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Fonction réciproqueFonctions réciproque des fonctions usuelles

Fonctions usuellescours MIP(M111)

Noureddine MOUSSAID

Faculté des Sciences et Techniques de MohammediaUniversité Hassan II de Casablanaca

2017–2018

Noureddine MOUSSAID Fonction d’une variable réelle: Fonctions usuelles


Contenu

1 Fonction réciproqueInjection, surjection, bijection

2 Fonctions réciproque des fonctions usuellesLogarithme et exponentielleFonctions hyperboliquesPropriétés des fonctions hyperboliquesFonctions hyperboliques réciproquesFonctions circulaires réciproques



Injection, surjection, bijection


DefinitionSoit f : I −→ J, où I et J sont deux parties de IR.

f est injective si ∀x ∈ I, ∀x ′ ∈ I, f (x) = f (x ′) ⇒ x = x ′.f est surjective si ∀y ∈ J, ∃x ∈ I tel que f (x) = y .f est bijective si elle est à la fois injective et surjective.Autrement dit pour tout élement y de J il existe un uniqueélement x de I tel que f (x) = y .





Exercice: Soit f la fonction:

f : [−1,1] −→ [−1,1]x → x2 − 1

1 Calculer f (−1), f (0), f (1) et f (12).

2 Résoudre les équations f (x) = −1, f (x) = 0 et f (x) = 1.3 f est-elle injective? surjective? bijective?




Fonction réciproque

DefinitionSoit f : I −→ J. On dit que f admet une fonction réciproque, s’ilexiste une application g : J −→ I telle que g ◦ f = idI etf ◦ g = idJ .On dit que g est la fonction réciproque de f et on la noteg = f−1.





RemarqueL’identité idI est l’application définie sur I par

idI : I −→ Ix 7→ x

On reformuleg ◦ f = idI par ∀x ∈ I, g(f (x)) = x.f ◦ g = idJ par ∀y ∈ J, f (g(y)) = y .





PropositionSoit f : I −→ J une fonction.f admet une fonction réciproque si seulement si f est bijective.




Continuité de la fonction réciproque

ThéorèmeSoit f : I −→ IR une fonction définie sur un intervalle I de IR.Si f est continue et strictement monotone sur I alors:

f établit une bijection de l’intervalle I dans l’intervalle imageJ = f (I).La fonction réciproque f−1 : J −→ I est aussi continue etstrictement monotone et elle a le même sens de variationque f .




RemarqueSoit f une fonction définie sur un intervalle I de IR à valeursdans IR.Dans un repère orthonormé, les représentations graphiques def et de f−1 sont symétriques par rapport à la premièrebissectrice (c’est à dire la doite d’équation y = x).




Dérivée de la fonction réciproque

PropositionSoient I et J deux intervalles ouverts de IR et f une bijection deI dans J.

Si f est dérivable en x0 ∈ I telle que f ′(x0) 6= 0, alors f−1

est dérivable en y0 = f (x0) et on a

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)=

1f ′(f−1(y0))

.

Si f est dérivable sur I et ∀x ∈ I, f ′(x) 6= 0, alors f−1 estdérivable sur f (I) et on a

∀y ∈ f (I), (f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y)).



Logarithme et exponentielleFonctions hyperboliquesPropriétés des fonctions hyperboliquesFonctions hyperboliques réciproquesFonctions circulaires réciproques

Fonction Logarithme néperien

DefinitionOn appelle fonction Logarithme néperien et on note x 7→ lnx , laprimitive de l’application x 7→ 1

x sur ]0,+∞[ et qui s’annule enx = 1.

Propriètés

ln : IR∗+ −→ IR, ∀x ∈ IR∗+ ln′(x) = 1x et ln(1) = 0.

La fonction ln est dérivable et strictement croissante surIR∗+.Pour tout x > 0 et y > 0, on a

ln(xy) = lnx + lny ,ln( 1

x ) = −lnx ,ln( x

y ) = lnx − lny ,lnxα = αlnx , pour tout α ∈ IQ.




Fonction exponentielle

DefinitionL’application x 7→ lnx étant bijective de IR∗+ dans IR, alors sabijection réciproque est appellée fonction exponentielle et estnotée exp:

exp : IR −→ IR∗+x → exp(x)




PropriétésLa fonction x 7→ exp(x) est une bijection de IR dans IR∗+,continue et strictement croissante.On a l’équivalence

(y = lnx pour x ∈ IR∗+) ⇔ (x = exp(y) pour y ∈ IR)

La fonction x 7→ exp(x) est dérivable sur IR et

∀x ∈ IR, exp′(x) = exp(x)

La fonction x 7→ exp(x) est indéfiniment dérivable sur IR et

∀n ∈ IN, ∀x ∈ IR, exp(n)(x) = exp(x)




Fonctions hyperboliques

DefinitionOn appelle sinus hyperbolique la fonction définie par:

sh(x) =ex − e−x

2, ∀x ∈ IR.

On appelle cosinus hyperbolique la fonction définie par:

ch(x) =ex + e−x

2, ∀x ∈ IR.

On appelle tangente hyperbolique la fonction définie par:

th(x) =sh(x)ch(x)

=ex − e−x

ex + e−x , ∀x ∈ IR.





PropositionLa fonction sinus hyperbolique est définie sur IR à valeurs dansIR, continue, impaire, dérivable sur IR et

sh′(x) = ch(x), ∀x ∈ IR.

De plus, la fonction x 7→ sh(x) est strictement croissante sur IR.

Remarque:La fonction x 7→ sh(x) est une bijection de IR dans IR. Elleadmet donc une fonction réciproque définie sur IR.





PropositionLa fonction cosinus hyperbolique est définie sur IR à valeursdans [1,+∞[, continue, paire, dérivable sur IR et

ch′(x) = sh(x), ∀x ∈ IR.

Remarque:La restriction de la fonction x 7→ ch(x) sur IR+ eststrictement croissante.La fonction x 7→ ch(x) est une bijection de IR+ dans[1,+∞[. Elle admet donc une fonction réciproque définiesur [1,+∞[ à valeurs dans IR+.





PropositionLa fonction tangente hyperbolique est définie sur IR à valeursdans ]− 1,1[, continue, impaire, dérivable sur IR et

th′(x) = 1− th2(x) =1

ch2(x), ∀x ∈ IR.

La fonction x 7→ th(x) est strictement croissante sur IR.

Remarque:La fonction x 7→ th(x) est une bijection de IR sur ]− 1,1[, elleadmet donc une fonction réciproque définie sur ]− 1,1[ àvaleurs dans IR.





Formules issues des définitions:ch(x) + sh(x) = ex ,ch(x)− sh(x) = e−x ,ch2(x)− sh2(x) = 1.




La fonction argument sh

La fonction réciproque de la fonction x 7→ sh(x) est définiesur IR à valeurs dans IR. On la note x 7→ argshx et onl’appelle la fonction "argument sh".La fonction argsh est continue, strictement croissante, etimpaire sur IR à valeurs dans IR.Pour tous x , y ∈ IR

y = sh(x) ⇔ x = argsh(y).




La fonction argument sh

Pour tout x ∈ IR

sh(argsh(x)) = x , argsh(sh(x)) = x ch(argsh(x)) =√

1 + x2.

La fonction argsh est dérivable sur IR et pour tout x ∈ IR

argsh′(x) =1√

1 + x2.

Pour tout x ∈ IR

argsh(x) = ln(x +√

1 + x2).




La fonction argument ch

La fonction réciproque de la fonction x 7→ ch(x) est définiesur [1,+∞[ à valeurs dans IR+. On la note x 7→ argch(x)et on l’appelle la fonction "argument ch".La fonction argch est continue et strictement croissante sur[1,+∞[.Pour tous x ∈ IR+ et y ∈ [1,+∞[,

y = ch(x) ⇔ x = argch(y).




La fonction argument ch

Pour tout x ∈ IR+, argch(ch(x)) = x .Pour tout x ∈ [1,+∞[, ch(argch(x)) = x etsh(argch(x)) =

√x2 − 1.

La fonction argch est dérivable sur ]1,+∞[ et pour toutx ∈]1,+∞[,

argch′(x) =1√

x2 − 1.

Pour tout x ≥ 1,

argch(x) = ln(x +√

x2 − 1).




La fonction argument th

La fonction réciproque de la fonction x 7→ th(x) est définiesur ]− 1,1[ à valeurs dans IR. On la note x 7→ argth(x) eton l’appelle la fonction "argument th".La fonction argth est continue, impaire et strictementcroissante sur ]− 1,1[.Pour tous x ∈ IR et y ∈]− 1,1[,

y = th(x) ⇔ x = argth(y).




La fonction argument th

Pour tout x ∈ IR,argth(th(x)) = x .

Pour tout x ∈]− 1,1[,

th(argth(x)) = x , ch(argth(x)) =1√

1− x2, sh(argth(x)) =

x√1− x2

.

La fonction argth est dérivable sur ]− 1,1[ et pour toutx ∈]− 1,1[ on a

argth′(x) =1

1− x2

En plus, on a

argth(x) =12

ln(1 + x1− x

) pour tout x ∈]− 1,1[.




La fonction arc-sinus

La fonction définie parf : [−π

2 ,π2 ] −→ [−1,1]x → sinx

est continue et strictement croissante, elle définit donc unebijection de [−π

2 ,π2 ] dans [−1,1].

La fonction réciproque est définie sur [−1,1] à valeursdans [−π

2 ,π2 ]. On la note x 7→ arcsinx et on l’appelle

fonction arc-sinus.La fonction arc-sinus est continue, impaire et strictementcroissante sur [−1,1].∀x ∈ [−π

2 ,π2 ] et ∀y ∈ [−1,1] on a

y = sinx ⇔ x = arcsiny .





Pour tout x ∈ [−1,1],

sin(arcsin(x)) = x .

Pour tout x ∈ [−π2 ,

π2 ],

arcsin(sin(x)) = x .


cos(arsin(x)) =√

1− x2.

Pour tout x ∈]− 1,1[,

tan(arcsin(x)) =x√

1− x2.





La fonction arcsin est dérivable sur ]− 1,1[, et pour toutx ∈]− 1,1[ on a

arcsin′(x) =1√

1− x2.

Remarque:si x /∈ [−π

2 ,π2 ], on ne peut pas simplifier arcsin(sinx)

directement.(par exemple On utilise la périodicité de sinus).Exercice: calculer arcsin(sin(7π

3 )).




La fonction arc-cos

La fonction définie parg : [0, π] −→ [−1,1]

x → cosxest continue et strictement décroissante, elle définit doncune bijection de [0, π] dans [−1,1].La fonction réciproque est définie sur [−1,1] à valeursdans [0, π]. On la note x 7→ arccosx et on l’appelle fonctionarc-cosinus.La fonction arc-cosinus est continue et strictementdécroissante sur [−1,1].∀x ∈ [0, π] et ∀y ∈ [−1,1] on a

y = cosx ⇔ x = arccosy .




La fonction arc-cosinus


cos(arccos(x)) = x .

Pour tout x ∈ [0, π],

arccos(cos(x)) = x .


sin(arccos(x)) =√

1− x2.

Pour tout x ∈]− 1,0[∪]0,1[,

tan(arccos(x)) =√

1− x2

x.




La fonction arc-cosinus

La fonction arccos est dérivable sur ]− 1,1[, et pour toutx ∈]− 1,1[ on a

arccos′(x) = − 1√1− x2

.

Remarque: si x /∈ [0, π], on ne peut pas simplifier arccos(cosx)directement.Exercice: calculer arccos(cos(7π

3 )).




La fonction arc-tangente

La fonction définie parf : ]− π

2 ,π2 [−→ IR

x → tanxest continue et strictement croissante, elle définit donc unebijection de ]− π

2 ,π2 [ dans IR.

La fonction réciproque est définie sur IR à valeurs dans]− π

2 ,π2 [. On la note x 7→ arctanx et on l’appelle fonction

arc-tangente.La fonction arc-tangente est continue, impaire etstrictement croissante sur IR.∀x ∈]− π

2 ,π2 [ et ∀y ∈ IR on a

y = tanx ⇔ x = arctany .





Pour tout x ∈ IR,

tan(arctan(x)) = x .

Pour tout x ∈]− π2 ,

π2 [,

arctan(tan(x)) = x .

Pour tout x ∈ IR,

cos(arctan(x)) =1√

1 + x2.

Pour tout x ∈ IR,

sin(arctan(x)) =x√

1 + x2.





La fonction arctan est dérivable sur IR, et pour tout x ∈ IRon a

arctan′(x) =1

1 + x2 .

Remarque: si x /∈]− π2 ,

π2 [, on ne peut pas simplifier

arctan(tanx) directement.Exercice: calculer arctan(tan(7π

3 )).


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