Cours : Fonctions holomorphes et fonctions...
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Cours : Fonctions holomorphes et fonctionsspéciales
Emily ClementEnseignant : Karel Pravda-Starov
Master 1 de MathématiquesSemestre 22015-2016
Table des matières
1 Rappels et compléments sur les fonctions holomorphes 3I Quelques rappels sur les fonctions holomorphes . . . . . . . . 3
1 Indice d’un point par rapport à un circuit et formulede Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Points singuliers isolés et notion de résidu . . . . . . . 6II Suites et séries de fonctions holomorphes. . . . . . . . . . . . . 10III Topologie de l’espace C0 pΩq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV Théorème des famille normales ou Théorème de Montel . . . . 25V Séries et fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 36VI Produits infinis de fonction holomorphes . . . . . . . . . . . . 41
2 La fonction Gamma 53I La fonction Gamma selon Leohnard Euler (1707-1783) mathé-
maticien suisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . 532 Prolongement analytique de la fonction Γ . . . . . . . . 59
II La fonction Γ selon Karl Weierstrass (1815-1897, mathémati-cien allemand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III La fonction Γ selon Carl Friedrich (1777-1855) mathématicienallemand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
IV Comportement asymptotique de la fonction Γ . . . . . . . . . 74
3 Formule d’Euler-Mac Laurin 82I Nombres et polynômes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 82II Formule sommatoire d’Euler Maclaurin (Colin Maclaurin, ma-
thématicien écossais 1698-1746) . . . . . . . . . . . . . . . . . 881 Théorème et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . 882 Première application : Développement asymptotique
de la somme harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 Deuxième application : Calcul des sommes Sk pnq “
1k ` 2k ` ¨ ¨ ¨nk où k P N˚ . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1
TABLE DES MATIÈRES
4 Troisième application : Développement asymptotiquede ln pn!q (voir TD.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
III Complément : Formule D’Euler - Mac Laurin et intégrationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001 Méthode de quadrature élémentaire des trapèzes . . . . 1002 Méthode de quadrature composée des trapèzes . . . . . 1003 Erreur de la méthode de quadrature composée des tra-
pèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Fonction zêta de Riemann 107I Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 107II Fonction zêta de Riemann et nombres premiers. . . . . . . . . 110
1 Formule d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 Fonction de Möbius (August Möbius, 1790-1868, ma-
thématicien allemand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114III Série de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119IV Formule d’inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5 Théorème des nombres premiers 130
6 Fonction Thêta 146I Formule sommatoire de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 146II Fonction Thêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150III Zéros de la fonction zêta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 153IV Un peu de culture : L’hypothèse de Riemann (1859) . . . . . . 156
7 Méthode de la phase stationnaire 158I Phase non stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158II Phase stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160III Application aux fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . 164IV Autre application : Étude du comportement asymptotique de
la fonction d’Airy qui est solution du problème : . . . . . . . . 166
8 Méthode du col 168I Hypothèse sur la fonction amplitude g et la phase complexe h 169II Hypothèse sur le chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171III Conclusion des hypothèses : un théorème. . . . . . . . . . . . . 172
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Chapitre 1
Rappels et compléments sur lesfonctions holomorphes
I Quelques rappels sur les fonctions holomorphes
1 Indice d’un point par rapport à un circuit et formulede Cauchy
On appelle chemin la donnée d’une application γ : ra, bs Ñ C oùa, b P R, a ă b, continue, C1 par morceaux, ie il existe une subdivision finie :
a “ x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xN´1 ă xN “ b
telle que γ|rxj ,xj`1s soit C1 sur rxj, xj`1s.Il s’ensuit que la fonction dérivée γ1 est définie et continue en tout point dera, bs sauf peut-être aux points x1, ¨ ¨ ¨ , xN´1 où elle admet des limites finiesà gauche et à droite.On peut définir l’intégrale d’une fonction complexe F continue sur lesupport du chemin γ pra, bsq par :
ż
γ
F pzq dz def“
bż
a
F pγ ptqq γ1 ptq dt “N´1ÿ
j“0
xj`1ż
xj
F pγj ptqq γ1j ptq dt
Si γ paq “ γ pbq on dit que le chemin γ est un circuit.
3
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soient γ un circuit et a R Supp γ.On appelle indice du point a par rapport au chemin γ le nombre
indγ paqdef“
1
2iπ
ż
γ
dzz ´ a
Définition 1.1 (Indice).
Quelques propriétés de l’indice
1. L’indice est un entier relatif indγ paq P Z qui "mesure le nombrede tours" comptés algébriquement que fait le chemin γ autourdu point a.
2. L’indice indγ paq est constant lorsque a décrit tout ouvertconnexe de Cz Supp γ.
3. L’indice est constant sur tout chemin que ne rencontre pasSupp γ
4. L’application Cz Supp γ Ñ Za ÞÑ indγ paq
est continue (car lo-
calement constante) et tend vers zéro à l’infini :
lim|a|Ñ`8
indγ paq “ 0
Propriétés 1.1.
Exemple 1.1.γm ptq “ Reimt où t P r0, 2πs, m P Z, R ą 0.
indγ p0q “1
2iπ
ż
γm
dzz
“
2πż
0
1
2iπ
RimeimtdtReimt
“ m
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Formule de Cauchy pour un ouvert étoilé
Soit E une partie du plan complexe, on appelle centre de E tout pointz0 P E tel que :
@z P E, rz0, zsdef“ ttz0 ` p1´ tq z , t P r0, 1su Ă E
Un ensemble est dit étoilé s’il admet au moins un centre.Un ensemble n’a pas forcément de centre et s’il en a un, il peut en avoirplusieurs.
Exemple 1.2.
1. Tout convexe non vide est un ensemble étoilé et tout point de ceconvexe est un centre du convexe.
2. @z0 P C @r ą 0,B pz0, rq “ tz P C, |z ´ z0| ă ru est un ouvert étoilé.
3. CzR est un ouvert étoilé par rapport à tous les réels strictement posi-tifs.
Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé non videΩ, soit γ un circuit tracé dans Ω et a P Ωz Supp γ.On a :
indγ paq f paq “1
2iπ
ż
γ
f pzq
z ´ adz
Théorème 1.1 (Formule de Cauchy).
La formule de Cauchy permet de démontrer que les fonctions holomorphessont analytiques.En effet, si f est holomorphes sur Ω un ouvert de C tel que B pz0, rq Ă Ωalors f est développable en série entière au point z0 et :
@z P B pz0, rq , f pzq “8ÿ
n“0
an pz ´ z0qn
où la série entière`8ÿ
n“0
anzn a un rayon de convergence ě r et :
@n ě 0, an “1
2iπ
ż
Cδ
f pzq
pz ´ aqn`1dz
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
où Cδ “ z0 ` δeit t P r0, 2πs avec 0 ă δ ă r
En particulier f admet des dérivées au sens complexe à tous les ordres et cesdérivés f ppq sont holomorphes sur Ω.
On a @n ě 0, an “f pnq pz0q
n!
2 Points singuliers isolés et notion de résidu
Soit f une fonction holomorphe en tout point d’un ouvert non vide Ω deC, sauf peut-être au point z0 P Ω.On distingue les deux cas suivants :
1. f est bornée dans un voisinage strict de z0,
Dr ą 0, DM ě 0, @z P B pz0, rq Ă Ω, z ‰ z0, |f pzq| ďM
On dit alors que f admet une fausse singularité au point z0.2. f n’est pas bornée au voisinage de z0. On dit que z0 est un point
singulier isolé de f .Ce cas se divise en deux sous-cas :(a) La limite : lim
zÑz0|f pzq| “ `8
(quelque soit la manière dont on approche z0 le module de f ex-plose)Dans ce cas, on dit que z0 est un pôle de f
(b) Sinon, on dit que z0 est un point singulier essentiel de f .
Exemple 1.3.
1. La fonction f pzq “sin pzq
zest holomorphe sur C˚
On regarde
limzÑz0z‰0
sin z
z“ lim
zÑz0z‰0
sin z ´ sin p0q
z ´ 0
“ cos p0q “ 1
Donc f est bornée au voisinage de 0.0 est une fausse singularité de f .
2. La fonction f pzq “1
z ´ 1est holomorphe sur Cz t1u.
limzÑ1
1
|z ´ 1|“ `8, 1 est un pôle de f .
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
3. La fonction f pzq “ sin
ˆ
1
z
˙
est holomorphe sur C˚
Soit y ą 0, on a :
f piyq “ sin1
iy
“ ´ sin
ˆ
i
y
˙
“ ´eip
iy q ´ e´ip
iy q
2i
“e
1y ´ e´
1y
2i
donc : limyÑ0,y‰0
|f piyq| “ `8.
f n’est pas bornée au voisinage de 0.
On remarque que @x P R˚ |f pxq| “ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
sin
ˆ
1
x
˙ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď 1
0 est un point singulier essentiel
Soient ∆ “ B pz0, rq z tz0u et γ1, γ2 deux circuits circulaires de rayons r1, r2 :0 ă r1 ă r2 ă r donnés par :
γj ptq “ z0 ` rjeit, t P r0, 2πs
On vérifie que : Si f est holomorphe sur ∆ “ B pz0, rq z tz0u alors :ż
γ1
f pzq dz “ż
γ2
f pzq dz
ie, que cela ne dépend pas du rayon rj choisi.En effet,
ż
γ1
f pzq dz ´ż
γ2
f pzq dz “ż
γ1
f pzq dz `ż
´γ2
f pzq dz
“
ż
Γ1
f pzq dz `ż
Γ2
f pzq dz
On remarque que f est holomorphe dans B pz0, rq zδj qui est un ouvert étoilédonc :
ż
Γj
f pτq dτ “ 0
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
où Γj est un chemin tracé dans B pz0, rq zδjIl s’ensuit que si f est une fonction holomorphe dans un voisinage strict dez0 (ie. où z0 est exclu), on peut trouver r ą 0 tel que f est holomorphe surB pz0, rq z tz0u.On définit le résidu de f en z0 par l’intégrale :
resz0 f “1
2iπ
ż
γρ
f pzq dz
(Cette quantité est indépendante du choix de 0 ă ρ ă r)où γρ ptq “ z0 ` ρe
it t P r0, 2πs, 0 ă ρ ă rDans le cas où z0 est une fausse singularité isolée, on vérifie que le résiduest nécessairement nul.De plus, dans ce cas, la fonction holomorphe f dans le voisinage strict dez0 est prolongeable par continuité en z0 et la fonction prolongée estholomorphe en z0.Soit f une fonction holomorphe sur B pz0, rq z tz0u alors f est développableen séries de Laurent.
Donc @0 ă |z ´ z0| ă r, f pzq “`8ÿ
n“´8
an pz ´ z0qn avec convergence normale
de la série sur toute couronne du type C pr1, r2q “ tr1 ď |z ´ z0| ď r2u où
0 ă r1 ă r2 ă r. ie.`8ÿ
n“´8
supzPCpr1,r2q
|an pz ´ z0qn| ă `8
Le développement en série de Laurent est unique et les coefficients an sontdonnés par :
@n P Z, an “1
2iπ
ż
γρ
f pzq
pz ´ z0qn`1dz
où γρ ptq “ z0 ` ρeit, t P r0, 2πs , 0 ă ρ ă r
Le résidu de f au point z0 est égal au coefficient :
a´1 “1
2iπ
ż
γρ
f pzq dz
1. Le cas d’une fausse singularité correspond au cas où :
@n ď ´1, an “ 0
2. Le cas où z0 est une pôle correspond au cas où il existe un entierp ě 1 tel que :
#
@n ď p´ 1, an “ 0
a´p ‰ 0
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Cela signifie que @0 ă |z ´ r0| ă r,
f pzq “a´p
pz ´ z0qp `
a´p`1
pz ´ z0qp´1 ` ¨ ¨ ¨ `
a´1
z ´ z0loooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon
partie polaire
`
`8ÿ
n“0
an pz ´ z0qn
On dit que z0 est un pôle d’ordre p, l’ordre est caractérisé par le faitque :
$
&
%
@m ą p ě 1, pz ´ z0qm f pzq ÝÑ
zÑz00
@0 ď m ă p, limzÑz0
|pz ´ z0qm f pzq| “ 8
3. Le cas où z0 est un point singulier essentiel correspond au cas où il ya une infinité de termes, an d’indice négatif non nuls.
Une fonction f définie sur un ouvert non vide Ω de C est dite méro-morphe si elle est holomorphe en tout point de Ω sauf peut-êtresur un ensemble S Ă Ω de points singuliers isolés qui présentant tousune singularité de type pôle.
Définition 1.2.
ie. @z0 P S Dr ą 0, f holomorphe sur B pz0, rq z tz0u Ă Ω
Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé non vide Ωde C sauf peut-être sur un ensemble S Ă Ω de singularités isolées.Alors, pour tout circuit γ de Ω ne rencontrant pas S, on a :
1
2iπ
ż
γ
f pzq dz “ÿ
tPS
indγ ptq rest pfq
Théorème 1.2 (Théorème des résidus).
Sous ces hypothèses, S est un ensemble au plus dénombrable.On rappelle aussi que si f est une fonction méromorphe sur Ω ouvert deC, f 1 est aussi une fonction méromorphe sur Ω. En effet, on sait que f estdéveloppable en série de Laurent au voisinage d’un pôle z0, donc il existe
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
r ą 0 tel que @z P B pz0, rq z tz0u Ă Ω
f pzq “a´p
pz ´ z0qp ` ¨ ¨ ¨ `
a´1
z ´ z0
`
`8ÿ
n“0
an pz ´ z0qn
loooooooomoooooooon
“gpzq
Donc @z P B pz0, rq z tz0u,
f 1 pz0q “´pa´p
pz ´ z0qp`1 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1q
a´1
pz ´ z0q2 ` g
1pzq
g est holomorphe sur B pz0, rq, z0 est un pôle de f 1 d’ordre p` 1
II Suites et séries de fonctions holomorphes.Soit Ω un ouvert de C, on note C0
pΩq l’espace vectoriel des fonctionscontinues sur Ω à valeurs complexes et H pΩq le sous-espace vectoriel C0
pΩqcomposé par les fonctions holomorphes sur Ω.Quelle notion de convergence prendre ? La norme infinie n’est pas adaptéecar une fonction continue sur un ouvert n’est pas nécessairement bornée,la convergence simple non plus car la continuité n’est pas nécessairementconservée.
On dit qu’une suite pfnqně0 de fonction converge uniformément surtout compact de Ω vers une fonction f si :
@K compact inclus dans Ω, supzPK
|fn pzq ´ f pzq| ÝÑnÑ`8
0
Définition 1.3 (Convergence uniforme sur tout compact).
Propriété importante :La continuité sur Ω est conservé par ce type de convergence :La continuité est une notion locale et tout point d’un ouvert de C admet unvoisinage compact.Donc si pfnqně0 est une suite de fonctions C0
pΩq convergeant uniformémentsur tout compact de Ω vers une fonction f dans f alors f P C0
pΩq
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
On dit qu’une série de fonctionsÿ
ně0
fn converge normalement sur
tout compact de Ω si :
@K compact Ă Ω,`8ÿ
n“0
supzPK
|fn pzq| ă `8
Définition 1.4 (Convergence normale sur tout compact).
Remarque 1.1.
La convergence normale sur tout compact de Ω de la série`8ÿ
n“0
fn implique la
convergence uniforme sur tout compact de Ω de la suite pSnqně0 de sommespartielles :
@z P Ω, @n ě 0, Sn pzq “nÿ
k“0
fk pxq
Pour une suite pfnqně0 de fonctions définies sur un ouvert Ω de C etde limite simple f , les conditions suivantes sont équivalentes :
1. La convergence est uniforme sur tout compact K Ă Ω.2. La convergence est uniforme sur tout disque compact
B pz0, rq Ă Ω inclus dans Ω
Énoncé analogue pour le cas de a convergence normale sur toutcompact.
Proposition 1.1.
Démonstration.
1q ñ 2q est trivial.2q ñ 1q : il suffit de vérifie que tout compact K de Ω peut être recouvert
par une union finie de disques compacts inclus dans Ω :
K Ă
Nď
j“1
B pzj, rjq Ă Ω
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Pour tout x P K x P Ω qui est ouvert. Il existe δx ą 0 tel queB px, δxq Ă Ω.
K “ď
xPK
txu
Ăď
xPK
Bˆ
x,δx2
˙
loooomoooon
ouverts
Ăď
xPK
Bˆ
x,δx2
˙
“Ăď
xPK
B px, δxqlooomooon
Ω
Ă Ω
Par compacité de K, on extrait un sous-recouvrement fini :
K Ă
nď
j“1
Bˆ
xj,δxj2
˙
où N ě 1 xj P K
Donc K Ă
Nď
j“1
Bˆ
xj,δxj2
˙
loooooomoooooon
fermé
Ă
Nď
j“1
B`
xj, δxj˘
Ă Ω
Soit pfnqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω un ouvert nonvide de C qui converge uniformément sur tout compact de Ω versune fonction f alors :
1. f est holomorphe sur Ω
2. @k ě 1, la suite`
f pkqn
˘
ně0converge vers f pkq uniformément sur
tout compact de Ω.
Théorème 1.3.
Démonstration.Comme H pCq Ă C0
pΩq et que la converge uniforme sur tout compact pré-serve la continuité, on sait déjà que f P C0
pΩqPour montrer que F P H pCq on utilise le théorème de Morera qui assure
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
qu’une fonction g P C0pΩq vérifiant :
ż
γ
g pzq dz “ 0
Pour tout circuit triangulaire γ tracé dans Ω, alors g P H pCq.Soit z0 P Ω, il existe r ą 0 tel que B pz0, rq Ă Ω.On rappelle également le théorème de Goursat qui assure que si g P H pΩqoù Ω est un ouvert étoilé (donc non vide) (ou plus généralement simplexeconnexe) :
ż
γ
g pzq dz “ 0
pour tout circuit tracé dans Ω.Soit γ un circuit triangulaire tracé dans B pz0, rq.D’après le théorème de Goursat :
@n ě 0,
ż
γ
fn pzq dz “ 0
car fn est holomorphe sur B pz0, rq ouvert étoilé.
Ne jamais écrire ! C’est totalement faux :
@g P C0pΩq :
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
γ
g pzq dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
ż
γ
|g pzq| dz
On doit écrire en fait :
@g P C0pΩq ,
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
γ
g pzq dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
N´1ÿ
j“0
xj`1ż
xj
g pγj ptqq γ1j ptq dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
où γ : ra, bs Ñ Ω est un chemn :
a ă x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xN´1 ă xN “ b
γj “ γ|rxj ,xj`1s P C1prxj, xj`1sq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
γ
g pzq dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
N´1ÿ
j“0
xj`1ż
xj
|g pγj ptqq|ˇ
ˇ
`
γ1j ptq˘ˇ
ˇ dt
ď supzP
?suite à demander à David
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
On obtient :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
γ
g pzq dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď L pγq supzPSupp γ
|g pzq|
où L pγq est la longueur du chemin γ et Supp γ “ γ pra, bsq : compact car γest continue.@n ě 0 :
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
γ
f pzq dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
γ
f pzq dz ´ż
γ
fn pzq dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
γ
pf pzq ´ fn pzqq dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď L pγq supzPSupppγq
|f pzq ´ fn pzq| ÝÑnÑ`8
0
car la suite pfnqně0 converge vers f uniformément sur tout compact de Ω
doncż
γ
f pzq dz “ 0 pour tout circuit triangulaire tracé dans B pz0, rq donc
d’après le théorème de Morera, f est holomorphe sur B pz0, rq Ă Ω (B pz0, rqune boule arbitraire)Donc f P H pΩqPar p2q il suffit d’établir la convergence uniforme sur tout disque compactB pz0, rq Ă Ω de la suite
`
f pkqn
˘
ně0vers f pkq.
Comme d´
B pz0, rq,Ωc¯
ą 0 si Ω ‰ C.car comme Ωc est fermé, d pz,Ωc
q “ 0 ô z P Ωc, de plus z ÞÑ d pz, F q estcontinue car 1´lipschitzienne.
B pz0, rq Ă Ω ñ B pz0, rq X Ωc“ ∅
On rappelle que si K compact, F fermé et K X F “ ∅ alors d pK,F q ą 0.Il existe r ą 0 telle que B pz0, rq Ă ΩSoit r ă ρ ă r. On écrit la formule de Cauchy dans l’ouvert étoilé B pz0, rq ĂΩ :
@z P B pz0, rq, f pzq “1
2iπ
ż
γρ
f ptq
t´ zdt p˚q
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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
où γρ ptq “ z0 ` ρeit t P r0, 2πs.
On le justifiera en TD :
@k ě 0, @z P B pz0, rq, fpkqpzq “
k!
2iπ
ż
γρ
f ptq
pt´ zqk`1dt
p˚q est satisfaite pour tout fonction holomorphe sur Ω, il s’ensuit :@n ě 0, @z P B pz0, rq
ˇ
ˇf pkqn pzq ´ f pkq pzqˇ
ˇ “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
k!
2iπ
ż
γρ
fn ptq ´ f ptq
pt´ kqk`1dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď1
2πL pγρq sup
tPSupppγρq
|fn ptq ´ f ptq|
pt´ zqk`1
On a @z P B pz0, rq, @t P Supp γρ :
|t´ z| “ |pt´ z0q ´ pz ´ z0q| ě |t´ z0| ´ |z ´ z0| ě ρ´ r
@n ě 0, @z P B pz0, rq :
ˇ
ˇf pkqn pzq ´ f pkq pzqˇ
ˇ ďρ
´
pρ´ rqk`1¯ suptPSupp γρ
|fn ptq ´ f ptq|
Donc supzPBpz0,rq
ˇ
ˇf pkqn pzq ´ f pkq pzqˇ
ˇ ďρ
pρ´ rqk`1sup
zPSupp γρ
|fn pzq ´ f pzq| ÝÑnÑ`8
0
car Supp γρ est un compact.
Remarque 1.2.On remarque le contraste avec l’analyse réelle où la convergence uniforme nepréserve PAS la dérivabilité.
Emily Clement page 15
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soit pfnqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω un ouvert nonvide de C.
Si la série`8ÿ
n“0
fn converge uniformément sur tout compact de Ω, alors
la somme de cette série :
F “`8ÿ
n“0
fn
est holomorphe sur Ω.et @k ě 0 :
F pkq “`8ÿ
n“0
f pkqn
avec convergence uniforme sur tout compact de Ω de cette série.
Corollaire 1.1 (Corollaire pour les séries).
Démonstration.Applique le théorème précédent à la suite des sommes partielles pSnqně0 où
Sn “nÿ
i“0
fi
Soit pfnqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω ouvert non
vide de C. Si la série`8ÿ
n“0
fn converge normalement sur tout compact
de Ω alors la somme de cette série :
F “`8ÿ
n“0
fn
est holomorphe sur Ω.
et @k ě 0 : F pkq “`8ÿ
n“0
f pkqn avec convergence normale sur tout compact
de Ω de ces séries.
Théorème 1.4.
Emily Clement page 16
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Démonstration.Il suffit de démontrer que, @k ě 0 :
`8ÿ
n“0
supzPBpz0,rq
|fn pzq| ă `8 pour tout disque
D’après la preuve précédente, on a :
@n ě 0, @z P B pz0, rq, fpkqn pzq “
k!
2iπ
ż
γρ
fn ptq
pt´ zqk`1dt
Comme précédemment, @z P B pz0, rq :
ˇ
ˇf pkqn pzqˇ
ˇ “k!
2π
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
γρ
fn ptq
pt´ zqk`1dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďk!
2πL pγρq sup
tPSupp γρ
|fn ptq|
|t´ z|kď
k!ρ
pρ´ rqk`1sup
tPSupp γρ
|fn ptq|
Il s’ensuit :`8ÿ
n“0
supzPBpz0,rq
|fn pzq| ďk!ρ
pρ´ rqk`1
`8ÿ
i“0
supzPSupp γρ
|fn pzq| ă `8
III Topologie de l’espace C0pΩq
Soit Ω un ouvert non vide de C. Pour tout compact K de Ω et ε ą 0 onconsidère :
VK,ε “
f P C0pΩq , @z P K, |f pzq| ď ε
(
On remarque que une suite pfnqně0 d’éléments de C0pΩq converge unifor-
mément sur tout compact de Ω vers une fonction f si et seulement si @Kcompact Ă Ω @ε ą 0, Dν0 ě 0, @n ě n0, fn ´ f P VK,ε
Il existe une unique topologie sur l’espace C0pΩq qui soit inva-
riante par translation et telle que les ensemble VK,ε, où K compactde Ω et ε ą 0 forment un système fondamental de voisinage dela fonction nulle.
Proposition 1.2.
Emily Clement page 17
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Comme les ensemble VK,ε forment un système fondamental de voisinages dela fonction identiquement nulle, l’ensemble des voisinage de la fonction nulleest donc donnée par :
V0 “
F Ă C0pΩq : DK compact Ă Ω, Dε ą 0, VK,ε Ă F
(
L ’invariance par translation impose que l’ensemble des voisinages d’une fonc-tion f0 P C0
pΩq est donnée par :
Vf0 “ f0 ` V0
Les ouverts de la topologie sous réserve d’existence, sont donc donnés par :
O “
E Ă C0pΩq , @f P E, DV P Vf , V Ă E
(
Exercice 1.1.Vérifier que
`
C0pΩq ,O
˘
est un espace topologique
On vérifie de plus que`
C0pΩq ,O
˘
est un espace vectoriel topologique,ie un espace vectoriel qui est un espace topologique tel que les applications :
C0pΩq ˆ C0
pΩq Ñ C0pΩq
pf, gq ÞÑ f ` g
etC pΩq ˆ C0
pΩq Ñ C0pΩq
pλ, gq ÞÑ λf
sont continues.On va maintenant montrer que cette topologie est métrisable.Pour ce faire, on choisit une suite exhaustive de compacts de l’ouvertΩ. On rappelle la définition :
Une suite pKnqně0 est une suite exhaustive de compacts de l’ouvertΩ est une suite pKnqně0 de compact de Ω tel que :
1. @n ě 0, Kn Ă Kn`1 Ă Kn`1 et Ω “`8ď
n“0
Kn
2. @K compact Ă Ω, Dn0 ě 1, K Ă Kn0
Définition 1.5 (Suite exhaustive).
Emily Clement page 18
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soit Ω un ouvert non vide de C. Les ensembles :
Kn “
"
z P C, |z| ď n, d pz,Ωcq ě
1
n
*
, n ě 1
définissent une suite exhaustive de compacts de Ω
Lemme 1.1.
Démonstration.On rappelle : φ :
C Ñ R`z ÞÑ d pz,Ωc
qest continue car 1´lipschitzienne et que
d pz,Ωcq “ 0 ô z P Ωc ( Ωc est fermé car Ω est ouvert !)
On remarque que :
@n ě 1, Kn Ă On “
"
z P C, |z| ă n` 1, d pz,Ωcq ą
1
n` 1
*
“ B p0, n` 1qlooooomooooon
ouvert
Xφ´1
ˆ
1
n` 1,`8
„˙
loooooooooooomoooooooooooon
ouvert
car φ est continue.@n ě 1, Kn Ă On Ă Kn`1.
@n ě 1,On Ă0
Kn`1
donc @n ě 1, Kn Ă0
Kn`1Ă Kn`1
On a :
@n ě 1, Kn “ B p0, nqloomoon
fermée, borné
Xφ´1
¨
˚
˚
˚
˝
„
1
n,`8
„
loooomoooon
fermé
˛
‹
‹
‹
‚
looooooooomooooooooon
fermé
est un fermé borné dans C.Donc @n ě 1 Kn est compact dans C.D’après p˚q on remarque que @n ě 1, Kn Ă Ω
`8ď
n“0
Kn Ă Ω
Emily Clement page 19
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Réciproquement, soit z0 P Ω il s’ensuit d’après p˚q, d pz0,Ωcq ą 0
Dn0 tel que :
$
&
%
|z0| ď n0
d pz0,Ωcq ě
1
n0
donc z0 P Kn0
Donc on a
Ω “`8ď
n“0
Kn
Soit K un compact de Ω,
K Ă Ω “`8ď
n“0
Kn Ă
`8ď
n“0
Kn`1loomoon
ouvert
Ă
`8ď
n“0
Kn`1 Ă Ω
Par compacité, on extrait un sous-recouvrement d’ouverts finis :
K Ăď
jPJ
Kj
où J Ă N˚, J fini.De plus K Ă
ď
jPJ
Kj Ă Kj0 où j0 “ max tj P Ju.
Donc K Ă Kj0 On définit pour tout n ě 1 et f P C0pΩq :
pKn pfq “ supzPKn
|f pzq| ă `8
car Kn est compact et f P C0pΩq
La famille ppKnqně1 constitue une famille dénombrable de semi-normes surC0pΩq, ie @n ě 1 :1. @λ P C @f P C0
pΩq, pKn pλfq “ |λ| pKn pfq (homogénéité)2. @f, g P C0
pΩq, pKn pf ` gq ď pKn pfq ` pKn pgq (Inégalité triangulaire)Cette famille de semi-normes ppKnqně0 est séparante.
@k P C0pΩq , @n ě 1, pKn pfq “ 0 ñ f “ 0
Car tout point z0 P Ω admet un voisinage compact z0 P K, par exhaustivitéde la suite pKnqně1 il existe n0 P N tel que z P K Ă Kn0 .
pKn0pfq “ 0 ñ @z P Kn0 , f pzq “ 0 ñ f pz0q “ 0
On remarque que si pfkqkě1 est une suite d’éléments de C0pΩq et f P C0
pΩq,les deux assertions suivantes sont équivalentes
Emily Clement page 20
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
1. pfkqkě1 converge uniformément sur tout compact de Ω vers f2. @n ě 1 pKn pf ´ fkq ÝÑ
kÑ`80
ñ est trivial, car @n ě 1 Kn est un compact de ΩOn définit par tout f, g P C0
pΩq la distance :
d pf, gq “`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pf ´ gqqloooooooooomoooooooooon
ě0
ď
`8ÿ
n“1
1
2n“
1
2“ 1
L’application d :C0pΩq ˆ C0
pΩq Ñ R`pf, gq ÞÑ d pf, gq
définit une distance
sur C0pΩq qui métrise la topologie de la convergence uniforme
sur tout compact de Ω :On a pour tout fn, f P C0
pΩq les trois assertions suivantes qui sontéquivalentes :
1. pfnqně1 converge uniformément sur tout compact de Ω vers f2. @k ě 1, lim
nÑ`8pKk pf ´ fnq “ 0
3. d pf, fnq ÝÑnÑ`8
0
Proposition 1.3.
Démonstration.
1. d pf, gq “ d pg, fq car @n ě 1, pKn pf, gq “ supzPKn
|f pzq ´ g pzq| “
pKn pg ´ fq
2.
d pf, gq “ 0 ô @n ě 1,1
2ninf p1, pKn pf ´ gqq “ 0
ô @n ě 1, pKn pf ´ gq “ 0
ô f “ g car ppKnqně1 est une famille séparante
3. @n ě 1 pKn pf ` gq ď pKn pfq ` pKn pgq@n ě 1 inf p1, pKn pf ` gqq ď inf p1, pKn pfqq ` pKn pgqOr inf p1, pKn pfq ` pKn pgqq ď inf p1, pKn pfqq ` inf p1, pKn pgqqOn distingue les cas :
Emily Clement page 21
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
(a)
#
pKn pfq ď 1
pKn pgq ď 1
Donc inf p1, pKn pfq , pKn pgqq ď pKn pfq ` pKn pgq
(b)
#
pKn pfq ď 1
pKn pgq ą 1
Donc inf p1, pKn pfq ` pKn pgqq ď pKn pfqloomoon
ě0
`1
(c)
#
pKn pfq ą 1
pKn pgq ą 1
Donc inf p1, pKn pfq ` pKn pgqq ď 1` 1
On obtient en sommant :`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pf ` gqq ď
`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pfqq`
`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pgqq
donc
d´
f , g¯
“
`8ÿ
n“1
1
2ninf
¨
˚
˝
1, pKn
¨
˚
˝
f ´ gloomoon
“f´h`h´g
˛
‹
‚
˛
‹
‚
ď d´
f , h¯
` d´
h, g¯
Et on définit une métrique sur C0pΩq qui est invariante par transla-
tion :@f, g, h P C0
pΩq , d pf ` h, g ` hq “ d pf, gq
On remarque que :
@n ě 1, @f, g P C0pΩq ,
1
2ninf p1, pKn pf ´ gqq ď
`8ÿ
k“1
1
2kinf p1, pKN pf ´ gqq “ d pf, gq
D’autre part, @f, g P C0pΩq
d pf, gq “`8ÿ
k“1
1
2kinf p1, pKn pf ´ gqq
“
nÿ
k“1
1
2ninf p1, pKn pf ´ gqqloooooooooomoooooooooon
“pKn pf´gqďpKn pf´gqp˚q
`
`8ÿ
k“n`1
inf p1, pKn pf ´ gqqloooooooooomoooooooooon
ď1loooooooooooooomoooooooooooooon
12n`1
1
1´ 12
“ 12n
Emily Clement page 22
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
p˚q : Car @1 ď k ď n Kk Ă Kn par exhaustivité ;@n ě 1 @f, g P C0
pΩq
d pf, gq ď1
2
1´`
12
˘n
1´ 12
pKn pf ´ gq `1
2n
ď pKn pf ´ gq `1
2n
Pour vérifier que la distance d définit la topologie de la convergencesur tout compact de Ω, il faut établir que :
O “ O
où O “
E Ă C0pΩq , @f P E, Dr ą 0,Bd pf, rq Ă E
(
Bd pf, rq “
g P C0pΩq , d pg, fq ă r
(
Il suffit de vérifier :(a) @f0 P C0
pΩq, @r ą 0 DK compact de Ω Dε ą 0 tel que
f0 ` VK,ε Ă Bd pf0, rq
(b) @f0 P C0pΩq @K compact Ă Ω, @ε ą 0 Dr ą 0 tel que :
Bd pf0, rq Ă f0 ` VK,ε
Par invariance par translation, on peut supposer que f0 “ 0.
Démonstration.
(a) Preuve de aq :
soit r ą 0, comme`8ÿ
n“1
1
2nă `8 Dn0 ě 1 tel que
`8ÿ
n“n0`1
1
2năr
2
On considère K “ Kn0 compact de Ω et ε “r
4ą 0 :
@f P VK,ε, @z P K “ Kn0 , |f pzq| ď ε :
d p0, fq “`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pfqq
“
n0ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pfqqlooooooomooooooon
pKn pfqďpKn0pfq
`
`8ÿ
n“n0
`8ÿ
n“n0`1
1
2ninf p1, pKn pfqqlooooooomooooooon
ď1loooooooooooooomoooooooooooooon
ď r2
ď pKn0pfq `
r
2ă r
Emily Clement page 23
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
(b) Preuve de bq :Soit K compact Ă Ω et ε ą 0 :Par exhaustivité : Dn0 ě 1 tel que K Ă Kn0 ,
On considère r “1
2n0`1inf p1, εq ą 0
Montrons que Bd p0, rq Ă VK,ε :
@f P Bd p0, rq , d pf, 0q “`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pfqq ă r “
1
2n0`1inf p1, εq
donc1
2n0inf
`
1, pKn0pfq
˘
‖pKn0
pfq
ă1
2n0inf
ˆ
1
2,ε
2
˙
ă 1
@f P Bd p0, rq , pK pfq ď pKn0pfq ă inf
ˆ
1
2,ε
2
˙
ď ε
donc f P VK,εComme H pΩq est un sous-espace vectoriel de C0
pΩq on munitH pΩq de la topologie induite, d’après la préservation de l’holo-morphie.Par la convergence uniforme sur tout compact de Ω, on remarqueque H pΩq est un sous-espace vectoriel fermé de C0
pΩqOn dit qu’un espace vectoriel métrique dont la distance est défi-nie à partir d’une famille dénombrable de semi-normes séparantepar la formule précédente est un espace de Fréchet si cet espacemétrique est complet.
Exemple 1.4.
S pRq “"
f P C`8 pRq : @f, e ě 0, supxPR
ˇ
ˇxkf ppq pxqˇ
ˇ ă `8
*
est un espace de
Fréchet.
Les espace`
C0pΩq , d
˘
et pH pΩq , dq sont des espace de Fréchet.
Proposition 1.4.
Démonstration.Comme H pΩq est fermé dans
`
C0pΩq , d
˘
, il suffit d’établir que`
C0pΩq , d
˘
Emily Clement page 24
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
est complet pour obtenir que pH pΩq , dq est complet.Soit pfkqkě1 une suite de Cauchy dans
`
C0pΩq , d
˘
.@ε ą 0 Dk0 ě 1 @ρ, k ě k0 d pfρ, fkq ă ε.
Soit ε ą 0 Soit n0 ě 1 On pose ε “1
2n0`1inf p1, εq ą 0
Dk0 ě 1, @ρ, k ě k0
d pf,ρ , fkq “`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pfρ, fkqq ă
1
2n0inf
ˆ
1
2,ε
2
˙
Donc1
2n0inf
`
1, pKn0pfρ ´ fkq
˘
loooooooooooomoooooooooooon
pKn0pfρ´fkq
ă1
2n0inf
ˆ
1
2,ε
2
˙
looooomooooon
ă1
.
@z P Kn0 pfn pz0qqně0 est de Cauchy dans C.@ρ, k ě k0 pKn0
pfρ ´ fkq ă ε donc @ρ, k ě k0 @z P Kn0
ˇ
ˇfρpzq ´ fk pzqˇ
ˇ ă ε
Comme Ω “`8ď
n“1
Kn, il s’ensuit que pour tout z P Ω la suite pfn pzqqně1 est de
Cauchy dans C, qui est complet, donc la suite pfnqně1 converge simplementsur Ω vers une fonction f .D’autre part, on a montré :
@n ě 1, @ε ą 0, Dk0 ě 1, @z P Kn0 , @k, ρ ě kn0 , |fρ pzq ´ fk pzq| ă ε
Par passage à la limite, quand ρ Ñ `8 on obtient : @n0 ě 1@ε ą 0, Dk0 ě
1, @z P Kn0 , @k ě k0, |f pzq ´ fk pzq| ă εpfnqn converge uniformément vers k sur Kn0 pour tout n0 ě 1.Soit K compact de Ω, Dn0 ě 1 tel que K Ă Kn0 , il s’ensuit que pfnqně1, suitede fonction dans C0
pΩq converge uniformément vers f sur K.Donc f P C0
pΩq et d pfn, fq ÝÑnÑ`8
0.
IV Théorème des famille normales ou Théo-rème de Montel
On cherche à caractériser les sous-ensemble compacts de pH pΩq , dq où Ωest un ouvert non vide de C.
Emily Clement page 25
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Un sous-ensemble A Ă H pCq est dit borné si :
@K compact Ă Ω, @ε ą 0, Dλ ą 0, A Ă λVK,ε “ tλf, f P VK,εu
Définition 1.6.
Soit A un sous-ensemble de H pCq où Ω est un ouvert non vide de C,la conditions suivantes sont équivalentes :
1. A est un sous-ensemble borné de H pCq2. @r ą 0 Dλ ą 0
A Ă λBd p0, rq “
#
λf, d pf, 0q “`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pfqq ă r
+
3. @K compact Ă Ω, DMk ą 0 @z P K @f P A |f pzq| ďMK
Proposition 1.5.
Démonstration.Soit r ą 0 :
1q ñ 2qD’après ce qui précède, il existe K Ă Ω compact, Dε ą 0 tel que :
VK,ε Ă Bd p0, rq
Or A borné donc Dλ ą 0
A Ă λVK,ε Ă λBd p0, rq
2q ñ 3q Soit K compact inclus dans Ω.Par exhaustivité, Dn0 ě 1 tel que K Ă Kn0 .
Emily Clement page 26
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
On prend pour r “1
2n0`1, d’après 2q, il existe λ ą 0 tel que
A Ă λBd
ˆ
0,1
2n0`1
˙
“
#
λf : d p0, fq “`8ÿ
n“1
1
2ninf p1, pKn pfqq ă
1
2n0`1, f P H pΩq
+
Ă
$
’
’
’
&
’
’
’
%
λf : f P H pΩq , 1
2n0inf
`
1, pKn0pfq
˘
looooooooooomooooooooooon
“ 12n0 pKn0
pfq
ă1
2n0`1
,
/
/
/
.
/
/
/
-
“
"
λf : f P H pΩq , pKn0pfq ă
1
2
*
“
"
g P H pΩq : pKn0pgq ă
λ
2
*
Donc @f P A, @z P K :
|f pzq| ď pK pfq ď pKn0pfq ă
λ
2
On a donc montré 3q.Il s’ensuit :@K Ă Ω compact, DMK ą 0, @f P A, @z P K :
|f pzq| ďMK
Les fonctions de A sont conformément bornées sur tout compact de Ω
3q ñ 1q :Soit K Ă Ω un compact et ε ą 0.D’après 3q, DMK ą 0, @f P A, @z P K
|f pzq| ďMK “ ε
ˆ
MK
ε
˙
Posons g “ε
MK
¨ f P H pΩq@z P K
|g pzq| “ε
MK
|f pzq| ďε
MK
MK “ ε
Donc g P VK,εA Ă
MK
εVK,ε car f “
MK
εg
Emily Clement page 27
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soit A un sous-ensemble borné de H pΩq, alors A la fermeture deA dans pH pΩq , dq est un sous-ensemble borné de H pΩq.
Proposition 1.6.
Démonstration.Soit K Ă Ω compact, comme A est borné, DMK ą 0 tel que :
p˚q @f P A, @z P K, |f pzq| ďMK
Soit f P A Il existe pfnqně1 une suite d’éléments de A tel que : fn ÝÑnÑ`8
f
uniformément sur tout compact de Ω, donc simplement sur K.Or d’après p˚q :
@n ě 1, @z P K, |fn pzq| ďMK
Par passage à la limite quand nÑ `8 :
@z P K, |f pzq| ďMK
Conclusion : @f P A, @z P K :
|f pzq| ďMK
Donc A est borné dans H pΩq.
Si A est un sous-ensemble compact de H pΩq alors#
A est fermé dans pH pΩq , dqA est borné dans pH pΩq , dq
Proposition 1.7.
Démonstration.L’espace topologique H pΩq est séparé car la topologie est métrisable. Unsous-ensemble compact de H pΩq est donc nécessairement fermé. Soit K Ă Ω
Emily Clement page 28
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
un compact.On considère l’application :
φK :pH pΩq , dq Ñ R
f ÞÑ supzPK
|f pzq|
Montrons que φK est continue.@f, g P H pΩq :
φK pfq ´ φK pgq “ supzPK
|f pzq| ´ supzPK
|g pzq|
“ |f pz0q| ´ supzPK
|g pzq| car K compact, Dz0 P K vérifiant cela
ď |f pz0q| ´ |g pz0q|
ď |f pz0q ´ g pz0q|
ď supzPK
|f pzq ´ g pzq|
En échangeant f et g on obtient :
|φK pfq ´ φK pgq| ď φK pf ´ gq
Soit f P H pΩq et pfnqně1 une suite telle que d pf, fnq ÝÑnÑ`8
0, alors :
supzPK
|fn pzq ´ f pzq| ÝÑnÑ`8
0
Donc limnÑ`8
φK pfnq “ φK pfq
phiK est continue comme A est un compact de pH pΩq , dq φK pAq est uncompact de R donc est borné dans R.
DMK ą 0, φK pAq Ă B p0,MKq
ie@f P A, sup
zPK|f pzq| ďMK
A est borné dans pH pΩq , dq
Soit A un sous-ensemble de H pΩq où Ω est un ouvert non vide deC.
A est une partie compacte de H pΩq ô
#
A est fermé dans H pΩqA est borné dans H pΩq
Théorème 1.5 (Théorème des familles normales, ou théorème de Montel).
Emily Clement page 29
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soit A un sous-ensemble de H pΩq, où Ω est un ouvert non videde C.
A est un sous-ensemble borné de H pΩqô A est une partie relativement compacte de H pΩq
Corollaire 1.2.
Démonstration du corollaire.Si A est borné dans H pΩq alors :
#
A est fermé dans pH pΩq , dqA est borné dans pH pΩq , dq
Par le théorème de Montel, A est compact dans H pΩq.Si A est relativement compact dans H pΩq ie A est compact dans H pΩqA borné dans H pΩq donc A est borné dans H pΩq
Démonstration du théorème.On commence par démontrer le lemme suivant :
Soient Ω “ B pz0, rq où z0 P C r ą 0 et A un sous-ensemble bornéde H pΩq.Soit pfnqně0 une suite d’éléments de A alors les deux assertions sui-vantes sont équivalentes :
1. La suite pfnqně0 est convergente par la topologie de la conver-gence uniforme sur tout compact de Ω “ B pz0, rq, ie :
Df P H pΩq , d pf, fnq ÝÑnÑ`8
0
2. @k ě 0 la suite des dérivés ki ème `f pkqn pz0q˘
ně0est convergente
dans C.
Lemme 1.2.
Démonstration du lemme.Supposons 1q vrai,Df P H pΩq tel que d pf, fnq ÝÑ
nÑ`80.
La suite pfnqně0 converge donc vers f uniformément sur tout compact de Ω.
Emily Clement page 30
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
D’après le théorème précédent, @k ě 0`
f pkqn
˘
ně0converge uniformément sur
tout compact de Ω vers f pkq.En particulier, on a :
@k ě 0, limnÑ`8
f pkqn pz0q “ f pkq pz0q
On a donc montré 2q.Réciproquement, supposons 2q :
@k ě 0, la suite`
f pkqn pz0q˘
ně0est convergente dans C
Il suffit de montrer que Df P H pΩq tel que fn ÝÑnÑ`8
f uniformément sur
tout disque B pz0, ρq où 0 ă ρ ă r.Soit 0 ă ρ ă r, on choisit ρ ă ρ0 ă r.Comme le sous-ensemble A est borné, il existe M ą 0 tel que :
@z P B pz0, ρ0q, @n ě 0, |fn pzq| ďM
car @n ě 0, fn P A (B pz0, ρ0q est un compact de R)Comme pour tout n ě 0 fn P H pB pz0, rqq on a :
@n ě 0, @z P B pz0, rq , fn pzq “`8ÿ
k“0
fpkqn pz0q
k!pz ´ z0q
k
On utilise les inégalités de Cauchy (voir fiches TD) : @n ě 0, @k ě 0 :
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
fpkqn pz0q
k!
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
sup|z´z0|“ρ0
|fn pzq|
ρkďM
ρk0
@z P B pz0, ρq @p, q ě 0 :
|fp pzq ´ fq pzq| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
8ÿ
n“0
´
fpkqp pz0q ´ f
pkqq pz0q
¯
k!pz ´ z0q
k
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
k0ÿ
k“0
ˇ
ˇ
ˇfpkqp pz0q ´ f
pkqq pzq
ˇ
ˇ
ˇ
k!ρk `
`8ÿ
k“k0`1
2M
ˆ
ρ
ρ0
˙k
Soit ε ą 0 Dk0 ě 0 tel que :
`8ÿ
k“k0`1
2M
ˆ
ρ
ρ0
˙k
ăε
2
Emily Clement page 31
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
car 0 ă ρ ă ρ0
Comme @k ě 0`
f pkqn pz0q˘
ně0est convergence dans C, elle est de Cauchy
dans C :Dp0 ą 0, @p, q ě 0 :
supzPBpz0,ρq
|fp pzq ´ fq pzq| ă ε
Il s’ensuit que la suite pfnqně0 vérifie un critère de Cauchy, uniforme sur toutcompact de Ω donc il existe f P H pΩq tel que fn ÝÑ
nÑ`8f uniformément sur
tout compact de Ω.
Le lemme est démontré.Retour à la démonstration du théorème des familles normales :Soit A un sous-ensemble fermé et borné de pH pΩq , dqOn remarque que l’on peut écrire Ω comme une union dénombrable deboues ouvertes :
Ω “`8ď
j“0
B pzj, rjq
où zj P Ω, rj ą 0En effet, @z P Ω, Dδz ą 0
B pz, δzq Ă Ω
car Ω est un ouvert.Comme Q est dense dans R on peut trouver Sz P Ω tel que
ReSz, ImSz P Q et rz P QX R˚`
tel que z P B´
Sz,rz2
¯
Ă B pSz, rzq Ă Ω
Ω Ăď
zPK
B´
Sz,rz2
¯
Ăď
zPΩ
B´
Zs,rz2
¯
Ăď
zinΩ
B pSz, rzq Ă Ω
DoncΩ “
ď
zPK
B´
Sz,rz2
¯
“ď
zPΩ
B´
Zs,rz2
¯
“ď
zinΩ
B pSz, rzq
Comme QˆQˆQ dénombrable, on peut donc écrire :
Ω “`8ď
j“0
B´
zj,rj2
¯
Ă
`8ď
j“0
B´
zj,rj2
¯
“
`8ď
j“0
B pzj, rjq
où rj P Ω, rj ą 0Soit pfnqně0 une suite d’éléments de A, montrez qu’il existe une sous-suite
Emily Clement page 32
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
`
fϕpnq˘
ně0où ϕ : N Ñ N strictement croissante telle que toutes les suite
@j ě 0, @k ě 0´
fpkqϕpnq pzjq
¯
ně0soit convergente. On utilise le lemme suivant :
L’application pH pΩq , dq Ñ pH pΩq , dqf ÞÑ f 1
transforme toute en-
semble borné de H pΩq sur un ensemble borné de H pΩq
Lemme 1.3 (Démonstration en TD).
Soit Kj “ B´
zj,rj2
¯
Ă Ω compact. Comme A est borné, d’après le lemme :
@k ě 0,
f pkq : f P A(
est borné dans H pΩqIl s’ensuit que @k ě 0, @j ě 0, DMk,j ą 0@z P Kj, @f P A
ˇ
ˇ
ˇf pzqpkq
ˇ
ˇ
ˇďMk,j
En particulier : @k, j ě 0, @n ě 0ˇ
ˇf pkqn pzjqˇ
ˇ ďMk,j p˚˚q
Notons λk,j :H pΩq Ñ Cf ÞÑ f pkq pzjq
On veut montrer qu’il existe ϕ : N Ñ N strictement croissant tel que :
@kn ě 0,`
λk,j`
fϕpnq˘˘
ně0est convergente
Comme Nˆ N est dénombrable, on ré-indexe les applications pλk,jqk,jě0 parpµkqkě0
Il suffi de montrer qu’il existe ϕ : N Ñ N strictement croissant tel que@k ě 1,
`
µkfϕpnq˘
ně0est convergente.
On sait d’après p˚˚q que :
@k ě 1, Dmk ě 0, @n ě 0, |µk pfnq| ď mk
Comme pµ1 pfnqqně0 est une suite bornée de C, Dϕ1 : N Ñ N strictementcroissant tel que lim
nÑ`8µ1
`
fϕ1pnq
˘
existe dans C
Comme`
µ2
`
fϕ1pnq
˘˘
ně0est une suite bornée de C, Dϕ2 : N Ñ N stricte-
ment croissant tel que :
limnÑ`8
µ2
`
fpϕ1˝ϕ2qpnq
˘
existe dans C
Emily Clement page 33
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
En réitérant, on construit, Dϕl : N Ñ N strictement croissant tel que :
@ρ ě 1, limnÑ`8
µl`
fpϕ1˝ϕ2˝¨¨¨˝ϕlqpnq
˘
existe dans C.On considère la suite diagonale @m ě 1
ψ pmq “ pϕ1 ˝ ϕ2 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ϕmq pmq
On remarque que :
@N ě 1, @m ě N,ψ pmq P pϕ1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ϕNq pNq
Donc @N ě 1 limnÑ`8
µN`
fψpmq˘
existe.On a démontré que :
@j, k ě 0, limnÑ`8
fpkqϕpnq pzjq existe
D’après le lemme, la suite`
fψpnq˘
ně0converge uniformément sur tout com-
pact de B pzj, rjqSoit K Ă Ω un compact, on a :
K Ă Ω “`8ď
j“0
B´
zj,rj2
¯
“
`8ď
j“0
B´
zj,rj2
¯
“
`8ď
j“0
B pzj, rjq
Par compacité Dj0 ě 0 tel que :
K Ă
j0ď
j“0
B pzj, rjq Ăj0ď
j“0
B´
zj,rj2
¯
B´
zj,rj2
¯
est un compact de B pzj, rjq sur lequel`
fψpnq˘
ně0converge unifor-
mément.`
fψpnq˘
ně0converge uniformément sur K0 “
j0ď
j“0
B´
zj,rj2
¯
donc aussi sur K.
Conclusion : Il existe f P H pΩq telle que`
fψpnq˘
ně0converge uniformément
sur tout compact de Ω vers f .De plus, f P A car A est fermé, donc A est compact.
Le théorème de Montel peut également être démontré en utilisant le théorèmed’Ascoli :
Emily Clement page 34
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soient pX, dq un espace métrique compact, pX 1, d1q un espace mé-trique et E une partie de l’espace C0
pX,X 1q muni de la topologie de
la convergence uniforme sur X.Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. E est relativement compact dans C0pX,X 1
q
2. (a) E est équicontinue :@ε ą 0Dα ą 0, @x, y P X
d pz, yq ă αñ @f P E, d pf pxq , f pyqq ă ε
(b) E est ponctuellement relativement compact :@x P X
tf pxq : f P Eu est relatiement compact dans X’
Théorème 1.6 (Théorème d’Ascoli).
Référence pour la preuve : Éléments d’analyse par l’agrégation, Claude Zuily.(Masson)
Emily Clement page 35
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
V Séries et fonctions méromorphes
Soient Ω un ouvert non vide de C et pfnqně0 une suite de fonctionsméromorphes sur Ω :
1. On dit que la série de fonctions méromorphes`8ÿ
n“0
fn
converge uniformément sur un ensemble A Ă Ω s’il existen0 ě 0 tel que :
$
’
&
’
%
@n ě n0, fn ne possède pas de pôle dans A`8ÿ
n“n0
fn convergence uniformément sur A
où les fn sont des fonctions holomorphes en tout point de A
2. On dit que la série de fonction méromorphes`8ÿ
n“0
fn converge
normalement sur A Ă Ω s’il existe n0 ě 0 tel que :$
’
’
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
’
’
%
@n ě n0, fn ne possède pas de pôles dans A`8ÿ
n“n0
fn converge normalement sur A
ie`8ÿ
n“n0
supzPA
|fn pzq| ă `8
Définition 1.7.
Dans tout ça qui suit, on considère des série de fonctions méromorphes dansΩ un ouvert non vide de C qui converge uniformément (ou normalement)sur tout compact de Ω.Dans ce cas, on définit la somme d’une telle série de la manière suivante :
Pour tout compact relativement compact dans Ω, ie
$
’
&
’
%
U ouvertU compactU Ă Ω
Dn0 ě 0 tel que @n ě n0 ` 1 fn n’admet pas de pôle dans U :
S “n0ÿ
n“0
fn ``8ÿ
n“n0`1
fn
Emily Clement page 36
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Or`8ÿ
n“n0`1
fn P H pUq car fn P H pUq.
n0ÿ
n“0
fn est une fonction méromorphe sur U comme somme finie de fonction
méromorphe sur U .Une série de fonction holomorphe sur U converge uniformément (resp nor-malement) sur tout compact de U car cette convergence est vérifiée sur U .On vérifie aisément que cette somme ne dépend pas du choix de n0 vérifiantp˚q
Soit`8ÿ
n“0
fn une série de fonction méromorphe sur Ω ouvert non
vide de C.Si cette série converge uniformément (resp normalement) sur toutcompact de Ω (au sens des séries de fonction méromorphes), la sommef de cette série est une fonction méromorphe sur Ω et
@k ě 0, f pkq “`8ÿ
n“0
f pkqn
où les séries de fonctions méromorphes`8ÿ
n“0
f pkqn convergence unifor-
mément (resp normalement) sur tout compact de Ω.
Théorème 1.7.
Démonstration.On a déjà que la somme f définit une fonction méromorphe dans tout ouvertrelativement compact de Ω, par suite, elle définit une fonction méromorphesur Ω.Soit U un ouvert relativement compact de Ω.Dn0 ě 0
f “n0ÿ
n“0
fnloomoon
partie méromorphe
`
`8ÿ
n“n0`1
fnlooomooon
PHpUq
Emily Clement page 37
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
f 1 “n0ÿ
n“0
f 1n `
˜
`8ÿ
n“n0`1
fn
¸1
“
n0ÿ
n“0
f 1n ``8ÿ
n“n0`1
f 1nlooomooon
p1qlooomooon
PHpUq
par le théorème précédent
p1q : une série de fonction holomorphe sur U converge uniformément sur toutcompact de U (resp normalement).On doit maintenant vérifier pour tout compact K de Ω, il existe n1 ě 0 telque
$
’
&
’
%
@n ě n1, f n’admet pas de pôle dans K`8ÿ
n“n1`1
f 1n CV uniformément (resp normalement) sur K
Il suffit pour conclure d’utiliser que tout compact peut être recouvert par unnombre fini d’ouverts relativement compacts dans Ω :
K Ă
Nď
j“1
Uj
@j “ 1, ¨ ¨ ¨ , N Dnj ě 0
f 1 “
njÿ
n“0
f 1n ``8ÿ
n“nj`1
f 1n
où @n ě nj ` 1 f 1n n’a pas de pôles dans Uj.On obtient :
f 1 “nÿ
n“0
f 1n ``8ÿ
n“n`1
f 1n
série convergeant uniformément (resp normalement) surK. avec n “ max1ďjďN
nj
@n ě n` 1 f 1n n’a pas de pôles dans K.
Emily Clement page 38
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soit`8ÿ
n“0
fn une série de fonctions méromorphes sur Ω ouvert non
vide de C.Si cette série convergence uniformément sur tout compact de Ω, les
pôles de la fonction méromorphe f “`8ÿ
n“0
fn, noté P pfq vérifie :
P pfq Ă`8ď
n“0
P pfnq
où P pfnq désigne l’ensemble des pôles de fn.De plus, si les ensemble pP pfnqqně0 sont deux à deux disjoints :
@ρ, k ě 0, P pfkq X P pfρq “ ∅
alors
P pfq “`8ğ
n“0
P pfnq
et @z0 P P pfq D!n0 ě 0 z0 P P pfn0q et ordrez0 pfq “ ordrez0 pfn0q.Plus précédemment, f et fn0 ont la même partie polaire dans le dé-veloppement en serie de Laurent au voisinage de z0 (théorème desrésidus)
Corollaire 1.3.
Démonstration.Soit U un ouvert relativement compact dans Ω. Il existe n0 ě 0 tel que :
f “n0ÿ
n“0
fnloomoon
méromorphe sur U
`
`8ÿ
n“n0`1
fnlooomooon
PHpUq
sur U
P pfq X U Ăn0ď
n“0
P pfnq X U
P pfq Ă`8ď
n“0
P pfnq
Supposons que les ensembles pP pfnqqně0 sont deux à deux disjoints.
Emily Clement page 39
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soit z0 P
`8ď
n“0
P pfnq.
Il existe un unique k0 ě 0 tel que z0 P P pfk0q
On choisir N un voisinage ouvert relativement compact de point z0 dans Ω,Dn1 ě 0 :
f “n1ÿ
n“0
fnloomoon
p1q
`
`8ÿ
n“n1`1
fnlooomooon
p2q
, fn sur V
“ fk0 `
n1ÿ
n“0n‰k0
fn ``8ÿ
n“n1`1
fn
p1q : fonction méromorphe sur U qui admet un nombre fini de pôles dans Ucompact.p2q : fonction holomorphe sur V .
Comme z0 R
n1ď
n“0n‰k0
P pfnq la fonctionn1ÿ
n“0n‰k0
fn est holomorphe au voisinage de z0.
Dr0 ą 0 tel que B pz0, r0q Ă Ω et fk0 n’admet de d’autre pôle que z0 dansB pz0, r0q.@z P B pz0, r0q z tz0u
f pzq “ fk0 pzq ` g pzq
où g P H pB pz0, r0qq
On peut développer fk0 en série de Laurent au voisinage de z0.@z P B pz0, r0q :
fk0 pzq “ap
pz ´ z0qp `
ap´1
pz ´ z0qp´1 ` ¨ ¨ ¨ `
a1
z ´ z0
`
`8ÿ
n“0
bn pz ´ z0qn
comme g P H pB pz0, r0qq, @z P B pz0, r0q
g pzq “`8ÿ
n“0
bn pz ´ z0qn
où ap ‰ 0@z P B pz0, r0q :
f pzq “ap
pz ´ z0qp ` ¨ ¨ ¨ `
a1
z ´ z0loooooooooooooomoooooooooooooon
même partie primitive au point z0 que fk0
`
`8ÿ
n“0
cn pz ´ z0qn
Emily Clement page 40
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
VI Produits infinis de fonction holomorphes
Soit pfnqně0 une suite de fonctions continues sur Ω un ouvert non
vide de C. On dit que le produit infini`8ź
n“0
fn converge normalement
sur A une partie de Ω si les conditions suivantes sont vérifiées :1. lim
nÑ`8supzPA
|fn pzq ´ 1| “ 0
ie fn ÝÑ 1 uniformément sur ASi p1q est vérifié, il existe n0 ě 0 tel que @n ě n0,
supzPA
|fn pzq ´ 1| ă1
2
2. La série`8ÿ
n“0
Log pfnq converge normalement sur A.
ie`8ÿ
n“0
supzPA
|Log pfn pzqq| ă `8
Définition 1.8.
Rappel : La détermination principale de logarithme complexe est définie surCzR´@z P CzR´,
Log z “ ln |z| ` i Arg zloomoon
Ps´π,πr
La fonction Log est holomorphe sur CzR´ et @z P CzR´ :
pLog zq1 “1
z
On a @z P CzR´eLogpzq
“ z
@ |z| ă 1
Log p1` zq “`8ÿ
n“0
p´1qn´1 zn
n
Emily Clement page 41
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soient K un compact de Ω ouvert non vide de C et pfnqně0 une suitede fonctions continues sur Ω.Les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1. Le produit infini`8ź
n“0
fn converge normalement sur K.
2. La série`8ÿ
n“0
pfn ´ 1q converge normalement sur K.
Proposition 1.8.
Démonstration.@ |z ´ 1| ď
1
2:
|Log z| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
`8ÿ
n“1
p´1qn´1 pn´ 1qn
n
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
`8ÿ
n“1
|z ´ 1|n
n
ď |z ´ 1|`8ÿ
n“1
1
2n´1nď C1 |z ´ 1|
Donc @ |z ´ 1| ď1
2:
|z ´ 1| “ˇ
ˇeLogpzq´1ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
`8ÿ
k“0
pLog zqk
k!´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
8ÿ
k“1
pLog pzqqk
k!
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
`8ÿ
k“1
|Log z|k
k!ď |Log z|
`8ÿ
k“1
|Log z|k´1
pk ´ 1q!
ď |Log z| e|Log z|
Emily Clement page 42
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
@ |z ´ 1| ď1
2:
|z ´ 1| ď |Log z| exp
ˆ
b
pln |z|q2 ` pArg zq2˙
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
ďexp´?
pln 2q2`π2¯
Supposons que le produit infini`8ź
n“0
fn converge normalement sur K :
Dn0 ě 0 @n ě n0 :supzPK
|fn pzq ´ 1| ď1
2
et`8ÿ
n“n0
supzPK
|Log pfn pzqq| ă `8
`8ÿ
n“n0
supzPK
|fn pzq ´ 1| ď c`8ÿ
n“n0
supzPK
|Log pfn pzqq| ă `8
Comme K est compact, @0 ď n ď n0 supzPK
|fn pzq ´ 1| ă `8
Donc`8ÿ
n“0
supzPK
|fn pzq ´ 1| ă `8
La série`8ÿ
n“0
pfn ´ 1q converge normalement sur K.
Réciproquement, si`8ÿ
n“0
pfn ´ 1q converge normalement sur K.
ie`8ÿ
n“0
supzPK
|fn pzq ´ 1| ă `8
In s’ensuit :lim
nÑ`8supzPK
|fn pzq ´ 1| “ 0
donc pfnqně0 converge uniformément vers la fonction constante égale à 1 surK.@n0 ě 0, @n ě n0, sup
zPK|fn pzq ´ 1| ď
1
2@z P K @n ě n0 : |Log pfn pzqq| ď C |fn pzq ´ 1| ď C sup
zPK|fn pzq ´ 1|
@n ě n0
supzPK
|Log pfn pzqq| ď C supzPK
|fn pzq ´ 1|
Emily Clement page 43
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Donc`8ÿ
n“n0
supzPK
|Log pfn pzqq| ď C`8ÿ
n“n0
supzPK
|fn pzq ´ 1| ă `8
Soit pfnqně0 une suite de fonction continues sur Ω un ouvert non videde C.
Le produit infini`8ź
n“0
fn converge normalement sur tout compact de Ω
si et seulement si la série`8ÿ
n“0
pfn ´ 1q converge normalement sur tout
compact de Ω.
Corollaire 1.4.
Démonstration.
Supposons que le produit infini`8ź
n“0
fn converge normalement sur tout com-
pact de Ω ouvert non vide de C, où pfnqně0 est une suite de fonctions continuessur Ω, on définit :
@z P Ω, @N ě 0, GN pzq “Nź
n“0
fn pzq
Soit K un compact de Ω. Il existe n0 ě 0, tel que
@n ě n0, @z P K, |fn pzq ´ 1| ď1
2,`8ÿ
n“n0
Log pfnq CVN sur K
Donc @N ě n0 @z P K
GN pzq “
˜
n0´1ź
n“0
fn pzq
¸˜
Nź
n“n0
fn pzq
¸
“
˜
n0`1ź
n“0
fn pzq
¸
Nź
n0
eLogpfnpzqq
@N ě n0 @z P K
Gn pzq “
˜
n0´1ź
n“0
fn pzq
¸
exp
˜
Nÿ
n“n0
Log pfn pzqq
¸
Emily Clement page 44
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Comme la série`8ÿ
n“n0
Log pfnq converge normalement sur K, donc uniformé-
ment sur K donc aussi simplement sur KIl s’ensuit @z P K
limNÑ`8
GN pzq “
˜
n0´1ź
n“0
fn pzq
¸
exp
˜
`8ÿ
n“n0
Log pfn pzqq
¸
Montrons que Gn ÝÑnÑ`8
G uniformément sur K@z P K, @N ě n0 :
|G pzq ´GN pzq| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
˜
n0´1ź
n“0
fn pzq
¸
»
—
–
exp
˜
`8ÿ
n“n0
Log pfn pzqq
¸
´ź
fn pzqloomoon
“eLogpfnpzqq
fi
ffi
fl
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
˜
n0´1ź
n“´
supzPK
|fn pzq|
¸
exp
˜
`8ÿ
n“n0
supzPK
|Log pfn pzqq|
¸
looooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooon
ďMă`8
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
exp
˜
`8ÿ
n“N`1
Log pfn pzqq
¸
´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
˜
n0´1ź
n“0
supzPK
|fn pzq|
¸ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
exp
˜
Nÿ
n“n0
Log pfn pzqq
¸ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
looooooooooooooomooooooooooooooon
ďexp
¨
˚
˚
˚
˝
Nř
n“n0
Re pLog pfn pzqqqlooooooooomooooooooon
ď|Logpfnpzqq|
˛
‹
‹
‹
‚
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
exp
˜
`8ÿ
n“N`1
Log pfn pzqq
¸
´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Soit ε ą 0 comme exp p0q “ 1 Dδ ą 0 @ |z| ă δ |ez ´ 1| ăε
M
D’autre part, la série`8ÿ
n“n0
Log pfnq converge normalement sur K, donc uni-
formément sur K.Dn1 ě n0 @N ě n1 :
supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
`8ÿ
n“N`1
Log pfn pzqq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď δ
Il s’ensuit que :
@z P K, @N ě n, |G pzq ´GN pzq| ď ε
Conclusion : pGnqně0 converge uniformément vers G sur tout compact deΩ.
Emily Clement page 45
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soit pfnqně0 une suite de fonctions continues sur Ω ouvert non videde C.
Si le produit infini`8ź
n“0
fn converge normalement sur tout compact de
Ω, alors la limite limNÑ`8
˜
`8ź
n“0
fn pzq
¸
existe pour tout z P Ω.
On définit la fonction :
@z P Ω, G pzq “
˜
`8ź
n“0
fn
¸
pzq “ limNÑ`8
GN pzq
où @N ě 0, @z P Ω, GN pzq “Nź
n“0
fn pzq
De plus la suite pGnqně0 converge uniformément sur tout compact deΩ vers G.
Proposition 1.9.
Emily Clement page 46
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Soit pfnqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω ouvert nonvide de C.
Si le produit infini`8ź
n“0
fn converge normalement sur tout compact de
Ω,
alors f “`8ź
n“0
fn est une fonction holomorphe sur Ω telle que :
Le produits partiels
˜
Nź
n“0
fn
¸
Ně0
converge uniformément sur tout
compact de Ω vers f , de plus,
@p ě 0,`8ź
n“0
fn “ f0f1 ¨ ¨ ¨ fp
˜
`8ź
n“p`1
fn
¸
looooomooooon
p1q
p1q : produit infini convergeant normalement sur tout compact de Ω.L’ensemble des zéros de f , noté Z pfq “ tz P Ω : f pzq “ 0u vérifie :
Z pfq “`8ď
n“0
tz P Ω, fn pzq “ 0u
et @z P Z pfq
ordref pz0qloooomoooon
p˚q
“
`8ÿ
n“0
ordrefn pz0qlooooomooooon
p˚˚q
p˚q : ordre de multiplicité de z0 comme zéro de f .p˚˚q : ordre de multiplicité de z0 comme zéro de fn.Avec la convention @k ě 0 k ` p`8q “ `8
Théorème 1.8.
Démonstration.
f “8ź
n“0
fn est holomorphe sur Ω comme limite uniforme sur tout compact
de Ω de fonctions holomorphes sur Ω données par les produits partiels :
Gn “
Nź
n“0
fn
Emily Clement page 47
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
D’après la définition de la convergence normale d’un produit infini, on re-
marque que si`8ź
n“0
fn converge normalement sur K compact de Ω, alors :
@p ě ´,`8ź
n“p
fn converge normalement sur K.
Il s’ensuit que @z P Ω @N ě p` 1 :
Nź
n“0
Nfn pzq
looooomooooon
ˆ
`8ś
n“0fn
˙
pzq
“ f0 pzq f1 pzq ¨ ¨ ¨ fp pzqNź
n“p`1
fn pzq
looooomooooon
Ñ8ś
n“p`1fnpzq
Soit U un ouvert relativement compact dans Ω, comme`8ź
n“0
fn converge nor-
malement sur U compact.
Il existe n0 ě 0 tel que
$
’
’
’
&
’
’
’
%
@z P U, @n ě n0, |fn pzq ´ 1| ď1
2`8ÿ
n“n0
Log fn converge normalement sur U
@N ě n0, @z P U :
Nź
n“0
fn pzq “ f0 pzq ¨ ¨ ¨ fn0´1 pzqNź
n“n0
fn pzqloomoon
eLogpfnpzqq
“ f0 pzq f1 pzq ¨ ¨ ¨ fn0´1 pzq exp
˜
Nÿ
n“n0
Log pfn pzqq
¸
Par passage à la limite quand N Ñ `8 : @z P U :˜
`8ź
n“0
fn
¸
pzq “ f0 pzq f1 pzq ¨ ¨ ¨ fn0´1 pzq exp
˜
`8ÿ
n“n0
Log pfn pzqq
¸
looooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooon
‰0,@zPU
La fonction Log est holomorphe sur CzR´ donc @n ě n0 la fonction z ÞÑ Log pfn pzqqest holomorphe sur U .
Comme de plus`8ÿ
n“n0
Log fn converge normalement sur U donc uniformément
Emily Clement page 48
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
sur U , on sait que la fonction z ÞÑ
`8ÿ
n“n0
Log fn est holomorphe sur U .
Il s’ensuit que Z pfq X U “n0´1ď
n“0
pZ pfnq X Uq.
Z pfq “`8ď
n“0
Z pfnq
Si fk0 pz0q “ 0˜
`8ź
n“0
fn
¸
pz0q “ f0 pz0q ¨ ¨ ¨ fk0 pz0qloomoon
“0
˜
`8ź
n“k0`1
fn
¸
pz0q
Si f pz0q “ 0 alors ordref pz0q “
n0´1ÿ
n“0
ordrefn pz0q “
`8ÿ
n“0
ordrefn pz0q car @n ě
n0, fn pz0q ‰ 0
Soit pfnqně0 une suite de fonction holomorphes sur Ω ouvert connexenon vide de C.On suppose que pour tout n ě 0 fn n’est pas identiquement nulle et
que le produit infini`8ź
n“0
fn converge normalement sur tout compact
de Ω, alors la série de fonction méromorphes
`8ÿ
n“0
f 1nfn
converge normalement sur tout compact de Ω etˆ
`8ś
n“0
fn
˙1
`8ś
n“0
fn
“
`8ÿ
n“0
f 1nfn
Théorème 1.9.
Démonstration.Soit U un ouvert relativement compact de Ω.
Comme le produit fini`8ź
n“0
fn converge normalement sur tout compact de Ω
Emily Clement page 49
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
donc sur U :Dn0 ě 0 @z P U :
˜
`8ź
n“0
fn
¸
pzq “ f0 pzq ¨ ¨ ¨ fn0 pzq exp
˜
`8ÿ
n“n0`1
Log pfn pzqq
¸
looooooooooooooomooooooooooooooon
p1q
p1q : g fonction holomorphe sur U tel que @z P U, g pzq ‰ 0où n0 ě 0 est tel que :
$
’
’
’
&
’
’
’
%
@n ě n0, supzPK
|fn pzq ´ 1| ď1
2`8ÿ
n“n0
Log fn CV normalement sur U
On a vu que
Z pfq X Uloooomoooon
nb fini
“
n0ď
n“0
Z pfnq X U Ăn0ď
n“0
Z pfnq X Ulooooomooooon
fini
car U compact et fn non identiquement nulle sur Ω ouvert connexe non vide,
Z pfnq est un ensemble de points isolés, où f “`8ź
n“0
fn
@z P Uz pZ pfq X Uq :ˆ
`8ś
n“0
fn
˙1
pzq
ˆ
`8ś
n“0
fn
˙
pzq
“
n0ÿ
n“0
f 1n pzq
fn pzq`g1 pzq
g pzq
où @z P U, g pzq “ exp
˜
`8ÿ
n“n0`1
Log pfn pzqq
¸
On a @z P U :
Emily Clement page 50
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
g1 pzq “ exp
¨
˚
˚
˚
˚
˝
n0ÿ
n“0
Log pfn pzqq
˜
`8ÿ
n“n0`1
Log pfn pzqq
¸1
looooooooooooomooooooooooooon
p1q
˛
‹
‹
‹
‹
‚
“ g pzq`8ÿ
n“n0`1
»
—
–
pLog pfn pzqqq1
looooooomooooooon
p2q
fi
ffi
fl
“ g pzq`8ÿ
n“n0`1
f 1n pzq
fn pzqloooooomoooooon
p2q
Donc @z P U,g1 pzq
g pzq“
`8ÿ
n“n0`1
f 1n pzq
fn pzq
p1q : série de fonctions holomorphes qui CV normalement sur U donc nor-malement sur tout compact de U .p2q : série de fonctions holomorphes qui CV normalement sur tout compactde U@z P Uz pZ pfq X Uq :
ˆ
`8ś
n“0
fn
˙1
pzq
ˆ
`8ś
n“0
fn
˙
pzq
“
n0ÿ
n“0
f 1n pzq
fn pzqloooomoooon
fct méromorphe sur U
`
`8ÿ
n“n0`1
f 1n pzq
fn pzqloomoon
ftc holomorph sur U
On a établi la formule :ˆ
`8ś
n“0
fn
˙1
`8ś
n“0
fn
“
`8ÿ
n“0
f 1nfn
loomoon
p3q
sur tout ouvert relativement compact U dans Ω. p3q : Série de fonctionsméromorphes sur U qui converge normalement sur tout compact de U .Pour obtenir la convergence de cette série de fonctions méromorphes sur toutcompact de Ω on utilise le fait que l’on peut recouvrir tout compact pourun nombre fini d’ouverts relativement compact dans Ω (détails laissés enexercice)
Emily Clement page 51
CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES
Exercice 1.2.Développer la fonction sinus en produit infini :
@z P C, sin pzq “ z`8ź
n“1
ˆ
1´z2
π2n2
˙
(produit infini qui CV normalement sur tout compact de C.
Montrons que`8ź
n“1
ˆ
1´z2
π2n2
˙
CV normalement sur tout compact de C.
Soit K un compact de C, DR ą 0 tel que K Ă B p0, Rq, i lsuffit de montrerque :
`8ÿ
n“0
pfn ´ 1q CVN sur K
car @n ě 1, @z P C, fn pzq “ 1´z2
π2n2
`8ÿ
n“1
supzP|fn pzq ´ 1| “
`8ÿ
n“1
supzPK
|z|2
π2n2ďR2
π2
`8ÿ
n“1
1
n2ă `8
D’après le théorème précédent, o a :ˆ
z`8ś
n“1
´
1´ z2
π2n2
¯
˙1
z`8ś
n“1
`
1´ z2
π2n2
˘
“1
z`
`8ÿ
n“1
´2zπ2n2
1´ z2
π2n2
“1
z` 2
`8ÿ
n“1
z
z2 ´ π2n2“ cot pzq
Emily Clement page 52
Chapitre 2
La fonction Gamma
I La fonction Gamma selon Leohnard Euler (1707-1783) mathématicien suisse
1 Définition et premières propriétés
Pour tout z P C tel que Rez ą 0 la fonction Γ est définie par l’intégraleà paramètre :
Γ pzq “
`8ż
0
e´ttz´1dt
Définition 2.1.
Cette fonction est bien définie pour tout z P C` “ tz P C,Rez ą 0uEn effet :
ˇ
ˇe´ttz´1ˇ
ˇ “ e´ttRez´1
„tÑ0
1
t1´Rezintegrable en 0 car Rez ą 0
ˇ
ˇe´tzt´1ˇ
ˇ “ o´
e´t2
¯
quand tÑ `8 integrable en `8
On va voir que la propriété fondamentale de la fonction Γ est la fait qu’elleinterpole la fonction fatorielle par les valeurs entières.
@n ě 1,Γ pnq “ pn´ 1q!
Cette fonction apparaît dans de nombreux domaines mathématiques notam-ment en théorie analytique.
53
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
L’une des raisons est la fait que la fonction Γ apparaît comme la transforméede Mellin de la fonction exponentielle :
f pxq “ e´x
La transformée de Mellin est une transformation intégrale dénommée d’aprèsHajlmar Mellin (1854-1936) mathématicien finlandais qui correspond à untype de transformé de Laplace par des fonctions définies sur
`
R`´,ˆ˘
plutôtque sur pR,`q
M pfq pzq “
`8ż
0
f ptq tz´1dt
Formellement, on a :
M pfq pzq “
`8ż
0
f ptq tz´1dt
“
`8ż
´8
f pexq pexqz´1 exdx
“
ż
R
F pxq ezxdx transformé de Laplace de F
En effectuant le changement t “ ec dt “ exdx, F pxq “ f pexq
La fonction Γ est holomorphe sur C`
Proposition 2.1.
Cette propriété d’holomorphie est conséquence de résultat d’holomorphie desintégrales à paramètre.
Emily Clement page 54
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Soit pX,m, µq un espace mesuré où µ est une mesure positive.
Soient U un ouvert de C et f :X ˆ U Ñ Cpx, zq ÞÑ f px, zq
vérifiant :
1. @z P U l’application X Ñ Cx ÞÑ f px, zq
appartient à L1pµq.
2. Pour µ´presque tout x P X l’application U Ñ Cz ÞÑ f px, zq
est
holomorphe sur U3. @K Ă U compact DgK P L1
pµq gK ě 0 tel que :
supzPK
|f px, zq| ď gK pxq µ´ pp sur X
Alors :1. La fonction
U Ñ C
z ÞÑ F pzq “
ż
X
f px, zq dµ pxq
est holomorphe sur U2. @k ě 0, @z P U l’application
Z Ñ C
x ÞÑBkf
Bzkpx, zq
appartient à L1pUq
3. @z P U,@k ě 0 :
F pkq pzq “
ż
X
Bkf
Bzkpx, zq dµ pxq
Lemme 2.1.
En utilisant, on montre que Γ est holomorphe sur C`, soit K un compact deC`, il existe r1, r2 ą 0 tel que :
K Ă tz P C, r1 ď Rez ď r2u
Emily Clement page 55
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
supzPK
ˇ
ˇe´ttz´1ˇ
ˇ ď supr1ďRezďr2
e´ttRez´1ď gK ptq
où gK ptq “
#
e´ttr1´1 si 0 ă t ď t
e´ttr2´1 si t ą 1P L1
ps0,`8rq
CommeC` Ñ Cz ÞÑ e´ttz´1 est holomorphe sur C` pour tout t ą 0
On en déduit que Γ est holomorphe sur C`
Démonstration du lemme.soit zo P U Dr0 ą 0 tel que B pz0, 2r0q Ă U car U ouvert, soit pznqně1 une
suite de B´
z,r0
2
¯
z tz0u tel que limnÑ`8
zn “ z0
On veut montrer que :
limnÑ`8
f pznq ´ f pz0q
zn ´ z0
existe et qu’elle est indépendant du choix de pznq On considère :
N “
"
z P X tel que l’application U Ñ Cz ÞÑ f px, zq
n’est pas holomorphe sur U*
D’après 2q c’est un ensemble de mesure nulle µ pN q “ 0.Pour tout x R N on écrit la formule de Cauchy dans l’ouvert étoilé B px0, 2r0q
@x R N , @z P B pz0, 2r0q
f px, zq “1
2iπ
ż
Γ0
f px, tq
t´ zdt
où Γσ psq “ z0 ` t0eis, 0 ď s ď 2π
On a vu en TD que l’on peut justifier que :
@x R N , @z P B pz0, r0q ,Bf
Bzpx, zq “
1
2iπ
ż
Γ0
f px, tq
pt´ zq2dt
Emily Clement page 56
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Posons hn “ zn ´ z0 :
F pz0 ` thnq ´ F pz0q “
ż
X
pf px, z0 ` thnq ´ f px, z0qq dµ pxq
“
ż
XzN
¨
˚
˚
˝
f
¨
˚
˚
˝
x, z0 ` thnlooomooon
znPBpz0, r02 q
˛
‹
‹
‚
´ f px, z0q
˛
‹
‹
‚
dµ pxq
“1
2iπ
ż
XzN
¨
˝
ż
Γ0
f px, tq
t´ pz0 ` thnqdt´
ż
Γ0
f px, tq
pt´ z0qdt
˛
‚dµ pxq
“1
2iπ
ż
XzN
¨
˝
ż
Γ0
f px, tq
t´ z0
ˆ
t´ z0 ´ pt´ z0 ´ hnq
t´ z0 ´ hn
˙
dt
˛
‚dµ pxq
F pz0 ` hnq
hn“
1
2iπ
ż
XzN
¨
˝
ż
Γ0
f px, tq
pt´ z0q pt´ z0 ´ hnqdt
˛
‚dµ pxq
“
ż
XzN
Gn pxq dµ pxq
où @n ě 1 :
Gn pxq “1
2iπ
ż
Γ0
f px, tq
pt´ z0q pt´ z0 ´ hnqdt
“1
2iπ
ż
Γ0
f px, z0 ` r0eisq
r0eis pr0eis ´ hnqir0e
isds
@0 ď s ď 2π, limnÑ`8
f px, z0 ` r0eisq
2π pr0eis ´ hnq“f px, z0 ` r0e
isq
2πr0eis
D’autre part, @n ě 1 : comme @n ě 1, |hn| ďr0
2:
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
f px, z0 ` r0eisq
2π pr0eis ´ hnq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď supzPΓ0
|f px, zq| ¨1
2πr02ă `8
car z ÞÑ f px, zq est continue sur Γ0 car holomorphe sur U et Γ0 est compact.
Emily Clement page 57
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
D’après le théorème de convergence dominée, on obtient : @n R N
limnÑ`8
Gn pxq “1
2π
2πż
0
f px, z0 ` r0eisq
pr0eisqds
“1
2iπ
ż
Γ0
f px, tq
pt´ z0q2dt
“Bf
Bzpx, z0q
D’autre part :
@n ě 1, @x R N , |Gn pzq| ď2
r0
supzPΓ0
|f px, zq| ď2
r0
gΓ0 pxq µ´ pp
où gγ0 P L1pµq car car l’hypothèse 2q, on a la denrière inégalité car Γ0 est
compact.Une nouvelle utilisation du théorème de convergence dominée montre que :
x ÞÑBf
Bzpx, z0q P L
1pµq
etlim
nÑ`8
F pz0 ` hnq ´ F pz0q
hn“
ż
XzN
Bf
Bzpx, z0q dµ pxq
Il s’ensuit que H est holomorphe sur U et :
@z P U, F 1 pxq “
ż
X
Bf
Bzpx, zq dµ pxq
SoitK Ă U compact. Comme précédemmentK Ă
Nď
j“1
B´
zj,rj2
¯
Ă
Nď
j“1
B pzj, 2rjq
où zj P U rj ą 0On écrit la formule de Cauchy dans l’ouvert étoilé B pzj, 2rjq@x R N , @z P B pzj, rjq
f px, zq “1
2iπ
ż
Γj
f px, tq
t´ zdt
où Γj pzq “ zj ` rjeis 0 ď s ď 2π
@x R N , @z P B´
zj,rk2
¯
,Bf
Bzpx, zq “
1
2iπ
ż
Γj
f px, tq
pt´ zq2dt
Emily Clement page 58
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
donc :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Bf
Bzpx, zq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď1
2πL pΓiq sup
tPSupp Γi
|f px, tq|
|t´ z|2ď
rj
prj2q2 suptPSupp Γj
|f px, tq|
Donc @x R N , supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Bf
Bzpx, zq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď2
inf1ďjďN
rjsup
tPNŤ
j“1Supp Γj
|f px, tq| ď gK0 pxq P
L1pµq µ´ pp On peut donc itérer et obtenir le résultat du lemme.
2 Prolongement analytique de la fonction Γ
1. @z P C`,Γ pz ` 1q “ zΓ pzq
2. @n P NΓ pn` 1q “ n!
Proposition 2.2.
Démonstration.
1. Soit ε ą 0 : Pour tout z P C`, en effectuant l’intégration par partieavec : u “ tz v1 “ e´t u1 “ ztz´1 v “ ´e´t
1εż
ε
e´ttzdt ““
´e´ttz‰
1ε
ε` z
1εż
ε
e´ttz´1dt
“ e´εεz ´e´1ε
εz``z
1εż
ε
e´ttz´1dt
D’après le théorème de convergence dominée on a :
limεÑ0
1εż
ε
e´ttzdt “`8ż
0
e´ttz`1´1dt “ Γ pz ` 1q
Emily Clement page 59
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
D’autre part, on déduit également du théorème de convergence domi-née :
limεÑ0
e´εεz ´ e´1ε
ˆ
1
ε
˙z
` z
1εż
ε
e´ttz´1dt “ zΓ pzq car Rez ą 0
Donc :@z P C`Γ pz ` 1q “ zΓ pzq
2. On remarque que Γ p1q “
8ż
0
e´tdt ““
´e´t‰`8
0“ 1 “ 0!
Par récurrence, on démontre que @n ě 0
Γ pn` 1q “ n!
(l’initialisation n “ 0 est triviale)Si Γ pn` 1q “ n! où n ě 0 on a :
Γ pn` 2q “ pn` 1qΓ pn` 1q “ pn` 1qn! “ pn` 1q!
La fonction Γ admet une unique prolongement analytique surCz t´Nu noté encore Γ.Ce prolongement définit une fonction méromorphe sur C avec despôles simples en tout point de l’ensemble ´N de résidus :
@k P N, res pΓ,´kq “p´1qk
k!
De plus : @z P Cz t´Nu
Γ pz ` 1q “ zΓ pzq
Γ pz ` 1q P Cz t´Nu si z P Cz t´Nu
Théorème 2.1.
Le théorème montre que pour tout k P N :@ε ă 1, Dh P H pN p´k, εqq , @z P B p´k, εq z t´ku
Γ pzq “p´1qk
k!
1
pz ` kq` h pzq
Emily Clement page 60
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Démonstration.Démonstration par la relation fonctionnelle : @z P C`,Γ pz ` 1q “ zΓ pzqSoit k ě 1 on définit
Γk pzq “Γ pz ` kq
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` k ´ 1q
Comme Γ est holomorphe sur C` la fonction Γk est holomorphe sur tz P C,Rez ą ´ku z t0,´1, ¨ ¨ ¨ ,´pk ` 1quet définit une fonction méromorphe sur l’ensemble tz P C,Rez ą ´ku dontles pôles sont donnés par t0,´1,´2, ¨ ¨ ¨ ,´pk ´ 1qu. Ces pôles sont toussimples.Rappel Si a est un pôle simple d’une fonction méromorphe f alors le résidude f au point a est donnée par :
res pf, aq “ limzÑa
pz ´ aq f pzq
@j “ 0, ¨ ¨ ¨ , k ´ 1
res pΓk,´jq “ limzÑ´j
pz ` jqΓk pzq
“ limzÑ´j
Γ pz ` jq
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` j ´ 1q pz ` j ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` k ´ 1q
“Γ pk ´ jq
p´jq p´j ` 1q ¨ ¨ ¨ p´1q ˆ 1ˆ 2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pk ´ j ` 1q
“p´1q
pk ´ j ´ 1q!
p1ˆ 2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ jq p1ˆ 2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ k ´ j ` 1q
“p´1qj
j!
D’autres part, @z P C`
Γk pzq “Γ pz ` kq
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` k ´ 1q“
Γ pz ` k ´ 1q
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` k ´ 2q
“Γ pz ` 1q
z“ Γ pzq
Γk est un prolongement de la fonction Γ sur l’ouvert connexe Ωk
Ωk “ tz P C,Rez ą ´ku z t0,´1, ¨ ¨ ¨ ,´pk ´ 1qu
D’après le principe des zéros isolés, ce prolongement est unique car Ωk estun ouvert connexe.Par unicité, on a nécessairement :
@k, ρ ě 1, 1 ď ρ ď k,Γk |Ωk “ Γk
Emily Clement page 61
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
On définit Γ la fonction définie sur Cz t´Nu de la manière suivante :@z P Cz t´Nu
Γ pzq “ Γk pzq p˚q
où k P N˚ tel que Rez ą ´k (définition indépendante du choix de k par p˚q)Γ est donc un prolongement analytique sur Cz t´Nu de la fonction Γ définieinitialement sur C`.Comme Cz t´Nu est un ouvert connexe, ce prolongement est nécessaire-ment unique, noté encore Γ.D’après la définition de Γ “ Γ, Γ définit une fonction méromorphe sur Cdont les pôles sont donnés par les points de ´N qui sont tous simples et derésidus :
@k P N, res pΓ,´kq “p´1qk
k!
D’autres part : z fÑ Γ pz ` 1q est holomorphe sur Cz t´Nu ouvert connexe
et zgÑ zΓ pzq est holomorphe sur Cz t´Nu.
Comme @z P C` f pzq “ g pzq le prolongement analytique assure que :
@z P Cz t´Nu , f pzq “ g pzq
ie Γ pz ` 1q “ zΓ pzqAutre démonstration en TD.
II La fonction Γ selon Karl Weierstrass (1815-1897, mathématicien allemand)
On considère le produit infini :
G pzq “`8ź
n“1
´
1`z
n
¯
e´zn
On vérifie que ce produit infini des fonctions holomorphes fn pzq “´
1`z
n
¯
e´zn
sur C converge normalement sur tout compact de C (ouvert connexe), fnétant non identiquement nulle sur C.Soit K un compact de C, DR ą 0 tel que
K Ă B p0, Rq
Emily Clement page 62
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Il suffit de vérifier la série`8ÿ
n“1
pfn ´ 1q converge normalement sur K
@z P K, @n ě 1
fn pzq ´ 1 “ e´zn
´
1`z
n
¯
´ 1 “´
e´zn ´
´
1´z
n
¯¯´
1`z
n
¯
fn pzq ´ 1 “´
e´zn ´
´
1´z
n
¯¯´
1`z
n
¯
“z2
n2Par la formule de Taylor avec reste intégral appliqué à h ptq
“ e´tzn , t P r0, 1s
“
´ z
n
¯21ż
0
p1´ tq e´tzn dt
supzinK
|fn pzq ´ 1| ď sup|z|ďR
|fn pzq ´ 1|
ďR2
n2`R2
n2eRn
ˆ
1`R
N
˙
ďR2
n2
`
1` eR p1`Rq˘
`8ÿ
n“1
supzPK
|fn pzq ´ 1| ď R2`
1` eR˘
p1`Rq`8ÿ
n“1
1
n2ă `8
Le produit infini G converge donc normalement sur tout compact de C.
@n ě 1,Z pfnq “ tz P C, fn pzqu “ ´n
et ´n est un zéro simple de fnD’après le théorème du cours, on a :
Z pGq “ tz P C, G pzq “ 0u “`8ď
n“1
Z pfnq “ ´N˚
De plus, les zéros de la fonction G sont tous simples, ie,
@n P N˚, G p´nq “ 0 et G1 p´nq ‰ 0
Il s’ensuit que la fonction z P C ÞÑ G pz ´ 1q P C est une fonction entièredont les zéros sont exactement données par les points de l’ensemble ´N qui
Emily Clement page 63
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
sont de plus tous simples.On définit la fonction :
@z P Bz t´Nu , H pzq “G pz ´ 1q
zG pzq
H est holomorphe sur Cz t´Nu et admet des fausses singularité en tout pointde l’ensemble ´N.car @k P N :
limzÑ´k,z‰´k
H pzq “ limzÑ´k,z‰´k
G pz ´ 1q ´G p´k ´ 1q
z ´ p´kq
z ´ p´kq
zG pzq ´ p´kqG p´kq
“G1 p´k ´ 1q
ddz pzG pzqq|z“´k
P C
Car G p´k ´ 1q “ p´kqG p´kq “ 0ddzpzG pzqq
|z“´k ‰ 0 puisque les zéros de la fonction z ÞÑ zG pzq sontdonnés par l’ensemble ´N et que ces zéros sont tous simples.La fonction H se prolonge donc en une fonction entière qui ne s’annule parsur C :
@z P C, H pzq ‰ 0
car @k P N, G1 p´k ´ 1q ‰ 0 car les zéros de la fonction G sont tous simples.On rappelle le résultat suivant :
Soit Ω un ouvert étoilé non vide de C, ou plus généralement un ouvertsimplement connexe de C.
1. Toute fonction holomorphe f sur Ω admet une primitive F surΩ :
@z P Ω, F 1 pzq “ f pzq
primitive unique à l’ajout d’une constante près.2. Pour toute fonction holomorphe f sur Ω vérifiant :
@z P Ω, f pzq ‰ 0
Il existe g P H pΩq tel que @z P Ω, f pzq “ egpzq
Proposition 2.3.
Emily Clement page 64
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Admis, référence livre : Rudin.D’après 2q, il existe une fonction entière h tel que :
@z P C, H pzq “ ehpzq
On en déduit :
@z P Cz t´Nu , H pzq “G pz ´ 1q
zG pzq“ ehpzq
@z P Cz t´Nu , G pz ´ 1q “ zG pzq ehpzq
Par continuité : @z P CG pz ´ 1q “ zG pzq ehpzq
car G et h sont des fonction entière.@z P C
G1 pz ´ 1q “ G pzq ehpzq ` zG1 pzq ehpzq ` zG pzqh1 pzq ehpzq
Comme @z P Cz t´Nu :
G1 pz ´ 1q
G pz ´ 1q“G pzq ehpzq`zG
1pzqehpzq`zGpzqh1pzqehpzq
zG pzq ehpzq
Z pz ÞÑ G pz ´ 1qq “ ´N “1
z`G1 pzq
G pzq` h1 pzq
D’après un théorème précédent :@z P CzZ pGq “ Cz t´N˚u
G1 pzq
G pzq“
`8ÿ
n“1
f 1n pzq
fn pzq
où fn pzq “´
1`z
n
¯
e´zn , on a une série de fonctions méromorphes conver-
geant normalement sur tout compact de C.@z P Cz t´N˚u
G1 pz ´ 1q
G pz ´ 1q“
`8ÿ
n“1
ˆ
1
z ` n´ 1´
1
n
˙
z ´ 1 R N˚
“ limNÑ`8
Nÿ
n“1
ˆ
1
z ` n´ 1´
1
n
˙
“ limNÑ`8
«
1
z´
1
N`
N´1ÿ
n“1
ˆ
1
z ` n´
1
n
˙
ff
“1
z`G1 pzq
G pzq
Emily Clement page 65
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
On en déduit @z P Cz t´Nuh1 pzq “ 0
Par continuité, on en déduit que @z P C, h1 pzq “ 0Par connexité de C, on en déduit qu’il existe c0 P C tel que
@z P C, h pzq “ c0
Il s’ensuit :@z P C, G pz ´ 1q “ zG pzq ec0
Pour z “ 1, G p0q “ G p1q ec0
Or G p0q “ limNÑ`8
Nź
n“1
fn p0q “ 1
G p1q “ limNÑ`8
Nź
n“1
fn p1q
G p1q “ limNÑ`8
Nź
n“1
ˆ
1`1
n
˙
e´1n
looooooomooooooon
PR`
P R`
Donc 1 “ G p1qloomoon
PR`
ec0 donc G p1q P R˚`
ec0 “1
G p1qP R˚`
On définit la constante d’Euler :
γ “ ln pec0q P R
Définition 2.2.
eγ “ ec0
On a alors :@z P C, G pz ´ 1q “ zG pzq eγ
Emily Clement page 66
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
On a :
1 “ G p1q eγ “ eγ limNÑ`8
Nź
n“1
ˆ
1`1
N
˙
e´1n
“ limNÑ`8
eγNź
n“1
eplnp1`1nq´
1nq
“ limNÑ`8
exp
˜
γ `Nÿ
n“1
ˆ
ln
ˆ
1`1
n
˙
´1
n
˙
¸
limNÑ`8
γ ´
˜
Nÿ
n“1
„
1
n´ ln
ˆ
n` 1
n
˙
¸
“ 0
limNÑ`8
˜
Nÿ
n“1
1
n
¸
“ ln pN ` 1qloooomoooon
“lnN`lnp1` 1N q
´γ “ 0
car ln
ˆ
n` 1
n
˙
“ ln pn` 1q ´ ln pnq
limNÑ`8
«˜
Nÿ
n“1
1
n
¸
´ lnN
ff
“ γ
γ “ limNÑ`8
˜
Nÿ
n“1
1
n
¸
´ lnN
Proposition 2.4.
Remarque 2.1.On connait peu de chose sur la constante d’Euler γ “ 0, 57 ¨ ¨ ¨ . On ne saitpas si γ est irrationnel ou non, ou si elle est transcendante ou non.
On définit la fonction :F pzq “
1
zG pzq eγz
F est une fonction méromorphe sur C dont les pôles sont exactement donnéspar les points de l’ensemble ´N qui sont de plus tous simples.Il s’ensuit que F est une fonction holomorphe sur Cz t´Nu qui ne s’annule
Emily Clement page 67
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
par sur Cz t´Nu.On remarque sur :
@z P Cz t´Nu , F pz ` 1q “1
pz ` 1qG pz ` 1q eγpz`1q
car @z P C, G pz ´ 1q “ zG pzq eγ
F pz ` 1q “1
G pzq eγz“
z
zG pzq eγz“ zF pzq
On a, @z P Cz t´Nu :
Γ pzq “1
zeγz`8ś
n“1
`
1` zn
˘
e´zn
Théorème 2.2 (Définition de la fonction Γ selon Weiertrass).
Conséquences : @z P Cz t´Nu Γ pzq ‰ 0
Démonstration.
On considère @z P C` Fn pzq “nż
0
ˆ
1´t
n
˙n
tz´1dt
On vérifie que fn est holomorphe sur C` :
— Fn est bien définie :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˆ
1´t
n
˙n
tz´1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
„ tRez´t est intégrable en 0 car
Rez ą 0.SoitK un compact de C`, il existe δ ą 0 tel queK Ă
"
z P C, δ ď Rez ď1
δ
*
— @t P s0, ns z ÞÑ
ˆ
1´t
n
˙n
tz´1 est holomorphe sur C`.
— supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˆ
1´t
n
˙n
tz´1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
#
tδ´1 si 0 ă t ď 1
t1δ´1 sit ą 1
est intégrable sur r0, ns
D’après le théorème de régularité des intégrales à paramètre, Fn estholomorphe sur C`.On a : @z P C` :
Γ pzq ´ Fn pzq “
nż
0
ˆ
e´t ´
ˆ
1´t
n
˙n˙
tz´1dt
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
“Inpzq
`
`8ż
n
e´ttz´1dt
loooooomoooooon
“Jnpzq
Emily Clement page 68
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Comme t ÞÑ e´ttz´1 P L1pr0,`8rq, d’après le théorème de convergence
dominée :@z P C`, lim
nÑ`8Jn pzq “ 0
1. @0 ď x ď 1
1` x ď ex ď1
1´ x
2. @n ě 0 @0 ď x ď 1
1´ nx ď p1´ xqn
Lemme 2.2.
Démonstration.
1. @0 ď x ď 1 :
1` x ď`8ÿ
k“0
xk
k!“ ex ď
`8ÿ
k“0
xk “1
1´ x
2. Si n “ 0 ou n “ 1 c’est trivial.Par récurrence, supposons @0 ď x ď 1 1´ nx ď p1´ xqn alors :
p1´ nxq p1´ xq ď p1´ xqn`1
Donc :
1´ pn` 1qx ď 1´ pn` 1qx` nx1“ p1´ nxq p1´ xq ď 1 p1´ xqn`1
Montrons que @0 ď t ă n : 0 ď e´t ´
ˆ
1´t
n
˙n
ďt2e´t
n
Posons x :“t
nP r0, 1r.
D’après 1q :
0 ď 1`t
nď e
tn ď
1
1´ tn
Donc :ˆ
1`t
n
˙n
ď et ď1
`
1´ tn
˘n
Emily Clement page 69
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
D’où :0 ď e´t ´
ˆ
1´t
n
˙n
De plus :
e´t ´
ˆ
1´t
n
˙n
“ e´tˆ
1´ e´tˆ
1´t
n
˙n˙
ď e´tˆ
1´
ˆ
1`t
n
˙nˆ
1´t
n
˙n˙
ď e´tˆ
1´
ˆ
1´t2
n2
˙n˙
ď e´tˆ
1´
ˆ
1´ nt2
n2
˙˙
“e´tt2
n
Alors @z P C` :
|In pzq| ď
nż
0
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
e´t ´
ˆ
1´t
n
˙n
looooooooomooooooooon
ď t2e´t
n
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
eRez´1dt
ď1
n
`8ż
0
e´ttRez`1dt
“1
nΓ pRez ` 1q ÝÑ
nÑ`80
En conclusion : @z P C` Fn pzq ÝÑnÑ`8
Γ pzq
Emily Clement page 70
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
D’autre part pour z P C` :
Fn pzq “
nż
0
ˆ
1´t
n
˙n
tz´1dt “s“ t
n
nz1ż
0
p1´ sqn sz´1ds
“ nzn
z
1ż
0
p1´ sqn´1 szds par IPP où u “ p1´ sqn , v1 “ sz´1
“ nzn
z
pn´ 1q
z ` 1¨ ¨ ¨
1
z ` n´ 1
1ż
0
sz`n´1ds
“nzn!
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` nq
F pzq “1
zeγz`8ś
n“1
`
1` zn
˘
e´zn
“ limNÑ`8
1
z
ˆ
Nś
n“1
`
1` zn
˘
e´zn
˙
exp
ˆ
z
ˆ
Nř
k“1
1k´ lnN
˙˙
“ limNÑ`8
N z
z`
1` z1
˘ `
1` z2
˘
¨ ¨ ¨`
1` zN
˘
“ limNÑ`8
N zN !
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz `Nqlooooooooooomooooooooooon
“FN pzq
Par unicité de la limite, on obtient que @z P C` F pzq “ Γ pzq, commeCz t´Nu est un ouvert connexe et que F et Γ sont holomorphes surCz t´Nu on obtient par prolongement analytique :
@z P Cz t´Nu , F pzq “ Γ pzq
On a :@z P CzZ,Γ pzqΓ p1´ zq “
π
sin pπzq
Proposition 2.5 (Formule des compléments).
Emily Clement page 71
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Démonstration.@z P CzZ :
1
Γ pzq“ zeγz
8ź
n“1
´
1`z
n
¯
e´zn
1
Γ p´zq“ p´zq e´γz
8ź
n“1
´
1`z
n
¯
e´zn
Montrons que`8ź
n“1
ˆ
1´z2
n2
˙
converge normalement sur tout compact de C :
— Soit K un compact de C, il existe R ą 0 tel que K Ă B p0, Rq, on a :
`8ÿ
n“1
supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˆ
1´z2
n2
˙
´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď R2`8ÿ
n“1
1
n2ă `8
Donc pour tout z P CzZ :
1
Γ pzqΓ p´zq“ lim
NÑ`8
˜
zeγzNź
n“1
´
1`z
n
¯
e´zn
¸˜
p´zq e´γzNź
n“1
´
1´z
n
¯
ezn
¸
“ limNÑ`8
´z2Nź
n“1
ˆ
1´z2
n2
˙
“ ´z2`8ź
n“1
ˆ
1´z2
n2
˙
On utilise la formule suivante (vue en TD3) :
@z P C, sin pπzq “ πz`8ź
n“1
ˆ
1´z2
n2
˙
On obtient alors :
@z P CzZ,1
Γ pzqΓ p´zq“ ´
z
πsin pπzq
Donc @z P CzZ :
Γ pzqΓ p1´ zq “ Γ pzq p´zqΓ p´zq “z
sin pπzq
Emily Clement page 72
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
1. Γ
ˆ
1
2
˙
“?π
2.ż
R
ex2
dx “?π
3. @n ě 0
Γ
ˆ
n`1
2
˙
“
?π p2nq!
22nn!
4. @n ě 0
Γ
ˆ
´n`1
2
˙
“
?πn!22n p´1qn
p2nq!
Corollaire 2.1.
Démonstration.D’après la formule des compléments avec z “
1
2:
Γ
ˆ
1
2
˙2
“ π
Or Γ
ˆ
1
2
˙
“ 2
`8ż
0
e´tt´12dt ą 0 donc Γ
ˆ
1
2
˙
“?π.
De plus Γ
ˆ
1
2
˙
“t“x2
2
`8ż
0
e´x2
dx “ż
R
e´x2
dx
donc @n ě 0 :
Γ
ˆ
n`1
2
˙
“
ˆ
n´1
2
˙
Γ
ˆ
n´1
2
˙
“
ˆ
n´1
2
˙
¨ ¨ ¨
ˆ
1
2
˙
Γ
ˆ
1
2
˙
“p2n´ 1q p2n´ 3q ¨ ¨ ¨ 3 ¨ 1
2n?π
“p2nq!
2n p2nq p2n´ 2q ¨ ¨ ¨ 2
?π
“p2nq!
22nn!
?π
Emily Clement page 73
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
De plus : @n ě 0 :
Γ
ˆ
n`1
2
˙
Γ
ˆ
1´
ˆ
n`1
2
˙˙
“π
sin`
π`
n` 12
˘˘ “ p´1qn π
Donc @n ě 0 Γ
ˆ
´n`1
2
˙
“p´1qn 22nn!
?π
p2nq!
III La fonction Γ selon Carl Friedrich (1777-1855) mathématicien allemand
On a :
@z P Cz t´Nu ,Γ pzq “ limnÑ`8
nzn!
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` nq
Théorème 2.3.
Démonstration.On utilise la formule de Weierstrass : @z P Cz t´Nu :
Γ pzq “1
zγz`8ś
n“1
`
1` zn
˘
e´zn
“ limNÑ`8
1
z exp
ˆ
Nř
k“1
1k´ lnN
˙
Nś
n“1
`
1` zn
˘
e´zn
“ limNÑ`8
N !N z
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz `Nq
IV Comportement asymptotique de la fonctionΓ
On rappelle que :
@z P Cz t´Nu ,Γ pzq “1
zeγ2
`8ś
n“1
`
1` zn
˘
e´zn
Emily Clement page 74
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
où γ désigne la constante d’Euler, et où le produit infini`8ź
n“1
´
1`z
n
¯
e´zn
converge normalement sur tout compact de C. De plus, @z P Cz t´Nu Γ pzq ‰0On veut étudier la fonction Γ dans le champ réel. Comme Γ est holomorphesur Cz t´Nu, Γ définit une fonction C8 sur Rz t´Nu.De plus comme Γ est une fonction méromorphe sur C, on a :@k P N, lim
zÑ´k|Γ pxq| “ `8 D’autre part,
@x P R˚`,Γ pxq “`8ż
0
e´ttx´1loomoon
continue sur s0,`8r
dt ą 0
(formulation d’Euler)On sait :
@z P Cz t´Nu ,Γ pz ` 1q “ zΓ pzq
Soit x P Rz t´Nu , D!k ě 0 tel que : ´k ´ 1 ă x ă ´kOn a :
0 ă Γ
¨
˝x` k ` 1loooomoooon
ą0
˛
‚“ px` kqΓ px` kq
“ px` kqloomoon
ă0
px` k ´ 1qlooooomooooon
ă0
¨ ¨ ¨ px` 1qloomoon
ă0
xloomoon
ă0
Γ pxq
On a pk ` 1q facteurs ă 0.
On en déduit que :
#
Γ pxq ą 0 si k est impairΓ pxq ă 0 si k est pair
D’après le formule de Weierstrass on a :
@z P Cz t´Nu ,1
Γ pzq“ zeγz
`8ź
n“1
´
1`z
n
¯
e´zn
looooooooomooooooooon
p1q
p1q : produit infini de fonctions holomorphes qui converge normalement surtout compact de C.Comme C est connexe et pour tout n ě 1, fn pzq “
´
1`z
n
¯
e´zn est non
identiquement nulle.D’après le théorème précédent :
`
1Γ
˘1
1Γ
“1
z`peγzq
eγz`
`8ÿ
n“1
``
1` zn
˘
e´zn
˘1
`
1` zn
˘
e´zn
Emily Clement page 75
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
C’est une série de fonction méromorphes sur C qui converge normalementsur tout compact de C.
´Γ1pzq
Γpzq2
1Γpzq
“1
z` γ `
`8ÿ
n“1
˜
1n
e´zn
`
1` zn
˘
e´zn
´1
n
¸
´Γ1 pzq
Γ pzq“
1
z` γ ´
`8ÿ
n“1
z
pz ` nqn
D’après le théorème précédent :
´´Γ2 pzq ¨ Γ pzq ` pΓ1 pzqq2
Γ pzq2“ ´
1
z2´
`8ÿ
n“1
1
n
pz ` nq´z
pz ` nq2“ ´
1
z2´
`8ÿ
n“1
1
pz ` nq2
@z P Cz t´Nu
´´Γ2 pzq ¨ Γ pzq ` pΓ1 pzqq2
Γ pzq2“
`8ÿ
n“0
1
pz ` nq2
@x P Rz t´Nu,
Γ2 pxqΓ pxq ´ pΓ1 pxqq
Γ pxq2“
`8ÿ
n“0
1
px` nq2ą 0
On vérifie en fait que Γ est log´convexe sur s0,`8r, ie x P s0,`8r ln pΓ pxqqest convexe.En effet soit x P s0,`8r g pxq :“ ln pΓ pxqq@x ą 0
g1 pxq “Γ1 pxq
Γ pxq, g2 pxq “
Γ2 pxqΓ pxq ´ pΓ1 pxqq2
Γ2 pxqą 0
donc g est convexe sur s0,`8r ie @x, y ą 0 @0 ď t ď 1
g pp1´ tqx` tyq ď p1´ tq g pxq ` tg pyq
donc
ln pΓ pp1´ tqx` tyqq ď p1´ tq ln pΓ pxqq ` t ln pΓ pyqq “ ln`
Γ pxq1´t`
Γ pyqt˘˘
Emily Clement page 76
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Sur l’intervalle s0,`8r la fonction Γ est l’unique fonction à valeurdans s0,`8r, deux fonctions dérivables log´convexe sur s0,`8r vé-rifiant :
#
@x ą 0,Γ px` 1q “ xΓ pxq
Γ p1q “ 1
Proposition 2.6.
Voir exercice en TD.
Soit I “ sa, br un intervalle ouvert, (borné ou non) ϕ P C8 pI,Rq etf P C0
pI,Cq tel que :
1. @t ą 0
bż
a
etϕpxq |f pxq| dx ă `8
2. Da ă x0 ă b Dδ0 ą 0 tel que :a ă x0 ´ δ0 ă x0 ` δ0 ă b, @x P sa, br z tx0u,
$
’
’
&
’
’
%
ϕ pxq ă ϕ px0q
ϕ1 px0q “ 0, ϕ2 px0q ă 0
supxPsz,x0´δ0rYsx0`δ0,br
ă ϕ px0q
et f px0q ‰ 0
Alors :
I ptq “
bż
a
etϕpxqf pxq dxtÑ `8„
?2π
a
|ϕ2 px0q| tetϕpx0qf px0q
Proposition 2.7 (Méthode de Laplace–Cas d’une phase imaginaire pure).
Démonstration.D’après la formule de Taylor avec reste intégral :
@z ă x ă b, ϕ pxq “ ϕ px0q`ϕ1px0q
loomoon
“0
px´ x0q`
¨
˝
1ż
0
p1´ tqϕ2 p1´ tqx0 ` t p´xq dt
˛
‚px´ x0q2
Emily Clement page 77
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
Posons @x P sa, br
ψ0 :“
1ż
0
pp1´ tqϕ2 p1´ tqx0 ` txq dt
On note :
ψ0 px0q “ ϕ2 px0q
1ż
0
p1´ tq dt “1
2ϕ2 px0q ă 0
@a ă x ă b ϕ pxq “ ϕ px0q ´ σ px´ x0q2 ψ pxq
où
$
’
&
’
%
σ “1
2|ϕ2 px0q| ą 0
ψ pxq “1
ψ0 px0qψ0 pxq
, ψ P C8 psa, brq vérifiant ψ px0q “ 1 On définit
Y pxq “ px´ x0qa
ψ pxq au voisinage de x0.
Y 1 pxq “a
ψ pxq `px´ x0q
2a
ψ pxqψ1 pxq
On a Y 1 px0q “ 1, D0 ă δ ăδ
2tel que :
Y :sx0 ´ δ, x0 ` δr Ñ sY px0 ´ δq ,Y px0 ` δqr
x ÞÑ px´ x0qa
ψ pxq
soit un C8 difféomorphisme de sx0 ´ δ, x0 ` δr dans sY px0 ´ δq ,Y px0 ` δqrSoit θ P C80 pRq tel que :
$
’
’
’
&
’
’
’
%
θ “ 1 sur
x0 ´δ
2, x0 `
δ
2
„
Supp θ Ă sx0 ´ δ, x0 ` δr
0 ď θ ď 1
I ptq “ I1 ptq ` I2 ptq
où I1 ptq “
bż
a
etϕpxqθ pxq f pxq dx et I1 ptq “
bż
a
etϕpxq p1´ θ pxqq f pxq dx
On a :
I1 ptq “
x0`δż
x0´δ
etϕpx0qe´σtYpxq2
θ pxq f pxq dx
Emily Clement page 78
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
car Supp θ Ă sx0 ´ δ, x0 ` δr Donc :
I1 ptq “
Ypx0`δqż
Ypx0´δq
etϕpx0qe´σty2 θ pg pyqq f pg pyqq
Y 1 pg pyqqdy
“ etϕpx0q
ż
R
e´σty2
F pyq dy
par le changement de variable y “ Y pxq ô x “ g pyq , dy “ Y pxq dx
où F pyq “θ pg pyqq f pg pyqq
Y 1 pg pyqqP C0
c pRq tel que SuppF Ă sY px0 ´ δq ,Y px0 ` δqr
car g est C8 sur sY px0 ´ δq ,Y px0 ` δqr
F p0q “θ pg p0qq f pg p0qq
Y 1 pg p0qq“θ px0q f px0q
Y 1 px0q“ f px0q
I1 ptq “etϕpx0q
?σt
ż
R
e´s2
F
ˆ
s?σt
˙
ds s “?σtY et ds “
?σtdY
On note @s P R limtÑ`8
F
ˆ
s?σt
˙
“ F p0q “ f px0q car F est C0c pRq
@t ą 0, @s P Rˇ
ˇ
ˇ
ˇ
e´s2
F
ˆ
s?σt
˙ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď F L8pRqe´s2
P L1pRq
D’après le théorème de convergence dominée :
limtÑ`8
ż
R
e´s2
F
ˆ
s?σt
˙
ds “?πf px0q
On obtient I1 ptq tÑ `8„
etϕpx0qf pxq
d
2π
t |ϕ2 px0q|Estimation du terme I2 ptq “
bż
a
etϕpxq p1´ θ pxqq f pxq dx
D’après les hypothèses sur ϕ, Dr ą 0 @x P Supp p1´ θq
ϕ pxq ď ϕ px0q ´ r
Emily Clement page 79
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
I2 ptq “
bż
a
eϕpxqept´1qϕpx0qept´1qpϕpxq´ϕpx0qq p1´ θ pxqq f pxq dx
@t ě 1
|I2 ptq| ďetϕpx0q
eϕpx0q
bż
a
eϕpxq´pt´1qµ|f pxq| dx “ etµetϕpx0qC0
où C0 “eµ
eϕpx0q
bż
a
eϕpxq |f pxq| dx ă `8
Conclusion :
I ptq tÑ `8„
etϕpx0qf px0q
d
2π
|ϕ px0q t|
1. Γ pt` 1q „tÑ`8
?2πtt`
12 e´t
2. n! „tÑ`8
?2πn
´n
e
¯n
(Formule de Stirling)
Corollaire 2.2.
Démonstration.@t ą 0
Γ pt` 1q “
`8ż
0
e´xxtdx
“
`8ż
0
e´ty ptyqt tdy
“ tt`1
8ż
0
etplnpyqyqdy
On applique le méthode de Laplace avec a “ 0, b “ `8 f pyq “ 1 P
C0ps0,`8rq
ϕ pyq “ ln pyq ´ y P C8 sur s0,`8r
Emily Clement page 80
CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA
@y ă 0 ϕ1 pxq “1
y´ 1, ϕ2 pyq “ ´
1
y2ϕ2 p1q “ ´1 ă 0 On fait un tableau
de variation, on a ϕ croissante de 0 à 1, allant de ´8 à ϕ p1q “ ´1 puisdécroissante sur r1,`8r, valant ´8 en `8.La proposition précédente montre que :
tż
0
etplnpyq´yqdytÑ `8„
c
2π
te´t
Il s’ensuit le résultat p1q et que @n P N n! “ Γ pn` 1q d’où p2q.
Emily Clement page 81
Chapitre 3
Formule d’Euler-Mac Laurin
I Nombres et polynômes de Bernoulli
On remarque que la fonction z ÞÑez ´ 1
zest holomorphe sur C˚ et
admet une fausse singularité en z “ 0 car limzÑ0,z‰0
ez ´ 1
z“ 1
Cette fonction se prolonge donc en une fonction entière f donnée par :$
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
%
@z P C, f pzq “`8ÿ
n“0
zn
pn` 1q!
f p0q “ 1
@z P C˚, f pzq “ez ´ 1
z
On note ez “ 1 ô
#
Rez “ 0
Imz P 2πZIl s’ensuit que :
@z P B p0, 2πq , f pzq ‰ 0
Pour tout x P C la fonction z P B p0, 2πq ÞÑezx
f pzqest holomorphe sur
B p0, 2πqCette fonction est développable en série entière au point z “ 0 sur la bouleB p0, 2πq.
@x P C, @z P B p0, 2πq , ezx
f pzq“
`8ÿ
n“0
Bn pxq
n!zn
82
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
@x P C, @ |z| ă 2π, z ‰ 0
zezx
ez ´ 1“
`8ÿ
n“0
Bn pxq
n!zn
On remarque @n ě 0 Bn pxq “
ˆ
ddz
˙nˆezx
f pzq
˙ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
z“0
est un polynôme de
degré n unitaire car f p0q “ 1
Bn pxq est appelé nième polynôme de Bernoulli.bn “ Bn p0q est appelé nième nombre de Bernoulli
Définition 3.1.
On a ainsi :
@ |z| ă 2π, z ‰ 0,z
ez ´ 1“
`8ÿ
n“0
bnn!zn
1. @n ě 0 @x P C Bn p1´ xq “ p´1qnBn pxq
2. @n ě 1 B1n “ nBn´1
3. @n ě 1, @x P C Bn px` 1q ´Bn pxq “ nxn´1
4. @n ě 2 Bn p0q “ Bn p1q
5. @n ě 1
1ż
0
Bn pxq dx “ 0
6. @n ě 1 b2n`1 “ 0
Proposition 3.1.
Démonstration.
1. @x P C @ |z| ă 2π z ‰ 0
zezp1´xq
ez ´ 1“
`8ÿ
n“0
Bn p1´ xq
n!zn
Emily Clement page 83
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Orzezp´xq
1´ e´z“p´zq exp´zq
ep´zq ´ 1“
8ÿ
n“0´
Bn pxq
n!p´zqn
Par identification, on obtient @n ě 0
Bn p1´ xq “ p´1qnBn pxq
2. @ |z| ă π @x P C
ezx
f pzq“
1
2iπ
ż
γ
etx
f ptq pt´ zqdt
où γ ptq “ πeit, t P r0, 2πs (formule de Cauchy appliquée dans l’ouvert
étoilée B p0, 2πq à la fonction holomorphe z ÞÑexz
f pzqsur B p0, 2πq
@ |z| ă πdn
dzn
ˆ
ezx
f pzq
˙
“n!
2iπ
ż
γ
etx
f ptq pt´ zqn`1dt
On peut en effet dériver sous la signe intégral, cf TD. Il s’ensuit que :@n ě 0, @x P C,
Bn pxq “dn
dzn
ˆ
ezx
f pzq
˙ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
z“0
“n!
2iπ
ż
γ
etx
f ptq tn`1dt
“n!
2π
2πż
0
eπeisx
f pπeisq pπeisqn`1πeisds
“n!
2π
2πż
0
eπeisx
f pπeisq pπeisqnds
On vérifie x P C ÞÑ
2πż
0
eπeisx
f pπeisq pπeisqnds est une fonction entière
car @z P r0, 2πs
x ÞÑeπe
isx
f pπeisq pπeisqn
Emily Clement page 84
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
est holomorphe sur C.Soit K un compact de C DR ą 0 tel que B Ă B p0, Rq
supxPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
eπeisx
f pπeisq pπeisqn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďeπR
|f pπeisq| πnP L2
pr0, 2πsq
On en déduit que : @n ě 1, @x P C,
B1n pxq “n!
2π
2πż
0
eπeisxf
`
πeis˘ `
πeis˘n´1
car s P r0, 2πs ÞÑ f`
πeis˘
est continue et s’annule pas sur r0, 2πs Onen déduit :
@n ě 1, @x P C, B1n pxq “n!
2π
2πż
0
eπeisx
f pπeisq pπeisqn´1ds “ nBn´1 pxq
3. Montrons que @n ě 1, @x P C Bn px` 1q ´Bn pxq “ nxn´1
@ |z| ă 2π
zezpx`1q
ez ´ 1“
`8ÿ
n“0
Bn px` 1q zn
n!“
zezx
ez ´ 1`zezx pez ´ 1q
ez ´ 1
“
`8ÿ
n“0
Bn pxq
n!zn `
`8ÿ
n“0
zn`1xn
n!
“
`8ÿ
n“1
Bn pxq ` xn´1n
n!zn ` 1
On obtient par identification :@n ě 1, Bn px` 1q “ Bn pxq ` nx
n´1
4. @n ě 2 Bn p0q “ Bn p1qD’après le point 3q, pour n ě 2, et x “ 0 on a Bn p1q “ Bn p0q
5. @n ě 11ż
0
Bn pxq dx “ 0
D’après le troisième point, @n ě 1 B1n “ nBn´1
@n ě 1
1ż
0
Bn pxq dx “1
n` 1
1ż
0
B1n`1 pxq dx “1
n` 1pBn`1 p1q ´Bn`1 p0qq “
0 par le point 4q.
Emily Clement page 85
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
6. @n ě 1 b2n`1 “ 0 où b2n`1 “ B2n`1 p0qD’après le point 1q avec x “ 0 :
@n ě 0, Bn p1q “ p´1qnBn p0q (3.1)@n ě 2, Bn p0q “ Bn p1q (3.2)
@n ě 1 b2n`1 “ B2n`1 p0q “Òp3.2q
B2n`1 p1q “Òp3.1q
´B2n`1 p0q “ ´b2n`1
Donc b2n`1 “ 0.À partir de l’indice 3, les terme impairs sont nuls.
@n ě 0, @x P C
Bn pxq “nÿ
k“0
Cknbn´kx
k
Proposition 3.2.
Démonstration.@x P C @ |z| ă 2π, z ‰ 0
`8ÿ
n“0
Bn pxq
n!zn “
ˆ
z
ez ´ 1
˙
pezxq
`8ÿ
n“0
Bn pxq
n!zn “
˜˜
`8ÿ
n“0
Bn pxq
n!
¸
zn
¸˜
`8ÿ
n“0
xn
n!zn
¸
“
`8ÿ
n“0
˜
nÿ
k“0
n!xk
k!
bn´kpn´ kq!
¸
zn
n!
Comme
˜
`8ÿ
n“0
ˆ
Bn pxq
n!
˙
zn
¸
et
˜
`8ÿ
n“0
xn
n!zn
¸
sont des séries entières de rayon
de convergence ě 2π, on a :
`8ÿ
n“0
Bn pxq
n!zn “
`8ÿ
n“0
˜
nÿ
k“0
Cknbn´kx
k
¸
zn
n!
Il s’ensuit :
@n ě 0, @x P C, Bn pxq “nÿ
k“0
Cknbn´kx
k
Emily Clement page 86
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Comme @n ě 2, Bn p0q “ Bn p1q, on a bn “nÿ
k“0
Cknbn´k
Doncnÿ
k“1
Cknbn´k “ 0,
nbn´1 “ ´
nÿ
k“2
Cknbn´k
On en déduit :
@n ě 1, bn “ ´1
n` 1
n`1ÿ
k“2
Ckn`1bn`1´k
@n ě 1
bn “ ´1
n` 1
n´1ÿ
k“0
Ckn`1bk
Proposition 3.3.
Comme b0 “ B0 p0q “ 1 on peut calculer par récurrence tous les nombres deBernoulli :
b0 “ 1, b1 “1
2, b2 “
1
6, b3 “ 0, b4 “ ´
1
30, b5 “ 0, b6 “
1
42, etc...
@n ě 0bn P Q
Corollaire 3.1.
Emily Clement page 87
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
II Formule sommatoire d’Euler Maclaurin (Co-lin Maclaurin, mathématicien écossais 1698-1746)
1 Théorème et démonstration
Soient p, q P Z p ă q r ě 1 et f : rp, qs Ñ C une fonction declasse Cr sur rp, qs :
qÿ
k“0
f pkq “1
2pf ppq ` f pqqq `
qż
p
f ptq dt`rÿ
k“2
bkk!
`
f pk´1qpqq ´ f pk´1q
ppq˘
`p´1qr`1
r!
qż
p
Br pttuq fprqptq dt
où ttu “ t´ rts P r0, 1r partie fractionnaire de t
Théorème 3.1.
Démonstration.On procède par récurrence sur r ě 1.Pour r “ 1, il faut démontrer que
qÿ
k“p
f pkq “1
2pf ppq ` f pqqq `
qż
p
f ptq dt`
qż
p
B1 pttuq f1ptq dt
où B1 pxq “1ÿ
k“0
Ck1 b1´kx
k“ b1 ` b0x “ x´
1
2
Donc B11 “ 1@k ě p, k P Z
k`1ż
k
B1
¨
˝ ttuloomoon
t´k
˛
‚f 1 ptq dt “k`1ż
k
B1 pt´ kq f1ptq dt
“ rf ptqB1 pt´ kqsk`1k ´
k`1ż
k
f ptqB11 pt´ kqloooomoooon
“1
dt
Emily Clement page 88
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
En prenant u1 “ f 1 v “ B1 pt´ kq, u “ f et v1 “ B11 pt´ kq on a :
k`1ż
k
B1
¨
˝ ttuloomoon
t´k
˛
‚f 1 ptq dt “ f pk ` 1qB1 p1qloomoon
“12
´f pkqB1 p0qloomoon
“´12
´
k`1ż
k
f ptq dt
q´1ÿ
k“p
k`1ż
k
B1 pttuq f1ptq dt “
qż
p
B1 pttuq f1ptq dt
“
q´1ÿ
k“p
1
2pf pk ` 1q ` f pkqq ´
qż
p
f ptq dt
On obtient :
qÿ
k“p
f pkq “1
2pf ppq ` f pqqq `
qż
p
f ptq dt`
qż
p
B1 pttuq f1ptq dt
Emily Clement page 89
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Supposons le résultat vrai au rang r ´ 1 ě 1, il suffit de démontrer que :
p´1qr
pr ´ 1q!
qż
p
Br´1 pttuq fpr´1q
ptq dt “brr!
`
f pr´1qpqq ´ f pr´1q
ppq˘
`p´1qr`1
r!
qż
p
Br pttuq fprqptq dt
p´1qr
pr ´ 1q!
qż
p
Br´1 pttuqloooomoooon
“ 1rB1rpttuq
f pr´1qptq dt “
p´1qr
r!
qż
p
B1r pttuq fpr´1q
ptq dt d’après la deuxième proposition :
“p´1qr
r!
q´1ÿ
k“p
k`1ż
k
B1r pt´ kq fpr´1q
ptq dt
IPP*“p´1qr
r!
q´1ÿ
k“p
`
Br p1q fpr´1q
pk ` 1q ´Br p0q fpr´1qf pkq
˘
`p´1qr`1
r!
q´1ÿ
k“p
k`1ż
k
Br pt´ kq fprqptq dt
“p´1qr
r!
q´1ÿ
k“p
`
Br p1q fpr´1q
pk ` 1q ´Br p0q fpr´1q
pkq˘
`p´1qr`1
r!
qż
p
Br pttuq fprqptq dt
looooooooooooooooomooooooooooooooooon
“∆r
Comme r ´ 1 ě 1 ñ r ě 2 il s’ensuit Br p1q “ Br p0q “ br
p´1qr
pr ´ 1q!
qż
p
Br´1 pttuq fpr´1q
ptq dt “p´1qr
r!br
q´1ÿ
k“p
`
f pr´1qpk ` 1q ´ f pr´1q
pkq˘
`∆r or br “ 0 si r ě 2 impair
“brr!
`
f pr´1qpqq ´ f pr´1q
ppq˘
`∆r
Emily Clement page 90
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Soient p, q P Z, p ă q et f rp, qs Ñ C une fonction de classe C`8sur rp, qs@l ě 1
qÿ
k“p
f pkq “1
2pf ppq ` f pqqq `
qż
p
f ptq dt
`
lÿ
k“1
b2k
p2kq!
`
f 2k´1pqq ´ f 2k´1
ppq˘
´
qż
p
B2l pttuq fp2lq ptq
p2lq!dt
Corollaire 3.2.
r “ 2l et @k ě 2 impair, bk “ 0
2 Première application : Développement asymptotiquede la somme harmonique
Hn “ 1`1
2`
1
3` ¨ ¨ ¨ `
1
n, où n ě 1
On considère f ptq “1
tsur r1, ns, f est de classe C8 sur r1, ns.
@k ě 0 f pkq ptq “p´1qk k!
tk`1
@p ě 1 :
Hn “1
2
ˆ
1`1
n
˙
`
nż
1
dtt`
pÿ
k“1
b2k
p2kq!p2k ´ 1q!
ˆ
1´1
n2k
˙
´
nż
1
B2p pttuq
p2pq!
p2pq!
t2p`1dt
@p ě 1
Hn “ lnn` γp `1
2n´
pÿ
k“1
b2k
2k
1
n2k`Rn
Emily Clement page 91
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
où
$
’
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
’
%
γp “1
2`
pÿ
k“1
b2k
2k´
`8ż
1
B2p pttuq
t2p`1dt
Rn “
`8ż
n
B2p pttuq
t2p`1dt
`8ż
1
B2p pttuq
t2p`1dt est bien définie car
`8ż
1
|B2p pttuq|
t2p`1dt ď B2pL8pr0,1sq
`8ż
1
dtt2p`1
dt ă `8
car p ě 1D’autre part :
|Rn| ď
`8ż
n
B2pL8pr0,1sq
t2p`1dt
“ B2pL8pr0,1sq
„
t´p2pq
´p2pq
`8
n
“ Op
ˆ
1
n2p
˙
quand nÑ `8
Or on sait que limnÑ`8
Hn ´ lnn “ γ constante d’Euler.Il s’ensuit :
@p ě 1, γ “1
2`
pÿ
k“1
b2k
2k´
`8ż
1
B2p pttuq dtt2p`1
@p ě 1
Hn “ lnn` γ `1
2n´
p´1ÿ
k“1
b2k
2k1
nk`Op
ˆ
1
n2p
˙
quand nÑ `8.
Corollaire 3.3.
Emily Clement page 92
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
3 Deuxième application : Calcul des sommes Sk pnq “1k ` 2k ` ¨ ¨ ¨nk où k P N˚
On considère f ptq “ tk P C8@0 ď j ď k f pjq ptq “ k pk ´ 1q ¨ ¨ ¨ pk ´ j ` 1q tk´j
Formule d’Euler-Maclaurin sur r1, ns avec r “ k ` 1
Sk pnq “1
2
`
1k ` 2k ` ¨ ¨ ¨ ` nk˘
`
nż
1
tkdt
loomoon
1k`1
pnk`1´1q
`
k`1ÿ
j“2
bjj!k pk ´ 1q ¨ ¨ ¨ pk ´ j ` 2q
“
nk´j`1´ 1
‰
Cas k “ 2p où p ě 1 :
12p`¨ ¨ ¨`n2p
“1
2´
1
2p` 1`
1
2n2p`
1
2p` 1n2p`1
`
pÿ
j“1
b2jp2pq! pn2p´2j`1 ´ 1q
p2jq! p2p´ 2j ` 1q!
Cas k “ 2p` 1 où p ě 0 :
12p`1`¨ ¨ ¨`n2p`1
“1
2´
1
2p` 2`
1
2n2p`1
`1
2p` 2n2p`2
`
p`1ÿ
j“1
b2j p2p` 1q! pn2p´2j`2 ´ 1q
p2p´ 2j ` 2q! p2jq!
Cas k “ 1
S1 pnq “ 1` 2` ¨ ¨ ¨ ` n “1
2´
1
2`
1
2n`
1
2n2`b2
2
`
n0´ 1
˘
“1
2n pn` 1q
Cas k “ 2 :
S2 pnq “ 12` 22
` ¨ ¨ ¨ ` n2
“1
2´
1
3`
1
2n2`
1
3n3` b2
2
2pn´ 1q
“1
2n2`
1
3n3`
1
6n
“1
6
`
1` 3n` 2n2˘
n “1
6pn` 1q p2n` 1qn
Cas k “ 3 :
S3 pnq “ 13` ¨ ¨ ¨ ` n3
“1
2´
1
4`
1
2n3`
1
4n4` b2
6
4
`
n2´ 1
˘
` b46
4 ¨ 6
`
n0´ 1
˘
S3 pnq “ n2 pn` 1q2
4
Emily Clement page 93
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
4 Troisième application : Développement asymptotiquede ln pn!q (voir TD.)
@n ě 2, Bn pxq “ Bn ptxuq est une fonction Cn´2pRq 1´périodique
où txu ´ x´ rxs est la partie fractionnaire de c
Lemme 3.1.
Démonstration.Comme @n ě 2 Bn p0q “ Bn p1q par la quatrième proprosition.
limxÑ1ă
Bn pxq “ limxÑ1ă
Bn pxq “ Bn p1q “ Bn p0q
“ Bn p0q “ Bn p1q “ limxÑ1ą
Bn pxq
Donc Bn P C0pRq 1´périodique si n ě 2.
@0 ď x ă 1 @0 ď k ď n´ 2 :
Bpkqn pxq “ Bpkqn pxq “ n pn´ 1q ¨ ¨ ¨ pn´ k ` 1qBn´k pxq
limxÑ1´
Bpkqn pxq “n!
pn´ kq!Bn´k p1q
“n!
pn´ kq!Bn´k p0q “ lim
xÑ0`Bpkqn pxq
Bn P Cn´2pRq si n ě 2
On applique le formule d’Euler Maclaurin à f ptq “ e´2iπnt où n P Z sur r0, 1sà l’ordre r, qui vaut 0 si n ‰ 0 et 1 si n “ 0.
1` 1 “1
2p1` 1q `
1ż
0
e´2iπntdt`rÿ
k“2
bkk!p´2iπnqk´1
`
e´2iπn´ 1
˘
`p´1qr`1
r!
1ż
0
Br pttuq p´2πinqr e´2iπntdt
Emily Clement page 94
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
On obtient : @n P Z˚
Cn
´
Br
¯
“
1ż
0
Br ptq e´2iπntdt
“r! p´1qr`1
p´2iπnqr
“´r!
p2iπnqrsi r ě 1
r0
´
Br
¯
“ 0 si r ě 1.
Si p ě 2, Bp P C0pRq 1´périodique tel que
ÿ
nPZ
ˇ
ˇ
ˇcn
´
Bp
¯ˇ
ˇ
ˇă `8 car Cn
´
Bp
¯
“
Oˆ
1
|n|2
˙
@p ě 2 @x P R
Bp pxq “ÿ
nPZ˚
p!
p2iπnqpe2iπnx
“ ´p!`8ÿ
n“1
1
p2iπnqp`
e2iπnx` p´1qp e´2iπnx
˘
@p ě 1, @x P R
B2p pxq “ ´2 p2pq!`8ÿ
n“1
cos p2πnxq
p2iπnq2p
@p ě 1, @x P R
B2p`1 pxq “ ´2i p2p` 1q!`8ÿ
n“1
sin p2πnxq
p2iπnq2p`1
car @n ě 2 Bn P C0pRq est 1´périodique tel que
ÿ
zPZ
ˇ
ˇ
ˇck
´
Bn
¯ˇ
ˇ
ˇă `8
On a plusieurs cas :Cas n “ 1 :B1 pxq “ b1` b0x “ x´
1
2B1 a des points de discontinuité en tous les
points entiers. (Elle veut1
2en 1` et ´
1
2en 1´.
On rappelle le théorème de Dirichlet :
Emily Clement page 95
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Soit f P L1pπq et t un point tel que f
`
t`˘
et f`
t´˘
existent et sonfinies.ie f
`
t`˘
“ limxÑtą
f pxq et f`
t´˘
“ limxÑtă
f pxq existent dans C ainsi que
les demi-dérivées.ie f 1g ptq “ lim
hÑ0ă
t pt` hq ´ f pt´q
h, f 1d ptq “ lim
hÑ0ą
f pt` hq ´ f pt`q
h
existent et sont finies.Alors :
Sn pfq ptq “nÿ
k“´n
ck pfq e2iπkt
ÝÑnÑ`8
1
2
`
f`
t`˘
` f`
t´˘˘
Théorème 3.2 (Théorème de Dirichlet).
On en déduit que :@x P RzZ
B1 pxq “ limnÑ`8
´
nÿ
k“´n,k‰0
1
2iπke2iπkx
“ limnÑ`8
´
nÿ
k“1
1
2iπk
`
e2iπkx´ e´2iπkx
˘
“ limnÑ`8
´
nÿ
k“1
sin p2πkxq
πk
“ ´
`8ÿ
k“1
sin p2πkxq
πk
Emily Clement page 96
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
@p ě 1, @x P r0, 1s
B2p pxq “2 p´1qp`1
p2πq2pp2pq!
`8ÿ
n“1
cos p2πnxq
n2p
@p ě 1, @x P r0, 1s
B2p`1 pxq “ 2p´1qp`1
p2p` 1q!
p2ßq2p`1
`8ÿ
n“1
sin p2πnxq
n2p`1
@x P s0, 1r
B1 pxq “ ´1
π
`8ÿ
n“1
sin p2πnxq
np˚q
p˚q : convergence simple sur s0, 1r.
Proposition 3.4.
Démonstration.Utiliser que @n ě 1, @x P r0, 1r
Bn pxq “ Bn pxq
et le fait que les fonctions x ÞÑ
`8ÿ
n“1
cos p2πnq
n2pet x ÞÑ
`8ÿ
n“1
sin p2πnxq
n2p`1
sont continues sur R et donc en x “ 1.
Il s’ensuit que :@p ě 1
b2p “ B2p p0q “2 p´1qp`1
p2πqpp2pq!
`8ÿ
n“1
1
n2p
loomoon
“ζp2pq
ζ p2pq étant la fonction zêta de Riemann au point 2p
D’où @p ě 1 ζ p2pq “p2πq2p p´1qp`1
2 p2pq!b2p
Conséquence :
ζ p2q “`8ÿ
n“1
1
n2“p2πq2
2ˆ 2b2 “
π2
6
Emily Clement page 97
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
ζ p4q “`8ÿ
n“1
1
n4“
p2πq4
2 ¨ 4 ¨ 3 ¨ 2b4 “
π4
90
ζ p6q “`8ÿ
n“1
1
n6“
π6
945
On peut donc calculer la valeur de la fonction zêta au point 2p oùp P N˚.D’autre part, on remarque :
@r ě 2, 1 ď ζ prq “`8ÿ
n“1
1
nrď 1`
“8ÿ
n“2
¨
˝
nż
n´1
dttr
˛
‚“ 1`
`8ż
1
dttr
@r ě 2, 1 ď ζ prq ď 1`
„
t´r`1
p´r ` 1q
`8
1
“ 1´1
1´ r“r ´ 1` r
r ´ 1“
r
r ´ 1
Il s’ensuit que ζ prq „rÑ`8
1
@p ě 1, @x P r0, 1s
|B2p pxq| ď2 p2pq!
p2πq2p
`8ÿ
n“1
1
n2p“ |b2p| ď
2 p2pq!
p2πq2p2p
p2p´ 1q
@p ě 1, @x P r0, 1s
B2p`1 pxq “ B2p`1 pxq ´B2p`1 p0qlooomooon
b2p`1“0
“
xż
0
B12p`1 ptq dt
@x P r0, 1s |B2p`1 pxq| ď p2p` 1q B2pL8pr0,1sq
On obtient le corollaire :
Emily Clement page 98
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
@p ě 1, @x P r0, 1s
|B2p pxq| ď |b2p| ď4p
2p´ 1
p2pq!
p2πq2p
@p ě 1, @x P r0, 1s
|B2p`1 pxq| ď4p
2p´ 1
p2p` 1q!
p2πq2p
b2p „pÑ`8
2 p´1qp`1p2pq!
p2πq2p
Corollaire 3.4.
Ce résultat permet d’estimer finement le reste dans la formule d’EulerMacLaurin : Sot f : r1,`8r Ñ C une fonction C2p telle que :
`8ż
1
ˇ
ˇf p2pq ptqˇ
ˇ dt ă `8
@n ě 2
f p1q ` ¨ ¨ ¨ ` f pnq “1
2pf p1q ` f pnqq `
nż
1
f ptq dt`pÿ
k“1
b2k
p2kq!
`
f p2k´1qpnq ´ f p2k´1q
p1q˘
´
`8ż
1
B2p pttuq
p2pq!f p2pq ptq dt`Rn
où Rn “
`8ż
n
B2p pttuq
p2pq!f p2pq ptq dt vérifiant
|Rn| ď4p
p2p´ 1q p2πq2p
`8ż
n
ˇ
ˇf p2pq ptqˇ
ˇ dt ÝÑnÑ`8
0
Emily Clement page 99
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
III Complément : Formule D’Euler - Mac Lau-rin et intégration numérique
1 Méthode de quadrature élémentaire des trapèzes
Soit f : ra, bs Ñ R , a ă b une fonction continue. On considère p lafonction linéaire (elle est affine) interpolant les points pa, f paqq et pb, f pbqq :
p pxq “px´ aq f pbq ´ px´ bq f paq
b´ a
On approxime l’intégralebż
a
f pxq dx parbż
a
p pxq dx :
bż
a
f pxq »
bż
a
p pxq dx “f pbq
b´ a
bż
a
px´ aq dx´f pbq
b´ a
bż
a
px´ bq dx
“ pb´ aqf paq ` f pbq
2
2 Méthode de quadrature composée des trapèzes
Soient f : ra, bs Ñ R , a ă b une fonction continue, N ě 1 et h “b´ a
N.
On définit xk “ a` kh où 0 ď k ď N . Alors :bż
a
f pxq dx “N´1ÿ
j“0
xj`1ż
xj
f pxq dx
»
N´1ÿ
j“0
pxj`1 ´ xjqf pxjq ` f pxj`1q
2
» h
ˆ
1
2f px0q ` f px1q ` f px2q ` ¨ ¨ ¨ ` f pxN´1q `
1
2f pxNq
˙
On dit qu’une méthode de quadrature élémentaire ou composée estd’ordre n si la formule approchée est exacte pour tous les polynômesde degré ď n et inexacte pour au moins un polynôme de degré n`1.
Définition 3.2.
Emily Clement page 100
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
On vérifie aisément que l’ordre de la méthode des trapèzes est 1.
3 Erreur de la méthode de quadrature composée destrapèzes
Supposons que f : ra, bs Ñ R soit C2 sur ra, bs. On a :
@x P ra, bs , f pxq “ f paq ` f 1 paq px´ aq `
bż
a
px´ tq f” ptq dt
looooooooomooooooooon
“bş
apx´tq`f”ptqdt
On définit l’erreur de la méthode par :
E ptqdef“
bż
a
f pxq dx´ hˆ
1
2f px0q ` f px1q ` ¨ ¨ ¨ ` f pxN´1q `
1
2f pxNq
˙
Comme f ÞÑ E pfq est linéaire et que la méthode des trapèzes est d’ordre1, on a :
E pfq “ Ef
¨
˝ x ÞÑ
bż
a
px´ tq`f” ptq dt
˛
‚
“
bż
a
¨
˝
bż
a
px´ tq`f” ptq dt
˛
‚dx
´ h
bż
a
ˆ
1
2px0 ´ tq` ` px1 ´ tq` ` ¨ ¨ ¨ ` pxN´1 ´ tq` `
1
2pxN ´ tq`
˙
f” ptq dt
“
bż
a
f” ptq
»
–
bż
a
px´ tq`dx´ h
ˆ
1
2px0 ´ tq` ` px1 ´ tq` ` ¨ ¨ ¨ ` pxN´1 ´ tq` `
1
2pxN ´ tq`
˙
fi
fl
loooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooon
“:K1ptq
oùK1 ptq “ E`
x ÞÑ px´ tq`
˘
est le noyau de Peano associé à la méthodedes trapèzes composée. Montrons que @t P ra, bs, K1 ptq ď 0, on a :
K1 ptq “N´1ÿ
j“0
¨
˚
˝
xj`1ż
xj
px´ tq`dx´
h
2
`
pxj ´ tq`˘
˛
‹
‚
Emily Clement page 101
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Soit t P ra, bs il existe j0 P t1, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1u tel que xj0 ď t ď xj0`1.
@j ď j0 ´ 1,
xj`1ż
xj
px´ tq`
looomooon
“0
dx´h
2
¨
˚
˝
pxj ´ tq`looomooon
“0
`pxj`1 ´ tq`looooomooooon
“0
˛
‹
‚
“ 0
@j ď j0 ` 1 :
xj`1ż
xj
px´ tq`
looomooon
“x´t
dx´h
2
¨
˚
˝
pxj ´ tq`looomooon
“xj´t
`pxj`1 ´ tq`looooomooooon
“xj`1´t
˛
‹
‚
“1
2
`
pxj`1 ´ tq2´ pxj ´ tq
2˘
´1
2pxj`1 ´ xjq pxj ` xj`1 ´ 2tq
“1
2pxj`1 ´ xjq pxj`1 ` xj ´ 2tq
´1
2pxj`1 ´ xjq pxj ` xj`1 ´ 2tq
“ 0
Donc :
K1 ptq “
xj0`1ż
xj0
px´ tq`dx´
h
2
¨
˚
˝
pxj0 ´ tq`loooomoooon
“0
`pxj0`1 ´ tq`looooomooooon
“xj0`1´t
˛
‹
‚
“
xj0`1ż
t
px´ tq dx´h
2pxj0`1 ´ tq
“1
2pxj0`1 ´ tq
2´h
2pxj0`1 ´ tq
“ ´1
2pxj0`1 ´ tq pt´ xj0q ď 0
Soient w P L1pra, bsq, w ě 0, et f P C0
pra, bsq :
Dc P ra, bs
bż
a
f pxqw pxq dx “ f pcq
bż
a
w pxq dx
Proposition 3.5 (Formule de la moyenne).
Emily Clement page 102
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Démonstration.Comme f P C0 sur ra, bs, f pra, bsq est connexe et compact car ra, bs estconnexe et compact.Il s’ensuit que :
f pra, bsq “ rn,M s
où m “ minxPra,bs
f pxq et M “ maxxPra,bs
f pxq.
On a :
m
bż
a
w pxq dx ďbż
a
f pxqw pxq dx ďM
bż
a
w pxq dx
car w ě 0 :
Premier cas :
bż
a
w pxq dx “ 0
Comme w ě 0, il s’ensuit que w “ 0 presque partout sur ra, bs d’où :
@x P ra, bs ,
bż
a
f pxqw pxq dx “ f pxq
bż
a
w pxq dx “ 0
Deuxième cas : On a
bş
a
f pxqw pxq dx
bş
a
w pxq dxP rm,M s “ f pra, bsq, donc il
existe c P ra, bs tel que :
bż
a
f pxqw pxq dx “ f pcq
bż
a
w pxq dx
On a :
E pfq “
bż
a
p´f” ptqq p´K1 ptqqloooomoooon
ě0
dt
Emily Clement page 103
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Montrons quebż
a
p´K1 ptqq dt ă `8 :
bż
a
p´K1 ptqq dt “N´1ÿ
j“0
xj`1ż
xj
pt´ xjq pxj`1 ´ tq
2dt
“1
2
Nÿ
j“0
xj`1ż
xj
`
´t2 ` t pxj ` xj`1q ´ xjxj`1
˘
dt
“1
2
N´1ÿ
j“0
ˆ
´1
3
`
x3j`1 ´ x
3j
˘
`1
2pxj ` xj`1q
`
x2j`1 ´ x
2j
˘
´ xjxj`1 pxj`1 ´ xjq
˙
“1
12
N´1ÿ
j“0
pxj`1xjq`
´2`
x2j`1 ` xj`1xj ` x
2j
˘
` 3 pxj ` xj`1q2´ 6xjxj`1
˘
“1
12
N´1ÿ
j“0
`
x2j`1 ´ 2xjxj`1 ` x
2j
˘
“1
12
N´1ÿ
j“0
pxj`1 ´ xjq2
“h3N
12“b´ a
12h2
D’après la formule de la moyenne, Dc P ra, bs :
E pfq “
bż
a
p´f” ptqq p´K1 ptqq dt
“ ´f” pcq
bż
a
p´K1 ptqq dt
“ ´1
12pb´ aqh2f” pcq
donc :|E pfq| ď
1
12pb´ aqh2
f”L8pra,bsq
Soit f P C2p sur ra, bs où a ă b et p P N˚. On utilise la formule d’Euler
Emily Clement page 104
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
- Mac Laurin avec la fonction gN ptq “ f
ˆ
a` tpb´ aq
N
˙
sur r0, N s.
Nÿ
k“0
gN pkq “1
2pgN p0q ` gN pNqq `
Nż
0
gN ptq dt
`
pÿ
k“1
b2k
p2kq!
´
gp2k´1qN pNq ´ g
p2k´1qN p0q
¯
´
Nż
0
B2p pttuq
p2pq!gp2pqN ptq dt
donc :
h
ˆ
1
2f px0q ` f px1q ` ¨ ¨ ¨ ` f pxN´1q `
1
2f pxNq
˙
“ h
Nż
0
f pa` thq dt
`
pÿ
k“1
b2k
p2kq!h2k
`
f p2k´1qpbq ´ f p2k´1q
paq˘
´
Nż
0
B2p pttuq
p2pq!h2p`1f p2pq pa` thq dt
soit :
E pfq “ ´pÿ
k“1
b2p
p2kq!h2k
`
f p2k´1qpbq ´ f p2k´1q
p0q˘
`RN
où RN “
Nż
0
B2p pttuq
p2pq!h2p`1f p2pq pa` thq dt et :
|RN | ďB2pL8pr0,1sq
p2pq!h2p
Nż
0
ˇ
ˇf p2p`1qpa` thq
ˇ
ˇhdt
looooooooooooomooooooooooooon
“bş
a|f p2pqpxq|dx
Or B2pL8pr0,1sq ď4p
2p´ 1
p2pq!
p2πq2pdonc :
|RN | ď4p
p2p´ 1q p2πq2pf p2pqL1pra,bsqh
2p
Emily Clement page 105
CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN
Soit f P C2ppRq une fonction b´ a périodique alors :
|E pfq| ď4p
2p´ 1
pb´ aq
p2pqpf p2pqL8pra,bsqh
2p
En particulier, si f P C8 pRq b´ a périodique alors :
E pfq “ OhÑ0
ph8q ie @N ě 0, E pfq “ OhÑ0
`
hN˘
Proposition 3.6.
Emily Clement page 106
Chapitre 4
Fonction zêta de Riemann
Bernard Riemann : 1826-1866, mathématicien allemand.
I Définition et premières propriétés
La fonction zêta de Riemann noté ζ pzq est définie pour tout z P Ctel que Rez ą 1 par la somme de la série :
ζ pzq “`8ÿ
n“1
1
nz
La fonction ζ est donc bien définie car :
@Rez ą 1,`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
nz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
`8ÿ
n“1
1
nReză `8
car Rez ą 1
Définition 4.1.
La fonction zêta est holomorphe sur l’ouvert tz P C,Rezu.
Proposition 4.1.
Démonstration.Il suffit de vérifier que ζ est la somme d’une série holomorphe sur Ω “
107
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
tz P C,Rez ą 1u qui converge normalement sur tout compact de Ω.
@n ě 1, z P Ω ÞÑ1
nzest holomorphe sur Ω.
Soit K un compact de Ω, Dδ ą 0 tel que K Ă tz P C,Rez ě 1` δu
`8ÿ
k“1
supzP
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
n2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
`8ÿ
n“1
1
n1`δă `8
La fonction zêta admet un unique prolongement en une fonction mé-romorphe sur C ayant un unique pôle en z “ 1 de résidu 1
Théorème 4.1.
Démonstration.Soit z P C tel que Rez ą 1, on applique la formule d’Euler MacLaurin à la
fonction f ptq “1
p1` tqzsur r0, N ´ 1s à l’ordre 2p où p ě 1, où N ě 2.
Nÿ
n“1
1
nz“
1
2
ˆ
1`1
N z
˙
`
N´1ż
0
1
pt` 1qzdt
`
pÿ
k“1
b2k
p2kq!
`
F p2k´1qpN ´ 1q ´ F p2k´1q
p0q˘
´
N´1ż
0
B2p pttuq
p2pq!f p2pq ptq dt
On remarque que :
@m ě 0, @t ě 0, f pmq ptq “p´1qm z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz `m´ 1q
p1` tqz`m
@p ě 1, @N ě 2
Nÿ
n“1
1
nz“
1
2`
1
2N z`
«
p1` tq´z`1
´z ` 1
ffN
0
´
pÿ
k“1
b2k
p2kq!z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2k ´ 2q
ˆ
1
N z`2k´1´ 1
˙
´
N´1ż
0
B2p pttuq
p2pq!
z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2p´ 1q
p1` tqz`2p dt
Emily Clement page 108
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Par passage à la limite, quand N Ñ `8 on obtient :@p ě 1, @Rez ą 1 :
ζ pzq “1
2`
1
z ´ 1`
pÿ
k“1
b2k
p2kq!z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2k ´ 2q´
`8ż
1
B2p pttuq
t2p`zdtz pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2p´ 1q
p2pq!
Car`8ż
1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
B2p pttuq
tz`2p
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
dt ď B2pL8pr0,1sq
`8ż
1
1
tRez`2pdt
“B2pL8pr0,1sq
Rez ` 2p´ 1ă `8
On a montré :
@p ě 1, @Rez ą 1, ζ pzq “1
z ´ 1`Gp pzq
où
Gp pzq “1
2`
pÿ
k“1
b2k
p2kq!z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2k ´ 2q ¨ ¨ ¨ z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2p´ 1q
1
p2pq!
`8ż
1
B2p pttuq
tz`2pdt
Montrons que Gp est holomorphe sur Ωp “ tz P C,Rez ą 1´ 2puIl suffit que montrer que :
Fp pzq “
`8ż
1
B2p pttuq
tz`2pdt
est holomorphe sur Ωp.
On remarque que @t ě 1, z ÞÑB2p pttuq
tz`2pest holomorphe sur Ωp
Soit K un compact de Ωp, Dδ ą 0 tel que K Ă tz P C,Rez ě 1´ 2p` δu.
supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
B2p pttuq
tz`2p
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďB2pL8pr0,1sq
t1`δP L1
pr1,`8rq
Le théorème de régularité des intégrales à paramètre assure que Fp est holo-morphe sur Ωp.On définit la fonction entière G par :
G pzq “ Gp pzq si z P Ωp
Emily Clement page 109
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
La fonction G est bien définie car, @1 ď p ď q :
Gp pzq “ Gq pzq “ ζ pzq ´1
z ´ 1si Rez ą 1
Gp et Gq sont holomorphes sur Ωp ouvert connexe. On obtient que la fonction
z ÞÑ1
z ´ 1`G pzq est une fonction méromorphe sur C avec un unique
pôle simple en z “ 1 de résidu 1 qui prolonge la fonction zêta de Riemann.L’unicité est triviale par prolongement analytique.
À partir de maintenant, on note ζ cet unique prolongement.
II Fonction zêta de Riemann et nombres pre-miers.
1 Formule d’Euler.
@z P C, Rez ą 1
ζ pzq “ź
pPP
1
1´ 1pz
où P désigne l’ensemble des nombres premiers ě 2 et où le produit in-fini de fonction holomorphes converge normalement sur tout compactde tz P C,Rez ą 1u
Théorème 4.2 (Formule d’Euler pour la fonction zêta).
Remarque 4.1.@p P P , @Rez ą 1 :
1´1
pz‰ 0
car |pz| “ pRezě 2 ą 1
Il s’ensuit que @p P P , @Rez ą 1
1
1´ 1pz
‰ 0
D’après le théorème des produits infinis de fonctions holomorphes, on endéduit que la fonction ζ ne s’annule pas sur tz P C,Rez ą 1u
Emily Clement page 110
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Démonstration.
Formellement,ź
pPP
1
1´ 1pz
“ź
pPP
˜
ÿ
kě0
1
pkz
¸
“
`8ÿ
n“1
1
nz
car tout nombre n ě 1 s’écrit de manière unique comme produit de nombrespremiers.
n “ pα11 ¨ ¨ ¨ pαrr
où αj P N˚ pj nombre premiers 2 à 2 distincts. Soit 1 ď N ă M pour tout1 ď n ď N l’entier n se décompose de manière unique en produit de nombrespremiers inférieur à n 2 à 2 distincts qui sont répétés au plus M fois.
n “ pα11 ¨ ¨ ¨ pαrr
où
$
’
&
’
%
pj P P 2 à 2 distinctspj ď n
αj ďM
En effet, si α1 ąM ` 1 alors comme p1 ě 2 on aurait N ě n ě 2M`1
ie M ´ 1 ě N ě 2M`1
Posons h pxq “ 2x`1´x` 1 h1 pxq “ pln 2q 2x`1
´ 1, h2 pxq “ pln 2q2 22x`1ě 0
h1 p2q “ 8 pln 2q ´ 1 “ ln
ˆ
28
e
˙
ą 0 h p2q “ 8´ 2` 1 “ 7 ą 0
@x ě 2 2x`1ą x´ 1 @s ě 1 :
Nÿ
n“1
1
ns
ˆ
1`1
ps` ¨ ¨ ¨ `
1
pMs
˙
contradiction, car tout entier 1 ď n ď N s’écrit de manière unique commeproduit de nombres premiers ď N chacun répétés au lus M fois.On obtient :
Nÿ
n“1
1
nzď
ź
pPP,pďN
˜
`8ÿ
k“0
1
pks
¸
ďź
pPP,pďN
1´
1´ 1ps
¯
Montrons que la produit infini de fonction holomorphesź
pPP
1´
1´ 1pz
¯ converge
normalement sur tout compact de tz P C,Rez ą 1u.Soit K un compact de tz P C,Rez ą 1uDδ ą 0 tel que K Ă tz P C,Rez ě 1` δu.Notons @p P P , @Rez ą 1
fp pzq “1
1´ 1pz
Emily Clement page 111
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
supzPK
|fp pzq ´ 1| “ supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1´´
1´ 1pz
¯
1´ 1pz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
pz ´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď supzPK
1
|pz| ´ 1ď
1
p1`δ ´ 1
Il s’ensuit que :
ÿ
pPPsupzPK
|fp pzq ´ 1| ďÿ
pPP
1
p1`δ ´ 1ď
`8ÿ
n“2
1
n1`δ ´ 1ă `8
car1
n1`δ ´ 1„
nÑ`8
1
n1`δ
On en déduit que la fonctionG pzq “ź
pPP
1
1´ 1pz
est holomorphe sur tz P C,Rez ą 1u.
En passant à la limite quand N Ñ `8 :
@s ą 1,`8ÿ
n“1
1
nsď
ź
pPP,pďN
1
1´ 1ps
On obtient :@s ą 1, ζ psq ď G psq
On remarque que @N ě 2, @M ě N ` 1, @s ą 1 :
ź
PPP,pďN
ˆ
1`1
ps` ¨ ¨ ¨ `
1
PMs
˙
ď
`8ÿ
n“1
1
n5“ ζ psq
Par unicité de la décomposition en produit de nombres premiers. En passantà la limite M Ñ `8 :
ź
pPP,pďN
˜
`8ÿ
k“0
1
pks
¸
“ź
pPP,pďN
1
1´ 1ps
ď ζ psq
Par passage à la limite quand N Ñ `8 :
@s ě 1, G psq ď ζ psq
Il s’ensuit @s ą 1, G psq “ ζ psq, comme de plus ζ et G sont holomorphes surΩ ouvert connexe, on a nécessairement : @z P Ω, ζ pzq “ G pzqCela termine donc la preuve.
Emily Clement page 112
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
La sérieÿ
pPP
1
pdiverge.
ie limNÑ`8
ÿ
pPP,pďN
1
p“ `8.
Proposition 4.2.
Démonstration.On considère PN “
ź
pPP,pďN
1´
1´ 1p
¯ pour N ě 2.
Soit M ě N ` 1,
PN “ź
pPP,pďN
˜
`8ÿ
k“0
1
pk
¸
ěź
pPP,pďN
ˆ
1`1
p`
1
p2` ¨ ¨ ¨ `
1
pM
˙
ě
Nÿ
n“1
1
n
Pour les mêmes raisons pour lors de la démonstration de la formule d’Eulercar tout nombre 1 ď n ď N se factorise comme produit de nombre premiersď N dont la multiplicité ďM
PN ěNÿ
n“1
n`1ż
n
dtt“
N`1ż
1
dtt“ ln pN ` 1q
ln pln pN ` 1qq ď lnPN “ ´ÿ
pPP,pďNln
ˆ
1´1
p
˙
On utilise : @ |x| ă 1
ln p1` xq “`8ÿ
n“1
p´1qn´1 xn
n“ x` x2
`8ÿ
n“2
p´1qn´1 xn´2
n“ x` x2R pxq
où R pxq “`8ÿ
n“0
p´1qn`1 xn
n` 2est une série entière de rayon de convergence égale
à 1.Il s’ensuit que RL8pr´1
2, 12sqă `8 donc R est continue sur s´1, 1r.
On a :
ln pln pN ` 1qq ď ´ÿ
pPP,pďN
ˆ
´1
p
˙
´ÿ
pPP,pďM
1
p2R
ˆ
´1
p
˙
Emily Clement page 113
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Donc
ln pln pN ` 1qq ďÿ
pPP,pďN
1
p` RL8pr´ 1
2, 12sq
ÿ
pPP,pďN
1
p2
ď
˜
ÿ
pPP,pďN
1
p
¸
` RL8pr´ 12, 12sq
˜
`8ÿ
n“1
1
n2
¸
Donc limNÑ`8
ÿ
pPP,pďN
1
p“ `8
2 Fonction de Möbius (August Möbius, 1790-1868, ma-thématicien allemand)
La fonction de Möbius est une fonction µ : N˚ Ñ t0, 1,´1udéfinie par :
1. µ p1q “ 1
2. µ pp1p2 ¨ ¨ ¨ pkq “ p´1qk si p1, ¨ ¨ ¨ , pk où k ě 1 sont des entierspremiers 2 à 2 distincts.
3. µ pmq “ 0 si Dp P P tel que p2|m
Définition 4.2.
La fonction de Möbius est multiplicative :
@k, l ě 1, k ^ l “ 1, µ pklq “ µ pkqµ plq
Lemme 4.1.
Démonstration. Cas 1 : k “ 1 :
µ pklq “ µ plq “ 1ˆ µ plq “ µ p1qµ plq
Cas 2 : Dp P P tel que p2|k tel que p2
|kl : ok car µ pklqloomoon
“0
“ µ pkqloomoon
“0
µ plqloomoon
“0
idem Dp P P tel que p2|l.
Emily Clement page 114
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Cas 3 : Dp1, ¨ ¨ ¨ , pr des nombres premiers 2 à 2 distincts où r ě 1 telque k “ p1, ¨ ¨ ¨ prDp1, ¨ ¨ ¨ , ps des nombres premiers 2 à 2 distincts où s ě 1 tel quek “ p1, ¨ ¨ ¨ ps#
µ pkq “ p´1qr
µ plq “ p´1qs
Comme k^l “ 1 alors p1, ¨ ¨ ¨ , pr, p1, ¨ ¨ ¨ , ps sont des nombres premiers2 à 2 distincts, il s’ensuit que :
µ pklq “ µ pp1 ¨ ¨ ¨ prp1 ¨ ¨ ¨ psq “ p´1qr`s “ µ pkqµ plq
@z P C tel que Rez ą 1 :
1
ζ pzq“
`8ÿ
n“1
pµ pmqq
nz
où µ désigne la fonction de Möbius et où la série converge normale-ment sur tout compact de Ω “ tz P C,Rez ą 1u.
Proposition 4.3.
Démonstration.@K compact de Ω :
`8ÿ
n“1
supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
µ pmq
nz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
`8ÿ
n“1
supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
nz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ă `8
car on a vue que la série définissant ζ converge normalement sur tout compactde Ω.Montrons que la produit infini
ź
pPP
ˆ
1´1
p2
˙
converge normalement sur tout
compact de Ω.Soit K un compact de Ω,Dδ ą 0 tel que K Ă tz P C,Rez ě 1` δu Alors :
ÿ
pPPsupzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˆ
1´1
pz
˙
´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďÿ
pPPsup
Rezě1`δ
ˆ
1
pRez
˙
ďÿ
pPP
1
p1`δď
`8ÿ
n“1
1
n1`δă `8
Emily Clement page 115
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
D’après la formule d’Euler :
@z P Ω, ζ pzq “ limNÑ`8
ź
pPP,pďN
1´
1´ 1pz
¯
loooomoooon
‰0,@pPP
@z P Ω :ź
pPP
ˆ
1´1
pz
˙
“ limNÑ`8
ź
pPP,pďN
ˆ
1´1
pz
˙
“ limNÑ`8
1ś
pPP,pďN
1
p1´ 1pz q
“1
ζ pzq
Car a “1`
1a
˘ si a ‰ 0.
Soit z ą 1 et N ě 2 :
ź
pPP,pďN
ˆ
1`1
p5`
1
p25` ¨ ¨ ¨ `
1
ppN`1q5
˙
“
Nÿ
n“1
1
n`
ÿ
nPΣN
1
n5
où ΣN est un ensemble d’entiers 2 à 2 distincts.
ź
pPP,pďN
ˆ
1`1
p5` ¨ ¨ ¨ `
1
ppN`1q5
˙
`ÿ
nPΣN
1
ns“
NpN`1qNÿ
n“1
1
ns
où ΣN est un ensemble fini d’entiers.On a :
Nÿ
n“1
1
nsloomoon
ÝÑNÑ`8
ζpsq
ďź
pPP,pďN
ˆ
1`1
p5` ¨ ¨ ¨ `
1
ppN`1q5
˙
ď
NNpN`1qÿ
n“1
1
n5
loooomoooon
ÝÑNÑ`8
ζpsq
Il s’ensuit 0 ď RN “ÿ
nPΣN
1
n5ÝÑ
NÑ`80 et RN “
ÿ
nPΣN
1
n5ÝÑ
NÑ`80
D’après la propriété de multiplicativité de la fonction de Möbius :
µ pnq “ µ ppα11 ¨ ¨ ¨ pαrr q
“ µ ppα11 q ¨ ¨ ¨µ pp
αrr q
où pj sont des nombres premiers 2 à 2 distincts.r ě 0, αj ě 1, pα1
1 ^ ppα22 ¨ ¨ ¨ pαrr q “ 1
On obtient : @n ě 1 :
µ pnq
n5“µ ppα1
1 ¨ ¨ ¨ pαrr q
ppα11 ¨ ¨ ¨ pαrr q
5 “µ ppα1
1 q
ppα11 q
5 ¨ ¨ ¨µ ppαrr q
ppαrr q5
Emily Clement page 116
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
On remarque :
ź
pPP,pďN
˜
1`µ ppq
ps` ¨ ¨ ¨ `
µ`
pN`1˘
ppN`1q5
¸
`ÿ
nPΣN
µ pnq
ns`
NpN`1qNÿ
n“1
µ pnq
nset
Nÿ
n“1
µ pnq
ns`
ÿ
nPΣN
µ pnq
ns“
ź
pPP,pďN
˜
1`µ ppq
ps` ¨ ¨ ¨ `
µ`
pN`1˘
ppN`1qs
¸
On obtient :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ÿ
nPΣN
µ pnq
ns
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďÿ
nPΣN
1
ns“ RN Ñ 0
etˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ÿ
nPΣN
µ pnq
ns
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďÿ
nPΣ
1
ns“ RN Ñ 0
Comme @p P P , @j ě 2 µ`
pj˘
“ 0 µ ppq “ ´1 on obtient :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Nÿ
n“1
µ pnq
ns´
ź
pPP,pďN
ˆ
1´1
ps
˙
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ÿ
nPΣN
µ pnq
ns
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď RN ÝÑNÑ`8
0
Nÿ
n“1
µ pnq
nstend vers
`8ÿ
n“1
µ pnq
nset le deuxième membre vers
ź
pPP
ˆ
1´1
ps
˙
“
1
ζ psqOn obtient :
@s ą 1,1
ζ psq“
`8ÿ
n“1
µ pnq
ns
Comme z ÞÑ1
ζ pzqet z ÞÑ
`8ÿ
n“1
µ pnq
nssont holomorphes sur Ω ouvert
connexe, on en déduit :
@z P Ω,1
ζ pzq“
`8ÿ
n“1
µ pnq
nz
Emily Clement page 117
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Exercice 4.1 (Exercice 4, fiche de TD 5).Établir les identités :
@z P C,Rez ą 1,ζ pzq
ζ p2zq“
`8ÿ
n“1
|µ pnq|
nz
@z P C,Rez ą 2,ζ pz ´ 1q
ζ pzq“
`8ÿ
n“1
|ϕ pnq|
nz
ζ pzq
ζ p2zq“
ś
pPP
11´ 1
pz
ś
pPP
11´ 1
p2z
: on au ne converge normale sur tout compact de C.
Orζ pzq
ζ p2zq“
˜
ÿ
ně1
1
nz
¸˜
ÿ
ně1
µ pnq
n2z
¸
loooooomoooooon
1ζp2zq
: les deux séries sont absolument conver-
gente sur Rez ą 1.1
ζ p2zq“
ÿ
ně1
annz
où
#
an “ µ`?
n˘
si n est une carré0 sinon
ζ pzq
ζ p2zq“
ÿ
ně1
˜
ÿ
kl“n
ak
¸1nz
Montrons queÿ
1ďkďn,k|n
ak “ |µ pnq|
ÿ
1ďkďn,k|n
ak “ÿ
1ďkďn,l|n,k est un carré
ak
“ 1`ÿ
2ďkďn,k|nk est un carréEpPP|p4|k p˚q
µ´?
k¯
p˚q car µ ppnq “ 0 si n ě 2 et µ multiplicative.
On pose : An “ tk P N, k vérifie les conditions pEnqu où En “
$
’
&
’
%
2 ď k ď n, k|n
k est un carréEp P P |p4
|k p˚q
Cas 1 : An “ ∅ÿ
k|n,1ďkďn
ak “ 1.
Emily Clement page 118
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Montrons que |µ pnq| “ 1.n “ pr11 ¨ ¨ ¨ p
rss , pi premiers.
Si rj0 ě 2, p2j0|n et p2
j0P An qui est alors non vide.
Donc n “ p1 ¨ ¨ ¨ ps, pi deux à deux distincts.Donc |µ pnq| “ |p´1qs| “ 1.
Cas 2 : An ‰ ∅ Dk ą 1, k P An et k carré donc µ pnq “ 0.n “ pr11 ¨ ¨ ¨ p
rss , pi deux à deux distincts.
Soit k un carré, k “ l2n, l ą 1.On écrit l “ pα1
1 ¨ ¨ ¨ pαss , 0 ď αi ď rjk “ p2α1
1 ¨ ¨ ¨ p2αss , 2αj ď rj et αi “ 0 ou 1 @i donc Ep P P , p4
|k
Donc An “mď
n“1
ź
jPJr
psj où Jr Ă t1, ¨ ¨ ¨ , su tel que #Jr “ r et rj ě 2 et
où m “ # t1 ď j ď s, rj ě 2u
III Série de DirichletLes séries de Dirichlet sont des série du type :
`8ÿ
n“1
annz
où panqně1 est une suite de nombres complexes :
Exemple 4.1.
1. @n ě 1, an “ 1 ζ pzq “`8ÿ
n“1
1
nz
2. @n ě 1, an “ µ pnq1
ζ pzq“
`8ÿ
n“1
µ pnq
nz
On définit l’abscisse de convergence :
´8 ď σc “ inf
#
z P R,`8ÿ
n“1
annz
est convergente
+
ď `8
Cela vaut `8 si l’ensemble est vide par convention.
Emily Clement page 119
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
1. Si σc “ ´8 la série converge pour tout z P C2. Si σc “ `8 la série de converge pour aucun z P C3. Si ´8 ă σc ă `8 la série converge @z P C tel que Rez ą σc
et diverge pour tout z P C tel que Rez ă σc.4. Si σac “ ´8, la série converge absolument pour tout z P C5. Si σac “ `8, la série ne converge absolument pour aucunz P C
6. Si ´8 ă σac ă `8, la série converge absolument pour toutz P C tel que Rez ą σac et ne converge absolument pas pourtout z P C tel que Rez ă σac
7. σc ď σac ď σc ` 1 dans R “ RY t`8u ie :#
σc “ ´8 ô σac “ ´8
σc “ `8 ô σac “ `8
Proposition 4.4.
Démonstration. Preuve en TD :Soit z0 P C, tel que
ÿ
n“1
annz0
converge dans C.
Montrons que @Rez ą Rez0,`8ÿ
n“0
annz
converge.
annz“
annz0
1
nz´z0.
Posons Sn “Nÿ
k“1
akkz0
, S0 “ 0.
Nÿ
n“1
annz“
Nÿ
n“1
annz0
1
nz´z0
“
Nÿ
n“1
Snnz´z0
´
N´1ÿ
n“1
Sn
pn` 1qz´z0
“
N´1ÿ
n“1
Sn
ˆ
1
nz´z0´
1
pn` 1qz´z0
˙
Comme`8ÿ
n“0
annz0
converge, la suite pSnqně0 converge dans C donc elle est
Emily Clement page 120
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
bornée.Dc ą 0, @n ě 0, |Sn| ď CDonc :
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
nz´z0´
1
pn` 1qz´z0
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“1
pn` 1qRez´Rez0
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1´
ˆ
1`1
n
˙z´z0ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
D’après la formule de Taylor :@t ě 0 :
p1` tqz´z0 “ 1`pz ´ z0q t`t2
1ż
0
p1´ sq pz ´ z0q pz ´ z0 ´ 1q p1` stqz´z0´2 ds
@n ě 1 :
ˆ
1`1
n
˙z´z0
“pz ´ z0q
n`
1
n2
¨
˝
1ż
0
p1´ sq´
1`s
n
¯z´z0´2
ds
˛
‚pz ´ z0q pz ´ z0 ´ 1q
Supposons z P B p0, Rq : @ |z| ď R, @n ě 1 :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˆ
1`1
n
˙z´z0
´ 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďR ` |z0|
n`pR ` |z0|q pR ` |z0|q
n2¨ δ
où δ “
#
2Rez´Rez0´2 si Rez ´ Rez0 ´ 2 ě 0
1 sinonˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˆ
1`1
n
˙z´z0
´ 1|z ´ z0|
n
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď `pR ` |z0|q pR ` |z0|q
n2¨ δ
DCR ą 0, @n ě 1, @ |z| ď R :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˆ
1`1
n
˙z´z0
´ 1´z ´ z0
n
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďCRn2
DoncNÿ
n“1
annz“
N´1ÿ
n“1
Sn
ˆ
1
nz´z0´
1
pn` 1qz´z0
˙
`Snnz´z0
C’est une série absolument convergente @Rez ą Rez0 car`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Sn
ˆ
1
nz´z0´
1
pn` 1qz´z0
˙ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
Emily Clement page 121
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
C`8ÿ
n“1
1
pn` 1qRez´Rez0
ˆ
|z ´ z0|
n`CRn2
˙
looooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon
“O´
1
n1`Rez´Rez0
¯
Donc @Rez ą Rez0,`8ÿ
n“1
annz
converge.
1. Supposons que σc “ ´8 :
Soit z0 P C, Dx P R, x ă Rez0 tel que`8ÿ
n“1
annx
converge.
On sait alors que @Rez ą x,`8ÿ
n“1
annz
: OK par z “ z0.
donc @z P C,`8ÿ
n“1
annz
converge.
2. Supposons que σc “ `8, alors
#
x P R,`8ÿ
n“1
annz
converge dans C
+
“ ∅
Supposons Dz0 P C tel que`8ÿ
n“1
annz0
converge.
On en déduit que @Rez ą Rez0,`8ÿ
n“1
annz
converge donc @x ą Rez0,
`8ÿ
n“1
annx
donc σc ď Rez0 : contradiction.
3. Supposons que ´8 ă σC ă `8.Soit z0 P C tel que Rez0 ą σc. Par définition de σc, Dx P R, σc ă x ă
Rez0 tel que`8ÿ
n“1
annx
converge.
Il s’ensuit @Rez ą x,`8ÿ
n“1
annz
converge : OK pour z “ z0.
Soit z0 P C tel que Rez0 ă σc.
Supposons que`8ÿ
n“1
annz0
converge, alors @Rez ą Rez0,`8ÿ
n“1
annz
donc @z ą
Rez0,`8ÿ
n“1
annx
converge donc σc ď Rez0 : contradiction.
4. Supposons que σac “ ´8.
Soit z0 P C, Rez0 ą ´8, Dx P R, x ă Rez0 tel que`8ÿ
n“1
|an|
nxconverge.
Emily Clement page 122
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Donc si`8ÿ
n“1
|an|
nRez0ď
`8ÿ
n“1
|an|
nxă `8 alors
`8ÿ
n“1
annz0
converge.
5. Supposons que σac “ `8 alors
#
x P R,`8ÿ
n“1
|an|
nxă `8
+
“ ∅.
Supposons que`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
annz0
ˇ
ˇ
ˇă `8, alors
`8ÿ
n“1
|an|
nxă `8 avec x “ Rez0 :
contradiction.6. Supposons que ´8 ă σac ă `8 :
Soit z0 P C, tel que Rez0 ą σc, Dσx ă x ă Rez0 tel que`8ÿ
n“1
|an|
nxă `8
Donc`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
annz0
ˇ
ˇ
ˇ“
`8ÿ
n“1
|an|
nRez0ď
`8ÿ
n“1
|an|
nxă `8 donc
`8ÿ
n“1
annz0
converge
absolument.
Soit z0 P C tel que Rez0 ă σac. Supposons que`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
annz0
ˇ
ˇ
ˇ“
`8ÿ
n“1
|an|
nRez0
donc σac ď Rez0 : contradiction.Exemple 4.2.
ζ pzq “`8ÿ
n“1
1
nzcar @Rez ą 1,
`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
nz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ă `8 et`8ÿ
n“1
1
n“ `8.
Donc ζ pzq “`8ÿ
n“1
p´1qn
nz, σac “ 1, σc “ 0.
@x ă 0,p´1qn
nxÝÑnÑ`8
0, σc ě 0, @x ą 0,`8ÿ
n“1
p´1qn
nxconverge.
7.
#
x P R,`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
annx
ˇ
ˇ
ˇă `8
+
Ă
#
x P R,`8ÿ
n“1
annx
CV dans C
+
Montrons que ´8 ď σac ď σc`1 ď `8 (t`8u`1 “ `8, t´8u`1 “´8
On peut supposer que σc ă `8.On raisonne par l’absurde en supposant σc`1 ă σac, Dσc`1 ă x ă σac,
on a`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
annx
ˇ
ˇ
ˇ“ `8, Dε ą 0, x ą σc ` 1` εô x` e ą σc
Il s’ensuit :`8ÿ
n“1
annx`ε
converge ñ limnÑ`8
annx´1´ε
“ 0
DC ą 0, @n ě 1,ˇ
ˇ
ˇ
annx´1`ε
ˇ
ˇ
ˇď C.
Emily Clement page 123
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
@n ě 1,ˇ
ˇ
ˇ
annx
ˇ
ˇ
ˇ“
ˇ
ˇ
ˇ
annx´1´ε
ˇ
ˇ
ˇ
1
nx´1´εď
C
n1`ε: contradiction.
8. Soit`8ÿ
n“1
annz
une série de Dirichlet telle que σc ă `8.
On considère, @Rez ą σC , f pzq “`8ÿ
n“1
annz
.
On a vu précédemment : Soit z0 P C tel que <z0 ą σC , la série`8ÿ
n“1
annz0
converge.
On note Sn “nÿ
k“1
akkz0
, Si n ě 1 et S0 “ 0 :
@Rez ą Rez0, f pzq “`8ÿ
n“1
Sn
ˆ
1
nz´z0´
1
pn` 1qz´z0
˙
loooooooooooooooomoooooooooooooooon
fonction holomorphe sur tReząRez0u
Soit K un compact de tRez ą Rez0u, Dδ ą 0 et R ą 0 tel que K Ă
tRez ě Rez0 ` δu X B p0, Rq
`8ÿ
n“1
supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Sn
ˆ
1
nz´z0´
1
pn` 1qz´z0
˙ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď C`8ÿ
n“1
supRezěRez0`δ,|z|ďR
1
pn` 1qRez´Rez0
ˆ
|z ´ z0|
n`CRn2
˙
ď C`8ÿ
n“1
1
pn` 1qδ
ˆ
R ` |z0|
n`CRn2
˙
loooooooooooooooomoooooooooooooooon
Op 1
n1`δ q
ă `8
Donc f est holomorphe sur tRez ą Rez0u : Vrai @z0 P C tel que Rez0 ą
σC donc f P H ptRez ą σcuq.
9. Soit f pzq “`8ÿ
n“1
annz
une série de Dirichlet telle que σC ă `8.
On suppose que D pzkqjě0 une suite de tRez ą σCu telle que @k ě0, f pzkq “ 0 et lim
kÑ`8Rezk “ `8
Montrons que @n ě 1, an “ 0.Par l’absurde, si c’est pas le cas, on peut considérer n0 le plus petitentier ě 1 tel que an ‰ 0.Montrons que lim
kÑ`8nzk0 f pzkq “ an0
Comme @k ě 0, f pzkq “ 0, ceci impliquera an0 “ 0 : contradiction.
@k ě 0, nz0f pzkq “ nzk
˜
`8ÿ
n“n0
annzk
¸
“ an0 `
`8ÿ
n0`1
an
´n0
n
¯zk
Emily Clement page 124
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
On remarque que σC ă `8 donc σac ă `8, Dα ą σac tel que`8ÿ
n“1
ˇ
ˇ
ˇ
annα
ˇ
ˇ
ˇă `8.
Soit ε ą 0, DN ě max`
n20, n0 ` 2
˘
tel que`8ÿ
n“N
|an|
nαďε
2
Dk0 ě 1, @k ě k0,Rezk ě 2α, @k ě k0 :
|nzk0 f pzkq ´ an0 | ď
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
N´1ÿ
n“n0`1
´n0
n
¯zkan
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
loooooooooomoooooooooon
ďN´1ř
n“n0`1|an||
n0n |
Rezk
`
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
`8ÿ
n“N
´n0
n
¯zkan
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
loooooooomoooooooon
`8ř
n“N
|an|nα
nRezk0
nRezk´αď
nRezk0
NRezk´αε2ď
ˆ
n20N
˙ 12<zk
ε2ď ε
2
OrN´1ÿ
n“n0`1
|an|ˇ
ˇ
ˇ
n0
n
ˇ
ˇ
ˇ
RezkÝÑkÑ`8
0 carˇ
ˇ
ˇ
n0
n
ˇ
ˇ
ˇă 1
10. CF cours.
Soit`8ÿ
n“1
annz
une série de Dirichlet d’abscisse de convergence σc ă `8.
La fonction f pzq “`8ÿ
n“1
annz
est holomorphe sur tz P C,Rez ą σcu
Théorème 4.3.
Démonstration. Démonstration en TD
Soit f pzq “`8ÿ
n“1
annz
une série de Dirichlet d’abscisse de convergence
σc ă `8.Supposons qu’il existe pzkqkě1 une suite de tz P C,Rez ą σcu tel que :
$
&
%
@k ě 1, f pzkq “ 0
limkÑ`8
Rezk “ 8
alors @n ě 1, an “ 0.
Proposition 4.5.
Emily Clement page 125
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Démonstration. Preuve en TD.
Soit f pzq “`8ÿ
n“1
annz
une série de Dirichlet d’abscisse de conver-
gence σc ă `8 non identiquement nulle sur l’ouvert convexetz P C,Rez ą σcu.Il existe α P R, α ě σc tel que @z P C,Rez ě α, f pzq ‰ 0
Corollaire 4.1.
Démonstration.Par l’absurde, on pourrait alors construire une suite de zéros de f dont lesparties réelles tendent vers `8.
Soient`8ÿ
n“1
annz
et`8ÿ
n“1
bnnz
deux séries de Dirichlet convergentes :
1. Si l’une des deux séries est de plus absolument convergente, leproduit de Dirichlet :
`8ÿ
n“1
1
nz
˜
ÿ
jk“n,1ďj,kďn
ajbk
¸
est convergente et :
`8ÿ
n“1
1
nz
˜
ÿ
jk“n,1ďj,kďn
ajbk
¸
“
˜
`8ÿ
n“1
annz
¸˜
`8ÿ
j“1
bjj2
¸
2. Si les deux séries sont absolument convergente, le pro-
duit de Dirichlet`8ÿ
n“1
1
nz
˜
ÿ
jk“n,1ďj,kďn
ajbk
¸
est absolument
convergent.
Théorème 4.4.
Démonstration. Preuve en TD
Emily Clement page 126
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
IV Formule d’inversion de Möbius
Soit f pzq “`8ÿ
n“1
annz
une série de Dirichlet d’abscisse σc ă `8.
@z P C tel que Rez ą max p1, σcq, f pzq ζ pzq “
˜
`8ÿ
n“1
annz
¸˜
`8ÿ
n“1
1
nz
¸
C’est un produit de deux séries de Dirichlet convergente.
f pzq ζ pzq “`8ÿ
n“1
1
nz
¨
˝
ÿ
k|n,1ďkďn
ak
˛
‚
série de Dirichlet convergente, d’abscisse de CV ďmaxp1,σcq
@z P C tel que Rez ą max p1, σcq
f pzq “1
ζ pzqpζ pzq f pzqq
“
˜
`8ÿ
n“1
µ pnq
nz
¸
série de Dirichlet convergente
¨
˝
`8ÿ
n“1
¨
˝
ÿ
k|n,1ďkďn
ck
˛
‚
˛
‚
série de Dirichlet convergente
“
`8ÿ
n“1
1
n2
¨
˝
ÿ
k|n,1ďkďn
bkµ´n
k
¯
˛
‚
série de Dirichlet CV, donc d’abscisse de CV ěmaxp1,σcq
On obtient : @z P C tel que Rez ą max p1, σcq :
`8ÿ
n“1
annz“
`8ÿ
n“1
1
nz
¨
˝
ÿ
k|n,1ďkďn
bkµ´n
k
¯
˛
‚
ie @z P C tel que Rez ą max p1, σcq :
`8ÿ
n“1
1
nz
¨
˝an ´ÿ
k|n,1ďkďn
bkµ´n
k
¯
˛
‚“ 0
(C’est une série de Dirichlet d’abscisse de convergente ď max p1, σcq ă `8)D’après une proposition précédente, on en déduit :
@n ě 1, an “ÿ
k|,1ďkďn
bkµ´n
k
¯
Emily Clement page 127
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Soit panqně1 une suite de nombres complexes et @n ě 1 bn “ÿ
k|n,1ďkďn
ak alors :
@n ě 1, an “ÿ
k|n,1ďkďn
bkµ´n
k
¯
où µ désigne la fonction de Möbius
Théorème 4.5 (Formule d’inversion de Möbius).
Démonstration.Soit N ě 1, on définit an pNq “ an1r1,Ns pnq.
L’abscisse de convergence de la série de Dirichlet`8ÿ
n“1
an pNq
nzest donc égale à
´8 car c’est une somme finie.D’après ce qui précède, on a démontré que :
@n ě 1, an pNq “ÿ
k|n,1ďkďn
bk pNqµ´n
k
¯
On remarque @1 ď n ď N an pNq “ an et bn pNq “ÿ
k|n,1ďkďn
ak
On en déduit :@1 ď n ď N, an “
ÿ
k|n,1ďkďn
bkµ´n
k
¯
Exemple 4.3.On rappelle que la fonction indicatrice d’Euler de l’entier n ě 1 est définiepar ϕ pnq “ # pσnq où σn est le groupe des éléments inversible ZnZOn pose ϕ p1q “ 1On démontre @n ě 1 :
ϕ pnq “ # t1 ď k ď n, k ^ n “ 1u
@n ě 2n “
ÿ
1ďkďn,k|n
ϕ pkq
Emily Clement page 128
CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
On peut utiliser la formule d’inversion de Möbius pour obtenir :
@n ě 1, ϕ pnq “ÿ
1ďkďn,k|n
kµ´n
k
¯
Emily Clement page 129
Chapitre 5
Théorème des nombres premiers
Π pxq “ #
"
p P Pnb premiers
, 2 ď p ď x
*
„xÑ`8
x
lnx
Théorème 5.1 (Théorème des nombres premiers).
Ce résultat fur conjecturé par Carl Friedrich Gauss (777-1855) en 1792-1793et Adrien-Marc Legendre (1752-18433, mathématicien francais) en 1797-1798.Il fut démontré indépendamment par Jacque Hadamard (1865-1963, mathé-maticiens francais) et Charles-Jean de la Vallée Poussin (1866-1962, mathé-maticien belge) en 1896.En 1949, Paul Erdös (1913-1996, mathématicien hongrois) et Atle Selberg(1917-2007 mathématicien norvégien) donnèrent une autre démonstrationn’utilisant par d’analyse complexe. Selberg faut láureát de la médaille Fieldsen 1950.La démonstration que l’on va donner est due à Donard Newmann (1930-2007, mathématicien américain) qui a trouvé en 1980 une preuve relativementcourte et simple.
Démonstration.On définit :
@z P C,Rez ą 1, φ pzq “ÿ
pPP
ln p
pzě 0
car @p P P , p ě 2 C’est une série de fonctions holomorphes sur tRez ą 1u quiconverge normalement sur tout compact de tRez ą 1u
130
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Soit K compact de tRez ą 1u, Dδ ą 0 tel que K “ tz P C,Rez ě 1` δu
ÿ
pPPsupzPK
|ln p|
pzď
ÿ
pPP
ln p
p1`δď
`8ÿ
n“2
ln l
1` δă `8
carlnn
nδ`1“ o
ˆ
1
n1` δ2
˙
quand nÑ `8.
On définit :@z ě 2, Θ pxq “
ÿ
pďx,pPPp
loomoon
ě0
ě 0
1. Montrons que Θ pxq “ O pxq quand xÑ `8
On remarque que la fonction Θ est croissante, soit x ě 2 il existe ununique k ě 2 tel que 2k´1
ď x ă 2k.Il s’ensuit
Θ`
2k˘
ď Θ pxq ď Θ`
2k˘
On remarque :
@n ě 2, Θ p2nq ´Θ pnq “ÿ
năpď2n
ln p
@n ě 2, eΘp2nq´Θpnq“ exp
˜
ÿ
năpď2n,pPPln p
¸
“ź
năpď2n,pPPp
D’autre part on a :
N˚ Q Cn2n “
p2nq!
n!n!“p2nq p2n´ 1q ¨ ¨ ¨ pn` 1q
n!
Donc n!Cn2n “ p2nq p2n´ 1q ¨ ¨ ¨ pn` 1q On remarque que :
ź
năpď2n,pPPp| p2nq p2n´ 1q ¨ ¨ ¨ pn` 1q “ n!Cn
2n
D’autre part on a :˜
ź
năpď2n,pPPp
¸
^ n! “ 1
Il s’ensuit :
ź
năpď2n,pPP|Cn
2n ñź
năpď2n,pPPp ď Cn
2n ď
2nÿ
k“0
Ck2n “ p1` 1q2n
Emily Clement page 131
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
@n ě 2, eΘp2nq´Θpnqď 22n
@n ě 2, Θ p2nq ´Θ pnq ď 2n ln 2$
’
’
’
&
’
’
’
%
Θ`
22˘
ď Θ p2q ` 22 ln 2
Θ`
23˘
ď Θ`
22˘
` 23 ln 2
¨ ¨ ¨
θ`
2k˘
ď Θ`
2k´1˘
` 2k ln 2
Donc Θ`
2k˘
ď Θ p2q ` ln 2
˜
kÿ
j“2
2j
¸
ď ln 2`
1` 2` 22` ¨ ¨ ¨ ` 2k
˘
“
ln 22k`1 ´ 1
2´ 1ď 2k`1
` ln 2
2k´1ď 2k donc Θ pxq ď Θ
`
2k˘
ď 2k`1 ln 2 ď p4 ln 2qxOn a montré que :
@x ě 2,Θ pxq “ 4 ln 2x
2. Montrons que la fonction ζ ne s’annule pas sur l’ensemble tz P C,Rez ě 2u z t1uOn a déjà vu que :
@z P C tel que Rez ą 1, ζ pzq ‰ 0
en conséquence de la formule d’Euler. Il suffit donc de montrer que :
@z P C,Rez “ 1, z ‰ 1, ζ pzq ‰ 0
On rappelle la formule d’Euler :
@z P C,Rez ą 1, ζ pzq “ź
pPP
1´
1´ 1pz
¯
C’est un produit infini de fonctions holomorphes convergeant norma-lement sur tout compact de tz P C,Rez ą 1u ouvert connexe, ce sontdes fonctions holomorphes non identiquement nulles sur tRez ą 1u.
Emily Clement page 132
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
D’après un théorème précédent :
ζ 1 pzq
ζ pzq“
˜
ś
pPP
1
p1` 1pz q
1
¸
ś
pPP
ˆ
11´ 1
pz
˙
“ÿ
pPP
ˆ
11´ 1
pz
˙1
1´ 1pz
“ ´ÿ
pPP
ln p´
1´ 1pz
¯2
1
pz
ˆ
1´1
pz
˙
car
¨
˝
1´
1´ 1pz
¯
˛
‚
1
“´1
´
1´ 1pz
¯2
ˆ
´1
pz
˙1
“1
´
1´ 1pz
¯2
`
p´z˘1“
´ ln p´
1´ 1pz
¯
1
pz
“ ´ÿ
pPP
ln p´
1´ 1pz
¯
pz
“ ´ÿ
pPP
ln p
pz ´ 1
Série de fonctions méromorphes CV normalement sur tout compactde tRez ą 1u
Remarque 5.1. À priori, le théorème donne la convergence d’unesérie de fonctions méromorphe mais ici :
@z P C tel que Rez ą 1, ζ pzq “ź
pPP
1´
1´ 1p2
¯
loooomoooon
‰0
@Rez ą 1 :
ζ 1 pzq
ζ pzq“ ´φ pzq `
ÿ
pPPln
ˆ
1
pz´
1
pz ´ 1
˙
“ ´φ pzq ´ÿ
pPP
ln p
pz ppz ´ 1qfonction holomorphe sur tRez ą 1u
On vérifie que la série de fonctions holomorphesÿ
pPP
ln p
pz ppz ´ 1qconverge
Emily Clement page 133
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
normalement sur tout compact de"
Rez ą1
2
*
SoitK un compact de"
Rez ą1
2
*
, Dδ ą 0 tel queK Ă
"
Rez ě δ `1
2
*
ÿ
pPPsupzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ln p
pz ppz ´ 1q
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďÿ
pPPsup
Rezě 12`δ
ln p
pRez ppRez ´ 1q
ďÿ
pPP
ln p
p12`δ pp12`δ ´ 1q
ď
`8ÿ
n“2
lnn
n12`δ
´
n12`δ ´ 1
¯ ă `8
carlnn
n12`δ pn12`δ ´ 1q„
nÑ`8
lnn
n1`2δ“ o
ˆ
1
n1`δ
˙
Comme ζ est une fonction méromorphe sur C ayant un unique pôlesimple de résidu 1, la fonction φ se prolonge de manière unique en une
fonction méromorphe sur"
Rez ą1
2
*
φ pzq :“´ζ 1 pzq
ζ pzq´
ÿ
pPP
ln p
pz ppz ´ 1qsur
"
Rez ą1
2
*
Les pôles de φ sont les zéros de la fonction ζ dans"
1
2ă Rez ď 1
*
et
le pôle z “ 1 de ζ.En effet on sait par la formule d’Euler qu’on a pas de pôle de partieréelles ď 1.Il existe g une fonction entière telle que : @z P Cz t1u :
ζ pzq “1
z ´ 1` g pzq
ζ 1 pzq “1
pz ´ 1q2` g1 pzq
Emily Clement page 134
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Donc :
´ζ 1 pzq
ζ pzq“
1pz´1q2
´ g1 pzq
1z´1
` g pzq
“1
z ´ 1
`
1´ pz ´ 1q2 g1 pzq˘
1` pz ´ 1q g pzq
limzÑ1,z‰1
pz ´ 1qφ pzq “ limzÑ1,z‰1
˜
1´ pz ´ 1q2 g1 pzq
1` pz ´ 1q g pzq´ pz ´ 1q
ÿ
pPP
ln p
p2 pp2 ´ 1q
¸
“ 1
On en déduit que φ admet un pôle simple en z “ 1 de résidu 1.
Soit z0 un zéro de la fonction ζ dans"
1
2ă Rez ď 1
*
z t1u, on note
m0 ě 1 son ordre de multiplicité.Dδ ą 0, @ |z ´ z0| ă δ ζ pzq “ pz ´ z0q
m0 h pzq où h est holomorphe surB pz0, δq, @ |z ´ z0| ă δ, h pzq ‰ 0.ζ 1 pzq “ m0 pz ´ z0q
m0´1 h pzq ` pz ´ z0qm0 h1 pzq.
@ |z ´ z0| ă δ, z ‰ z0,
´ζ 1 pzq
ζ pzq“´m0 pz ´ z0q
m0´1 h pzq ´ pz ´ z0qm0 h1 pzq
pz ´ z0qm0 h pzq
“´m0
z ´ z0
´h1 pzq
h pzq
h1 pzq
h pzqest holomorphe sur B pz0, δq.
On en déduit que la fonction φ admet un pôle simple en tout zéro de
la fonction ζ dans l’ensemble"
1
2ă Rez ď 1
*
z t1u de résidu ´m0 où
m0 est l’ordre de multiplicité de z0 comme zéro de ζ.Montrons que la fonction ζ ne s’annule pas sur tRez “ 1u z t1u.Par l’absurde, supposons qu’il existe a P R˚ tel que ζ p1` iaq “ 0.On note m0 l’ordre d’annulation de ζ en 1` iaOn remarque que : @z P C tel que Rez ą 1,
ζ pzq “
˜
`8ÿ
n“1
1
nz
¸
“
`8ÿ
n“1
1
nz“ ζ pzq
D’autre part, la fonction z P Cz t1u ÞÑ ζ pzq est holomorphe surCz t1u car, @z P Cz t1u :
limzÑz0
ζ pzq ´ ζ pz0q
z ´ z0
“ limzÑz0
˜
ζ pzq ´ ζ pz0q
z ´ z0
¸
“ ζ 1 pz0q
Emily Clement page 135
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
car z Ñ z0 ñ z Ñ z0 et ζ est holomorphe en z0.
Comme Cz t1u est un ouvert connexe et que
#
z ÞÑ ζ pzq
z ÞÑ zeta pzqsont
holomorphe sur Cz t1u on en déduit :
@z P Cz t1u , ζ pzq “ ζ pzq
Comme ζ p1` iaq “ 0 on en déduit que ζ p1´ iaq “ 0On peut écrire au voisinage de 1` ia, il existe δ ą 0, @ |z ´ p1` iaq| ăδ :
ζ pzq “ pz ´ 1´ iaqm0 h pzq “ ζ pzq
h pzq fonction holomorphe sur B p1` ia, δq, @z P B p1` ia, δq, h pzq ‰0.@z P B p1` ia, δq ζ pzq “ pz ´ 1` iaqm0 h pzq@z P B p1´ ia, δq, ζ pzq “ pz ´ 1` iaqm0 h pzqIl s’ensuit que 1 ´ ia est un zéro d’ordre m0 de ζ. On considère z1 “
1` 2a.Si ζ pz!q “ 0 où z1 est un zéro d’ordre m1 ě 1 alors d’après ce quiprécède z1 “ 1´ 2ia est un zéro d’ordre m1
Si ζ pz1q ‰ 0 alors de même z1 et z1 sont des zéros de ζ d’ordrem1 “ 0.On en déduit :
$
’
’
’
&
’
’
’
%
limzÑ1,z‰1
pz ´ 1qφ pzq “ 1
limzÑ1˘ia,z‰1˘ia
pz ´ 1˘ iaqφ pzq “ ´m0 ď ´1
limzÑ1˘2ia,z‰1˘ia
pz ´ 1˘ 2iaqφ pzq “ ´m1 ď 0
Donc :$
’
’
’
&
’
’
’
%
limεÑ0,εą0
εφ p1` εq “ 1
limεÑ0,εą0
εφ p1˘ ia` εq “ ´m0
limεÑ0,εą0
εφ p1`˘2iaεq “ ´m1
Si 1 ˘ 2ia est un zéro d’ordre m1 ě 1, si ζ p1˘ 2iaq ‰ 0 alors φ estholomorphe au voisinage de 1˘ 2iaAlors lim
zÑ1˘2ia,z‰1˘2iapz ´ 1˘ 2iaqφ pzq “ 0 “ m1 : ok.
Emily Clement page 136
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Soit ε ą 0, on considère :
2ÿ
k“´2
Ck`24 εφ p1` ε` ika1q
looooooomooooooon
Rep qą1
“
2ÿ
k“´2
Ck`24 ε
˜
ÿ
pPP
ln p
p1`ε`ika
¸
“ÿ
pPPε
ln p
p1`ε
˜
2ÿ
k“´2
Ck`24
1
pika
¸
“ÿ
pPP
ε ln p
p1`ε
˜
4ÿ
k“0
Ck4
1
ppiaqk
¸
p2ia
“ÿ
pPP
ε ln p
p1`ε
ˆ
1`1
pia
˙4
p2ia“
ÿ
pPP
ε ln p
p1`ε
´
pia2 ` p´
ia2
¯4
ě 0
ÝÑεÑ0
C24 ` C
34 p´m0q ` C
44 p´m1q ` C
14 p´m0q ` C
04 p´m1q
Il s’ensuit :0 ď 6´ 8m0 ´ 6m1 ď 6´ 8m0 ď ´2
Conclusion : On a montré que @z P tRez “ 1u z t1u , ζ pzq ‰ 0On a également montré que c’était vrai pour tout z P C tel que Rez ą1.
Assertion :
`8ż
1
Θ pxq ´ x
x2dx est convergente au sens des intégrales
impropres.
ie limXÑ`8
Xż
1
Θ pxq ´ x
x2dx existe et est finie.
Où Θ pxq “ÿ
pPP,pďxln p ě 0.
On a déjà montré que Θ pxq “ O pxq quand xÑ `8
On a besoin du lemme suivant :
Emily Clement page 137
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Soit f : R` Ñ C une fonction mesurable bornée.On définit @z P C,Rez ą 0 :
g pzqdef“
`8ż
0
f ptq e´ztdt
La fonction g est holomorphe sur tz P C,Rez ą 0uOn suppose que pour tout z0 P C, Rez0 “ 0 il existe r0 ą 0 tel quela fonction g se prolonge holomorphiquement sur l’ouvert connexetz P C,Rez ą 0u
č
B pz0, r0q
On a alors que l’intégrale impropre`8ż
0
f ptq dt converge, ie
limXÑ`8
Xż
0
f ptq dt existe et appartient à C
Lemme 5.1.
Démonstration du lemme.On commence par vérifier que g est holomorphe sur tRez ą 0u@t P R, z ÞÑ f ptq e´zt est holomorphe sur tRez ą 0u@K compact et tRez ą 0u , Dδ ą 0 tel que K Ă tRez ě δu
supzPK
ˇ
ˇf ptq e´ztˇ
ˇ ďMe´δt P L1pR`q
où M est une constante telle que @t P R`, |f ptq| ďMD’après le théorème de régularité des intégrales à paramètre, g est holo-morphe sur tRez ą 0u.On définit :
@z P C, @T ą 0, gT pzq “
Tż
0
f ptq e´ztdt
Montrons que gT est une fonction entière :On remarque que @t P r0, T s, z ÞÑ f ptq e´zt est une fonction entière.Soit K un compact de C, il existe R ą 0 tel que K Ă B p0, Rq
supzPK
ˇ
ˇf pT q e´ztˇ
ˇ ďMeRt P L1pr0, T sq
Emily Clement page 138
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
donc gT P H pCqSoit ε ą 0, on choisit R ą 0 tel que
4M
Răε
2@z0 P i r´R,Rs, Dr0 pz0q ą 0 tel que g se prolonge en une fonction holomorphesur tRez ą 0u
ď
B pz0, r0 pr0qq
i r´R,Rsloooomoooon
compact
Ăď
z0Pir´R,Rs
B pz0, r0 pz0qqloooooomoooooon
ouvert
On extrait un sous-recouvrement fini.
i r´R,Rs ĂNď
j“1
B pzj, rjq où zj P i r´R,Rs, g se prolonge en fonctions holo-
morphe sur tous les ouverts B pzj, rjqOn eut donc trouver δ ą 0 tel que la fonction g se prolonge en une fonctionholomorphe sur l’ouvert :
¨
˚
˚
˝
tRez ą ´δuč
B p0, R ` δqloooooooooooooooomoooooooooooooooon
“:ΩR,δ ouvert étoilé car convexe
˛
‹
‹
‚
ď
tRez ą 0u
On considère la fonction F pzq “ pg pzq ´ gT pzqq ezTˆ
1`z2
R2
˙
P H pΩR,δq
On applique la formule de Cauchy dans l’ouvert étoilé ΩR,δ.
F p0q “ g p0q ´ gT p0q
“ g p0q ´
Tż
0
f ptq dt
“1
2iπ
ż
Γ
F pzq
zdz
“1
2iπ
ż
Γ1
F pzq
zdz `
1
2iπ
ż
Γ2
F pzq
zdz
où Graphique à demander à David.On remarque que @ |ω| “ 1,
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
ω` ω
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ |ω ` ω|
“ |2Reω| “ 2 |Reω|
Emily Clement page 139
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
@Rez ą 0 :
|g pzq ´ gT pzq| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
`8ż
0
f ptq e´ztdt´Tż
0
f ptq e´ztdt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
`8ż
T
f ptq e´ztdt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
`8ż
T
Me´Reztdt
“M
Reze´RezT
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
2iπ
ż
Γ2
F pzq
zdz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď1
2πL pΓ2q sup
zPSupp Γ2
|F pzq|
|z|
ďR
2sup
Rezą0,|z|“R
ˆ
|g pzq ´ gT pzq| eRezT
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1`z2
R2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
˙
ďR
2sup
Rezą0,|z|“R
¨
˚
˚
˚
˚
˝
M
Reze´RezT ¨
eRezT
|z|
|z|
Rloomoon
“1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
R
z`z
R
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
looomooon
“2|Rep zRq|
˛
‹
‹
‹
‹
‚
ďM
R
1
2iπ
ż
Γ1
F pzq
zdz
“1
2iπ
ż
Γ1
g pzq
zezT
ˆ
1`z2
R2
˙
dz ´1
2iπ
ż
Γ1
gT pzqz
ezTˆ
1`z2
R2
˙
dz
orż
Γ1
gT pzq
zezT
ˆ
1`z2
R2
˙
dz “ż
Γ1
gT pzq
zezT
ˆ
1`z2
R2
˙
dz, Γ1 “ Γ1 `˜Γ1
etż
˜Γ1
gT pzq
z
ˆ
1`z2
R2
˙
ddz “ 0 car la fonction est holomorphe sur l’ouvert
convexe tRez ă 0u
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
2iπ
ż
Γ1
gT pzq
zezT
ˆ
1`z2
R2
˙
dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď1
2πL´
Γ1
¯
supzPSupp Γ1
ˆ
|gT pzq|
|z|eRezT
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1`z2
R2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
˙
Emily Clement page 140
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Or @Rez ă 0
|gT pzq| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Tż
0
f ptq e´ztdt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďM
Rż
0
e´ztdt
“M
„
´e´Rezt
Rez
T
0
ďMe|Rez|T
|Rez|
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1
2iπ
ż
Γ1
gT pzq
zezT
ˆ
1`z2
R2
˙
dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďR
2Rsup
Reză0,|z|“R
Me|Rez|T
|Rez|eRezT
2
R|Rez|
On en déduit :
|F p0q| “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
g p0q ´
Tż
0
f ptq dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď2M
R`
1
2π
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
Γ1
g pzq ezT
z
ˆ
1`z2
R2
˙
dz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Il reste à démontrer que :
limTÑ`8
ż
Γ1
g pzq ezT
z
ˆ
1`z2
R2
˙
dz “ 0
Soit γ1 : ra, bs Ñ C la paramétrisation de Γ1.
ż
Γ1
g pzq ezT
z
ˆ
1`z2
R2
˙
dz “bż
a
g pγ1 ptqq
γ1 ptqeγ1ptqT
˜
1`γ1 ptq
2
R2
¸
γ11 ptq dt
Comme @t P sa, br Re pγ1 ptqq ă 0, limTÑ`8
eγ1ptqT “ 0 pour tout t P sa, br
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
f pγ1 ptqq eγ1ptqT
γ1 ptq
˜
1`γ1 ptq
2
R2
¸
γ11 ptq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď|g pγ1 ptqq| |γ
11 ptq|
|γ1 ptq|
˜
1`|γ1 ptq|
2
R2
¸
P L1pra, bsq
Emily Clement page 141
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
D’après le théorème de convergence dominée, on obtient :
limTÑ`8
ż
Γ1
g pzq ezT
z
ˆ
1`z2
R2
˙
dz “ 0
En particulier, DT0 ą 0 tel que @T ě T0 :ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
g p0q ´
Tż
0
f ptq dt
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď ε
Conclusion : l’intégrale`8ż
0
f ptq dt converge.
Retour à la démonstration du théorème des nombres premiers :@Rez ą 1 :
`8ż
1
Θ pxq
xz`1dx
looooomooooon
bien définie car |Θpxq
xz`1 |“Θpxq
xRez`1“Op1
xRez q pxÑ`8q
`8ż
1
1
xz`1
˜
ÿ
pPP,pďxln p
¸
dx
“
`8ż
1
˜
ÿ
pPP1rp,`8r pxq
ln p
xz`1
¸
dx par Fubini
“ÿ
pPPln ppq
`8ż
1
p...q
“ÿ
pPPln p
„
x´z
´z
`8
p
“1
z
ÿ
pPP
ln p
pz“
1
zφ pzq
Justification de Fubini :
—`8ż
1
˜
ÿ
pPP
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1rp,`8r pxqln p
xz`1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
¸
dx “`8ż
1
Θ pxq
eRez`1dx ă `8
— @Rez ą 1 φ pzq “ z
`8ż
1
Θ pxq
xz`1dx “ z
`8ż
0
Θ`
et˘
e´pz`1qtetdt “ z
`8ż
0
Θ`
et˘
e´ztdt
Emily Clement page 142
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
On considèreg pzq “ φ pz ` 1q ´
1
z
On sait que la fonction φ est une fonction méromorphe sur"
Rez ą1
2
*
dont
les pôles sont tous simples données par :— z “ de résidu 1
— L’ensemble des zéros z0 de ζ dans"
1
2ă Rez ă 1
*
de résidu ´m où
m est l’ordre de z0 comme zéro de ζcar on a montré que @Rez ą 1 ζ pzq ‰ 0 @Rez “ 1 , ζ pzq ‰ 0
La fonction f est méromorphe sur"
Rez ą ´1
2
*
dont les pôles sont tous
simples donnés à priori par les points z “ z0 ´ 1 où z0 est un zéro de ζ dans"
1
2ă Rez ă 1
*
et z “ 0.
Or comme φ admet un pôle simple de résidu 1 en z “ 1, Dδ ą 0 @ |z ´ 1| ă δ
φ pzq “1
z ´ 1` h pzq, h est une fonction holomorphe sur B p1, δq
@ |z| ă δ, φ pz ` 1q ´1
z“
1
pz ` 1q ´ 1` h pz ` 1q “
1
z“ h pz ` 1q
z “ 1 est une fausse singularité pour g, g se prolonge en une fonction holo-morphe sur un voisinage de zéro.Comme @z P C,Rez “ 1, z ‰ 1 ζ pzq ‰ 0, g n’a pas de pôle sur iR donc g estholomorphe au voisinage de tout point de l’axe imaginaire pur.@Rez ą 0,
g pzq “ φ pz ` 1q ´1
z“ pz ` 1q
`8ż
0
Θ`
et˘
e´pz`1qtdt´1
z
“ 1` pz ` 1q
»
–
`8ż
0
Θ`
et˘
e´te´ztdt´1
z
fi
fl
“ 1` pz ` 1q
`8ż
0
`
Θ`
et˘
e´t ´ 1˘
e´ztdt
On définit @Rez ą 0 :
H pzq “
`8ż
0
`
Θ`
et˘
e´t ´ 1˘
e´ztdt “g pzq ´ 1
z ` 1
Emily Clement page 143
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
qui est une fonction holomorphe sur tRez ą 0u et @z0 P iR Dr0 ą 0 tel quela fonction soit holomorphe sur B pz0, r0q car g n’a pas de pôle sur l’axe ima-ginaire.Montrons que t ÞÑ Θ
`
et˘
e´t ´ 1 est borné.On sait que Dc ą 0, @x ě 0 Θ pxq ď cx@t ě 0,
ˇ
ˇθ`
et˘
e´t ´ 1ˇ
ˇ ď 1` Cete´t ď C ` 1
Conclusion : L’intégrale`8ż
0
`
Θ`
et˘
e´t ´ 1˘
dt converge au sens des inté-
grales impropres.Assertion : Θ pxq „
xÑ`8x
Supposons lim supxÑ`8
Θ pxq
x“ lim
xÑ`8
ˆ
supyěx
Θ pyq
y
˙
Dλ ą 1, Dx0 ě 1, @x ě x0, supyěx
Θ pyq
yą λ
On peut construire une suite pynqně0 strictement croissante telle que :
$
’
’
’
&
’
’
’
%
@n ě 0, yn ě 1
limnÑ`8
yN “ `8
Θ pynq
yně λ
λynż
yn
Θ ptq ´ t
t2dt ě
λynż
yn
Θ pynq ´ t
t2dt
ě
λynż
yN
λyn ´ t
t2dt
“
λż
1
λyn ´ yns
y2ns
2ds “
λż
1
1´ s
s2ds ą 0
@n ě 0,
0 Ð
λynż
0
Θ pxq ´ x
x2dx
loooooooomoooooooon
Ñe
´
ynż
0
Θ pxq ´ x
x2dx
looooooomooooooon
Ñe
ď
λż
1
λ´ s
s2ds ą 0
Emily Clement page 144
CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS
Contradiction donclim supxÑ`8
Θ pxq
xď 1
Même raisonnement pour montrer que lim infΘ pxq
xě 1. Donc lim
xÑ`8
Θ pxq
x“
lim supxÑ`8
Θ pxq
x“ 1 donc lim
xÑ`8
Θ pxq
x“ 1
Θ pxq „zÑ`8
x
Fin de la démonstration :@x ě 2,
Θ pxq “ÿ
pPP,pďxln p ď
ÿ
pPP,pďxlnx “ Π pxq lnx
où Π pxq “ # tp P P , p ď xuSoit 0 ă ε ă 1@x ě 2,
Θ pxq “ÿ
pPP,pďxln p
ěÿ
pPP,x1´εăpďx
ln p ě ln`
x1´ε˘
#
p P P , x1´εă p ď x
(
ě p1´ εq lnx`
Π pxq ´#
p P P , p ď x1´ε(˘
ě p1´ εq`
ln pxqΠ pxq ´ x1´ε˘
@x ě 2,Θ pxq
xď
Π pxqx
lnx
ď1
1´ ε
Θ pxq
x`
lnx
xεcar
1
1´ εΘ pxq ` x1´ε lnx ě
Π pxqx
lnx
Donc :
lim supxÑ`8
Π pxqx
lnx
ě lim infnÑ`8
Θ pxq
x“ 1
lim supxÑ`8
Π pxqx
lnx
ď1
1´ ε
c’est vrai pour 0 ă ε ă 1, par passage à la limite quand εÑ 0
lim supxÑ`8
Π pxqx
lnx
ď 1 donc lim supxÑ`8
Π pxqx
lnx
“ lim infxÑ`8
Π pxqx
lnx
“ 1 donc limxÑ`8
Π pxqx
lnx
“
1Π pxq „
xÑ`8
x
lnx
Emily Clement page 145
Chapitre 6
Fonction Thêta
I Formule sommatoire de PoissonOn rappelle que la transformée de Fourier d’une fonction f P L1
pRq estdéfinie par :
@ξ P R, pFfq pξq “ ˆf pξq “
ż
R
f pxq e´2iπxξdx
Le théorème de régularité des intégrales à paramètre et le lemme de Riemann-Lebesgue assure que f P C
Ñ0pRq ie f P C0
pRq et lim|ξ|
ˇ
ˇ
ˇf pξq
ˇ
ˇ
ˇ“ 0 De plus la
transformé de Fourier est un isomorphisme de l’espace de Schwarz :
S pRq “"
f P C8 pRq , @p, q ě 0, supxPR
|xpBpxf pxq| ă `8
*
d’inverse :`
F´1f˘
pxq “
ż
R
f pξq e2iπxξdξ
En utilisant la densité de S pRq dans L2pRq et le théorème de prolongement
des applications uniformément continues :
F : S pRq Ă L2pRq Ñ L2
pRq ( complet)
uniformément continue car linéaire et isométrique.On peut prolonger la transformé de Fourier en une isométrie bijective deL2pRq
@f P L2pRq , fL2pRq “ fL2pRq
qui coïncide avec la définition en terme d’intégrable seulement si f P L2pRqX
L1pRq.
146
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
@f P S pRq :`8ÿ
n“´8
f pnq “`8ÿ
n“´8
f pnq
Théorème 6.1 (Formule sommatoire de Poisson).
Démonstration.
On considère F pxq “`8ÿ
n“´8
f px` nq où f P S pRq
Montrons que la série converge normalement sur tout compact de R.Comme f P S pRq , Dc ą 0, @x P R, |f pxq| ď
c
1` x2.
Soit K un compact de R, DN0 P N˚ tel que K Ă r´N0, N0s.`8ÿ
n“´8
supxPK
|f px` nq| ď c`8ÿ
n“´8
sup|x|ďN0
1
1` px` nq2
On a @ |x| ď N0 @ |n| ě N0 ` 1 :
|x` n| ě |n| ´ |x| ě |n| ´N0 ě 1
Donc :`8ÿ
n“´8
supxPK
|f px` nq| ď Cÿ
|n|ďN0
1` Cÿ
|n|ěN0`1
1
1` p|n| ´N0q2 “ p2N0 ` 1qC ` 2C
`8ÿ
n“1
1
1` n2ă `8
Comme @p ě 0, f ppq P S pRq on a également que la série`8ÿ
n“´8
f ppq px` nq
converge normalement sur tout compact de R.
Il s’ensuit que F P C`8 pRq et @p P N, @x P R F ppq pxq “`8ÿ
n“´8
f ppq px` nq
On remarque que F est 1-périodique pour un changement d’indice de som-matoire donc F P C`8 pTq où T “ RZ On rappelle que si f P Cp pTq alorsses coefficient pck pfqqkPZ vérifie :
ck pfq “ Oˆ
1
|k|p
˙
quand |k| Ñ `8
et que si f P C0pTq telle que
ÿ
kPZ
|ck pfq| ă `8 alors @x P R f pxq “
`8ÿ
k“´8
ck pfq e2iπkx où k P Z avec convergence normale sur R de la série de
Emily Clement page 147
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
fonction.Cette formule est vraie en particulier dès que f P C2
pTq, @k P Z :
ck pF q “
1ż
0
F pxq e´2iπkxdx
“
1ż
0
˜
`8ÿ
n“´8
f px` nq e´2iπkx
¸
dx
“
`8ÿ
n“´8
1ż
0
f px` nq e´2πikxdx “`8ÿ
n“´8
n`1ż
n
f pyq e´2iπkpy´nqdy
“
ż
R
f pyq e´2iπkydy “ f pkq
On a :
@x P R, F pxq “`8ÿ
k“´8
ck pF q e2iπkx
“
`8ÿ
k“´8
f pkq e2iπkx
avec convergence normale sur R des séries.En x “ 0 on obtient :
F p0q “`8ÿ
n“´8
f pnq “`8ÿ
n“´8
f pnq
On rappelle que la transformé de Fourier de la fonction gaussienne :
@x P R, f pxq “ e´a2x2
P S pRq où a ą 0
est donnée par :
@ξ P R, f pξq “c
2π
ae´
2π2ξ2
a
ˆe´πξ2“ e´πξ
2
Emily Clement page 148
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
@z P C,Rez ą 0
`8ÿ
n“´8
ezn2
2 “
c
2π
z
`8ÿ
n“´8
e´2π2n2
z
où?z “ e
12
Log z avec Log la détermination principale du logarithmesur CzR´.Les séries de fonctions holomorphes convergent normalement sur toutcompact de tRez ą 0u.
Corollaire 6.1.
Démonstration.Si a ą 0 la formule de Poisson par f pxq “ e´
ax2
2 donne :`8ÿ
n“´8
e´an2
2 “
c
2π
2
`8ÿ
n“´8
e´2π2n2
a
Soient :
F1 pzq “`8ÿ
n“´8
ezn2
2 et F2 pzq “`8ÿ
n“´8
e´2π2n2
z
Montrons que ces deux séries convergent normalement sur tout compact detRez ą 0u.
Soit K un compact de tRez ą 0u, Dδ ą 0 tel que K Ă tRez ě δuXBˆ
0,1
δ
˙
:
`8ÿ
n“´8
supzPK
ˇ
ˇ
ˇezn
2
2ˇ
ˇ
ˇď
`8ÿ
n“´8
e´δn2
2 ă `8 car e´δ|n|2
2 “ onÑ`8
ˆ
1
|n|2
˙
8ÿ
n“´8
supzPK
ˇ
ˇ
ˇe´2πn2
2
ˇ
ˇ
ˇď
8ÿ
n“´8
supzPK
e2πRepzqn2
|z|2 car1
z“
z
|z|2
ď
`8ÿ
n“´8
e´2πδ3n2
ă 8 car | |z| ď1
δcar e´2πδn2
“ 08
ˆ
1
n2
˙
Les fonctions F1 pzq etc
2π
zF2 pzq sont holomorphes sur l’ouvert connexe
tRez ą 0u, coïncident sur R˚` donc sont égales sur tRez ą 0u
Emily Clement page 149
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
II Fonction Thêta
La fonction Thêta est définie par :
@z P C, @τ P C, Imτ ą 0, θ pz, τq “`8ÿ
n“´8
eiπn2τe2iπnz
Définition 6.1 (Fonction Thêta).
La fonction θ est bien définie car si Imτ ą 0 la série en z CV normalementsur tout compact de C.Soit K un compact de C , il existe R ą 0 tel que K Ă B p0, Rq
`8ÿ
n“´8
supzPK
ˇ
ˇ
ˇeiπn
2τeiπnzˇ
ˇ
ˇď
`8ÿ
n“´8
e2π|n|Re´πImτn2
ă `8
car e2π|n|Re´πImτn2
“ O´
e´π2Imτn2
¯
quand |n| Ñ `8
1. @τ P C tel que Imτ ą 0, l’application z ÞÑ θ pτ, zq est unefonction entière.
2. @z P C, @Imτ ą 0 θ pz ` 1, τq “ θ pz, τq 1-périodique en z.3. @z P C, @Imτ ą 0 θ pz ` τ, τq “ e´iπτe´2iπzθ pz, τq
Proposition 6.1.
Démonstration.
1. OK car à τ fixé, z ÞÑ θ pz, θq est une série de fonctions entièresconvergeant normalement sur tout compact de C
2. @z P C, @Imz ą 0 :
θ pz ` 1, τq “`8ÿ
n“´8
eiπn2τ e2iπnpz`1qlooomooon
“e2iπnz
“ θ pz, τq
Emily Clement page 150
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
3. @z P C, @Imτ ą 0 :
θ pz ` τ, τq “`8ÿ
n“´8
eiπn2τe2iπnpz`tauq
“
`8ÿ
n“´8
eiπτpn2`2nqe2iπnz
“ eiπze´2iπz`8ÿ
n“´8
eiπp`1qτe2iπpn`1qz
loooooooooooomoooooooooooon
θpz,τq
@z P C, @Imz ą 0 :c
τ
iθ pz, τq “ e´
iπz2
τ θ
ˆ
z
τ,´
1
τ
˙
oùc
τ
i“ exp
ˆ
1
2Log
´τ
i
¯
˙
: où Log est la détermination principale
du logarithme.
Théorème 6.2 (Identité fonctionnelle pour la fonction θ).
Rem : Re´τ
i
¯
“ Imτ ą 0
On remarque Imˆ
´1
τ
˙
“ Imˆ
´z
|z|2
˙
“Imτ|z|2
ą 0
Démonstration.On considère @x P R f pxq “ eiπx
2τe2iπxz où z P C, Imτ ą 0
f pxq “ e´πImτx2
e´2πxImzeiπx2Reτe2iπxRez
P S pRq
On commence par vérifier :
@Rez ą 0, @ξ P R,ż
R
e´zx2
2 e´2iπxξdx “c
2π
ze´
2π2
zξ2
Emily Clement page 151
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
C’est OK si z “ a P R˚` car ˆe´a2x2pξq “
c
2π
ae´
2π2ξ2
a
Fonction holomorphe sur tRez ą 0u par le théorème de régularité des inté-grales à paramètres + tRez ą 0u ouvert connexe.@ξ P R :
e´iπτz2
ż
R
eiπτx2
e´2iπxξdx “c
2π
´2iπτe´i
πz2
τ e2π2
2iπτξ2
“
c
i
τe´iπ
z2
τ e´iπτξ2
Car ´Re p2iπτq “ 2πIm pτq ą 0 z “ ´2iπτD’autre part : @ξ P R, @y P R :
e´iπτz2
ż
R
eiπτpx`yq2
e´2iπxξdx “ e´iπz2
τ
¨
˝
ż
R
e2πτx2
e´2iπxξdx
˛
‚e2iπyξ
“
c
i
τe´i
πz2
τ e´iπξ2
τ e2iπyξ
où x “ x` y On définit :@z P R, @Imτ ą 0, @η P C :
H pηq “
ż
R
eiπτpx`ηq2
e´2iπxξdx
Montrons que H est une fonction entière.Soit K un compact de C : DR ą 0 tel que K Ă B p0, Rq :
supηPK
ˇ
ˇ
ˇeiπτpx`ηq
2
e´2iπxξˇ
ˇ
ˇď sup|η|ďR
eπx2Repiτqe2πxRepiτηqeπ|τ |R
2
ď e´IMτπx2
e2π|τ |R|x|eπ|τ |R2
P L1pRq
H est une fonction entière.Par connexité de C on obtient : @ζ P C, @z P C, @Imτ ą 0 :
e´iπτz2
ż
R
eiπτpz`ηq2
e´2iπxξdx “
c
i
τe´i
πz2
τ e´iπτξ2
e2iπηξ
@x P R f pξq “
ż
R
eiπx2τe2iπxze2iπxξdx “ e´iπ
z2
τ
c
i
τe´i
πz2
τ e´πξ2
τ e2iπzτξ
Emily Clement page 152
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
On en déduit de la formule sommatoire de Poisson :c
τ
i
`8ÿ
n“´8
eiπn2τe2iπnz
looooooooomooooooooon
“θpz,τq
“
`8ÿ
n“´8
e2iπz2
τ eiπz2
τ e2iπzτn“ e´i
πz2
τ θ
ˆ
z
τ,´
1
τ
˙
On considère le cas particulier z “ 0 et τ “ it où t ą 0On définit :
@t ą 0, θ ptq “ θ p0, itq “`8ÿ
n“´8
e´in2t“
c
i
itθ
ˆ
0,´1
it
˙
La fonction θ ptq “`8ÿ
n“´8
e´πn2t définie sur R˚` satisfait à l’identité
fonctionnelle :@t ą 0, θ ptq “
1?tθ
ˆ
1
t
˙
Corollaire 6.2.
III Zéros de la fonction zêta de Riemann
@k P N˚,ζ p´2kq “ 0
Théorème 6.3 (Zéros "triviaux"de la fonction zêta de Riemann).
Démonstration.@z P C,Rez ą
1
2
ζ pzq “
`8ż
0
e´ttz´1dt on effectue le changement de variable t “ πn2y, dy “ πn2dy
“`
πn2˘zyz´1dy
“ πzn2z
`8ż
0
e´πn2yyz´1dy
Emily Clement page 153
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
Il s’ensuit :@Rez ą
1
2
π´zΓ pzq ζ p2zq “`8ÿ
n“1
1
n2zΓ pzqπ´z
“
`8ÿ
n“1
¨
˝
`8ż
0
e´πn2yyz´1dy
˛
‚
Comme`8ÿ
n“1
¨
˚
˚
˚
˝
`8ż
0
ˇ
ˇ
ˇe´πn
2yyz´1ˇ
ˇ
ˇ
looooomooooon
e´πn2yyRez´1
dy
˛
‹
‹
‹
‚
“ π´RezΓ pRezq ζ p2Rezq ă `8
On peut applique le théorème de Fubini :
@Rez ą1
2:
π´zΓ pzq ζ p2zq “
`8ż
0
yz´1
˜
`8ÿ
n“1
e´πn2y
¸
looooooomooooooon
θpyq´12
dy
où θ ptq “`8ÿ
n“´8
e´πn2t
Donc :
π´zΓ pzq ζ p2zq “
`8ż
1
θ pyq ´ 1
2yz´1dy `
1ż
0
θ pyq ´ 1
2yz´1dy
“
`8ż
1
θ pyq ´ 1
2yz´1dy `
`8ż
1
θ`
1x
˘
´ 1
2
ˆ
1
x
˙z´1 dxx2
On rappelle que @t ą 0, θ ptq “1?tθ
ˆ
1?t
˙
“
Emily Clement page 154
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
p˚q : x “1
y, dy “ ´
dxx2
π´zΓ pzq ζ p2zq “
`8ż
1
θ pyq ´ 1
2
´
yz´1` y´
1z´z¯
dy ``8ż
1
ˆ
y
2
´ 12´z
´y
2
´1´z˙
dy
looooooooooooooomooooooooooooooon
«
12 y´z´ 1
2
´z` 12
´12 y´z
´z
ff`8
1
“
`8ż
1
θ pyq ´ 1
2
´
yz´1` y
´12´z¯
dy `1
2z ´ 1´
1
2z
On obtient :@Rez ą
1
2:
π´zΓ pzq ζ p2zq “
`8ż
1
θ pyq ´ 1
2
´
yz´1` y´
12´z¯
dy
looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon
“F pzq
`1
2z ´ 1´
1
2zp1q
Montrons que F est une fonction entière.
On remarque que @y ě 1 z P C ÞÑθ pyq ´ 1
2
´
yz´1` y´
12´z¯
est entière.
Soit K un compact de C, DR ą 0 tel que K Ă B p0, Rq.
supzPK
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
θ pyq ´ 1
2
´
yz´1` y´
12´z¯
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ďθ pyq ´ 1
2yR´1
P L1pr1,`8rq
Or @r ě 0,Mr “ supyě1
yret ă `8 donc :
@y ě 1,
θ pyq ´ 1
2yR`1
“ 2`8ÿ
n“1
e´πn2yyR`1
“ 2`8ÿ
n“1
e´πn2y`
πn2y˘R`1 1
pπn2qR`1
ď 2MR´1
πR`1
`8ÿ
n“1
1
pn2qR`1
ă `8
Emily Clement page 155
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
Doncθ pyq ´ 1
2yR´1
“ Oˆ
1
y2
˙
yÑ`8
Dans l’équation p1q :
Terme de gauche : Fonction holomorphe sur Cz"
´NN,1
2
*
Terme de droite, premier membre : fonction entière.
Terme de : fonction holomorphe sur Cz"
0,1
2
*
Comme Cz"
´N,1
2
*
est un ouvert connexe, on obtient par prolongement
analytique :
@z P Cz"
´N,1
2
*
π´zΓ pzq ζ p2zq “ F pzq `1
2z ´ 1´
1
2z
@k P N˚ : pz ` kqΓ pzq π´zζ p2zq “ pz ` kqF pzqloooooomoooooon
ÝÑ0zÑ´k
`pz ` kq
ˆ
1
2z ´ 1´
1
2z
˙
loooooooooooooomoooooooooooooon
ÝÑ0zÑ´k
Or : pz ` kqΓ pzq π´zζ p2zq ÝÑzÑ´k,‰
p´1qk
k!πkζ p´2kq car Γ admet un pôle
simple en z “ ´k de résidup´1qk
k!On obtient que donc @k P N˚, ζ p´2kq “ 0En résumé :
— On a démontré que la fonction zêta de Riemann ζ définie sur Cz t1une s’annule pas sur tz P C,Rez ą 1u
— On a montré que @k P N˚ ζ p´2kq “ 0Ces entiers pairs strictement négatifs sont appelés zéros triviaux deζ, on peut montrer que ce sont les seuls zéros de ζ dans l’ouverttz P C,Rez ă 0u
IV Un peu de culture : L’hypothèse de Rie-mann (1859)
Hypothèse de Riemann (1859)
Emily Clement page 156
CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA
Si z P C tel que 0 ď Rez ď 1, z ‰ 1, ζ pzq “ 0 dans Rez “1
2.
L’hypothèse de Riemann est équivalente au fait que :
Π pxq “ # tp P P : p ď xu “ li pxq `O`?
z lnx˘
ou li est le logarithme intégral :
li pxq “
xż
2
dtln t
“x
lnx`p1!qx
plnxq2`p2!qx
plnxq3` ¨ ¨ ¨ `
pn!qx
plnxqn`1 ` o
ˆ
x
plnxqn`1
˙
quand xÑ `8 De La Vallée Paussin et Hadamard est démontré en 1896 quela fonction ζ n’admet pas de zéros sur tz P C : Rez “ 1u z t1u. Ceci a permisd’établir le théorème des nombres premiers.
Π pxq „xÑ`8
x
lnx„
xÑ`8li pxq
Il est connu que la fonction zêta admet une infinité de zéros sur la droite"
Rez “1
2
*
.
En 2004, Gourdon et Demichel ont calculé 10000 milliards de zéros de la
fonction ζ tous de partie réelle1
2mais la fonction zêta n’oscille pas beaucoup
dans le domaine explorée donc des possibles contre-exemples peuvent peut-être exister beaucoup plus loin...En 1929, Convey à la suite des travaux de Hardy, Selberg et Levinson, adémontré qu’au moins 40% des zéros de la fonction ζ sont des parties réelles1
2.
Weil a prouvé que l’hypothèse de Riemann est équivalente à la négativitéd’une certaine forme quadratique.D’autres formulations analogues équivalentes ont été démontrées par Hasseet Grothendieck entre 1930 et 1975. Depuis les années 70, Alain Connes a dé-veloppé une géométrie non commutative. Dans ce cas, si on savait démontrerune formule de trace en on déduirait l’hypothèse de Riemann en l’appliquantà certains système dynamiques.
Problème de type ouvert :
Il s’agit de l’un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900 (le hui-tième), l’un des sept problèmes du millénaire, posés en 2000 par l’Institut demathématiques Clay et l’un des 18 problèmes posés par Steve Smal (médailleFields 1966) en 2000 pour l’Union mathématique internationale.
Emily Clement page 157
Chapitre 7
Méthode de la phase stationnaire
Objet : Étudier les intégrales à paramètre.
I ptq “
ż
R
eitϕpxqa pxq dx
ϕ pxq : phase.a pxq : fonction amplitude.où a P C`80 pR,Cq, ϕ P C8 pR,Rq : la phase est à valeur réelle !Dans l’asymptotique tÑ `8 :
I Phase non stationnaire
Soient a P C`80 pRq ϕ P C8 pR,Rq.Si @x P Supp a, ϕ1 pxq ‰ 0, alors :
@N ě 1, I ptq “ OtÑ`8
ˆ
1
tN
˙
Proposition 7.1.
Remarque 7.1.
1. Si ϕ pxq “ εx où ε P t˘1u alors @x P R, ϕ1 pxq “ ε ‰ 0.On retrouve le fait que si ϕ P C80 pRq alors @N P N lim
|ξ|Ñ`8|ξ|N |a pξq| “
0
I ptq “
ż
R
eiεtxa pxq dx “ a pεtq
158
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
2. La preuve suivante se généralise facilement en tout dimension finien ě 1.
Démonstration.Comme Supp a est non compact, Dc ě 0, @x P Supp a |ϕ1 pxq| ě c ą 0
On définit L “ϕ1 pxq
|ϕ1 pxq|2Bx (en dimension n :
∇ϕ pxq|∇ϕ pxq|2
¨∇x )
L`
eitϕpxq˘
“it pϕ1 pxqq2
|ϕ1 pxq|2eitϕpxq “ iteitϕpxq
@t ą 0,
I ptq “
ż
R
eitϕpxqa pxq dx
“
ż
R
1
itL`
eitϕpxq˘
a pxq dx
“
ż
R
1
it
ϕ1 pxq
|ϕ1 pxq|2Bx
`
eitϕpxq˘
a pxq dx
“IPP
1
it
ż
R
eitϕpxq Bx
ˆ
ϕ1 pxq
|ϕ1 pxq|2a pxq
˙
dxlooooooooooooomooooooooooooon
“LT aPC80 pRq
C’est une intégrale de même type avec une fonction amplitude différenteindépendante de t.@N ě 1, @t ą 0 :
I ptq “
ż
R
ˆ
1
itL
˙N`
eitϕpxq˘
a pxq dx
“1
pitqN
ż
R
eitϕpxq`
LT˘N
a pxqlooooomooooon
PC80 pRq indépedante de t
dx avec N intégrations par parties
@N ě 1, @t ą 0 :
|I ptq| ď1
tN
ż
R
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
`
LT˘N
a pxqlooooomooooon
PC80 pRq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
dx
“ Oˆ
1
tN
˙
tÑ`8
Emily Clement page 159
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
II Phase stationnaire
On s’intéresse aux intégrales : I ptq “ż
R
eitϕpxqa pxq dx où
#
ϕ P C8 pR, RRqa P C80 pR,Cq
dans le cas où il existe x0 P Supp a tel que ϕ1 px0q ´ 0 et ϕ2 px0q ‰ 0.On rappelle que le résultat de la méthode de Laplace traite le cas des phasesimaginaires pures.
K ptq “
bż
a
etψpxqa pxq dx “bż
a
eitp´iψpxqqa pxq dx
où I “ sa, br est un intervalle ouvert (borné ou non), ψ P C8 pI,Rq et a PC0pI,Cq tel que :
1. @t ą 0
bż
a
etψpxq |a pxq| dx ă `8
2. Da ă x0 ă b, Dδą0 tel que a ă x0 ´ δ0 ă x0 ` δ0 ă b et$
’
&
’
%
@x P sa, br z tx0u , ψ pxq ă ψ px0q
ψ pxq ă ψ px0q , x P sa, x0 ´ δ0r Y sx0 ` δ0, br
φ1 px0q “ 0, ψ2 px0q ă 0, a px0q ‰ 0Dans ce cas :
K ptq „tÑ`8
d
2π
|ψ2 px0q| tetψpx0qa px0q
Exercice 7.1.Donner un équivalent de K ptq quand tÑ `8 :
Si Dk ě 1, @1 ď j ď 2k ´ 1, ψpjq px0q “ 0, φp2kq px0q ă 0On remarque que la méthode de Laplace ne requiert pas plus de ré-gularité que la continuité pour la fonction amplitude a P C0
pI,Cqcontrairement à la méthode de la phase stationnaire.
Emily Clement page 160
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
Soient a P C80 pR,Cq , ϕ P C8 pR,Rq une phase réelles.Supposons que D!x0 P Supp a tel que ϕ1 px0q “ 0.On suppose de plus que ϕ2 px0q ‰ 0.Alors @N ě 0, il existe des nombres complexes pAkq1ďkďN indépen-dants de t tel que, @t ě 1 :
I ptq “
ż
R
eitϕpxqa pxq dx
“ a px0q eitϕpx0q
d
2π
|ϕ2 px0q| teiπ4signpϕ2px0qq `
Nÿ
k“1
Ak
tk`12
eitϕpx0q `RN ptq
où DcN ą 0 @t ě 1 |Rn ptq| ďcN
tn`32
En particulier, si a px0q ‰ 0 :
I ptq „tÑ`8
d
2π
|ϕ2 px0q| teiπ4signpϕ2px0qqeitϕpx0qa px0q
Théorème 7.1.
Remarque 7.2. On verra dans la preuve que l’on peut calculer explicite-ment tous les termes Ak :
Démonstration.On a d’après la formule de Taylor :
@x P R, ϕ pxq “ ϕ px0q`ϕ1px0q px´ x0q`
¨
˝
1ż
0
p1´ tqϕ2 pp1´ tqx0 ` txq dt
˛
‚
looooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon
ψ0pxq
px´ x0q2
ψ0 P C8 pR,Rq vérifie ψ0 px0q “ ϕ2 px0q
1ż
0
p1´ tq dt “1
2ϕ2 px0q ‰ 0
Posons ψ pxq “1
ψ0 px0qψ0 pxq P C8 pR,Rq, ψ px0q “ 1
@x P R, ϕ pxq “ ϕ px0q ` sign pϕ2 px0qq1
2|ϕ2 px0q|ψ pxq px´ x0q
2
Emily Clement page 161
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
On définit :
$
’
&
’
%
y pxq “ px´ x0qa
ψ pxq au voisinage de x0
y1 pxq “a
ψ pxq ` px´ x0qψ1 pxq
2a
ψ pxq, y1 px0q “ 1
Dδ ą 0 tel
que y : sx0 ´ δ0, x0 ` δ0r Ñ R est un C8 difféomorphisme de sx0 ´ δ, x0 ` δrsur sy px0 ´ δq , y px0 ` δqr
Soit χ P C80 pR, r0, 1sq tel que
$
’
&
’
%
Suppχ Ă sx0 ´ δ0, x0 ` δ0r
χ ” 1 sur„
x0 ´δ
2, x0 `
δ
2
I ptq “ I1 ptq`
I2 ptq
où
$
’
’
’
’
&
’
’
’
’
%
I1 ptq “
ż
R
eitϕpxqa pxqχ pxq dx
I2 ptq “
ż
R
eitϕpxqa pxq p1´ χ pxqq dx “ Oˆ
1
tN
˙
, @N ě 1, quand tÑ `8
a pxq p1´ χ pxqq P C80 pRq et @x P Supp pa p1´ χqq, ϕ1 pxq ‰ 0.On a :
I1 ptq “ eitϕpx0q
ż
R
ˆ
eitsgnpϕ2px0qq
2
˙
|ϕ2 px0q|ψ pxq px´ x0q2 χ pxq a pxq dx
“ eitϕpx0q
x0`δż
x0´δ
eit2sgnpϕ2px0qq|ϕ2px0q|ypxq
2
χ pxq a pxq dx
“ eitϕpx0q
ypx0`δqż
ypx0´δq
eit2sgnpϕ2px0qq|ϕ2px0q|y2
b pyq dy
où b pyq “χ pg pyqq a pg pyqq
y1 pg pyqqP C80 pΩq, b p0q “
χ pc0q a px0q
y1 px0q“ a px0q car
g p0q “ x0.Par théorème de convergence dominée :
I1 ptq “ eitϕpx0q limεÑ0
ż
R
b pyq e´εy2
eity2ϕ2px0qy2
loooooooomoooooooon
PL2pRq
dy
carˇ
ˇ
ˇb pyq e´εy
2
eit2ϕ2px0qy2
ˇ
ˇ
ˇď |b pyq| P L1
pRq car b P C80 pR,Cq
I1 ptq “ eitϕpx0q limεÑ0,εą0
´
b pyq e´pε´it2ϕ2px0qy2q
¯
L2pRq
“ eitϕpx0q limεÑ0ą
b pξqF´
e´pε´it2ϕ2px0qqy2
¯
pξqL2pRq
Emily Clement page 162
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
On a vu au chapitre précédent :@Rez ą 0, @ξ P Rż
R
e´z2x2
e´2iπxξdx “c
2π
ze´
2π2
zξ2
en posantz
2“ ε´
it
2ϕ2 px0q
“ eitϕpx0q limεÑ0ą
ż
R
b pξq?π e´
12
logpε´ it2ϕ2px0qq
looooooooomooooooooon
“e´p 1
2 lnpε2` t24 pϕ2px0q
2q´ 12 iArgpε´
i2 tϕ
2px0qqqq
´ e´π2pε´i t2ϕ
2px0qqε2` t
24 pϕ
2px0qq2ξ2
dξ
“ eitϕpx0q
ż
R
b pξq e´ 1
4ln´
t2
4|ϕ2px0q|
¯2
loooooooomoooooooon
“p t2 |ϕ2px0q|q
´12
`eiπ4sgnpϕ2px0qqe
2i π2
tϕ2px0qξ2
dξ
C’est licite car :
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
b pξq e´π2 pε´
it2 ϕ2px0qq
ε2` t24 ϕ
2px0qε2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď
ˇ
ˇ
ˇb pξq
ˇ
ˇ
ˇP L1
pRq car b P C80 pRq donc
B P S pRq
I1 ptq “ eiπ4sgnpϕ2px0qqeitϕpx0q
d
2π
t |ϕ2 px0q|
ż
R
b pξq ei
ˆ
2π2
tϕ2px0q
˙
ξ2
dξ
On utilise : @x P R, eix “Nÿ
n“0
pinqn
n!`pixqN`1
N !
1ż
0
p1´ tqN eitxdt
loooooooomoooooooon
“RN pxq
@x P R, @N ě 0, |Rn pxq| ď
1ż
0
p1´ tqN dt ď 1
I1 ptq “ eiπ4sgnpϕ2px0qqeitϕpx0q
d
2π
t |ϕ2 px0q|p
»
–
Nÿ
n“0
1
n!
ż
R
b pξqi2π2
tϕ2 px0qξ2
fi
fl
n
dξ
`
ż
R
b pξq1
N !
„
i2π2
tϕ2 px0qξ2
N`1
RN
ˆ
2π2ξ2
tϕ2 px0q
˙
dξq
On noteż
R
b pξq dξ “ b p0q “ a px0q
Emily Clement page 163
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
R
B pξq1
N !
„
i2π2
tϕ2 px0qξ2
N`1
RN
ˆ
2π2ξ2
tϕ2 px0q
˙
dξ
fi
fl ď1
tN`1
ˆ
2π2
|ϕ2 px0q|
˙N`11
N !
ż
R
ˇ
ˇ
ˇb pξq
ˇ
ˇ
ˇ|ξ|2N`2 dξ
“ Oˆ
1
tN`1
˙
I1 ptq “ eiπ4sgnpϕ2px0qqeitϕpx0qa px0q
d
2π
t |ϕ2 px0q|`
Nÿ
n“1
An
tn`12
eitϕpx0q`Oˆ
1
tN`1
˙
quand nÑ `8
III Application aux fonctions de BesselPour tout n P N, la fonction de Bessel de première espèce est définie par :
@z P C, In pzq “`8ÿ
k“0
p´1qk
2n`2k pk!q pn` kq!zn`2k
C’est une série entière de rayon de convergence 8On vérifie que In est solution de l’équation de Bessel d’indice entier n P N :
@z P C˚, Jn pzq “`8ÿ
k“0
p´1qk
2n`2k pk!q pn` kq!zn`2k
qui est une série entière de rayon de convergence infini.On vérifie que Jn est solution de l’équation de Bessel d’indice n P N :
@z P C˚, u2 pzq `1
zu1 pzq `
ˆ
1´n2
z2
˙
u pzq “ 0
On montre que :
@n P N, @z P C, Jn pzq “1
2π
2πż
0
eiz sin θe´inθdθ
On veut donner un développement asymptotique de Jn pxq quand x P R, xÑ`8.
@x P R, Jn pxq “1
2π
2πż
0
eix sin θe´inθdθ “ż
R
a pθq eixϕpθqdθ
Emily Clement page 164
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
où a pθq “1
2π1r0,2πs pθq e
´inθ et ϕ pθq “ sin θ on a :
@0 ď θ ď 2π, ϕ1 pθq “ cos θ, ϕ2 pθq “ ´ sin θ
Donc tθ P r0, 2πs , ϕ1 pθq “ 0u “
"
π
2,3π
2
*
et ϕ2´π
2
¯
“ ´1, et ϕ2ˆ
3π
2
˙
“ 1
Soient χ1 P C80´ıπ
2´π
4,π
2`π
4
”
, r0, 1s¯
tel que χ1 “ 1 sur”π
2´π
8,π
2`π
8
ı
et χ2 P C80ˆ
3π
2´π
4,3π
2`π
4
„
, r0, 1s
˙
telle que χ2 “ 1 sur„
3π
2´π
8,3π
2`π
8
Jn pxq “ An pxq `Bn pxq ` Cn pxq
où :
$
’
’
’
’
’
’
’
’
’
&
’
’
’
’
’
’
’
’
’
%
An pxq “
ż
R
a pθqχ1 pθq eixϕpθqdθ
Bn pxq “
ż
R
a pθqχ2 pθq eixϕpθqdθ
Cn pxq “
ż
R
p1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq a pθq eixϕpθqdθ
D’après le théorème
précédent,
An pxq “
c
2π
xe´i
π4 a
´π
2
¯
χ1
´π
2
¯
eixϕpπ2 q
loooooooooooomoooooooooooon
12πe´in
π2 eix
` OxÑ`8
ˆ
1
x32
˙
Bn pxq “
c
2π
xeiπ4 a
ˆ
3π
2
˙
χ3
ˆ
3π
2
˙
eixϕp3π2 q
looooooooooooooomooooooooooooooon
12πe´in
3πn2 e´ix“ 1
2πeiπ2 ne´ix
` OxÑ`8
ˆ
1
x32
˙
Donc :
Jn pxq “
c
2
πxcos
´
x´nπ
2´π
4
¯
` Cn pxq ` OxÑ`8
ˆ
1
x32
˙
De plus :
Cn pxq “1
2π
2πż
0
p1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq e´inθeix sin θdθ
Or :Bθ`
eix sin θ˘
“ ix cos θeix sin θ
Emily Clement page 165
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
Posons L “1
ix cos θBθ Alors :
@θ ıπ
2mod π, L
`
eix sin θ˘
“ eix sin θ
Par construction, il existe C ą 0 tel que @θ P r0, 2πsXSupp p1´ χ1 ´ χ2q , |cos θ| ěC Alors :
Cn pxq “1
2π
2πż
0
p1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq e´inθ 1
ix cos θBθ`
eix sin θ˘
dθ
“
„
1
2πp1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq e
´inθ 1
ix cos θeix sin θ
1
0
´1
2iπx
2πż
0
eix sin θBθ
ˆ
p1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq e´inθ
cos θ
˙
dθ
“1
x
2πż
0
eix sin θ 1
2iπBθ
ˆ
pχ1 pθq ` χ2 pθq ´ 1q e´inθ
cos θ
˙
dθ
En itérant les intégrations par parties, on montre que @n P N, Cn pxq “
OxÑ`8
ˆ
1
xn
˙
Ainsi Jn pxq “c
2
πxcos
´
x´π
4´ n
π
2
¯
` OxÑ`8
ˆ
1
x32
˙
IV Autre application : Étude du comportementasymptotique de la fonction d’Airy qui estsolution du problème :
y2 ´ xy “ 0
Cette équation prend en compte un phénomène de transition en x “ 0 entredeux types de comportement asymptotique. En effet, si on gèle la coefficientvariable x et x “ ˘ω2 où ω ą 0 on constate que les solutions que l’équation :
y2 ´ ω2y “ 0
sont exponentiellement croissantes ou décroissantes :
y “ c`eωx` c´e
´ωx
Emily Clement page 166
CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE
où c˘ P C alors que les solution de l’équation :
y2 ` ω2y “ 0
sont oscillantes :y “ c` cos pωxq ` c´ sin pωxq
où c˘ P CPour résoudre l’équation d’Airy y2 ´ xy “ 0 formellement on écrit :
y pxq “1
2π
ż
R
y pξq eixξdξ
y2 pxq ´ xy pxq “1
2π
ż
R
y pξq p´xq2 eixξdξ ´1
2π
ż
R
y pξq xeixξloomoon
1i
ddξ pe
ixξq
dξ
“1
2π
ż
R
eixξ`
´ξ2y pξq ´ iy1 pξq˘
dξ
donc on veut y1 pξq “ iξ2y pξq soit y “ Cetξ3
3
On pose :
@x P R, pAiq pxq def“
ż
R
ei
ˆ
xξ` ξ3
3
˙
dξ
où l’intégrale converge au sens des intégrales impropres.
Définition 7.1.
La fonction d’Airy satisfait :
1. @N ě 0, pAiq pxq “ OxÑ`8
ˆ
1
xN
˙
: décroissance rapide en `8.
2. pAiq pxq “2?π
|x|14
cos
ˆ
2
3|x|
32 ´
π
4
˙
` OxÑ`8
˜
1
|x|74
¸
: oscilla-
tions et décroissance en |x|´14 quand xÑ ´8.
Théorème 7.2.
Emily Clement page 167
Chapitre 8
Méthode du col
Objectif : On souhaite étudier l’asymptotique en temps long t Ñ `8
d’intégrale à paramètre.
I ptq “
ż
γ
g pzq ethpzqdz, t ě 1
où g, h sont des fonctions holomorphes sur Ω un ouvert simplement connexenon vide (par exemple un ouvert étoilé non vide) et où γ est un chemin tracédans Ω.
γ : rt0, t1s Ñ Ω , γ pt0q ‰ γ pt1q
En utilisant le fait queż
γ
f pzq dz “ 0 si
#
f P H pΩqγ est un vircuit tracé dans Ω
On en déduit :I ptq “
ż
˜γ
g pzq ethpzqdz
où ˜γ est un autre chemin tracé dans Ω tel que :
#
˜γ pt0q “ γ pt0q˜γ pt1q “ γ pt1q
L’idée de la méthode du col est d’utiliser cette indépendance pour choisir lechemin γ de sorte que la méthode de Laplace soit applicable.Comme
ˇ
ˇethpzqˇ
ˇ “ etRephpzqq, un chemin judicieux est telle que Re ph pzqq at-teigne sa valeur maximale en un unique point de γ. Quitte à diviser le cheminen juxtaposition de deux autres et à effectuer une translation, on peut sup-poser que Re ph pzqq admet un maximum en z “ 0 P Ω. γ : r0, ar Ñ C oùa ą 0 vérifie γ p0q “ 0 ou a “ `8.@t ą 0,Re ph pγ ptqqq ă Re ph p0qq.
168
CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL
I Hypothèse sur la fonction amplitude g et laphase complexe h
On suppose que g n’est pas identiquement nulle et h non constante surΩ.
Dδ ą 0,B p0, δq Ă Ω, @ |z| ă δ, g pzq “ Azn ``8ÿ
k“n“`1
gpkq p0q
k!zk où A ‰ 0 et
n ě 0En ce qui concerne la phase :
@ |z| ă δ, h pzq “ a ` czn ``8ÿ
k“m`1
hpkq p0q
k!zk où a P C,m ě 1, c “ ρeiα ‰ 0
avec ρ ą 0 et 0 ď α ă 2πOn définit le secteur angulaire :
S0 “
!
ueiθ, u ě 0,´π
2m`π ´ α
mď θ ď
π
2m`π ´ α
m
)
on note
#
@1 ď k ď m´ 1, Sk “ e2ikπm S0
@0 ď k ď m´ 1, S1k “ ep2k`!qiπ
m S0
On vérifie :
@0 ď k ď m´ 1,@z P Sk,Re pczmq ď 0
@z P S 1k,Re pczmq ě 0
z P Sk ô z “ ueiθ avec ´π
2m`π ´ α
mď θ `
2kπ
mď
π
2m`π ´ α
m
Re pczmq “ Re`
ρeiαumeimθ˘
“ ρmumloomoon
ě0
Re`
eipα`mθq˘
loooooomoooooon
cospα`mθqď0
où ´π
2` π ´ 2kπ ď α `mθ ď
π
2` π ´ 2kπ
π
2´ 2kπ ď α `mθ ď
3π
2´ 2kπ
Idem : @z P S 1k,Re pczmq ě 0
Re ph pzqq “ Re paq ` Re pczmq ` Re
˜
`8ÿ
k“m`1
hpkq p0q
k!zk
¸
Emily Clement page 169
CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL
Soit 0 ď k ď m´ 1 et ωk “p2k ` 1q π ´ α
mOn a :
h`
zeiωk˘
“ a` c`
zeiωk˘m
loooomoooon
ρeiαzmeipp2k`1qπ´αq“´ρzm
`
`8ÿ
j“m`1
hpjq p0q
j!
`
zeiωk˘j
@x ě 0,Re`
h`
zeiωk˘˘
“ Rez ´ ρxm `O`
xm`1˘
@ |z| ă δ h`
zeiωk˘
“ a´ ρzmF pzq.
où F pzq “ 1``8ÿ
j“m`1
hpjq p0q
j!zj´meijωk P H pB p0, δqq
où F p0q “ 1 quitte à réduire δ ą 0, on peut supposer :
@ |z| ă δ, |F pzq ´ 1| ă 1
On peut définir :
@ |z| ă δ,H pzq “ z exp
ˆ
1
mLog pF pzqq
˙
où Log désigne la détermination principale du logarithme dans CzROn remarque :
@ |z| ă δ,H pzqm “ zm exp pLog pF pzqqq “ zmF pzq
d’où :@ |z| ă δ, h
`
zeiωl˘
“ z ´ ρH pzqm
H 1p0q “ exp
ˆ
1
mLog pF p0qq
˙
“ 1
d’après le théorème d’inversion locale, quitte à réduire encore δ ą 0, on peutsupposer que H : B p0, δq Ñ U “ H pB p0, δqq est holomorphe bijectivetelle que :
G :“ H´1 : U Ñ B p0, δq
soit holomorphe.U “ H pB p0, δqq étant un ouvert simplement connexe non vide d’après lethéorème de l’application ouverte.H p0q “ 0 ñ G p0q “ 0,et @ |z| ă δ,G pH pzqq “ z@ |z| ă δ,G1 pH pzqqH 1
pzq “ 1 donc :
G1 p0qH 1p0q “ 1
Emily Clement page 170
CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL
Donc G1 p0q “ 1Comme 0 P U , Dε0 ą 0 tel que B p0, ε0q Ă UPar continuité de H et la fait que H p0q “ 0, il existe 0 ă δ0 ă δ tel que :
H pB p0, δ0qq Ă B p0, ε0q Ă U
Pour tout 0 ď s ď δ0, on considère la restriction de H à r0, δ0s.
@0 ď s ď δ0, H psq “ P psq ` iQ psq où
#
P psq “ Re pH psqqQ psq “ Im pH psqq
On remarque que
#
H 1p0q “ 1
H p0q “ 0ñ
#
P 1 p0q “ 1
Q1 p0q “ 0et
#
P p0q “ 0
Q p0q “ 0
On peut supposer, quitte à réduire encore δ0 ą 0 que :
@0 ď s ď δ0, |Q psq| ď |P psq| tan´ π
4m
¯
@s ą 0, P psq “
sż
0
P 1 ptq dt ą 0 si 0 ă s ! 1
@s ą 0ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
q psq
P psq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Q psq “ Q p0q
s´ 0
s´ 0
P psq ´ P p0q
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ÝÑsÑ0
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Q1 p0q
P 1 p0q
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ 0
La condition p˚q assure que si γ psq “ H psq alors :
@0 ď s ď δ0, γ psq P Sk
II Hypothèse sur le cheminOn peut supposer γ : r0, ar Ñ Ω où a ą 0 ou a “ `8 est tel que :
1. D0 ă s0 ă a tel que
$
’
’
’
&
’
’
’
%
γ p0q “ 0
@0 ď s ď s0, |γ ps0q| ď δ0
|γ ps0q| “ δ0
p “ γ ps0q P Sk où 0 ď k ď m´ 1On suppose de plus que :
2. Dµ ą 0 tel que
#
@s ě s0, γ psq P Nµ :“ t|z| ă δ,Re ph pzqq ď <a´ µuλ “ C p0, p, qq Ă Nµ
avec q “ δ0eiωk où C p0, p, qq est le cercle joignant p à q.
Emily Clement page 171
CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL
III Conclusion des hypothèses : un théorème.
Sous les hypothèses précédentes et siż
I
|g pγ psqq| eRephpγpsqqq |γ1 psq| ds
où I “ r0, arAlors :
ż
γ
g pzq ethpzqdz „tÑ`8
A
mΓ
ˆ
n` 1
m
˙
eateipn`1qωk
pρtqn`1m
Théorème 8.1.
Démonstration.Comme on peut mettre en facteur le terme eat on peut supposer pour sim-plifier que a “ 0.On utilise que @s ě s0, Re ph pγ psqqq ď ´µ@t ě 1,
I ptq :“
ż
IXrs0,`8r
|g pγ psqq| etRephpγpsqqq |γ1 psq| ds
I ptq “
ż
IXrs0,`8r
|g pγ psqq| eRephpγpsqqqept´1qRephpγpsqqq|γ1 psq| ds
ď e´tµeµż
I
|g pγ psqq| eRephpγpsqqq |γ1 psq| ds “ O`
e´µt˘
qd tÑ `8
Il suffit donc d’établir :ż
γ0
g pzq ethpzqdz „tÑ`8
A
mΓ
ˆ
n` 1
m
˙
eipn`1qωk
pρtqn`1m
où γ0 “ γ|r0,s0s.ż
γ0
g pzq ethpzqdz “ż
r0,qs
g pzq ethpzqdz `ż
λ
g pzq ethpzqdz
Par le théorème de Cauchy.
Emily Clement page 172
CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL
Orˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ż
λ
g pzq ethpzqdz
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ď longueur pλqloooooomoooooon
ďδ0π
2m
supzPλ|g pzq| etRephpzqq
looomooon
ďe´tµ car λĂN
“ O`
e´µt˘
quand tÑ `8
car λ est compact.Il suffit d’établir :
ż
r0,qs
g pzq ethpzqdz „tÑ`8
A
mΓ
ˆ
n` 1
m
˙
eipn`1qωk
pρtqn`1m
ż
r0,qs
g pzq ethpzqdz “δ0ż
0
g`
eiωkx˘
ethpeiωkxq
looomooon
e´tρxmF pxq“e´tρHpxq
m
eiωkdx “δ0ż
0
g`
eiωkx˘
eiωke´tρHpxqm
dx
On pose ξ “ H pxq, x “ G pξq dx “ G1 pξq dξDonc :
ż
r0,qs
g pzq ethpzqdz “ż
β
g`
eiωkG pξq˘
eiωke´tρξm
G1 pξq dξ
où β :r0, δ0s Ñ B p0, ε0q Ă Us ÞÑ H psq
β p0q “ 0, β pδ0q “ H pδ0q “ ξ0
Posons g1 pξq “ g`
eiωkG pξq˘
eiωkG1 pξq.On veut donner un équivalent de :
ż
β
g1 pξq e´tρξmdξ “
ε0ż
0
g1 pξq e´tρξmdξ `
ż
σ
g1 pξq e´tρξmdξ
Par le théorème de Cauchy.
@0 ď t ď 1,Re´´
p1´ tq ε0 ` tξ0
¯m¯
“
mÿ
j“0
Cjm p1´ tq
m´j εm´j0 tjRe´
ξ0j¯
On remarque que :
ξ0 “
ˇ
ˇ
ˇξ0
ˇ
ˇ
ˇeiβ où
ˇ
ˇ
ˇβˇ
ˇ
ˇď
π
4m
x0j“
ˇ
ˇ
ˇξ0
ˇ
ˇ
ˇ
j
eijβ
Emily Clement page 173
CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL
Re´
ξ0j¯
“
ˇ
ˇ
ˇξ0
ˇ
ˇ
ˇ
j
cos´
jβ¯
looomooon
ě?
22
,ˇ
ˇ
ˇjβ
ˇ
ˇ
ˇď
jπ
4mďπ
4
Donc @0 ď t ď 1, Re´´
p1´ tq ε0 ` tξ0
¯m¯
ě
?2
2
mÿ
j“0
Cjm p1´ tq
m´j εm´j0 tjˇ
ˇ
ˇξ0
ˇ
ˇ
ˇ
j
Doncż
σ
g1 pξq e´tρξmdξ “ O
`
e´tρε0˘
quand tÑ `8
?2
2
´
p1´ tq ε0 ` tˇ
ˇ
ˇξ0
ˇ
ˇ
ˇ
¯m
ě ε0 ą 0
Il reste à montrer que :ε0ż
0
g1 pξq e´tρξmdξ „
A
mΓ
ˆ
n` 1
m
˙
eipn`1qωk
pρtqn`1m
g1 pξq „ξÑ0
A`
eiωkξ˘neiωk “ Aeipn`1qωkξn
Donc G p0q “ 0, G1 p0q “ 1 donc G pξq „ξÑ0
ξ, G1 pξq „ξÑ0
1
Soit f une fonction continue sur r0, x0s à valeur réelles telle quef pxq „
xÑ0xn alors :
x0ż
0
f pxq e´ρtxm
dx „tÑ`8
1
mΓ
ˆ
n` 1
m
˙
1
pρtqn`1m
Lemme 8.1.
Soit 0 ă λ ă 1, D0 ă xλ ă x0, @0 ă x ă xλ, 1´ λ ďf pxq
xnď 1` λ
p1´ λq
xλż
0
xne´ρtxm
dx ď
xλż
0
f pxq e´ρtxm
dx ď p1` λq
xλż
0
xne´ρtxn
dx
Or
xλż
0
xne´tρxm
dx “
ρxλmtż
0
unm
pρtqnme´u
duρtm
ˆ
u
ρt
˙m´1n
“1
mpρtq
n`1m
¨
˚
˝
ρxmλ tż
0
un`1m´1e´udu
˛
‹
‚
„
1
mΓ
ˆ
n` 1
m
˙ˆ
1
ρt
˙n`1m
Emily Clement page 174