2 Un 1er problème de physique : l’oscillateur...

2CHAPITRE Un 1er problème de physique : l’oscillateur harmonique

où on apprend à rédiger un exercice et où on découvre les équationsdifférentielles

Plan du cours

1 Mise en évidence du phénomène 31.1 Description du système masse ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Observation du signal image de l’altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Description et mise en équation du phénomène physique ; notion de modèle en physique 42.1 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Mise en équation : recherche de la position d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Mise en équation : établissement de l’équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficient constant 63.1 Une équation différentielle : une équation vérifiée par une fonction et ses dérivées . . . . . 63.2 L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Résolution (à la sauce physique) d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 type oscil-

lateur harmonique, à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Le signal sinusoïdal, solution d’une équation différentielle de type oscillateur harmonique 104.1 Un signal périodique : un signal se répétant à intervalle de temps régulier . . . . . . . . . . 104.2 Description d’un signal sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Équivalence des deux formes de signaux trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Résolution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique 145.1 Retour sur la masse suspendue au ressort (travaux dirigés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Aspect énergétique : conservation de l’énergie mécanique du système . . . . . . . . . . . . 165.3 Confrontation du modèle et de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4 Détermination de la raideur d’un ressort à partir d’un oscillogramme . . . . . . . . . . . . . 17

MPSI Chapitre 2- Oscillateur harmonique 2019-2020

Les prérequis du lycée

Mécanique• Position, vitesse, accélération ;• forces ; force de rappel élastique, poids, réaction du support ;• lois de Newton ;• énergie cinétique, énergies potentielles, énergie mécanique.

Mathématique

• Dérivation, intégration ;• dérivées et primitives des fonctions usuelles ;• fonctions trigonométriques, trigonométrie.

Les prérequis de la prépa

• Dimensions et unités ;• chiffres significatifs ;• ordres de grandeurs.

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1 Mise en évidence du phénomène

1.1 Description du système masse ressort

l1

z(t )

H

L(t )

z

m

0 0

V

V (t )

5V

(l0,k)

La partie mécanique est constituée d’un ressortde raideur k et de longueur à vide l0. On y suspendun ensemble rigide de longueur lt et de masse to-tale m constitué par une masse solidaire d’une tigeplongeant dans un liquide.

La position z du mobile est repérée grâce à laconductivité électrique de l’électrolyte (solutionde sulfate de cuivre). On impose pour cela une dif-férence de potentiels fixe de 5V entre le sommetet la base de la colonne de liquide, créant ainsi untube de courant. Pour connaître la position z dudisque, il suffit donc de mesurer son potentiel V .

L’extrémité supérieure du ressort est sus-pendue à un fil inextensible dont l’autre extrémitéest fixée au bâti.

Un montage proche donne des résultats semblables : on dispose d’un mobile sur coussin d’air, as-treint à se déplacer sur un seul axe horizontal, accroché à un ressort. Ce montage est plus simple àmodéliser mais il est plus difficile d’obtenir une courbe représentant l’évolution de l’abscisse au coursdu temps. Nous étudierons le second montage dans le cours, le premier faisant l’objet d’un exercice duTD.

1.2 Observation du signal image de l’altitude

On relève, à l’aide d’une carte d’acquisition, le potentiel V , image de l’altitude z.

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Quelle fonction possède une courbe représentative ressemblant à cette acquisition ?

2 Description et mise en équation du phénomène physique ; notionde modèle en physique

2.1 Modélisation du problème

(Prise de notes)

Le rôle de la modélisation en physique et en sciences en général est essentiel. Le modèle est uneidéalisation de la réalité, permettant de faire des calculs simples et de prévoir le comportement du sys-tème.

Qu’est-ce qu’un bon modèle ? Il doit être pratique (la meilleure carte est celle à l’échelle 1, mais n’estpas du tout pratique) et prédictif (une carte trop petite et simplifiée ne sert à rien).

Ici, les éléments de notre modèle seront :

Référentiel : Terrestre supposé galiléen.Un référentiel galiléen est un référentiel privilégié où les lois de la mécanique s’exprime plus simple-ment qu’ailleurs. Il s’agit ici d’une idéalisation, aucun référentiel n’étant parfaitement galiléen. Nousreviendrons sur ces notions au chapitre 11.

Système : Masse assimilable à un point matériel de masse m.La modélisation consiste ici à assimiler le comportement de la masse à celui de son centre de gravité.Ses éventuelles rotations n’auront aucune influence sur son mouvement. Nous reviendrons sur ces no-tions aux chapitres 11 et 29.

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Bilan des actions mécaniques :

• Le poids−→P = m~g =−mg ~uz ;

• La réaction normale du support−→R N = RN ~uz ;

• La force de rappel élastique ou force de Hooke∗ : ~F =−k(l − l0)~ux ;

• Frottements négligés.

Plusieurs hypothèses ont été prise ici : l’absence de dissipation d’énergie, en négligeant tout frottement(des faibles vitesses permettent de limiter les frottements fluides, un tapis à coussin d’air permet delimiter les frottements solides) ; la linéarisation de la force de rappel (valable dans la limite des petitesélongations).

2.2 Mise en équation : recherche de la position d’équilibre

(À savoir refaire par coeur)

La position d’équilibre correspond à la position que prend le système lorsqu’il est au repos. Vousavez vu au lycée qu’un système est à l’équilibre/au repos, lorsque la résultante des actions mécaniquess’appliquant sur lui est nulle. Appliquons ce principe appelé principe d’inertie.

Principe d’inertie / première loi de Newton / principe fondamental de la statique

−→P +−→

R N +~F =~0En projetant cette relation sur les 2 axes Ox et Oz, on obtient

RN = mg−k(l − l0) = 0

La position d’équilibre est celle qui annule la force de Hooke, soit l = l0.Dans la suite, on posera x l’élongation du ressort, c’est-à-dire l’écart x = l − l0 du mobile par rapport

à sa position d’équilibre.

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2.3 Mise en équation : établissement de l’équation du mouvement


On vient de voir que le poids et la réaction du support se compensent. Le seul mouvement possiblese fera sur l’axe Ox. On parlera de mouvement à 1 degré de liberté. Pour déterminer l’équation vérifierpar cette unique coordonnée x appliquons la seconde loi de Newton vue au lycée :

Principe fondamental de la dynamique / seconde loi de Newton / loi de la quantité de mouvement

max =−k(l − l0)

Or, on se souvient que l’accélération est la dérivée de la vitesse ax = d vx

d tet que la vitesse est la

dérivée de la position vx = d x

d t, d’où

d 2x

d t 2+ k

mx = 0

Dans l’équation ci-dessus, l’inconnue x est une fonction ! On appelle ce type d’équation une équa-

tion différentielle car elle lie une fonction (ici x à ses dérivées (ici sa dérivée seconded 2x

d t 2).

L’évolution de l’abscisse x de la masse accrochée à un ressort horizontal est décrite par l’équation dif-férentielle linéaire du second ordre à coefficients constants

d 2x

d t 2+ω2

0 · x = 0 ♥

où ω0 =√

km est la pulsation propre de l’oscillateur, k la raideur du ressort, m la masse du système et l0

la longueur à vide du ressort.

3 Résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficientconstant

3.1 Une équation différentielle : une équation vérifiée par une fonction et ses dérivées

Dans l’équation

d 2x

d t 2+ω2

0 · x = 0

l’inconnue x est une fonction ! On appelle ce type d’équation une équation différentielle car elle lie

une fonction (ici x à ses dérivées (ici sa dérivée seconded 2x

d t 2).

♦ Définition : On appelle équation différentielle une relation entre une ou plusieurs fonctions et leursdérivées. L’ordre d’une équation différentielle correspond au degré maximal de dérivation auquel l’unedes fonctions inconnues a été soumise.

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Exemple

L’équation différentielleduC (t )

d t+ 1

τuC (t ) = E

τest d’ordre 1. L’inconnue est la fonction uc , ten-

sion aux bornes d’un condensateur.

L’équation différentielled 2x(t )

d t 2+ω2

0 · x(t ) = 0 est d’ordre 2. L’inconnue est la fonction x.

♦ Définition : Une équation différentielle est dite linéaire et à coefficients constants si elle peut s’écriresous la forme

a0 y(t )+a1d y(t )

d t+a2

d 2 y(t )

d t 2+ ...+an

dn y(t )

dt n= b.

où les coefficients ak sont des réels (parfois des complexes).

Dans le cas contraire, elle est non linéaire.

Exemple

Les équations différentiellesduC (t )

d t+ 1

τuC (t ) = E

τet

d 2x(t )

d t 2+ ω0

Q

d x(t )

d t+ω2

0 · x(t ) = 0 sont des

équations différentielles linéaires.

Les équations différentiellesd v(t )

d t+ λ

mv2(t ) = g (chute avec frottements en v2) ou

d 2θ(t )

d t 2+

ω20 · sinθ(t ) = 0 (pendule simple avec grandes amplitudes) sont des équations différentielles

non linéaires.

♦ Définition : Une équation différentielle linéaire est dite à coefficients constants si tous les coeffi-cients ak sont des constantes.

Dans le cadre de ce premier cours, nous nous limiterons aux équations différentielles linéaires d’ordre2 à coefficients constants de type oscillateur harmonique. Nous aborderons les équations différentielleslinéaires d’ordre 1 et équations différentielles linéaires d’ordre 2 avec amortissement dans les chapitres5 et 6.Nous verrons par la suite que c’est en prenant des modèles simples, avec des hypothèses simplificatrices(dipôles idéaux, paramètres considérés comme constant, linéarisation autour de points d’équilibre...)qu’on pourra décrire des systèmes pas des équations différentielles linéaires d’ordre 2.

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3.2 L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique

♦ Définition : L’équation différentielle linéaire d’ordre 2

d 2 y

d t 2+ω2

0 · y =ω20K , K ∈R

est appelée équation différentielle de l’oscillateur harmonique.

Par conséquent :

♦ Définition : ♥On appelle oscillateur harmonique à une dimension tout système physique dont la grandeur y évolu-ant dans le temps (tension, courant, position, angle...) est décrite par une équation différentiellelinéaire d’ordre 2 de la forme

d 2 y(t )

d t 2+ω2

0 · y(t ) =ω20 ·K

où ω0 est appelée pulsation propre du système, et K est un réel.

On notera le signe + devant le terme d’ordre 0.

Exemple

• Une masse ponctuelle oscillant sans frottement à l’extrémité d’un ressort horizontal.

• Une masse ponctuelle oscillant sans frottement à l’extrémité d’un ressort vertical.

• Le pendule d’une horloge dans le cas d’oscillations de faible amplitude.

• Vibrations d’un diapason.

• Vibrations des atomes : à l’échelle atomique, on modélise les liaisons par des ressorts.

• On rencontre également des oscillateurs harmoniques en électricité (circuit LC).

3.3 Résolution (à la sauce physique) d’une équation différentielle linéaire d’ordre2 type oscillateur harmonique, à coefficients constants

♦ Définition : On appelle équation différentielle homogène une équation différentielle où le secondmembre b est nul. Dans le cas contraire, c’est une équation différentielle avec second membre.

Vous montrerez en mathématique que la solution générale y d’une équation différentielle linéaireest la somme de la solution générale y0 de l’équation différentielle linéaire homogène et d’une solu-tion particulière y1 de l’équation différentielle linéaire avec second membre.

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La solution générale d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2, donc de la formed 2 y(t )

d t 2+ω2

0 · y(t ) = 0 est une combinaison linéaire de fonctions trigonométrique de la forme

y0 : t 7→ A cos(ω0t )+B sin(ω0t ).

où A et B sont des constantes d’intégration réelles.

Une solution particulière d’une l’équation différentielle linéaire d’ordre 2, donc de la formed 2 y(t )

d t 2+

ω20 · y(t ) =ω2

0 ·K est une fonction constante

y1 : t 7→ K .

La solution générale de l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 est donc une fonction de la forme

y : t 7→ A cos(ω0t )+B sin(ω0t )+K .

Remarques

• "la" solution générale est plutôt une forme générale de solution.• Notez le signe + dans l’équation différentielle linéaire d’ordre 2

d 2 y(t )

d t 2+ω2

0 · y(t ) = 0 donne des solutions bornées y : t 7→ A cos(ω0t )+B sin(ω0t )

mais

d 2 y(t )

d t 2−ω2

0 · y(t ) = 0 donne des solutions divergentes y : t 7→ A exp(ω0t )+B exp(−ω0t )

Il ne reste plus qu’à déterminer les constantes A et B avec deux conditions initiales.Par exemple, si on donne le couple de conditions initiales y(0) = Y0 et y ′(0) =V0, on obtient

y(0) = Y0 ⇔ A cos(0)+B sin(0)+K = Y0

y(0) = Y0 ⇔ A = Y0 −K .

y ′(0) =V0 ⇔ −ω0 A sin(0)+ω0B cos(0) =V0

y ′(0) =V0 ⇔ B = V0

ω0.

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On peut donc conclure que l’unique solution du problème de Cauchyd 2 y(t )

d t 2+ω2

0 · y(t ) =ω20 ·K

y(0) = Y0

y ′(0) =V0

est la fonction

y : t 7→ (Y0 −K )cos(ω0t )+ V0

ω0sin(ω0t )+K .

4 Le signal sinusoïdal, solution d’une équation différentielle de typeoscillateur harmonique

♦ Définition : Un signal est une grandeur physique dont la mesure permet d’accéder à une informationutile. On peut citer : un signal sonore, constitué par les vibrations d’un milieu matériel, en un pointde l’espace ; les signaux de télécommunication (téléphone, télévision, satellite...) qui sont des ondesélectromagnétiques, constitués par la variation d’un champ électrique et magnétique en un point del’espace...

4.1 Un signal périodique : un signal se répétant à intervalle de temps régulier

♦ Définition : ♥La période d’un signal est la plus petite durée T non nulle de répétition d’un motif.

∀t ∈R, s(t +T ) = s(t )

Son inverse, noté f , c’est-à-dire le nombre de motifs par unité de temps est appelée fréquence dusignal.

f = 1

T

La fréquence s’exprime en hertz.

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Ordres de grandeurPhénomène Période FréquencePendule 1s 1HzRotation d’un moteur 2·10−2 s 50HzRéseau EDF 2·10−2 s 50HzRéseau américain 1,7·10−2 s 60HzVibration d’un tympan 5·10−2 s - 5·10−5s 20Hz - 20kHzLa 440 2,3·10−3 s 440Hz

En électromagnétisme : le spectre électromagnétique s’étend sur plusieurs ordres de grandeurRadio FM 1·10−8 s 100MHzTéléphonie mobile 900MHz, 1800MHz, 2100MHz...Wifi 2,4GHz et 5GHzPhoton visible 500THzGBF du laboratoire 10Hz et 10MHz.

Application 1 : Électrocardiogramme

1 Estimer l’ordre de grandeur de la fréquence d’un signal d’électrocardiogramme. On donne 25mmcorrespond à 1 seconde.

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4.2 Description d’un signal sinusoïdal

♦ Définition : ♥Un signal sinusoïdal est décrit par une fonction sinusoïdale du temps

s(t ) = Sm cos(ωt +φ)

où

• le réel positif Sm est appelé amplitude du signal ; l’amplitude s’exprime dans la même unité ques(t ) ;

• le réel positif ω est appelé la pulsation du signal ; elle s’exprime en rad.s−1 ;• le réel φ est appelé phase à l’origine ; elle s’exprime en radian.

(Prise de note)

Remarques

• Les valeurs de s(t ) sont comprises entre +Sm et −Sm .• Certains ouvrages et certains appareils de mesure donnent l’amplitude crête-à-crête (ou peak to

peak). Il s’agit de la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du signal. Elle vautdonc deux fois l’amplitude

Spp=2Sm .

♦ Définition : ♥

• On appelle T = 2π

ω= 1

fla période du signal. Elle s’exprime en seconde (s).

• On appelle f = 1

T= ω

2πla fréquence du signal. Elle s’exprime en hertz (Hz).

• On appelle ω= 2π f = 2π

Tla pulsation du signal, exprimée en rad.s−1.

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(Prise de note)

Remarques

• La pulsation ω est homogène à une vitesse de rotation ou vitesse angulaire : un moteur tournantà 50 tours par seconde (fréquence du phénomène de 50Hz) possède une vitesse de rotation ω =2π×50rad.s−1.

♦ Définition : ♥L’argument de la fonction cosinus, ωt +φ est appelée phase instantanée du signal s(t ).φ est appelée phase à l’origine.

(Prise de note)

Remarques

• φ représente un décalage angulaire appelé déphasage, du signal par rapport à l’origine.

- Si φ< 0, le signal est dit en retard de φ,

- si φ> 0, le signal est dit en avance de φ.

• Passage d’un déphase à un décalage temporelle :

s(t ) = Sm cos(ωt +φ) = Sm cos(ω(t + φ

ω)) = Sm cos(ω(t +τ))

τ= φω

représente un décalage temporelle appelé retard, du signal par rapport à l’origine.

- Si τ< 0, le signal est dit en retard d’un temps τ,

- si τ> 0, le signal est dit en avance d’un temps τ.

Application 2 : Détermination des paramètres d’un signal sinusoïdal à l’oscilloscope

1 Déterminer l’amplitude, la fréquence puis la pulsation et la phase à l’origine des signaux ci-dessous.

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4.3 Équivalence des deux formes de signaux trigonométriques


Nous allons montrer que les 2 formes s(t ) = A cos(ω0t )+B sin(ω0t ) et s(t ) = Sm cos(ω0t +ϕ) sontéquivalentes.

s(t ) = Sm cos(ω0t +ϕ)

= Sm cos(ω0t )cos(ϕ)−Sm sin(ω0t )sin(ϕ)

= Sm cos(ϕ)cos(ω0t )−Sm sin(ϕ)sin(ω0t )

= A cos(ω0t )+B sin(ω0t )

avec A = Sm cos(ϕ)B =−Sm sin(ϕ)

et réciproquement Sm =

pA2 +B 2

cosϕ= ASm

sinϕ=− BSm

5 Résolution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique

5.1 Retour sur la masse suspendue au ressort (travaux dirigés)

Résolution de l’équation différentielle à l’aide des conditions initiales

L’évolution de la position x(t ) est décrite par l’équation différentielle linéaire d’ordre 2

d 2x

d t 2+ω2

0x(t ) = 0

(Démo à savoir refaire par coeur)La solution générale de l’ED homogène est de la forme

∀ t ≥ 0, xH (t ) = A cos(ω0t )+B sin(ω0t ), (A,B) ∈R2

La solution particulière la plus simple est nulle ici, car il n’y a pas de second membre

∀ t ≥ 0, xP (t ) = 0

Remarque importante : La solution particulière correspond à la position d’équilibre.

La solution générale de l’ED est donc de la forme

∀ t ≥ 0, xH (t ) = A cos(ω0t )+B sin(ω0t ), (A,B) ∈R2

Première condition initiale : à t = 0 la masse est libérée de la position x(0) = X0.

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x(t = 0) = X0 ⇔ A cos(ω0 ×0)+B sin(ω0 ×0) = X0

⇔ A = X0

Deuxième condition initiale : à t = 0 la masse est libérée sans vitesse initiale.

d x

d t(0) = 0 ⇔ d x(t )

d t

∣∣∣∣0= 0

⇔ −ω0X0 sin(ω0 ×0)+ω0B cos(ω0 ×0) = 0

⇔ B = 0

D’où

∀ t ≥ 0, x(t ) = X0 cosω0t

Remarques• La pulsation est caractéristique du système.• Elle ne dépend pas de l’amplitude X0 : on parle d’isochronisme.• C’est une propriété des systèmes décrits par des équations différentielles linéaires.

La position de la masse est une fonction sinusoïdale du temps, d’amplitude X0 et de pulsation ω0.

On obtient l’expression de la vitesse à partir de la position

∀ t ≥ 0, x(t ) = X0 cos(ω0t )

∀ t ∈R, v(t ) = d x(t )

d t

⇒ ∀ t ≥ 0, v(t ) =−ω0 · X0 sinω0t

La vitesse de la masse est une fonction sinusoïdale du temps, d’amplitude ω0X0 et de même pulsa-tion ω0. Elle est en quadrature avance sur la position.

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5.2 Aspect énergétique : conservation de l’énergie mécanique du système

(Démo à savoir refaire par coeur)Nous avons, dans ce modèle, négligé les frottements et toutes formes de dissipation d’énergie. Véri-

fions que le résultat trouvé est en accord avec ces hypothèses. Déterminons pour cela l’énergie mé-canique du système.

Par définition de l’énergie cinétique :

Ec=1

2mv2

x = 1

2mω2

0X 20 sin2ω0t = 1

2k X 2

0 sin2ω0t

Par définition de l’énergie potentielle élastique, choisie nulle en x = 0 :

Epe=−w x

0−kxdx = 1

2·k · x2 = 1

2k · X 2

0 cos2ω0t

d’où

Em = Ec +Epe

= 1

2k · X 2

0

(sin2ω0t +cos2ω0t

)= 1

2k · X 2

0

= const ante

Ce qui est compatible avec les hypothèses de départ.

5.3 Confrontation du modèle et de l’expérience

On constate que sur une brève durée, le modèle et l’expérience sont en accords :

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Sur une durée plus longue, des divergences apparaissent : La courbe expérimentale converge vers 0.Il y a dissipation d’énergie par frottement.

On apprendra, dans un chapitre ultérieur, à quantifier la durée caractéristique d’amortissement dusystème et donc à quantifier la durée sur laquelle le modèle de l’OH est pertinent.

5.4 Détermination de la raideur d’un ressort à partir d’un oscillogramme

On suspend une masselotte de masse m = 240g à un ressort de de raideur k inconnue et de longueurà vide l0 = 15cm.

On écarte d’une longueur d de sa position d’équilibre et on la lâche sans vitesse initiale à l’instantt = 0.

L’évolution de la longueur du ressort est présentée ci-dessous.

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1 Établir l’expression de la longueur à l’équilibre à partir du principe d’inertie. Donner son expres-sion en fonction de m, k et l0.

Solution : leq = l0 + mg

k.

2 Rappeler l’expression de la pulsation propre ω0 de l’oscillateur harmonique.

Solution : ω0 =√

k

m.

3 Déduire de la courbe les valeurs de g et k.

Solution : k = 4π2

T 20

·m = 35rad·s−1 ; g = k(leq − l0)

m= 9.9m.s−2.

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Le programme : ce qu’il faut savoir faire

Notions et contenus Capacités exigibles1. Oscillateur harmoniqueMouvement horizontal sans frottement d’unemasse accrochée à un ressort linéaire sansmasse. Position d’équilibre.

Établir et reconnaître l’équation différentiellequi caractérise un oscillateur harmonique. Larésoudre compte tenu des conditions initiales(Paragraphes 2, 5.1, 5.4 ; exercices 2, 3, 4, 8 et 10).

Caractériser le mouvement en utilisant les no-tions d’amplitude, de phase, de période, defréquence, de pulsation (Paragraphes 4.2, 5.1,5.4 ; application 2 ; exercices 1, 3, 6 et 7).

Contrôler la cohérence de la solution obtenueavec la conservation de l’énergie mécanique,l’expression de l’énergie potentielle élastiqueétant ici affirmée (Paragraphe 5.2 ; exercice 2).

Outils mathématiques Capacités exigibles2. Équations différentiellesÉquations différentielles linéaires à coefficients. Identifier l’ordre.

Mettre l’équation sous forme canonique (Para-graphes 2, 3 ; exercices 2, 3, 4, 8 et 10).

Équations différentielles linéaires du premierordre à coefficients constants : y ′+ay = f (x)

Trouver la solution générale de l’équation sanssecond membre (équation homogène) (Para-graphes 2, 3 ; exercices 2, 3, 4, 8 et 10).Trouver l’expression des solutions lorsque f(x)est constante ou de la forme A cos(ωx +ϕ) (enutilisant la notation complexe).

Équations différentielles linéaires du deuxièmeordre à coefficients constants : y ′′+ ay ′+by =f (x)

Utiliser l’équation caractéristique pour trouverla solution générale de l’équation sans secondmembre.Prévoir le caractère borné ou non de ses solu-tions (critère de stabilité).Trouver l’expression des solutions lorsque f (x)est constante ou de la forme A exp(λx) avec λcomplexe.Trouver la solution de l’équation complète cor-respondant à des conditions initiales données.

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Représenter graphiquement cette solution(Paragraphes 2, 3, 5.1 ; exercices 2, 3, 4, 8 et 10).

3. FonctionsFonctions usuelles. Exponentielle, logarithmes népérien et déci-

mal, cosinus, sinus, tangente, puissance réellex → xα, cosinus hyperbolique et sinus hyper-bolique.(Paragraphes 3, 4.2, 4.3 et 5 ; application2 ; exercices 1 à 8 et 10)

Dérivés. Notationd x

d t. Utiliser la formule de Taylor à l’ordre un ou deux

; interpréter graphiquement.Représentation graphique d’une fonction. Utiliser un grapheur pour tracer une courbe

d’équation y = f (x) donnée.5. TrigonométrieFonctions cosinus, sinus et tangente. Utiliser le cercle trigonométrique et

l’interprétation géométrique des fonctions cos-inus, sinus et tangente comme aide-mémoire :relation cos2 x + sin2 x = 1, relations entre fonc-tions trigonométriques et toutes relations dutype cos(π±x) et cos(π2 ±x), parités, périodicité,valeurs des fonctions pour les angles usuels.Connaître les formules d’addition et de duplica-tion des cosinus et sinus ; utiliser un formulairedans les autres cas.(Paragraphes 3, 4.2, 4.3 et 5 ;application 2 ; exercices 1 à 8 et 10)

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TD n2 - Signaux sinusoïdaux et oscillateur harmonique

Exercice 1 : Lecture d’un oscillogramme

1 À partir de l’oscillogramme ci-dessous, donner l’amplitude des deux signaux sinusoïdaux ainsique leurs valeurs moyennes.

2 Donner leurs fréquences et leurs périodes.3 Donner leur déphasage.

Exercice 2 : Un autre exemple : une masse suspendue à un ressort

On suspend à un ressort vertical, de raideur k et de longueur à vide l0, unemasse m.

À l’instant initial, on écarte la masse de sa position d’équilibre et on la lâchesans vitesse initiale de l’altitude xd = ld − leq .

1 Déduire du principe d’inertie l’expression de la position d’équilibre.2 Établir l’équation différentielle vérifiée par l’élongation x du ressort. On

négligera tout frottement.3 La résoudre à l’aide des conditions initiales.4 Définir et donner les expressions des énergies potentielles élastique et de

pesanteur. On les choisira nulle en x = 0 (l = leq ).5 Définir et donner l’expression de l’énergie cinétique de la masse.6 Vérifier la conservation de l’énergie mécanique.

Exercice 3 : Tension aux bornes d’un condensateur

On branche en série une bobine d’inductance L et un condensateur C initialement chargé (uC (t ) =E) séparés par un interrupteur.

À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur.


L C uC

i

On montrera au chapitre 6 que l’équation différentiellevérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur s’écrit

d 2uC (t )

d t 2+ 1

LCuC (t ) = 0.

On cherche ici à résoudre cette équation différentielleen s’aidant de ce que nous avons vu sur le système masse-ressort.

1 Quel type d’équation reconnaissez-vous ? Dans quelcontexte l’avez-vous vue ?

2 Donnez la forme générale de la solution.3 À t = 0, la tension uC vaut E et sa dérivée temporelle est nulle. Déterminez les constantes par les

conditions initiales.

Exercice 4 : Oscillateur harmonique et mécanique quantique

La fréquence de vibration de la molécule de chlorure d’hydrogène HCl est f0 = 8,5·1013 Hz.

On donne les masse molaires : MH = 1,0g.mol−1 et MCl = 35,5g.mol−1 ainsi que le nombre d’Avogadrodénombrant une mole : NA = 6,02·1023 mol−1.

On modélise la molécule de HCl par un atome d’hydrogène mobile relié à un atome de chlore con-sidéré comme fixe par un « ressort » de raideur k.

On donne la célérité de la lumière dans le vide : c = 2,998·108 m.s−1.1 Comment justifier, à partir des données numériques fournies, l’hypothèse d’un atome de chlore

fixe.2 Calculer la valeur de k.3 On admet que l’énergie mécanique de la molécule est Em = h · f0

2 où h = 6,63·10−34 J ·s est la con-stante de Planck. Calculer l’amplitude du mouvement de l’atome d’hydrogène. (On pourra retrou-ver l’expression de l’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique en fonction de cette ampli-tude).

4 L’énergie de vibration est en fait quantifiée selon la relation

Em =(n + 1

2

)h · f0

où n est un entier naturel (n = 0, 1, 2...). La transition du niveau fondamental n = 0 au niveauexcité n = 1 est déclenchée par l’absorption d’une radiation lumineuse. Déterminer la longueurd’onde correspondant à cette radiation. Cette radiation est-elle visible ?

Exercice 5 : Oscillateurs couplés

On considère deux masses identiques M1 et M2 liées l’une à l’autre par un ressort de constante deraideur k ′. M1 est lié à un point d’ancrage O1 fixe par l’intermédiaire d’un ressort de constante de raideurk et, à l’autre extrémité du système, M2 est lié à un point d’ancrage O2 fixe par l’intermédiaire d’unressort de constante de raideur k. Les trois ressorts possèdent la même longueur à vide l0. La distanceentre les deux points d’ancrage vaut L = 3l0.

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9 Faire le bilan des forces extérieures sur M1. On donnera les expressions des forces de rappel enfonction des longueurs l1, l2 et l3 des ressorts et de leur longueur à vide l0.Faire le bilan des forces extérieures sur M2.

10 En utilisant le principe d’inertie sur M1 puis sur M2, déterminer les 3 longueurs à l’équilibre l1eq ,l2eq et l3eq

11 On pose x1 = l1 − l1eq et x2 = l3eq − l3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique àM1 puis M2, établir le système d’équation différentielle vérifié par x1 et x2.

12 On pose u = x1 + x2 et v = x2 − x1. Écrire le nouveau système d’équations différentielles vérifiéespar u et v . Quelles sont les deux pulsations ωI et ωI I intervenant dans ce système. Les comparer.

13 Déterminer l’évolution de u et v en fonction du temps, sachant qu’à t = 0, seule la masse M1 a étéécartée de sa position d’équilibre d’une distance a.

14 En déduire l’évolution de x1 et x2. Commenter les cas limites k ′ → 0 et k ′ →∞.15 Donner l’allure de x1 et x2 dans le cas k ′ ¿ k. Pour cela, on fera apparaitre les pulsations ω0 =

|ωI +ωI I |2 etΩ= |ωI −ωI I |

2 .16 Quel est le nom du physicien en couverture, membre de la Royal Society, codécouvreur de la loi de

compression des gaz avec Boyle, inventeur d’un joint améliorant celui de Cardan, perfectionneurdu microscope, découvreur des cellules vivantes, qui proposa un modèle de déformation élastiquequi porte encore son nom ?

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Pour s’entraîner seul(e) - 2. Signaux sinusoïdaux et oscillateurharmonique

Exercice 6 : Questions de cours

1 Donner l’expression de la force de rappel élastique ou force de Hooke.2 Donner la forme canonique de l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficient constant de

l’oscillateur harmonique.3 Donner l’expression de la pulsation propre d’un système masse ressort.4 Donner la forme des solutions de cette équation différentielle linéaire.5 Définir un signal sinusoïdal ainsi que les paramètres le caractérisant (amplitude, fréquence...).6 Donner et démontrer les relations de passage entre les 2 formes équivalentes suivantes :

s(t ) = Sm cos(ωt +ϕ) = A cos(ωt )+B sin(ωt )

7 Établir puis résoudre l’équation différentielle vérifier par la longueur d’un ressort horizontal, delongueur à vide l0, de raideur k, auquel est accrochée une masse m lâché sans vitesse initiale de laposition X0.

Exercice 7 : Un peu de trigonométrie

1 Déterminer, dans chacun des cas suivant, l’amplitude, la période, la fréquence, la pulsation et laphase à l’origine :

• s1(t ) = 4,0cos(6,28t +1,57) ;

• s2(t ) = 2,5sin(314t ) ;

• s3(t ) = 3cos(10πt )−4sin(10πt ) ;

• s4(t ) = Sp

2cos(( 1

5 t +p

32 )π

);

• s5(t ) = A cos(ω0t + π3 )+ A cos(ω0t − π

3 )+ A2 sin(ω0t + π

2 ).

Exercice 8 : Lecture d’un oscillogramme

1 Donner les caractéristiques (amplitude, période, fréquence, pulsation, phase à l’origine) des deuxsignaux ci-dessous.

2 On définit le déphasage entre les deux signaux comme étant la différence entre la phase à l’originedu signal 2 et la phase à l’origine du signal 1 : ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1. Déterminer ce déphasage. Lequel desdeux signaux est en avance sur l’autre ?


Exercice 9 : oscillateur harmonique

On accroche une masse m à un ressort de raideur k et de longueur à vide l0. La masse, portée par uncoussin d’air, peut glisser sans frottement, et se déplace à l’horizontal suivant l’unique axe Ox.

À l’instant initial, la masse est lancée depuis la position d’équilibre avec la vitesse ~v = v0~ux .

1 Établir l’équation différentielle vérifiée par la longueur x du ressort.2 La résoudre à l’aide des conditions initiales.

Exercice 10, analyse documentaire : Détermination des paramètres d’un ressort

On suspend à un ressort vertical, de raideur k et longueur à vide l0 inconnue, unesérie de poids de masses mi connues. On note pour chacune la longueur du ressort. Lesrésultats sont présentés dans le graphe ci-dessous.

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1 En appliquant le principe d’inertie et en vous aidant du graphique ci-dessus, déter-miner les paramètres k et l0 du ressort.

Exercice 11 : Pendule simple

Un point matériel M de masse m est accroché au bout d’un fil inextensible delongueur l . L’autre extrémité du fil est fixe dansle référentiel de l’observateur.

À t = 0, le point est lâché avec la vitesse angu-laire initialeΩ0 de la position θ = 0.

M

O

θ

Vous montrerez plus tard dans l’année que l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ, lorsqu’iln’est pas trop grand, s’écrit

d 2θ

d t 2+ g

lθ = 0.

On cherche ici à résoudre cette équation différentielle en s’aidant de ce que vous avez vu sur le sys-tème masse-ressort.

1 Quel type d’équation reconnaissez-vous ? Dans quel contexte l’avez-vous vue ?2 Donnez la forme générale de la solution.3 Déterminez les constantes par les conditions initiales.

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Solutions

Exercice 1 :

1) signal 1 : T1 = 1,0ms, f1 = 1,0kHz, ω1 = 6,3 ·103 rad.s−1, Sm1 = 1,0V, ϕ1 ≈ −π2 ; signal 2 :

T2 = 1,0ms, f2 = 1,0kHz, ω2 = 6,3 ·103 rad.s−1, Sm1 = 3,0V, ϕ1 ≈−π6 rad ; 2) ∆ϕ≈ π

3 .

Exercice 2 :

1) xeq = l0+mgk ; 2)

d 2x

d t 2+ω2

0x = 0 ; 3) x(t ) = (xd )cos(ω0t ) ; 4) Epp =−mg x =−mg (l−leq ),

Epe = 12 k(l − l0)2 − 1

2 k(leq − l0)2 ; 5) Ec = 12 m

(d x

d t

)2

; 6) Em = 12 kx2

d .

Exercice 3 :

2) uc (t ) = E cos(ω0t ) avec w0 = 1pLC

.

Exercice 7 :ϕ2 =−π

2 ; Sm3 = 5,ϕ3 ≈ 0,93rad ; Sm5 = 52 A,ϕ5 = 0.

Exercice 8 :

1) signal 1 : T1 = 20ms, f1 = 50Hz, ω1 = 314rad.s−1, Sm1 = 46V, ϕ1 ≈ 0rad ; signal 2 : T2 = 20ms,f2 = 50Hz, ω2 = 31rad.s−1, Sm1 = 68V, ϕ1 ≈ 2π

3 rad ; 2) ∆ϕ= 2π3 .

Exercice 9 :

1)d 2l

d t 2+ω2

0l =ω20l0 avec w0 =

√km ; 2) l (t ) = v0

ω0sin(ω0t ).

Exercice 10, analyse documentaire :

1) k = 26N.m−1, l0 = 7,5cm .

Exercice 11 :

3) θ(t ) = Ω0ω0

sin(ω0t ) avec w0 =√

gl ..

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2 Un 1er problème de physique : l’oscillateur...

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