1- Les Grands Principes Du Rayonnement
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4me anne du Dpartement Gnie lectrique
-
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Premier tat des lieuxPremier tat des lieuxDeux points importants :
la plupart des antennes sont mtalliquesla grande majorit est de type antennes rsonantes
Dans un mtal, les lectrons libres se dplacent par dfaut
de faon erratique. Quand on cre une diffrence de
potentiel (sinusodale par exemple), le champ internecommande alors la rpartition de ces charges.
Les courants et charges crs sont alors autant de sources
lmentaires de champ lectromagntique.
Mais selon leur rpartition et leurs phases relatives, le champ
global dlivr par un lment mtallique est la somme de
toutes les contributions de ces sources lmentaires.
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Mcanisme de rayonnementMcanisme de rayonnement
Des charges transitant sur un mtal droit vitesse constante
ne produisent pas de rayonnement.
+++
Si les charges rencontrent une discontinuit (rupture,
courbure...) leur vitesse change, il y a alors rayonnement.
+++
pas de rayonnement
rayonnement
+++
rayonnement
Dans une structure en rsonance, les charges oscillent en
permanence, crant un flux de rayonnement continu.
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La ligne bifilaire sur une chargeLa ligne bifilaire sur une charge
xxx
jBe
jAei
!
Zr
Rappels sur les lignes de transmission :
x
Ligne bifilaire ferme sur une chargesuperposition dune onde
incidente et dune onde
rflchie
ligne sans pertes
-
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La ligne bifilaire ouverteLa ligne bifilaire ouverte
yr
jiy
ri
y
ri
yi Fsin2
je
je
!
!
Ligne en circuit ouvert :
y
tyZcr
v
tyi [F cossin
,!
Ligne en circuit ouvert phnomne dondes stationnaires
C.O.
-
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Ligne en rsonanceLigne en rsonance
yr
jiy
ri
yri
xi Fsin2
je
je
!
!
tyZcrv
tyi [F cossin
,!
Ligne en circuit ouvert phnomne dondes stationnaires
C.O.
En pratique, quand les brins sont relativement proches, les courants
tant en opposition de phase, le champ global rayonn est
pratiquement nul (heureusement dailleurs).
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cartement des brinscartement des brins
Lapproximation classique considre que si on carte les brins de la
ligne, la rpartition du courant reste la mme.
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Le diple rayonnantLe diple rayonnant
On se retrouve
alors avec des
courants en phasepermettant un
rayonnement
efficace : principe
de lantenne diple
Pb : en pratique, il y a dsadaptation.On cherchera alors une antenne
rsonante prsentant une impdance
dentre adapte une ligne en onde
progressive.
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Rappels sur le champ EMRappels sur le champ EM
Pour ltude de phnomnes de propagation des ondes
lectromagntiques, un milieu sera dfinit par :
Sa permittivit lectrique complexe
W
''' III j!
Sa permabilit magntique complexe
Sa conductivit
(F/m)
'''QQQ j
!
(S/m) pertes ohmiques
Caractristiques du milieu :
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Sources de rayonnementSources de rayonnement
Des courants et des charges prsents dans ce milieu sont
appels sources primaires :Densit surfacique de courants
Densit volumique de charges
Ces sources crent :
pI
Des champs lectrique et magntique
Dautres courants et charges
(A/m)
pQ (Cb/m3)
E (V/m)
H(A/m)
cI cQet
phnomnes dinduction
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Equations de MaxwellEquations de Maxwell
Dans le cas de milieux homognes et isotropes on
obtient les quations suivantes :
0!!
!!x
x!
!x
x!
bdivqddiv
eiedt
eehrot
hbt
herot
c
c WIIW
QQ
Les sources peuvent prsenter des densits liniques,
surfaciques ou mme volumiques.
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Domaine de rsolutionDomaine de rsolution
On considre deux domaines distincts de rsolutionde ces quations : en prsence de charges et
courants ou hors de toute charge ou courant.
La rsolution en prsence de charges et courants
permet de dterminer le champ produit par unerpartition linique, surfacique ou volumique de charges
et courants (ce qui conduit au diagramme de
rayonnement de lantenne).
Le second type de rsolution permet de calculer lesondes lectromagntiques propages en espace libre.
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Rgime sinusodalRgime sinusodal
oujours dans le cas de milieux homognes,
isotropes en rgime harmonique on obtient les
quations suivantes :
0!!
!!
BdivQDdiv
EjEHrotHjErot
C
I[WQ[
On peut alors rsoudre ces quations pour
dterminer le champ produit par les charges etcourants prsents sur un conducteur.
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Relation la surfaceRelation la surface
Le champ lectrique est toujours
perpendiculaire au conducteur.Le champ magntique est toujours
tangent au conducteur.
Le champ lectrique est
proportionnel aux charges lasurface.
Le champ magntique est
proportionnel aux courants la
surface.
Interface avec un conducteur parfait
I1, Q
1, W
1
1E
1H
0.
.
0
1
1
1
1
!
!
!
!
Hn
QEn
IHn
En
S
S
I
-
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Potentiels lectromagntiquesPotentiels lectromagntiquesPour valuer les effets dune source isotrope en un
point P de lespace on peut introduire les potentiels
vecteur et scalaire :
),(),( trAtrBTTT
!
t
)t,r(A)t,r(V)t,r(E
x
x!
TTT
0!BdivPuisque on peut crire
o
x
y
z
P
r
U
N
Le vecteur A est donc dfini un
gradient prs, il existe alors une
fonction V vrifiant :
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Potentiels lectromagntiquesPotentiels lectromagntiquesEn exprimant les quations de Maxwell en fonction
des potentiels, on obtient les quations dondes :
!
!
L
rj
l
L
rj
l
dlr
erIA
dlr
e
rQV
.)(4
.)(4
1
0
F
F
T
Q
TI
TT
potentiel scalaire
potentiel vecteur
IQI
Q
t
VV !
x
x
2
22T
I
t
AA
TT
TTQQI !
x
x
2
22
La rsolution (complexe base sur les fonctions
de Green) donne pour une rpartition linique :
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Source lmentaireSource lmentaireLe doublet lectrique lmentaire est un lment
conducteur de taille ngligeable dl o lon peut supposerle courant constant sur la longueur (vitesse infinie).
+q
-q
i(t)
r
P
U
z
x
)r(ET
r0
r1
Cest un outil thorique qui permet de dduire le comportement de
toute antenne comme la somme de sources lmentaires.
tj
Qe[
schargesQj[courant
-
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Calcul du champ rayonnCalcul du champ rayonnLe problme apparat symtrie de rvolution par
rapport Oz. Le potentiel vecteur na quunecomposante Az :
Champ magntique une seule composante
r
edlIAz
rj
m
F
T
Q ! ..
4
On obtient alors :
HT
0!rH
0!UH
-
!
2
1.sin..
4
1
rr
jedlIH rjm
FU
T
F
N
NH
-
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Calcul du champ lectriqueCalcul du champ lectriqueOn peut dduire par la suite le champ lectrique produit :
Champ lectrique deux composantes et
ET
- !
32
1.cos..
2
1
rjredlIE
rj
mr[I
LUT
F
0!NE
-
!
32
1.sin..
4
1
rjrr
jedlIE
rj
m [I
L[QU
T
F
U
rE UE
On se retrouve donc finalement avec 3 composantes de
champ rayonn.Suivant la distance du point dobservation P par rapport la
source, on va faire des approximations diffrentes pour
simplifier les expressions.
-
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Approximations en fonction de rApproximations en fonction de r
-
!
32
1.cos..
2
1
rjredlIE rjmr
[I
LU
T
F
- !
32
1.sin..
4
1
rjrrjedlIE rjm
[IL[QU
TF
U
-
!
2
1
.sin..4
1
rr
jedlIH
rj
m
FUT
F
N
Les termes en 1/r reprsentent le champ rayonn
(prdominant quand r grand), les termes en 1/r2
donnentles champs induits et les termes en 1/r3 le champ
lectrostatique.
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)(
)(
sin
2
),(
sin2
),(
rtj
rtj
edlI
r
jtrE
edlIr
jtrH
F[
U
F[
N
U
I
Q
P
UP
!
!
;!!! 377120),(
),(T
I
Q
]
U
o
o
trH
trE
Rayonnement du doubletRayonnement du doubletApproximation en champ lointain :
dans le vide
i(t)
-
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Les zones de rayonnementLes zones de rayonnement
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Les zones de rayonnementLes zones de rayonnement
-
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Propagation champ lointainPropagation champ lointain
00 !!!!
BdivDdiv
EjHrotHjErot I[Q[
En revenant aux quations dans le cas de milieux
homognes, isotropes et ne contenant pas lessources primaires, en rgime harmonique on obtient
les quations suivantes :
Rq : Dans ce cas, on constate que les quations en E et H sont
presque symtriques, la seule diffrence tant labsence de charges
et courants magntiques. On peut alors introduire des sources
magntiques fictives pour symtriser ces quations. La solution du
problme lectrique donne alors celle du problme magntique et
inversement.
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Equations de propagationEquations de propagationLes quations de propagation pour les champs et (exprims
en valeurs instantanes complexes) scrivent sous la forme
suivante :
0t
ee
2
2
!x
xIQ( 0
t
hh
2
2
!x
xIQ(
Elles deviennent dans le cas o la propagation se fait selon la directionOz :
et
Le rapport reprsente la vitesse de propagation de londe.
Sachant que gnralement on considre que (sauf milieux
ioniss et magntiques) on crit :
0t
e
z
e2
2
2
2
!x
xIQ
x
x0
t
h
z
h
2
2
2
2
!x
xIQ
x
x
IQ
!1
v
1r !Q
n
cc11v
rr00
!I
!IQI
!IQ
!
-
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SolutionsSolutions
En rgime sinusodal, ces quations admettent des solutions de la forme :
et
avec : (paramtre de phase de londe)
Le rapport des modules de et exprime limpdance donde du milieuconsidr (en W) :
cest une quantit relle.
)kzt(jexpE)t,z(e [! )kzt(jexpH)t,z(h [!
IQ[!P
T!
[!
2
vk
E H
LI
Q!!
H
E
Valeur dans lair : 377 ohms
I
Q! uHE
On a alors la relation fondamentale :
-
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Onde sphriqueOnde sphrique -- onde planeonde plane
Une source ponctuelle (charge Q) produit le rayonnement
dune onde sphrique.En effet la rsolution des quations de potentiels dans le
cas dune source ponctuelle est symtrie de rvolution
sphrique, et donne pour solution :
- !
2
1.
4
1)(rr
jeQrE rj F
TI
F
En champ lointain, cela donne :
rjer
EorE F!)(
La surface donde est une sphre centre sur la source
-
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Approximation donde planeApproximation donde plane
Sens de propagation
E
H
l
zdztEETT
! F[cos0
Les solutions des quations de Maxwell sont nombreuses
(dpendant des conditions initiales).
Toutes peuvent sexprimer comme la somme dondes planes.
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Puissance transportePuissance transporte
Quand la condition de champ lointain est respecte, la
surface donde peut tre assimile un front donde
plane. La puissance transporte par londe est traduite
par le vecteur de Poynting : *HE
2
1P !
x
y
zE
E
H
-
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Polarisation de londePolarisation de londeOn sait quen champ lointain E et H sont perpendiculaires
entre eux et perpendiculaires la direction de propagation.Par contre, suivant le type de source utilis, lorientation de
ces vecteurs dans le plan donde peut varier.
En se basant sur les variations de lorientation du champ E
au cours du temps, on dfinit la polarisation de londe.
En repre sphrique, le champ E dune onde plane est dcrit
par ses composantes :
NNUU uEuEE
TTT
!
atAE J[U ! sin btBE J[N ! sinavec et
-
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-
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i(t)
Polarisation rectiligne verticale
Exemple dun doubletExemple dun doublet
-
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i(t)
Polarisation rectiligne horizontale
-
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i(t)Polarisation rectiligne oblique
Exemple de 2 doublets en phaseExemple de 2 doublets en phase
-
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Polarisation circulairePolarisation circulaireDeuxime hypothse : les composantes vibrent en
quadrature de phase et leurs modules sont gaux
2TJJ ! ab
? ANU J[J[ uatuatAETTT
! cossin
UE
NEET
-
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Guillaume VILLEMAUD Cours dAntennes 50Theimagecannotbe displayed.Your computer maynothaveenough memory toopen theimage,or theimagemay havebeen corrupted.Restartyourcomputer,and then open thefileagain.If thered xstillappears,you may havetodeletethe imageandthen insertitagain.
i(t)
Polarisation circulaire par
d-synchronisation
-
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Guillaume VILLEMAUD Cours dAntennes 51Theimagecannotbe displayed.Your computer maynothaveenough memory toopen theimage,or theimagemay havebeen corrupted.Restartyourcomputer,and then open thefileagain.If thered xstillappears,you may havetodeletethe imageandthen insertitagain.
3 modes de polarisation
polarisation rectiligne
verticale, horizontale (plan Hou E)
polarisation circulaire
droite ou gauche
polarisation elliptique
droite ou gauche
Polarisation elliptiquePolarisation elliptique
animations
-
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Guillaume VILLEMAUD Cours dAntennes 52Theimagecannotbe displayed.Your computer maynothaveenough memory toopen theimage,or theimagemay havebeen corrupted.Restartyourcomputer,and then open thefileagain.If thered xstillappears,you may havetodeletethe imageandthen insertitagain.
Les grands thormesLes grands thormes
Pour ltude du fonctionnement des antennes, quatre grandsthormes fondamentaux sont connatre :
le thorme de rciprocit de Lorentz
le thorme de Huygens-Fresnel
la thorie des imagesle principe de Babinet
-
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Rciprocit de LorentzRciprocit de Lorentz
Si on considre deux distributions de courants I1 et I2 qui
sont lorigine de champs E1 et E2, on montre daprs lesquations de Maxwell :
! vv dvIEdvIE .... 2112TTTT
les systmes rayonnants sont rciproques
(attention seulement dans le cadre des antennes
passives).
Pf Pr
PfPr
-
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Principe de HuyghensPrincipe de Huyghens--FresnelFresnelPrincipe permettant de calculer le rayonnement
linfini de nimporte quel type de source
sources
surface arbitraire
champs nuls
sources
superficielles
quivalentes(lectriques et
magntiques)
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Application radarApplication radarPrincipe permettant de calculer le rayonnement
linfini de nimporte quel type de source
cible
Le champ reu enP
est la somme du champ que lonrecevrait sans obstacle (connu) et du champ diffract par
lobstacle. On peut alors linverse calculer la surface
constitue de sources fournissant un tel champ.
onde plane
point
dobservation
Th d iTh d i
-
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Thorme des imagesThorme des imagesAu niveau dun point dobservation, le champ cr par une
source +q place au-dessus dun plan rflecteur parfait de
dimensions infini est quivalent au champ cr par
lassociation de cette charge avec son image par symtrie
par rapport au plan de charge q.
+q
Px
+q
Px
-q
I tI t
-
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Images en courantImages en courant
Le mme principe sapplique pour les sources de courants.Limage sera forme de la symtrie de la rpartition de
courant de signe oppos (opposition de phase).
Px
Px
I I
I
la base de trs nombreuses applications en antennes
P i i d B bi tP i i d B bi t
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Principe de BabinetPrincipe de Babinet
Le thorme de Babinet reprend laspect symtrique
des quations de Maxwell.
EH
cas 1cas 2
Le champ total du cas 1 va tre gal au champ
diffract du cas 2 et inversement.
A li ti tA li ti t
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Application aux antennesApplication aux antennes
Toute fente pratique dans un plan de masse de
grande dimension aura le mme comportement enrayonnement que lantenne mtallique complmentaire
ceci prs que les champs E et H sont inverss.
E H