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1 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

4) Les vibrations du réseau

4.1 Rappels sur l’oscillateur harmonique

4.1.1 Le potentiel Harmonique en Mécanique classique

Potentiel harmonique 21( )

2V x kx

22 2 2 21 1

2 2 2M

pE T V M x M x

M

VF M kx

x

2

20

d xM kx

dt

Equation du mouvement

cosMx x t k

M

( )V x

Mx Mx0 x

E

Energie totale


Potentiel quelconque


2

0 0 0

1( ) ( ) "( )( )

2V x V x V x x x

0"( )k V x 0"( )V x

M

( )V x

x

0x

0V

Ordres de grandeur

0 Åx

0V eV

0 2"( )

Å

eVV x

13 10"( )10

V xs

M 2710M kg (THz)

12 110 s

20 110

10J eV 3410 Js

interaction avec onde électromagnétique dans l’infrarouge

Développement au 2nd ordre


4.1.1 Le potentiel Harmonique en Mécanique quantique

22 21

2 2

pH T V M x

M

( )V x

0 x

12

( )nE n

02

E

Energie de « point zéro »

Niveaux équidistants

Remarque: retrouver l’énergie de point zéro avec la mécanique classique et le principe d’incertitude

22 2( ) 1( )

2 2

pE M x

M

( )( )2

p x

22

2

1( )

8 ( ) 2E M x

M x

minimisation 0

2E

( )2

xM

Rq: L’hélium ne cristallise jamais même à 0K

(énergie de point zéro). Sauf sous pression>25atm



4.2 La chaine linéaire

a

2nu

1nu nu

2nu1nu

n nx na u

2

0 1

1( )

2n n

n

V V K u u

2

2

0u

VK

u


4.2.1 Un atome par maille



Equations du mouvement

2

2

n

n

d u VF M

dt u

22

2

2

1 12(2 )n

n n n

uKa

x

d uM K u u u

dt

( ) i t

n nu t u e

2

1 1(2 )n n n nM u K u u u

Chaine linéaire en mouvement

Système d’équations linéaires couplées

Equation dynamique


1 1

2 2

2

2 1 0 0

1 2 0

0 0

0 2 1

0 0 1 2 N N

u u

u uK

M

u u

D


Matrice dynamique

Même matrice que les liaisons fortes

Chaine finie Chaine cyclique: BVK

0 1 0Nu u

n N nu u

Conditions aux limites

(voir TD)


0

ikna

nu u e

2 22 4(1 cos ) sin ( / 2)

k

K Kka ka

M M

4sin( / 2)k

Kka

M


BVK

1ikNae 2 j

kNa

/ 2, ,0, , / 2j N N

( )k

a

a

2

a

2

a

0

2

1 1(2 )n n n nM u K u u u

( Th. De Bloch)

max

4K

M

k



124(10 )Max

KTHz Hz

M

infrarouge

micronphotons vibrations

ka

Bord de zone

0 0( 1)in n

nu u e u

Longueur d’onde la plus courte

Difficile à détecter avec la lumière

110Max eV

22a

a

0photons vibrationsk k



k

Kak vk

M

Kv a

M

2 2

2 2

u uC

t x

Equation des ondes (passage au continu)

Cv

M

a

2

2

VC a

u

La vitesse du son

Vitesse de groupe

gvk

Vitesse de phase

vk

cos2

g

kav v

densité

constante élastique

vk

a

a

2

a

2

a

0

gv

v

a

k

0k


4.2.2 Deux atomes par maille


0 2a a

1nu 1nv

nu1nunv

2

2 1

2(2 1)

n n

n n

x na ux n a v

1M

2M


2

1 122n

n n n

d uF M K u v v

dt

( ) i t

n nv t v e

2

1 12

2 1

(2 )(2 )

n n n n

n n n n

M u K u v vM v K v u u


Equations du mouvement

2

2 122n

n n n

d vF M K v u u

dt

( ) i t

n nu t u e

0 2inka

n nu u e

0 2inka

n nv v e

2( ) kD k V V

2

1 1 2

2

21 2

2 1

( )1 2

ika

ika

e

M M MD k K

e

MM M

1

2

M uV

M v

(Th. de Bloch)



2

2 2 20 1 1 sin2

k ka

2 1 20

1 2

2 ( )K M M

M M

2 1 2

2

1 2

4M M

M M

k

1

2K

M

2

2K

M

1 2

1 12K

M M

1 2M M

0 2a a

branche

acoustique

branche optique

Gap

(=0 si M1=M2)



•mode acoustique

•mode optique

0k

Vibration en phase

Vibration en opposition de phase

•Remarque

nn

n

uP

v

1nP

2

1

n

MP

M

mode acoustique

(translation globale du système)

mode optique

(conserve le centre de masse)

Dipôle alternatif

dans cristal ionique


4.3.1 3D 1atome/maille


( , , )x y z

n n n nu u u u

2

3 3

( ) ( ) ( )kD k X k X k

0k

3 modes 2T

1L

3N équations

.( ) ( )

ni k R t

nu t u k e

4.3 Cas général

3 équations

( ) ( )X k Mu k


longitudinal

transversal


Plus facile de cisailler que de compresser

//k u

k u



2

3 3

( ) ( ) ( )k

p p

D k X k X k

ka

3 branches

acoustiques

3p-3 branches optiques

4.3.1 3D p atomes/maille

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