Dr. Ir. P. Boeraeve Cours de Béton Armé 5-1

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Chapitre 5. Dimensionnement du béton en flexion simple

5.1 CAS 1 : dimensionnement complet (dimensions poutre + armatures)

C'est généralement le cas qui se présente lors d’un avant-projet : on va donner aux éléments (dalles, poutres, colonnes) des dimensions en rapport avec les sollicitations qu’ils doivent supporter On connaît : les charges sollicitant la poutre, donc le moment sollicitant à l’ELU : MEd On veut déterminer h, b et As Au paragraphe « 4.6.4 : Phase 4 : rupture », on a vu que le diagramme de déformation qui exploite au maximum le béton et l’acier est celui qui passe par les points A et B aussi appelés « pivots ». La déformation maximale en compression dans le béton vaut εcu3 = 3.5 10-3 pour des bétons de classe de résistance inférieure ou égale à C50/60. La déformation maximale en traction dans l’armature est limitée à 10.10-3 en pratique. Les triangles semblables permettent d’écrire :

Or :

En remplaçant la valeur de xu=0,259d, on obtient la formule de dimensionnement rapide reprise au MC 12.1.1.1 :

5.2 CAS 2 : dimensionnement des armatures

On connaît : • les dimensions de la section : b et h fixés par l’architecte, par exemple, ou par l’espace

disponible (hauteur sous plafond). • Les charges sollicitant la poutre, donc le moment sollicitant à l’ELU : MEd

On veut déterminer la section des armatures : As. Cette fois, les hypothèses de calcul sont :

• La zone comprimée est modélisée par un diagramme rectangulaire équivalent. • εc,max=0.0035 (si classe résistance ≤ C50/60).

E d ,E L U2 M

0.1 ck

b df

≅

3,5 10 3,50,259u

u

x

x d d

+= → =

( ) ( )Ed,ELUM = . 0.4 =0,8. . 0.4u u cd uC d x x f b d x− − MEd

εεεεc=3.5 10 -3

εεεεs=10 10 -3

d

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d

εεεε=0.0035

εεεεs=?

εεεε=0.0035

εεεεs=?

Les efforts internes à la ruine, C et T, doivent au moins équilibrer le moment sollicitant de calcul MEd. Donc, en prenant le moment par rapport au CG des armatures :

( ) ( )Ed,ELUM = . 0.4 =0,8. . 0.4u u cd uC d x x f b d x− −

On obtient donc une équation du second degré en xu dont on extrait la seule racine plausible :

2²

.

0.8

Ed

cdu

Md d

b fx

− −=

Vérification du rapport xu/d :

(xu/d)lim = 0,45 pour des bétons de classe de résistance ≤ C35/45 et

(xu/d)lim = 0,35 pour des bétons de classe de résistance ≥ C40/45.

Si xu/d > (xu/d)lim, on doit ajouter des armatures comprimées pour ramener le xu/d dans les

limites (on dit alors qu’on a une section avec armatures doubles). Cette solution n’est en général pas souhaitable, et n’est à ne faire que si la hauteur ne peut absolument être changée. On a vu précédemment que le respect de ces limites entraînait automatiquement le fait que l’armature était plastifiée à la ruine. On a donc toujours fs=fyd.

5.2.1 Calcul de As : Les efforts internes à la ruine C et T doivent au moins équilibrer le moment sollicitant de calcul MEd. Donc, en prenant le moment cette fois par rapport au CG de la zone comprimée, on en

déduit As:

( ) ( )

( )

Ed

Ed

M = . 0.4 = 0.4

M

0.4

s yd

syd

T d x A f d x

Af d x

− −

⇒ =−

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5.3 Dispositions constructives des armatures de flexion (MC :13.1.5)

Les armatures doivent respecter : • les conditions de section minimale et maximale imposées par l’EC2 • les espacements minima et maxima recommandés par l’EC2

5.4 Contrôles à l’ELS

Le dimensionnement est souvent plus critique à l’ELU, mais il faut s’assurer que les limitations à l’ELS sont également respectées :

• déformations (flèches) • contraintes (MC : 14.2) • ouvertures de fissures (MC(14.3) • fréquence de vibrations (ce point très spécifique n’est pas abordé dans le cadre de ce

cours : il convient de se référer à l’Eurocode 2)

5.4.1 Vérification des déformations (flèches) Le code limite le rapport de la flèche à la portée d’un élément fléchi à une valeur de 1/250 sous charges quasi-permanentes. Le calcul rigoureux des flèches dans les structures en béton armé est complexe, car selon les endroits, la section est fissurée ou non fissurée, ce qui a un effet non négligeable sur son inertie et, si la structure est hyperstatique, sur la répartition des moments. L’Eurocode prévoit une méthode simplifiée qui dispense de ces calculs laborieux : cette méthode limite le rapport l/d (portée/hauteur utile) de l’élément fléchi. La justification de cette méthode se trouve dans l’extrait suivant de Calcrete :

De nombreux calculs ont été effectués, de manière rigoureuse, sur des éléments fléchis et les formules empiriques de l’Eurocode sont le résultat de ces calculs (Voir MC 14.1).