Guillot J., Assemblage par Elments Filets; Modlisation et Calculs, Techniques de lingnieur, Tome 1

B5560 B5562, 75006, Paris, pp 1-56, 1987.[7] Huth H., Influence of Fastener flexibility on the prediction of load transfer and fatigue life for multiplerow

joints, Fatigue in mechanically fastened composite and metallic joints, ASTM STP 927, John M. Potter, Ed.,

Philadelphia, PA, pp. 221-250, 1986.

[8] Koffi K., Etude numrique et exprimentale des clissages de structures aronautiques soumis des

chargements de traction et flexion, Mmoire de Thse, INSA, Toulouse, FR, 1999.

[9] Langrand B., Contribution la caractrisation numrique et exprimentale dassemblages structuraux rivets

sous sollicitation dynamique, Thse de Universit de Valenciennes, 1998.

[10]Omran O., Nguyen V.D., Jaffal H., Marchand P., Coorevits P. Modeling of multi-material assemblies by

an equivalent finite element, ECT2012, The Eighth International Conference on Engineering Computational

Technology, Dubrovnik, Croatia, 4-7 September 2012.

[11]Swift T., Development of the fail-safe design features of the DC-10, Damage Tolerance in Aircraft

Structures, ASTM STP 486, American Society for Testing and Materials, pp. 164-214, 1971.

[12]Swift T., Fracture analysis of stiffened structure, Damage Tolerance of metallic structures: analysis

methods and application, ASTM STP 842, J.B. Chang & J.L. Rudd, Eds., American Society for Testing and

Materials, pp. 69-107, 1984.

[13]Tate M.B., Rosenfeld S.J., Preliminary Investigation of the loads carried by individual bolts in Bolted

Joints, NACA, TN N 1051, Washington, DC, 1946.

[14]Tate M.B., Rosenfeld S.J., Analytical and experimental investigation of bolted joints, NACA, TN N 1458,

Washington, DC, 1947.

[15]Unpublished Reports of the BOEING Corporation, Renton, WA.

[16]Winkelmuller G., IMT crashworthiness for commercial aircraft-24 month progress report, Mecalog project,

E422/92, 1995.