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Itérations de fonctions non linéaires

3. Itération de fonctions quadratiques dans les quaternions

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1. Introduction2. Itération de fonctions quadratiques dans les complexes

2.1 f(z) = z2, z C

2.2 f(z) = z2 + c, z C et l’ensemble de Mandelbrot

2.3 Génération d’ensembles de Julia et de Mandelbrot

2.4 D’autres exemples de fonctions non linéaires

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1. INTRODUCTIONAu lieu de tenter de modéliser des phénomènes naturels, nous voulons représentercertains phénomènes mathématiques.

Ce sont les mathématiques expérimentales; l’ordinateur est utilisé pour simuler desproblèmes non linéaires inaccessibles par des méthodes analytiques.

Les images générées permettront une compréhension plus intuitive de cesphénomènes.

Un pont reliant les sciences et les arts mettant en évidence la « beauté » desmathématiques.

Nous allons considérer des problèmes dans lesquels la même opération estappliquée de façon répétitive.

Le résultat d’une itération devient l’opérande de la suivante.

BUT : Obtenir des figures fractales très esthétiques.

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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES COMPLEXES2.1 f(z) = z2, z C

un nombre complexe élevé au carré aura sa norme élevée au carré et

son angle multiplié par 2.

Un nombre complexe X est habituellement représenté sous l’une des formes :

X = a + b i ou (a, b)

X = r (cos + i sin ) ou (r, )

X = r ei ou (r, ).

Un nombre X est donc un élément de 2. On appelle r la norme de X ( r = |X|).

Exemple : Soit f(z) = z2, z C 2,

(a + b i)2 = a2 – b2 + 2 ab i = (a2 – b2, 2ab)

{r (cos + i sin )}2 = r2 (cos 2 + i sin 2) = (r2, 2)

{ r ei}2 = r2 e2i = (r2, 2).

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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES COMPLEXES2.1 f(z) = z2, z C

Il est clair que nous aurons les 3 cas suivants pour les itérations de f sur z :

si |z| > 1, les points divergent vers l’infini.

si |z| < 1, les points convergent vers (0, 0).

si |z| = 1, les points demeurent sur le cercle de rayon 1.

Nous disons dans ce cas que les points (0, 0) et l’infini sont des pôles d’attraction def(z) = z2.

Le domaine d’attraction de (0, 0) est l’intérieur du cercle de rayon 1 etcelui de l’infini l’extérieur du cercle. Le cercle de rayon 1 est une zone frontière.

Le disque de rayon 1 représente le comportement de l’itération de f(z) = z2.Cependant, en faisant intervenir un paramètre complexe dans cette fonction, nouspourrons obtenir des formes beaucoup plus mystérieuses qui seront des fractales.

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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES COMPLEXES2.2 f(z) = z2 + c, z, c C

Pour certaines valeurs de c, le seul pôle d’attraction est l’infini.

Posons M = l ’ensemble de Mandelbrot= {c C | f(z) = z2 + c ne tend pas vers l ’infini}

Pour générer une image de M, fixons une valeur pour l’infini (INF)posons c = P + Q i.

Il s ’agit alors d ’associer à chaque pixel une valeur de c.

Qmax

Q c

( Pmin, Qmin) Pmax

P

où cette grille représente la mémoire d’entretien.

Un nombre maximumd’itérations N est fixé; si

nousn’avons pas atteint INF après

N itérations, c M etle point correspondant

est affiché.

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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES COMPLEXES2.2 f(z) = z2 + c, z, c C

Ensemble de Mandelbrot

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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES COMPLEXES2.3 Génération d’ensembles de Julia et de Mandelbrot

Ensemble de Mandelbrot

Ensemble de Julia

Ces ensembles sont ceux où la valeur de z est fixée à (0, 0) et où l’onétudie le comportement de l’itération pour des valeurs de c = P + Q i.

Ces ensembles sont ceux où la valeur de c est fixée et où l’onétudie le comportement de l’itération pour des valeurs de z = P + Q i.

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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES COMPLEXES2.2 f(z) = z2 + c, z, c C

Ensemble de Julia

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2. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES COMPLEXES2.2 f(z) = z2 + c, z, c C

Ensemble de Julia

f(z) = z2 + 0.233 + 0.5378i

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3. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES QUATERNIONS

L’itération de fonctions dans les complexes nous donne des objets 2D.

Pour obtenir des objets 3D, on considère des hypercomplexes de la forme :A0 + A1 E1 + A2 E2 + … + An En, avec n champs complexes.

Les hypercomplexes les plus intéressants sont ceux où :

Z a un conjugué unique Z

la norme de Z notée | Z | = Z * Z est un scalaire

le conjugué de Z est Z.

Avec ces restrictions, il sera possible de définir les opérations math. usuelles.

Il a été démontré que les seuls hypercomplexes satisfaisant ces conditions sont

ceux où le nombre de champs complexes est soit :

1) les nombres complexes 3) les quaternions 7) les octaves.

On procède comme précédemment avec les quaternions en considérant unecoupe de la figure 4D i.e. les points ayant une même coordonnée égale.

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3. ITÉRATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES DANS LES QUATERNIONS