1 Revaloriser le discours du professeur ? Quel type de discours ? Maggy Schneider, Université de...

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Revaloriser le discours du professeur ? Revaloriser le discours du professeur ? Quel type de discours ?Quel type de discours ?

Maggy Schneider, Université de Liège, Maggy Schneider, Université de Liège, avec la collaboration de Marysa Krysinskaavec la collaboration de Marysa Krysinska

Congrès de la S.B.P.M., Dinant, Août 2010Congrès de la S.B.P.M., Dinant, Août 2010

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Plan de l’exposéPlan de l’exposé

Articulation entre « situations-problèmes » Articulation entre « situations-problèmes » et discours du professeuret discours du professeur

Discours technologique à valeur Discours technologique à valeur heuristique : fonctions, portée, illustrationsheuristique : fonctions, portée, illustrations

Evaluation des compétences et discours Evaluation des compétences et discours technologiquetechnologique

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Les tendances pédagogiques actuellesLes tendances pédagogiques actuelles

Mouvance des compétences qui met l’accent sur Mouvance des compétences qui met l’accent sur l’activité de l’élève sous couvert du socio-constructivismel’activité de l’élève sous couvert du socio-constructivisme

Espoir que le travail organisé autour des dites Espoir que le travail organisé autour des dites « situations-problèmes » favorise, chez les élèves, le « situations-problèmes » favorise, chez les élèves, le transfert de leurs connaissances à des situations transfert de leurs connaissances à des situations nouvellesnouvelles

Enseignement soumis à un phénomène de balancier Enseignement soumis à un phénomène de balancier entre des positions extrêmes envisagées de manière entre des positions extrêmes envisagées de manière dichotomique : on péjore souvent les exposés dans la dichotomique : on péjore souvent les exposés dans la mesure où on prône l’exploitation de « situations-mesure où on prône l’exploitation de « situations-problèmes »problèmes »

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Les tendances pédagogiques actuellesLes tendances pédagogiques actuelles

La relation entre l’activité préalable des élèves sur des La relation entre l’activité préalable des élèves sur des « situations-problèmes » et leur capacité de transfert des « situations-problèmes » et leur capacité de transfert des connaissances acquises n’est pas établie : les théories connaissances acquises n’est pas établie : les théories socio-constructivistes sont a priori des théories socio-constructivistes sont a priori des théories d’apprentissage formulées hors contexte scolaire et non d’apprentissage formulées hors contexte scolaire et non des modèles d’enseignementdes modèles d’enseignement

La didactique étudie les conditions minimales sans La didactique étudie les conditions minimales sans lesquelles on ne peut espérer que l’activité des élèves lesquelles on ne peut espérer que l’activité des élèves débouche sur de réels apprentissages; ces conditions débouche sur de réels apprentissages; ces conditions sont nécessaires mais pas suffisantessont nécessaires mais pas suffisantes

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Les « situations-problèmes » : Les « situations-problèmes » : oui, à certaines conditionsoui, à certaines conditions

Pour fonctionner en milieu scolaire, le socio-Pour fonctionner en milieu scolaire, le socio-constructivisme se doit de respecter au constructivisme se doit de respecter au minimum les conditions suivantes (Brousseau) :minimum les conditions suivantes (Brousseau) : Existence d’un milieu qui permette la dévolution de la Existence d’un milieu qui permette la dévolution de la

question aux élèvesquestion aux élèves Dimension fondamentale de la question par rapport Dimension fondamentale de la question par rapport

au savoir viséau savoir visé Discours d’institutionnalisationDiscours d’institutionnalisation

Brousseau parle alors de situation adidactiqueBrousseau parle alors de situation adidactiqueExemple du puzzle au niveau de l’enseignement Exemple du puzzle au niveau de l’enseignement primaire : illustre le rôle du discoursprimaire : illustre le rôle du discours

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Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique Agrandissement d’un puzzle : situation adidactique des rationnels en tant qu’opérateurs linéairesdes rationnels en tant qu’opérateurs linéaires

« Voici des puzzles. Vous allez en « Voici des puzzles. Vous allez en fabriquer de semblables, plus fabriquer de semblables, plus grands que les modèles, en grands que les modèles, en respectant la règle suivante : le respectant la règle suivante : le segment qui mesure 4 cm sur le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction. Je donne un votre reproduction. Je donne un puzzle par équipe de 5 ou 6, mais puzzle par équipe de 5 ou 6, mais chaque élève fait au moins 1 pièce chaque élève fait au moins 1 pièce ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque vous aurez fini, vous devez pouvoir vous aurez fini, vous devez pouvoir reconstituer les mêmes figures reconstituer les mêmes figures qu’avec le modèle »qu’avec le modèle »

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Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de 4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les 4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les dimensionsdimensions

Autres idées :Autres idées :4 4 7 = 2 x 4 - 1 7 = 2 x 4 - 1

5 5 9 = 2 x 5 - 1 9 = 2 x 5 - 12 2 3 = 2 x 2 - 1 3 = 2 x 2 - 1

Mais, dans la classe, le modèle additif s’imposeMais, dans la classe, le modèle additif s’impose Les morceaux ne se recollent pas : accusations, Les morceaux ne se recollent pas : accusations,

disputes, tricheriesdisputes, tricheries

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Interventions du Interventions du professeur : attire professeur : attire l’attention sur un l’attention sur un puzzle particulier et/ou puzzle particulier et/ou propose de compléter propose de compléter un tableau numériqueun tableau numérique

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• Mise en cause progressive du modèle additif et Mise en cause progressive du modèle additif et émergence du modèle linéaireémergence du modèle linéaire

2 2 2 + 3 = 5 2 + 3 = 54 4 4 + 3 = 7 4 + 3 = 76 6 6 + 3 = 9 et pourtant 9 6 + 3 = 9 et pourtant 9 5 + 7, alors que 6 = 4 + 2 ! 5 + 7, alors que 6 = 4 + 2 !Si 4 devient 7, alors 8 doit devenir 14 et 12 = 4 + 8 doit devenir 7 + Si 4 devient 7, alors 8 doit devenir 14 et 12 = 4 + 8 doit devenir 7 +

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• L’image de 1 :L’image de 1 : « Il faudrait l’image de 1; oui, ça permettrait de trouver toutes les autres. Pour « Il faudrait l’image de 1; oui, ça permettrait de trouver toutes les autres. Pour cela, il faut partager 4 en 4 parties, il faut diviser 7 en 4 aussi »cela, il faut partager 4 en 4 parties, il faut diviser 7 en 4 aussi »

• Correction de l’ajout :Correction de l’ajout :1 1 1 + 3/4 1 + 3/4 6 6 6 + 6.3/4 6 + 6.3/4 11 11 11 + 11.3/4 11 + 11.3/4 (a + a.3/4= 7a/4)(a + a.3/4= 7a/4)

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Les situations adidactiquesLes situations adidactiques

« Situations à l’occasion desquelles le « Situations à l’occasion desquelles le professeur peut abdiquer de son intention professeur peut abdiquer de son intention d’enseigner pour fonder l’apprentissage de d’enseigner pour fonder l’apprentissage de l’élève sur une confrontation des actions de l’élève sur une confrontation des actions de celui-ci avec un celui-ci avec un milieumilieu. Pour un temps, la . Pour un temps, la question, le problème ne sont plus ceux du question, le problème ne sont plus ceux du professeur, mais ceux de l’élève. C’est le professeur, mais ceux de l’élève. C’est le processus de processus de dévolution.dévolution. » » (G. Brousseau) (G. Brousseau)

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Les situations adidactiques et le milieuLes situations adidactiques et le milieu

C’est l’existence d’un C’est l’existence d’un milieu adidactiquemilieu adidactique qui permet la qui permet la dévolution. dévolution. Grâce au milieu, le professeur peut ne « pas Grâce au milieu, le professeur peut ne « pas vendre la mèche », ce qui n’empêche pas qu’il puisse vendre la mèche », ce qui n’empêche pas qu’il puisse injecter des idéesinjecter des idées

Le milieu a des facettes diverses : « matérielles », Le milieu a des facettes diverses : « matérielles », sociales, cognitives : la situation et ses variables sociales, cognitives : la situation et ses variables didactiques (la confection du puzzle et la dimension de didactiques (la confection du puzzle et la dimension de ses pièces,…), l’idée intuitive d’agrandissement, les ses pièces,…), l’idée intuitive d’agrandissement, les échanges entre élèves, les interventions du professeur échanges entre élèves, les interventions du professeur qui renvoient au milieu sans dénaturer le sens de la qui renvoient au milieu sans dénaturer le sens de la situation, les connaissances antérieures qui vont faire situation, les connaissances antérieures qui vont faire obstacle, etc.obstacle, etc.

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Les situations adidactiques et Les situations adidactiques et la dimension fondamentale des questionsla dimension fondamentale des questions

Caractère fondamental d’une situation Caractère fondamental d’une situation adidactique : le savoir visé apporte une réponse adidactique : le savoir visé apporte une réponse optimale à la question posée et aux questions optimale à la question posée et aux questions du même typedu même typeSi l’on cherche une quelconque « autonomie » Si l’on cherche une quelconque « autonomie » des élèves, le caractère fondamental d’une des élèves, le caractère fondamental d’une situation doit primer sur d’autres critères plus situation doit primer sur d’autres critères plus secondaires : caractère concret (vie de tous les secondaires : caractère concret (vie de tous les jours, nature, …), préoccupations « supposées » jours, nature, …), préoccupations « supposées » des jeunes, occasion de modélisation, …des jeunes, occasion de modélisation, …

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Les situations adidactiques et Les situations adidactiques et la dimension fondamentale des questionsla dimension fondamentale des questions

La conception ou l’analyse de situations adidactiques La conception ou l’analyse de situations adidactiques ayant un caractère fondamental suppose une analyse ayant un caractère fondamental suppose une analyse a a prioripriori épistémologique et didactique épistémologique et didactique

Exemple des fractions dont les sens sont multiples : mesures, Exemple des fractions dont les sens sont multiples : mesures, opérateurs de similitude, partages, recherche d’une commune opérateurs de similitude, partages, recherche d’une commune mesure entre deux grandeurs, nombres (Rouche, …)mesure entre deux grandeurs, nombres (Rouche, …)

Plusieurs fonctionnalités, Plusieurs fonctionnalités,

plusieurs situations adidactiquesplusieurs situations adidactiques

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Les situations adidactiques et Les situations adidactiques et le discours d’institutionnalisationle discours d’institutionnalisation

Le processus d’Le processus d’institutionnalisationinstitutionnalisation fait pendant fait pendant au processus de dévolution :au processus de dévolution :« Quelqu’un d’extérieur vient pointer dans les « Quelqu’un d’extérieur vient pointer dans les activités de l’élève celles qui ont un intérêt, un activités de l’élève celles qui ont un intérêt, un statut culturel » (Brousseau)statut culturel » (Brousseau)

Le discours du professeur doit alors situer la Le discours du professeur doit alors situer la situation adidactique dans un ensemble plus situation adidactique dans un ensemble plus vaste : quelle classe de problèmes représente-t-vaste : quelle classe de problèmes représente-t-elle ? Quelle est la variabilité de cette classe ?elle ? Quelle est la variabilité de cette classe ?

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Les situations adidactiques et Les situations adidactiques et le discours d’institutionnalisationle discours d’institutionnalisation

Favoriser le transfert par un discours permettant le processus de Favoriser le transfert par un discours permettant le processus de décontextualisation et engageant les élèves à « l’étude » des décontextualisation et engageant les élèves à « l’étude » des problèmes résolus :problèmes résolus :

A propos des problèmes de proportionnalité :A propos des problèmes de proportionnalité : « Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et pourraient « Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et pourraient être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de catégories et de être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de catégories et de problèmes-types à apprendre. Cherchez des problèmes qui se problèmes-types à apprendre. Cherchez des problèmes qui se résolvent ou s’expliquent de la même façon. Nous discuterons résolvent ou s’expliquent de la même façon. Nous discuterons ensemble les regroupements. En même temps, nous chercherons ensemble les regroupements. En même temps, nous chercherons ce qui peut les rendre différents »ce qui peut les rendre différents » (G. Brousseau et N. Brousseau) (G. Brousseau et N. Brousseau)

Classification de tels problèmes dans les anciens manuels, basée Classification de tels problèmes dans les anciens manuels, basée soit sur la méthode de résolution (règle de trois simple et directe, soit sur la méthode de résolution (règle de trois simple et directe, simple et inverse, composée), soit sur le contexte (problèmes simple et inverse, composée), soit sur le contexte (problèmes d’intérêt, de mélange, d’alliage, …)d’intérêt, de mélange, d’alliage, …)

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Préserver les situations-problèmes en Préserver les situations-problèmes en certaines circonstancescertaines circonstances

Quand les élèves ont à faire le deuil d’une connaissance Quand les élèves ont à faire le deuil d’une connaissance ancienne :ancienne :Pourquoi la situation du pantographe n’est pas choisie comme première Pourquoi la situation du pantographe n’est pas choisie comme première approche des agrandissements : approche des agrandissements : « Le modèle additif sera envisagé moins « Le modèle additif sera envisagé moins sérieusement. Il sera rejeté sans examen puisque l’appareil fournira la sérieusement. Il sera rejeté sans examen puisque l’appareil fournira la bonne image. Au lieu de construire le modèle (multiplicatif) et de prévoir le bonne image. Au lieu de construire le modèle (multiplicatif) et de prévoir le résultat satisfaisant les conditions voulues, il suffirait de le découvrir comme résultat satisfaisant les conditions voulues, il suffirait de le découvrir comme une loi de la nature. Or, le modèle additif est un obstacle résistant à la mise une loi de la nature. Or, le modèle additif est un obstacle résistant à la mise en place du modèle multiplicatif et doit pouvoir lui être opposé dans des en place du modèle multiplicatif et doit pouvoir lui être opposé dans des situations ouvertes, ce choix devant se faire sur des critères rationnels et situations ouvertes, ce choix devant se faire sur des critères rationnels et intellectuels »intellectuels » (Brousseau) (Brousseau)

L’enjeu majeur est alors la mise à l’épreuve de L’enjeu majeur est alors la mise à l’épreuve de connaissances devenues inadaptées, ainsi que les connaissances devenues inadaptées, ainsi que les intuitions d’élèves, fausses mais persistantesintuitions d’élèves, fausses mais persistantes

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Préserver les situations-problèmes en Préserver les situations-problèmes en certaines circonstancescertaines circonstances

Quand il y a des raisons de penser que des élèves d’un Quand il y a des raisons de penser que des élèves d’un niveau donné peuvent produire d’eux-mêmes la réponse niveau donné peuvent produire d’eux-mêmes la réponse à la question posée.à la question posée.

Mais il s’agit alors d’un processus collectif et non d’un Mais il s’agit alors d’un processus collectif et non d’un entraînement individuel à la compétence de résolution entraînement individuel à la compétence de résolution de problèmes (dépersonnalisation)de problèmes (dépersonnalisation)

La solution optimale au problème La solution optimale au problème « peut être trouvée et « peut être trouvée et prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée par les autres »par les autres » (Brousseau) (Brousseau)

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Sans minorer l’importance du discours Sans minorer l’importance du discours

Celui des élèves qui échangent entre eux et qui, Celui des élèves qui échangent entre eux et qui, collectivement, analysent l’efficacité des stratégies collectivement, analysent l’efficacité des stratégies proposées et formulent les limites des connaissances proposées et formulent les limites des connaissances mises à l’épreuve tout comme les caractéristiques des mises à l’épreuve tout comme les caractéristiques des nouvelles connaissances à construirenouvelles connaissances à construire

Celui du professeur qui peut faire des propositions en Celui du professeur qui peut faire des propositions en jouant l’ingénuité et qui joue un rôle central dans le jouant l’ingénuité et qui joue un rôle central dans le processus d’institutionnalisationprocessus d’institutionnalisation

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Sinon …Sinon …

En dehors de ces circonstances ou en l’absence En dehors de ces circonstances ou en l’absence des conditions décrites, mieux vaut s’en tenir à des conditions décrites, mieux vaut s’en tenir à un « bon » discoursun « bon » discours

Exemple du théorème de PythagoreExemple du théorème de Pythagore

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Dévoluer la conjecture et/ou la démonstration Dévoluer la conjecture et/ou la démonstration du théorème de Pythagore ?du théorème de Pythagore ?

Une activité classique : avec ou sans logiciel, observer Une activité classique : avec ou sans logiciel, observer une régularité dans le calcul des carrés des côtés de une régularité dans le calcul des carrés des côtés de multiples triangles rectangles multiples triangles rectangles

Il s’agit là d’un leurre de dévolutionIl s’agit là d’un leurre de dévolution

Cas d’Cas d’Ostension déguisée Ostension déguisée (Salin)(Salin) ::

le professeur fait le gros du travail et fait semblant de le professeur fait le gros du travail et fait semblant de faire « découvrir » les élèves en triant leurs interventions faire « découvrir » les élèves en triant leurs interventions à partir de questions telles que à partir de questions telles que «Que constates-tu ?», «Que constates-tu ?», « Que conclus-tu« Que conclus-tu ? » ? »

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Faire travailler les élèves sur des puzzles mobilisant les Faire travailler les élèves sur des puzzles mobilisant les carrés construits sur les côtés du triangle ?carrés construits sur les côtés du triangle ?

Puzzles peu naturels. Pourquoi des carrés ?Puzzles peu naturels. Pourquoi des carrés ? Risque de détourner l’attention des élèves de la Risque de détourner l’attention des élèves de la

problématique essentielle : « résoudre » un triangle problématique essentielle : « résoudre » un triangle rectangle qui modélise ou non une situation « réelle »rectangle qui modélise ou non une situation « réelle »

Manque de visibilité d’un discours qui présente cette Manque de visibilité d’un discours qui présente cette problématique d’entrée de jeu et qui explique que la problématique d’entrée de jeu et qui explique que la démonstration par les aires est un artifice peu courant à démonstration par les aires est un artifice peu courant à une époque où on maîtrise l’algèbreune époque où on maîtrise l’algèbre

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Une autre forme de première rencontre Une autre forme de première rencontre avec le savoiravec le savoir

Pourquoi ne pas proposer, dans certains cas, une Pourquoi ne pas proposer, dans certains cas, une première rencontre des élèves avec le savoir de type première rencontre des élèves avec le savoir de type ‘culturelle-mimétique’ : ‘culturelle-mimétique’ : « expliquer discursivement les « expliquer discursivement les raisons d’être de l’organisation mathématique raisons d’être de l’organisation mathématique rencontrée, c’est-à-dire les motifs pour lesquels, du rencontrée, c’est-à-dire les motifs pour lesquels, du moins, elle continue à vivre dans la culture moins, elle continue à vivre dans la culture mathématique contemporaine »mathématique contemporaine » (Chevallard) (Chevallard)

Le discours du professeur prend alors appui sur une Le discours du professeur prend alors appui sur une question (une problématique) ayant un caractère question (une problématique) ayant un caractère fondamental mais qu’on ne dévolue pas aux élèves fondamental mais qu’on ne dévolue pas aux élèves

La dévolution peut s’envisager à d’autres moments : La dévolution peut s’envisager à d’autres moments : exploration de la technique et de ses limites, « étude » exploration de la technique et de ses limites, « étude » des exercices des exercices au delà d’une ritualisation procéduraleau delà d’une ritualisation procédurale

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Intégrer les « situations-problèmes »Intégrer les « situations-problèmes » dans un discours sur la problématique globale dans un discours sur la problématique globale

On ne fait pas de la géométrie vectorielle pour s’orienter On ne fait pas de la géométrie vectorielle pour s’orienter dans la nature mais pour démontrer, de manière dans la nature mais pour démontrer, de manière « calculatoire », des propriétés de figures géométriques« calculatoire », des propriétés de figures géométriques

D’où l’intérêt de dévoluer la caractérisation analytique D’où l’intérêt de dévoluer la caractérisation analytique puis vectorielle de configurations-clés: parallélogramme, puis vectorielle de configurations-clés: parallélogramme, positions de trois points alignés, …positions de trois points alignés, …

Les activités doivent s’intégrer dans ce projet global Les activités doivent s’intégrer dans ce projet global rendu visible aux élèvesrendu visible aux élèves

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Quel type de discours ?Quel type de discours ?

Discours technologique au sens de ChevallardDiscours technologique au sens de Chevallard Discours heuristique au sens de LakatosDiscours heuristique au sens de Lakatos

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Exemple des équations du second degréExemple des équations du second degré

Une technique « exotique » pour résoudreUne technique « exotique » pour résoudreXX22 + 10x = 39 + 10x = 39

Diviser 10 par 4 : 2,5Diviser 10 par 4 : 2,5 Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,5Elever 2,5 au carré et multiplier par 4 : 2,522 x 4 = 25 x 4 = 25 Ajouter 39 : 25 + 39 = 64Ajouter 39 : 25 + 39 = 64 Prendre la racine de 64 : √64 = 8Prendre la racine de 64 : √64 = 8 Retrancher 2 fois 2,5 : 8 - 2 x 2,5 = 3Retrancher 2 fois 2,5 : 8 - 2 x 2,5 = 3

Malaise pour cause d’inintelligibilitéMalaise pour cause d’inintelligibilité

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Exemple des équations du second degré : Exemple des équations du second degré : recherche d’une intelligibilité de la méthoderecherche d’une intelligibilité de la méthode

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Rôle du discours technologiqueRôle du discours technologique

Le discours technologique, au sens de Chevallard, doit : Le discours technologique, au sens de Chevallard, doit : Justifier l’efficacité de la technique eu égard à la Justifier l’efficacité de la technique eu égard à la

tâche viséetâche viséeRendre la technique intelligible ce qui est Rendre la technique intelligible ce qui est

indispensable si l’on veut savoir dans quelles indispensable si l’on veut savoir dans quelles conditions l’utiliser et savoir l’adapter le cas échéantconditions l’utiliser et savoir l’adapter le cas échéant

L’inintelligibilité des techniques est la première L’inintelligibilité des techniques est la première source de décrochage des élèvessource de décrochage des élèves

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Rôle du discours technologiqueRôle du discours technologique

Aujourd’hui, l’intelligibilité de la technique de résolution d’une Aujourd’hui, l’intelligibilité de la technique de résolution d’une équation du second degré est donnée par un développement équation du second degré est donnée par un développement algébrique qui illustre l’importance des paramètres en algèbre. algébrique qui illustre l’importance des paramètres en algèbre.

Les mathématiques ont pour fonction de « tuer » les problèmes en Les mathématiques ont pour fonction de « tuer » les problèmes en créant des techniques pour les résoudre d’une manière créant des techniques pour les résoudre d’une manière « performante », le prix à payer étant le discours technologique« performante », le prix à payer étant le discours technologique

Mais ce développement doit être inscrit dans un discours qui, sur Mais ce développement doit être inscrit dans un discours qui, sur base d’exemples judicieusement choisis, montre l’intérêt de base d’exemples judicieusement choisis, montre l’intérêt de certaines équations du second degré qui ont une « bonne forme » certaines équations du second degré qui ont une « bonne forme » et indique le souhait de « ramener » d’autres équations à celles-làet indique le souhait de « ramener » d’autres équations à celles-là

On devrait réfléchir à des modalités de dévolution à de tels On devrait réfléchir à des modalités de dévolution à de tels moments aussimoments aussi

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La recherche d’intelligibilité va plus loinLa recherche d’intelligibilité va plus loin

« Comment se fait-il que tant de gens trouvent les mathématiques « Comment se fait-il que tant de gens trouvent les mathématiques obscures alors qu’elles ne font appel qu’aux principes obscures alors qu’elles ne font appel qu’aux principes fondamentaux de la logique ? Qu’est-ce que comprendre ? Est-ce fondamentaux de la logique ? Qu’est-ce que comprendre ? Est-ce examiner successivement chacun des syllogismes et constater qu’il examiner successivement chacun des syllogismes et constater qu’il est correct ? Oui, pour quelques-uns; presque tous sont beaucoup est correct ? Oui, pour quelques-uns; presque tous sont beaucoup plus exigeants, ils veulent savoir non seulement si tous les plus exigeants, ils veulent savoir non seulement si tous les syllogismes sont corrects, mais pourquoi ils s’enchaînent dans tel syllogismes sont corrects, mais pourquoi ils s’enchaînent dans tel ordre plutôt que dans tel autre. Tant qu’ils leur semblent engendrés ordre plutôt que dans tel autre. Tant qu’ils leur semblent engendrés par le caprice et non par une intelligence consciente du but à par le caprice et non par une intelligence consciente du but à atteindre, ils ne croient pas avoir compris et dès lors sont atteindre, ils ne croient pas avoir compris et dès lors sont insatisfaits »insatisfaits » (Poincaré) (Poincaré)

Mais aussi des questions sur d’où viennent les objets Mais aussi des questions sur d’où viennent les objets mathématiques et pourquoi ils ont cette forme-là, questions pas mathématiques et pourquoi ils ont cette forme-là, questions pas toujours exprimées en raison du contrat didactique (recherche toujours exprimées en raison du contrat didactique (recherche d’économie d’investissement)d’économie d’investissement)

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Le discours technologique Le discours technologique de type heuristiquede type heuristique

Qualificatif « heuristique »Qualificatif « heuristique » emprunté à Lakatos emprunté à Lakatos mais envisagé ici en un sens plus globalmais envisagé ici en un sens plus global

Le discours heuristique met en évidence le projet Le discours heuristique met en évidence le projet initial à l’origine des mathématiques enseignées, initial à l’origine des mathématiques enseignées, quel que soit le niveau d’étude mathématique quel que soit le niveau d’étude mathématique envisagé, les tentatives envisagé, les tentatives a prioria priori, les succès et les , les succès et les échecs et les raisons pour lesquelles on optera, en échecs et les raisons pour lesquelles on optera, en définitive, pour tel ou tel choix de concept, définitive, pour tel ou tel choix de concept, d’agencement des propriétés, …d’agencement des propriétés, … Trois exemples : les nombres relatifs, la géométrie Trois exemples : les nombres relatifs, la géométrie analytique 3D, le théorème fondamental du calcul analytique 3D, le théorème fondamental du calcul intégralintégral

3232

Exemple des nombres relatifsExemple des nombres relatifs

Inintelligibilité de la règle ‘moins par moins donne plus’ : Inintelligibilité de la règle ‘moins par moins donne plus’ : « Minus times Minus equals Plus : The reason for this we need « Minus times Minus equals Plus : The reason for this we need not discuss »not discuss »

« Là où j’ai commencé à décrocher en math., c’est quand on n’a « Là où j’ai commencé à décrocher en math., c’est quand on n’a dit que moins par mois donne plus. J’en ai conclu que les dit que moins par mois donne plus. J’en ai conclu que les maths., c’était pas mon truc »maths., c’était pas mon truc »

Obstacle d’ordre épistémologique : « Difficulté de Obstacle d’ordre épistémologique : « Difficulté de s’écarter d’un sens ‘concret’ attribué aux êtres s’écarter d’un sens ‘concret’ attribué aux êtres numériques » (Glaeser)numériques » (Glaeser)

Essais plus ou moins concluants dans les manuels pour Essais plus ou moins concluants dans les manuels pour justifier cette règle: méthode « inductive-exploratoire » justifier cette règle: méthode « inductive-exploratoire » (Freudenthal) qui consiste à faire compéter des tableaux (Freudenthal) qui consiste à faire compéter des tableaux numériques : 2x(-4), 1x(-4) , 0x(-4), -1x(-4), …numériques : 2x(-4), 1x(-4) , 0x(-4), -1x(-4), …

3333


Stevin (1625) justifie cette Stevin (1625) justifie cette règle en calculant des aires règle en calculant des aires de rectangles de plusieurs de rectangles de plusieurs manières : soit en les prenant manières : soit en les prenant globalement, soit en ajoutant globalement, soit en ajoutant différentes petites parties et différentes petites parties et arrive, en développant (a - b) arrive, en développant (a - b) (c - d) où a, b, c, d sont des (c - d) où a, b, c, d sont des réels positifs à devoir écrire, réels positifs à devoir écrire, entre autres, entre autres,

(- b) x (- d) à bd(- b) x (- d) à bd

3434


Solution de la crise des relatifs apportée par Hermann Hankel en 1867 comme un épilogue heureux de cette crise. Règles justifiées non pas par le biais d’un modèle concret mais par le respect d’un principe de permanence: la multiplication dans Z doit prolonger la multiplication dans N tout en gardant de « bonnes propriétés », entre autres, en respectant les règles de distributivité. Ainsi, 0 peut s’écrire, d’une part, sous la forme a x 0 = a x (b + opp b) = ab + a x (opp b) et, d’autre part, sous la forme = 0 x (opp b) = (opp a + a) x (opp b) = (opp a) x (opp b) + a x (opp b). De là, on tire que (opp a) x (opp b) = ab.

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Dans les deux cas, c’est l’algébrique qui commande au Dans les deux cas, c’est l’algébrique qui commande au numériquenumérique

Dans les deux cas, on expose les raisons pour lesquelles Dans les deux cas, on expose les raisons pour lesquelles on ‘impose’ un certain comportement aux nombres on ‘impose’ un certain comportement aux nombres négatifs :négatifs : Stevin s’appuie sur le fait que les écritures algébriques servent à Stevin s’appuie sur le fait que les écritures algébriques servent à

modéliser des modèles de grandeursmodéliser des modèles de grandeurs Hankel se situe dans une perspective plus structurale des Hankel se situe dans une perspective plus structurale des

ensembles de nombresensembles de nombres

On a là deux niveaux d’étude mathématique fort différentsOn a là deux niveaux d’étude mathématique fort différents

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Un créneau possible pour l’enseignement : la Un créneau possible pour l’enseignement : la modélisation fonctionnelle où l’usage de grandeurs modélisation fonctionnelle où l’usage de grandeurs négatives (temps et position sur une trajectoire rectiligne négatives (temps et position sur une trajectoire rectiligne orientée) et le souhait de réduire tous les cas à un seul orientée) et le souhait de réduire tous les cas à un seul imposent la règle des signes ou tout simplement la imposent la règle des signes ou tout simplement la géométrie analytiquegéométrie analytique

Il s’agit là d’un discours heuristique qui ne décrit pas le Il s’agit là d’un discours heuristique qui ne décrit pas le comportement des nombres comme si ceux-ci existaient comportement des nombres comme si ceux-ci existaient par eux-mêmes mais comme des objets que les par eux-mêmes mais comme des objets que les humains façonnent au gré de leur projethumains façonnent au gré de leur projet

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« Justifier » les règles de multiplication dans les relatifs par le « Justifier » les règles de multiplication dans les relatifs par le

souhait d’avoir une seule formule :souhait d’avoir une seule formule :

P = 3 tP = 3 t

P = - 3 tP = - 3 t

3838

Exemple de la géométrie analytique 3DExemple de la géométrie analytique 3D

Habituellement, l’enseignement de la géométrie analytique 3D la Habituellement, l’enseignement de la géométrie analytique 3D la présente subordonnée à l’algèbre linéaireprésente subordonnée à l’algèbre linéaire

Dans la théorie standard à l’université : Les droites et plans sont définis d’emblée comme variétés

linéaires ou affines. Les vecteurs sont des éléments d’un espace vectoriel et des vecteurs colinéaires sont définis à partir de la notion de partie liée

Un théorème permet de traduire les écritures vectorielles en termes de coordonnées : Tout espace vectoriel E de dimension finie n sur un corps commutatif K est isomorphe à l’espace Kn des coordonnées

Efficacité de l’algèbre linéaire comme théorie multi-sens

3939


Dans la transposition didactique en vigueur dans le secondaire : Le point de départ est toujours vectoriel On gomme les points jugés trop difficiles pour les élèves

(Organisation mathématique à « trous », Rouy) On passe du vectoriel au paramétrique (puis au cartésien) sans

aucune justification, le déploiement des écritures avec flèches en écritures sur les coordonnées étant perçu comme une « recette »

Plusieurs observations montrent que ce schéma soulève Plusieurs observations montrent que ce schéma soulève des difficultés d’apprentissage habituellement non des difficultés d’apprentissage habituellement non gérées (Lebeau et Schneider)gérées (Lebeau et Schneider)

4040


« L’équation y = 2x + 1 est celle d’une droite. Or, on cherche « L’équation y = 2x + 1 est celle d’une droite. Or, on cherche l’équation d’un plan. Où est l’erreur de calcul ? »l’équation d’un plan. Où est l’erreur de calcul ? »

Plus généralement, l’équation Plus généralement, l’équation ax + by + cz + d = 0ax + by + cz + d = 0 est celle d’une est celle d’une droite dans « l’espace »droite dans « l’espace »

« Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une droite ? On « Pourquoi faut-il deux équations cartésiennes pour une droite ? On pourrait n’en faire qu’une seule »pourrait n’en faire qu’une seule »

« x = 3 est la solution d’une équation et pas une équation »« x = 3 est la solution d’une équation et pas une équation » « Je n’ai pas les mêmes équations paramétriques que mon voisin. « Je n’ai pas les mêmes équations paramétriques que mon voisin.

Qui a juste ? »Qui a juste ? » « On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la coplanarité de 4 « On ne comprend pas ce que faites pour vérifier la coplanarité de 4

pointspoints « Qui dit que l’addition de 2 vecteurs de l’espace ne conduit pas à « Qui dit que l’addition de 2 vecteurs de l’espace ne conduit pas à

un ‘parallélogramme gauche’ ?un ‘parallélogramme gauche’ ?

4141


Il manque un discours technologique de type Il manque un discours technologique de type heuristique qui justifie les modèles heuristique qui justifie les modèles paramétriques et cartésiens pour eux-mêmesparamétriques et cartésiens pour eux-mêmes

La dévolution de quelques questions peut La dévolution de quelques questions peut amener un tel discours à travers un débat entre amener un tel discours à travers un débat entre élèves et professeurs sur ces modèlesélèves et professeurs sur ces modèles

4242


Une première tâche : Une première tâche : Décrivez l’ensemble des points de Décrivez l’ensemble des points de « l’espace » dont les coordonnées (x,y,z) vérifient « l’espace » dont les coordonnées (x,y,z) vérifient l’équation : y = -3/2 x + 3l’équation : y = -3/2 x + 3donne l’occasion d’un discours :donne l’occasion d’un discours : sur ce que signifie l’absence de zsur ce que signifie l’absence de z sur le sens des équations qui ne sont pas des sur le sens des équations qui ne sont pas des

étiquettes mais des contraintes portant sur les étiquettes mais des contraintes portant sur les coordonnées des points d’un lieu coordonnées des points d’un lieu

Sur le fait qu’Sur le fait qu’une même écriture algébrique peut une même écriture algébrique peut donner lieu à plusieurs interprétations géométriquesdonner lieu à plusieurs interprétations géométriques

4343


Une deuxième tâche : Une deuxième tâche : Donnez une équation du plan OxyDonnez une équation du plan Oxy

permet de rendre explicite des aspects généralement permet de rendre explicite des aspects généralement tus, à savoir que, contrairement aux contraintes, la tus, à savoir que, contrairement aux contraintes, la liberté ne se traduit pas algébriquement, quoi qu’en liberté ne se traduit pas algébriquement, quoi qu’en pensent certains élèves :pensent certains élèves :

4444


On a là le début d’un discours heuristique qui On a là le début d’un discours heuristique qui justifie les modèles paramétriques et cartésiens justifie les modèles paramétriques et cartésiens des objets géométriques et sur lesquels on des objets géométriques et sur lesquels on s’appuiera pour « remonter » au vectoriels’appuiera pour « remonter » au vectoriel

Un tel discours devrait permettre d’éviter Un tel discours devrait permettre d’éviter l’habituel « rabattement » de cet enseignement l’habituel « rabattement » de cet enseignement sur des acquisitions techniquessur des acquisitions techniques

Ici, le discours se greffe sur des activités Ici, le discours se greffe sur des activités dévolues aux élèves en rebondissant sur leurs dévolues aux élèves en rebondissant sur leurs réactionsréactions

4545

Exemple du théorème fondamental Exemple du théorème fondamental du calcul intégraldu calcul intégral

Théorème qui permet de remplacer, dans Théorème qui permet de remplacer, dans plusieurs cas, une technique fastidieuse de plusieurs cas, une technique fastidieuse de sommation d’aires de rectangles et de passage sommation d’aires de rectangles et de passage à la limite par une technique plus conviviale de à la limite par une technique plus conviviale de primitivationprimitivation

Réalise une économie d’action au prix d’un Réalise une économie d’action au prix d’un discours technologique qui valide la nouvelle discours technologique qui valide la nouvelle technique et la rend intelligible. Mais quelle technique et la rend intelligible. Mais quelle serait la teneur de ce discours, hormis la serait la teneur de ce discours, hormis la démonstration classique que peu d’élèves démonstration classique que peu d’élèves semblent avoir compris ?semblent avoir compris ?

4646


Exemple d’évitement de ce discours par ostention:Exemple d’évitement de ce discours par ostention:

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La technique basée sur la somme d’aires de La technique basée sur la somme d’aires de rectangles est naturelle car basée sur l’idée de rectangles est naturelle car basée sur l’idée de remplissage d’une aire curviligne par des aires remplissage d’une aire curviligne par des aires rectilignes de plus en plus petites; la technique rectilignes de plus en plus petites; la technique basée sur la primitivation suppose un important basée sur la primitivation suppose un important « pas de côté »« pas de côté »

Emergence lente de l’idée de réciprocité entre le Emergence lente de l’idée de réciprocité entre le processus d’intégration et le processus de processus d’intégration et le processus de dérivationdérivation

4848

L’imagerie cinématique de NewtonL’imagerie cinématique de Newton

En amont de la démonstration, il est donc En amont de la démonstration, il est donc nécessaire d’avoir un discours qui rend l’idée nécessaire d’avoir un discours qui rend l’idée accessible. Newton nous donne un exemple accessible. Newton nous donne un exemple d’un tel discours : c’est l’idée de balayage qui d’un tel discours : c’est l’idée de balayage qui conduit au théorème fondamentalconduit au théorème fondamental

Les variables « fluentes » et les fluxions : une Les variables « fluentes » et les fluxions : une manière de penser « variation » (ou fonction) là manière de penser « variation » (ou fonction) là où ce n’est pas spontané a priorioù ce n’est pas spontané a priori

L’élimination du temps L’élimination du temps

4949

L’imagerie cinématique de NewtonL’imagerie cinématique de Newton

« Je vais considérer dans cet ouvrage les grandeurs « Je vais considérer dans cet ouvrage les grandeurs mathématiques non pas comme étant formées de mathématiques non pas comme étant formées de parties constantes même infiniment petites mais comme parties constantes même infiniment petites mais comme étant engendrées par un mouvement continu. Les lignes étant engendrées par un mouvement continu. Les lignes seront décrites et par là générées non par addition de seront décrites et par là générées non par addition de parties mais par un mouvement continu de points, les parties mais par un mouvement continu de points, les surfaces par un mouvement de lignes, les solides par un surfaces par un mouvement de lignes, les solides par un mouvement de surfaces, … »mouvement de surfaces, … »

« Je ne considérerai pas le temps en lui-même « Je ne considérerai pas le temps en lui-même formellement, mais parmi les quantités envisagées et qui formellement, mais parmi les quantités envisagées et qui sont de la même sorte, je supposerai que l’une croît d’un sont de la même sorte, je supposerai que l’une croît d’un mouvement uniforme : toutes les autres pourront être mouvement uniforme : toutes les autres pourront être repérées à celle-là comme si elle était le temps »repérées à celle-là comme si elle était le temps »

5050


A partir de là, on peut imaginer une activité de A partir de là, on peut imaginer une activité de lecture ou un discours magistral qui « crée lecture ou un discours magistral qui « crée l’événement » ou, pourquoi pas, un milieu l’événement » ou, pourquoi pas, un milieu adidactique qui permette d’espérer, de la part adidactique qui permette d’espérer, de la part des élèves, un quelconque cheminement des élèves, un quelconque cheminement personnel vers ce théorèmepersonnel vers ce théorème

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Et le discours des élèves ?Et le discours des élèves ?

A l’ère des compétences, évaluer les élèves sur A l’ère des compétences, évaluer les élèves sur la restitution de connaissances n’est guère la restitution de connaissances n’est guère pédagogiquement correct.pédagogiquement correct.

Et pourtant, la maîtrise des Et pourtant, la maîtrise des ‘connaissances ‘connaissances conditionnelles’conditionnelles’ au sens de Tardif semble au sens de Tardif semble favoriser le transfert des savoirs et procédures à favoriser le transfert des savoirs et procédures à des situations nouvellesdes situations nouvelles

Or, contrat didactique oblige, laisser une place à Or, contrat didactique oblige, laisser une place à ce créneau dans l’évaluation des élèves pourrait ce créneau dans l’évaluation des élèves pourrait peut-être les inciter à étudier…peut-être les inciter à étudier…

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Une grille d’évaluation des compétencesUne grille d’évaluation des compétences

Une grille conçue au Sedess de Liège (Gérard, Une grille conçue au Sedess de Liège (Gérard, Schneider, Varlet) :Schneider, Varlet) :

ConnaîtreConnaître (au sens du discours technologique et des (au sens du discours technologique et des connaissances conditionnelles)connaissances conditionnelles)

Appliquer des procéduresAppliquer des procédures Résoudre des problèmesRésoudre des problèmes (non pas résoudre (non pas résoudre

n’importe quel problème, ce qui relève d’une illusion n’importe quel problème, ce qui relève d’une illusion méthodologique, mais savoir identifier à quelle classe méthodologique, mais savoir identifier à quelle classe de problèmes appartient un nouvel énoncé : suppose de problèmes appartient un nouvel énoncé : suppose d’avoir identifié et brassé préalablement plusieurs d’avoir identifié et brassé préalablement plusieurs classes)classes)

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Grille adoptée par le Secteur « Mathématique » Grille adoptée par le Secteur « Mathématique » de la FESeC hormis que « connaître » a été de la FESeC hormis que « connaître » a été remplacé par « Expliciter les savoirs et remplacé par « Expliciter les savoirs et procédures »procédures »

Mais qu’est devenu le discours technologique ? Mais qu’est devenu le discours technologique ? Demande-t-on aux élèves de rendre des Demande-t-on aux élèves de rendre des comptes sur ce qui justifie les procédures et les comptes sur ce qui justifie les procédures et les rend intelligibles ?rend intelligibles ?

NON, ces questions restent politiquement NON, ces questions restent politiquement incorrectesincorrectes

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Exemples de telles questions où l’on demande Exemples de telles questions où l’on demande aux élèves d’expliquer le pourquoi des choses :aux élèves d’expliquer le pourquoi des choses : Dans son livre d’analyse, Swokowski écrit : Dans son livre d’analyse, Swokowski écrit :

« n’oubliez jamais ces neuf mots : limite de sommes, « n’oubliez jamais ces neuf mots : limite de sommes, limite de sommes, limite de sommes ». Illustrer ce limite de sommes, limite de sommes ». Illustrer ce propos dans trois contextes différentspropos dans trois contextes différents

Décriver et justifier les méthodes permettant de Décriver et justifier les méthodes permettant de déterminer des aires délimitées par des courbes en déterminer des aires délimitées par des courbes en précisant s’il s’agit d’un calcul exact ou approximatif. précisant s’il s’agit d’un calcul exact ou approximatif. Illustrer les conditions d’application de ces méthodesIllustrer les conditions d’application de ces méthodes

Quels types de situations modélise-t-on par la loi Quels types de situations modélise-t-on par la loi binomiale ?binomiale ?

Retracer le parcours réalisé pour démontrer queRetracer le parcours réalisé pour démontrer que D (xD (xqq) = qx) = qxq-1q-1

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Quelles sont les différentes techniques permettant de Quelles sont les différentes techniques permettant de calculer une distance inaccessible? Illustrer chacune calculer une distance inaccessible? Illustrer chacune d’ellesd’elles

Pour quelles raisons les nombres trigonométriques, Pour quelles raisons les nombres trigonométriques, d’abord définis comme rapports de longueurs, d’abord définis comme rapports de longueurs, deviennent-ils négatifs ?deviennent-ils négatifs ?

Quels sont les problèmes de mouvements que ne Quels sont les problèmes de mouvements que ne permet pas de traiter la définition d’une vitesse comme permet pas de traiter la définition d’une vitesse comme rapport de l’espace parcouru au temps ?rapport de l’espace parcouru au temps ?

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Pourquoi définit-on aPourquoi définit-on a-2-2 comme 1/a comme 1/a22 et non pas, par et non pas, par exemple, comme - aexemple, comme - a22 ? ?

Pour quelles raisons transforme-t-on Pour quelles raisons transforme-t-on

a (b + c)a (b + c) en en ab + acab + ac ? ? Des suites de dessins peuvent être modélisées par des Des suites de dessins peuvent être modélisées par des

formules algébriques. Illustrer les types de formules formules algébriques. Illustrer les types de formules rencontrées dans le cours et décrire ce qui permet de les rencontrées dans le cours et décrire ce qui permet de les identifier (voir Krysinska et Schneider)identifier (voir Krysinska et Schneider)

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Ces questions renvoient à ce qui est dans le Ces questions renvoient à ce qui est dans le cours : on n’évalue donc aucune production cours : on n’évalue donc aucune production personnelle de la part des élèvespersonnelle de la part des élèves

Mais elles constituent un indice pertinent de leur Mais elles constituent un indice pertinent de leur compréhension et un signe institutionnel qui leur compréhension et un signe institutionnel qui leur indique une façon d’étudierindique une façon d’étudier

Cela renvoie au rôle des évaluations et leur Cela renvoie au rôle des évaluations et leur impact sur les apprentissages : à qui doit profiter impact sur les apprentissages : à qui doit profiter l’évaluation ?l’évaluation ?

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« Si les mathématiques m’étaient contées »« Si les mathématiques m’étaient contées »

En conclusion : au-delà du foisonnement des En conclusion : au-delà du foisonnement des exemples et applications dans les manuels, exemples et applications dans les manuels, retrouver un discours retrouver un discours qui rend visibles les projets humains passés et encore qui rend visibles les projets humains passés et encore

actuels pour la réalisation desquels les savoirs actuels pour la réalisation desquels les savoirs mathématiques autorisent une économie de pensée mathématiques autorisent une économie de pensée et d’actionet d’action

qui situe toute activité, tout exercice dans un tel récit qui situe toute activité, tout exercice dans un tel récit

MERCI DE VOTRE ATTENTIONMERCI DE VOTRE ATTENTION

1 Revaloriser le discours du professeur ? Quel type de discours ? Maggy Schneider, Université de...

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