Fonctions de base et fonctions transformées

Rôle des paramètres

Les fonctions sont associées à des situations bien précises; chaque fonction possède donc son propre modèle théorique.

Fonction polynomiale de degré 0

Fonction polynomiale de degré 1

f(x) = ax0

ou

f(x) = a

f(x) = x1

ou

f(x) = x

Fonction de variation inverse

Fonction polynomiale de degré 2

Fonction racine carrée

f(x) = x2 f(x) = xf(x) = x

a

Fonction exponentielle Fonction en escalier Fonction valeur absolue

Fonction périodique Fonction définie par parties

f(x) = cx f(x) = [ x ] f(x) = x

Toutes ces fonctions sont appelées des fonctions de base.

En leur ajoutant des paramètres, on obtient des fonctions transformées.

Exemple:

f(x) = x2 c’est-à-dire f(x) = 1x2

et f(x) = -1x2

Le paramètre a

La fonction polynomiale de degré 2

Sa forme de base est :

Une variation du paramètre a:

f(x) = x2

Si a = 1

Si a = -1

Si a > 1

Si a < -1

Si 0 < a < 1

Si -1 < a < 0

En lui ajoutant le paramètre a:

f(x) = ax2

Remarque:

Toutes les fonctions de base sont, en fait, des fonctions dont le paramètre a = 1.

f(x) = ax2 f(x) = 1x2 f(x) = x2

f(x) = a x f(x) = 1 x f(x) = x

f(x) = acx f(x) = 1cx f(x) = cx

f(x) = a x f(x) = 1 x f(x) = x

f(x) = a sinx f(x) = 1 sinx f(x) = sinx

La fonction valeur absolue

La forme générale est :

Une variation du paramètre a

f(x) = |x|

Si a = 1

Si a = -1

Si a > 1

Si a < -1

Si 0 < a < 1

Si -1 < a < 0

En lui ajoutant le paramètre a:

f(x) = a |x|

La fonction exponentielle

La forme générale est :

Une variation du paramètre a

f(x) = cX

Si a = 1

Si a = -1

Si a > 1

Si a < -1

Si 0 < a < 1

Si -1 < a < 0

Exemple: f(x) = 2X

En lui ajoutant le paramètre a:

La fonction racine carrée

La forme générale est :

Une variation du paramètre a

Si a = 1

Si a = -1

Si a > 1

Si a < -1

Si 0 < a < 1

Si -1 < a < 0

f(x) = x

En lui ajoutant le paramètre a:

f(x) = a x

La fonction périodique

Sa forme générale est :

En lui ajoutant le paramètre a:

f(x) = sin(x)

Si a = 1

Si a = -1

Si a > 1

Si a < -1

Si 0 < a < 1

Si -1 < a < 0

C’est une fonction qui se répète selon une certaine période.

Une des plus connues est la fonction sinusoïdale.

f(x) = a sin(x)

Le paramètre a

Généralement, ce paramètre a un effet d’étirement ou de contraction verticale.

De plus, a < 0, provoque une réflexion par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ).

Réflexion

V e r t i ca l

Le paramètre b

La fonction périodique

Une variation du paramètre b

f(x) = sinx

Si b = 1

Si b > 1

Si 0 < b < 1

Exemple:

En lui ajoutant le paramètre b:

f(x) = sin ( b*x )

Comment faire la différence entre le paramètre a et b.

Avec certaines fonctions, la différence entre le paramètre a et b est difficile à voir.

Regardons le graphique de la fonction racine carrée : f(x) = x

f(x) = 4 x

f(x) = 9x

En lui ajoutant le paramètre a et b :

f(x) = a bx

Si a = 4

Si b = 9

Il n’est pas facile de voir la différence

entre le paramètre a et b.

Pourquoi ne voit-on pas la différence ici ??????

La fonction racine carrée

La forme générale est :

Une variation du paramètre b

Si b > 0

f(x) = x

En lui ajoutant le paramètre b:

f(x) = bx

Exemple : Si b = 9

On a f(x) = 9x

f(x) = 3 x

Si on extrait la racine carrée de 9

On a

Donc, si le paramètre b > 0, la fonction ressemblera

beaucoup plus à une variation du paramètre a.

x 9x9 =•car

f(x) = a x

La fonction racine carrée

La forme générale est :

Une variation du paramètre b

Si b < 0

f(x) = x

En lui ajoutant le paramètre b:

f(x) = bx

Si b = -1

Si -1 < b < 0

Si b < -1

On sait que la racine carrée d’un nombre négatif

n’existe pas dans R.

f(x) = -bx

Ainsi, la valeur de x n’a pas le choix d’être négative.

On a :

Le paramètre b

Généralement, ce paramètre a un effet d’étirement ou de contraction horizontale.

Horizontale

Avec certaines fonctions, la différence entre le paramètre a et b est difficile à voir.

De plus, b < 0, provoque une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées ( l’axe des y ).

Réflexion