2011 SGM Auteur : ESNOUF Claude CLYM Séminaire 2 CRISTALLOGRAPHIE Indexation et représentation des...

2011

SGM

Auteur : ESNOUF ClaudeCLYM

Séminaire 2CRISTALLOGRAPHIEIndexation et représentation des plans réticulaires

Introduction

Vous êtes autorisé : • A reproduire, distribuer et communiquer, au public, ce document,• A modifier ce document, selon les conditions suivantes : Vous devez

indiquer la référence de ce document ainsi que celle de l’ouvrage de référence : ESNOUF Claude. Caractérisation microstructurale des matériaux : Analyse par les rayonnements X et électronique. Lausanne: Presses polytechniques et universitaires romandes, 2011, 596 p. (METIS Lyon Tech) ISBN : 978-2-88074-884-5.

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2

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INDEXATION et REPRESENTATION des INDEXATION et REPRESENTATION des PLANS RETICULAIRESPLANS RETICULAIRES

Plan réticulaire = plan de réseau (plan qui passe par les nœuds du réseau)

Les homologues parallèles et équidistants passent par tous les nœuds du réseau.

IINDICES DENDICES DE MILLER MILLER : h, k, l pour représenter les plans, u,v, w pour représenter les directions.

x1

x2

x3

a/h

b/k

c/lPLANSPLANS

(111)

a

b

c

4

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(221)

NON

(1 1 0,5)

OUI

(2 2 1)

h, k, l entiers


5

Quelques plans simples :z

x

y

(100)

(100)

Si cubique : (100), (010), (001) sont indiscernables du point de vue de la symétrie : on dit qu’ils appartiennent à la famille {100}

Si quadratique : {100} comprend (100), (010) mais pas (001)

etc.............Le plan hkl est noté (hkl) et par {hkl}, les plans de même symétrie.

z

x

y

(010)(010)


6

Quelques plans simples (suite) :z

x

y

(110)

z

x

y

(-110)

Si cubique : (110), (-110), (011), (01-1), (101), (-101) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {110},

Si quadratique : seuls (110), (-110) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {110}.

1


7

Quelques plans simples (suite) :z

x

y

(111)

z

x

y

(1-11)

Si cubique : (111), (-111), (1-11), (11-1), (et leurs opposés) appartiennent à la famille {111},

Si quadratique : (111), (11-1), (1-11), (-111) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {111}.

1


8

Q : Comment reconnaître les plans d’une même famille ?

R : Ceux qui ont la même symétrie et donc la même distance réticulaire, par exemple.

Exemple :

Cubique {125}{251} {152} .......

Quadratique {125}{215} {-215} {512}

Monoclinique

{125}{1-25} {-125} {12-5} ...

2222hkl

l+k+h=d

1

2

2

2

22

2hkl c

l+

a

k+h=

d

1

222

2

2

2

22

2

2hkl sinac

coshl2-

sinc

l+

b

k+

sina

h=

d

1


9

x2x1

x3

uavb

wc

a b

c

AXESAXES

V

cw+bv+au=V

Remarque :

)hkl(

[uvw]

appartient à si :

hu + kv + lw = 0en toutes bases

De même, mais n’a pas pour composantes h, k, l !!!!!

N

0=.N

N


10

Cas particulier de l’hexagonal (le notation à 4 indices) :

Plans d’une même famille {100}

A6

(010)

(100)

(1-10)

(100) (10-10)

(010

) (0

1-10

)

(1-10) (1-100)

Plans d’une même famille { }0011

a

b

x

y

-(x+y) Ajout d’un 4ème axe


11

Cas particulier de l’hexagonal (suite) :

Notations 4 indices : (hkl) (hkil) avec i = - (h+k)

Par exemple : (125) devient (12-35)

La permutation des 3 premiers indices est autorisée pour les plans d’une même famille (symétrie 6 oblige) :

(2-315) {12-35}

c’est à dire que : d2-315 = d12-35 = d-3215

ou que : d2-35 = d125 = d-325


12

Cas particulier de l’hexagonal (suite) :

Notations 4 indices des directions :

(UVW) (uvtw) avec t = - (u+v)

Par exemple : [123] devient [01-13]

Le passage d’une notation à l’autre est résumée par le tableau :

3 indices 4 indices

Directions

U = 2u + v

V = 2v + u

W = w

u = (2U - V)/3

v = (2V - U)/3

t = - (u + v)

w = W


13

Changements d’axes ?

(hkl)[uvw]

D

a b

c

Ancien

(HKL)[UVW]D

A

B

C

Nouveau

[ ] c

b

a

wvu

wvu

wvu

=

C

B

A

333

222

111

si ........etc=B

cw+bv+au=A 111

Matrice [M]


14

Changements d’axes (suite) :

[ ] W

V

U

www

vvv

uuu

=

w

v

u

321

321

321

soit

cWw+bWv+aWu+

cVw+bVv+aVu+

cUw+bUv+aUu=r

CW+BV+AU=cw+bv+au=r

333

222

111

Soit un vecteur :r

321

321

321

Ww+Vw+Uw=w

Wv+Vv+Uv=v

Wu+Vu+Uu=ud’où :

ce qui s’écrit :

[MT]W

V

U

=

w

v

u


15

c b a

lkh

cba

wvu***

{{

{

anciens

C

B

A

LCW

KBV

HAU

*

*

*

{

{ {nouveaux

M

MT (M)~

M

[M]c

b

a

=

C

B

ATableau d’application :


16

C B A

LKH

CBA

WVU***

{{

{

nouveaux

c

b

a

lcw

kbv

hau

*

*

*

{

{ {anciens

M-1

(M-1)~

M-1

[M]c

b

a

=

C

B

ATableau d’application :


17

ESPACE et RESEAU RECIPROQUES

Direct Réciproque

c b.a=v

c

b

a

****

*

*

*

c b.a=v

v/b a=c

v/a c=b

v/c b=a

0=b c=a c 1=c c

0=c b=a b 1=b b

0=c a=b a 1=a a

***

***

***

compatibles avec :

Exemple : HEXAGONAL

a

*a

b

*b

60°

3a2

)30cos( a1

a donc accb

)30cos( ca v)30cos(ab a

*

2

2


18

PROPRIETESPROPRIETES :

1 - Produit scalaireProduit scalaire :

2 – Indices de MillerIndices de Miller :

Réseau réciproque

****

*******

w w+v v+u u=V V

cw+bv+au=e)(réciproquV

cw+bv+au=(direct)V

x1

x2

x3

a/h

b/k

c/l

a b

c

DIRECTDIRECT N

oH

OH = dhkl x1*

x2*

x3*

ha* kb*

lc*

*a

*b

*c

RECIPROQUERECIPROQUE

hklg

o


19

Réseau réciproque

Soit :

Or :

D’où : ghkl plan (hkl)

g= 1/dhkl (dhkl : distance interréticulaire)

R.R. Espace de points

hkl

hkl

***hkl

d/a N=a g=h

l/c N=k/b N=h/a N=OH=d

l=c g ; k=b g ; h=a g

cl+bk+ah=g

Application : Droite [uvw] d’un plan (hkl) est telle que : est à la droite et donc : hu + kv + lw = 0hklg


20

Réseau réciproque

+

T

1 T

3 – Espace réciproque – Espace de Fourier :3 – Espace réciproque – Espace de Fourier :

Rappel : Notion de série de Fourier

f(t) = - F().exp(2it) F() = t=0

f(t).exp(-2it) dt

Périodique Discret

T

f(t)

t1/T

F()


21

Réseau réciproqueSoit une fonction tripériodique , qui se développe de la manière suivante :

avec

= Transformée de FOURIER (TF)

Si est la période dans l’espace des :

Si on identifie à un vecteur de l’espace réciproque :

* Conclusion : R.R. Espace de Fourier

En tout point de l’espace réciproque d’un cristal, est associé un coefficient de En tout point de l’espace réciproque d’un cristal, est associé un coefficient de FOURIER d’une série à 3 dimensions. FOURIER d’une série à 3 dimensions. Cette série est égale à une fonction Cette série est égale à une fonction décrivant une propriété f( ) de l’espace direct.décrivant une propriété f( ) de l’espace direct.

)z,y,x(f=)r(f

)rRi2exp().g(f=)r(f g

rd )rRi2exp().r(fv

1=)R(f 3

aillem

�-

t

r

entier=tR ou

1=)tRi2exp( )r(f=)t+r(f

entier=lw+kv+hu=tR

)entiers w,v,u( cw+bv+au=t

)entiers l,k,h( cl+bk+ah=g=R ***

R

g

r


22

Une application directe : NORMALE à un PLAN (hkl) :

1 - Systèmes à bases orthogonales : ( , etc ....)

à une constante près

Mais,

donc : = [h/a2, k/b2, l/c2]

Le cas particulier du système cubique entraîne que la normale à un plan (hkl) s’indexe [hkl].

Exemple du quadratique a = 2c : Le plan (401) admet pour normale[4/a2,0,4/a2], c’est à dire : [101].

*** cl+bk+ah=N

222 c

cl+

b

bk+

a

ah=

c

l+

b

k+

a

h=N

N

*a//a


23

2 - Système à base hexagonale :

Normale à un plan (suite)

a

*a

b

*b

60°3a

2=b=a donc 1=a.a ***

2*

22*

22*

c

c=c et

b3

b4+

a3

a2=b ;

b3

b2+

a3

a4=a

2a3

a4 2b3

b2

*a

2

2*22

2*

a3

4=a où'd

a9

16=

b9

4+a :car

222***

c

c+)h+k2(

a3

b2+)k+h2(

a3

a2=cl+bk+ah=N

En notation 4 indices, u = (2U-V)/3 , ....., il vient :

u = 2(4h+2k-2k-h)/9a2 = 2h/3a2

v = 2(4k+2h-2h-k)/9a2 = 2k/3a2

w = l/c2

Finalement, le plan (hkil) prend pour normale : = [h, k, i, 3/2(a/c)2l]N


24

LES

FORMULES

USUELLES

Les distances interréticulaires


25

LES

FORMULES

USUELLES

Les angles entre plans


26

LES

FORMULES

USUELLES

Les volumes de maille


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