11

Il y a problème et problèmeIl y a problème et problème

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Université de LiègeUniversité de Liège

22

Les problèmes en mathématiques : Les problèmes en mathématiques : difficiles mais incontournablesdifficiles mais incontournables

« Ne dites pas : « Ne dites pas : ce problème est difficilece problème est difficile. Sinon, ce ne . Sinon, ce ne serait pas un problème (Poincaré)serait pas un problème (Poincaré)

33

Les problèmes en mathématiques : un sujet récurrentLes problèmes en mathématiques : un sujet récurrent

44

Les problèmes en mathématiques : Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vueune variété de points de vue

Idée de malaise, d’obstacle :Idée de malaise, d’obstacle :

55

Les problèmes en mathématiques : Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vueune variété de points de vue

Idée de malaise, d’obstacle :Idée de malaise, d’obstacle :

66

Les problèmes en mathématiques : Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vueune variété de points de vue

Idée de forme d’apprentissage :Idée de forme d’apprentissage :

77

Les problèmes en mathématiques : Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vueune variété de points de vue

Ou d’absence de guidance :Ou d’absence de guidance :

88

Les problèmes en mathématiques : Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vueune variété de points de vue

Idée de nouveauté :Idée de nouveauté :

99

Les problèmes en mathématiques : Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vueune variété de points de vue

Réponses d’étudiants :Réponses d’étudiants : Obstacle, malaise, nouveauté, difficulté liée au problème Obstacle, malaise, nouveauté, difficulté liée au problème

ou à l’un ou l’autre concept, nouveauté, absence de ou à l’un ou l’autre concept, nouveauté, absence de guidance, gymnastique intellectuelle, modélisation de guidance, gymnastique intellectuelle, modélisation de problèmes « concrets », appel au raisonnement logique, problèmes « concrets », appel au raisonnement logique, réorganisation de données, absence de « recette » et réorganisation de données, absence de « recette » et obligation de choisir une méthode ou plusieurs, …obligation de choisir une méthode ou plusieurs, …

Fonctions didactiques : évaluation, introduction d’un Fonctions didactiques : évaluation, introduction d’un concept, motivation des élèves, …concept, motivation des élèves, …

1010

Les problèmes en mathématiques : Les problèmes en mathématiques : des questions à problématiserdes questions à problématiser

Qu’est-ce qu’un problème concret ?Qu’est-ce qu’un problème concret ? La modélisation mathématique se réduit-elle à une La modélisation mathématique se réduit-elle à une

démarche de traduction du langage courant en langage démarche de traduction du langage courant en langage mathématique ?mathématique ?

La résolution des problèmes est-elle réservée à des La résolution des problèmes est-elle réservée à des élèves forts ?élèves forts ?

Motive-t-on les élèves à travers les problèmes ?Motive-t-on les élèves à travers les problèmes ? Par quel type de guidance les aider sans vendre la Par quel type de guidance les aider sans vendre la

mèche?mèche? Y a-t-il des contenus qui « posent problème » plus que Y a-t-il des contenus qui « posent problème » plus que

d’autres ?d’autres ?

1111

Trois façons, parmi d’autres, Trois façons, parmi d’autres, de parler des problèmesde parler des problèmes

De la psychologie à la didactique, on s’intéresse De la psychologie à la didactique, on s’intéresse à la résolution de problèmes mais pas forcément à la résolution de problèmes mais pas forcément de la même manièrede la même manière

Visite de trois « lieux » où l’on parle de Visite de trois « lieux » où l’on parle de problèmes, à travers des exemplesproblèmes, à travers des exemples

1212

1313

1414

De l’idée de difficulté aux De l’idée de difficulté aux obstacles psychologiquesobstacles psychologiques

Psychologues du comportement : attitudes et Psychologues du comportement : attitudes et habitudes mentales des sujets, restrictions habitudes mentales des sujets, restrictions implicites, … implicites, …

exemples : allumettes de Duncker, 9 points de exemples : allumettes de Duncker, 9 points de Maier, sections planes de solides, brainstormingMaier, sections planes de solides, brainstorming

1515

Oser sortir du cube …Oser sortir du cube …

1616

Existe-t-il des « méthodes » Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ?de résolution de problèmes ?

Construire un triangle dont on donne les Construire un triangle dont on donne les longueurs des trois médianes :longueurs des trois médianes :

1717

Existe-t-il des « méthodes » Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ?de résolution de problèmes ?

« Considérons le problème comme résolu »« Considérons le problème comme résolu »

Recherche de lieux auxquels appartiennent des Recherche de lieux auxquels appartiennent des points clés : il faudrait deux lieux pour un même points clés : il faudrait deux lieux pour un même pointpoint

1818

Existe-t-il des « méthodes » Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ?de résolution de problèmes ?

Deux lieux pour E : cercle CDeux lieux pour E : cercle C33 et cercle C et cercle C22, image , image

de Cde C11 lieu de D par une homothétie lieu de D par une homothétie

1919

Existe-t-il des « méthodes » Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ?de résolution de problèmes ?

Méthode des deux lieux:Méthode des deux lieux:

« D’abord, ramener le problème à la construction d’UN « D’abord, ramener le problème à la construction d’UN SEUL point.SEUL point.

Puis diviser la condition en DEUX parties telles que Puis diviser la condition en DEUX parties telles que chacune d’elles fournisse un lieu géométrique pour le chacune d’elles fournisse un lieu géométrique pour le point inconnu; chaque lieu étant soit une droite, soit un point inconnu; chaque lieu étant soit une droite, soit un cercle »cercle » (Polya) (Polya)

Exemples : construction d’un triangle dont on connaît les Exemples : construction d’un triangle dont on connaît les côtés, détermination d’une fonction répondant à côtés, détermination d’une fonction répondant à plusieurs conditions à partir d’un modèle paramétréplusieurs conditions à partir d’un modèle paramétré

2020

Existe-t-il des « méthodes » Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ?de résolution de problèmes ?

Débat, en psychologie cognitive, sur l’efficacité Débat, en psychologie cognitive, sur l’efficacité des méthodes générales ou celle de méthodes des méthodes générales ou celle de méthodes spécifiquesspécifiques

Etapes d’une résolution de problèmes par Schoenfeld : Etapes d’une résolution de problèmes par Schoenfeld : lecture de l’énoncé, analyse du problème, exploration lecture de l’énoncé, analyse du problème, exploration des solutions possibles, planification d’une ou plusieurs des solutions possibles, planification d’une ou plusieurs stratégies de résolution, application de la ou des stratégies de résolution, application de la ou des solutions, vérification de la solution en regard des solutions, vérification de la solution en regard des données initialesdonnées initiales

Méthodes spécifiques : méthode des deux lieux, Méthodes spécifiques : méthode des deux lieux, méthode des figures semblables (construction d’un méthode des figures semblables (construction d’un triangle dont on donne les angles et le périmètre)triangle dont on donne les angles et le périmètre)

2121

Existe-t-il des « méthodes » Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ?de résolution de problèmes ?

« Un problème de géométrie analytique étant posé, « Un problème de géométrie analytique étant posé, après avoir reconnu à quel genre, parmi ceux que nous après avoir reconnu à quel genre, parmi ceux que nous allons indiquer, il appartient, nous voulons donner les allons indiquer, il appartient, nous voulons donner les indications générales qui permettent d’arriver, aussi indications générales qui permettent d’arriver, aussi simplement que possible, à la solution qu’il comporte. simplement que possible, à la solution qu’il comporte. Chaque énoncé particulier doit d’abord être Chaque énoncé particulier doit d’abord être classéclassé; ; quand on a trouvé son quand on a trouvé son genregenre, on applique au problème , on applique au problème proposé les idées qui sont attachées à ce genre. Elles proposé les idées qui sont attachées à ce genre. Elles donnent une voie; il ne reste plus qu’à diriger les calculs donnent une voie; il ne reste plus qu’à diriger les calculs avec exactitude » (Cours à l’usage des Candidats à avec exactitude » (Cours à l’usage des Candidats à l’Ecole Centrale et à l’Ecole Polytechnique)l’Ecole Centrale et à l’Ecole Polytechnique)

Efficacité plus grande des méthodes spécifiquesEfficacité plus grande des méthodes spécifiques

2222

Et ces fameuses « situations-problèmes » ?Et ces fameuses « situations-problèmes » ?

« La coquille de l’argonaute » : une « situation-« La coquille de l’argonaute » : une « situation-problème » relative à un cas de similitudeproblème » relative à un cas de similitude

Il s’agit de faire découvrir aux élèves le cas de Il s’agit de faire découvrir aux élèves le cas de similitude de deux triangles qui s’appuie sur similitude de deux triangles qui s’appuie sur l’égalité de deux angles en leur faisant l’égalité de deux angles en leur faisant construire une spirale rectiligne et analyser ses construire une spirale rectiligne et analyser ses propriétés (programme FESeC)propriétés (programme FESeC)

2323

2424

2525

Savoirs concurrents des cas de similitudeSavoirs concurrents des cas de similitude

Un préambuleUn préambule : : « « Axiome fondateur de la géométrie, le principe Axiome fondateur de la géométrie, le principe de l’égalité par superposition s’appuie essentiellement sur la notion de l’égalité par superposition s’appuie essentiellement sur la notion de mouvement; la géométrie est ainsi fondée empiriquement sur le de mouvement; la géométrie est ainsi fondée empiriquement sur le lien entre corps solide et mouvement, et c’est la coïncidence par lien entre corps solide et mouvement, et c’est la coïncidence par transport d’un corps sur un autre qui permet de conclure à l’égalité transport d’un corps sur un autre qui permet de conclure à l’égalité de deux corps […]. Le problème de la géométrie est alors d’énoncer de deux corps […]. Le problème de la géométrie est alors d’énoncer a priori des conditions d’égalité, ce qui permettra d ’éliminer le a priori des conditions d’égalité, ce qui permettra d ’éliminer le mouvement, remplacé par un raisonnement s’appuyant sur des mouvement, remplacé par un raisonnement s’appuyant sur des critères d’égalité ainsi définis »critères d’égalité ainsi définis » (R. Bkouche) (R. Bkouche)

Donc la référence au mouvement ou l’exploitation des Donc la référence au mouvement ou l’exploitation des isométries concurrencent l’utilisation des critères isométries concurrencent l’utilisation des critères d’isométrie. Et pour la similitude ?d’isométrie. Et pour la similitude ?

2626

Savoirs concurrents des cas de similitudeSavoirs concurrents des cas de similitude

Pour vérifier que deux triangles sont semblables, on peut :Pour vérifier que deux triangles sont semblables, on peut : Déplacer l’un dans l’autre et vérifier le parallélisme des Déplacer l’un dans l’autre et vérifier le parallélisme des

cotés non confondus cotés non confondus (d’après le texte, les élèves sont censés (d’après le texte, les élèves sont censés savoir que les triangles sont alors homothétiques)savoir que les triangles sont alors homothétiques)

Démontrer la similitude en exploitant l’égalité des angles Démontrer la similitude en exploitant l’égalité des angles correspondants et le théorème de Thalès dans les correspondants et le théorème de Thalès dans les trianglestriangles

Mettre en évidence l’existence d’une similitude qui Mettre en évidence l’existence d’une similitude qui envoie l’un sur l’autreenvoie l’un sur l’autre

Utiliser un critère de similitudeUtiliser un critère de similitude

Ici les élèves utilisent ce qu’ils savent faire et ce qui est Ici les élèves utilisent ce qu’ils savent faire et ce qui est induit par l’énoncé mais ne tombent pas … sur le savoir induit par l’énoncé mais ne tombent pas … sur le savoir visé !visé !

2727

Le caractère fondamental des Le caractère fondamental des « situations-problèmes »« situations-problèmes »

D’où une caractéristique importante des D’où une caractéristique importante des « situations-problèmes » : le savoir visé doit être « situations-problèmes » : le savoir visé doit être la réponse optimale, si ce n’est exclusive, pour la réponse optimale, si ce n’est exclusive, pour répondre à la question posée et aux questions répondre à la question posée et aux questions du même typedu même type

2828

Un « flou artistique » autour Un « flou artistique » autour des « situations-problèmes »des « situations-problèmes »

Une pédagogie de la recherche (programmes FESeC); caractéristiques d’une situation d’apprentissage :

Elle constitue un défi, suscite un étonnement, crée une surprise, Elle invite l’élève à faire quelque chose (compter - faire un dessin - calculer -

couper …), Elle laisse à l’élève une certaine liberté quant au choix de sa méthode et de

ses conjectures et met en œuvre sa créativité Elle est issue du terrain de l’élève Elle met en œuvre une réflexion qui dépasse l’utilisation immédiate de

résultats antérieurs Elle permet de rencontrer plusieurs notions différentes Elle conduit l’élève à rédiger sa démarche, son raisonnement

2929

Le questionnement des mathématiquesLe questionnement des mathématiquescomme rupture épistémologique de la comme rupture épistémologique de la didactique avec les autres sciences de didactique avec les autres sciences de

l’éducationl’éducation

« La singularité originaire de la didactique consiste à prendre « La singularité originaire de la didactique consiste à prendre comme objet premier à étudier (et donc à questionner, à modéliser comme objet premier à étudier (et donc à questionner, à modéliser et à problématiser selon les règles de l’activité scientifique), non pas et à problématiser selon les règles de l’activité scientifique), non pas le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir mathématique qu’ils sont censés étudier ensemble, ainsi que mathématique qu’ils sont censés étudier ensemble, ainsi que l’activité mathématique que leur projet commun d’étude les portera l’activité mathématique que leur projet commun d’étude les portera à réaliser. Pour expliquer les faits d’enseignement auxquels elle se à réaliser. Pour expliquer les faits d’enseignement auxquels elle se voit confrontée, la didactique postule que le ‘mystère’ est dans les voit confrontée, la didactique postule que le ‘mystère’ est dans les mathématiques, et non pas dans les sujets qui ont à apprendre et à mathématiques, et non pas dans les sujets qui ont à apprendre et à enseigner les mathématiques. » enseigner les mathématiques. » (M. Bosch, Y. Chevallard, 1999)(M. Bosch, Y. Chevallard, 1999)

3030

Le questionnement des mathématiquesLe questionnement des mathématiquescomme rupture épistémologique de la comme rupture épistémologique de la didactique avec les autres sciences de didactique avec les autres sciences de

l’éducationl’éducation

En particulier, la possibilité de faire travailler les élèves En particulier, la possibilité de faire travailler les élèves « en autonomie » est fonction d’une bonne « en autonomie » est fonction d’une bonne « adéquation » entre la question posée et le savoir « adéquation » entre la question posée et le savoir mathématique visé. D’où l’intérêt de penser « math » mathématique visé. D’où l’intérêt de penser « math » avant de penser « élèves »avant de penser « élèves »

3131

Quel est l’impact des «situations-problèmes » Quel est l’impact des «situations-problèmes » qui n’ont pas un caractère fondamental ?qui n’ont pas un caractère fondamental ?

Les élèves ne sont pas dupes du caractère factice de Les élèves ne sont pas dupes du caractère factice de certaines situations concrètescertaines situations concrètes

A la longue, cela provoque désintérêt et dérespon-A la longue, cela provoque désintérêt et dérespon-sabilisation des élèvessabilisation des élèves

Nécessité d’inscrire les « situations-problèmes » dans un Nécessité d’inscrire les « situations-problèmes » dans un cadrage didactique plus vaste : TSD et TADcadrage didactique plus vaste : TSD et TAD