Chapitre 04.Flexion Simple.
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7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
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Chapitre 04.Flexion simple.
DfinitionDfinitionDfinitionDfinition ::::
Une pices est soumise la flexion
simple si la rduction des efforts en une
section (S) se rduit uniquement un moment
flchissant (M) et un effort tranchant T
appliqus au centre de gravit de (S).
Remarque :
Etant donn quen flexion simple, effort normal est nul (N=0), la vrification dela stabilit de forme nest pas envisage.
Une section soumise la flexion simple ntant jamais entirement
comprime, alors pour le bton, on utilise le diagramme rectangulaire.
IV.1. Section rectangulaireIV.1. Section rectangulaireIV.1. Section rectangulaireIV.1. Section rectangulaire ::::
A. Section sans armatures comprimesA. Section sans armatures comprimesA. Section sans armatures comprimesA. Section sans armatures comprimes ::::
GM
T
(S)Figure 1
A
h d
b
+
s
a a
G
b bb
y0.8y
M
Fb
Fa
b
cb
f
28
85.0
=
0.4y
Z
(Figure 2)
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
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d : Hauteur utile de la section (distance entre le centre de gravit des
armatures et la fibre la plus comprime).
A : Section totale des armatures tendues ;
y : Distance de laxe neutre la fibre la plus comprime ;
b : Raccourcissement unitaire du bton de la fibre la plus comprime ;
s : Lallongement unitaire des armatures tendues ;
Fb: Rsultante des efforts de compression dans le bton ;
Fa: Rsultante des efforts de traction dans lacier ;
Z : bras de levier (distance entre Fset Fb).
Rsultante des efforts de compression dans le bton.
bb byF = 8.0
Fbpasse la mi hauteur de la zone comprime, donc une distance de 0.4y
de la fibre la plus comprime.
Rsultante des efforts de traction dans les aciers.
sa AF =
Fapasse par le point a (centre de gravit des armatures tendues).
Equations dquilibre :
ybAFbFaF bsx === 8.000/
=
==
0
8.0
00/
ZAM
ou
ZybM
ZFMM
s
b
bA
posons : dy = ;2
db
M
b =
; dZ =
( )=== 4.014.04.0 dddydZ 4.01=
nous aurons alors : ( ) 04.018.08.0 2 == dbMZybM bb
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
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Do ( ) = 4.018.0 et8.0
211
=
Car est la racine de lquation 08.032.0 2 =+
On a : dy =Si 2593.0 domaine 1 et le diagramme des dformations passe par le
pivot A, donc 10=s %o.
Pour = 2593.0 ( ) 186.02593.04.012593.08.0 =
Donc si
186.0
253.0
ou pivot A (Domaine 1).
Si 12593.0 cest dire 480.0186.0 domaine 2 et le diagramme
des dformations passe par le pivot B
Donc si 480.0186.0 le raccourcissement du bton de la fibre extrme
sera 5.3=b %o.
On a aussi les triangles aaG et bbG sont semblables
b
a
b
s
G
GbbGaaG =
et 5.3=b %o .
=
=
=
1
5.3
1000
d
dd
y
yds
= 1
15.31000
s .
Donc connaissants
, on peut dterminers
.
RsumRsumRsumRsum ::::
Les armatures tendues dune section rectangulaire soumise un moment M
peuvent tre dterminer par les formules suivantes.
ss
b db
M
et1000,,
2
=
-
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sd
MA
=
].[en:
][:
][en:et
][:
cmA
MPaenet
cmdb
MPaenM
sb
Remarque:
Thoriquement ; la mthode dj expose est valable jusqu ce que lon ait
dy= cest dire 1= ou bien 480.0= mais pratiquement il nen ait pas ainsi car
partir dune certaine valeur des
, donc de , la contraintes
diminue rapidement et
on arrive une section qui nest pas conomique.
Si 011
1000
5.31 =
==
s , do
0== sss E et A do de point de
vue conomie, il a t dcid que
ss
LsE
fe
=
EtLLL , et L .
Et on a : +
=s
10005.3
5.3
L
L
10005.3
5.3
+= ;
( )LLL 4.018.0 = et LL 4.01=
Et dans le chapitre N01 on a vue que :
Si
L
L
Ls
Si L la section sera arm uniquement par des armatures tendues.
Si > L la section sera arm par des armatures tendues et des
armatures comprimes comme il va tre montr par la suite.
s
0L s
ss
fe
=
10%o
-
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Application numriqueApplication numriqueApplication numriqueApplication numrique ::::
Dterminer les armatures suivant ltat limite ultime de la poutre suivante :
MPafc 2528=
Acier Fe E400, Situation durable et transitoire.
Il faut tenir compte du poids propre.
Dtermination du poids propre :
mlKNmlNmlKgSg Bb /5.4/4500/4506.03.025001 =====
Dtermination du moment flchissant.
8
2l
gMg =4
lQMQ =
et pour la combinaison fondamentale (sollicitation du 1ergenre) on a :
QGQg + avec 35.1=g et 5.1=Q
do lon tire le moment M :
+=+=4
5.18
35.15.135.1
lQ
lgMMM Qg
mKNM .3944
5200
5.18
55.4
35.1 =
+
=
mKNM .394=
Dtermination du moment rduit :
db
M
b =
avecb
cb
f
28
85.0 =
= le.accidentelSituation15.1ireet trasitodurableSituation5.1
b
5 cmA
60
30
Q= 200 kN (surcharge)
2.50 m 2.50 m
-
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MPab 2.145.1
2585.0=
= donc
( ) 306.0
55302.14
103942
3
=
=
Vrification de lexistence darmatures comprimes ( )A .
Acier Fe E400 MPafe 400= et on ass
LE
fe
=
.
=le.accidentelSituation1
ireet trasitodurableSituation15.1b
739.115.1200
4001000000200 =
== Ls MPaE
et 668.010005.3
5.3=
+=
L
L
et ( ) 392.04.018.0 == LLL .
< AL MPaMPa
fe
s
s 348
348=
==
calcul de larmature tendue (A) :
d
MA
s =
306.0= 471.0
8.0
211=
=
donc :06.2555811.0348
105.4 3cmA
=
=.
B. Section rectangulaire avec armature comprimesB. Section rectangulaire avec armature comprimesB. Section rectangulaire avec armature comprimesB. Section rectangulaire avec armature comprimes ::::
SiL> ou bien L> ; on renforce la partie comprime de la section par
des armatures qui seront comprimes.
Dans les rgles B.A.E.L ; seules les armatures longitudinales de compression
maintenues tous les 15 au plus, par des armatures transversales seront prises en
compte.
Si les armatures comprimes sont disposes en dehors des angles, les rgles
B.A.E.L prvoit des triers ou pingles (au plus tous les 15 ) pour empcher tout
dplacement ou risque de flambage de ces armatures. Si cette conditions nest pas
vrifie, les armatures comprimes (centrales) seront considrs ( ) comme des
barres de montage qui ninterviendront pas dans les calculs.
La part du moment de flexion quilibr par les armatures comprimes doit
tre infrieur 40% du moment total.
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
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1. Premire mthode de dtermination des armatures :
A : Section totale des armatures comprimes.
d : distance du centre de gravit des armatures comprimes la fibre la
plus comprime. (en pratique on prend hd 10
1
= ).
La section envisage (figure a) peut tre considre comme la somme dedeux section fictives reprsentes sur les figures (b) et (c).
=+=
AA
AAA 21
les armatures comprimes sont ncessaires domaine 2 et le diagrammedes dformations passe par le pivot B.
pour des raisons dconomie,s
doit tre suprieur ou gal L et pour un
cas limite, on prendLs = ; do :
L
L
10005.3
5.3
+= et
ss
LE
fe
=
.
Et en utilisant les triangles semblables ccG et aaG , on trouve :
( )
L
L
L
L
L
L
L
s
dd
dd
yd
dy
=
=
=
=
1000
100015.3
1, do
( ) = Ls 100015.31000
et pour queLs , il faut
que ( ) LL 1000100015.3
L
L
10005.3
10005.3
+
pour chaque type dacier on a une valeur de L pour chaque type dacieron a une valeur de ne pas dpasser [voir tableau ci-aprs].
Ronds lisses Haute adhrence
Fe E215 Fe E235 Fe E400 Fe E50015.1=s 1=s 15.1=s 1=s 15.1=s 1=s 15.1=s 1=s0.58 0.53 0.55 0.50 0.33 0.27 0.23 0.17
A
d
b
A
(a)
d
s
o%5.3
d
dyL=
a a
G
c cb
A1
d
b
(b)
A2
A
(c)
dd
B
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
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Quand est infrieur au valeurs donnes dans le tableau ci-contre la
conditionLs
est ralis.
Les valeurs de (tableau) sont toujours infrieurs celles rencontres en
pratique toujours Ls > ss
fe
= et ss
fe
=
La section fictive reprsente sur la figure (b) quilibrera un moment fictif
2
1 dbM bL = ; LL , L et L1000
sL d
MA
= 11
la deuxime section fictive (Figure c) devra donc quilibrer un moment
rsident :
1MMM = , avec MM 4.0
( )ddM
As
=
;
( ) s
s
s
Add
MA
=
=2
Et les armatures de la section relle seront donc :
+=
=
21 AAA
AA
RsumRsumRsumRsum ::::
2
1 dbM bL = , 1MMM =
( )ddM
As
= ,s
s
sL
Ad
MA
+
=
1
2. Deuxime mthode de dtermination des armatures :
A
h
b
+
a a
G
b
0.8y
M
Fb
Fa
0.4yA
aF
3.5%o
d
c c
B
y
a
(a) (b) (c)
d
L
-
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Soit une section rectangulaire avec armatures comprimes (Fig (a)) et
soumises un moment de flexion M. les figures (b) et (c) reprsentent
respectivement les diagrammes et des contraintes.
On abb ybF = 8.0 sa AF = sa AF =
Avec dy L=
Equations dquilibre :
08.000/ === ybAAFFFF bssabaH
s
bs ybAA
= 8.0
( ) ( ) =+=
04.00/ dyFddFMM bac
( ) ( ) =+ 04.08.0 dyybddAM bs
( )
( )dd
dyybMA
s
b
+
= 4.08.0
M : en [N.m], b, detyen [cm], sb , et s en [Mpa]
A et A : en [cm].
ApplicationApplicationApplicationApplication ::::
Soit la poutre reprsente sur la figure ci-dessous, soumise son poids
propre (g) et une surcharge dexploitation Q= 264 KN.
Acier Fe E400.
MPafc 2528=
Calcul du moment flchissant :
8
lgMG= avec mlKNhbg b /5.46.03.025 ===
mKNMG .78.138
55.4 ==
mKNlQMQ .33045264
4 ===
mKNMMM QG .5143305.178..1335.15.135.1 =+=+=
5 cmA
60
30
5 cm
Ag
2.50 2.50
Q
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
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Dtermination des armatures :
1re mthode (Mthode de superposition).
Vrification de lexistence des armatures comprimes A .
db
M
b
=
,
b
cbc
fMPaf
2828
85.025
==
situation durable et transitoire 5.1=b et 15.1=s .
MPab 2.145.1
2585.0=
=
Fe E400 MPafe 400= et MPafe
s
s 348==
( ) 399.0
55302.14
105142
3
=
= .
668.010005.3
5.3=
+=
L
L
avec 739.1200
1000 =
=s
L
fe
8.0
211
=L et ( ) 392.04.018.0 == LLL
et 733.04.01 == LL
> AL
on utilise le principe de la superposition :
Le moment de rsistance limite est donne par :
( ) mNdbM bL .15150555302.14392.0 22
1 ===
le moment rsiduel est donne par :
mNMMM .88495051510005141 ===
36
55733.0348
15150511 cm
d
MA
Ls
=
=
=
A
h
b
Ad
A1
d
b
(M1)
A2
A
( M )
dd
-
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11/25
( ) ( ) 52.0
555348
88492 cm
dd
MA
s
=
=
=
09.055
5===
d
c ;
34.0739.15.3
739.15.3
10005.3
10005.3?
=+
=+
L
L
MPafe
s
s
sLs 34834.009.0 ===><
donc
( ) ( ) 52.0
555348
88492 cm
dd
MAA
s
=
=
==
et enfin :
=+==
52.36
52.0
21
2
cmAAA
cmA
Remarque :
Sisss
L
L E
=
+
>10005.3
10005.3(car
Ls = AL 392.0399.0
cmdy L 74.3655668.0 ===( )
( )( )
( )555348574.364.074.36302.148.5140004.08.0
+
=
+=
dd
dyybMA
s
b
52.36 cmA=
L
L
10005.3
10005.3?
+
; MPafe
s
sLs 34834.009.0 ==>
52.0348
74.36302.148.034852.368.0cm
ybAA
s
bs =
=
=
52.0 cmA =
Rappels (Flexion simple).Rappels (Flexion simple).Rappels (Flexion simple).Rappels (Flexion simple).
Si 5293.00 cest dire 186.00 le diagramme des dformations
passe par le pivot A (domaine 1) [ ]os %10= , cest dires
s
fe
= .
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
12/25
Si 12593.0 (cest dire Ls < ) ( )ssss E 1000200==
Avec
= 1
15.31000
s
Remarque :
- Si L> (donc Ls < ) la section darmatures calcule ne sera pas conomique,
et pour remdier cela on utilise des armatures comprimes ; donc :
Si > AL et
=
s
sLs
fe
et aussi pour que
=
s
sLs
fe
il
faut que :L
L
10005.3
10005.3
+
si ( )sssssL
L EL
== 100020010005.3
10005.3.
Raccourcissement des armatures comprimesRaccourcissement des armatures comprimesRaccourcissement des armatures comprimesRaccourcissement des armatures comprimes ::::
a. Diagramme des dformations passe par le point A :
%10=s o
Les triangles AaG et ccG sont semblables
dd
dd
Ga
Gc
aA
cc s
=
=
10
1000
=
1101000
s
le raccourcissements
1000 tant connu, la
contraintes dans larmature comprime a pour valeur :
- Si ( )ssLs
=
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
13/25
b. Le diagramme des dformations passe par le point B :
BbGaaG
d
dd
Gb
Ga
bB
aa s
==
5.3
1000
= 115.31000
s
=
=
=
5.3
1000
s
d
dd
y
dy
bB
ccBbGccG
do :
=
5.31000 s
3. Etude dune section pour laquelle larmature3. Etude dune section pour laquelle larmature3. Etude dune section pour laquelle larmature3. Etude dune section pour laquelle larmature
comprimecomprimecomprimecomprime A est connueest connueest connueest connue ::::
ce cas sa prsente gnralement
dans les sections dappuis des poutres
continues, car les armatures comprimes de
cette section constitues par le prolongement
de la totalit, ou dune partie des armaturesprvues dans la partie centrale de la trave,
qui sont dj connues.
Il a dj t dmontrer que :
( ) ( ) s
s
ddAMdd
MA
=
= ))
MMMMMM == 11
s
b dbM
1000et,, 112
11 =
d
MA
s =
1
11
,
( ) s
s
s
Add
MA
=
=2
et enfin les armatures de la section relle seraient :
+=+=
=
s
sAAAAA
AA
121
et comme A est connue, il suffit de connatre s pour rsoudre le problme :
A a
b
d
10 %o
B
c
G
sdy =
3.5 %o
d c
a
L a
+
-
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
14/25
Application NumriqueApplication NumriqueApplication NumriqueApplication Numrique ::::
Soit dterminer les armatures tendues dune section rectangulaire de
dimensions (30 x 70)cmpour laquelle .42.9 cmA =
mKNM .620=
Acier Fe E400, pour une situation durable et transitoire.
MPafc 2528=
Situation durable et transitoire
==
5.1
15.1
b
s
Calcul de larmature tendue A :
( ) ( ) ( )34857042.9 ==
= ss ddAMddM
A
mNM .080213=mNMMM .4069202130806200001 ===
( ) 186.0195.0
70302.14
406920
121
>=
=
=db
M
b
Le diagramme des dformations passe par le pivot B.
MPafe
s
sLsL 3481 ==>
Remarque :
On constate que mNMmNM .0002484.0.213080 ==
890.0195.0 11 ==
42.970890.0348
920406
1
11 +
=
+
=
+=s
s
ss
s Ad
MAAA
19.28 cmA =
Remarque :
Pivot B
=
1
15.31000
s
274.08.0
211195.0 1
1
11 =
==
donc 739.1100061.2274.0
071.0274.05.31000 =>=
= Ls
5
65
7
30
A =9.42 cm
A
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
15/25
4. Armatures symtriques4. Armatures symtriques4. Armatures symtriques4. Armatures symtriques ::::
les armatures symtriques sont prvoir lorsque le moment Mpeut changer
de sens tout en gardant la mme valeur absolue (exemple : pour les poteaux dune
ossature en cas de sisme).
Et MMMM 6.01 == .
Donc
==
MM
MM
6.01
4.0
Par consquent ;
6.0
db
M
b
=
est connue sss ,,, et s .
Et on aura :
( )
+
=+=
==
s
s
s
s
Ad
MAAA
dd
MAA
6.021
4.0
Application numriqueApplication numriqueApplication numriqueApplication numrique ::::
Soit dterminer les armatures de la section arme symtriquement
suivante :
mKNM .400=
Acier Fe E400, MPafc
2528
=
Situation durable et transitoire.
MPaf
b
cb
2.1485.0 28 =
=
( )
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
16/25
57.17348
19843.12
70938.0348
0004006.06.0cmA
d
MA
s
s
s
=+
=
+
=
et enfin on prendra : 57.17 cmAA ==
IV. 2. Section en TIV. 2. Section en TIV. 2. Section en TIV. 2. Section en T ::::
a. Gnralitsa. Gnralitsa. Gnralitsa. Gnralits ::::
Les sections en T se rencontre par
exemple, dans les planchers, les murs de
soutnement, les tabliers de pont et, dune
manire gnrale, dans tous les ouvrages o
lon fait intervenir le hourdis la rsistance de
la poutre.
Puisque le bton tendu est ngligeable dans les calculs de rsistance, la
section en T prsente une forme conomique, car une grande partie du bton tendu
(poids mort inutile) est supprim.
La partie ABCD (voir figure) est appele table de compression, on plus
simplement table.
La partie EFGH est appele nervure.
Remarque :
Si la table se trouve dans la partie comprime (trave), la section de calcul
sera une section en T.
Si la table se trouve dans la partie tendue, la section de calcul sera une
section rectangulaire de largeur FG, car le bton tendu nest pas pris en compte
dans les calculs de rsistance.
ln ln
A
B C
DE
FG
H
L1 L2
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
17/25
b. Largeur de la tableb. Largeur de la tableb. Largeur de la tableb. Largeur de la table ::::
!2
01
blb n
!10
1
Lb ; L: la porte de la poutre.
Remarque :
Dans ltude des sections en T, on distingue deux cas suivant que la zone
comprime, de hauteur gale (0.8y), se trouve situe dans la table (fig-a), on bien
dans la nervure (fig-b).
Fig-a : la section en T sera calcule comme une section rectangulaire de
dimension ( )hb , puisque le bton tendu nintervient pas dans les calculs de
rsistance.
ln ln ln
b0
b1
h0
h - h0
b
40
21 LL +20
1L
40
21 LL +20
1L
101L
101L
xx
3
2x
L1L2
Appuis
intermdiaire
b0
h = (d+c)
b
y 0.8 y
Axe neutre
(Figure a)
b0
h = (d+c)
b
y
0.8 y
Axe neutre
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
18/25
A. Section en T sans armatures comprimeA. Section en T sans armatures comprimeA. Section en T sans armatures comprimeA. Section en T sans armatures comprime ::::
a. Axe neutre dans la table de compression :
Soit la section en T suivante, soumise une momentM0.
Supposant que, pour cette valeur du moment, la hauteur de la zone
comprime soit gale ( )00 8.0 hyh = .
Bilan des efforts :
0hbFb b =
==
=
20
20 000
00/
hdhbM
hdFMM
bba
M0: Moment flchissant quilibr par la table de compression.
Si 0MM laxe neutre se trouve dans la table et la section en T sera calculecomme une section rectangulaire de dimensions ( )hb .
Si > 0MM laxe neutre se trouve dans la nervure et la section de calcul sera une
section en T.
b. Axe neutre dans la nervure :
Fb1: la rsultante des efforts de compressions sur la partie simplement
hachure (ailette) applique 20h de larrte suprieure.
b0
b
h0
d
0.8 y=h0
b .
20h
20hd
Fb
Faa
b0
b
h0
d
0.8 y
b .
20h
Fb2
Faa
Fb1
24.0 0hy
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
19/25
Fb2:la rsultante des efforts de compression sur la partie doublement
hachure applique (0.4y) de larrte suprieure.
Fa:la rsultante des efforts de traction dans les armatures tendues.
Bilans des efforts :
( ) 001 hbbF bb = ; ybF bb = 02 8.0 et sa AF =
Equations dquilibre :
( ) 08.000 00021/ === ybhbbAFFFF bbsbbaH
( ) ( ) =
= 04.08.0
20 0
000/ ydyb
hdhbbMM bba
posons : ( )
=
2
000
hdhbbMMn b et = dy
( ) ( ) 04.018.04.08.0 200 == dbMydybM bnbn
avec ( )2
0
4.018.0db
M
b
n
==
Et on a : ( ) = 08.0 000 ybhbbA bbs
( ) 000
8.0 hbbAybbsb =
et ( ) = 04.08.0 0 ydybM bn
( )[ ] ( ) = 04.000 ydhbbAMn bs
( )[ ]( ) = 04.0100 dhbbAMn bs
( )[ ] 000 = dhbbAMn bs car 4.01=
donc :
( )
s
bn hbbd
M
A
00 +
=
RsumRsumRsumRsum ::::
- Si
=>
2
000
hdhbMM b axe neutre dans la nervure et la section de
calcul est une section en T.
- ( )
=
2
000
hdhbbMM bn
ss
b
n
dbM = 1000,,20
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
20/25
( )
+
=s
bn hbbd
M
A
00
( )
+=
s
bn
d
dhbbMA
00
Met Mnen [MPa]; b, b0,, h0et den [cm] ; ][:enet MPasb A: en [cm].
Application numrique N01Application numrique N01Application numrique N01Application numrique N01 ::::
Acier Fe E400
MPafc 2028=
prendre en compte le poids propre g.
Ferraillage de la section la plus sollicite :
Calcul du moment maximum :
( ) mlKNmlKNSg bb /5.5/5505.02.0112.02500 ==+==
mKNl
gMg
.2.178
55.5
8
2
===
mKNl
QMQ .1354
5108
4=== .
Combinaison fondamentale :
QG 5.135.1 +
+=+= 35.15.12.1735.15.135.1 Qg MMM
mKNM .72.225= .
Vrification de la position de laxe neutre :
Moment rsistant de la table :
==
2
000
hdhbMM
bT
avecb
cb
f
28
85.0 =
MPab 33.11=
( )= 6451212033.11TM
20
5
12
50
120
2.50 2.50
Q=108 KNg
b0
b
0.8y= h0
. cmh
c 510
==
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
21/25
mKNmKNMT
.3.636.103.636 3 ==
TMM< : Laxe neutre tombe dans la table la section en T sera calcule
comme une section rectangulaire de dimension [120 x 50] cm.
Vrification de lexistence de A :
( ) 082.0
4512033.11
1072.225
2
3
=
=
=
db
M
b
Acier Fe E400 0392= L donc :
< AL et MPafe
s
sLs 34810001000 ==>
08.0
211=
=
; 957.04.01 ==
06.1545957.0348
1072.225 3
cmd
MAs
= == 06.15 cmA= .
Application N 02.Application N 02.Application N 02.Application N 02.
Ferrailler la section la plus solliciter de la poutre suivante :
Acier Fe E400
MPafc 2528=
prendre en compte le poids propre de la poutre g.
Ferraillage de la section la plus sollicite :
Poids propre :
( ) ./5.5/5505.02.0112.02500 mlKNmlKgSg bb ==+==
Moment flchissant maximum :
mKl
gMg .2.178
55.5
8
===
mKl
QMQ .5254
5420
4===
20
5
12
50
120
2.50 2.50
Q=420 KNg
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
22/25
combinaison fondamentale :
Qg MM + 5.135.1 .
+=+= 5255.15.535.15.135.1 QMMgM
mKNM .72.810=
Vrification de la position de laxe neutre :
==
2
000
hdhbMM
bT avec MPa
f
b
c
b 2.14
85.0 28 =
=
( ) mKNmNMM T .5.797.105.797645121202.14 3
0 ====
avec 08.0 hy= et on constate que :
>= TMmKNM .72.810 laxe neutre tombe dans la nervure.
Calcul de nM :
( ) ( ) ( )=
= 64512201202.14810720
2
000
hdhbbMM
bn
mKNmNMn .2.146.102.146 3 ==
Vrification de lexistence de A :
( )
254.0
45202.14
102.146
2
3
0
=
=
=
db
M
b
n
Acier Fe E400 392.0= L donc = AL
etLs 10001000 > MPa
fe
s
s 348==
851.0254.0 == .
( ) ( )45851.0348
45851.012201202.14102.146 300
+
=
+=
d
dhbbMA
s
bn
60cmA=
B. Section en T avec armatures comprimesB. Section en T avec armatures comprimesB. Section en T avec armatures comprimesB. Section en T avec armatures comprimes ::::
!si > AL (Cest dire, on renforce la partie comprime de la section de
bton par des armatures de compression).
Pour la dtermination des sections darmatures tendues et comprimes ; on
utilisera le principe de superposition des tats comme pour une section
rectangulaire.
+=
=
21 AAA
AA
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
23/25
le diagramme des dformations de la section avec armatures comprimes est
comme indiqu sur la figure d.
( )
> 480.0simpleFlexion
L Lle diagramme des dformations passe par le pivot
B (domaine 2).
Et la position de laxe neutre est donne par dyL
= .
Dans le cas o les armatures comprimes sont ncssaires ; la partie
comprime stendra toujours dans la nervure (cest dire 08.0 hy> ).
Daprs le principe de superposition dj vu, la section donne par la figure b
quilibre un moment M1donne par :
( )
+=
2
000
2
01
hdhbbdbM bbL .
Et les armaturesA1sont donnes par :
( )
s
b
L
bL hbbd
db
A
00
0
1
+
=
la deuxime section fictive (fig-c) devra donc quilibrer un moment rsiduel
1MMM = (avec MM 4.0 ).
Et les armatures A et 2A sont donnes par :
( )dd
MA
s
= ;
( ) s
s
s
Add
MA
=
=2
Remarque :
Pivot Bs
sLsfe
==
Pivot B( )
s
L
Ls
=
5.31000
Et enfin, on a :
+=
=
21 AAA
AA
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
24/25
RsumRsumRsumRsum ::::
Si > AL
( )
+=
2
000
2
01
hdhbbdbM bbL
1MMM =
( )s
L
Ls
=
5.31000
s
sLs
fe
==
( )dd
MA
s
= ;
( )
s
s
s
b
L
bL
A
hbbd
db
A
+
+
=00
0
1
Met M1 M en [MPa]; b, b0,, h0et den [cm] ; ][:enet, MPassb A et A :
en [cm].
ApplicationApplicationApplicationApplication ::::
Calculer le ferraillage de la section la plus sollicite de la poutre suivante :
Acier Fe E400MPaf
c 2028= .
Prendre en compte le poids propre g.mlKNg /5.5=
Moment flchissant :
mKNl
QMQ .5854
5468
4===
mKNMg .19.17=
combinaison fondamentale :
mKNMMM Qg .7.9005.135.1 =+=
20
5
12
50
120
2.50 2.50
Q=468 KNg
-
7/24/2019 Chapitre 04.Flexion Simple.
25/25
mKNh
dhbMbT
.5.7972
00 =
=
> TMM laxe neutre tombe dans la nervure.
Calcul de Mn:
( )
=
= 212
45121002.149007002
0
00
h
dhbbMM bn
mKNMmNM nn .14.236.236140 ==
vrification de lexistence de A :
( ) 4106.0
45202.14
1014.2362
3
2
0
=
=
=
db
M
b
n
=> AL 392.0
Calcul de 1M :
( )
+=
20
002
01hdhbbdbM bbL
( )
+=
2
1245121002.1445202.14392.0
2
1M
mNM .10890 31 =MmNMMM =
= 739.1100092.2
668.0
111.0668.05.31000
Ls
MPafe
s
s 348==
.
( ) 8.02 cmA
dd
MA
s
==
=
et enfin :
=+==
8.69
8.0
21 cmAAA
cmA