La flexion Page 1 Plan du coursjerome.massol2.free.fr/Files/65_moment_flexion.pdf1.2.1 Flexion pure...

Plan du cours : La flexion

1 Étude de la flexion des poutres longues

1.1 Rappels : principes fondamentaux pour l’étude des poutres

1.1.1 Torseur des actions extérieures dans une section

1.1.2 Décomposition du torseur - Mise en évidence du moment de flexion

1.2 Action du moment de flexion

1.2.1 Flexion pure - application à l’essai de flexion 4 points

1.2.2 Calcul des contraintes engendrées par un moment de flexion

1.2.3 Équation de la déformée

1.2.4 Énergie de déformation

1.3 Notion de flexion simple

2. Calcul de déformée et Calcul énergétique

2.1 Déformée d’une voilure de planeur - recherche de la charge appliquée

2.1.1 Modélisation du problème

2.1.2 Recherche de la déformée de la ligne moyenne - Utilisation des conditions limites

2.1.3 Calcul de l’inertie

Plan du cours :

2.1.4 Détermination du facteur de charge

2.2 Méthodes énergétiques

2.2.1 Calcul d’une voilure de planeur soumise à un effort ponctuel : Théorème de Castigliano

2.2.2 Comparaison des contraintes engendrées par ces flexions : effort linéique / effort ponctuel

2.2.3 Méthode de la sollicitation évanouissante

2.2.4 Théorème de Ménabréa

3. Pré-dimensionnement des panneaux d’une voilure composite d’avion civil de 80 places

3.1 Schématisation de la voilure

3.2 Données

3.3 Détermination des cas dimensionnants

3.3.1 Calcul des efforts tranchants et des moments de flexion

3.3.2 Détermination des courbes enveloppes pour T et Mf

3.4 Détermination des épaisseurs maximales des panneaux

3.3.1 Equilibre du caisson

3.3.2 Application numérique

1. Etude de la flexion des poutres longues

1.1 Rappels : principes fondamentaux pour l ’étude des poutres

1.1.1 Torseur des actions extérieures dans une section

La poutre de ligne moyenne GoG1 est coupée en 2 tronçons 1 et 2.

L ’ensemble des forces extérieures s ’exerçant sur le tronçon 2 est équivalent à une résultant R et à un

moment M qui constituent les éléments de réduction au centre de gravité de la section 1.

Cette effort résultant et ce moment résultant sont équivalents aux forces intérieures exercées par 2 sur 1.

Réf. 1

1.1.2 Décomposition du torseur - Mise en évidence du moment de flexion

Le torseur est équivalent :

à une résultante R qui peut être décomposé en :

- une composante normale à S : l’effort normal N

- une composante contenue dans le plan S : l ’effort tranchant T

à un moment M qui peut être décomposé en :

- un moment Mt normal à S : le moment de torsion Mt

- un moment Mf contenu dans le plan S : le moment de flexion Mf.

Réf. 1

1.2 Action du moment de flexion

1.2.1 Flexion pure - application à l ’essai de flexion 4 points

Flexion pure : Une poutre est soumise à une flexion pure si le torseur se réduit au centre de gravité de la section à

un seul moment de flexion Mf porté par un axe principal d’inertie.

Application :

L’essai de flexion 4 points est souvent utilisé car il permet d’obtenir une zone d’essai sollicitée en flexion pure

entre les points A et B :

F F

A B T

0 x

0 x

Mf

1.2.2 Calcul des contraintes engendrées par un moment de flexion

La contrainte engendrée par un moment de flexion Mf dans une section S s’exprime par :

I3 : Le moment d ’inertie autour de l ’axe x3 s’exprime par :

Conséquences :

1 - Les fibres situées sur l ’axe x3 de la section ne sont pas sollicitées.

2 - L’ensemble des fibres pour lesquelles la contrainte engendrée par le moment de flexion est nul constitue le plan

neutre (x2 = 0)

3 - Pour une section donnée, la contrainte est maximale sur la fibre la plus éloignée du plan neutre.

23x

If

M

SdSxxI 2

2213

Réf. 1

1.2.3 Équation de la déformée

Un élément de poutre soumis à un moment de flexion Mf positif se déforme

par rotation d’un angle dq positif.

Avec les hypothèse suivantes :

- petits déplacements,

et sur la déformée :

- loi de comportement : loi de Hooke :

(avec E : module de Young du matériau constituant la poutre)

On a la relation suivante :

En notant v la flèche, l’équation de la déformée est donnée par :

q

Mf

dx1

x2

31EI

fM

dx

d

q

321

2

EI

fM

dx

vd

1dx

dvq

12

'1 dx

dx

cd

dd q

1211 dxd

ExEq

c d d’

dq

dd’= - x2 dq

cd = dx1

x1

1.2.4 Énergie de déformation

Le travail des forces extérieures engendré par le moment de flexion Mf déformant la poutre d’un angle dq est

donné par :

L’énergie de déformation due au moment de flexion est donc :

dq

Mf

x1

x2

13

2

2

1

2

1dx

EI

fM

df

Mdw q

dx1

1

01

3

2

2

1x

dxEIf

M

fMW

1.3 Notion de flexion simple

Une structure est sollicitée en flexion simple lorsque le torseur se réduit à un effort tranchant et un moment de

flexion.

Les résultats obtenus pour la flexion pure sont valables pour la flexion simple. L’effet de l’effort tranchant est

obtenu par le principe de superposition.

Réf. 1

2. Calculs de déformée et calculs énergétiques

2.1 Déformée d’une voilure de planeur - recherche de la charge appliquée

Problème

A partir de la flèche en bout de voilure (1000 mm), on recherche le facteur de charge appliqué au planeur lors de

cette ressource.

2.1.1 Modélisation du problème

On modélise la voilure du planeur par une poutre encastrée au niveau du fuselage et libre à l’autre extrémité

soumise à un chargement linéïque.

Données : Longueur de l ’aile : L = 9 m

Caisson de voilure : corde moyenne : c = 500 mm ; hauteur du caisson de voilure : h = 140 mm

Voilure :

Le caisson de voilure est constitué de 2 peaux en tissu de verre séparées par un caisson nervuré

reprenant le cisaillement. Epaisseur des peaux : e = 4 mm ; Module équivalent = 40000 MPa

2.1.2 Recherche de la déformée de la ligne moyenne - utilisation des conditions limites :

Afin de déterminer la relation entre la flèche et le chargement appliqué, il est nécessaire de déterminer la déformée de

la ligne moyenne par intégration de la formule suivante :

Détermination du moment de flexion :

Le moment de flexion est obtenu par intégration de l’effort tranchant appliqué à la poutre par la relation suivante :

L ’effort tranchant est donné par :

Le moment de flexion est donc :

k correspond à la constante d ’intégration et est déterminé par la condition limite suivante :

d’où :

321

2

EI

fM

dx

vd

pxLxT

kx

Lxpxf

M

2

2

dxxTxfM

0Lf

M

2

2Lpk

x = 0

p

L

Réf. 1

d ’où :

La rotation q (x) est obtenue par intégration du moment de flexion :

k ’ : constante d ’intégration est obtenue par q (x) = 0 (encastrement) d ’où : k’ = 0

La flèche v (x) est obtenue par une seconde intégration :

k’’ : constante d ’intégration obtenue par v(x) = 0 (encastrement) d ’où : k ’’ = 0

La flèche à l’extrémité de l’aile correspond à v (L) soit :

2

2

2

2 xLx

Lpx

fM

'6

3

2

2

2

2

3

1k

xxLx

Lp

EIx

q

''24

4

6

3

2

2

2

2

3

1k

xxL

xLp

EIxv

8

4

3

1max

pL

EIvLv

2.1.3 Calcul de l ’inertie :

Calcul de l’inertie de flexion de la voilure :

Seules les peaux en fibres de verre reprennent la flexion. L’inertie des peaux est la suivante :

Ipropre : inertie propre de la peau dans le repère de la peau :

Itransport : inertie de la peau transporté dans le plan de l ’aile (théorème de Huygens) :

L’inertie de transport est donc nettement prédominante par rapport à l’inertie propre.

Calcul du produit EI3 :

transportI

propreII 2

3

ds

s

xxpropreI

2

221

12

3cepropreI

2

2

h

ectransportI

42667mmpropreI

4610.8,9 mmtransportI

2.1110.84,73

mmNEI

En fonction de l ’expression de la flèche, on en déduit l ’expression du chargement appliqué à l’aile:

AN :

2.1.4 Détermination du facteur de charge :

Le chargement total sur la voilure est donc : F = 17200 N

or, on a :

En faisant les hypothèses suivantes :

- la totalité de la portance est reprise par la voilure,

- la déportance occasionnée par l ’empennage est négligée.

La masse du planeur étant d ’environ 500 kg, l ’accélération g est la suivante :

Le facteur de charge subi par le planeur lors de cette ressource est donc d’environ 3,5 g.

33

8

L

LvEIpL

NpL 8600

gmF

gsm 5,32.4,34 g

2.2 Méthodes énergétiques

2.2.1 Calcul d’une voilure de planeur soumise à un effort ponctuel : Théorème de Castigliano

On souhaite réaliser un essai de flexion sur la voilure étudiée précédemment. Quel effort ponctuel faut-il

appliquer en bout de cette voilure afin d’obtenir la même flèche (1000 mm) ?

La méthode la plus simple pour résoudre ce problème est la méthode énergétique.

Pour cela, on considère que la flèche est uniquement due au moment de flexion (on néglige l’influence de

l ’effort tranchant).

L’énergie de déformation due au moment de flexion est la suivante :

La flèche d en bout de voilure, au point d’application de la force F, est donnée par le théorème de Castigliano et

a pour expression :

Ldx

EIf

M

fMW

0 3

2

2

1

x = 0

F

L

F

fW

d

Hypothèses liées à l’application du théorème de Castigliano (hypothèse de calcul linéaire) :

1 - les déplacements sont uniquement dus aux déformations,

2 - les déformations sont proportionnelles aux forces appliquées,

3 - l’effet des forces reste indépendant des déplacements.

Dans l’exemple, le moment de flexion est le suivant :

La flèche s ’écrit donc :

Soit :

Pour une flèche de 1000 mm, la force appliquée doit donc être :

F = 3226 N

Soit 2.66 fois moins que pour un chargement linéique réparti sur toute l’envergure.

33

32

2

1

0 3

2

2

1

EI

LF

Fdx

L

EI

Fx

Fd

Fxf

M

33

3

EI

FLd

2.2.2 Comparaison des contraintes engendrées par ces flexions : effort linéique / effort ponctuel

La contrainte engendrée par un moment de flexion s’écrit :

Remarque :

Si v > 0 : < 0 : l’extrados est donc comprimé par un moment de flexion positif.

Si v < 0 : > 0 : l’intrados est donc tendu par un moment de flexion positif.

De plus; la contrainte est maximale (pour un v identique) lorsque Mf est maximum, soit dans ce cas à

l ’emplanture de la voilure (encastrement dans la modélisation).

Pour le chargement linéique :

Pour le chargement ponctuel :

Les autres grandeurs restants identiques, le rapport des contraintes correspond au rapport des moments de flexion :

Pour une même flèche, les contraintes engendrées sont donc être différentes.

vIf

M

3

2

2

max0

pLf

Mf

M

FLf

M

33.12

2

2

max

max

F

pL

FL

pL

ponctuelfM

linéiquefM

ponctuel

linéique

2.2.3 Méthode de la sollicitation évanouissante

Il est possible d’obtenir la flèche en un point M quelconque dans la direction D, en appliquant en M une

sollicitation évanouissante (force F) portée par D. On applique alors le théorème de Castigliano.

Soit : Mf le moment de flexion dû aux charges appliquées,

Soit : F.M’f le moment de flexion dû à F,

La flèche cherchée d s’écrit :

ou :

03

''.

0

limite

F

B

AEI

dxfMfMFfM

F

w

F

d

B

Adx

EIf

Mf

M

3

'd

Calcul pour la voilure de planeur soumise à un effort linéique : Méthode

de la sollicitation évanouissante - Théorème de Castigliano :

Il est possible de déterminer la flèche d en bout de voilure

dans le cas d’un chargement linéique en appliquant une

sollicitation évanouissante F en bout de voilure (au point

où l’on souhaite calculer la flèche).

L’application du théorème de Castigliano permet alors la résolution de ce

problème.

Le moment de flexion dû à l’effort linéique p s’écrit :

Le moment de flexion dû à l’effort ponctuel F (exprimé sous la forme FMf') :

x = 0

p

L

F

2

2

2

2 xLx

Lpx

pfM

xLFxFf

M '

Le produit suivant :

avec : F.Mf ’ : moment dû à la force évanouissante

s’écrit :

et :

'' fMfMFfM

xLxLFxLxLpfMfMFfM

2

2

2

2

''

3

3

8

43

3

2

4

23

6

2

2

2

2

3

''xL

Fx

xL

xL

xL

xL

xL

pfMfMFfM

3

3

8

4

0 ''FLpLL

fMfMFfM

La flèche cherchée d en bout de voilure s’écrit donc :

on peut aussi écrire :

on retrouve bien, dans les 2 cas, la flèche v(L) :

38

4

03

''

0

limiteEI

pL

F

B

AEI

dxfMfMFfM

F

w

F

d

8

4

3

1 pL

EILv d

B

AdxxL

xLx

L

EI

pB

Adx

EI

fMfM

2

2

2

2

33

'd

2.2.4 Théorème de Ménabréa

On souhaite, dans l’essai précédent, fixer le bout de la voilure et pour cela calculer l’effort sur l’appui (point B)

En ajoutant au problème précédent un appui au point B, le système étudié devient hyperstatique.

Les inconnues RA, RB et MA permettant l’équilibre de la structure sont indiquées sur le schéma ci-dessous :

Les équations d’équilibre s’écrivent :

x = 0

p

L

B

A

x = 0

p

L

B

A

RB RA

MA

0

02

2

0

AX

Lp

AML

BR

pLBR

AR

XA

Soit 4 inconnues pour 3 équations. Le système est donc hyperstatique de degré 1.

Afin de lever l’hyperstaticité de ce système, en considèrant comme inconnue hyperstatique RB , on peut écrire la

relation suivante correspondant au théorème de Ménabréa (appui en B) :

on ne considérera pour cela que l’énergie de flexion.

Le moment de flexion s’écrit :

L’énergie de flexion s’écrit donc :

Soit :

Ou :

Et donc :

0,

BR

BRpW

2xL

xLpxLBR

fM

L dx

xLpxL

BR

EIfMW

0

2

2

2

32

1

L dxxL

xLpxL

BR

EIBR

fMW

0 2

2

3

1

04

83

3

3

1

LpL

BR

EIBR

fMW

pLBR

8

3

On peut également choisir RA comme inconnue hyperstatique. On a également (encastrement en A) :

et :

donc :

ou :

Soit : ou :

Avec la condition correspondant au théorème de Ménabréa, on obtient donc une équation supplémentaire

permettant de résoudre le système, soit :

ou :

L dxxL

xLpxL

ARpL

EIAR

fMW

0 2

2

3

1

4

83

3

3

1LpL

ARpL

EIAR

fMW

pLAR

8

5

L dx

xLpxL

ARpL

EIfMW

0

2

2

2

32

1

2

2,

xLpxL

ARpL

ARp

fM

0,

AR

ARpW

pLAR

8

5

pLBR

8

3

2. Pré-dimensionnement des panneaux d’une voilure composite d’avion civil de 80 places

On souhaite déterminer les épaisseurs maximales des panneaux extrados et intrados d’une voilure composite.

2.1 Schématisation de la voilure

On schématise la voilure par une poutre encastrée :

La section simplifiée de la voilure est la suivante :

Train d’atterrissage

9000 mm

14000 mm

emplanture

h = 400 mm

l = 1000 mm

longeron

panneau

2.2 Données

Deux cas de chargement sont pris en compte :

1er cas : Rafale positive (A)

Ce cas correspond à un effort linéique de p = 35 N/mm

2ème cas : Atterrissage dynamique (B)

Ce cas correspond à un effort ponctuel : F = 350000 N

x = 0

F

9000 mm

14000 mm

On considère des panneaux de voilure en carbone en fibre IM orienté 50/20/20/10 :

Module sens long équivalent : Ex = 95000 MPa

Les valeurs de dimensionnement pour ce matériau et cette application sont les suivantes :

Intrados : x = 3700 md

Extrados : x = -2700 md

Hypothèse de calcul :

Le moment de flexion est repris par les peaux intrados et extrados.

2.3 Détermination des cas dimensionnants

2.3.1 Calcul des efforts tranchants et des moments de flexion

1er cas : Rafale positive (A)

Avec les conventions de repère choisies on a :

et : Tmax = 490000 N

et :

xpT

2

2xp

fM mmN

fM .610.3430

max

T

0 14000

Mf

0 14000

490000 3430.106

x x

2ème cas : Atterrissage dynamique (B)

Avec les conventions de repère choisies on a :

Si x < 9000 :

T = 0 et : Mf = 0

Si :

T = 350000 N et :

et :

9000x

9000 xFf

M

mmNf

M .610.1750max

T

0 14000

Mf

0 14000 9000 9000

350000 1750.106

x x

2.3.2 Détermination des courbes enveloppes pour T et Mf

Pour l ’effort tranchant :

Pour : 0 < x < 9000 : T = 35x (cas A)

Pour : 9000 < x < 10000 : T = 350000 (cas B)

Pour : 10000 < x < 14000 : T = 35 x (cas A)

Pour le moment de flexion :

Pour : 0 < x < 14000 : (cas A)

2

2xp

fM

Mf

0 14000

3430.106

x

1750.106

T

x

0 14000

490000

350000

2.4 Détermination des épaisseurs maximales des panneaux

2.3.1 Equilibre du caisson

En ne considérant que le moment de flexion et les contraintes qu’il engendre, l’équilibre du caisson est le

suivant :

L’équilibre du caisson de voilure implique un même effort Fp dans chaque panneau.

Un flux Nx (négatif) comprime l’extrados.

Le même flux Nx (positif) tend l’intrados.

extrados

l = 1000 mm

Longeron AV

intrados

• Nx

Nx

Extrados en compression

Intrados en traction

Mf h = 400 mm

Avec Fp, l’effort passant dans chaque panneau, le flux Nx est alors définit par :

L’équilibre en moment donne donc (pour l ’intrados) :

(pour l’extrados : )

Or, on a :

Donc (intrados) :

Le moment de flexion est maximum à l’emplanture de la voilure (x = 14000), l’épaisseur des panneaux y sera

donc aussi maximale. Cette épaisseur s’exprime à l’intrados par :

avec : x = 14000

lxNpF

hlexhlxNhpFfM

xxEx

elhxxEfM

lhxx

E

px

lhxxE

fM

e 2

2max

max

hlexhlxNhpFfM

2.3.2 Application numérique

Avec les valeurs suivantes :

Mfmax = 3430.106 N.mm

Ex = 95000 Mpa

l = 1000 mm

h = 400 mm

Pour l’intrados, avec x = 3700 md , on a : emax = 24.4 mm

Pour l’extrados, avec x = -2700 md , on a : emax = 33.4 mm

Les documents suivants ont été utilisés pour l’élaboration de ce cours :

- Réf. 1 : Résistance des matériaux - Tome 2 - P. Vaussy - Ecole Centrales de Nantes

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