11 – Assurance, Hedging et Options Réelles

11 – Assurance, Hedging et Options Réelles

Chapitre 18, 21, et 34Hull, 8 éd.

Plan de la séance

• Assurance de Portefeuille

• Delta Hedging

• Options Réelles

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Couverture de Portefeuille et Delta Hedging

• Assurance de portefeuille d’actions– Avec des options– Par rebalancement dynamique

• Couverture de portefeuille d’actions• Avec des contrats à terme• Avec des options

• Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging• Avec des actions ou contrat à terme• Avec des options• Les lettres grecques

• Value at risk (VaR)

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Assurance de portefeuille d’actions

• Différence entre assurance et couverture

• Couverture de portefeuille:– Stratégie qui permet d’éliminer complètement ou partiellement la valeur

d’un portefeuille.– Le mot «couverture» est souvent utilisé dans le sens d’une stratégie qui

élimine le risque complètement, donc que la valeur d’un portefeuille ne changera pas.

• Assurance de portefeuille:– La notion d’assurance de portefeuille est similaire à la notion de

couverture sauf que le terme «assurance» définit généralement une stratégie qui garantit une valeur minimum pour le portefeuille, et donc s’apparente à une option de vente.

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• Assurance de portefeuille avec option de vente sur indice

• Les options sur indices boursiers peuvent être utilisées pour de l’assurance de portefeuille d’actions

• Il suffit de choisir le bon indice : c’est-à-dire le plus corrélé avec le portefeuille

• http://www.m-x.ca/nego_liste_fr.php

5

Portefeuille non couvert

Prix de l’action

Put

Portefeuille couvert

http://www.m-x.ca/nego_liste_fr.php


• Assurance de portefeuille avec option de vente sur indice

• Si le portefeuille a un b de 1.0, le gestionnaire de portefeuille achètera 1 contrat d’option de vente sur indice pour chaque 100 x S0 dollars détenus.

• Si le b n’est pas 1.0, le gestionnaire achètera b contrats d’option de vente pour chaque 100 x S0 dollars détenus. Il faut se servir du CAPM dans ce cas-ci.

• Dans chacun des cas, le prix d’exercice est choisi pour assurer le niveau d’assurance désiré

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• Exemple :

– Le beta du portefeuille est 1.0– La valeur actuelle du portefeuille est 1M $– Le niveau actuel de l’indice S = 500

– Le gestionnaire veut maintenir la valeur du portefeuille au dessus de 960 000 $ (sans tenir compte du coût de la stratégie)

• Quel stratégie doit-il adopter?

• Qu’arrive-t-il si le prix de l’indice descend à 400?

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• Solution :• Stratégie:

– Position longue dans le portefeuille– Couverture avec une position longue dans des options de

ventes• Nombre de contrats :

– 1 M$ / (500 x 100$) = 20 contrats• Prix d’exercice:

– Perte maximale possible = (960 000 / 1 M) – 1 = - 4%• Comme le bêta du portefeuille est de 1, l’indice de marché variera de

la même façon.– Le prix d’exercice sera donc de 500 x (1-.04) = 480 = K

8


• Vérification si l’indice baisse à 400, soit une perte de 20%• Valeur du portefeuille:

1M$ x 0.8 = 800 000$

• Profit des options de vente:

(480 – 400) x 100$ x 20 = 160 000$

• Valeur totale:800 000 + 160 000 = 960 000$

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• Exemple 2 :

– Le beta du portefeuille est 2.0– La valeur actuelle du portefeuille est 1M $– Le niveau actuel de l’indice est 250– Le taux sans risque r = 8% par année– Le rendement de l’indice q = 3% par année– Le gestionnaire veut maintenir une valeur minimum de 900 000$ (sans tenir

compte du coût de la stratégie)?

• Quel stratégie doit-il adopter?

• Quelle est la valeur du portefeuille si l’indice descend à 230 dans un an?

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Assurance de portefeuille d’actions• Solution 2 :• Stratégie:

– Position longue dans le portefeuille– Couverture avec une position longue dans des options de ventes

• Nombre de contrats :– 2 x [1 M$ / (250x100)] = 80

• Prix d’exercice :– Perte maximale possible = (900 000 / 1 M) – 1 = - 10% = re

– Attention : Le b est différent de 1– On utilise de le CAPM : re= rf + b (rm+ q - rf)

-10% = 0.08 + 2( rm + 0.03 – 0.08) rm = -0.04

– Le prix d’exercice de l’option sur indice sera K = 250 (1 – 0.04) = 240

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• Solution 2 :• Quelle est la valeur du portefeuille si l’indice descend à 230 dans un

an?– Perte de l’indice = (230/ 250) – 1 = - 8% = rm

– Attention : Le b est différent de 1– On utilise de le CAPM pour obtenir la perte du portefeuille : re= rf + b (rm+

q - rf)

re= 0.08 + 2( -0.08 + 0.03 – 0.08) re = -0.18

– Valeur du portefeuille = 1M$ x (1 – 0.18) = 820 000$– Gain sur le Put : (240-230)x80x100 = 80 000$– Soit un total de 900 000$

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• Solution 2 :• Choix d’un niveau d’assurance : exemple de tableau rapide

à faire

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Niveau de l’indice = prix d’exercice de

l’option Valeur du portefeuille

260 1 060 000$

250 980 000$

240 900 000$

230 820 000$

220 740 000$

Assurance par rebalancement dynamique

• Plutôt que d’acheter une option de vente, on la crée synthétiquement en gérant la proportion du portefeuille investie en actions et en titres sans risque (obligations).

• Pourquoi créer des options synthétiques?– Les options n’existent pas pour un certain sous-jacent.– Il y a un manque de liquidité dans le marché des options.– Besoins précis en terme d’échéance et de prix d’exercice.

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• Attention :• L’exemple suivant est la technique qui était utilisée par les ordinateurs lors du

Crash d’octobre 1987 où entre le 14 et le 16, la plupart des indices ont chuté de 30%– La technique n’a pas créé le Crash en elle même, mais elle a juste accéléré le processus une fois

enclenché

• À la suite de cet événement, on a instauré un système de disjoncteurs (Breakers) pour arrêter les transactions systématiques issues de processus si les prix baissent trop rapidement sur les marchés principaux et alternatifs (sociétés privées). Le système a encore été amélioré après 2008 et le flash crash du 6 mai 2010– http://en.wikipedia.org/wiki/2010_Flash_Crash

• L’exemple permet de comprendre comment l’assurance fonctionne, mais aussi comment elle peut facilement engendrer une spirale à la baisse si tout le monde fait la même chose

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http://en.wikipedia.org/wiki/2010_Flash_Crash

Assurance par rebalancement dynamiqueNEW YORK, March 30, 2012 -- The New York Stock Exchange will implement new circuit-breaker collar trigger levels for second-quarter 2012 effective Monday, April 2, 2012.

Circuit-breaker points represent the thresholds at which trading is halted marketwide for single-day declines in the Dow Jones Industrial Average (DJIA). Circuit-breaker levels are set quarterly as 10, 20 and 30 percent of the DJIA average closing values of the previous month, rounded to the nearest 50 points.

In second-quarter 2012, the 10-, 20- and 30-percent decline levels, respectively, in the DJIA will be as follows:

Level 1 Halt (-10%)A 1,300-point drop in the DJIA before 2 p.m. will halt trading for one hour; for 30 minutes if between 2 p.m. and 2:30 p.m.; and have no effect if at 2:30 p.m. or later unless there is a level 2 halt.

Level 2 Halt (-20%)A 2,600-point drop in the DJIA before 1:00 p.m. will halt trading for two hours; for one hour if between 1:00 p.m. and 2:00 p.m.; and for the remainder of the day if at 2:00 p.m. or later.

Level 3 Halt (-30%)A 3,900-point drop will halt trading for the remainder of the day regardless of when the decline occurs.

Background:Circuit-breakers are calculated quarterly. The percentage levels were first implemented in April 1998 and the point levels are adjusted on the first trading day of each quarter. In 2012, those dates are Jan. 3, April 2, July 2 and Oct. 1.

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Assurance par rebalancement dynamique• Exemple :• Soit un portefeuille original de 200 M$

– 120M $ d’actions– 80M $ de bons du trésor

• Valeur plancher = 140M $

• Coussin c = 200 - 140 = 60M $– C’est la valeur que l’on peut perdre avant d’atteindre le plancher

• Exposition e = 120M $– C’est la valeur des actifs risqués qui peuvent perdre de la valeur : Les actions

• L’exposition e = Multiplicateur que l’on garde constant x Coussin de sécurité

• Multiplicateur m = e / c = 120 / 60 = 2

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18

Temps Portefeuille ActionExposition au

risque

Obligation Valeur planché

Coussin

t0 200 M$ 120 M$ 80 M$ 140 M$ 60 M$

t1 190 M$Baisse de l’indice

110 M$ 80 M$ 140 M$ 50 M$

On rebalance : nouvelle exposition = m x coussin = 2 x 50 = 100 on vend 10 M$ d’action qu’on investit dans les obligations

t1 190 M$Nouveau portefeuille

100 M$ 90 M$ 140 M$ 50 M$

T1 à 2 les ventes poussent l’indice à la baisse… et on va devoir rebalancert2 170 M$ 80 M$ 90M$ 140M$ 30 M$

t2 170 M$ 60 M$ 110 M$ 140 M$ 30M$


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Temps Portefeuille ActionExposition au

risque

Obligation Valeur planché

Coussin

t2 170 M$ 60 M$ 110 M$ 140 M$ 30M$

t3 150 M$ 40 M$ 110 M$ 140 M$ 10M$

t3 150 M$ 20 M$ 130 M$ 140 M$ 10M$

t4 140 M$ 10 M$ 130 M$ 140 M$ 0M$

Ultimement, le rebalancement fait en sorte qu’on diminue l’exposition au risque des actions jusqu’à éliminer complètement la proportion investie en actions

t4 140M$ 0 140M$ 140M$ 0

Supposer maintenant que ce soit des ordinateurs qui fassent cela, les ventes massives associé à la diminution progressive de la liquidité ne font qu’augmenter la baisse des prix

Couverture de portefeuille d’actions avec des contrats à terme

• Ratio de couverture à variance minimum

• La proportion d’exposition qui doit être optimalement couverte est:

– S: prix spot– F: prix Futures– σS: écart-type de ΔS

– σF: écart-type de ΔF

– ρ: coefficient de corrélation entre ΔS et ΔF

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Portefeuille non couvert

Prix de l ’action

Futures

Portefeuille couvert

h S

F


• Ratio de couverture à variance minimum• Nombre optimal de contrats:

N* = h* (NA / QF)

– NA : Nombre d'unités spot à couvrir– QF : Nombre pour chaque contrat Futures– N* : Nombre optimal de contrat Futures– h* : La proportion d’exposition

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• Couverture à l’aide d’un Futures sur indice boursier• Nombre optimal de contrats:

N* = b (S / F*)

– b : Beta d'un portefeuille, représentant la sensibilité de la valeur du portefeuille aux variations du rendement du marché

– S : Valeur totale du portefeuille– F*:Valeur sous-jacente à 1 contrat futures, soit le prix

Futures de l’indice x taille d’un contrat

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Couverture de portefeuille d’actions avec des Options

• On considère un portefeuille d’actions et d’options• La valeur du portefeuille total est

V = S + h O

• La valeur du portefeuille couvert doit rester constant si la valeur des actions varie :

• On cherche donc à avoir ΔV/ΔS = 0

• h = - 1/(Δ de l’option)

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Prix de l’option

S

cPente =

Prix del’action

Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging

• Pourquoi le Delta-Hedging?

• Exemple: Je vends un call. – Je fais maintenant face à un risque, qui dépend des variations du prix du

sous-jacent. Précisément, j’ai un Delta non-nul

• Le delta change dans le temps, parce-que S change à chaque période, je dois donc neutraliser le Delta de façon dynamique : il s’agit donc d’une stratégie dynamique

• L’idée est donc de compenser les changements de valeur de l’option par des profits ou pertes sur le marché des actions.

• On aura donc un portefeuille constitué d’options et d’actions.

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• Pourquoi le Delta-Hedging?

• Exemple: Je vends un call

• Je vais acheter actions. À chaque période, j’ajuste le nombre d’actions que je possède, selon le nouveau .

• En fin de compte, le risque de ma vente de call est neutralisé.

• Le coût du delta-hedging est environ égal au prix Black-Scholes d’une option call correspondante

• En fait, on a créé synthétiquement une position longue de call!

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• Représentation graphique du delta d’une option– Le Delta est le taux changement du prix de l’option par rapport

au sous-jacent

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Prix de l’option

S

cPente =

Prix del’action


• Calcul du d’une option

• Delta d’une option d’achat– Δc= N(d1) > 0

• Delta d’une option de vente– Δp = N(d1) – 1 < 0– Δp = Δc – 1 < 0

• De façon générale, avec q le taux de dividende :– Δc = e–qT N(d1) > 0– Δp = e–qT [N(d1) -1] < 0

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Couverture de portefeuille d’options – Delta Hedging• Exemple :

– Une banque a vendu 100 000 options d’achat et a obtenu 300 000$. – Le prix d’exercice est 50$ et le cours actuel de l’action est 49$.– r = 5%, T = 20 semaines et = 20%

• Le portefeuille est exposé au risque si à l’échéance le prix est supérieur à 50$ («naked position»)

• Solution :– Stratégies de couverture:

• Se couvrir avec des actions : «covered position»

– Stratégie «stop loss»• Naked si St < K• Covered si St > K

– Ou Delta hedging

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• Exemple : «Covered position»

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50ST

Profit Profit de la position couverte

50ST

Position de base

Couverture avec position longue en actions


• Exemple : Valeur de l’option avec Black-Scholes

• N(d1) = N(0.05) = 0.5199 N(d2) = N(-0.07) = 0.4721

• c = 49 x 0.5199 – 50 e-.05x20/52 x 0.4721 = 2.31968

• Coût total = 231 968$

30

0698.0522020.00542.02

0542.0

522020.0

5220

2

220.005.0)50/49ln(

1

d

d


31

t StDelta

[N(d1)]# actions achetées

Coût d’achat (‘000$)

Coût cumulatif incluant intérêt Intérêt

0 49.00 .522 52 200 2 557 800 2 557 800 2 500

1 48.12 .458 (6 400) -308 000 2 252 300 2 200

2 47.37 .400 (5 800) -274 700 1 979 800 1 900

18 54.62 .990 1 200 65 500 5 197 300 5 000

19 55.87 1.000 1 000 55 900 5 258 200 5 100

20 57.25 1.000 0 0 5 263 300 0


• Delta Hedging avec Futures

• On remplace le sous-jacent par son prix Futures.– Le prix Futures est très corrélé avec le prix spot.– Les frais de transactions sont moins élevés, et on ne débourse rien à l’origine.

• Ajustements nécessaires:– Prix Futures: F = S e(r-q)T

– Variation: ΔF = ΔS e(r-q)T

– donc, besoin d’une moins grande quantité de Futures

• Quantité de Futures à détenirQFutures = e–(r-q)T Qactif sous-jacent

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• Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique

–avec wi = nombre d’options i

33

n

iiiw

1


• Exemple : Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique

– Position longue dans 10 000 options d’achat de Nortel avec K=14 et delta=0.538

– Position courte dans 15 000 options d’achat de Nortel avec K=15 et delta=0.475

– Position courte dans 5 000 options de vente de Nortel avec K=15 et delta=-.510

• Quelle est la stratégie à adopter pour obtenir un delta neutre?

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• Exemple: Delta d’un portefeuille d’options de sous-jacent identique• Delta des composantes du portefeuille:

+ 10 000 x .538 = 5380- 15 000 x .475 = -7125- 5 000 x (-.510) = 2550

• Delta du portfeuille:5380 – 7125 + 2550 = 805

• Pour neutraliser le delta, il faut prendre une position courte dans 805 actions– On peut valider le signe de la position finale avec la pente de la

position. Positif: long call ou short put; Négatif: short call ou long put. Le delta d’une action est égal à 1

35

Les Lettres Grecques : Indices de sensibilités

• Gamma (G) est le taux de variation de delta () par rapport au prix du sous-jacent.

• Vega (V) est le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité.

• Rho est le taux de variation de la valeur de l’option par rapport au taux d’intérêt.

• Theta (t) d’une option est le changement de sa valeur par rapport à la variation de temps

36


• Modification du Gamma :

• Le Gamma est l’équivalent de la convexité• Il est le même pour un put ou un call• Une faible valeur du Gamma indique que le Delta est peu

sensible aux variations du sous-jacent, de sorte que les ajustements de couverture seront moins fréquent

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TSedN qT

01 )('

G 2

2

21)('

x

exN


• Modification du Gamma• Pour modifier le Gamma d’un portefeuille, on doit

introduire une certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille

nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option

• Si on désire que le Gamma soit égal à zéro, alors on doit ajouter

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options nouvelles optionnouvelle

ptfvieuxwG

G


• Exemple de Modification du Gamma

• On a un portefeuille delta neutre– avec Gamma=-5000

• On veut acheter des options d’achat– avec delta=0.65 et gamma=2.5

• Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un gamma neutre?

• Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un delta neutre

39


• Exemple de Modification du Gamma• Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un gamma neutre?

nouveauГptf = vieuxГptf + w Гnouvelle option

0 = -5000 + 2.5 ww = 2000

• Pour neutraliser le gamma, il faut prendre une position longue de 2000 dans la nouvelle option

• Quelle stratégie doit-on adopter pour obtenir un delta neutre?– Nouveau delta = 0 + 2000x.65 = 1300– Pour neutraliser le delta, il faut prendre une position courte dans 1300

actions

40


• Modification du Vega

• le taux de variation de l’option par rapport à la volatilité

• Le Vega est le même pour une option d’achat ou de vente.

41

)(dN' 10 TSV -qT10 e )(dN' TSV


• Modification du Vega• Pour modifier le Vega d’un portefeuille, on doit

introduire une certaine quantité d’options supplémentaires au portefeuille:

nouveauVptf = vieuxVptf + w Vnouvelle option

• Si on désire que le Vega soit égal à zéro, alors on doit ajouter

42

options nouvelles V

V

optionnouvelle

ptfvieuxw


• Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre– Soit un portefeuille delta neutre avec un gamma de -5000 et un

vega de -8000– Option 1: delta=0.6, gamma=0.5 et vega=2– Option 2: delta=0.5, gamma=0.8 et vega=1.2

• Quelle stratégie doit-on adopter pour rendre le portefeuille neutre au delta, au gamma et au vega?

43


• Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre• Système à 2 équations pour Gamma et Vega :

nouveauГptf = vieuxГptf + w1 Гnouvelle option1 + w2 Гnouvelle option2

nouveauVptf = vieuxVptf + w1 Vnouvelle option1 + w2 Vnouvelle option2

0 = -5000 + 0.5 w1 + 0.8 w2

0 = -8000 + 2 w1 + 1.2 w2

d’où w1 = 400 et w2 = 6000

44


45

• Exemple : Portefeuille Delta, Gamma, Vega neutre

• Et enfin le nouveau delta = 400 x 0.6 + 6000 x 0.5 = 3240

• Pour neutraliser le delta, il faut donc prendre une position courte dans 3240 actions


46

• Modification du rho• Option d’achat:

• Option de vente:

• Option d’achat:


)N(d e 2-rTTXrho

)N(-d e 2-rTTXrho

)N(d e S 1T-r

0fTrho

)N(-d e S 1T-r

0fTrho


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• Modification du Theta• Option d’achat:


• Option d’achat:


)N(d T2

)(dN' 2

10 rTrXeS

)N(d )(T2

)(dN' 210

10 rTqTqT

rXeedNqSeS

)N(-d T2

)(dN' 2

10 rTrXeS

)N(-d )(T2

)(dN' 210

10 rTqTqT

rXeedNqSeS

La VaR, Value at Risk

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• Qu’est ce que la Value at Risk (VaR)?• La VaR consiste à être certain à X% de ne pas

perdre plus de V dollars dans les N prochains jours.VaR = 2.33 x √N x j x Valeur du portefeuille

• Exemple:– Être certain à 99% de ne pas perdre plus de V dollars

dans les prochains 10 jours.– V est la VaR de 10 jours pour un intervalle de confiance

de 99%.


49

• Exemple : IBM• La volatilité par jour d’IBM est 2%• La taille du portefeuille est 10 M$• L’écart-type du changement sur un jour :

2% x 10M $ = 200 000 $• L’écart-type du changement sur 10 jours est :

200 000 x √10 = 632 456 $• La VaR à 99% est 2.33 x 632 456 = 1 473 621 $


50

• Exemple : AT&T• La volatilité par jour d’AT&T est 1%• La taille du portefeuille est 5 M$• L’écart-type du changement sur un jour :

1% x 5M $ = 50 000 $• L’écart-type du changement sur 10 jours est :

50 000 x √10 = 158 114 $• La VaR à 99% est 2.33 x 158 114= 368 405 $


51

• Exemple : Portefeuille combiné IBM - AT&T• La corrélation est = 0.7• L’écart-type de 10 jours est :

• La VaR est de : 2.33 x 751 665 = 1 751 379 $• Le bénéfice de la diversification est de :• 1473621 + 368 405 – 1 751 379 = 90 647 $

751665114 158456 6320.72114 158456 632 22

La VAN et les Options réelles

52

• La VAN en contexte d’incertitude et l’évaluation des options réelles• Le choix d’un projet se fait souvent en contexte d’incertitude, dans la

mesure où les données utilisées ne sont que des estimations du futurs dont la probabilité de réalisation n’est pas de 100%.

• Cela signifie que la VAN d’un projet est incertaine et que le processus de décision ne peut se limiter qu’au simple calcul d’une VAN, dite statique, qui ne permet pas de tenir compte de différents scénarios.

• L’effet de cette incertitude peut être mesuré à l’aide de différentes techniques


53

• Comment intégrer l’incertitude dans l’analyse d’un projet?– Analyse de sensibilité

– Analyse de scénarios

– Simulation de scénarios

– Analyse « break-even »


54

• Analyse de sensibilité– À partir d’un scénario de base, on détermine un intervalle possible pour chaque

variable, ou une valeur pessimiste et optimiste.

– On considère chaque variable comme indépendante.

– On calcule de la VAN selon les valeurs extrêmes des intervalles en considérant l’effet d’une variable à la fois.

– Cette approche permet de voir quelles variables doivent être surveillées de plus près.

– Par contre, elle ne permet pas de tenir compte des interrelations entre les variables


55

Intervalle de valeurVariable Pessimiste Base OptimisteInvestissement 6 200 5 400 5 000Ventes 14 000 16 000 18 000% coûts variables 83% 81.25% 80%Coûts fixes 2 100 2 000 1 900

VANVariable Pessimiste Base OptimisteInvestissement -121 +478 +778Ventes -1 218 +478 +2 174% coûts variables -788 +478 +1 382Coûts fixes +26 +478 +930


56

• Analyse de scénarios et simulation• Dans ce type d’analyse, on construit des scénarios où les

valeurs des variables sont cohérentes entre elles, i.e. qu’on tient compte des interrelations.

• Généralement, un petit nombre de scénarios est utilisé et on assigne une probabilité à chaque scénario.

• Il est aussi possible de simuler des centaines, voire des milliers, de scénarios dans le but d’obtenir une distribution plus complète des VAN possibles.


57

• Analyse « break-even »• Il existe plusieurs types de « break-even ».

• « break-even » comptable– L’objectif est de déterminer le niveau de revenu nécessaire pour obtenir un

bénéfice net de zéro.

• « break-even » de la VAN ou économique– L’objectif est de déterminer le niveau de revenu nécessaire pour obtenir une VAN

de zéro.

• Un projet dont le niveau de revenu est au « break-even » comptable donne nécessairement une VAN négative, simplement parce que cela ne tient pas compte de la valeur de l’argent dans le temps


58

• L’incertitude et la flexibilité• La VAN statique ne permet pas de tenir compte de différents

scénarios.

• Une approche pour régler ce problème consiste donc à calculer la VAN selon différents scénarios et à assigner des probabilités à ces scénarios.

• L’incertitude introduit aussi des options dans la mesure où les décisions peuvent parfois être modifiées en cours de route.

• L’utilisation de scénarios ne permet pas de refléter directement ces options puisque les projets non rentables sont considérés comme irréversible jusqu’à l’échéance


59

• L’incertitude et la flexibilité• Scénarios: demande forte, moyenne ou faible• Le CMPC est de 14%• La VAN espérée est de 1.08

2002 2003 2004 2005 VAN Prob Prob x VAN

33 33 33 26.61 .25 6.65

-50 25 25 25 8.04 .50 4.02

5 5 5 -38.39 .25 -9.60


60

• Supposons maintenant que l’on puisse attendre un an avant d’entreprendre le projet. Si la demande pour le projet est faible, on n’entreprendra pas le projet : en 2002 La VAN espérée est de 9.36

2002 2003 2004 2005 2006 VAN Prob Prob x VAN

-50 33 33 33 23.35 .25 5.84

attend -50 25 25 25 7.05 .50 3.53

0 0 0 0 0 .25 0


61

• Les méthodes traditionnelles (VAN, TRI, etc.) de choix des investissements font l’hypothèse implicite qu’il n’y aura pas d’autre décision dans le futur une fois que le projet est entrepris.

• Cela signifie qu’elles ne permettent pas de considérer que tous les projets ont des caractéristiques optionnelles, des options sur des actifs réels (ou projets) existent.

• Ces options ne peuvent être transigées


62

• Comme une option a toujours une valeur positive, il faut quantifier ces options dites réelles.

• L’importance des options réelles découle du fait qu’elle corrige les lacunes des critères de rentabilité traditionnels qui ne considèrent pas la valeur de cette flexibilité.

• La VAN Étendue (VANÉ) d’un projet:

VANÉ = VAN statique + VA[options réelles]


63

• Exemples d’options réelles• Option de différer un projet

• Option d’altérer un projet (ex. expansion ou réduction)

• Option d’abandonner un projet

• Option de modifier les intrants pour produire un bien

• Option d’allonger la vie d’un projet

• Option de croissance


64

• Graphique d’une option de délai

Investissement initial dans le projet

Valeur présente des flux du projet

Le projet a une VAN négative Le projet a une VAN positive

Valeur présente des fluxespérés du projet


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• Graphique d’une option d’expansion

Investissement additionnel

La firme ne prend pas d’expansion

La firme prend de l’expansion



66

• Graphique d’une option d’abandon


Valeur présente des flux du projet

Coût d’abandon

La firme abandonne le projet

La firme n’abandonne pas le projet


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Méthodes d’évaluation• À l’aide d’un arbre de décision

– Si on connaît les probabilités– Permet de considérer plusieurs décisions d’exercice possibles à différents

moments• À l’aide du modèle binomial

– Si on ne connaît pas les probabilités, ce qui nous forcera à utiliser des probabilités neutres au risque

– Permet de considérer plusieurs décisions d’exercice possibles à différents moments

• À l’aide du modèle de Black-Scholes– Si on ne connaît pas les probabilités– Si on connait la volatilité– N’est valide que s’il n’y a qu’une décision à prendre à l’échéance de l’option réelle


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• Évaluation à l’aide du modèle binomial• Exemple : Option d’abandon

– Supposons qu’un projet vaut 12 M$ aujourd’hui et qu’il ne peut être abandonné.

– Supposons maintenant que la valeur de ce projet dans un an puisse être de 15 M$ ou de 9 M$ (i.e. u=1.25 et d=0.75).

– Le taux d’intérêt pour un an est de 5%.– Dans un an, si la demande n’est pas bonne, le projet peut être

abandonné et l’équipement vendu pour 10 M$.• Quelle est la valeur de ce projet qui comporte une option

d’abandon?


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• Option d’abandonT=0 T=1

15 M$ (VAN du projet à T=1)

0 (valeur de l’option d’abandon)


1 M$ (valeur de l’option d’abandon)


Valeur de l’option = ?

Probabilité neutre au risque = 6025.75.25.175.05.

ep

Valeur de l’option = e-.05x1 [(.6025 x 0) + ((1-.6025)x1)] = 0.378 M$

VANÉ = 12 + 0.378 = 12.378 M$


70

• Évaluation à l’aide du modèle binomial• Exemple : Option d’expansion

– Supposons qu’un projet vaut 150 M$ aujourd’hui et que la valeur de ce projet dans un an sera de 180 M$ ou de 125 M$ (i.e. u=1.2 et d=1/1.2).

– Le taux d’intérêt pour un an est de 5%.– Le projet comporte une option d’expansion qui augmenterait

la valeur de la VAN par 40%, en échange d’un investissement supplémentaire de 50 M$ [(VANx1.4) – 50].

• Quelle est la valeur de ce projet qui comporte une option d’expansion?


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• Option de croissanceT=0

T=1

150 M$ (VAN sans option)



ep


VANÉ = 150 + 12.44 = 162.44 M$


202 M$ (VAN avec option)

22 M$ (valeur de l’option)





72

• Évaluation à l’aide du modèle binomial• Exemple : Option de contraction

– Supposons qu’un projet vaut 150 M$ aujourd’hui et que la valeur de ce projet dans un an sera de 180 M$ ou de 125 M$ (i.e. u=1.2 et d=1/1.2).

– Le taux d’intérêt pour un an est de 5%.– Le projet comporte une option de contraction qui procurerait

un revenu de 35 M$, mais qui diminuerait la valeur de la VAN de 20% [35 + (0.8xVAN)].

• Quelle est la valeur de ce projet qui comporte une option de contraction?


73

• Exemple : Option de contractionT=0 T=1



0 M$ (valeur de l’option)150 M$ (VAN sans option)



ep


VANÉ = 150 + 3.86 = 153.86 M$





74

Option réelle versus Achat ou vente• Correspondance entre option d’expansion et option d’achat

[(Sx1.4) – 50] – S = 0.4xS – 50K=50

• Correspondance entre option de contraction et option de vente

[(Sx0.8) + 35] – S = 35 - 0.2xSK=35


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• Évaluation avec Black-Scholes• On peut aussi estimer la valeur des options réelles à l’aide de la

formule de Black-Scholes.

• Cependant, il faut se rappeler que cette formule n’est valable que pour des options européennes. Donc il ne marche pas pour les options réelles qui peuvent s’exercer n’importe quand.

• Les hypothèses de ce modèle sont aussi moins précises dans la mesure où ce modèle est en temps continu.

• Cette approche est donc moins flexible que celle du modèle binomial


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• Exemple : Évaluation avec Black-Scholes• Une firme a un mini-projet dont la VAN se résume ainsi :

– Durée de l’option = 3 ans– Rentrées actualisées à t=3 (S0) = 9,40 M$– Investissement initial à t=3 (K) = 11,10 M$– VAN à t=0 = -1,70 M$– Rf = 6 %– Ke =13 %– = 30 %

• Le mini-projet est-il rentable si l’on tient compte de sa valeur d’option sur un méga-projet qui serait 12 fois plus gros ?


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• Exemple : Évaluation avec Black-Scholes– En utilisant le modèle Black & Scholes pour calculer la

VANÉ du projet, on a que :

– S0 = Valeur présente de l’actif sous-jacent– K = Coût du méga-projet en $ à l’échéance– = Écart type du rendement du méga-projet– T =Temps avant l’échéance de l’option

2-rT

10statique dNKe - dNS VAN VANÉ


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• Exemple : Évaluation avec Black-Scholes• S0 = Valeur présente de l’actif sous-jacent

– S0 = (12 x 9.40 M$) / (1.13)3 = 78.18 M$ à t=0

• K = Coût du méga-projet en $ à l’échéance– K = 12 x 11.10 M$ = 133.20 M$ à t=3

• Black - Scholes– d1 = -0.4192 et N(d1) = 0.3375– d2 = -0.9388 et N(d2) = 0.1732

– c = 78.18 (0,3375) – 133.20e-0.06x3(0.1732)– c = 7.11 M$

– VANÉ = -1.70 M$ + 7.11 M$ = 5.41 M$


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• Combinaison d’options réelles• En réalité, un projet comporte souvent plusieurs options réelles en même temps. Dans

ce cas, à chaque moment qui nécessite une décision, on maximise la valeur du projet, soit en continuant sans exercer d’option ou en exerçant celle qui augmente la valeur.

• Ce type de combinaison d’options réelles s’évalue avec un modèle binomial.

• Les options réelles peuvent aussi exister de façon séquentielle, i.e. qu’une option ne peut exister que si une autre a été exercée précédemment. L’ordre d’exercice des options est donc important.

• Par exemple, l’option de commercialiser un produit pharmaceutique n’existe que si les différentes phases de développement et de tests cliniques ont été franchies (i.e. que les options d’abandon n’ont pas été exercées), car elle n’existe pas encore au début du projet.

• Ce type d’option réelle s’évalue également à l’aide du modèle binomial, mais de façon plus complexe, car il faut en fait construire plusieurs arbres binomiaux qui sont dépendants les uns des autres


80

• Un sondage auprès de 4000 gestionnaires américains en 2001 révèle que 27% des répondants quantifient les options réelles, parfois ou tout le temps, pour les décisions d’investissement importantes.– Graham, J. et C. Harvey, 2001, The theory and practice of corporate finance: Evidence from the

field, Journal of financial economics, Vol. 80, pp. 187-243

• Pour être encore plus réaliste, il faudrait aussi considérer la réaction des compétiteurs dans le modèle, ce qui affecterait non seulement la valeur des options, mais le choix du moment d’exercice, donc l’échéance des options réelles. Pour ce faire, il faudrait utiliser les outils développés dans la théorie des jeux et la théorie de la décision.

– La "théorie des jeux" est l'étude des modèles de prise de décision en avenir incertain non probabilisable.

– La "théorie de la décision" (appelée aussi parfois "analyse décisionnelle") est l'étude des modèles de prise de décision en avenir incertain probabilisable (objectivement ou subjectivement).

11 – Assurance, Hedging et Options Réelles

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