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Cours : Fonctions holomorphes et fonctions spéciales Emily Clement Enseignant : Karel Pravda-Starov Master 1 de Mathématiques Semestre 2 2015-2016

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Cours : Fonctions holomorphes et fonctionsspéciales

Emily ClementEnseignant : Karel Pravda-Starov

Master 1 de MathématiquesSemestre 22015-2016

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Table des matières

1 Rappels et compléments sur les fonctions holomorphes 3I Quelques rappels sur les fonctions holomorphes . . . . . . . . 3

1 Indice d’un point par rapport à un circuit et formulede Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Points singuliers isolés et notion de résidu . . . . . . . 6II Suites et séries de fonctions holomorphes. . . . . . . . . . . . . 10III Topologie de l’espace C0 pΩq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV Théorème des famille normales ou Théorème de Montel . . . . 25V Séries et fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 36VI Produits infinis de fonction holomorphes . . . . . . . . . . . . 41

2 La fonction Gamma 53I La fonction Gamma selon Leohnard Euler (1707-1783) mathé-

maticien suisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . 532 Prolongement analytique de la fonction Γ . . . . . . . . 59

II La fonction Γ selon Karl Weierstrass (1815-1897, mathémati-cien allemand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

III La fonction Γ selon Carl Friedrich (1777-1855) mathématicienallemand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

IV Comportement asymptotique de la fonction Γ . . . . . . . . . 74

3 Formule d’Euler-Mac Laurin 82I Nombres et polynômes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 82II Formule sommatoire d’Euler Maclaurin (Colin Maclaurin, ma-

thématicien écossais 1698-1746) . . . . . . . . . . . . . . . . . 881 Théorème et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . 882 Première application : Développement asymptotique

de la somme harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 Deuxième application : Calcul des sommes Sk pnq “

1k ` 2k ` ¨ ¨ ¨nk où k P N˚ . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1

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TABLE DES MATIÈRES

4 Troisième application : Développement asymptotiquede ln pn!q (voir TD.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

III Complément : Formule D’Euler - Mac Laurin et intégrationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001 Méthode de quadrature élémentaire des trapèzes . . . . 1002 Méthode de quadrature composée des trapèzes . . . . . 1003 Erreur de la méthode de quadrature composée des tra-

pèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4 Fonction zêta de Riemann 107I Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 107II Fonction zêta de Riemann et nombres premiers. . . . . . . . . 110

1 Formule d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 Fonction de Möbius (August Möbius, 1790-1868, ma-

thématicien allemand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114III Série de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119IV Formule d’inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5 Théorème des nombres premiers 130

6 Fonction Thêta 146I Formule sommatoire de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 146II Fonction Thêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150III Zéros de la fonction zêta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 153IV Un peu de culture : L’hypothèse de Riemann (1859) . . . . . . 156

7 Méthode de la phase stationnaire 158I Phase non stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158II Phase stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160III Application aux fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . 164IV Autre application : Étude du comportement asymptotique de

la fonction d’Airy qui est solution du problème : . . . . . . . . 166

8 Méthode du col 168I Hypothèse sur la fonction amplitude g et la phase complexe h 169II Hypothèse sur le chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171III Conclusion des hypothèses : un théorème. . . . . . . . . . . . . 172

Emily Clement page 2

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Chapitre 1

Rappels et compléments sur lesfonctions holomorphes

I Quelques rappels sur les fonctions holomorphes

1 Indice d’un point par rapport à un circuit et formulede Cauchy

On appelle chemin la donnée d’une application γ : ra, bs Ñ C oùa, b P R, a ă b, continue, C1 par morceaux, ie il existe une subdivision finie :

a “ x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xN´1 ă xN “ b

telle que γ|rxj ,xj`1s soit C1 sur rxj, xj`1s.Il s’ensuit que la fonction dérivée γ1 est définie et continue en tout point dera, bs sauf peut-être aux points x1, ¨ ¨ ¨ , xN´1 où elle admet des limites finiesà gauche et à droite.On peut définir l’intégrale d’une fonction complexe F continue sur lesupport du chemin γ pra, bsq par :

ż

γ

F pzq dz def“

a

F pγ ptqq γ1 ptq dt “N´1ÿ

j“0

xj`1ż

xj

F pγj ptqq γ1j ptq dt

Si γ paq “ γ pbq on dit que le chemin γ est un circuit.

3

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soient γ un circuit et a R Supp γ.On appelle indice du point a par rapport au chemin γ le nombre

indγ paqdef“

1

2iπ

ż

γ

dzz ´ a

Définition 1.1 (Indice).

Quelques propriétés de l’indice

1. L’indice est un entier relatif indγ paq P Z qui "mesure le nombrede tours" comptés algébriquement que fait le chemin γ autourdu point a.

2. L’indice indγ paq est constant lorsque a décrit tout ouvertconnexe de Cz Supp γ.

3. L’indice est constant sur tout chemin que ne rencontre pasSupp γ

4. L’application Cz Supp γ Ñ Za ÞÑ indγ paq

est continue (car lo-

calement constante) et tend vers zéro à l’infini :

lim|a|Ñ`8

indγ paq “ 0

Propriétés 1.1.

Exemple 1.1.γm ptq “ Reimt où t P r0, 2πs, m P Z, R ą 0.

indγ p0q “1

2iπ

ż

γm

dzz

2πż

0

1

2iπ

RimeimtdtReimt

“ m

Emily Clement page 4

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Formule de Cauchy pour un ouvert étoilé

Soit E une partie du plan complexe, on appelle centre de E tout pointz0 P E tel que :

@z P E, rz0, zsdef“ ttz0 ` p1´ tq z , t P r0, 1su Ă E

Un ensemble est dit étoilé s’il admet au moins un centre.Un ensemble n’a pas forcément de centre et s’il en a un, il peut en avoirplusieurs.

Exemple 1.2.

1. Tout convexe non vide est un ensemble étoilé et tout point de ceconvexe est un centre du convexe.

2. @z0 P C @r ą 0,B pz0, rq “ tz P C, |z ´ z0| ă ru est un ouvert étoilé.

3. CzR est un ouvert étoilé par rapport à tous les réels strictement posi-tifs.

Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé non videΩ, soit γ un circuit tracé dans Ω et a P Ωz Supp γ.On a :

indγ paq f paq “1

2iπ

ż

γ

f pzq

z ´ adz

Théorème 1.1 (Formule de Cauchy).

La formule de Cauchy permet de démontrer que les fonctions holomorphessont analytiques.En effet, si f est holomorphes sur Ω un ouvert de C tel que B pz0, rq Ă Ωalors f est développable en série entière au point z0 et :

@z P B pz0, rq , f pzq “8ÿ

n“0

an pz ´ z0qn

où la série entière`8ÿ

n“0

anzn a un rayon de convergence ě r et :

@n ě 0, an “1

2iπ

ż

f pzq

pz ´ aqn`1dz

Emily Clement page 5

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

où Cδ “ z0 ` δeit t P r0, 2πs avec 0 ă δ ă r

En particulier f admet des dérivées au sens complexe à tous les ordres et cesdérivés f ppq sont holomorphes sur Ω.

On a @n ě 0, an “f pnq pz0q

n!

2 Points singuliers isolés et notion de résidu

Soit f une fonction holomorphe en tout point d’un ouvert non vide Ω deC, sauf peut-être au point z0 P Ω.On distingue les deux cas suivants :

1. f est bornée dans un voisinage strict de z0,

Dr ą 0, DM ě 0, @z P B pz0, rq Ă Ω, z ‰ z0, |f pzq| ďM

On dit alors que f admet une fausse singularité au point z0.2. f n’est pas bornée au voisinage de z0. On dit que z0 est un point

singulier isolé de f .Ce cas se divise en deux sous-cas :(a) La limite : lim

zÑz0|f pzq| “ `8

(quelque soit la manière dont on approche z0 le module de f ex-plose)Dans ce cas, on dit que z0 est un pôle de f

(b) Sinon, on dit que z0 est un point singulier essentiel de f .

Exemple 1.3.

1. La fonction f pzq “sin pzq

zest holomorphe sur C˚

On regarde

limzÑz0z‰0

sin z

z“ lim

zÑz0z‰0

sin z ´ sin p0q

z ´ 0

“ cos p0q “ 1

Donc f est bornée au voisinage de 0.0 est une fausse singularité de f .

2. La fonction f pzq “1

z ´ 1est holomorphe sur Cz t1u.

limzÑ1

1

|z ´ 1|“ `8, 1 est un pôle de f .

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

3. La fonction f pzq “ sin

ˆ

1

z

˙

est holomorphe sur C˚

Soit y ą 0, on a :

f piyq “ sin1

iy

“ ´ sin

ˆ

i

y

˙

“ ´eip

iy q ´ e´ip

iy q

2i

“e

1y ´ e´

1y

2i

donc : limyÑ0,y‰0

|f piyq| “ `8.

f n’est pas bornée au voisinage de 0.

On remarque que @x P R˚ |f pxq| “ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

sin

ˆ

1

x

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď 1

0 est un point singulier essentiel

Soient ∆ “ B pz0, rq z tz0u et γ1, γ2 deux circuits circulaires de rayons r1, r2 :0 ă r1 ă r2 ă r donnés par :

γj ptq “ z0 ` rjeit, t P r0, 2πs

On vérifie que : Si f est holomorphe sur ∆ “ B pz0, rq z tz0u alors :ż

γ1

f pzq dz “ż

γ2

f pzq dz

ie, que cela ne dépend pas du rayon rj choisi.En effet,

ż

γ1

f pzq dz ´ż

γ2

f pzq dz “ż

γ1

f pzq dz `ż

´γ2

f pzq dz

ż

Γ1

f pzq dz `ż

Γ2

f pzq dz

On remarque que f est holomorphe dans B pz0, rq zδj qui est un ouvert étoilédonc :

ż

Γj

f pτq dτ “ 0

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

où Γj est un chemin tracé dans B pz0, rq zδjIl s’ensuit que si f est une fonction holomorphe dans un voisinage strict dez0 (ie. où z0 est exclu), on peut trouver r ą 0 tel que f est holomorphe surB pz0, rq z tz0u.On définit le résidu de f en z0 par l’intégrale :

resz0 f “1

2iπ

ż

γρ

f pzq dz

(Cette quantité est indépendante du choix de 0 ă ρ ă r)où γρ ptq “ z0 ` ρe

it t P r0, 2πs, 0 ă ρ ă rDans le cas où z0 est une fausse singularité isolée, on vérifie que le résiduest nécessairement nul.De plus, dans ce cas, la fonction holomorphe f dans le voisinage strict dez0 est prolongeable par continuité en z0 et la fonction prolongée estholomorphe en z0.Soit f une fonction holomorphe sur B pz0, rq z tz0u alors f est développableen séries de Laurent.

Donc @0 ă |z ´ z0| ă r, f pzq “`8ÿ

n“´8

an pz ´ z0qn avec convergence normale

de la série sur toute couronne du type C pr1, r2q “ tr1 ď |z ´ z0| ď r2u où

0 ă r1 ă r2 ă r. ie.`8ÿ

n“´8

supzPCpr1,r2q

|an pz ´ z0qn| ă `8

Le développement en série de Laurent est unique et les coefficients an sontdonnés par :

@n P Z, an “1

2iπ

ż

γρ

f pzq

pz ´ z0qn`1dz

où γρ ptq “ z0 ` ρeit, t P r0, 2πs , 0 ă ρ ă r

Le résidu de f au point z0 est égal au coefficient :

a´1 “1

2iπ

ż

γρ

f pzq dz

1. Le cas d’une fausse singularité correspond au cas où :

@n ď ´1, an “ 0

2. Le cas où z0 est une pôle correspond au cas où il existe un entierp ě 1 tel que :

#

@n ď p´ 1, an “ 0

a´p ‰ 0

Emily Clement page 8

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Cela signifie que @0 ă |z ´ r0| ă r,

f pzq “a´p

pz ´ z0qp `

a´p`1

pz ´ z0qp´1 ` ¨ ¨ ¨ `

a´1

z ´ z0loooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon

partie polaire

`

`8ÿ

n“0

an pz ´ z0qn

On dit que z0 est un pôle d’ordre p, l’ordre est caractérisé par le faitque :

$

&

%

@m ą p ě 1, pz ´ z0qm f pzq ÝÑ

zÑz00

@0 ď m ă p, limzÑz0

|pz ´ z0qm f pzq| “ 8

3. Le cas où z0 est un point singulier essentiel correspond au cas où il ya une infinité de termes, an d’indice négatif non nuls.

Une fonction f définie sur un ouvert non vide Ω de C est dite méro-morphe si elle est holomorphe en tout point de Ω sauf peut-êtresur un ensemble S Ă Ω de points singuliers isolés qui présentant tousune singularité de type pôle.

Définition 1.2.

ie. @z0 P S Dr ą 0, f holomorphe sur B pz0, rq z tz0u Ă Ω

Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé non vide Ωde C sauf peut-être sur un ensemble S Ă Ω de singularités isolées.Alors, pour tout circuit γ de Ω ne rencontrant pas S, on a :

1

2iπ

ż

γ

f pzq dz “ÿ

tPS

indγ ptq rest pfq

Théorème 1.2 (Théorème des résidus).

Sous ces hypothèses, S est un ensemble au plus dénombrable.On rappelle aussi que si f est une fonction méromorphe sur Ω ouvert deC, f 1 est aussi une fonction méromorphe sur Ω. En effet, on sait que f estdéveloppable en série de Laurent au voisinage d’un pôle z0, donc il existe

Emily Clement page 9

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

r ą 0 tel que @z P B pz0, rq z tz0u Ă Ω

f pzq “a´p

pz ´ z0qp ` ¨ ¨ ¨ `

a´1

z ´ z0

`

`8ÿ

n“0

an pz ´ z0qn

loooooooomoooooooon

“gpzq

Donc @z P B pz0, rq z tz0u,

f 1 pz0q “´pa´p

pz ´ z0qp`1 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1q

a´1

pz ´ z0q2 ` g

1pzq

g est holomorphe sur B pz0, rq, z0 est un pôle de f 1 d’ordre p` 1

II Suites et séries de fonctions holomorphes.Soit Ω un ouvert de C, on note C0

pΩq l’espace vectoriel des fonctionscontinues sur Ω à valeurs complexes et H pΩq le sous-espace vectoriel C0

pΩqcomposé par les fonctions holomorphes sur Ω.Quelle notion de convergence prendre ? La norme infinie n’est pas adaptéecar une fonction continue sur un ouvert n’est pas nécessairement bornée,la convergence simple non plus car la continuité n’est pas nécessairementconservée.

On dit qu’une suite pfnqně0 de fonction converge uniformément surtout compact de Ω vers une fonction f si :

@K compact inclus dans Ω, supzPK

|fn pzq ´ f pzq| ÝÑnÑ`8

0

Définition 1.3 (Convergence uniforme sur tout compact).

Propriété importante :La continuité sur Ω est conservé par ce type de convergence :La continuité est une notion locale et tout point d’un ouvert de C admet unvoisinage compact.Donc si pfnqně0 est une suite de fonctions C0

pΩq convergeant uniformémentsur tout compact de Ω vers une fonction f dans f alors f P C0

pΩq

Emily Clement page 10

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

On dit qu’une série de fonctionsÿ

ně0

fn converge normalement sur

tout compact de Ω si :

@K compact Ă Ω,`8ÿ

n“0

supzPK

|fn pzq| ă `8

Définition 1.4 (Convergence normale sur tout compact).

Remarque 1.1.

La convergence normale sur tout compact de Ω de la série`8ÿ

n“0

fn implique la

convergence uniforme sur tout compact de Ω de la suite pSnqně0 de sommespartielles :

@z P Ω, @n ě 0, Sn pzq “nÿ

k“0

fk pxq

Pour une suite pfnqně0 de fonctions définies sur un ouvert Ω de C etde limite simple f , les conditions suivantes sont équivalentes :

1. La convergence est uniforme sur tout compact K Ă Ω.2. La convergence est uniforme sur tout disque compact

B pz0, rq Ă Ω inclus dans Ω

Énoncé analogue pour le cas de a convergence normale sur toutcompact.

Proposition 1.1.

Démonstration.

1q ñ 2q est trivial.2q ñ 1q : il suffit de vérifie que tout compact K de Ω peut être recouvert

par une union finie de disques compacts inclus dans Ω :

K Ă

j“1

B pzj, rjq Ă Ω

Emily Clement page 11

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Pour tout x P K x P Ω qui est ouvert. Il existe δx ą 0 tel queB px, δxq Ă Ω.

K “ď

xPK

txu

Ăď

xPK

x,δx2

˙

loooomoooon

ouverts

Ăď

xPK

x,δx2

˙

“Ăď

xPK

B px, δxqlooomooon

Ω

Ă Ω

Par compacité de K, on extrait un sous-recouvrement fini :

K Ă

j“1

xj,δxj2

˙

où N ě 1 xj P K

Donc K Ă

j“1

xj,δxj2

˙

loooooomoooooon

fermé

Ă

j“1

B`

xj, δxj˘

Ă Ω

Soit pfnqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω un ouvert nonvide de C qui converge uniformément sur tout compact de Ω versune fonction f alors :

1. f est holomorphe sur Ω

2. @k ě 1, la suite`

f pkqn

˘

ně0converge vers f pkq uniformément sur

tout compact de Ω.

Théorème 1.3.

Démonstration.Comme H pCq Ă C0

pΩq et que la converge uniforme sur tout compact pré-serve la continuité, on sait déjà que f P C0

pΩqPour montrer que F P H pCq on utilise le théorème de Morera qui assure

Emily Clement page 12

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

qu’une fonction g P C0pΩq vérifiant :

ż

γ

g pzq dz “ 0

Pour tout circuit triangulaire γ tracé dans Ω, alors g P H pCq.Soit z0 P Ω, il existe r ą 0 tel que B pz0, rq Ă Ω.On rappelle également le théorème de Goursat qui assure que si g P H pΩqoù Ω est un ouvert étoilé (donc non vide) (ou plus généralement simplexeconnexe) :

ż

γ

g pzq dz “ 0

pour tout circuit tracé dans Ω.Soit γ un circuit triangulaire tracé dans B pz0, rq.D’après le théorème de Goursat :

@n ě 0,

ż

γ

fn pzq dz “ 0

car fn est holomorphe sur B pz0, rq ouvert étoilé.

Ne jamais écrire ! C’est totalement faux :

@g P C0pΩq :

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

γ

g pzq dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

ż

γ

|g pzq| dz

On doit écrire en fait :

@g P C0pΩq ,

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

γ

g pzq dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

N´1ÿ

j“0

xj`1ż

xj

g pγj ptqq γ1j ptq dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

où γ : ra, bs Ñ Ω est un chemn :

a ă x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xN´1 ă xN “ b

γj “ γ|rxj ,xj`1s P C1prxj, xj`1sq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

γ

g pzq dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

N´1ÿ

j“0

xj`1ż

xj

|g pγj ptqq|ˇ

ˇ

`

γ1j ptq˘ˇ

ˇ dt

ď supzP

?suite à demander à David

Emily Clement page 13

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

On obtient :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

γ

g pzq dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď L pγq supzPSupp γ

|g pzq|

où L pγq est la longueur du chemin γ et Supp γ “ γ pra, bsq : compact car γest continue.@n ě 0 :

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

γ

f pzq dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

γ

f pzq dz ´ż

γ

fn pzq dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

γ

pf pzq ´ fn pzqq dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď L pγq supzPSupppγq

|f pzq ´ fn pzq| ÝÑnÑ`8

0

car la suite pfnqně0 converge vers f uniformément sur tout compact de Ω

doncż

γ

f pzq dz “ 0 pour tout circuit triangulaire tracé dans B pz0, rq donc

d’après le théorème de Morera, f est holomorphe sur B pz0, rq Ă Ω (B pz0, rqune boule arbitraire)Donc f P H pΩqPar p2q il suffit d’établir la convergence uniforme sur tout disque compactB pz0, rq Ă Ω de la suite

`

f pkqn

˘

ně0vers f pkq.

Comme d´

B pz0, rq,Ωc¯

ą 0 si Ω ‰ C.car comme Ωc est fermé, d pz,Ωc

q “ 0 ô z P Ωc, de plus z ÞÑ d pz, F q estcontinue car 1´lipschitzienne.

B pz0, rq Ă Ω ñ B pz0, rq X Ωc“ ∅

On rappelle que si K compact, F fermé et K X F “ ∅ alors d pK,F q ą 0.Il existe r ą 0 telle que B pz0, rq Ă ΩSoit r ă ρ ă r. On écrit la formule de Cauchy dans l’ouvert étoilé B pz0, rq ĂΩ :

@z P B pz0, rq, f pzq “1

2iπ

ż

γρ

f ptq

t´ zdt p˚q

Emily Clement page 14

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

où γρ ptq “ z0 ` ρeit t P r0, 2πs.

On le justifiera en TD :

@k ě 0, @z P B pz0, rq, fpkqpzq “

k!

2iπ

ż

γρ

f ptq

pt´ zqk`1dt

p˚q est satisfaite pour tout fonction holomorphe sur Ω, il s’ensuit :@n ě 0, @z P B pz0, rq

ˇ

ˇf pkqn pzq ´ f pkq pzqˇ

ˇ “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

k!

2iπ

ż

γρ

fn ptq ´ f ptq

pt´ kqk`1dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď1

2πL pγρq sup

tPSupppγρq

|fn ptq ´ f ptq|

pt´ zqk`1

On a @z P B pz0, rq, @t P Supp γρ :

|t´ z| “ |pt´ z0q ´ pz ´ z0q| ě |t´ z0| ´ |z ´ z0| ě ρ´ r

@n ě 0, @z P B pz0, rq :

ˇ

ˇf pkqn pzq ´ f pkq pzqˇ

ˇ ďρ

´

pρ´ rqk`1¯ suptPSupp γρ

|fn ptq ´ f ptq|

Donc supzPBpz0,rq

ˇ

ˇf pkqn pzq ´ f pkq pzqˇ

ˇ ďρ

pρ´ rqk`1sup

zPSupp γρ

|fn pzq ´ f pzq| ÝÑnÑ`8

0

car Supp γρ est un compact.

Remarque 1.2.On remarque le contraste avec l’analyse réelle où la convergence uniforme nepréserve PAS la dérivabilité.

Emily Clement page 15

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soit pfnqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω un ouvert nonvide de C.

Si la série`8ÿ

n“0

fn converge uniformément sur tout compact de Ω, alors

la somme de cette série :

F “`8ÿ

n“0

fn

est holomorphe sur Ω.et @k ě 0 :

F pkq “`8ÿ

n“0

f pkqn

avec convergence uniforme sur tout compact de Ω de cette série.

Corollaire 1.1 (Corollaire pour les séries).

Démonstration.Applique le théorème précédent à la suite des sommes partielles pSnqně0 où

Sn “nÿ

i“0

fi

Soit pfnqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω ouvert non

vide de C. Si la série`8ÿ

n“0

fn converge normalement sur tout compact

de Ω alors la somme de cette série :

F “`8ÿ

n“0

fn

est holomorphe sur Ω.

et @k ě 0 : F pkq “`8ÿ

n“0

f pkqn avec convergence normale sur tout compact

de Ω de ces séries.

Théorème 1.4.

Emily Clement page 16

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Démonstration.Il suffit de démontrer que, @k ě 0 :

`8ÿ

n“0

supzPBpz0,rq

|fn pzq| ă `8 pour tout disque

D’après la preuve précédente, on a :

@n ě 0, @z P B pz0, rq, fpkqn pzq “

k!

2iπ

ż

γρ

fn ptq

pt´ zqk`1dt

Comme précédemment, @z P B pz0, rq :

ˇ

ˇf pkqn pzqˇ

ˇ “k!

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

γρ

fn ptq

pt´ zqk`1dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďk!

2πL pγρq sup

tPSupp γρ

|fn ptq|

|t´ z|kď

k!ρ

pρ´ rqk`1sup

tPSupp γρ

|fn ptq|

Il s’ensuit :`8ÿ

n“0

supzPBpz0,rq

|fn pzq| ďk!ρ

pρ´ rqk`1

`8ÿ

i“0

supzPSupp γρ

|fn pzq| ă `8

III Topologie de l’espace C0pΩq

Soit Ω un ouvert non vide de C. Pour tout compact K de Ω et ε ą 0 onconsidère :

VK,ε “

f P C0pΩq , @z P K, |f pzq| ď ε

(

On remarque que une suite pfnqně0 d’éléments de C0pΩq converge unifor-

mément sur tout compact de Ω vers une fonction f si et seulement si @Kcompact Ă Ω @ε ą 0, Dν0 ě 0, @n ě n0, fn ´ f P VK,ε

Il existe une unique topologie sur l’espace C0pΩq qui soit inva-

riante par translation et telle que les ensemble VK,ε, où K compactde Ω et ε ą 0 forment un système fondamental de voisinage dela fonction nulle.

Proposition 1.2.

Emily Clement page 17

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Comme les ensemble VK,ε forment un système fondamental de voisinages dela fonction identiquement nulle, l’ensemble des voisinage de la fonction nulleest donc donnée par :

V0 “

F Ă C0pΩq : DK compact Ă Ω, Dε ą 0, VK,ε Ă F

(

L ’invariance par translation impose que l’ensemble des voisinages d’une fonc-tion f0 P C0

pΩq est donnée par :

Vf0 “ f0 ` V0

Les ouverts de la topologie sous réserve d’existence, sont donc donnés par :

O “

E Ă C0pΩq , @f P E, DV P Vf , V Ă E

(

Exercice 1.1.Vérifier que

`

C0pΩq ,O

˘

est un espace topologique

On vérifie de plus que`

C0pΩq ,O

˘

est un espace vectoriel topologique,ie un espace vectoriel qui est un espace topologique tel que les applications :

C0pΩq ˆ C0

pΩq Ñ C0pΩq

pf, gq ÞÑ f ` g

etC pΩq ˆ C0

pΩq Ñ C0pΩq

pλ, gq ÞÑ λf

sont continues.On va maintenant montrer que cette topologie est métrisable.Pour ce faire, on choisit une suite exhaustive de compacts de l’ouvertΩ. On rappelle la définition :

Une suite pKnqně0 est une suite exhaustive de compacts de l’ouvertΩ est une suite pKnqně0 de compact de Ω tel que :

1. @n ě 0, Kn Ă Kn`1 Ă Kn`1 et Ω “`8ď

n“0

Kn

2. @K compact Ă Ω, Dn0 ě 1, K Ă Kn0

Définition 1.5 (Suite exhaustive).

Emily Clement page 18

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soit Ω un ouvert non vide de C. Les ensembles :

Kn “

"

z P C, |z| ď n, d pz,Ωcq ě

1

n

*

, n ě 1

définissent une suite exhaustive de compacts de Ω

Lemme 1.1.

Démonstration.On rappelle : φ :

C Ñ R`z ÞÑ d pz,Ωc

qest continue car 1´lipschitzienne et que

d pz,Ωcq “ 0 ô z P Ωc ( Ωc est fermé car Ω est ouvert !)

On remarque que :

@n ě 1, Kn Ă On “

"

z P C, |z| ă n` 1, d pz,Ωcq ą

1

n` 1

*

“ B p0, n` 1qlooooomooooon

ouvert

Xφ´1

ˆ

1

n` 1,`8

„˙

loooooooooooomoooooooooooon

ouvert

car φ est continue.@n ě 1, Kn Ă On Ă Kn`1.

@n ě 1,On Ă0

Kn`1

donc @n ě 1, Kn Ă0

Kn`1Ă Kn`1

On a :

@n ě 1, Kn “ B p0, nqloomoon

fermée, borné

Xφ´1

¨

˚

˚

˚

˝

1

n,`8

loooomoooon

fermé

˛

looooooooomooooooooon

fermé

est un fermé borné dans C.Donc @n ě 1 Kn est compact dans C.D’après p˚q on remarque que @n ě 1, Kn Ă Ω

`8ď

n“0

Kn Ă Ω

Emily Clement page 19

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Réciproquement, soit z0 P Ω il s’ensuit d’après p˚q, d pz0,Ωcq ą 0

Dn0 tel que :

$

&

%

|z0| ď n0

d pz0,Ωcq ě

1

n0

donc z0 P Kn0

Donc on a

Ω “`8ď

n“0

Kn

Soit K un compact de Ω,

K Ă Ω “`8ď

n“0

Kn Ă

`8ď

n“0

Kn`1loomoon

ouvert

Ă

`8ď

n“0

Kn`1 Ă Ω

Par compacité, on extrait un sous-recouvrement d’ouverts finis :

K Ăď

jPJ

Kj

où J Ă N˚, J fini.De plus K Ă

ď

jPJ

Kj Ă Kj0 où j0 “ max tj P Ju.

Donc K Ă Kj0 On définit pour tout n ě 1 et f P C0pΩq :

pKn pfq “ supzPKn

|f pzq| ă `8

car Kn est compact et f P C0pΩq

La famille ppKnqně1 constitue une famille dénombrable de semi-normes surC0pΩq, ie @n ě 1 :1. @λ P C @f P C0

pΩq, pKn pλfq “ |λ| pKn pfq (homogénéité)2. @f, g P C0

pΩq, pKn pf ` gq ď pKn pfq ` pKn pgq (Inégalité triangulaire)Cette famille de semi-normes ppKnqně0 est séparante.

@k P C0pΩq , @n ě 1, pKn pfq “ 0 ñ f “ 0

Car tout point z0 P Ω admet un voisinage compact z0 P K, par exhaustivitéde la suite pKnqně1 il existe n0 P N tel que z P K Ă Kn0 .

pKn0pfq “ 0 ñ @z P Kn0 , f pzq “ 0 ñ f pz0q “ 0

On remarque que si pfkqkě1 est une suite d’éléments de C0pΩq et f P C0

pΩq,les deux assertions suivantes sont équivalentes

Emily Clement page 20

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

1. pfkqkě1 converge uniformément sur tout compact de Ω vers f2. @n ě 1 pKn pf ´ fkq ÝÑ

kÑ`80

ñ est trivial, car @n ě 1 Kn est un compact de ΩOn définit par tout f, g P C0

pΩq la distance :

d pf, gq “`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pf ´ gqqloooooooooomoooooooooon

ě0

ď

`8ÿ

n“1

1

2n“

1

2“ 1

L’application d :C0pΩq ˆ C0

pΩq Ñ R`pf, gq ÞÑ d pf, gq

définit une distance

sur C0pΩq qui métrise la topologie de la convergence uniforme

sur tout compact de Ω :On a pour tout fn, f P C0

pΩq les trois assertions suivantes qui sontéquivalentes :

1. pfnqně1 converge uniformément sur tout compact de Ω vers f2. @k ě 1, lim

nÑ`8pKk pf ´ fnq “ 0

3. d pf, fnq ÝÑnÑ`8

0

Proposition 1.3.

Démonstration.

1. d pf, gq “ d pg, fq car @n ě 1, pKn pf, gq “ supzPKn

|f pzq ´ g pzq| “

pKn pg ´ fq

2.

d pf, gq “ 0 ô @n ě 1,1

2ninf p1, pKn pf ´ gqq “ 0

ô @n ě 1, pKn pf ´ gq “ 0

ô f “ g car ppKnqně1 est une famille séparante

3. @n ě 1 pKn pf ` gq ď pKn pfq ` pKn pgq@n ě 1 inf p1, pKn pf ` gqq ď inf p1, pKn pfqq ` pKn pgqOr inf p1, pKn pfq ` pKn pgqq ď inf p1, pKn pfqq ` inf p1, pKn pgqqOn distingue les cas :

Emily Clement page 21

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

(a)

#

pKn pfq ď 1

pKn pgq ď 1

Donc inf p1, pKn pfq , pKn pgqq ď pKn pfq ` pKn pgq

(b)

#

pKn pfq ď 1

pKn pgq ą 1

Donc inf p1, pKn pfq ` pKn pgqq ď pKn pfqloomoon

ě0

`1

(c)

#

pKn pfq ą 1

pKn pgq ą 1

Donc inf p1, pKn pfq ` pKn pgqq ď 1` 1

On obtient en sommant :`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pf ` gqq ď

`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pfqq`

`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pgqq

donc

f , g¯

`8ÿ

n“1

1

2ninf

¨

˚

˝

1, pKn

¨

˚

˝

f ´ gloomoon

“f´h`h´g

˛

˛

ď d´

f , h¯

` d´

h, g¯

Et on définit une métrique sur C0pΩq qui est invariante par transla-

tion :@f, g, h P C0

pΩq , d pf ` h, g ` hq “ d pf, gq

On remarque que :

@n ě 1, @f, g P C0pΩq ,

1

2ninf p1, pKn pf ´ gqq ď

`8ÿ

k“1

1

2kinf p1, pKN pf ´ gqq “ d pf, gq

D’autre part, @f, g P C0pΩq

d pf, gq “`8ÿ

k“1

1

2kinf p1, pKn pf ´ gqq

nÿ

k“1

1

2ninf p1, pKn pf ´ gqqloooooooooomoooooooooon

“pKn pf´gqďpKn pf´gqp˚q

`

`8ÿ

k“n`1

inf p1, pKn pf ´ gqqloooooooooomoooooooooon

ď1loooooooooooooomoooooooooooooon

12n`1

1

1´ 12

“ 12n

Emily Clement page 22

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

p˚q : Car @1 ď k ď n Kk Ă Kn par exhaustivité ;@n ě 1 @f, g P C0

pΩq

d pf, gq ď1

2

1´`

12

˘n

1´ 12

pKn pf ´ gq `1

2n

ď pKn pf ´ gq `1

2n

Pour vérifier que la distance d définit la topologie de la convergencesur tout compact de Ω, il faut établir que :

O “ O

où O “

E Ă C0pΩq , @f P E, Dr ą 0,Bd pf, rq Ă E

(

Bd pf, rq “

g P C0pΩq , d pg, fq ă r

(

Il suffit de vérifier :(a) @f0 P C0

pΩq, @r ą 0 DK compact de Ω Dε ą 0 tel que

f0 ` VK,ε Ă Bd pf0, rq

(b) @f0 P C0pΩq @K compact Ă Ω, @ε ą 0 Dr ą 0 tel que :

Bd pf0, rq Ă f0 ` VK,ε

Par invariance par translation, on peut supposer que f0 “ 0.

Démonstration.

(a) Preuve de aq :

soit r ą 0, comme`8ÿ

n“1

1

2nă `8 Dn0 ě 1 tel que

`8ÿ

n“n0`1

1

2năr

2

On considère K “ Kn0 compact de Ω et ε “r

4ą 0 :

@f P VK,ε, @z P K “ Kn0 , |f pzq| ď ε :

d p0, fq “`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pfqq

n0ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pfqqlooooooomooooooon

pKn pfqďpKn0pfq

`

`8ÿ

n“n0

`8ÿ

n“n0`1

1

2ninf p1, pKn pfqqlooooooomooooooon

ď1loooooooooooooomoooooooooooooon

ď r2

ď pKn0pfq `

r

2ă r

Emily Clement page 23

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

(b) Preuve de bq :Soit K compact Ă Ω et ε ą 0 :Par exhaustivité : Dn0 ě 1 tel que K Ă Kn0 ,

On considère r “1

2n0`1inf p1, εq ą 0

Montrons que Bd p0, rq Ă VK,ε :

@f P Bd p0, rq , d pf, 0q “`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pfqq ă r “

1

2n0`1inf p1, εq

donc1

2n0inf

`

1, pKn0pfq

˘

‖pKn0

pfq

ă1

2n0inf

ˆ

1

2,ε

2

˙

ă 1

@f P Bd p0, rq , pK pfq ď pKn0pfq ă inf

ˆ

1

2,ε

2

˙

ď ε

donc f P VK,εComme H pΩq est un sous-espace vectoriel de C0

pΩq on munitH pΩq de la topologie induite, d’après la préservation de l’holo-morphie.Par la convergence uniforme sur tout compact de Ω, on remarqueque H pΩq est un sous-espace vectoriel fermé de C0

pΩqOn dit qu’un espace vectoriel métrique dont la distance est défi-nie à partir d’une famille dénombrable de semi-normes séparantepar la formule précédente est un espace de Fréchet si cet espacemétrique est complet.

Exemple 1.4.

S pRq “"

f P C`8 pRq : @f, e ě 0, supxPR

ˇ

ˇxkf ppq pxqˇ

ˇ ă `8

*

est un espace de

Fréchet.

Les espace`

C0pΩq , d

˘

et pH pΩq , dq sont des espace de Fréchet.

Proposition 1.4.

Démonstration.Comme H pΩq est fermé dans

`

C0pΩq , d

˘

, il suffit d’établir que`

C0pΩq , d

˘

Emily Clement page 24

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

est complet pour obtenir que pH pΩq , dq est complet.Soit pfkqkě1 une suite de Cauchy dans

`

C0pΩq , d

˘

.@ε ą 0 Dk0 ě 1 @ρ, k ě k0 d pfρ, fkq ă ε.

Soit ε ą 0 Soit n0 ě 1 On pose ε “1

2n0`1inf p1, εq ą 0

Dk0 ě 1, @ρ, k ě k0

d pf,ρ , fkq “`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pfρ, fkqq ă

1

2n0inf

ˆ

1

2,ε

2

˙

Donc1

2n0inf

`

1, pKn0pfρ ´ fkq

˘

loooooooooooomoooooooooooon

pKn0pfρ´fkq

ă1

2n0inf

ˆ

1

2,ε

2

˙

looooomooooon

ă1

.

@z P Kn0 pfn pz0qqně0 est de Cauchy dans C.@ρ, k ě k0 pKn0

pfρ ´ fkq ă ε donc @ρ, k ě k0 @z P Kn0

ˇ

ˇfρpzq ´ fk pzqˇ

ˇ ă ε

Comme Ω “`8ď

n“1

Kn, il s’ensuit que pour tout z P Ω la suite pfn pzqqně1 est de

Cauchy dans C, qui est complet, donc la suite pfnqně1 converge simplementsur Ω vers une fonction f .D’autre part, on a montré :

@n ě 1, @ε ą 0, Dk0 ě 1, @z P Kn0 , @k, ρ ě kn0 , |fρ pzq ´ fk pzq| ă ε

Par passage à la limite, quand ρ Ñ `8 on obtient : @n0 ě 1@ε ą 0, Dk0 ě

1, @z P Kn0 , @k ě k0, |f pzq ´ fk pzq| ă εpfnqn converge uniformément vers k sur Kn0 pour tout n0 ě 1.Soit K compact de Ω, Dn0 ě 1 tel que K Ă Kn0 , il s’ensuit que pfnqně1, suitede fonction dans C0

pΩq converge uniformément vers f sur K.Donc f P C0

pΩq et d pfn, fq ÝÑnÑ`8

0.

IV Théorème des famille normales ou Théo-rème de Montel

On cherche à caractériser les sous-ensemble compacts de pH pΩq , dq où Ωest un ouvert non vide de C.

Emily Clement page 25

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Un sous-ensemble A Ă H pCq est dit borné si :

@K compact Ă Ω, @ε ą 0, Dλ ą 0, A Ă λVK,ε “ tλf, f P VK,εu

Définition 1.6.

Soit A un sous-ensemble de H pCq où Ω est un ouvert non vide de C,la conditions suivantes sont équivalentes :

1. A est un sous-ensemble borné de H pCq2. @r ą 0 Dλ ą 0

A Ă λBd p0, rq “

#

λf, d pf, 0q “`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pfqq ă r

+

3. @K compact Ă Ω, DMk ą 0 @z P K @f P A |f pzq| ďMK

Proposition 1.5.

Démonstration.Soit r ą 0 :

1q ñ 2qD’après ce qui précède, il existe K Ă Ω compact, Dε ą 0 tel que :

VK,ε Ă Bd p0, rq

Or A borné donc Dλ ą 0

A Ă λVK,ε Ă λBd p0, rq

2q ñ 3q Soit K compact inclus dans Ω.Par exhaustivité, Dn0 ě 1 tel que K Ă Kn0 .

Emily Clement page 26

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

On prend pour r “1

2n0`1, d’après 2q, il existe λ ą 0 tel que

A Ă λBd

ˆ

0,1

2n0`1

˙

#

λf : d p0, fq “`8ÿ

n“1

1

2ninf p1, pKn pfqq ă

1

2n0`1, f P H pΩq

+

Ă

$

&

%

λf : f P H pΩq , 1

2n0inf

`

1, pKn0pfq

˘

looooooooooomooooooooooon

“ 12n0 pKn0

pfq

ă1

2n0`1

,

/

/

/

.

/

/

/

-

"

λf : f P H pΩq , pKn0pfq ă

1

2

*

"

g P H pΩq : pKn0pgq ă

λ

2

*

Donc @f P A, @z P K :

|f pzq| ď pK pfq ď pKn0pfq ă

λ

2

On a donc montré 3q.Il s’ensuit :@K Ă Ω compact, DMK ą 0, @f P A, @z P K :

|f pzq| ďMK

Les fonctions de A sont conformément bornées sur tout compact de Ω

3q ñ 1q :Soit K Ă Ω un compact et ε ą 0.D’après 3q, DMK ą 0, @f P A, @z P K

|f pzq| ďMK “ ε

ˆ

MK

ε

˙

Posons g “ε

MK

¨ f P H pΩq@z P K

|g pzq| “ε

MK

|f pzq| ďε

MK

MK “ ε

Donc g P VK,εA Ă

MK

εVK,ε car f “

MK

εg

Emily Clement page 27

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soit A un sous-ensemble borné de H pΩq, alors A la fermeture deA dans pH pΩq , dq est un sous-ensemble borné de H pΩq.

Proposition 1.6.

Démonstration.Soit K Ă Ω compact, comme A est borné, DMK ą 0 tel que :

p˚q @f P A, @z P K, |f pzq| ďMK

Soit f P A Il existe pfnqně1 une suite d’éléments de A tel que : fn ÝÑnÑ`8

f

uniformément sur tout compact de Ω, donc simplement sur K.Or d’après p˚q :

@n ě 1, @z P K, |fn pzq| ďMK

Par passage à la limite quand nÑ `8 :

@z P K, |f pzq| ďMK

Conclusion : @f P A, @z P K :

|f pzq| ďMK

Donc A est borné dans H pΩq.

Si A est un sous-ensemble compact de H pΩq alors#

A est fermé dans pH pΩq , dqA est borné dans pH pΩq , dq

Proposition 1.7.

Démonstration.L’espace topologique H pΩq est séparé car la topologie est métrisable. Unsous-ensemble compact de H pΩq est donc nécessairement fermé. Soit K Ă Ω

Emily Clement page 28

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

un compact.On considère l’application :

φK :pH pΩq , dq Ñ R

f ÞÑ supzPK

|f pzq|

Montrons que φK est continue.@f, g P H pΩq :

φK pfq ´ φK pgq “ supzPK

|f pzq| ´ supzPK

|g pzq|

“ |f pz0q| ´ supzPK

|g pzq| car K compact, Dz0 P K vérifiant cela

ď |f pz0q| ´ |g pz0q|

ď |f pz0q ´ g pz0q|

ď supzPK

|f pzq ´ g pzq|

En échangeant f et g on obtient :

|φK pfq ´ φK pgq| ď φK pf ´ gq

Soit f P H pΩq et pfnqně1 une suite telle que d pf, fnq ÝÑnÑ`8

0, alors :

supzPK

|fn pzq ´ f pzq| ÝÑnÑ`8

0

Donc limnÑ`8

φK pfnq “ φK pfq

phiK est continue comme A est un compact de pH pΩq , dq φK pAq est uncompact de R donc est borné dans R.

DMK ą 0, φK pAq Ă B p0,MKq

ie@f P A, sup

zPK|f pzq| ďMK

A est borné dans pH pΩq , dq

Soit A un sous-ensemble de H pΩq où Ω est un ouvert non vide deC.

A est une partie compacte de H pΩq ô

#

A est fermé dans H pΩqA est borné dans H pΩq

Théorème 1.5 (Théorème des familles normales, ou théorème de Montel).

Emily Clement page 29

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soit A un sous-ensemble de H pΩq, où Ω est un ouvert non videde C.

A est un sous-ensemble borné de H pΩqô A est une partie relativement compacte de H pΩq

Corollaire 1.2.

Démonstration du corollaire.Si A est borné dans H pΩq alors :

#

A est fermé dans pH pΩq , dqA est borné dans pH pΩq , dq

Par le théorème de Montel, A est compact dans H pΩq.Si A est relativement compact dans H pΩq ie A est compact dans H pΩqA borné dans H pΩq donc A est borné dans H pΩq

Démonstration du théorème.On commence par démontrer le lemme suivant :

Soient Ω “ B pz0, rq où z0 P C r ą 0 et A un sous-ensemble bornéde H pΩq.Soit pfnqně0 une suite d’éléments de A alors les deux assertions sui-vantes sont équivalentes :

1. La suite pfnqně0 est convergente par la topologie de la conver-gence uniforme sur tout compact de Ω “ B pz0, rq, ie :

Df P H pΩq , d pf, fnq ÝÑnÑ`8

0

2. @k ě 0 la suite des dérivés ki ème `f pkqn pz0q˘

ně0est convergente

dans C.

Lemme 1.2.

Démonstration du lemme.Supposons 1q vrai,Df P H pΩq tel que d pf, fnq ÝÑ

nÑ`80.

La suite pfnqně0 converge donc vers f uniformément sur tout compact de Ω.

Emily Clement page 30

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

D’après le théorème précédent, @k ě 0`

f pkqn

˘

ně0converge uniformément sur

tout compact de Ω vers f pkq.En particulier, on a :

@k ě 0, limnÑ`8

f pkqn pz0q “ f pkq pz0q

On a donc montré 2q.Réciproquement, supposons 2q :

@k ě 0, la suite`

f pkqn pz0q˘

ně0est convergente dans C

Il suffit de montrer que Df P H pΩq tel que fn ÝÑnÑ`8

f uniformément sur

tout disque B pz0, ρq où 0 ă ρ ă r.Soit 0 ă ρ ă r, on choisit ρ ă ρ0 ă r.Comme le sous-ensemble A est borné, il existe M ą 0 tel que :

@z P B pz0, ρ0q, @n ě 0, |fn pzq| ďM

car @n ě 0, fn P A (B pz0, ρ0q est un compact de R)Comme pour tout n ě 0 fn P H pB pz0, rqq on a :

@n ě 0, @z P B pz0, rq , fn pzq “`8ÿ

k“0

fpkqn pz0q

k!pz ´ z0q

k

On utilise les inégalités de Cauchy (voir fiches TD) : @n ě 0, @k ě 0 :

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

fpkqn pz0q

k!

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

sup|z´z0|“ρ0

|fn pzq|

ρkďM

ρk0

@z P B pz0, ρq @p, q ě 0 :

|fp pzq ´ fq pzq| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8ÿ

n“0

´

fpkqp pz0q ´ f

pkqq pz0q

¯

k!pz ´ z0q

k

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

k0ÿ

k“0

ˇ

ˇ

ˇfpkqp pz0q ´ f

pkqq pzq

ˇ

ˇ

ˇ

k!ρk `

`8ÿ

k“k0`1

2M

ˆ

ρ

ρ0

˙k

Soit ε ą 0 Dk0 ě 0 tel que :

`8ÿ

k“k0`1

2M

ˆ

ρ

ρ0

˙k

ăε

2

Emily Clement page 31

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

car 0 ă ρ ă ρ0

Comme @k ě 0`

f pkqn pz0q˘

ně0est convergence dans C, elle est de Cauchy

dans C :Dp0 ą 0, @p, q ě 0 :

supzPBpz0,ρq

|fp pzq ´ fq pzq| ă ε

Il s’ensuit que la suite pfnqně0 vérifie un critère de Cauchy, uniforme sur toutcompact de Ω donc il existe f P H pΩq tel que fn ÝÑ

nÑ`8f uniformément sur

tout compact de Ω.

Le lemme est démontré.Retour à la démonstration du théorème des familles normales :Soit A un sous-ensemble fermé et borné de pH pΩq , dqOn remarque que l’on peut écrire Ω comme une union dénombrable deboues ouvertes :

Ω “`8ď

j“0

B pzj, rjq

où zj P Ω, rj ą 0En effet, @z P Ω, Dδz ą 0

B pz, δzq Ă Ω

car Ω est un ouvert.Comme Q est dense dans R on peut trouver Sz P Ω tel que

ReSz, ImSz P Q et rz P QX R˚`

tel que z P B´

Sz,rz2

¯

Ă B pSz, rzq Ă Ω

Ω Ăď

zPK

Sz,rz2

¯

Ăď

zPΩ

Zs,rz2

¯

Ăď

zinΩ

B pSz, rzq Ă Ω

DoncΩ “

ď

zPK

Sz,rz2

¯

“ď

zPΩ

Zs,rz2

¯

“ď

zinΩ

B pSz, rzq

Comme QˆQˆQ dénombrable, on peut donc écrire :

Ω “`8ď

j“0

zj,rj2

¯

Ă

`8ď

j“0

zj,rj2

¯

`8ď

j“0

B pzj, rjq

où rj P Ω, rj ą 0Soit pfnqně0 une suite d’éléments de A, montrez qu’il existe une sous-suite

Emily Clement page 32

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

`

fϕpnq˘

ně0où ϕ : N Ñ N strictement croissante telle que toutes les suite

@j ě 0, @k ě 0´

fpkqϕpnq pzjq

¯

ně0soit convergente. On utilise le lemme suivant :

L’application pH pΩq , dq Ñ pH pΩq , dqf ÞÑ f 1

transforme toute en-

semble borné de H pΩq sur un ensemble borné de H pΩq

Lemme 1.3 (Démonstration en TD).

Soit Kj “ B´

zj,rj2

¯

Ă Ω compact. Comme A est borné, d’après le lemme :

@k ě 0,

f pkq : f P A(

est borné dans H pΩqIl s’ensuit que @k ě 0, @j ě 0, DMk,j ą 0@z P Kj, @f P A

ˇ

ˇ

ˇf pzqpkq

ˇ

ˇ

ˇďMk,j

En particulier : @k, j ě 0, @n ě 0ˇ

ˇf pkqn pzjqˇ

ˇ ďMk,j p˚˚q

Notons λk,j :H pΩq Ñ Cf ÞÑ f pkq pzjq

On veut montrer qu’il existe ϕ : N Ñ N strictement croissant tel que :

@kn ě 0,`

λk,j`

fϕpnq˘˘

ně0est convergente

Comme Nˆ N est dénombrable, on ré-indexe les applications pλk,jqk,jě0 parpµkqkě0

Il suffi de montrer qu’il existe ϕ : N Ñ N strictement croissant tel que@k ě 1,

`

µkfϕpnq˘

ně0est convergente.

On sait d’après p˚˚q que :

@k ě 1, Dmk ě 0, @n ě 0, |µk pfnq| ď mk

Comme pµ1 pfnqqně0 est une suite bornée de C, Dϕ1 : N Ñ N strictementcroissant tel que lim

nÑ`8µ1

`

fϕ1pnq

˘

existe dans C

Comme`

µ2

`

fϕ1pnq

˘˘

ně0est une suite bornée de C, Dϕ2 : N Ñ N stricte-

ment croissant tel que :

limnÑ`8

µ2

`

fpϕ1˝ϕ2qpnq

˘

existe dans C

Emily Clement page 33

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

En réitérant, on construit, Dϕl : N Ñ N strictement croissant tel que :

@ρ ě 1, limnÑ`8

µl`

fpϕ1˝ϕ2˝¨¨¨˝ϕlqpnq

˘

existe dans C.On considère la suite diagonale @m ě 1

ψ pmq “ pϕ1 ˝ ϕ2 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ϕmq pmq

On remarque que :

@N ě 1, @m ě N,ψ pmq P pϕ1 ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ ϕNq pNq

Donc @N ě 1 limnÑ`8

µN`

fψpmq˘

existe.On a démontré que :

@j, k ě 0, limnÑ`8

fpkqϕpnq pzjq existe

D’après le lemme, la suite`

fψpnq˘

ně0converge uniformément sur tout com-

pact de B pzj, rjqSoit K Ă Ω un compact, on a :

K Ă Ω “`8ď

j“0

zj,rj2

¯

`8ď

j“0

zj,rj2

¯

`8ď

j“0

B pzj, rjq

Par compacité Dj0 ě 0 tel que :

K Ă

j0ď

j“0

B pzj, rjq Ăj0ď

j“0

zj,rj2

¯

zj,rj2

¯

est un compact de B pzj, rjq sur lequel`

fψpnq˘

ně0converge unifor-

mément.`

fψpnq˘

ně0converge uniformément sur K0 “

j0ď

j“0

zj,rj2

¯

donc aussi sur K.

Conclusion : Il existe f P H pΩq telle que`

fψpnq˘

ně0converge uniformément

sur tout compact de Ω vers f .De plus, f P A car A est fermé, donc A est compact.

Le théorème de Montel peut également être démontré en utilisant le théorèmed’Ascoli :

Emily Clement page 34

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soient pX, dq un espace métrique compact, pX 1, d1q un espace mé-trique et E une partie de l’espace C0

pX,X 1q muni de la topologie de

la convergence uniforme sur X.Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. E est relativement compact dans C0pX,X 1

q

2. (a) E est équicontinue :@ε ą 0Dα ą 0, @x, y P X

d pz, yq ă αñ @f P E, d pf pxq , f pyqq ă ε

(b) E est ponctuellement relativement compact :@x P X

tf pxq : f P Eu est relatiement compact dans X’

Théorème 1.6 (Théorème d’Ascoli).

Référence pour la preuve : Éléments d’analyse par l’agrégation, Claude Zuily.(Masson)

Emily Clement page 35

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

V Séries et fonctions méromorphes

Soient Ω un ouvert non vide de C et pfnqně0 une suite de fonctionsméromorphes sur Ω :

1. On dit que la série de fonctions méromorphes`8ÿ

n“0

fn

converge uniformément sur un ensemble A Ă Ω s’il existen0 ě 0 tel que :

$

&

%

@n ě n0, fn ne possède pas de pôle dans A`8ÿ

n“n0

fn convergence uniformément sur A

où les fn sont des fonctions holomorphes en tout point de A

2. On dit que la série de fonction méromorphes`8ÿ

n“0

fn converge

normalement sur A Ă Ω s’il existe n0 ě 0 tel que :$

&

%

@n ě n0, fn ne possède pas de pôles dans A`8ÿ

n“n0

fn converge normalement sur A

ie`8ÿ

n“n0

supzPA

|fn pzq| ă `8

Définition 1.7.

Dans tout ça qui suit, on considère des série de fonctions méromorphes dansΩ un ouvert non vide de C qui converge uniformément (ou normalement)sur tout compact de Ω.Dans ce cas, on définit la somme d’une telle série de la manière suivante :

Pour tout compact relativement compact dans Ω, ie

$

&

%

U ouvertU compactU Ă Ω

Dn0 ě 0 tel que @n ě n0 ` 1 fn n’admet pas de pôle dans U :

S “n0ÿ

n“0

fn ``8ÿ

n“n0`1

fn

Emily Clement page 36

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Or`8ÿ

n“n0`1

fn P H pUq car fn P H pUq.

n0ÿ

n“0

fn est une fonction méromorphe sur U comme somme finie de fonction

méromorphe sur U .Une série de fonction holomorphe sur U converge uniformément (resp nor-malement) sur tout compact de U car cette convergence est vérifiée sur U .On vérifie aisément que cette somme ne dépend pas du choix de n0 vérifiantp˚q

Soit`8ÿ

n“0

fn une série de fonction méromorphe sur Ω ouvert non

vide de C.Si cette série converge uniformément (resp normalement) sur toutcompact de Ω (au sens des séries de fonction méromorphes), la sommef de cette série est une fonction méromorphe sur Ω et

@k ě 0, f pkq “`8ÿ

n“0

f pkqn

où les séries de fonctions méromorphes`8ÿ

n“0

f pkqn convergence unifor-

mément (resp normalement) sur tout compact de Ω.

Théorème 1.7.

Démonstration.On a déjà que la somme f définit une fonction méromorphe dans tout ouvertrelativement compact de Ω, par suite, elle définit une fonction méromorphesur Ω.Soit U un ouvert relativement compact de Ω.Dn0 ě 0

f “n0ÿ

n“0

fnloomoon

partie méromorphe

`

`8ÿ

n“n0`1

fnlooomooon

PHpUq

Emily Clement page 37

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

f 1 “n0ÿ

n“0

f 1n `

˜

`8ÿ

n“n0`1

fn

¸1

n0ÿ

n“0

f 1n ``8ÿ

n“n0`1

f 1nlooomooon

p1qlooomooon

PHpUq

par le théorème précédent

p1q : une série de fonction holomorphe sur U converge uniformément sur toutcompact de U (resp normalement).On doit maintenant vérifier pour tout compact K de Ω, il existe n1 ě 0 telque

$

&

%

@n ě n1, f n’admet pas de pôle dans K`8ÿ

n“n1`1

f 1n CV uniformément (resp normalement) sur K

Il suffit pour conclure d’utiliser que tout compact peut être recouvert par unnombre fini d’ouverts relativement compacts dans Ω :

K Ă

j“1

Uj

@j “ 1, ¨ ¨ ¨ , N Dnj ě 0

f 1 “

njÿ

n“0

f 1n ``8ÿ

n“nj`1

f 1n

où @n ě nj ` 1 f 1n n’a pas de pôles dans Uj.On obtient :

f 1 “nÿ

n“0

f 1n ``8ÿ

n“n`1

f 1n

série convergeant uniformément (resp normalement) surK. avec n “ max1ďjďN

nj

@n ě n` 1 f 1n n’a pas de pôles dans K.

Emily Clement page 38

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soit`8ÿ

n“0

fn une série de fonctions méromorphes sur Ω ouvert non

vide de C.Si cette série convergence uniformément sur tout compact de Ω, les

pôles de la fonction méromorphe f “`8ÿ

n“0

fn, noté P pfq vérifie :

P pfq Ă`8ď

n“0

P pfnq

où P pfnq désigne l’ensemble des pôles de fn.De plus, si les ensemble pP pfnqqně0 sont deux à deux disjoints :

@ρ, k ě 0, P pfkq X P pfρq “ ∅

alors

P pfq “`8ğ

n“0

P pfnq

et @z0 P P pfq D!n0 ě 0 z0 P P pfn0q et ordrez0 pfq “ ordrez0 pfn0q.Plus précédemment, f et fn0 ont la même partie polaire dans le dé-veloppement en serie de Laurent au voisinage de z0 (théorème desrésidus)

Corollaire 1.3.

Démonstration.Soit U un ouvert relativement compact dans Ω. Il existe n0 ě 0 tel que :

f “n0ÿ

n“0

fnloomoon

méromorphe sur U

`

`8ÿ

n“n0`1

fnlooomooon

PHpUq

sur U

P pfq X U Ăn0ď

n“0

P pfnq X U

P pfq Ă`8ď

n“0

P pfnq

Supposons que les ensembles pP pfnqqně0 sont deux à deux disjoints.

Emily Clement page 39

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soit z0 P

`8ď

n“0

P pfnq.

Il existe un unique k0 ě 0 tel que z0 P P pfk0q

On choisir N un voisinage ouvert relativement compact de point z0 dans Ω,Dn1 ě 0 :

f “n1ÿ

n“0

fnloomoon

p1q

`

`8ÿ

n“n1`1

fnlooomooon

p2q

, fn sur V

“ fk0 `

n1ÿ

n“0n‰k0

fn ``8ÿ

n“n1`1

fn

p1q : fonction méromorphe sur U qui admet un nombre fini de pôles dans Ucompact.p2q : fonction holomorphe sur V .

Comme z0 R

n1ď

n“0n‰k0

P pfnq la fonctionn1ÿ

n“0n‰k0

fn est holomorphe au voisinage de z0.

Dr0 ą 0 tel que B pz0, r0q Ă Ω et fk0 n’admet de d’autre pôle que z0 dansB pz0, r0q.@z P B pz0, r0q z tz0u

f pzq “ fk0 pzq ` g pzq

où g P H pB pz0, r0qq

On peut développer fk0 en série de Laurent au voisinage de z0.@z P B pz0, r0q :

fk0 pzq “ap

pz ´ z0qp `

ap´1

pz ´ z0qp´1 ` ¨ ¨ ¨ `

a1

z ´ z0

`

`8ÿ

n“0

bn pz ´ z0qn

comme g P H pB pz0, r0qq, @z P B pz0, r0q

g pzq “`8ÿ

n“0

bn pz ´ z0qn

où ap ‰ 0@z P B pz0, r0q :

f pzq “ap

pz ´ z0qp ` ¨ ¨ ¨ `

a1

z ´ z0loooooooooooooomoooooooooooooon

même partie primitive au point z0 que fk0

`

`8ÿ

n“0

cn pz ´ z0qn

Emily Clement page 40

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

VI Produits infinis de fonction holomorphes

Soit pfnqně0 une suite de fonctions continues sur Ω un ouvert non

vide de C. On dit que le produit infini`8ź

n“0

fn converge normalement

sur A une partie de Ω si les conditions suivantes sont vérifiées :1. lim

nÑ`8supzPA

|fn pzq ´ 1| “ 0

ie fn ÝÑ 1 uniformément sur ASi p1q est vérifié, il existe n0 ě 0 tel que @n ě n0,

supzPA

|fn pzq ´ 1| ă1

2

2. La série`8ÿ

n“0

Log pfnq converge normalement sur A.

ie`8ÿ

n“0

supzPA

|Log pfn pzqq| ă `8

Définition 1.8.

Rappel : La détermination principale de logarithme complexe est définie surCzR´@z P CzR´,

Log z “ ln |z| ` i Arg zloomoon

Ps´π,πr

La fonction Log est holomorphe sur CzR´ et @z P CzR´ :

pLog zq1 “1

z

On a @z P CzR´eLogpzq

“ z

@ |z| ă 1

Log p1` zq “`8ÿ

n“0

p´1qn´1 zn

n

Emily Clement page 41

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soient K un compact de Ω ouvert non vide de C et pfnqně0 une suitede fonctions continues sur Ω.Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le produit infini`8ź

n“0

fn converge normalement sur K.

2. La série`8ÿ

n“0

pfn ´ 1q converge normalement sur K.

Proposition 1.8.

Démonstration.@ |z ´ 1| ď

1

2:

|Log z| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8ÿ

n“1

p´1qn´1 pn´ 1qn

n

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

`8ÿ

n“1

|z ´ 1|n

n

ď |z ´ 1|`8ÿ

n“1

1

2n´1nď C1 |z ´ 1|

Donc @ |z ´ 1| ď1

2:

|z ´ 1| “ˇ

ˇeLogpzq´1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8ÿ

k“0

pLog zqk

k!´ 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

8ÿ

k“1

pLog pzqqk

k!

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

`8ÿ

k“1

|Log z|k

k!ď |Log z|

`8ÿ

k“1

|Log z|k´1

pk ´ 1q!

ď |Log z| e|Log z|

Emily Clement page 42

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

@ |z ´ 1| ď1

2:

|z ´ 1| ď |Log z| exp

ˆ

b

pln |z|q2 ` pArg zq2˙

looooooooooooooooomooooooooooooooooon

ďexp´?

pln 2q2`π2¯

Supposons que le produit infini`8ź

n“0

fn converge normalement sur K :

Dn0 ě 0 @n ě n0 :supzPK

|fn pzq ´ 1| ď1

2

et`8ÿ

n“n0

supzPK

|Log pfn pzqq| ă `8

`8ÿ

n“n0

supzPK

|fn pzq ´ 1| ď c`8ÿ

n“n0

supzPK

|Log pfn pzqq| ă `8

Comme K est compact, @0 ď n ď n0 supzPK

|fn pzq ´ 1| ă `8

Donc`8ÿ

n“0

supzPK

|fn pzq ´ 1| ă `8

La série`8ÿ

n“0

pfn ´ 1q converge normalement sur K.

Réciproquement, si`8ÿ

n“0

pfn ´ 1q converge normalement sur K.

ie`8ÿ

n“0

supzPK

|fn pzq ´ 1| ă `8

In s’ensuit :lim

nÑ`8supzPK

|fn pzq ´ 1| “ 0

donc pfnqně0 converge uniformément vers la fonction constante égale à 1 surK.@n0 ě 0, @n ě n0, sup

zPK|fn pzq ´ 1| ď

1

2@z P K @n ě n0 : |Log pfn pzqq| ď C |fn pzq ´ 1| ď C sup

zPK|fn pzq ´ 1|

@n ě n0

supzPK

|Log pfn pzqq| ď C supzPK

|fn pzq ´ 1|

Emily Clement page 43

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Donc`8ÿ

n“n0

supzPK

|Log pfn pzqq| ď C`8ÿ

n“n0

supzPK

|fn pzq ´ 1| ă `8

Soit pfnqně0 une suite de fonction continues sur Ω un ouvert non videde C.

Le produit infini`8ź

n“0

fn converge normalement sur tout compact de Ω

si et seulement si la série`8ÿ

n“0

pfn ´ 1q converge normalement sur tout

compact de Ω.

Corollaire 1.4.

Démonstration.

Supposons que le produit infini`8ź

n“0

fn converge normalement sur tout com-

pact de Ω ouvert non vide de C, où pfnqně0 est une suite de fonctions continuessur Ω, on définit :

@z P Ω, @N ě 0, GN pzq “Nź

n“0

fn pzq

Soit K un compact de Ω. Il existe n0 ě 0, tel que

@n ě n0, @z P K, |fn pzq ´ 1| ď1

2,`8ÿ

n“n0

Log pfnq CVN sur K

Donc @N ě n0 @z P K

GN pzq “

˜

n0´1ź

n“0

fn pzq

¸˜

n“n0

fn pzq

¸

˜

n0`1ź

n“0

fn pzq

¸

n0

eLogpfnpzqq

@N ě n0 @z P K

Gn pzq “

˜

n0´1ź

n“0

fn pzq

¸

exp

˜

Nÿ

n“n0

Log pfn pzqq

¸

Emily Clement page 44

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Comme la série`8ÿ

n“n0

Log pfnq converge normalement sur K, donc uniformé-

ment sur K donc aussi simplement sur KIl s’ensuit @z P K

limNÑ`8

GN pzq “

˜

n0´1ź

n“0

fn pzq

¸

exp

˜

`8ÿ

n“n0

Log pfn pzqq

¸

Montrons que Gn ÝÑnÑ`8

G uniformément sur K@z P K, @N ě n0 :

|G pzq ´GN pzq| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

˜

n0´1ź

n“0

fn pzq

¸

»

exp

˜

`8ÿ

n“n0

Log pfn pzqq

¸

´ź

fn pzqloomoon

“eLogpfnpzqq

fi

ffi

fl

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

˜

n0´1ź

n“´

supzPK

|fn pzq|

¸

exp

˜

`8ÿ

n“n0

supzPK

|Log pfn pzqq|

¸

looooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooon

ďMă`8

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

exp

˜

`8ÿ

n“N`1

Log pfn pzqq

¸

´ 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

˜

n0´1ź

n“0

supzPK

|fn pzq|

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

exp

˜

Nÿ

n“n0

Log pfn pzqq

¸ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

looooooooooooooomooooooooooooooon

ďexp

¨

˚

˚

˚

˝

n“n0

Re pLog pfn pzqqqlooooooooomooooooooon

ď|Logpfnpzqq|

˛

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

exp

˜

`8ÿ

n“N`1

Log pfn pzqq

¸

´ 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Soit ε ą 0 comme exp p0q “ 1 Dδ ą 0 @ |z| ă δ |ez ´ 1| ăε

M

D’autre part, la série`8ÿ

n“n0

Log pfnq converge normalement sur K, donc uni-

formément sur K.Dn1 ě n0 @N ě n1 :

supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8ÿ

n“N`1

Log pfn pzqq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď δ

Il s’ensuit que :

@z P K, @N ě n, |G pzq ´GN pzq| ď ε

Conclusion : pGnqně0 converge uniformément vers G sur tout compact deΩ.

Emily Clement page 45

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soit pfnqně0 une suite de fonctions continues sur Ω ouvert non videde C.

Si le produit infini`8ź

n“0

fn converge normalement sur tout compact de

Ω, alors la limite limNÑ`8

˜

`8ź

n“0

fn pzq

¸

existe pour tout z P Ω.

On définit la fonction :

@z P Ω, G pzq “

˜

`8ź

n“0

fn

¸

pzq “ limNÑ`8

GN pzq

où @N ě 0, @z P Ω, GN pzq “Nź

n“0

fn pzq

De plus la suite pGnqně0 converge uniformément sur tout compact deΩ vers G.

Proposition 1.9.

Emily Clement page 46

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Soit pfnqně0 une suite de fonctions holomorphes sur Ω ouvert nonvide de C.

Si le produit infini`8ź

n“0

fn converge normalement sur tout compact de

Ω,

alors f “`8ź

n“0

fn est une fonction holomorphe sur Ω telle que :

Le produits partiels

˜

n“0

fn

¸

Ně0

converge uniformément sur tout

compact de Ω vers f , de plus,

@p ě 0,`8ź

n“0

fn “ f0f1 ¨ ¨ ¨ fp

˜

`8ź

n“p`1

fn

¸

looooomooooon

p1q

p1q : produit infini convergeant normalement sur tout compact de Ω.L’ensemble des zéros de f , noté Z pfq “ tz P Ω : f pzq “ 0u vérifie :

Z pfq “`8ď

n“0

tz P Ω, fn pzq “ 0u

et @z P Z pfq

ordref pz0qloooomoooon

p˚q

`8ÿ

n“0

ordrefn pz0qlooooomooooon

p˚˚q

p˚q : ordre de multiplicité de z0 comme zéro de f .p˚˚q : ordre de multiplicité de z0 comme zéro de fn.Avec la convention @k ě 0 k ` p`8q “ `8

Théorème 1.8.

Démonstration.

f “8ź

n“0

fn est holomorphe sur Ω comme limite uniforme sur tout compact

de Ω de fonctions holomorphes sur Ω données par les produits partiels :

Gn “

n“0

fn

Emily Clement page 47

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

D’après la définition de la convergence normale d’un produit infini, on re-

marque que si`8ź

n“0

fn converge normalement sur K compact de Ω, alors :

@p ě ´,`8ź

n“p

fn converge normalement sur K.

Il s’ensuit que @z P Ω @N ě p` 1 :

n“0

Nfn pzq

looooomooooon

ˆ

`8ś

n“0fn

˙

pzq

“ f0 pzq f1 pzq ¨ ¨ ¨ fp pzqNź

n“p`1

fn pzq

looooomooooon

Ñ8ś

n“p`1fnpzq

Soit U un ouvert relativement compact dans Ω, comme`8ź

n“0

fn converge nor-

malement sur U compact.

Il existe n0 ě 0 tel que

$

&

%

@z P U, @n ě n0, |fn pzq ´ 1| ď1

2`8ÿ

n“n0

Log fn converge normalement sur U

@N ě n0, @z P U :

n“0

fn pzq “ f0 pzq ¨ ¨ ¨ fn0´1 pzqNź

n“n0

fn pzqloomoon

eLogpfnpzqq

“ f0 pzq f1 pzq ¨ ¨ ¨ fn0´1 pzq exp

˜

Nÿ

n“n0

Log pfn pzqq

¸

Par passage à la limite quand N Ñ `8 : @z P U :˜

`8ź

n“0

fn

¸

pzq “ f0 pzq f1 pzq ¨ ¨ ¨ fn0´1 pzq exp

˜

`8ÿ

n“n0

Log pfn pzqq

¸

looooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooon

‰0,@zPU

La fonction Log est holomorphe sur CzR´ donc @n ě n0 la fonction z ÞÑ Log pfn pzqqest holomorphe sur U .

Comme de plus`8ÿ

n“n0

Log fn converge normalement sur U donc uniformément

Emily Clement page 48

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

sur U , on sait que la fonction z ÞÑ

`8ÿ

n“n0

Log fn est holomorphe sur U .

Il s’ensuit que Z pfq X U “n0´1ď

n“0

pZ pfnq X Uq.

Z pfq “`8ď

n“0

Z pfnq

Si fk0 pz0q “ 0˜

`8ź

n“0

fn

¸

pz0q “ f0 pz0q ¨ ¨ ¨ fk0 pz0qloomoon

“0

˜

`8ź

n“k0`1

fn

¸

pz0q

Si f pz0q “ 0 alors ordref pz0q “

n0´1ÿ

n“0

ordrefn pz0q “

`8ÿ

n“0

ordrefn pz0q car @n ě

n0, fn pz0q ‰ 0

Soit pfnqně0 une suite de fonction holomorphes sur Ω ouvert connexenon vide de C.On suppose que pour tout n ě 0 fn n’est pas identiquement nulle et

que le produit infini`8ź

n“0

fn converge normalement sur tout compact

de Ω, alors la série de fonction méromorphes

`8ÿ

n“0

f 1nfn

converge normalement sur tout compact de Ω etˆ

`8ś

n“0

fn

˙1

`8ś

n“0

fn

`8ÿ

n“0

f 1nfn

Théorème 1.9.

Démonstration.Soit U un ouvert relativement compact de Ω.

Comme le produit fini`8ź

n“0

fn converge normalement sur tout compact de Ω

Emily Clement page 49

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

donc sur U :Dn0 ě 0 @z P U :

˜

`8ź

n“0

fn

¸

pzq “ f0 pzq ¨ ¨ ¨ fn0 pzq exp

˜

`8ÿ

n“n0`1

Log pfn pzqq

¸

looooooooooooooomooooooooooooooon

p1q

p1q : g fonction holomorphe sur U tel que @z P U, g pzq ‰ 0où n0 ě 0 est tel que :

$

&

%

@n ě n0, supzPK

|fn pzq ´ 1| ď1

2`8ÿ

n“n0

Log fn CV normalement sur U

On a vu que

Z pfq X Uloooomoooon

nb fini

n0ď

n“0

Z pfnq X U Ăn0ď

n“0

Z pfnq X Ulooooomooooon

fini

car U compact et fn non identiquement nulle sur Ω ouvert connexe non vide,

Z pfnq est un ensemble de points isolés, où f “`8ź

n“0

fn

@z P Uz pZ pfq X Uq :ˆ

`8ś

n“0

fn

˙1

pzq

ˆ

`8ś

n“0

fn

˙

pzq

n0ÿ

n“0

f 1n pzq

fn pzq`g1 pzq

g pzq

où @z P U, g pzq “ exp

˜

`8ÿ

n“n0`1

Log pfn pzqq

¸

On a @z P U :

Emily Clement page 50

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

g1 pzq “ exp

¨

˚

˚

˚

˚

˝

n0ÿ

n“0

Log pfn pzqq

˜

`8ÿ

n“n0`1

Log pfn pzqq

¸1

looooooooooooomooooooooooooon

p1q

˛

“ g pzq`8ÿ

n“n0`1

»

pLog pfn pzqqq1

looooooomooooooon

p2q

fi

ffi

fl

“ g pzq`8ÿ

n“n0`1

f 1n pzq

fn pzqloooooomoooooon

p2q

Donc @z P U,g1 pzq

g pzq“

`8ÿ

n“n0`1

f 1n pzq

fn pzq

p1q : série de fonctions holomorphes qui CV normalement sur U donc nor-malement sur tout compact de U .p2q : série de fonctions holomorphes qui CV normalement sur tout compactde U@z P Uz pZ pfq X Uq :

ˆ

`8ś

n“0

fn

˙1

pzq

ˆ

`8ś

n“0

fn

˙

pzq

n0ÿ

n“0

f 1n pzq

fn pzqloooomoooon

fct méromorphe sur U

`

`8ÿ

n“n0`1

f 1n pzq

fn pzqloomoon

ftc holomorph sur U

On a établi la formule :ˆ

`8ś

n“0

fn

˙1

`8ś

n“0

fn

`8ÿ

n“0

f 1nfn

loomoon

p3q

sur tout ouvert relativement compact U dans Ω. p3q : Série de fonctionsméromorphes sur U qui converge normalement sur tout compact de U .Pour obtenir la convergence de cette série de fonctions méromorphes sur toutcompact de Ω on utilise le fait que l’on peut recouvrir tout compact pourun nombre fini d’ouverts relativement compact dans Ω (détails laissés enexercice)

Emily Clement page 51

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CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONSHOLOMORPHES

Exercice 1.2.Développer la fonction sinus en produit infini :

@z P C, sin pzq “ z`8ź

n“1

ˆ

1´z2

π2n2

˙

(produit infini qui CV normalement sur tout compact de C.

Montrons que`8ź

n“1

ˆ

1´z2

π2n2

˙

CV normalement sur tout compact de C.

Soit K un compact de C, DR ą 0 tel que K Ă B p0, Rq, i lsuffit de montrerque :

`8ÿ

n“0

pfn ´ 1q CVN sur K

car @n ě 1, @z P C, fn pzq “ 1´z2

π2n2

`8ÿ

n“1

supzP|fn pzq ´ 1| “

`8ÿ

n“1

supzPK

|z|2

π2n2ďR2

π2

`8ÿ

n“1

1

n2ă `8

D’après le théorème précédent, o a :ˆ

z`8ś

n“1

´

1´ z2

π2n2

¯

˙1

z`8ś

n“1

`

1´ z2

π2n2

˘

“1

z`

`8ÿ

n“1

´2zπ2n2

1´ z2

π2n2

“1

z` 2

`8ÿ

n“1

z

z2 ´ π2n2“ cot pzq

Emily Clement page 52

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Chapitre 2

La fonction Gamma

I La fonction Gamma selon Leohnard Euler (1707-1783) mathématicien suisse

1 Définition et premières propriétés

Pour tout z P C tel que Rez ą 0 la fonction Γ est définie par l’intégraleà paramètre :

Γ pzq “

`8ż

0

e´ttz´1dt

Définition 2.1.

Cette fonction est bien définie pour tout z P C` “ tz P C,Rez ą 0uEn effet :

ˇ

ˇe´ttz´1ˇ

ˇ “ e´ttRez´1

„tÑ0

1

t1´Rezintegrable en 0 car Rez ą 0

ˇ

ˇe´tzt´1ˇ

ˇ “ o´

e´t2

¯

quand tÑ `8 integrable en `8

On va voir que la propriété fondamentale de la fonction Γ est la fait qu’elleinterpole la fonction fatorielle par les valeurs entières.

@n ě 1,Γ pnq “ pn´ 1q!

Cette fonction apparaît dans de nombreux domaines mathématiques notam-ment en théorie analytique.

53

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

L’une des raisons est la fait que la fonction Γ apparaît comme la transforméede Mellin de la fonction exponentielle :

f pxq “ e´x

La transformée de Mellin est une transformation intégrale dénommée d’aprèsHajlmar Mellin (1854-1936) mathématicien finlandais qui correspond à untype de transformé de Laplace par des fonctions définies sur

`

R`´,ˆ˘

plutôtque sur pR,`q

M pfq pzq “

`8ż

0

f ptq tz´1dt

Formellement, on a :

M pfq pzq “

`8ż

0

f ptq tz´1dt

`8ż

´8

f pexq pexqz´1 exdx

ż

R

F pxq ezxdx transformé de Laplace de F

En effectuant le changement t “ ec dt “ exdx, F pxq “ f pexq

La fonction Γ est holomorphe sur C`

Proposition 2.1.

Cette propriété d’holomorphie est conséquence de résultat d’holomorphie desintégrales à paramètre.

Emily Clement page 54

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Soit pX,m, µq un espace mesuré où µ est une mesure positive.

Soient U un ouvert de C et f :X ˆ U Ñ Cpx, zq ÞÑ f px, zq

vérifiant :

1. @z P U l’application X Ñ Cx ÞÑ f px, zq

appartient à L1pµq.

2. Pour µ´presque tout x P X l’application U Ñ Cz ÞÑ f px, zq

est

holomorphe sur U3. @K Ă U compact DgK P L1

pµq gK ě 0 tel que :

supzPK

|f px, zq| ď gK pxq µ´ pp sur X

Alors :1. La fonction

U Ñ C

z ÞÑ F pzq “

ż

X

f px, zq dµ pxq

est holomorphe sur U2. @k ě 0, @z P U l’application

Z Ñ C

x ÞÑBkf

Bzkpx, zq

appartient à L1pUq

3. @z P U,@k ě 0 :

F pkq pzq “

ż

X

Bkf

Bzkpx, zq dµ pxq

Lemme 2.1.

En utilisant, on montre que Γ est holomorphe sur C`, soit K un compact deC`, il existe r1, r2 ą 0 tel que :

K Ă tz P C, r1 ď Rez ď r2u

Emily Clement page 55

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

supzPK

ˇ

ˇe´ttz´1ˇ

ˇ ď supr1ďRezďr2

e´ttRez´1ď gK ptq

où gK ptq “

#

e´ttr1´1 si 0 ă t ď t

e´ttr2´1 si t ą 1P L1

ps0,`8rq

CommeC` Ñ Cz ÞÑ e´ttz´1 est holomorphe sur C` pour tout t ą 0

On en déduit que Γ est holomorphe sur C`

Démonstration du lemme.soit zo P U Dr0 ą 0 tel que B pz0, 2r0q Ă U car U ouvert, soit pznqně1 une

suite de B´

z,r0

2

¯

z tz0u tel que limnÑ`8

zn “ z0

On veut montrer que :

limnÑ`8

f pznq ´ f pz0q

zn ´ z0

existe et qu’elle est indépendant du choix de pznq On considère :

N “

"

z P X tel que l’application U Ñ Cz ÞÑ f px, zq

n’est pas holomorphe sur U*

D’après 2q c’est un ensemble de mesure nulle µ pN q “ 0.Pour tout x R N on écrit la formule de Cauchy dans l’ouvert étoilé B px0, 2r0q

@x R N , @z P B pz0, 2r0q

f px, zq “1

2iπ

ż

Γ0

f px, tq

t´ zdt

où Γσ psq “ z0 ` t0eis, 0 ď s ď 2π

On a vu en TD que l’on peut justifier que :

@x R N , @z P B pz0, r0q ,Bf

Bzpx, zq “

1

2iπ

ż

Γ0

f px, tq

pt´ zq2dt

Emily Clement page 56

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Posons hn “ zn ´ z0 :

F pz0 ` thnq ´ F pz0q “

ż

X

pf px, z0 ` thnq ´ f px, z0qq dµ pxq

ż

XzN

¨

˚

˚

˝

f

¨

˚

˚

˝

x, z0 ` thnlooomooon

znPBpz0, r02 q

˛

´ f px, z0q

˛

dµ pxq

“1

2iπ

ż

XzN

¨

˝

ż

Γ0

f px, tq

t´ pz0 ` thnqdt´

ż

Γ0

f px, tq

pt´ z0qdt

˛

‚dµ pxq

“1

2iπ

ż

XzN

¨

˝

ż

Γ0

f px, tq

t´ z0

ˆ

t´ z0 ´ pt´ z0 ´ hnq

t´ z0 ´ hn

˙

dt

˛

‚dµ pxq

F pz0 ` hnq

hn“

1

2iπ

ż

XzN

¨

˝

ż

Γ0

f px, tq

pt´ z0q pt´ z0 ´ hnqdt

˛

‚dµ pxq

ż

XzN

Gn pxq dµ pxq

où @n ě 1 :

Gn pxq “1

2iπ

ż

Γ0

f px, tq

pt´ z0q pt´ z0 ´ hnqdt

“1

2iπ

ż

Γ0

f px, z0 ` r0eisq

r0eis pr0eis ´ hnqir0e

isds

@0 ď s ď 2π, limnÑ`8

f px, z0 ` r0eisq

2π pr0eis ´ hnq“f px, z0 ` r0e

isq

2πr0eis

D’autre part, @n ě 1 : comme @n ě 1, |hn| ďr0

2:

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

f px, z0 ` r0eisq

2π pr0eis ´ hnq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď supzPΓ0

|f px, zq| ¨1

2πr02ă `8

car z ÞÑ f px, zq est continue sur Γ0 car holomorphe sur U et Γ0 est compact.

Emily Clement page 57

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

D’après le théorème de convergence dominée, on obtient : @n R N

limnÑ`8

Gn pxq “1

2πż

0

f px, z0 ` r0eisq

pr0eisqds

“1

2iπ

ż

Γ0

f px, tq

pt´ z0q2dt

“Bf

Bzpx, z0q

D’autre part :

@n ě 1, @x R N , |Gn pzq| ď2

r0

supzPΓ0

|f px, zq| ď2

r0

gΓ0 pxq µ´ pp

où gγ0 P L1pµq car car l’hypothèse 2q, on a la denrière inégalité car Γ0 est

compact.Une nouvelle utilisation du théorème de convergence dominée montre que :

x ÞÑBf

Bzpx, z0q P L

1pµq

etlim

nÑ`8

F pz0 ` hnq ´ F pz0q

hn“

ż

XzN

Bf

Bzpx, z0q dµ pxq

Il s’ensuit que H est holomorphe sur U et :

@z P U, F 1 pxq “

ż

X

Bf

Bzpx, zq dµ pxq

SoitK Ă U compact. Comme précédemmentK Ă

j“1

zj,rj2

¯

Ă

j“1

B pzj, 2rjq

où zj P U rj ą 0On écrit la formule de Cauchy dans l’ouvert étoilé B pzj, 2rjq@x R N , @z P B pzj, rjq

f px, zq “1

2iπ

ż

Γj

f px, tq

t´ zdt

où Γj pzq “ zj ` rjeis 0 ď s ď 2π

@x R N , @z P B´

zj,rk2

¯

,Bf

Bzpx, zq “

1

2iπ

ż

Γj

f px, tq

pt´ zq2dt

Emily Clement page 58

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

donc :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Bf

Bzpx, zq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď1

2πL pΓiq sup

tPSupp Γi

|f px, tq|

|t´ z|2ď

rj

prj2q2 suptPSupp Γj

|f px, tq|

Donc @x R N , supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Bf

Bzpx, zq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď2

inf1ďjďN

rjsup

tPNŤ

j“1Supp Γj

|f px, tq| ď gK0 pxq P

L1pµq µ´ pp On peut donc itérer et obtenir le résultat du lemme.

2 Prolongement analytique de la fonction Γ

1. @z P C`,Γ pz ` 1q “ zΓ pzq

2. @n P NΓ pn` 1q “ n!

Proposition 2.2.

Démonstration.

1. Soit ε ą 0 : Pour tout z P C`, en effectuant l’intégration par partieavec : u “ tz v1 “ e´t u1 “ ztz´1 v “ ´e´t

1εż

ε

e´ttzdt ““

´e´ttz‰

ε` z

1εż

ε

e´ttz´1dt

“ e´εεz ´e´1ε

εz``z

1εż

ε

e´ttz´1dt

D’après le théorème de convergence dominée on a :

limεÑ0

1εż

ε

e´ttzdt “`8ż

0

e´ttz`1´1dt “ Γ pz ` 1q

Emily Clement page 59

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

D’autre part, on déduit également du théorème de convergence domi-née :

limεÑ0

e´εεz ´ e´1ε

ˆ

1

ε

˙z

` z

1εż

ε

e´ttz´1dt “ zΓ pzq car Rez ą 0

Donc :@z P C`Γ pz ` 1q “ zΓ pzq

2. On remarque que Γ p1q “

0

e´tdt ““

´e´t‰`8

0“ 1 “ 0!

Par récurrence, on démontre que @n ě 0

Γ pn` 1q “ n!

(l’initialisation n “ 0 est triviale)Si Γ pn` 1q “ n! où n ě 0 on a :

Γ pn` 2q “ pn` 1qΓ pn` 1q “ pn` 1qn! “ pn` 1q!

La fonction Γ admet une unique prolongement analytique surCz t´Nu noté encore Γ.Ce prolongement définit une fonction méromorphe sur C avec despôles simples en tout point de l’ensemble ´N de résidus :

@k P N, res pΓ,´kq “p´1qk

k!

De plus : @z P Cz t´Nu

Γ pz ` 1q “ zΓ pzq

Γ pz ` 1q P Cz t´Nu si z P Cz t´Nu

Théorème 2.1.

Le théorème montre que pour tout k P N :@ε ă 1, Dh P H pN p´k, εqq , @z P B p´k, εq z t´ku

Γ pzq “p´1qk

k!

1

pz ` kq` h pzq

Emily Clement page 60

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Démonstration.Démonstration par la relation fonctionnelle : @z P C`,Γ pz ` 1q “ zΓ pzqSoit k ě 1 on définit

Γk pzq “Γ pz ` kq

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` k ´ 1q

Comme Γ est holomorphe sur C` la fonction Γk est holomorphe sur tz P C,Rez ą ´ku z t0,´1, ¨ ¨ ¨ ,´pk ` 1quet définit une fonction méromorphe sur l’ensemble tz P C,Rez ą ´ku dontles pôles sont donnés par t0,´1,´2, ¨ ¨ ¨ ,´pk ´ 1qu. Ces pôles sont toussimples.Rappel Si a est un pôle simple d’une fonction méromorphe f alors le résidude f au point a est donnée par :

res pf, aq “ limzÑa

pz ´ aq f pzq

@j “ 0, ¨ ¨ ¨ , k ´ 1

res pΓk,´jq “ limzÑ´j

pz ` jqΓk pzq

“ limzÑ´j

Γ pz ` jq

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` j ´ 1q pz ` j ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` k ´ 1q

“Γ pk ´ jq

p´jq p´j ` 1q ¨ ¨ ¨ p´1q ˆ 1ˆ 2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pk ´ j ` 1q

“p´1q

pk ´ j ´ 1q!

p1ˆ 2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ jq p1ˆ 2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ k ´ j ` 1q

“p´1qj

j!

D’autres part, @z P C`

Γk pzq “Γ pz ` kq

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` k ´ 1q“

Γ pz ` k ´ 1q

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` k ´ 2q

“Γ pz ` 1q

z“ Γ pzq

Γk est un prolongement de la fonction Γ sur l’ouvert connexe Ωk

Ωk “ tz P C,Rez ą ´ku z t0,´1, ¨ ¨ ¨ ,´pk ´ 1qu

D’après le principe des zéros isolés, ce prolongement est unique car Ωk estun ouvert connexe.Par unicité, on a nécessairement :

@k, ρ ě 1, 1 ď ρ ď k,Γk |Ωk “ Γk

Emily Clement page 61

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

On définit Γ la fonction définie sur Cz t´Nu de la manière suivante :@z P Cz t´Nu

Γ pzq “ Γk pzq p˚q

où k P N˚ tel que Rez ą ´k (définition indépendante du choix de k par p˚q)Γ est donc un prolongement analytique sur Cz t´Nu de la fonction Γ définieinitialement sur C`.Comme Cz t´Nu est un ouvert connexe, ce prolongement est nécessaire-ment unique, noté encore Γ.D’après la définition de Γ “ Γ, Γ définit une fonction méromorphe sur Cdont les pôles sont donnés par les points de ´N qui sont tous simples et derésidus :

@k P N, res pΓ,´kq “p´1qk

k!

D’autres part : z fÑ Γ pz ` 1q est holomorphe sur Cz t´Nu ouvert connexe

et zgÑ zΓ pzq est holomorphe sur Cz t´Nu.

Comme @z P C` f pzq “ g pzq le prolongement analytique assure que :

@z P Cz t´Nu , f pzq “ g pzq

ie Γ pz ` 1q “ zΓ pzqAutre démonstration en TD.

II La fonction Γ selon Karl Weierstrass (1815-1897, mathématicien allemand)

On considère le produit infini :

G pzq “`8ź

n“1

´

1`z

n

¯

e´zn

On vérifie que ce produit infini des fonctions holomorphes fn pzq “´

1`z

n

¯

e´zn

sur C converge normalement sur tout compact de C (ouvert connexe), fnétant non identiquement nulle sur C.Soit K un compact de C, DR ą 0 tel que

K Ă B p0, Rq

Emily Clement page 62

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Il suffit de vérifier la série`8ÿ

n“1

pfn ´ 1q converge normalement sur K

@z P K, @n ě 1

fn pzq ´ 1 “ e´zn

´

1`z

n

¯

´ 1 “´

e´zn ´

´

1´z

n

¯¯´

1`z

n

¯

fn pzq ´ 1 “´

e´zn ´

´

1´z

n

¯¯´

1`z

n

¯

“z2

n2Par la formule de Taylor avec reste intégral appliqué à h ptq

“ e´tzn , t P r0, 1s

´ z

n

¯21ż

0

p1´ tq e´tzn dt

supzinK

|fn pzq ´ 1| ď sup|z|ďR

|fn pzq ´ 1|

ďR2

n2`R2

n2eRn

ˆ

1`R

N

˙

ďR2

n2

`

1` eR p1`Rq˘

`8ÿ

n“1

supzPK

|fn pzq ´ 1| ď R2`

1` eR˘

p1`Rq`8ÿ

n“1

1

n2ă `8

Le produit infini G converge donc normalement sur tout compact de C.

@n ě 1,Z pfnq “ tz P C, fn pzqu “ ´n

et ´n est un zéro simple de fnD’après le théorème du cours, on a :

Z pGq “ tz P C, G pzq “ 0u “`8ď

n“1

Z pfnq “ ´N˚

De plus, les zéros de la fonction G sont tous simples, ie,

@n P N˚, G p´nq “ 0 et G1 p´nq ‰ 0

Il s’ensuit que la fonction z P C ÞÑ G pz ´ 1q P C est une fonction entièredont les zéros sont exactement données par les points de l’ensemble ´N qui

Emily Clement page 63

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

sont de plus tous simples.On définit la fonction :

@z P Bz t´Nu , H pzq “G pz ´ 1q

zG pzq

H est holomorphe sur Cz t´Nu et admet des fausses singularité en tout pointde l’ensemble ´N.car @k P N :

limzÑ´k,z‰´k

H pzq “ limzÑ´k,z‰´k

G pz ´ 1q ´G p´k ´ 1q

z ´ p´kq

z ´ p´kq

zG pzq ´ p´kqG p´kq

“G1 p´k ´ 1q

ddz pzG pzqq|z“´k

P C

Car G p´k ´ 1q “ p´kqG p´kq “ 0ddzpzG pzqq

|z“´k ‰ 0 puisque les zéros de la fonction z ÞÑ zG pzq sontdonnés par l’ensemble ´N et que ces zéros sont tous simples.La fonction H se prolonge donc en une fonction entière qui ne s’annule parsur C :

@z P C, H pzq ‰ 0

car @k P N, G1 p´k ´ 1q ‰ 0 car les zéros de la fonction G sont tous simples.On rappelle le résultat suivant :

Soit Ω un ouvert étoilé non vide de C, ou plus généralement un ouvertsimplement connexe de C.

1. Toute fonction holomorphe f sur Ω admet une primitive F surΩ :

@z P Ω, F 1 pzq “ f pzq

primitive unique à l’ajout d’une constante près.2. Pour toute fonction holomorphe f sur Ω vérifiant :

@z P Ω, f pzq ‰ 0

Il existe g P H pΩq tel que @z P Ω, f pzq “ egpzq

Proposition 2.3.

Emily Clement page 64

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Admis, référence livre : Rudin.D’après 2q, il existe une fonction entière h tel que :

@z P C, H pzq “ ehpzq

On en déduit :

@z P Cz t´Nu , H pzq “G pz ´ 1q

zG pzq“ ehpzq

@z P Cz t´Nu , G pz ´ 1q “ zG pzq ehpzq

Par continuité : @z P CG pz ´ 1q “ zG pzq ehpzq

car G et h sont des fonction entière.@z P C

G1 pz ´ 1q “ G pzq ehpzq ` zG1 pzq ehpzq ` zG pzqh1 pzq ehpzq

Comme @z P Cz t´Nu :

G1 pz ´ 1q

G pz ´ 1q“G pzq ehpzq`zG

1pzqehpzq`zGpzqh1pzqehpzq

zG pzq ehpzq

Z pz ÞÑ G pz ´ 1qq “ ´N “1

z`G1 pzq

G pzq` h1 pzq

D’après un théorème précédent :@z P CzZ pGq “ Cz t´N˚u

G1 pzq

G pzq“

`8ÿ

n“1

f 1n pzq

fn pzq

où fn pzq “´

1`z

n

¯

e´zn , on a une série de fonctions méromorphes conver-

geant normalement sur tout compact de C.@z P Cz t´N˚u

G1 pz ´ 1q

G pz ´ 1q“

`8ÿ

n“1

ˆ

1

z ` n´ 1´

1

n

˙

z ´ 1 R N˚

“ limNÑ`8

Nÿ

n“1

ˆ

1

z ` n´ 1´

1

n

˙

“ limNÑ`8

«

1

1

N`

N´1ÿ

n“1

ˆ

1

z ` n´

1

n

˙

ff

“1

z`G1 pzq

G pzq

Emily Clement page 65

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

On en déduit @z P Cz t´Nuh1 pzq “ 0

Par continuité, on en déduit que @z P C, h1 pzq “ 0Par connexité de C, on en déduit qu’il existe c0 P C tel que

@z P C, h pzq “ c0

Il s’ensuit :@z P C, G pz ´ 1q “ zG pzq ec0

Pour z “ 1, G p0q “ G p1q ec0

Or G p0q “ limNÑ`8

n“1

fn p0q “ 1

G p1q “ limNÑ`8

n“1

fn p1q

G p1q “ limNÑ`8

n“1

ˆ

1`1

n

˙

e´1n

looooooomooooooon

PR`

P R`

Donc 1 “ G p1qloomoon

PR`

ec0 donc G p1q P R˚`

ec0 “1

G p1qP R˚`

On définit la constante d’Euler :

γ “ ln pec0q P R

Définition 2.2.

eγ “ ec0

On a alors :@z P C, G pz ´ 1q “ zG pzq eγ

Emily Clement page 66

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

On a :

1 “ G p1q eγ “ eγ limNÑ`8

n“1

ˆ

1`1

N

˙

e´1n

“ limNÑ`8

eγNź

n“1

eplnp1`1nq´

1nq

“ limNÑ`8

exp

˜

γ `Nÿ

n“1

ˆ

ln

ˆ

1`1

n

˙

´1

n

˙

¸

limNÑ`8

γ ´

˜

Nÿ

n“1

1

n´ ln

ˆ

n` 1

n

˙

¸

“ 0

limNÑ`8

˜

Nÿ

n“1

1

n

¸

“ ln pN ` 1qloooomoooon

“lnN`lnp1` 1N q

´γ “ 0

car ln

ˆ

n` 1

n

˙

“ ln pn` 1q ´ ln pnq

limNÑ`8

«˜

Nÿ

n“1

1

n

¸

´ lnN

ff

“ γ

γ “ limNÑ`8

˜

Nÿ

n“1

1

n

¸

´ lnN

Proposition 2.4.

Remarque 2.1.On connait peu de chose sur la constante d’Euler γ “ 0, 57 ¨ ¨ ¨ . On ne saitpas si γ est irrationnel ou non, ou si elle est transcendante ou non.

On définit la fonction :F pzq “

1

zG pzq eγz

F est une fonction méromorphe sur C dont les pôles sont exactement donnéspar les points de l’ensemble ´N qui sont de plus tous simples.Il s’ensuit que F est une fonction holomorphe sur Cz t´Nu qui ne s’annule

Emily Clement page 67

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

par sur Cz t´Nu.On remarque sur :

@z P Cz t´Nu , F pz ` 1q “1

pz ` 1qG pz ` 1q eγpz`1q

car @z P C, G pz ´ 1q “ zG pzq eγ

F pz ` 1q “1

G pzq eγz“

z

zG pzq eγz“ zF pzq

On a, @z P Cz t´Nu :

Γ pzq “1

zeγz`8ś

n“1

`

1` zn

˘

e´zn

Théorème 2.2 (Définition de la fonction Γ selon Weiertrass).

Conséquences : @z P Cz t´Nu Γ pzq ‰ 0

Démonstration.

On considère @z P C` Fn pzq “nż

0

ˆ

1´t

n

˙n

tz´1dt

On vérifie que fn est holomorphe sur C` :

— Fn est bien définie :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˆ

1´t

n

˙n

tz´1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

„ tRez´t est intégrable en 0 car

Rez ą 0.SoitK un compact de C`, il existe δ ą 0 tel queK Ă

"

z P C, δ ď Rez ď1

δ

*

— @t P s0, ns z ÞÑ

ˆ

1´t

n

˙n

tz´1 est holomorphe sur C`.

— supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˆ

1´t

n

˙n

tz´1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

#

tδ´1 si 0 ă t ď 1

t1δ´1 sit ą 1

est intégrable sur r0, ns

D’après le théorème de régularité des intégrales à paramètre, Fn estholomorphe sur C`.On a : @z P C` :

Γ pzq ´ Fn pzq “

0

ˆ

e´t ´

ˆ

1´t

n

˙n˙

tz´1dt

looooooooooooooooomooooooooooooooooon

“Inpzq

`

`8ż

n

e´ttz´1dt

loooooomoooooon

“Jnpzq

Emily Clement page 68

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Comme t ÞÑ e´ttz´1 P L1pr0,`8rq, d’après le théorème de convergence

dominée :@z P C`, lim

nÑ`8Jn pzq “ 0

1. @0 ď x ď 1

1` x ď ex ď1

1´ x

2. @n ě 0 @0 ď x ď 1

1´ nx ď p1´ xqn

Lemme 2.2.

Démonstration.

1. @0 ď x ď 1 :

1` x ď`8ÿ

k“0

xk

k!“ ex ď

`8ÿ

k“0

xk “1

1´ x

2. Si n “ 0 ou n “ 1 c’est trivial.Par récurrence, supposons @0 ď x ď 1 1´ nx ď p1´ xqn alors :

p1´ nxq p1´ xq ď p1´ xqn`1

Donc :

1´ pn` 1qx ď 1´ pn` 1qx` nx1“ p1´ nxq p1´ xq ď 1 p1´ xqn`1

Montrons que @0 ď t ă n : 0 ď e´t ´

ˆ

1´t

n

˙n

ďt2e´t

n

Posons x :“t

nP r0, 1r.

D’après 1q :

0 ď 1`t

nď e

tn ď

1

1´ tn

Donc :ˆ

1`t

n

˙n

ď et ď1

`

1´ tn

˘n

Emily Clement page 69

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

D’où :0 ď e´t ´

ˆ

1´t

n

˙n

De plus :

e´t ´

ˆ

1´t

n

˙n

“ e´tˆ

1´ e´tˆ

1´t

n

˙n˙

ď e´tˆ

ˆ

1`t

n

˙nˆ

1´t

n

˙n˙

ď e´tˆ

ˆ

1´t2

n2

˙n˙

ď e´tˆ

ˆ

1´ nt2

n2

˙˙

“e´tt2

n

Alors @z P C` :

|In pzq| ď

0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

e´t ´

ˆ

1´t

n

˙n

looooooooomooooooooon

ď t2e´t

n

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

eRez´1dt

ď1

n

`8ż

0

e´ttRez`1dt

“1

nΓ pRez ` 1q ÝÑ

nÑ`80

En conclusion : @z P C` Fn pzq ÝÑnÑ`8

Γ pzq

Emily Clement page 70

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

D’autre part pour z P C` :

Fn pzq “

0

ˆ

1´t

n

˙n

tz´1dt “s“ t

n

nz1ż

0

p1´ sqn sz´1ds

“ nzn

z

0

p1´ sqn´1 szds par IPP où u “ p1´ sqn , v1 “ sz´1

“ nzn

z

pn´ 1q

z ` 1¨ ¨ ¨

1

z ` n´ 1

0

sz`n´1ds

“nzn!

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` nq

F pzq “1

zeγz`8ś

n“1

`

1` zn

˘

e´zn

“ limNÑ`8

1

z

ˆ

n“1

`

1` zn

˘

e´zn

˙

exp

ˆ

z

ˆ

k“1

1k´ lnN

˙˙

“ limNÑ`8

N z

z`

1` z1

˘ `

1` z2

˘

¨ ¨ ¨`

1` zN

˘

“ limNÑ`8

N zN !

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz `Nqlooooooooooomooooooooooon

“FN pzq

Par unicité de la limite, on obtient que @z P C` F pzq “ Γ pzq, commeCz t´Nu est un ouvert connexe et que F et Γ sont holomorphes surCz t´Nu on obtient par prolongement analytique :

@z P Cz t´Nu , F pzq “ Γ pzq

On a :@z P CzZ,Γ pzqΓ p1´ zq “

π

sin pπzq

Proposition 2.5 (Formule des compléments).

Emily Clement page 71

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Démonstration.@z P CzZ :

1

Γ pzq“ zeγz

n“1

´

1`z

n

¯

e´zn

1

Γ p´zq“ p´zq e´γz

n“1

´

1`z

n

¯

e´zn

Montrons que`8ź

n“1

ˆ

1´z2

n2

˙

converge normalement sur tout compact de C :

— Soit K un compact de C, il existe R ą 0 tel que K Ă B p0, Rq, on a :

`8ÿ

n“1

supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˆ

1´z2

n2

˙

´ 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď R2`8ÿ

n“1

1

n2ă `8

Donc pour tout z P CzZ :

1

Γ pzqΓ p´zq“ lim

NÑ`8

˜

zeγzNź

n“1

´

1`z

n

¯

e´zn

¸˜

p´zq e´γzNź

n“1

´

1´z

n

¯

ezn

¸

“ limNÑ`8

´z2Nź

n“1

ˆ

1´z2

n2

˙

“ ´z2`8ź

n“1

ˆ

1´z2

n2

˙

On utilise la formule suivante (vue en TD3) :

@z P C, sin pπzq “ πz`8ź

n“1

ˆ

1´z2

n2

˙

On obtient alors :

@z P CzZ,1

Γ pzqΓ p´zq“ ´

z

πsin pπzq

Donc @z P CzZ :

Γ pzqΓ p1´ zq “ Γ pzq p´zqΓ p´zq “z

sin pπzq

Emily Clement page 72

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

1. Γ

ˆ

1

2

˙

“?π

2.ż

R

ex2

dx “?π

3. @n ě 0

Γ

ˆ

n`1

2

˙

?π p2nq!

22nn!

4. @n ě 0

Γ

ˆ

´n`1

2

˙

?πn!22n p´1qn

p2nq!

Corollaire 2.1.

Démonstration.D’après la formule des compléments avec z “

1

2:

Γ

ˆ

1

2

˙2

“ π

Or Γ

ˆ

1

2

˙

“ 2

`8ż

0

e´tt´12dt ą 0 donc Γ

ˆ

1

2

˙

“?π.

De plus Γ

ˆ

1

2

˙

“t“x2

2

`8ż

0

e´x2

dx “ż

R

e´x2

dx

donc @n ě 0 :

Γ

ˆ

n`1

2

˙

ˆ

n´1

2

˙

Γ

ˆ

n´1

2

˙

ˆ

n´1

2

˙

¨ ¨ ¨

ˆ

1

2

˙

Γ

ˆ

1

2

˙

“p2n´ 1q p2n´ 3q ¨ ¨ ¨ 3 ¨ 1

2n?π

“p2nq!

2n p2nq p2n´ 2q ¨ ¨ ¨ 2

“p2nq!

22nn!

Emily Clement page 73

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

De plus : @n ě 0 :

Γ

ˆ

n`1

2

˙

Γ

ˆ

ˆ

n`1

2

˙˙

“π

sin`

π`

n` 12

˘˘ “ p´1qn π

Donc @n ě 0 Γ

ˆ

´n`1

2

˙

“p´1qn 22nn!

p2nq!

III La fonction Γ selon Carl Friedrich (1777-1855) mathématicien allemand

On a :

@z P Cz t´Nu ,Γ pzq “ limnÑ`8

nzn!

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` nq

Théorème 2.3.

Démonstration.On utilise la formule de Weierstrass : @z P Cz t´Nu :

Γ pzq “1

zγz`8ś

n“1

`

1` zn

˘

e´zn

“ limNÑ`8

1

z exp

ˆ

k“1

1k´ lnN

˙

n“1

`

1` zn

˘

e´zn

“ limNÑ`8

N !N z

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz `Nq

IV Comportement asymptotique de la fonctionΓ

On rappelle que :

@z P Cz t´Nu ,Γ pzq “1

zeγ2

`8ś

n“1

`

1` zn

˘

e´zn

Emily Clement page 74

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

où γ désigne la constante d’Euler, et où le produit infini`8ź

n“1

´

1`z

n

¯

e´zn

converge normalement sur tout compact de C. De plus, @z P Cz t´Nu Γ pzq ‰0On veut étudier la fonction Γ dans le champ réel. Comme Γ est holomorphesur Cz t´Nu, Γ définit une fonction C8 sur Rz t´Nu.De plus comme Γ est une fonction méromorphe sur C, on a :@k P N, lim

zÑ´k|Γ pxq| “ `8 D’autre part,

@x P R˚`,Γ pxq “`8ż

0

e´ttx´1loomoon

continue sur s0,`8r

dt ą 0

(formulation d’Euler)On sait :

@z P Cz t´Nu ,Γ pz ` 1q “ zΓ pzq

Soit x P Rz t´Nu , D!k ě 0 tel que : ´k ´ 1 ă x ă ´kOn a :

0 ă Γ

¨

˝x` k ` 1loooomoooon

ą0

˛

‚“ px` kqΓ px` kq

“ px` kqloomoon

ă0

px` k ´ 1qlooooomooooon

ă0

¨ ¨ ¨ px` 1qloomoon

ă0

xloomoon

ă0

Γ pxq

On a pk ` 1q facteurs ă 0.

On en déduit que :

#

Γ pxq ą 0 si k est impairΓ pxq ă 0 si k est pair

D’après le formule de Weierstrass on a :

@z P Cz t´Nu ,1

Γ pzq“ zeγz

`8ź

n“1

´

1`z

n

¯

e´zn

looooooooomooooooooon

p1q

p1q : produit infini de fonctions holomorphes qui converge normalement surtout compact de C.Comme C est connexe et pour tout n ě 1, fn pzq “

´

1`z

n

¯

e´zn est non

identiquement nulle.D’après le théorème précédent :

`

˘1

“1

z`peγzq

eγz`

`8ÿ

n“1

``

1` zn

˘

e´zn

˘1

`

1` zn

˘

e´zn

Emily Clement page 75

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

C’est une série de fonction méromorphes sur C qui converge normalementsur tout compact de C.

´Γ1pzq

Γpzq2

1Γpzq

“1

z` γ `

`8ÿ

n“1

˜

1n

e´zn

`

1` zn

˘

e´zn

´1

n

¸

´Γ1 pzq

Γ pzq“

1

z` γ ´

`8ÿ

n“1

z

pz ` nqn

D’après le théorème précédent :

´´Γ2 pzq ¨ Γ pzq ` pΓ1 pzqq2

Γ pzq2“ ´

1

z2´

`8ÿ

n“1

1

n

pz ` nq´z

pz ` nq2“ ´

1

z2´

`8ÿ

n“1

1

pz ` nq2

@z P Cz t´Nu

´´Γ2 pzq ¨ Γ pzq ` pΓ1 pzqq2

Γ pzq2“

`8ÿ

n“0

1

pz ` nq2

@x P Rz t´Nu,

Γ2 pxqΓ pxq ´ pΓ1 pxqq

Γ pxq2“

`8ÿ

n“0

1

px` nq2ą 0

On vérifie en fait que Γ est log´convexe sur s0,`8r, ie x P s0,`8r ln pΓ pxqqest convexe.En effet soit x P s0,`8r g pxq :“ ln pΓ pxqq@x ą 0

g1 pxq “Γ1 pxq

Γ pxq, g2 pxq “

Γ2 pxqΓ pxq ´ pΓ1 pxqq2

Γ2 pxqą 0

donc g est convexe sur s0,`8r ie @x, y ą 0 @0 ď t ď 1

g pp1´ tqx` tyq ď p1´ tq g pxq ` tg pyq

donc

ln pΓ pp1´ tqx` tyqq ď p1´ tq ln pΓ pxqq ` t ln pΓ pyqq “ ln`

Γ pxq1´t`

Γ pyqt˘˘

Emily Clement page 76

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Sur l’intervalle s0,`8r la fonction Γ est l’unique fonction à valeurdans s0,`8r, deux fonctions dérivables log´convexe sur s0,`8r vé-rifiant :

#

@x ą 0,Γ px` 1q “ xΓ pxq

Γ p1q “ 1

Proposition 2.6.

Voir exercice en TD.

Soit I “ sa, br un intervalle ouvert, (borné ou non) ϕ P C8 pI,Rq etf P C0

pI,Cq tel que :

1. @t ą 0

a

etϕpxq |f pxq| dx ă `8

2. Da ă x0 ă b Dδ0 ą 0 tel que :a ă x0 ´ δ0 ă x0 ` δ0 ă b, @x P sa, br z tx0u,

$

&

%

ϕ pxq ă ϕ px0q

ϕ1 px0q “ 0, ϕ2 px0q ă 0

supxPsz,x0´δ0rYsx0`δ0,br

ă ϕ px0q

et f px0q ‰ 0

Alors :

I ptq “

a

etϕpxqf pxq dxtÑ `8„

?2π

a

|ϕ2 px0q| tetϕpx0qf px0q

Proposition 2.7 (Méthode de Laplace–Cas d’une phase imaginaire pure).

Démonstration.D’après la formule de Taylor avec reste intégral :

@z ă x ă b, ϕ pxq “ ϕ px0q`ϕ1px0q

loomoon

“0

px´ x0q`

¨

˝

0

p1´ tqϕ2 p1´ tqx0 ` t p´xq dt

˛

‚px´ x0q2

Emily Clement page 77

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

Posons @x P sa, br

ψ0 :“

0

pp1´ tqϕ2 p1´ tqx0 ` txq dt

On note :

ψ0 px0q “ ϕ2 px0q

0

p1´ tq dt “1

2ϕ2 px0q ă 0

@a ă x ă b ϕ pxq “ ϕ px0q ´ σ px´ x0q2 ψ pxq

$

&

%

σ “1

2|ϕ2 px0q| ą 0

ψ pxq “1

ψ0 px0qψ0 pxq

, ψ P C8 psa, brq vérifiant ψ px0q “ 1 On définit

Y pxq “ px´ x0qa

ψ pxq au voisinage de x0.

Y 1 pxq “a

ψ pxq `px´ x0q

2a

ψ pxqψ1 pxq

On a Y 1 px0q “ 1, D0 ă δ ăδ

2tel que :

Y :sx0 ´ δ, x0 ` δr Ñ sY px0 ´ δq ,Y px0 ` δqr

x ÞÑ px´ x0qa

ψ pxq

soit un C8 difféomorphisme de sx0 ´ δ, x0 ` δr dans sY px0 ´ δq ,Y px0 ` δqrSoit θ P C80 pRq tel que :

$

&

%

θ “ 1 sur

x0 ´δ

2, x0 `

δ

2

Supp θ Ă sx0 ´ δ, x0 ` δr

0 ď θ ď 1

I ptq “ I1 ptq ` I2 ptq

où I1 ptq “

a

etϕpxqθ pxq f pxq dx et I1 ptq “

a

etϕpxq p1´ θ pxqq f pxq dx

On a :

I1 ptq “

x0`δż

x0´δ

etϕpx0qe´σtYpxq2

θ pxq f pxq dx

Emily Clement page 78

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

car Supp θ Ă sx0 ´ δ, x0 ` δr Donc :

I1 ptq “

Ypx0`δqż

Ypx0´δq

etϕpx0qe´σty2 θ pg pyqq f pg pyqq

Y 1 pg pyqqdy

“ etϕpx0q

ż

R

e´σty2

F pyq dy

par le changement de variable y “ Y pxq ô x “ g pyq , dy “ Y pxq dx

où F pyq “θ pg pyqq f pg pyqq

Y 1 pg pyqqP C0

c pRq tel que SuppF Ă sY px0 ´ δq ,Y px0 ` δqr

car g est C8 sur sY px0 ´ δq ,Y px0 ` δqr

F p0q “θ pg p0qq f pg p0qq

Y 1 pg p0qq“θ px0q f px0q

Y 1 px0q“ f px0q

I1 ptq “etϕpx0q

?σt

ż

R

e´s2

F

ˆ

s?σt

˙

ds s “?σtY et ds “

?σtdY

On note @s P R limtÑ`8

F

ˆ

s?σt

˙

“ F p0q “ f px0q car F est C0c pRq

@t ą 0, @s P Rˇ

ˇ

ˇ

ˇ

e´s2

F

ˆ

s?σt

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď F L8pRqe´s2

P L1pRq

D’après le théorème de convergence dominée :

limtÑ`8

ż

R

e´s2

F

ˆ

s?σt

˙

ds “?πf px0q

On obtient I1 ptq tÑ `8„

etϕpx0qf pxq

d

t |ϕ2 px0q|Estimation du terme I2 ptq “

a

etϕpxq p1´ θ pxqq f pxq dx

D’après les hypothèses sur ϕ, Dr ą 0 @x P Supp p1´ θq

ϕ pxq ď ϕ px0q ´ r

Emily Clement page 79

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

I2 ptq “

a

eϕpxqept´1qϕpx0qept´1qpϕpxq´ϕpx0qq p1´ θ pxqq f pxq dx

@t ě 1

|I2 ptq| ďetϕpx0q

eϕpx0q

a

eϕpxq´pt´1qµ|f pxq| dx “ etµetϕpx0qC0

où C0 “eµ

eϕpx0q

a

eϕpxq |f pxq| dx ă `8

Conclusion :

I ptq tÑ `8„

etϕpx0qf px0q

d

|ϕ px0q t|

1. Γ pt` 1q „tÑ`8

?2πtt`

12 e´t

2. n! „tÑ`8

?2πn

´n

e

¯n

(Formule de Stirling)

Corollaire 2.2.

Démonstration.@t ą 0

Γ pt` 1q “

`8ż

0

e´xxtdx

`8ż

0

e´ty ptyqt tdy

“ tt`1

0

etplnpyqyqdy

On applique le méthode de Laplace avec a “ 0, b “ `8 f pyq “ 1 P

C0ps0,`8rq

ϕ pyq “ ln pyq ´ y P C8 sur s0,`8r

Emily Clement page 80

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CHAPITRE 2. LA FONCTION GAMMA

@y ă 0 ϕ1 pxq “1

y´ 1, ϕ2 pyq “ ´

1

y2ϕ2 p1q “ ´1 ă 0 On fait un tableau

de variation, on a ϕ croissante de 0 à 1, allant de ´8 à ϕ p1q “ ´1 puisdécroissante sur r1,`8r, valant ´8 en `8.La proposition précédente montre que :

0

etplnpyq´yqdytÑ `8„

c

te´t

Il s’ensuit le résultat p1q et que @n P N n! “ Γ pn` 1q d’où p2q.

Emily Clement page 81

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Chapitre 3

Formule d’Euler-Mac Laurin

I Nombres et polynômes de Bernoulli

On remarque que la fonction z ÞÑez ´ 1

zest holomorphe sur C˚ et

admet une fausse singularité en z “ 0 car limzÑ0,z‰0

ez ´ 1

z“ 1

Cette fonction se prolonge donc en une fonction entière f donnée par :$

&

%

@z P C, f pzq “`8ÿ

n“0

zn

pn` 1q!

f p0q “ 1

@z P C˚, f pzq “ez ´ 1

z

On note ez “ 1 ô

#

Rez “ 0

Imz P 2πZIl s’ensuit que :

@z P B p0, 2πq , f pzq ‰ 0

Pour tout x P C la fonction z P B p0, 2πq ÞÑezx

f pzqest holomorphe sur

B p0, 2πqCette fonction est développable en série entière au point z “ 0 sur la bouleB p0, 2πq.

@x P C, @z P B p0, 2πq , ezx

f pzq“

`8ÿ

n“0

Bn pxq

n!zn

82

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

@x P C, @ |z| ă 2π, z ‰ 0

zezx

ez ´ 1“

`8ÿ

n“0

Bn pxq

n!zn

On remarque @n ě 0 Bn pxq “

ˆ

ddz

˙nˆezx

f pzq

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

est un polynôme de

degré n unitaire car f p0q “ 1

Bn pxq est appelé nième polynôme de Bernoulli.bn “ Bn p0q est appelé nième nombre de Bernoulli

Définition 3.1.

On a ainsi :

@ |z| ă 2π, z ‰ 0,z

ez ´ 1“

`8ÿ

n“0

bnn!zn

1. @n ě 0 @x P C Bn p1´ xq “ p´1qnBn pxq

2. @n ě 1 B1n “ nBn´1

3. @n ě 1, @x P C Bn px` 1q ´Bn pxq “ nxn´1

4. @n ě 2 Bn p0q “ Bn p1q

5. @n ě 1

0

Bn pxq dx “ 0

6. @n ě 1 b2n`1 “ 0

Proposition 3.1.

Démonstration.

1. @x P C @ |z| ă 2π z ‰ 0

zezp1´xq

ez ´ 1“

`8ÿ

n“0

Bn p1´ xq

n!zn

Emily Clement page 83

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Orzezp´xq

1´ e´z“p´zq exp´zq

ep´zq ´ 1“

8ÿ

n“0´

Bn pxq

n!p´zqn

Par identification, on obtient @n ě 0

Bn p1´ xq “ p´1qnBn pxq

2. @ |z| ă π @x P C

ezx

f pzq“

1

2iπ

ż

γ

etx

f ptq pt´ zqdt

où γ ptq “ πeit, t P r0, 2πs (formule de Cauchy appliquée dans l’ouvert

étoilée B p0, 2πq à la fonction holomorphe z ÞÑexz

f pzqsur B p0, 2πq

@ |z| ă πdn

dzn

ˆ

ezx

f pzq

˙

“n!

2iπ

ż

γ

etx

f ptq pt´ zqn`1dt

On peut en effet dériver sous la signe intégral, cf TD. Il s’ensuit que :@n ě 0, @x P C,

Bn pxq “dn

dzn

ˆ

ezx

f pzq

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

z“0

“n!

2iπ

ż

γ

etx

f ptq tn`1dt

“n!

2πż

0

eπeisx

f pπeisq pπeisqn`1πeisds

“n!

2πż

0

eπeisx

f pπeisq pπeisqnds

On vérifie x P C ÞÑ

2πż

0

eπeisx

f pπeisq pπeisqnds est une fonction entière

car @z P r0, 2πs

x ÞÑeπe

isx

f pπeisq pπeisqn

Emily Clement page 84

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

est holomorphe sur C.Soit K un compact de C DR ą 0 tel que B Ă B p0, Rq

supxPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

eπeisx

f pπeisq pπeisqn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďeπR

|f pπeisq| πnP L2

pr0, 2πsq

On en déduit que : @n ě 1, @x P C,

B1n pxq “n!

2πż

0

eπeisxf

`

πeis˘ `

πeis˘n´1

car s P r0, 2πs ÞÑ f`

πeis˘

est continue et s’annule pas sur r0, 2πs Onen déduit :

@n ě 1, @x P C, B1n pxq “n!

2πż

0

eπeisx

f pπeisq pπeisqn´1ds “ nBn´1 pxq

3. Montrons que @n ě 1, @x P C Bn px` 1q ´Bn pxq “ nxn´1

@ |z| ă 2π

zezpx`1q

ez ´ 1“

`8ÿ

n“0

Bn px` 1q zn

n!“

zezx

ez ´ 1`zezx pez ´ 1q

ez ´ 1

`8ÿ

n“0

Bn pxq

n!zn `

`8ÿ

n“0

zn`1xn

n!

`8ÿ

n“1

Bn pxq ` xn´1n

n!zn ` 1

On obtient par identification :@n ě 1, Bn px` 1q “ Bn pxq ` nx

n´1

4. @n ě 2 Bn p0q “ Bn p1qD’après le point 3q, pour n ě 2, et x “ 0 on a Bn p1q “ Bn p0q

5. @n ě 11ż

0

Bn pxq dx “ 0

D’après le troisième point, @n ě 1 B1n “ nBn´1

@n ě 1

0

Bn pxq dx “1

n` 1

0

B1n`1 pxq dx “1

n` 1pBn`1 p1q ´Bn`1 p0qq “

0 par le point 4q.

Emily Clement page 85

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

6. @n ě 1 b2n`1 “ 0 où b2n`1 “ B2n`1 p0qD’après le point 1q avec x “ 0 :

@n ě 0, Bn p1q “ p´1qnBn p0q (3.1)@n ě 2, Bn p0q “ Bn p1q (3.2)

@n ě 1 b2n`1 “ B2n`1 p0q “Òp3.2q

B2n`1 p1q “Òp3.1q

´B2n`1 p0q “ ´b2n`1

Donc b2n`1 “ 0.À partir de l’indice 3, les terme impairs sont nuls.

@n ě 0, @x P C

Bn pxq “nÿ

k“0

Cknbn´kx

k

Proposition 3.2.

Démonstration.@x P C @ |z| ă 2π, z ‰ 0

`8ÿ

n“0

Bn pxq

n!zn “

ˆ

z

ez ´ 1

˙

pezxq

`8ÿ

n“0

Bn pxq

n!zn “

˜˜

`8ÿ

n“0

Bn pxq

n!

¸

zn

¸˜

`8ÿ

n“0

xn

n!zn

¸

`8ÿ

n“0

˜

nÿ

k“0

n!xk

k!

bn´kpn´ kq!

¸

zn

n!

Comme

˜

`8ÿ

n“0

ˆ

Bn pxq

n!

˙

zn

¸

et

˜

`8ÿ

n“0

xn

n!zn

¸

sont des séries entières de rayon

de convergence ě 2π, on a :

`8ÿ

n“0

Bn pxq

n!zn “

`8ÿ

n“0

˜

nÿ

k“0

Cknbn´kx

k

¸

zn

n!

Il s’ensuit :

@n ě 0, @x P C, Bn pxq “nÿ

k“0

Cknbn´kx

k

Emily Clement page 86

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Comme @n ě 2, Bn p0q “ Bn p1q, on a bn “nÿ

k“0

Cknbn´k

Doncnÿ

k“1

Cknbn´k “ 0,

nbn´1 “ ´

nÿ

k“2

Cknbn´k

On en déduit :

@n ě 1, bn “ ´1

n` 1

n`1ÿ

k“2

Ckn`1bn`1´k

@n ě 1

bn “ ´1

n` 1

n´1ÿ

k“0

Ckn`1bk

Proposition 3.3.

Comme b0 “ B0 p0q “ 1 on peut calculer par récurrence tous les nombres deBernoulli :

b0 “ 1, b1 “1

2, b2 “

1

6, b3 “ 0, b4 “ ´

1

30, b5 “ 0, b6 “

1

42, etc...

@n ě 0bn P Q

Corollaire 3.1.

Emily Clement page 87

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

II Formule sommatoire d’Euler Maclaurin (Co-lin Maclaurin, mathématicien écossais 1698-1746)

1 Théorème et démonstration

Soient p, q P Z p ă q r ě 1 et f : rp, qs Ñ C une fonction declasse Cr sur rp, qs :

qÿ

k“0

f pkq “1

2pf ppq ` f pqqq `

p

f ptq dt`rÿ

k“2

bkk!

`

f pk´1qpqq ´ f pk´1q

ppq˘

`p´1qr`1

r!

p

Br pttuq fprqptq dt

où ttu “ t´ rts P r0, 1r partie fractionnaire de t

Théorème 3.1.

Démonstration.On procède par récurrence sur r ě 1.Pour r “ 1, il faut démontrer que

qÿ

k“p

f pkq “1

2pf ppq ` f pqqq `

p

f ptq dt`

p

B1 pttuq f1ptq dt

où B1 pxq “1ÿ

k“0

Ck1 b1´kx

k“ b1 ` b0x “ x´

1

2

Donc B11 “ 1@k ě p, k P Z

k`1ż

k

B1

¨

˝ ttuloomoon

t´k

˛

‚f 1 ptq dt “k`1ż

k

B1 pt´ kq f1ptq dt

“ rf ptqB1 pt´ kqsk`1k ´

k`1ż

k

f ptqB11 pt´ kqloooomoooon

“1

dt

Emily Clement page 88

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

En prenant u1 “ f 1 v “ B1 pt´ kq, u “ f et v1 “ B11 pt´ kq on a :

k`1ż

k

B1

¨

˝ ttuloomoon

t´k

˛

‚f 1 ptq dt “ f pk ` 1qB1 p1qloomoon

“12

´f pkqB1 p0qloomoon

“´12

´

k`1ż

k

f ptq dt

q´1ÿ

k“p

k`1ż

k

B1 pttuq f1ptq dt “

p

B1 pttuq f1ptq dt

q´1ÿ

k“p

1

2pf pk ` 1q ` f pkqq ´

p

f ptq dt

On obtient :

qÿ

k“p

f pkq “1

2pf ppq ` f pqqq `

p

f ptq dt`

p

B1 pttuq f1ptq dt

Emily Clement page 89

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Supposons le résultat vrai au rang r ´ 1 ě 1, il suffit de démontrer que :

p´1qr

pr ´ 1q!

p

Br´1 pttuq fpr´1q

ptq dt “brr!

`

f pr´1qpqq ´ f pr´1q

ppq˘

`p´1qr`1

r!

p

Br pttuq fprqptq dt

p´1qr

pr ´ 1q!

p

Br´1 pttuqloooomoooon

“ 1rB1rpttuq

f pr´1qptq dt “

p´1qr

r!

p

B1r pttuq fpr´1q

ptq dt d’après la deuxième proposition :

“p´1qr

r!

q´1ÿ

k“p

k`1ż

k

B1r pt´ kq fpr´1q

ptq dt

IPP*“p´1qr

r!

q´1ÿ

k“p

`

Br p1q fpr´1q

pk ` 1q ´Br p0q fpr´1qf pkq

˘

`p´1qr`1

r!

q´1ÿ

k“p

k`1ż

k

Br pt´ kq fprqptq dt

“p´1qr

r!

q´1ÿ

k“p

`

Br p1q fpr´1q

pk ` 1q ´Br p0q fpr´1q

pkq˘

`p´1qr`1

r!

p

Br pttuq fprqptq dt

looooooooooooooooomooooooooooooooooon

“∆r

Comme r ´ 1 ě 1 ñ r ě 2 il s’ensuit Br p1q “ Br p0q “ br

p´1qr

pr ´ 1q!

p

Br´1 pttuq fpr´1q

ptq dt “p´1qr

r!br

q´1ÿ

k“p

`

f pr´1qpk ` 1q ´ f pr´1q

pkq˘

`∆r or br “ 0 si r ě 2 impair

“brr!

`

f pr´1qpqq ´ f pr´1q

ppq˘

`∆r

Emily Clement page 90

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Soient p, q P Z, p ă q et f rp, qs Ñ C une fonction de classe C`8sur rp, qs@l ě 1

qÿ

k“p

f pkq “1

2pf ppq ` f pqqq `

p

f ptq dt

`

lÿ

k“1

b2k

p2kq!

`

f 2k´1pqq ´ f 2k´1

ppq˘

´

p

B2l pttuq fp2lq ptq

p2lq!dt

Corollaire 3.2.

r “ 2l et @k ě 2 impair, bk “ 0

2 Première application : Développement asymptotiquede la somme harmonique

Hn “ 1`1

2`

1

3` ¨ ¨ ¨ `

1

n, où n ě 1

On considère f ptq “1

tsur r1, ns, f est de classe C8 sur r1, ns.

@k ě 0 f pkq ptq “p´1qk k!

tk`1

@p ě 1 :

Hn “1

2

ˆ

1`1

n

˙

`

1

dtt`

pÿ

k“1

b2k

p2kq!p2k ´ 1q!

ˆ

1´1

n2k

˙

´

1

B2p pttuq

p2pq!

p2pq!

t2p`1dt

@p ě 1

Hn “ lnn` γp `1

2n´

pÿ

k“1

b2k

2k

1

n2k`Rn

Emily Clement page 91

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

$

&

%

γp “1

2`

pÿ

k“1

b2k

2k´

`8ż

1

B2p pttuq

t2p`1dt

Rn “

`8ż

n

B2p pttuq

t2p`1dt

`8ż

1

B2p pttuq

t2p`1dt est bien définie car

`8ż

1

|B2p pttuq|

t2p`1dt ď B2pL8pr0,1sq

`8ż

1

dtt2p`1

dt ă `8

car p ě 1D’autre part :

|Rn| ď

`8ż

n

B2pL8pr0,1sq

t2p`1dt

“ B2pL8pr0,1sq

t´p2pq

´p2pq

`8

n

“ Op

ˆ

1

n2p

˙

quand nÑ `8

Or on sait que limnÑ`8

Hn ´ lnn “ γ constante d’Euler.Il s’ensuit :

@p ě 1, γ “1

2`

pÿ

k“1

b2k

2k´

`8ż

1

B2p pttuq dtt2p`1

@p ě 1

Hn “ lnn` γ `1

2n´

p´1ÿ

k“1

b2k

2k1

nk`Op

ˆ

1

n2p

˙

quand nÑ `8.

Corollaire 3.3.

Emily Clement page 92

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

3 Deuxième application : Calcul des sommes Sk pnq “1k ` 2k ` ¨ ¨ ¨nk où k P N˚

On considère f ptq “ tk P C8@0 ď j ď k f pjq ptq “ k pk ´ 1q ¨ ¨ ¨ pk ´ j ` 1q tk´j

Formule d’Euler-Maclaurin sur r1, ns avec r “ k ` 1

Sk pnq “1

2

`

1k ` 2k ` ¨ ¨ ¨ ` nk˘

`

1

tkdt

loomoon

1k`1

pnk`1´1q

`

k`1ÿ

j“2

bjj!k pk ´ 1q ¨ ¨ ¨ pk ´ j ` 2q

nk´j`1´ 1

Cas k “ 2p où p ě 1 :

12p`¨ ¨ ¨`n2p

“1

1

2p` 1`

1

2n2p`

1

2p` 1n2p`1

`

pÿ

j“1

b2jp2pq! pn2p´2j`1 ´ 1q

p2jq! p2p´ 2j ` 1q!

Cas k “ 2p` 1 où p ě 0 :

12p`1`¨ ¨ ¨`n2p`1

“1

1

2p` 2`

1

2n2p`1

`1

2p` 2n2p`2

`

p`1ÿ

j“1

b2j p2p` 1q! pn2p´2j`2 ´ 1q

p2p´ 2j ` 2q! p2jq!

Cas k “ 1

S1 pnq “ 1` 2` ¨ ¨ ¨ ` n “1

1

2`

1

2n`

1

2n2`b2

2

`

n0´ 1

˘

“1

2n pn` 1q

Cas k “ 2 :

S2 pnq “ 12` 22

` ¨ ¨ ¨ ` n2

“1

1

3`

1

2n2`

1

3n3` b2

2

2pn´ 1q

“1

2n2`

1

3n3`

1

6n

“1

6

`

1` 3n` 2n2˘

n “1

6pn` 1q p2n` 1qn

Cas k “ 3 :

S3 pnq “ 13` ¨ ¨ ¨ ` n3

“1

1

4`

1

2n3`

1

4n4` b2

6

4

`

n2´ 1

˘

` b46

4 ¨ 6

`

n0´ 1

˘

S3 pnq “ n2 pn` 1q2

4

Emily Clement page 93

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

4 Troisième application : Développement asymptotiquede ln pn!q (voir TD.)

@n ě 2, Bn pxq “ Bn ptxuq est une fonction Cn´2pRq 1´périodique

où txu ´ x´ rxs est la partie fractionnaire de c

Lemme 3.1.

Démonstration.Comme @n ě 2 Bn p0q “ Bn p1q par la quatrième proprosition.

limxÑ1ă

Bn pxq “ limxÑ1ă

Bn pxq “ Bn p1q “ Bn p0q

“ Bn p0q “ Bn p1q “ limxÑ1ą

Bn pxq

Donc Bn P C0pRq 1´périodique si n ě 2.

@0 ď x ă 1 @0 ď k ď n´ 2 :

Bpkqn pxq “ Bpkqn pxq “ n pn´ 1q ¨ ¨ ¨ pn´ k ` 1qBn´k pxq

limxÑ1´

Bpkqn pxq “n!

pn´ kq!Bn´k p1q

“n!

pn´ kq!Bn´k p0q “ lim

xÑ0`Bpkqn pxq

Bn P Cn´2pRq si n ě 2

On applique le formule d’Euler Maclaurin à f ptq “ e´2iπnt où n P Z sur r0, 1sà l’ordre r, qui vaut 0 si n ‰ 0 et 1 si n “ 0.

1` 1 “1

2p1` 1q `

0

e´2iπntdt`rÿ

k“2

bkk!p´2iπnqk´1

`

e´2iπn´ 1

˘

`p´1qr`1

r!

0

Br pttuq p´2πinqr e´2iπntdt

Emily Clement page 94

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

On obtient : @n P Z˚

Cn

´

Br

¯

0

Br ptq e´2iπntdt

“r! p´1qr`1

p´2iπnqr

“´r!

p2iπnqrsi r ě 1

r0

´

Br

¯

“ 0 si r ě 1.

Si p ě 2, Bp P C0pRq 1´périodique tel que

ÿ

nPZ

ˇ

ˇ

ˇcn

´

Bp

¯ˇ

ˇ

ˇă `8 car Cn

´

Bp

¯

1

|n|2

˙

@p ě 2 @x P R

Bp pxq “ÿ

nPZ˚

p!

p2iπnqpe2iπnx

“ ´p!`8ÿ

n“1

1

p2iπnqp`

e2iπnx` p´1qp e´2iπnx

˘

@p ě 1, @x P R

B2p pxq “ ´2 p2pq!`8ÿ

n“1

cos p2πnxq

p2iπnq2p

@p ě 1, @x P R

B2p`1 pxq “ ´2i p2p` 1q!`8ÿ

n“1

sin p2πnxq

p2iπnq2p`1

car @n ě 2 Bn P C0pRq est 1´périodique tel que

ÿ

zPZ

ˇ

ˇ

ˇck

´

Bn

¯ˇ

ˇ

ˇă `8

On a plusieurs cas :Cas n “ 1 :B1 pxq “ b1` b0x “ x´

1

2B1 a des points de discontinuité en tous les

points entiers. (Elle veut1

2en 1` et ´

1

2en 1´.

On rappelle le théorème de Dirichlet :

Emily Clement page 95

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Soit f P L1pπq et t un point tel que f

`

t`˘

et f`

t´˘

existent et sonfinies.ie f

`

t`˘

“ limxÑtą

f pxq et f`

t´˘

“ limxÑtă

f pxq existent dans C ainsi que

les demi-dérivées.ie f 1g ptq “ lim

hÑ0ă

t pt` hq ´ f pt´q

h, f 1d ptq “ lim

hÑ0ą

f pt` hq ´ f pt`q

h

existent et sont finies.Alors :

Sn pfq ptq “nÿ

k“´n

ck pfq e2iπkt

ÝÑnÑ`8

1

2

`

f`

t`˘

` f`

t´˘˘

Théorème 3.2 (Théorème de Dirichlet).

On en déduit que :@x P RzZ

B1 pxq “ limnÑ`8

´

nÿ

k“´n,k‰0

1

2iπke2iπkx

“ limnÑ`8

´

nÿ

k“1

1

2iπk

`

e2iπkx´ e´2iπkx

˘

“ limnÑ`8

´

nÿ

k“1

sin p2πkxq

πk

“ ´

`8ÿ

k“1

sin p2πkxq

πk

Emily Clement page 96

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

@p ě 1, @x P r0, 1s

B2p pxq “2 p´1qp`1

p2πq2pp2pq!

`8ÿ

n“1

cos p2πnxq

n2p

@p ě 1, @x P r0, 1s

B2p`1 pxq “ 2p´1qp`1

p2p` 1q!

p2ßq2p`1

`8ÿ

n“1

sin p2πnxq

n2p`1

@x P s0, 1r

B1 pxq “ ´1

π

`8ÿ

n“1

sin p2πnxq

np˚q

p˚q : convergence simple sur s0, 1r.

Proposition 3.4.

Démonstration.Utiliser que @n ě 1, @x P r0, 1r

Bn pxq “ Bn pxq

et le fait que les fonctions x ÞÑ

`8ÿ

n“1

cos p2πnq

n2pet x ÞÑ

`8ÿ

n“1

sin p2πnxq

n2p`1

sont continues sur R et donc en x “ 1.

Il s’ensuit que :@p ě 1

b2p “ B2p p0q “2 p´1qp`1

p2πqpp2pq!

`8ÿ

n“1

1

n2p

loomoon

“ζp2pq

ζ p2pq étant la fonction zêta de Riemann au point 2p

D’où @p ě 1 ζ p2pq “p2πq2p p´1qp`1

2 p2pq!b2p

Conséquence :

ζ p2q “`8ÿ

n“1

1

n2“p2πq2

2ˆ 2b2 “

π2

6

Emily Clement page 97

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

ζ p4q “`8ÿ

n“1

1

n4“

p2πq4

2 ¨ 4 ¨ 3 ¨ 2b4 “

π4

90

ζ p6q “`8ÿ

n“1

1

n6“

π6

945

On peut donc calculer la valeur de la fonction zêta au point 2p oùp P N˚.D’autre part, on remarque :

@r ě 2, 1 ď ζ prq “`8ÿ

n“1

1

nrď 1`

“8ÿ

n“2

¨

˝

n´1

dttr

˛

‚“ 1`

`8ż

1

dttr

@r ě 2, 1 ď ζ prq ď 1`

t´r`1

p´r ` 1q

`8

1

“ 1´1

1´ r“r ´ 1` r

r ´ 1“

r

r ´ 1

Il s’ensuit que ζ prq „rÑ`8

1

@p ě 1, @x P r0, 1s

|B2p pxq| ď2 p2pq!

p2πq2p

`8ÿ

n“1

1

n2p“ |b2p| ď

2 p2pq!

p2πq2p2p

p2p´ 1q

@p ě 1, @x P r0, 1s

B2p`1 pxq “ B2p`1 pxq ´B2p`1 p0qlooomooon

b2p`1“0

0

B12p`1 ptq dt

@x P r0, 1s |B2p`1 pxq| ď p2p` 1q B2pL8pr0,1sq

On obtient le corollaire :

Emily Clement page 98

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

@p ě 1, @x P r0, 1s

|B2p pxq| ď |b2p| ď4p

2p´ 1

p2pq!

p2πq2p

@p ě 1, @x P r0, 1s

|B2p`1 pxq| ď4p

2p´ 1

p2p` 1q!

p2πq2p

b2p „pÑ`8

2 p´1qp`1p2pq!

p2πq2p

Corollaire 3.4.

Ce résultat permet d’estimer finement le reste dans la formule d’EulerMacLaurin : Sot f : r1,`8r Ñ C une fonction C2p telle que :

`8ż

1

ˇ

ˇf p2pq ptqˇ

ˇ dt ă `8

@n ě 2

f p1q ` ¨ ¨ ¨ ` f pnq “1

2pf p1q ` f pnqq `

1

f ptq dt`pÿ

k“1

b2k

p2kq!

`

f p2k´1qpnq ´ f p2k´1q

p1q˘

´

`8ż

1

B2p pttuq

p2pq!f p2pq ptq dt`Rn

où Rn “

`8ż

n

B2p pttuq

p2pq!f p2pq ptq dt vérifiant

|Rn| ď4p

p2p´ 1q p2πq2p

`8ż

n

ˇ

ˇf p2pq ptqˇ

ˇ dt ÝÑnÑ`8

0

Emily Clement page 99

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

III Complément : Formule D’Euler - Mac Lau-rin et intégration numérique

1 Méthode de quadrature élémentaire des trapèzes

Soit f : ra, bs Ñ R , a ă b une fonction continue. On considère p lafonction linéaire (elle est affine) interpolant les points pa, f paqq et pb, f pbqq :

p pxq “px´ aq f pbq ´ px´ bq f paq

b´ a

On approxime l’intégralebż

a

f pxq dx parbż

a

p pxq dx :

a

f pxq »

a

p pxq dx “f pbq

b´ a

a

px´ aq dx´f pbq

b´ a

a

px´ bq dx

“ pb´ aqf paq ` f pbq

2

2 Méthode de quadrature composée des trapèzes

Soient f : ra, bs Ñ R , a ă b une fonction continue, N ě 1 et h “b´ a

N.

On définit xk “ a` kh où 0 ď k ď N . Alors :bż

a

f pxq dx “N´1ÿ

j“0

xj`1ż

xj

f pxq dx

»

N´1ÿ

j“0

pxj`1 ´ xjqf pxjq ` f pxj`1q

2

» h

ˆ

1

2f px0q ` f px1q ` f px2q ` ¨ ¨ ¨ ` f pxN´1q `

1

2f pxNq

˙

On dit qu’une méthode de quadrature élémentaire ou composée estd’ordre n si la formule approchée est exacte pour tous les polynômesde degré ď n et inexacte pour au moins un polynôme de degré n`1.

Définition 3.2.

Emily Clement page 100

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

On vérifie aisément que l’ordre de la méthode des trapèzes est 1.

3 Erreur de la méthode de quadrature composée destrapèzes

Supposons que f : ra, bs Ñ R soit C2 sur ra, bs. On a :

@x P ra, bs , f pxq “ f paq ` f 1 paq px´ aq `

a

px´ tq f” ptq dt

looooooooomooooooooon

“bş

apx´tq`f”ptqdt

On définit l’erreur de la méthode par :

E ptqdef“

a

f pxq dx´ hˆ

1

2f px0q ` f px1q ` ¨ ¨ ¨ ` f pxN´1q `

1

2f pxNq

˙

Comme f ÞÑ E pfq est linéaire et que la méthode des trapèzes est d’ordre1, on a :

E pfq “ Ef

¨

˝ x ÞÑ

a

px´ tq`f” ptq dt

˛

a

¨

˝

a

px´ tq`f” ptq dt

˛

‚dx

´ h

a

ˆ

1

2px0 ´ tq` ` px1 ´ tq` ` ¨ ¨ ¨ ` pxN´1 ´ tq` `

1

2pxN ´ tq`

˙

f” ptq dt

a

f” ptq

»

a

px´ tq`dx´ h

ˆ

1

2px0 ´ tq` ` px1 ´ tq` ` ¨ ¨ ¨ ` pxN´1 ´ tq` `

1

2pxN ´ tq`

˙

fi

fl

loooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooon

“:K1ptq

oùK1 ptq “ E`

x ÞÑ px´ tq`

˘

est le noyau de Peano associé à la méthodedes trapèzes composée. Montrons que @t P ra, bs, K1 ptq ď 0, on a :

K1 ptq “N´1ÿ

j“0

¨

˚

˝

xj`1ż

xj

px´ tq`dx´

h

2

`

pxj ´ tq`˘

˛

Emily Clement page 101

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Soit t P ra, bs il existe j0 P t1, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1u tel que xj0 ď t ď xj0`1.

@j ď j0 ´ 1,

xj`1ż

xj

px´ tq`

looomooon

“0

dx´h

2

¨

˚

˝

pxj ´ tq`looomooon

“0

`pxj`1 ´ tq`looooomooooon

“0

˛

“ 0

@j ď j0 ` 1 :

xj`1ż

xj

px´ tq`

looomooon

“x´t

dx´h

2

¨

˚

˝

pxj ´ tq`looomooon

“xj´t

`pxj`1 ´ tq`looooomooooon

“xj`1´t

˛

“1

2

`

pxj`1 ´ tq2´ pxj ´ tq

´1

2pxj`1 ´ xjq pxj ` xj`1 ´ 2tq

“1

2pxj`1 ´ xjq pxj`1 ` xj ´ 2tq

´1

2pxj`1 ´ xjq pxj ` xj`1 ´ 2tq

“ 0

Donc :

K1 ptq “

xj0`1ż

xj0

px´ tq`dx´

h

2

¨

˚

˝

pxj0 ´ tq`loooomoooon

“0

`pxj0`1 ´ tq`looooomooooon

“xj0`1´t

˛

xj0`1ż

t

px´ tq dx´h

2pxj0`1 ´ tq

“1

2pxj0`1 ´ tq

2´h

2pxj0`1 ´ tq

“ ´1

2pxj0`1 ´ tq pt´ xj0q ď 0

Soient w P L1pra, bsq, w ě 0, et f P C0

pra, bsq :

Dc P ra, bs

a

f pxqw pxq dx “ f pcq

a

w pxq dx

Proposition 3.5 (Formule de la moyenne).

Emily Clement page 102

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Démonstration.Comme f P C0 sur ra, bs, f pra, bsq est connexe et compact car ra, bs estconnexe et compact.Il s’ensuit que :

f pra, bsq “ rn,M s

où m “ minxPra,bs

f pxq et M “ maxxPra,bs

f pxq.

On a :

m

a

w pxq dx ďbż

a

f pxqw pxq dx ďM

a

w pxq dx

car w ě 0 :

Premier cas :

a

w pxq dx “ 0

Comme w ě 0, il s’ensuit que w “ 0 presque partout sur ra, bs d’où :

@x P ra, bs ,

a

f pxqw pxq dx “ f pxq

a

w pxq dx “ 0

Deuxième cas : On a

a

f pxqw pxq dx

a

w pxq dxP rm,M s “ f pra, bsq, donc il

existe c P ra, bs tel que :

a

f pxqw pxq dx “ f pcq

a

w pxq dx

On a :

E pfq “

a

p´f” ptqq p´K1 ptqqloooomoooon

ě0

dt

Emily Clement page 103

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Montrons quebż

a

p´K1 ptqq dt ă `8 :

a

p´K1 ptqq dt “N´1ÿ

j“0

xj`1ż

xj

pt´ xjq pxj`1 ´ tq

2dt

“1

2

Nÿ

j“0

xj`1ż

xj

`

´t2 ` t pxj ` xj`1q ´ xjxj`1

˘

dt

“1

2

N´1ÿ

j“0

ˆ

´1

3

`

x3j`1 ´ x

3j

˘

`1

2pxj ` xj`1q

`

x2j`1 ´ x

2j

˘

´ xjxj`1 pxj`1 ´ xjq

˙

“1

12

N´1ÿ

j“0

pxj`1xjq`

´2`

x2j`1 ` xj`1xj ` x

2j

˘

` 3 pxj ` xj`1q2´ 6xjxj`1

˘

“1

12

N´1ÿ

j“0

`

x2j`1 ´ 2xjxj`1 ` x

2j

˘

“1

12

N´1ÿ

j“0

pxj`1 ´ xjq2

“h3N

12“b´ a

12h2

D’après la formule de la moyenne, Dc P ra, bs :

E pfq “

a

p´f” ptqq p´K1 ptqq dt

“ ´f” pcq

a

p´K1 ptqq dt

“ ´1

12pb´ aqh2f” pcq

donc :|E pfq| ď

1

12pb´ aqh2

f”L8pra,bsq

Soit f P C2p sur ra, bs où a ă b et p P N˚. On utilise la formule d’Euler

Emily Clement page 104

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

- Mac Laurin avec la fonction gN ptq “ f

ˆ

a` tpb´ aq

N

˙

sur r0, N s.

Nÿ

k“0

gN pkq “1

2pgN p0q ` gN pNqq `

0

gN ptq dt

`

pÿ

k“1

b2k

p2kq!

´

gp2k´1qN pNq ´ g

p2k´1qN p0q

¯

´

0

B2p pttuq

p2pq!gp2pqN ptq dt

donc :

h

ˆ

1

2f px0q ` f px1q ` ¨ ¨ ¨ ` f pxN´1q `

1

2f pxNq

˙

“ h

0

f pa` thq dt

`

pÿ

k“1

b2k

p2kq!h2k

`

f p2k´1qpbq ´ f p2k´1q

paq˘

´

0

B2p pttuq

p2pq!h2p`1f p2pq pa` thq dt

soit :

E pfq “ ´pÿ

k“1

b2p

p2kq!h2k

`

f p2k´1qpbq ´ f p2k´1q

p0q˘

`RN

où RN “

0

B2p pttuq

p2pq!h2p`1f p2pq pa` thq dt et :

|RN | ďB2pL8pr0,1sq

p2pq!h2p

0

ˇ

ˇf p2p`1qpa` thq

ˇ

ˇhdt

looooooooooooomooooooooooooon

“bş

a|f p2pqpxq|dx

Or B2pL8pr0,1sq ď4p

2p´ 1

p2pq!

p2πq2pdonc :

|RN | ď4p

p2p´ 1q p2πq2pf p2pqL1pra,bsqh

2p

Emily Clement page 105

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CHAPITRE 3. FORMULE D’EULER-MAC LAURIN

Soit f P C2ppRq une fonction b´ a périodique alors :

|E pfq| ď4p

2p´ 1

pb´ aq

p2pqpf p2pqL8pra,bsqh

2p

En particulier, si f P C8 pRq b´ a périodique alors :

E pfq “ OhÑ0

ph8q ie @N ě 0, E pfq “ OhÑ0

`

hN˘

Proposition 3.6.

Emily Clement page 106

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Chapitre 4

Fonction zêta de Riemann

Bernard Riemann : 1826-1866, mathématicien allemand.

I Définition et premières propriétés

La fonction zêta de Riemann noté ζ pzq est définie pour tout z P Ctel que Rez ą 1 par la somme de la série :

ζ pzq “`8ÿ

n“1

1

nz

La fonction ζ est donc bien définie car :

@Rez ą 1,`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

nz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8ÿ

n“1

1

nReză `8

car Rez ą 1

Définition 4.1.

La fonction zêta est holomorphe sur l’ouvert tz P C,Rezu.

Proposition 4.1.

Démonstration.Il suffit de vérifier que ζ est la somme d’une série holomorphe sur Ω “

107

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

tz P C,Rez ą 1u qui converge normalement sur tout compact de Ω.

@n ě 1, z P Ω ÞÑ1

nzest holomorphe sur Ω.

Soit K un compact de Ω, Dδ ą 0 tel que K Ă tz P C,Rez ě 1` δu

`8ÿ

k“1

supzP

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

n2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

`8ÿ

n“1

1

n1`δă `8

La fonction zêta admet un unique prolongement en une fonction mé-romorphe sur C ayant un unique pôle en z “ 1 de résidu 1

Théorème 4.1.

Démonstration.Soit z P C tel que Rez ą 1, on applique la formule d’Euler MacLaurin à la

fonction f ptq “1

p1` tqzsur r0, N ´ 1s à l’ordre 2p où p ě 1, où N ě 2.

Nÿ

n“1

1

nz“

1

2

ˆ

1`1

N z

˙

`

N´1ż

0

1

pt` 1qzdt

`

pÿ

k“1

b2k

p2kq!

`

F p2k´1qpN ´ 1q ´ F p2k´1q

p0q˘

´

N´1ż

0

B2p pttuq

p2pq!f p2pq ptq dt

On remarque que :

@m ě 0, @t ě 0, f pmq ptq “p´1qm z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz `m´ 1q

p1` tqz`m

@p ě 1, @N ě 2

Nÿ

n“1

1

nz“

1

2`

1

2N z`

«

p1` tq´z`1

´z ` 1

ffN

0

´

pÿ

k“1

b2k

p2kq!z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2k ´ 2q

ˆ

1

N z`2k´1´ 1

˙

´

N´1ż

0

B2p pttuq

p2pq!

z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2p´ 1q

p1` tqz`2p dt

Emily Clement page 108

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Par passage à la limite, quand N Ñ `8 on obtient :@p ě 1, @Rez ą 1 :

ζ pzq “1

2`

1

z ´ 1`

pÿ

k“1

b2k

p2kq!z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2k ´ 2q´

`8ż

1

B2p pttuq

t2p`zdtz pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2p´ 1q

p2pq!

Car`8ż

1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

B2p pttuq

tz`2p

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dt ď B2pL8pr0,1sq

`8ż

1

1

tRez`2pdt

“B2pL8pr0,1sq

Rez ` 2p´ 1ă `8

On a montré :

@p ě 1, @Rez ą 1, ζ pzq “1

z ´ 1`Gp pzq

Gp pzq “1

2`

pÿ

k“1

b2k

p2kq!z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2k ´ 2q ¨ ¨ ¨ z pz ` 1q ¨ ¨ ¨ pz ` 2p´ 1q

1

p2pq!

`8ż

1

B2p pttuq

tz`2pdt

Montrons que Gp est holomorphe sur Ωp “ tz P C,Rez ą 1´ 2puIl suffit que montrer que :

Fp pzq “

`8ż

1

B2p pttuq

tz`2pdt

est holomorphe sur Ωp.

On remarque que @t ě 1, z ÞÑB2p pttuq

tz`2pest holomorphe sur Ωp

Soit K un compact de Ωp, Dδ ą 0 tel que K Ă tz P C,Rez ě 1´ 2p` δu.

supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

B2p pttuq

tz`2p

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďB2pL8pr0,1sq

t1`δP L1

pr1,`8rq

Le théorème de régularité des intégrales à paramètre assure que Fp est holo-morphe sur Ωp.On définit la fonction entière G par :

G pzq “ Gp pzq si z P Ωp

Emily Clement page 109

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

La fonction G est bien définie car, @1 ď p ď q :

Gp pzq “ Gq pzq “ ζ pzq ´1

z ´ 1si Rez ą 1

Gp et Gq sont holomorphes sur Ωp ouvert connexe. On obtient que la fonction

z ÞÑ1

z ´ 1`G pzq est une fonction méromorphe sur C avec un unique

pôle simple en z “ 1 de résidu 1 qui prolonge la fonction zêta de Riemann.L’unicité est triviale par prolongement analytique.

À partir de maintenant, on note ζ cet unique prolongement.

II Fonction zêta de Riemann et nombres pre-miers.

1 Formule d’Euler.

@z P C, Rez ą 1

ζ pzq “ź

pPP

1

1´ 1pz

où P désigne l’ensemble des nombres premiers ě 2 et où le produit in-fini de fonction holomorphes converge normalement sur tout compactde tz P C,Rez ą 1u

Théorème 4.2 (Formule d’Euler pour la fonction zêta).

Remarque 4.1.@p P P , @Rez ą 1 :

1´1

pz‰ 0

car |pz| “ pRezě 2 ą 1

Il s’ensuit que @p P P , @Rez ą 1

1

1´ 1pz

‰ 0

D’après le théorème des produits infinis de fonctions holomorphes, on endéduit que la fonction ζ ne s’annule pas sur tz P C,Rez ą 1u

Emily Clement page 110

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Démonstration.

Formellement,ź

pPP

1

1´ 1pz

“ź

pPP

˜

ÿ

kě0

1

pkz

¸

`8ÿ

n“1

1

nz

car tout nombre n ě 1 s’écrit de manière unique comme produit de nombrespremiers.

n “ pα11 ¨ ¨ ¨ pαrr

où αj P N˚ pj nombre premiers 2 à 2 distincts. Soit 1 ď N ă M pour tout1 ď n ď N l’entier n se décompose de manière unique en produit de nombrespremiers inférieur à n 2 à 2 distincts qui sont répétés au plus M fois.

n “ pα11 ¨ ¨ ¨ pαrr

$

&

%

pj P P 2 à 2 distinctspj ď n

αj ďM

En effet, si α1 ąM ` 1 alors comme p1 ě 2 on aurait N ě n ě 2M`1

ie M ´ 1 ě N ě 2M`1

Posons h pxq “ 2x`1´x` 1 h1 pxq “ pln 2q 2x`1

´ 1, h2 pxq “ pln 2q2 22x`1ě 0

h1 p2q “ 8 pln 2q ´ 1 “ ln

ˆ

28

e

˙

ą 0 h p2q “ 8´ 2` 1 “ 7 ą 0

@x ě 2 2x`1ą x´ 1 @s ě 1 :

Nÿ

n“1

1

ns

ˆ

1`1

ps` ¨ ¨ ¨ `

1

pMs

˙

contradiction, car tout entier 1 ď n ď N s’écrit de manière unique commeproduit de nombres premiers ď N chacun répétés au lus M fois.On obtient :

Nÿ

n“1

1

nzď

ź

pPP,pďN

˜

`8ÿ

k“0

1

pks

¸

ďź

pPP,pďN

1´ 1ps

¯

Montrons que la produit infini de fonction holomorphesź

pPP

1´ 1pz

¯ converge

normalement sur tout compact de tz P C,Rez ą 1u.Soit K un compact de tz P C,Rez ą 1uDδ ą 0 tel que K Ă tz P C,Rez ě 1` δu.Notons @p P P , @Rez ą 1

fp pzq “1

1´ 1pz

Emily Clement page 111

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

supzPK

|fp pzq ´ 1| “ supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1´´

1´ 1pz

¯

1´ 1pz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

pz ´ 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď supzPK

1

|pz| ´ 1ď

1

p1`δ ´ 1

Il s’ensuit que :

ÿ

pPPsupzPK

|fp pzq ´ 1| ďÿ

pPP

1

p1`δ ´ 1ď

`8ÿ

n“2

1

n1`δ ´ 1ă `8

car1

n1`δ ´ 1„

nÑ`8

1

n1`δ

On en déduit que la fonctionG pzq “ź

pPP

1

1´ 1pz

est holomorphe sur tz P C,Rez ą 1u.

En passant à la limite quand N Ñ `8 :

@s ą 1,`8ÿ

n“1

1

nsď

ź

pPP,pďN

1

1´ 1ps

On obtient :@s ą 1, ζ psq ď G psq

On remarque que @N ě 2, @M ě N ` 1, @s ą 1 :

ź

PPP,pďN

ˆ

1`1

ps` ¨ ¨ ¨ `

1

PMs

˙

ď

`8ÿ

n“1

1

n5“ ζ psq

Par unicité de la décomposition en produit de nombres premiers. En passantà la limite M Ñ `8 :

ź

pPP,pďN

˜

`8ÿ

k“0

1

pks

¸

“ź

pPP,pďN

1

1´ 1ps

ď ζ psq

Par passage à la limite quand N Ñ `8 :

@s ě 1, G psq ď ζ psq

Il s’ensuit @s ą 1, G psq “ ζ psq, comme de plus ζ et G sont holomorphes surΩ ouvert connexe, on a nécessairement : @z P Ω, ζ pzq “ G pzqCela termine donc la preuve.

Emily Clement page 112

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

La sérieÿ

pPP

1

pdiverge.

ie limNÑ`8

ÿ

pPP,pďN

1

p“ `8.

Proposition 4.2.

Démonstration.On considère PN “

ź

pPP,pďN

1´ 1p

¯ pour N ě 2.

Soit M ě N ` 1,

PN “ź

pPP,pďN

˜

`8ÿ

k“0

1

pk

¸

ěź

pPP,pďN

ˆ

1`1

p`

1

p2` ¨ ¨ ¨ `

1

pM

˙

ě

Nÿ

n“1

1

n

Pour les mêmes raisons pour lors de la démonstration de la formule d’Eulercar tout nombre 1 ď n ď N se factorise comme produit de nombre premiersď N dont la multiplicité ďM

PN ěNÿ

n“1

n`1ż

n

dtt“

N`1ż

1

dtt“ ln pN ` 1q

ln pln pN ` 1qq ď lnPN “ ´ÿ

pPP,pďNln

ˆ

1´1

p

˙

On utilise : @ |x| ă 1

ln p1` xq “`8ÿ

n“1

p´1qn´1 xn

n“ x` x2

`8ÿ

n“2

p´1qn´1 xn´2

n“ x` x2R pxq

où R pxq “`8ÿ

n“0

p´1qn`1 xn

n` 2est une série entière de rayon de convergence égale

à 1.Il s’ensuit que RL8pr´1

2, 12sqă `8 donc R est continue sur s´1, 1r.

On a :

ln pln pN ` 1qq ď ´ÿ

pPP,pďN

ˆ

´1

p

˙

´ÿ

pPP,pďM

1

p2R

ˆ

´1

p

˙

Emily Clement page 113

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Donc

ln pln pN ` 1qq ďÿ

pPP,pďN

1

p` RL8pr´ 1

2, 12sq

ÿ

pPP,pďN

1

p2

ď

˜

ÿ

pPP,pďN

1

p

¸

` RL8pr´ 12, 12sq

˜

`8ÿ

n“1

1

n2

¸

Donc limNÑ`8

ÿ

pPP,pďN

1

p“ `8

2 Fonction de Möbius (August Möbius, 1790-1868, ma-thématicien allemand)

La fonction de Möbius est une fonction µ : N˚ Ñ t0, 1,´1udéfinie par :

1. µ p1q “ 1

2. µ pp1p2 ¨ ¨ ¨ pkq “ p´1qk si p1, ¨ ¨ ¨ , pk où k ě 1 sont des entierspremiers 2 à 2 distincts.

3. µ pmq “ 0 si Dp P P tel que p2|m

Définition 4.2.

La fonction de Möbius est multiplicative :

@k, l ě 1, k ^ l “ 1, µ pklq “ µ pkqµ plq

Lemme 4.1.

Démonstration. Cas 1 : k “ 1 :

µ pklq “ µ plq “ 1ˆ µ plq “ µ p1qµ plq

Cas 2 : Dp P P tel que p2|k tel que p2

|kl : ok car µ pklqloomoon

“0

“ µ pkqloomoon

“0

µ plqloomoon

“0

idem Dp P P tel que p2|l.

Emily Clement page 114

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Cas 3 : Dp1, ¨ ¨ ¨ , pr des nombres premiers 2 à 2 distincts où r ě 1 telque k “ p1, ¨ ¨ ¨ prDp1, ¨ ¨ ¨ , ps des nombres premiers 2 à 2 distincts où s ě 1 tel quek “ p1, ¨ ¨ ¨ ps#

µ pkq “ p´1qr

µ plq “ p´1qs

Comme k^l “ 1 alors p1, ¨ ¨ ¨ , pr, p1, ¨ ¨ ¨ , ps sont des nombres premiers2 à 2 distincts, il s’ensuit que :

µ pklq “ µ pp1 ¨ ¨ ¨ prp1 ¨ ¨ ¨ psq “ p´1qr`s “ µ pkqµ plq

@z P C tel que Rez ą 1 :

1

ζ pzq“

`8ÿ

n“1

pµ pmqq

nz

où µ désigne la fonction de Möbius et où la série converge normale-ment sur tout compact de Ω “ tz P C,Rez ą 1u.

Proposition 4.3.

Démonstration.@K compact de Ω :

`8ÿ

n“1

supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

µ pmq

nz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8ÿ

n“1

supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

nz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ă `8

car on a vue que la série définissant ζ converge normalement sur tout compactde Ω.Montrons que la produit infini

ź

pPP

ˆ

1´1

p2

˙

converge normalement sur tout

compact de Ω.Soit K un compact de Ω,Dδ ą 0 tel que K Ă tz P C,Rez ě 1` δu Alors :

ÿ

pPPsupzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˆ

1´1

pz

˙

´ 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďÿ

pPPsup

Rezě1`δ

ˆ

1

pRez

˙

ďÿ

pPP

1

p1`δď

`8ÿ

n“1

1

n1`δă `8

Emily Clement page 115

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

D’après la formule d’Euler :

@z P Ω, ζ pzq “ limNÑ`8

ź

pPP,pďN

1´ 1pz

¯

loooomoooon

‰0,@pPP

@z P Ω :ź

pPP

ˆ

1´1

pz

˙

“ limNÑ`8

ź

pPP,pďN

ˆ

1´1

pz

˙

“ limNÑ`8

pPP,pďN

1

p1´ 1pz q

“1

ζ pzq

Car a “1`

1a

˘ si a ‰ 0.

Soit z ą 1 et N ě 2 :

ź

pPP,pďN

ˆ

1`1

p5`

1

p25` ¨ ¨ ¨ `

1

ppN`1q5

˙

Nÿ

n“1

1

n`

ÿ

nPΣN

1

n5

où ΣN est un ensemble d’entiers 2 à 2 distincts.

ź

pPP,pďN

ˆ

1`1

p5` ¨ ¨ ¨ `

1

ppN`1q5

˙

`ÿ

nPΣN

1

ns“

NpN`1qNÿ

n“1

1

ns

où ΣN est un ensemble fini d’entiers.On a :

Nÿ

n“1

1

nsloomoon

ÝÑNÑ`8

ζpsq

ďź

pPP,pďN

ˆ

1`1

p5` ¨ ¨ ¨ `

1

ppN`1q5

˙

ď

NNpN`1qÿ

n“1

1

n5

loooomoooon

ÝÑNÑ`8

ζpsq

Il s’ensuit 0 ď RN “ÿ

nPΣN

1

n5ÝÑ

NÑ`80 et RN “

ÿ

nPΣN

1

n5ÝÑ

NÑ`80

D’après la propriété de multiplicativité de la fonction de Möbius :

µ pnq “ µ ppα11 ¨ ¨ ¨ pαrr q

“ µ ppα11 q ¨ ¨ ¨µ pp

αrr q

où pj sont des nombres premiers 2 à 2 distincts.r ě 0, αj ě 1, pα1

1 ^ ppα22 ¨ ¨ ¨ pαrr q “ 1

On obtient : @n ě 1 :

µ pnq

n5“µ ppα1

1 ¨ ¨ ¨ pαrr q

ppα11 ¨ ¨ ¨ pαrr q

5 “µ ppα1

1 q

ppα11 q

5 ¨ ¨ ¨µ ppαrr q

ppαrr q5

Emily Clement page 116

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

On remarque :

ź

pPP,pďN

˜

1`µ ppq

ps` ¨ ¨ ¨ `

µ`

pN`1˘

ppN`1q5

¸

`ÿ

nPΣN

µ pnq

ns`

NpN`1qNÿ

n“1

µ pnq

nset

Nÿ

n“1

µ pnq

ns`

ÿ

nPΣN

µ pnq

ns“

ź

pPP,pďN

˜

1`µ ppq

ps` ¨ ¨ ¨ `

µ`

pN`1˘

ppN`1qs

¸

On obtient :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ÿ

nPΣN

µ pnq

ns

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďÿ

nPΣN

1

ns“ RN Ñ 0

etˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ÿ

nPΣN

µ pnq

ns

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďÿ

nPΣ

1

ns“ RN Ñ 0

Comme @p P P , @j ě 2 µ`

pj˘

“ 0 µ ppq “ ´1 on obtient :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Nÿ

n“1

µ pnq

ns´

ź

pPP,pďN

ˆ

1´1

ps

˙

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ÿ

nPΣN

µ pnq

ns

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď RN ÝÑNÑ`8

0

Nÿ

n“1

µ pnq

nstend vers

`8ÿ

n“1

µ pnq

nset le deuxième membre vers

ź

pPP

ˆ

1´1

ps

˙

1

ζ psqOn obtient :

@s ą 1,1

ζ psq“

`8ÿ

n“1

µ pnq

ns

Comme z ÞÑ1

ζ pzqet z ÞÑ

`8ÿ

n“1

µ pnq

nssont holomorphes sur Ω ouvert

connexe, on en déduit :

@z P Ω,1

ζ pzq“

`8ÿ

n“1

µ pnq

nz

Emily Clement page 117

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Exercice 4.1 (Exercice 4, fiche de TD 5).Établir les identités :

@z P C,Rez ą 1,ζ pzq

ζ p2zq“

`8ÿ

n“1

|µ pnq|

nz

@z P C,Rez ą 2,ζ pz ´ 1q

ζ pzq“

`8ÿ

n“1

|ϕ pnq|

nz

ζ pzq

ζ p2zq“

ś

pPP

11´ 1

pz

ś

pPP

11´ 1

p2z

: on au ne converge normale sur tout compact de C.

Orζ pzq

ζ p2zq“

˜

ÿ

ně1

1

nz

¸˜

ÿ

ně1

µ pnq

n2z

¸

loooooomoooooon

1ζp2zq

: les deux séries sont absolument conver-

gente sur Rez ą 1.1

ζ p2zq“

ÿ

ně1

annz

#

an “ µ`?

si n est une carré0 sinon

ζ pzq

ζ p2zq“

ÿ

ně1

˜

ÿ

kl“n

ak

¸1nz

Montrons queÿ

1ďkďn,k|n

ak “ |µ pnq|

ÿ

1ďkďn,k|n

ak “ÿ

1ďkďn,l|n,k est un carré

ak

“ 1`ÿ

2ďkďn,k|nk est un carréEpPP|p4|k p˚q

µ´?

p˚q car µ ppnq “ 0 si n ě 2 et µ multiplicative.

On pose : An “ tk P N, k vérifie les conditions pEnqu où En “

$

&

%

2 ď k ď n, k|n

k est un carréEp P P |p4

|k p˚q

Cas 1 : An “ ∅ÿ

k|n,1ďkďn

ak “ 1.

Emily Clement page 118

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Montrons que |µ pnq| “ 1.n “ pr11 ¨ ¨ ¨ p

rss , pi premiers.

Si rj0 ě 2, p2j0|n et p2

j0P An qui est alors non vide.

Donc n “ p1 ¨ ¨ ¨ ps, pi deux à deux distincts.Donc |µ pnq| “ |p´1qs| “ 1.

Cas 2 : An ‰ ∅ Dk ą 1, k P An et k carré donc µ pnq “ 0.n “ pr11 ¨ ¨ ¨ p

rss , pi deux à deux distincts.

Soit k un carré, k “ l2n, l ą 1.On écrit l “ pα1

1 ¨ ¨ ¨ pαss , 0 ď αi ď rjk “ p2α1

1 ¨ ¨ ¨ p2αss , 2αj ď rj et αi “ 0 ou 1 @i donc Ep P P , p4

|k

Donc An “mď

n“1

ź

jPJr

psj où Jr Ă t1, ¨ ¨ ¨ , su tel que #Jr “ r et rj ě 2 et

où m “ # t1 ď j ď s, rj ě 2u

III Série de DirichletLes séries de Dirichlet sont des série du type :

`8ÿ

n“1

annz

où panqně1 est une suite de nombres complexes :

Exemple 4.1.

1. @n ě 1, an “ 1 ζ pzq “`8ÿ

n“1

1

nz

2. @n ě 1, an “ µ pnq1

ζ pzq“

`8ÿ

n“1

µ pnq

nz

On définit l’abscisse de convergence :

´8 ď σc “ inf

#

z P R,`8ÿ

n“1

annz

est convergente

+

ď `8

Cela vaut `8 si l’ensemble est vide par convention.

Emily Clement page 119

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

1. Si σc “ ´8 la série converge pour tout z P C2. Si σc “ `8 la série de converge pour aucun z P C3. Si ´8 ă σc ă `8 la série converge @z P C tel que Rez ą σc

et diverge pour tout z P C tel que Rez ă σc.4. Si σac “ ´8, la série converge absolument pour tout z P C5. Si σac “ `8, la série ne converge absolument pour aucunz P C

6. Si ´8 ă σac ă `8, la série converge absolument pour toutz P C tel que Rez ą σac et ne converge absolument pas pourtout z P C tel que Rez ă σac

7. σc ď σac ď σc ` 1 dans R “ RY t`8u ie :#

σc “ ´8 ô σac “ ´8

σc “ `8 ô σac “ `8

Proposition 4.4.

Démonstration. Preuve en TD :Soit z0 P C, tel que

ÿ

n“1

annz0

converge dans C.

Montrons que @Rez ą Rez0,`8ÿ

n“0

annz

converge.

annz“

annz0

1

nz´z0.

Posons Sn “Nÿ

k“1

akkz0

, S0 “ 0.

Nÿ

n“1

annz“

Nÿ

n“1

annz0

1

nz´z0

Nÿ

n“1

Snnz´z0

´

N´1ÿ

n“1

Sn

pn` 1qz´z0

N´1ÿ

n“1

Sn

ˆ

1

nz´z0´

1

pn` 1qz´z0

˙

Comme`8ÿ

n“0

annz0

converge, la suite pSnqně0 converge dans C donc elle est

Emily Clement page 120

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

bornée.Dc ą 0, @n ě 0, |Sn| ď CDonc :

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

nz´z0´

1

pn` 1qz´z0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“1

pn` 1qRez´Rez0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˆ

1`1

n

˙z´z0ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

D’après la formule de Taylor :@t ě 0 :

p1` tqz´z0 “ 1`pz ´ z0q t`t2

0

p1´ sq pz ´ z0q pz ´ z0 ´ 1q p1` stqz´z0´2 ds

@n ě 1 :

ˆ

1`1

n

˙z´z0

“pz ´ z0q

n`

1

n2

¨

˝

0

p1´ sq´

1`s

n

¯z´z0´2

ds

˛

‚pz ´ z0q pz ´ z0 ´ 1q

Supposons z P B p0, Rq : @ |z| ď R, @n ě 1 :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˆ

1`1

n

˙z´z0

´ 1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďR ` |z0|

n`pR ` |z0|q pR ` |z0|q

n2¨ δ

où δ “

#

2Rez´Rez0´2 si Rez ´ Rez0 ´ 2 ě 0

1 sinonˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˆ

1`1

n

˙z´z0

´ 1|z ´ z0|

n

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď `pR ` |z0|q pR ` |z0|q

n2¨ δ

DCR ą 0, @n ě 1, @ |z| ď R :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˆ

1`1

n

˙z´z0

´ 1´z ´ z0

n

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďCRn2

DoncNÿ

n“1

annz“

N´1ÿ

n“1

Sn

ˆ

1

nz´z0´

1

pn` 1qz´z0

˙

`Snnz´z0

C’est une série absolument convergente @Rez ą Rez0 car`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Sn

ˆ

1

nz´z0´

1

pn` 1qz´z0

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

Emily Clement page 121

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

C`8ÿ

n“1

1

pn` 1qRez´Rez0

ˆ

|z ´ z0|

n`CRn2

˙

looooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon

“O´

1

n1`Rez´Rez0

¯

Donc @Rez ą Rez0,`8ÿ

n“1

annz

converge.

1. Supposons que σc “ ´8 :

Soit z0 P C, Dx P R, x ă Rez0 tel que`8ÿ

n“1

annx

converge.

On sait alors que @Rez ą x,`8ÿ

n“1

annz

: OK par z “ z0.

donc @z P C,`8ÿ

n“1

annz

converge.

2. Supposons que σc “ `8, alors

#

x P R,`8ÿ

n“1

annz

converge dans C

+

“ ∅

Supposons Dz0 P C tel que`8ÿ

n“1

annz0

converge.

On en déduit que @Rez ą Rez0,`8ÿ

n“1

annz

converge donc @x ą Rez0,

`8ÿ

n“1

annx

donc σc ď Rez0 : contradiction.

3. Supposons que ´8 ă σC ă `8.Soit z0 P C tel que Rez0 ą σc. Par définition de σc, Dx P R, σc ă x ă

Rez0 tel que`8ÿ

n“1

annx

converge.

Il s’ensuit @Rez ą x,`8ÿ

n“1

annz

converge : OK pour z “ z0.

Soit z0 P C tel que Rez0 ă σc.

Supposons que`8ÿ

n“1

annz0

converge, alors @Rez ą Rez0,`8ÿ

n“1

annz

donc @z ą

Rez0,`8ÿ

n“1

annx

converge donc σc ď Rez0 : contradiction.

4. Supposons que σac “ ´8.

Soit z0 P C, Rez0 ą ´8, Dx P R, x ă Rez0 tel que`8ÿ

n“1

|an|

nxconverge.

Emily Clement page 122

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Donc si`8ÿ

n“1

|an|

nRez0ď

`8ÿ

n“1

|an|

nxă `8 alors

`8ÿ

n“1

annz0

converge.

5. Supposons que σac “ `8 alors

#

x P R,`8ÿ

n“1

|an|

nxă `8

+

“ ∅.

Supposons que`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

annz0

ˇ

ˇ

ˇă `8, alors

`8ÿ

n“1

|an|

nxă `8 avec x “ Rez0 :

contradiction.6. Supposons que ´8 ă σac ă `8 :

Soit z0 P C, tel que Rez0 ą σc, Dσx ă x ă Rez0 tel que`8ÿ

n“1

|an|

nxă `8

Donc`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

annz0

ˇ

ˇ

ˇ“

`8ÿ

n“1

|an|

nRez0ď

`8ÿ

n“1

|an|

nxă `8 donc

`8ÿ

n“1

annz0

converge

absolument.

Soit z0 P C tel que Rez0 ă σac. Supposons que`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

annz0

ˇ

ˇ

ˇ“

`8ÿ

n“1

|an|

nRez0

donc σac ď Rez0 : contradiction.Exemple 4.2.

ζ pzq “`8ÿ

n“1

1

nzcar @Rez ą 1,

`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

nz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ă `8 et`8ÿ

n“1

1

n“ `8.

Donc ζ pzq “`8ÿ

n“1

p´1qn

nz, σac “ 1, σc “ 0.

@x ă 0,p´1qn

nx­ÝÑnÑ`8

0, σc ě 0, @x ą 0,`8ÿ

n“1

p´1qn

nxconverge.

7.

#

x P R,`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

annx

ˇ

ˇ

ˇă `8

+

Ă

#

x P R,`8ÿ

n“1

annx

CV dans C

+

Montrons que ´8 ď σac ď σc`1 ď `8 (t`8u`1 “ `8, t´8u`1 “´8

On peut supposer que σc ă `8.On raisonne par l’absurde en supposant σc`1 ă σac, Dσc`1 ă x ă σac,

on a`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

annx

ˇ

ˇ

ˇ“ `8, Dε ą 0, x ą σc ` 1` εô x` e ą σc

Il s’ensuit :`8ÿ

n“1

annx`ε

converge ñ limnÑ`8

annx´1´ε

“ 0

DC ą 0, @n ě 1,ˇ

ˇ

ˇ

annx´1`ε

ˇ

ˇ

ˇď C.

Emily Clement page 123

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

@n ě 1,ˇ

ˇ

ˇ

annx

ˇ

ˇ

ˇ“

ˇ

ˇ

ˇ

annx´1´ε

ˇ

ˇ

ˇ

1

nx´1´εď

C

n1`ε: contradiction.

8. Soit`8ÿ

n“1

annz

une série de Dirichlet telle que σc ă `8.

On considère, @Rez ą σC , f pzq “`8ÿ

n“1

annz

.

On a vu précédemment : Soit z0 P C tel que <z0 ą σC , la série`8ÿ

n“1

annz0

converge.

On note Sn “nÿ

k“1

akkz0

, Si n ě 1 et S0 “ 0 :

@Rez ą Rez0, f pzq “`8ÿ

n“1

Sn

ˆ

1

nz´z0´

1

pn` 1qz´z0

˙

loooooooooooooooomoooooooooooooooon

fonction holomorphe sur tReząRez0u

Soit K un compact de tRez ą Rez0u, Dδ ą 0 et R ą 0 tel que K Ă

tRez ě Rez0 ` δu X B p0, Rq

`8ÿ

n“1

supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Sn

ˆ

1

nz´z0´

1

pn` 1qz´z0

˙ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď C`8ÿ

n“1

supRezěRez0`δ,|z|ďR

1

pn` 1qRez´Rez0

ˆ

|z ´ z0|

n`CRn2

˙

ď C`8ÿ

n“1

1

pn` 1qδ

ˆ

R ` |z0|

n`CRn2

˙

loooooooooooooooomoooooooooooooooon

Op 1

n1`δ q

ă `8

Donc f est holomorphe sur tRez ą Rez0u : Vrai @z0 P C tel que Rez0 ą

σC donc f P H ptRez ą σcuq.

9. Soit f pzq “`8ÿ

n“1

annz

une série de Dirichlet telle que σC ă `8.

On suppose que D pzkqjě0 une suite de tRez ą σCu telle que @k ě0, f pzkq “ 0 et lim

kÑ`8Rezk “ `8

Montrons que @n ě 1, an “ 0.Par l’absurde, si c’est pas le cas, on peut considérer n0 le plus petitentier ě 1 tel que an ‰ 0.Montrons que lim

kÑ`8nzk0 f pzkq “ an0

Comme @k ě 0, f pzkq “ 0, ceci impliquera an0 “ 0 : contradiction.

@k ě 0, nz0f pzkq “ nzk

˜

`8ÿ

n“n0

annzk

¸

“ an0 `

`8ÿ

n0`1

an

´n0

n

¯zk

Emily Clement page 124

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

On remarque que σC ă `8 donc σac ă `8, Dα ą σac tel que`8ÿ

n“1

ˇ

ˇ

ˇ

annα

ˇ

ˇ

ˇă `8.

Soit ε ą 0, DN ě max`

n20, n0 ` 2

˘

tel que`8ÿ

n“N

|an|

nαďε

2

Dk0 ě 1, @k ě k0,Rezk ě 2α, @k ě k0 :

|nzk0 f pzkq ´ an0 | ď

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

N´1ÿ

n“n0`1

´n0

n

¯zkan

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

loooooooooomoooooooooon

ďN´1ř

n“n0`1|an||

n0n |

Rezk

`

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8ÿ

n“N

´n0

n

¯zkan

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

loooooooomoooooooon

`8ř

n“N

|an|nα

nRezk0

nRezk´αď

nRezk0

NRezk´αε2ď

ˆ

n20N

˙ 12<zk

ε2ď ε

2

OrN´1ÿ

n“n0`1

|an|ˇ

ˇ

ˇ

n0

n

ˇ

ˇ

ˇ

RezkÝÑkÑ`8

0 carˇ

ˇ

ˇ

n0

n

ˇ

ˇ

ˇă 1

10. CF cours.

Soit`8ÿ

n“1

annz

une série de Dirichlet d’abscisse de convergence σc ă `8.

La fonction f pzq “`8ÿ

n“1

annz

est holomorphe sur tz P C,Rez ą σcu

Théorème 4.3.

Démonstration. Démonstration en TD

Soit f pzq “`8ÿ

n“1

annz

une série de Dirichlet d’abscisse de convergence

σc ă `8.Supposons qu’il existe pzkqkě1 une suite de tz P C,Rez ą σcu tel que :

$

&

%

@k ě 1, f pzkq “ 0

limkÑ`8

Rezk “ 8

alors @n ě 1, an “ 0.

Proposition 4.5.

Emily Clement page 125

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Démonstration. Preuve en TD.

Soit f pzq “`8ÿ

n“1

annz

une série de Dirichlet d’abscisse de conver-

gence σc ă `8 non identiquement nulle sur l’ouvert convexetz P C,Rez ą σcu.Il existe α P R, α ě σc tel que @z P C,Rez ě α, f pzq ‰ 0

Corollaire 4.1.

Démonstration.Par l’absurde, on pourrait alors construire une suite de zéros de f dont lesparties réelles tendent vers `8.

Soient`8ÿ

n“1

annz

et`8ÿ

n“1

bnnz

deux séries de Dirichlet convergentes :

1. Si l’une des deux séries est de plus absolument convergente, leproduit de Dirichlet :

`8ÿ

n“1

1

nz

˜

ÿ

jk“n,1ďj,kďn

ajbk

¸

est convergente et :

`8ÿ

n“1

1

nz

˜

ÿ

jk“n,1ďj,kďn

ajbk

¸

˜

`8ÿ

n“1

annz

¸˜

`8ÿ

j“1

bjj2

¸

2. Si les deux séries sont absolument convergente, le pro-

duit de Dirichlet`8ÿ

n“1

1

nz

˜

ÿ

jk“n,1ďj,kďn

ajbk

¸

est absolument

convergent.

Théorème 4.4.

Démonstration. Preuve en TD

Emily Clement page 126

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

IV Formule d’inversion de Möbius

Soit f pzq “`8ÿ

n“1

annz

une série de Dirichlet d’abscisse σc ă `8.

@z P C tel que Rez ą max p1, σcq, f pzq ζ pzq “

˜

`8ÿ

n“1

annz

¸˜

`8ÿ

n“1

1

nz

¸

C’est un produit de deux séries de Dirichlet convergente.

f pzq ζ pzq “`8ÿ

n“1

1

nz

¨

˝

ÿ

k|n,1ďkďn

ak

˛

série de Dirichlet convergente, d’abscisse de CV ďmaxp1,σcq

@z P C tel que Rez ą max p1, σcq

f pzq “1

ζ pzqpζ pzq f pzqq

˜

`8ÿ

n“1

µ pnq

nz

¸

série de Dirichlet convergente

¨

˝

`8ÿ

n“1

¨

˝

ÿ

k|n,1ďkďn

ck

˛

˛

série de Dirichlet convergente

`8ÿ

n“1

1

n2

¨

˝

ÿ

k|n,1ďkďn

bkµ´n

k

¯

˛

série de Dirichlet CV, donc d’abscisse de CV ěmaxp1,σcq

On obtient : @z P C tel que Rez ą max p1, σcq :

`8ÿ

n“1

annz“

`8ÿ

n“1

1

nz

¨

˝

ÿ

k|n,1ďkďn

bkµ´n

k

¯

˛

ie @z P C tel que Rez ą max p1, σcq :

`8ÿ

n“1

1

nz

¨

˝an ´ÿ

k|n,1ďkďn

bkµ´n

k

¯

˛

‚“ 0

(C’est une série de Dirichlet d’abscisse de convergente ď max p1, σcq ă `8)D’après une proposition précédente, on en déduit :

@n ě 1, an “ÿ

k|,1ďkďn

bkµ´n

k

¯

Emily Clement page 127

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

Soit panqně1 une suite de nombres complexes et @n ě 1 bn “ÿ

k|n,1ďkďn

ak alors :

@n ě 1, an “ÿ

k|n,1ďkďn

bkµ´n

k

¯

où µ désigne la fonction de Möbius

Théorème 4.5 (Formule d’inversion de Möbius).

Démonstration.Soit N ě 1, on définit an pNq “ an1r1,Ns pnq.

L’abscisse de convergence de la série de Dirichlet`8ÿ

n“1

an pNq

nzest donc égale à

´8 car c’est une somme finie.D’après ce qui précède, on a démontré que :

@n ě 1, an pNq “ÿ

k|n,1ďkďn

bk pNqµ´n

k

¯

On remarque @1 ď n ď N an pNq “ an et bn pNq “ÿ

k|n,1ďkďn

ak

On en déduit :@1 ď n ď N, an “

ÿ

k|n,1ďkďn

bkµ´n

k

¯

Exemple 4.3.On rappelle que la fonction indicatrice d’Euler de l’entier n ě 1 est définiepar ϕ pnq “ # pσnq où σn est le groupe des éléments inversible ZnZOn pose ϕ p1q “ 1On démontre @n ě 1 :

ϕ pnq “ # t1 ď k ď n, k ^ n “ 1u

@n ě 2n “

ÿ

1ďkďn,k|n

ϕ pkq

Emily Clement page 128

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CHAPITRE 4. FONCTION ZÊTA DE RIEMANN

On peut utiliser la formule d’inversion de Möbius pour obtenir :

@n ě 1, ϕ pnq “ÿ

1ďkďn,k|n

kµ´n

k

¯

Emily Clement page 129

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Chapitre 5

Théorème des nombres premiers

Π pxq “ #

"

p P Pnb premiers

, 2 ď p ď x

*

„xÑ`8

x

lnx

Théorème 5.1 (Théorème des nombres premiers).

Ce résultat fur conjecturé par Carl Friedrich Gauss (777-1855) en 1792-1793et Adrien-Marc Legendre (1752-18433, mathématicien francais) en 1797-1798.Il fut démontré indépendamment par Jacque Hadamard (1865-1963, mathé-maticiens francais) et Charles-Jean de la Vallée Poussin (1866-1962, mathé-maticien belge) en 1896.En 1949, Paul Erdös (1913-1996, mathématicien hongrois) et Atle Selberg(1917-2007 mathématicien norvégien) donnèrent une autre démonstrationn’utilisant par d’analyse complexe. Selberg faut láureát de la médaille Fieldsen 1950.La démonstration que l’on va donner est due à Donard Newmann (1930-2007, mathématicien américain) qui a trouvé en 1980 une preuve relativementcourte et simple.

Démonstration.On définit :

@z P C,Rez ą 1, φ pzq “ÿ

pPP

ln p

pzě 0

car @p P P , p ě 2 C’est une série de fonctions holomorphes sur tRez ą 1u quiconverge normalement sur tout compact de tRez ą 1u

130

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

Soit K compact de tRez ą 1u, Dδ ą 0 tel que K “ tz P C,Rez ě 1` δu

ÿ

pPPsupzPK

|ln p|

pzď

ÿ

pPP

ln p

p1`δď

`8ÿ

n“2

ln l

1` δă `8

carlnn

nδ`1“ o

ˆ

1

n1` δ2

˙

quand nÑ `8.

On définit :@z ě 2, Θ pxq “

ÿ

pďx,pPPp

loomoon

ě0

ě 0

1. Montrons que Θ pxq “ O pxq quand xÑ `8

On remarque que la fonction Θ est croissante, soit x ě 2 il existe ununique k ě 2 tel que 2k´1

ď x ă 2k.Il s’ensuit

Θ`

2k˘

ď Θ pxq ď Θ`

2k˘

On remarque :

@n ě 2, Θ p2nq ´Θ pnq “ÿ

năpď2n

ln p

@n ě 2, eΘp2nq´Θpnq“ exp

˜

ÿ

năpď2n,pPPln p

¸

“ź

năpď2n,pPPp

D’autre part on a :

N˚ Q Cn2n “

p2nq!

n!n!“p2nq p2n´ 1q ¨ ¨ ¨ pn` 1q

n!

Donc n!Cn2n “ p2nq p2n´ 1q ¨ ¨ ¨ pn` 1q On remarque que :

ź

năpď2n,pPPp| p2nq p2n´ 1q ¨ ¨ ¨ pn` 1q “ n!Cn

2n

D’autre part on a :˜

ź

năpď2n,pPPp

¸

^ n! “ 1

Il s’ensuit :

ź

năpď2n,pPP|Cn

2n ñź

năpď2n,pPPp ď Cn

2n ď

2nÿ

k“0

Ck2n “ p1` 1q2n

Emily Clement page 131

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

@n ě 2, eΘp2nq´Θpnqď 22n

@n ě 2, Θ p2nq ´Θ pnq ď 2n ln 2$

&

%

Θ`

22˘

ď Θ p2q ` 22 ln 2

Θ`

23˘

ď Θ`

22˘

` 23 ln 2

¨ ¨ ¨

θ`

2k˘

ď Θ`

2k´1˘

` 2k ln 2

Donc Θ`

2k˘

ď Θ p2q ` ln 2

˜

kÿ

j“2

2j

¸

ď ln 2`

1` 2` 22` ¨ ¨ ¨ ` 2k

˘

ln 22k`1 ´ 1

2´ 1ď 2k`1

` ln 2

2k´1ď 2k donc Θ pxq ď Θ

`

2k˘

ď 2k`1 ln 2 ď p4 ln 2qxOn a montré que :

@x ě 2,Θ pxq “ 4 ln 2x

2. Montrons que la fonction ζ ne s’annule pas sur l’ensemble tz P C,Rez ě 2u z t1uOn a déjà vu que :

@z P C tel que Rez ą 1, ζ pzq ‰ 0

en conséquence de la formule d’Euler. Il suffit donc de montrer que :

@z P C,Rez “ 1, z ‰ 1, ζ pzq ‰ 0

On rappelle la formule d’Euler :

@z P C,Rez ą 1, ζ pzq “ź

pPP

1´ 1pz

¯

C’est un produit infini de fonctions holomorphes convergeant norma-lement sur tout compact de tz P C,Rez ą 1u ouvert connexe, ce sontdes fonctions holomorphes non identiquement nulles sur tRez ą 1u.

Emily Clement page 132

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

D’après un théorème précédent :

ζ 1 pzq

ζ pzq“

˜

ś

pPP

1

p1` 1pz q

1

¸

ś

pPP

ˆ

11´ 1

pz

˙

“ÿ

pPP

ˆ

11´ 1

pz

˙1

1´ 1pz

“ ´ÿ

pPP

ln p´

1´ 1pz

¯2

1

pz

ˆ

1´1

pz

˙

car

¨

˝

1´ 1pz

¯

˛

1

“´1

´

1´ 1pz

¯2

ˆ

´1

pz

˙1

“1

´

1´ 1pz

¯2

`

p´z˘1“

´ ln p´

1´ 1pz

¯

1

pz

“ ´ÿ

pPP

ln p´

1´ 1pz

¯

pz

“ ´ÿ

pPP

ln p

pz ´ 1

Série de fonctions méromorphes CV normalement sur tout compactde tRez ą 1u

Remarque 5.1. À priori, le théorème donne la convergence d’unesérie de fonctions méromorphe mais ici :

@z P C tel que Rez ą 1, ζ pzq “ź

pPP

1´ 1p2

¯

loooomoooon

‰0

@Rez ą 1 :

ζ 1 pzq

ζ pzq“ ´φ pzq `

ÿ

pPPln

ˆ

1

pz´

1

pz ´ 1

˙

“ ´φ pzq ´ÿ

pPP

ln p

pz ppz ´ 1qfonction holomorphe sur tRez ą 1u

On vérifie que la série de fonctions holomorphesÿ

pPP

ln p

pz ppz ´ 1qconverge

Emily Clement page 133

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

normalement sur tout compact de"

Rez ą1

2

*

SoitK un compact de"

Rez ą1

2

*

, Dδ ą 0 tel queK Ă

"

Rez ě δ `1

2

*

ÿ

pPPsupzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ln p

pz ppz ´ 1q

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďÿ

pPPsup

Rezě 12`δ

ln p

pRez ppRez ´ 1q

ďÿ

pPP

ln p

p12`δ pp12`δ ´ 1q

ď

`8ÿ

n“2

lnn

n12`δ

´

n12`δ ´ 1

¯ ă `8

carlnn

n12`δ pn12`δ ´ 1q„

nÑ`8

lnn

n1`2δ“ o

ˆ

1

n1`δ

˙

Comme ζ est une fonction méromorphe sur C ayant un unique pôlesimple de résidu 1, la fonction φ se prolonge de manière unique en une

fonction méromorphe sur"

Rez ą1

2

*

φ pzq :“´ζ 1 pzq

ζ pzq´

ÿ

pPP

ln p

pz ppz ´ 1qsur

"

Rez ą1

2

*

Les pôles de φ sont les zéros de la fonction ζ dans"

1

2ă Rez ď 1

*

et

le pôle z “ 1 de ζ.En effet on sait par la formule d’Euler qu’on a pas de pôle de partieréelles ď 1.Il existe g une fonction entière telle que : @z P Cz t1u :

ζ pzq “1

z ´ 1` g pzq

ζ 1 pzq “1

pz ´ 1q2` g1 pzq

Emily Clement page 134

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

Donc :

´ζ 1 pzq

ζ pzq“

1pz´1q2

´ g1 pzq

1z´1

` g pzq

“1

z ´ 1

`

1´ pz ´ 1q2 g1 pzq˘

1` pz ´ 1q g pzq

limzÑ1,z‰1

pz ´ 1qφ pzq “ limzÑ1,z‰1

˜

1´ pz ´ 1q2 g1 pzq

1` pz ´ 1q g pzq´ pz ´ 1q

ÿ

pPP

ln p

p2 pp2 ´ 1q

¸

“ 1

On en déduit que φ admet un pôle simple en z “ 1 de résidu 1.

Soit z0 un zéro de la fonction ζ dans"

1

2ă Rez ď 1

*

z t1u, on note

m0 ě 1 son ordre de multiplicité.Dδ ą 0, @ |z ´ z0| ă δ ζ pzq “ pz ´ z0q

m0 h pzq où h est holomorphe surB pz0, δq, @ |z ´ z0| ă δ, h pzq ‰ 0.ζ 1 pzq “ m0 pz ´ z0q

m0´1 h pzq ` pz ´ z0qm0 h1 pzq.

@ |z ´ z0| ă δ, z ‰ z0,

´ζ 1 pzq

ζ pzq“´m0 pz ´ z0q

m0´1 h pzq ´ pz ´ z0qm0 h1 pzq

pz ´ z0qm0 h pzq

“´m0

z ´ z0

´h1 pzq

h pzq

h1 pzq

h pzqest holomorphe sur B pz0, δq.

On en déduit que la fonction φ admet un pôle simple en tout zéro de

la fonction ζ dans l’ensemble"

1

2ă Rez ď 1

*

z t1u de résidu ´m0 où

m0 est l’ordre de multiplicité de z0 comme zéro de ζ.Montrons que la fonction ζ ne s’annule pas sur tRez “ 1u z t1u.Par l’absurde, supposons qu’il existe a P R˚ tel que ζ p1` iaq “ 0.On note m0 l’ordre d’annulation de ζ en 1` iaOn remarque que : @z P C tel que Rez ą 1,

ζ pzq “

˜

`8ÿ

n“1

1

nz

¸

`8ÿ

n“1

1

nz“ ζ pzq

D’autre part, la fonction z P Cz t1u ÞÑ ζ pzq est holomorphe surCz t1u car, @z P Cz t1u :

limzÑz0

ζ pzq ´ ζ pz0q

z ´ z0

“ limzÑz0

˜

ζ pzq ´ ζ pz0q

z ´ z0

¸

“ ζ 1 pz0q

Emily Clement page 135

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

car z Ñ z0 ñ z Ñ z0 et ζ est holomorphe en z0.

Comme Cz t1u est un ouvert connexe et que

#

z ÞÑ ζ pzq

z ÞÑ zeta pzqsont

holomorphe sur Cz t1u on en déduit :

@z P Cz t1u , ζ pzq “ ζ pzq

Comme ζ p1` iaq “ 0 on en déduit que ζ p1´ iaq “ 0On peut écrire au voisinage de 1` ia, il existe δ ą 0, @ |z ´ p1` iaq| ăδ :

ζ pzq “ pz ´ 1´ iaqm0 h pzq “ ζ pzq

h pzq fonction holomorphe sur B p1` ia, δq, @z P B p1` ia, δq, h pzq ‰0.@z P B p1` ia, δq ζ pzq “ pz ´ 1` iaqm0 h pzq@z P B p1´ ia, δq, ζ pzq “ pz ´ 1` iaqm0 h pzqIl s’ensuit que 1 ´ ia est un zéro d’ordre m0 de ζ. On considère z1 “

1` 2a.Si ζ pz!q “ 0 où z1 est un zéro d’ordre m1 ě 1 alors d’après ce quiprécède z1 “ 1´ 2ia est un zéro d’ordre m1

Si ζ pz1q ‰ 0 alors de même z1 et z1 sont des zéros de ζ d’ordrem1 “ 0.On en déduit :

$

&

%

limzÑ1,z‰1

pz ´ 1qφ pzq “ 1

limzÑ1˘ia,z‰1˘ia

pz ´ 1˘ iaqφ pzq “ ´m0 ď ´1

limzÑ1˘2ia,z‰1˘ia

pz ´ 1˘ 2iaqφ pzq “ ´m1 ď 0

Donc :$

&

%

limεÑ0,εą0

εφ p1` εq “ 1

limεÑ0,εą0

εφ p1˘ ia` εq “ ´m0

limεÑ0,εą0

εφ p1`˘2iaεq “ ´m1

Si 1 ˘ 2ia est un zéro d’ordre m1 ě 1, si ζ p1˘ 2iaq ‰ 0 alors φ estholomorphe au voisinage de 1˘ 2iaAlors lim

zÑ1˘2ia,z‰1˘2iapz ´ 1˘ 2iaqφ pzq “ 0 “ m1 : ok.

Emily Clement page 136

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

Soit ε ą 0, on considère :

2ÿ

k“´2

Ck`24 εφ p1` ε` ika1q

looooooomooooooon

Rep qą1

2ÿ

k“´2

Ck`24 ε

˜

ÿ

pPP

ln p

p1`ε`ika

¸

“ÿ

pPPε

ln p

p1`ε

˜

2ÿ

k“´2

Ck`24

1

pika

¸

“ÿ

pPP

ε ln p

p1`ε

˜

4ÿ

k“0

Ck4

1

ppiaqk

¸

p2ia

“ÿ

pPP

ε ln p

p1`ε

ˆ

1`1

pia

˙4

p2ia“

ÿ

pPP

ε ln p

p1`ε

´

pia2 ` p´

ia2

¯4

ě 0

ÝÑεÑ0

C24 ` C

34 p´m0q ` C

44 p´m1q ` C

14 p´m0q ` C

04 p´m1q

Il s’ensuit :0 ď 6´ 8m0 ´ 6m1 ď 6´ 8m0 ď ´2

Conclusion : On a montré que @z P tRez “ 1u z t1u , ζ pzq ‰ 0On a également montré que c’était vrai pour tout z P C tel que Rez ą1.

Assertion :

`8ż

1

Θ pxq ´ x

x2dx est convergente au sens des intégrales

impropres.

ie limXÑ`8

1

Θ pxq ´ x

x2dx existe et est finie.

Où Θ pxq “ÿ

pPP,pďxln p ě 0.

On a déjà montré que Θ pxq “ O pxq quand xÑ `8

On a besoin du lemme suivant :

Emily Clement page 137

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

Soit f : R` Ñ C une fonction mesurable bornée.On définit @z P C,Rez ą 0 :

g pzqdef“

`8ż

0

f ptq e´ztdt

La fonction g est holomorphe sur tz P C,Rez ą 0uOn suppose que pour tout z0 P C, Rez0 “ 0 il existe r0 ą 0 tel quela fonction g se prolonge holomorphiquement sur l’ouvert connexetz P C,Rez ą 0u

č

B pz0, r0q

On a alors que l’intégrale impropre`8ż

0

f ptq dt converge, ie

limXÑ`8

0

f ptq dt existe et appartient à C

Lemme 5.1.

Démonstration du lemme.On commence par vérifier que g est holomorphe sur tRez ą 0u@t P R, z ÞÑ f ptq e´zt est holomorphe sur tRez ą 0u@K compact et tRez ą 0u , Dδ ą 0 tel que K Ă tRez ě δu

supzPK

ˇ

ˇf ptq e´ztˇ

ˇ ďMe´δt P L1pR`q

où M est une constante telle que @t P R`, |f ptq| ďMD’après le théorème de régularité des intégrales à paramètre, g est holo-morphe sur tRez ą 0u.On définit :

@z P C, @T ą 0, gT pzq “

0

f ptq e´ztdt

Montrons que gT est une fonction entière :On remarque que @t P r0, T s, z ÞÑ f ptq e´zt est une fonction entière.Soit K un compact de C, il existe R ą 0 tel que K Ă B p0, Rq

supzPK

ˇ

ˇf pT q e´ztˇ

ˇ ďMeRt P L1pr0, T sq

Emily Clement page 138

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

donc gT P H pCqSoit ε ą 0, on choisit R ą 0 tel que

4M

Răε

2@z0 P i r´R,Rs, Dr0 pz0q ą 0 tel que g se prolonge en une fonction holomorphesur tRez ą 0u

ď

B pz0, r0 pr0qq

i r´R,Rsloooomoooon

compact

Ăď

z0Pir´R,Rs

B pz0, r0 pz0qqloooooomoooooon

ouvert

On extrait un sous-recouvrement fini.

i r´R,Rs ĂNď

j“1

B pzj, rjq où zj P i r´R,Rs, g se prolonge en fonctions holo-

morphe sur tous les ouverts B pzj, rjqOn eut donc trouver δ ą 0 tel que la fonction g se prolonge en une fonctionholomorphe sur l’ouvert :

¨

˚

˚

˝

tRez ą ´δuč

B p0, R ` δqloooooooooooooooomoooooooooooooooon

“:ΩR,δ ouvert étoilé car convexe

˛

ď

tRez ą 0u

On considère la fonction F pzq “ pg pzq ´ gT pzqq ezTˆ

1`z2

R2

˙

P H pΩR,δq

On applique la formule de Cauchy dans l’ouvert étoilé ΩR,δ.

F p0q “ g p0q ´ gT p0q

“ g p0q ´

0

f ptq dt

“1

2iπ

ż

Γ

F pzq

zdz

“1

2iπ

ż

Γ1

F pzq

zdz `

1

2iπ

ż

Γ2

F pzq

zdz

où Graphique à demander à David.On remarque que @ |ω| “ 1,

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

ω` ω

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ |ω ` ω|

“ |2Reω| “ 2 |Reω|

Emily Clement page 139

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

@Rez ą 0 :

|g pzq ´ gT pzq| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8ż

0

f ptq e´ztdt´Tż

0

f ptq e´ztdt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`8ż

T

f ptq e´ztdt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

`8ż

T

Me´Reztdt

“M

Reze´RezT

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

2iπ

ż

Γ2

F pzq

zdz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď1

2πL pΓ2q sup

zPSupp Γ2

|F pzq|

|z|

ďR

2sup

Rezą0,|z|“R

ˆ

|g pzq ´ gT pzq| eRezT

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1`z2

R2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

˙

ďR

2sup

Rezą0,|z|“R

¨

˚

˚

˚

˚

˝

M

Reze´RezT ¨

eRezT

|z|

|z|

Rloomoon

“1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

R

z`z

R

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

looomooon

“2|Rep zRq|

˛

ďM

R

1

2iπ

ż

Γ1

F pzq

zdz

“1

2iπ

ż

Γ1

g pzq

zezT

ˆ

1`z2

R2

˙

dz ´1

2iπ

ż

Γ1

gT pzqz

ezTˆ

1`z2

R2

˙

dz

orż

Γ1

gT pzq

zezT

ˆ

1`z2

R2

˙

dz “ż

Γ1

gT pzq

zezT

ˆ

1`z2

R2

˙

dz, Γ1 “ Γ1 `˜Γ1

etż

˜Γ1

gT pzq

z

ˆ

1`z2

R2

˙

ddz “ 0 car la fonction est holomorphe sur l’ouvert

convexe tRez ă 0u

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

2iπ

ż

Γ1

gT pzq

zezT

ˆ

1`z2

R2

˙

dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď1

2πL´

Γ1

¯

supzPSupp Γ1

ˆ

|gT pzq|

|z|eRezT

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1`z2

R2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

˙

Emily Clement page 140

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

Or @Rez ă 0

|gT pzq| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

f ptq e´ztdt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďM

0

e´ztdt

“M

´e´Rezt

Rez

T

0

ďMe|Rez|T

|Rez|

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

2iπ

ż

Γ1

gT pzq

zezT

ˆ

1`z2

R2

˙

dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďR

2Rsup

Reză0,|z|“R

Me|Rez|T

|Rez|eRezT

2

R|Rez|

On en déduit :

|F p0q| “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

g p0q ´

0

f ptq dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď2M

R`

1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

Γ1

g pzq ezT

z

ˆ

1`z2

R2

˙

dz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Il reste à démontrer que :

limTÑ`8

ż

Γ1

g pzq ezT

z

ˆ

1`z2

R2

˙

dz “ 0

Soit γ1 : ra, bs Ñ C la paramétrisation de Γ1.

ż

Γ1

g pzq ezT

z

ˆ

1`z2

R2

˙

dz “bż

a

g pγ1 ptqq

γ1 ptqeγ1ptqT

˜

1`γ1 ptq

2

R2

¸

γ11 ptq dt

Comme @t P sa, br Re pγ1 ptqq ă 0, limTÑ`8

eγ1ptqT “ 0 pour tout t P sa, br

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

f pγ1 ptqq eγ1ptqT

γ1 ptq

˜

1`γ1 ptq

2

R2

¸

γ11 ptq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď|g pγ1 ptqq| |γ

11 ptq|

|γ1 ptq|

˜

1`|γ1 ptq|

2

R2

¸

P L1pra, bsq

Emily Clement page 141

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

D’après le théorème de convergence dominée, on obtient :

limTÑ`8

ż

Γ1

g pzq ezT

z

ˆ

1`z2

R2

˙

dz “ 0

En particulier, DT0 ą 0 tel que @T ě T0 :ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

g p0q ´

0

f ptq dt

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď ε

Conclusion : l’intégrale`8ż

0

f ptq dt converge.

Retour à la démonstration du théorème des nombres premiers :@Rez ą 1 :

`8ż

1

Θ pxq

xz`1dx

looooomooooon

bien définie car |Θpxq

xz`1 |“Θpxq

xRez`1“Op1

xRez q pxÑ`8q

`8ż

1

1

xz`1

˜

ÿ

pPP,pďxln p

¸

dx

`8ż

1

˜

ÿ

pPP1rp,`8r pxq

ln p

xz`1

¸

dx par Fubini

“ÿ

pPPln ppq

`8ż

1

p...q

“ÿ

pPPln p

x´z

´z

`8

p

“1

z

ÿ

pPP

ln p

pz“

1

zφ pzq

Justification de Fubini :

—`8ż

1

˜

ÿ

pPP

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1rp,`8r pxqln p

xz`1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

¸

dx “`8ż

1

Θ pxq

eRez`1dx ă `8

— @Rez ą 1 φ pzq “ z

`8ż

1

Θ pxq

xz`1dx “ z

`8ż

0

Θ`

et˘

e´pz`1qtetdt “ z

`8ż

0

Θ`

et˘

e´ztdt

Emily Clement page 142

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

On considèreg pzq “ φ pz ` 1q ´

1

z

On sait que la fonction φ est une fonction méromorphe sur"

Rez ą1

2

*

dont

les pôles sont tous simples données par :— z “ de résidu 1

— L’ensemble des zéros z0 de ζ dans"

1

2ă Rez ă 1

*

de résidu ´m où

m est l’ordre de z0 comme zéro de ζcar on a montré que @Rez ą 1 ζ pzq ‰ 0 @Rez “ 1 , ζ pzq ‰ 0

La fonction f est méromorphe sur"

Rez ą ´1

2

*

dont les pôles sont tous

simples donnés à priori par les points z “ z0 ´ 1 où z0 est un zéro de ζ dans"

1

2ă Rez ă 1

*

et z “ 0.

Or comme φ admet un pôle simple de résidu 1 en z “ 1, Dδ ą 0 @ |z ´ 1| ă δ

φ pzq “1

z ´ 1` h pzq, h est une fonction holomorphe sur B p1, δq

@ |z| ă δ, φ pz ` 1q ´1

z“

1

pz ` 1q ´ 1` h pz ` 1q “

1

z“ h pz ` 1q

z “ 1 est une fausse singularité pour g, g se prolonge en une fonction holo-morphe sur un voisinage de zéro.Comme @z P C,Rez “ 1, z ‰ 1 ζ pzq ‰ 0, g n’a pas de pôle sur iR donc g estholomorphe au voisinage de tout point de l’axe imaginaire pur.@Rez ą 0,

g pzq “ φ pz ` 1q ´1

z“ pz ` 1q

`8ż

0

Θ`

et˘

e´pz`1qtdt´1

z

“ 1` pz ` 1q

»

`8ż

0

Θ`

et˘

e´te´ztdt´1

z

fi

fl

“ 1` pz ` 1q

`8ż

0

`

Θ`

et˘

e´t ´ 1˘

e´ztdt

On définit @Rez ą 0 :

H pzq “

`8ż

0

`

Θ`

et˘

e´t ´ 1˘

e´ztdt “g pzq ´ 1

z ` 1

Emily Clement page 143

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

qui est une fonction holomorphe sur tRez ą 0u et @z0 P iR Dr0 ą 0 tel quela fonction soit holomorphe sur B pz0, r0q car g n’a pas de pôle sur l’axe ima-ginaire.Montrons que t ÞÑ Θ

`

et˘

e´t ´ 1 est borné.On sait que Dc ą 0, @x ě 0 Θ pxq ď cx@t ě 0,

ˇ

ˇθ`

et˘

e´t ´ 1ˇ

ˇ ď 1` Cete´t ď C ` 1

Conclusion : L’intégrale`8ż

0

`

Θ`

et˘

e´t ´ 1˘

dt converge au sens des inté-

grales impropres.Assertion : Θ pxq „

xÑ`8x

Supposons lim supxÑ`8

Θ pxq

x“ lim

xÑ`8

ˆ

supyěx

Θ pyq

y

˙

Dλ ą 1, Dx0 ě 1, @x ě x0, supyěx

Θ pyq

yą λ

On peut construire une suite pynqně0 strictement croissante telle que :

$

&

%

@n ě 0, yn ě 1

limnÑ`8

yN “ `8

Θ pynq

yně λ

λynż

yn

Θ ptq ´ t

t2dt ě

λynż

yn

Θ pynq ´ t

t2dt

ě

λynż

yN

λyn ´ t

t2dt

λż

1

λyn ´ yns

y2ns

2ds “

λż

1

1´ s

s2ds ą 0

@n ě 0,

0 Ð

λynż

0

Θ pxq ´ x

x2dx

loooooooomoooooooon

Ñe

´

ynż

0

Θ pxq ´ x

x2dx

looooooomooooooon

Ñe

ď

λż

1

λ´ s

s2ds ą 0

Emily Clement page 144

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CHAPITRE 5. THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS

Contradiction donclim supxÑ`8

Θ pxq

xď 1

Même raisonnement pour montrer que lim infΘ pxq

xě 1. Donc lim

xÑ`8

Θ pxq

x“

lim supxÑ`8

Θ pxq

x“ 1 donc lim

xÑ`8

Θ pxq

x“ 1

Θ pxq „zÑ`8

x

Fin de la démonstration :@x ě 2,

Θ pxq “ÿ

pPP,pďxln p ď

ÿ

pPP,pďxlnx “ Π pxq lnx

où Π pxq “ # tp P P , p ď xuSoit 0 ă ε ă 1@x ě 2,

Θ pxq “ÿ

pPP,pďxln p

ěÿ

pPP,x1´εăpďx

ln p ě ln`

x1´ε˘

#

p P P , x1´εă p ď x

(

ě p1´ εq lnx`

Π pxq ´#

p P P , p ď x1´ε(˘

ě p1´ εq`

ln pxqΠ pxq ´ x1´ε˘

@x ě 2,Θ pxq

Π pxqx

lnx

ď1

1´ ε

Θ pxq

x`

lnx

xεcar

1

1´ εΘ pxq ` x1´ε lnx ě

Π pxqx

lnx

Donc :

lim supxÑ`8

Π pxqx

lnx

ě lim infnÑ`8

Θ pxq

x“ 1

lim supxÑ`8

Π pxqx

lnx

ď1

1´ ε

c’est vrai pour 0 ă ε ă 1, par passage à la limite quand εÑ 0

lim supxÑ`8

Π pxqx

lnx

ď 1 donc lim supxÑ`8

Π pxqx

lnx

“ lim infxÑ`8

Π pxqx

lnx

“ 1 donc limxÑ`8

Π pxqx

lnx

1Π pxq „

xÑ`8

x

lnx

Emily Clement page 145

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Chapitre 6

Fonction Thêta

I Formule sommatoire de PoissonOn rappelle que la transformée de Fourier d’une fonction f P L1

pRq estdéfinie par :

@ξ P R, pFfq pξq “ ˆf pξq “

ż

R

f pxq e´2iπxξdx

Le théorème de régularité des intégrales à paramètre et le lemme de Riemann-Lebesgue assure que f P C

Ñ0pRq ie f P C0

pRq et lim|ξ|

ˇ

ˇ

ˇf pξq

ˇ

ˇ

ˇ“ 0 De plus la

transformé de Fourier est un isomorphisme de l’espace de Schwarz :

S pRq “"

f P C8 pRq , @p, q ě 0, supxPR

|xpBpxf pxq| ă `8

*

d’inverse :`

F´1f˘

pxq “

ż

R

f pξq e2iπxξdξ

En utilisant la densité de S pRq dans L2pRq et le théorème de prolongement

des applications uniformément continues :

F : S pRq Ă L2pRq Ñ L2

pRq ( complet)

uniformément continue car linéaire et isométrique.On peut prolonger la transformé de Fourier en une isométrie bijective deL2pRq

@f P L2pRq , fL2pRq “ fL2pRq

qui coïncide avec la définition en terme d’intégrable seulement si f P L2pRqX

L1pRq.

146

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

@f P S pRq :`8ÿ

n“´8

f pnq “`8ÿ

n“´8

f pnq

Théorème 6.1 (Formule sommatoire de Poisson).

Démonstration.

On considère F pxq “`8ÿ

n“´8

f px` nq où f P S pRq

Montrons que la série converge normalement sur tout compact de R.Comme f P S pRq , Dc ą 0, @x P R, |f pxq| ď

c

1` x2.

Soit K un compact de R, DN0 P N˚ tel que K Ă r´N0, N0s.`8ÿ

n“´8

supxPK

|f px` nq| ď c`8ÿ

n“´8

sup|x|ďN0

1

1` px` nq2

On a @ |x| ď N0 @ |n| ě N0 ` 1 :

|x` n| ě |n| ´ |x| ě |n| ´N0 ě 1

Donc :`8ÿ

n“´8

supxPK

|f px` nq| ď Cÿ

|n|ďN0

1` Cÿ

|n|ěN0`1

1

1` p|n| ´N0q2 “ p2N0 ` 1qC ` 2C

`8ÿ

n“1

1

1` n2ă `8

Comme @p ě 0, f ppq P S pRq on a également que la série`8ÿ

n“´8

f ppq px` nq

converge normalement sur tout compact de R.

Il s’ensuit que F P C`8 pRq et @p P N, @x P R F ppq pxq “`8ÿ

n“´8

f ppq px` nq

On remarque que F est 1-périodique pour un changement d’indice de som-matoire donc F P C`8 pTq où T “ RZ On rappelle que si f P Cp pTq alorsses coefficient pck pfqqkPZ vérifie :

ck pfq “ Oˆ

1

|k|p

˙

quand |k| Ñ `8

et que si f P C0pTq telle que

ÿ

kPZ

|ck pfq| ă `8 alors @x P R f pxq “

`8ÿ

k“´8

ck pfq e2iπkx où k P Z avec convergence normale sur R de la série de

Emily Clement page 147

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

fonction.Cette formule est vraie en particulier dès que f P C2

pTq, @k P Z :

ck pF q “

0

F pxq e´2iπkxdx

0

˜

`8ÿ

n“´8

f px` nq e´2iπkx

¸

dx

`8ÿ

n“´8

0

f px` nq e´2πikxdx “`8ÿ

n“´8

n`1ż

n

f pyq e´2iπkpy´nqdy

ż

R

f pyq e´2iπkydy “ f pkq

On a :

@x P R, F pxq “`8ÿ

k“´8

ck pF q e2iπkx

`8ÿ

k“´8

f pkq e2iπkx

avec convergence normale sur R des séries.En x “ 0 on obtient :

F p0q “`8ÿ

n“´8

f pnq “`8ÿ

n“´8

f pnq

On rappelle que la transformé de Fourier de la fonction gaussienne :

@x P R, f pxq “ e´a2x2

P S pRq où a ą 0

est donnée par :

@ξ P R, f pξq “c

ae´

2π2ξ2

a

ˆe´πξ2“ e´πξ

2

Emily Clement page 148

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

@z P C,Rez ą 0

`8ÿ

n“´8

ezn2

2 “

c

z

`8ÿ

n“´8

e´2π2n2

z

où?z “ e

12

Log z avec Log la détermination principale du logarithmesur CzR´.Les séries de fonctions holomorphes convergent normalement sur toutcompact de tRez ą 0u.

Corollaire 6.1.

Démonstration.Si a ą 0 la formule de Poisson par f pxq “ e´

ax2

2 donne :`8ÿ

n“´8

e´an2

2 “

c

2

`8ÿ

n“´8

e´2π2n2

a

Soient :

F1 pzq “`8ÿ

n“´8

ezn2

2 et F2 pzq “`8ÿ

n“´8

e´2π2n2

z

Montrons que ces deux séries convergent normalement sur tout compact detRez ą 0u.

Soit K un compact de tRez ą 0u, Dδ ą 0 tel que K Ă tRez ě δuXBˆ

0,1

δ

˙

:

`8ÿ

n“´8

supzPK

ˇ

ˇ

ˇezn

2

ˇ

ˇď

`8ÿ

n“´8

e´δn2

2 ă `8 car e´δ|n|2

2 “ onÑ`8

ˆ

1

|n|2

˙

8ÿ

n“´8

supzPK

ˇ

ˇ

ˇe´2πn2

2

ˇ

ˇ

ˇď

8ÿ

n“´8

supzPK

e2πRepzqn2

|z|2 car1

z“

z

|z|2

ď

`8ÿ

n“´8

e´2πδ3n2

ă 8 car | |z| ď1

δcar e´2πδn2

“ 08

ˆ

1

n2

˙

Les fonctions F1 pzq etc

zF2 pzq sont holomorphes sur l’ouvert connexe

tRez ą 0u, coïncident sur R˚` donc sont égales sur tRez ą 0u

Emily Clement page 149

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

II Fonction Thêta

La fonction Thêta est définie par :

@z P C, @τ P C, Imτ ą 0, θ pz, τq “`8ÿ

n“´8

eiπn2τe2iπnz

Définition 6.1 (Fonction Thêta).

La fonction θ est bien définie car si Imτ ą 0 la série en z CV normalementsur tout compact de C.Soit K un compact de C , il existe R ą 0 tel que K Ă B p0, Rq

`8ÿ

n“´8

supzPK

ˇ

ˇ

ˇeiπn

2τeiπnzˇ

ˇ

ˇď

`8ÿ

n“´8

e2π|n|Re´πImτn2

ă `8

car e2π|n|Re´πImτn2

“ O´

e´π2Imτn2

¯

quand |n| Ñ `8

1. @τ P C tel que Imτ ą 0, l’application z ÞÑ θ pτ, zq est unefonction entière.

2. @z P C, @Imτ ą 0 θ pz ` 1, τq “ θ pz, τq 1-périodique en z.3. @z P C, @Imτ ą 0 θ pz ` τ, τq “ e´iπτe´2iπzθ pz, τq

Proposition 6.1.

Démonstration.

1. OK car à τ fixé, z ÞÑ θ pz, θq est une série de fonctions entièresconvergeant normalement sur tout compact de C

2. @z P C, @Imz ą 0 :

θ pz ` 1, τq “`8ÿ

n“´8

eiπn2τ e2iπnpz`1qlooomooon

“e2iπnz

“ θ pz, τq

Emily Clement page 150

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

3. @z P C, @Imτ ą 0 :

θ pz ` τ, τq “`8ÿ

n“´8

eiπn2τe2iπnpz`tauq

`8ÿ

n“´8

eiπτpn2`2nqe2iπnz

“ eiπze´2iπz`8ÿ

n“´8

eiπp`1qτe2iπpn`1qz

loooooooooooomoooooooooooon

θpz,τq

@z P C, @Imz ą 0 :c

τ

iθ pz, τq “ e´

iπz2

τ θ

ˆ

z

τ,´

1

τ

˙

oùc

τ

i“ exp

ˆ

1

2Log

´τ

i

¯

˙

: où Log est la détermination principale

du logarithme.

Théorème 6.2 (Identité fonctionnelle pour la fonction θ).

Rem : Re´τ

i

¯

“ Imτ ą 0

On remarque Imˆ

´1

τ

˙

“ Imˆ

´z

|z|2

˙

“Imτ|z|2

ą 0

Démonstration.On considère @x P R f pxq “ eiπx

2τe2iπxz où z P C, Imτ ą 0

f pxq “ e´πImτx2

e´2πxImzeiπx2Reτe2iπxRez

P S pRq

On commence par vérifier :

@Rez ą 0, @ξ P R,ż

R

e´zx2

2 e´2iπxξdx “c

ze´

2π2

zξ2

Emily Clement page 151

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

C’est OK si z “ a P R˚` car ˆe´a2x2pξq “

c

ae´

2π2ξ2

a

Fonction holomorphe sur tRez ą 0u par le théorème de régularité des inté-grales à paramètres + tRez ą 0u ouvert connexe.@ξ P R :

e´iπτz2

ż

R

eiπτx2

e´2iπxξdx “c

´2iπτe´i

πz2

τ e2π2

2iπτξ2

c

i

τe´iπ

z2

τ e´iπτξ2

Car ´Re p2iπτq “ 2πIm pτq ą 0 z “ ´2iπτD’autre part : @ξ P R, @y P R :

e´iπτz2

ż

R

eiπτpx`yq2

e´2iπxξdx “ e´iπz2

τ

¨

˝

ż

R

e2πτx2

e´2iπxξdx

˛

‚e2iπyξ

c

i

τe´i

πz2

τ e´iπξ2

τ e2iπyξ

où x “ x` y On définit :@z P R, @Imτ ą 0, @η P C :

H pηq “

ż

R

eiπτpx`ηq2

e´2iπxξdx

Montrons que H est une fonction entière.Soit K un compact de C : DR ą 0 tel que K Ă B p0, Rq :

supηPK

ˇ

ˇ

ˇeiπτpx`ηq

2

e´2iπxξˇ

ˇ

ˇď sup|η|ďR

eπx2Repiτqe2πxRepiτηqeπ|τ |R

2

ď e´IMτπx2

e2π|τ |R|x|eπ|τ |R2

P L1pRq

H est une fonction entière.Par connexité de C on obtient : @ζ P C, @z P C, @Imτ ą 0 :

e´iπτz2

ż

R

eiπτpz`ηq2

e´2iπxξdx “

c

i

τe´i

πz2

τ e´iπτξ2

e2iπηξ

@x P R f pξq “

ż

R

eiπx2τe2iπxze2iπxξdx “ e´iπ

z2

τ

c

i

τe´i

πz2

τ e´πξ2

τ e2iπzτξ

Emily Clement page 152

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

On en déduit de la formule sommatoire de Poisson :c

τ

i

`8ÿ

n“´8

eiπn2τe2iπnz

looooooooomooooooooon

“θpz,τq

`8ÿ

n“´8

e2iπz2

τ eiπz2

τ e2iπzτn“ e´i

πz2

τ θ

ˆ

z

τ,´

1

τ

˙

On considère le cas particulier z “ 0 et τ “ it où t ą 0On définit :

@t ą 0, θ ptq “ θ p0, itq “`8ÿ

n“´8

e´in2t“

c

i

itθ

ˆ

0,´1

it

˙

La fonction θ ptq “`8ÿ

n“´8

e´πn2t définie sur R˚` satisfait à l’identité

fonctionnelle :@t ą 0, θ ptq “

1?tθ

ˆ

1

t

˙

Corollaire 6.2.

III Zéros de la fonction zêta de Riemann

@k P N˚,ζ p´2kq “ 0

Théorème 6.3 (Zéros "triviaux"de la fonction zêta de Riemann).

Démonstration.@z P C,Rez ą

1

2

ζ pzq “

`8ż

0

e´ttz´1dt on effectue le changement de variable t “ πn2y, dy “ πn2dy

“`

πn2˘zyz´1dy

“ πzn2z

`8ż

0

e´πn2yyz´1dy

Emily Clement page 153

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

Il s’ensuit :@Rez ą

1

2

π´zΓ pzq ζ p2zq “`8ÿ

n“1

1

n2zΓ pzqπ´z

`8ÿ

n“1

¨

˝

`8ż

0

e´πn2yyz´1dy

˛

Comme`8ÿ

n“1

¨

˚

˚

˚

˝

`8ż

0

ˇ

ˇ

ˇe´πn

2yyz´1ˇ

ˇ

ˇ

looooomooooon

e´πn2yyRez´1

dy

˛

“ π´RezΓ pRezq ζ p2Rezq ă `8

On peut applique le théorème de Fubini :

@Rez ą1

2:

π´zΓ pzq ζ p2zq “

`8ż

0

yz´1

˜

`8ÿ

n“1

e´πn2y

¸

looooooomooooooon

θpyq´12

dy

où θ ptq “`8ÿ

n“´8

e´πn2t

Donc :

π´zΓ pzq ζ p2zq “

`8ż

1

θ pyq ´ 1

2yz´1dy `

0

θ pyq ´ 1

2yz´1dy

`8ż

1

θ pyq ´ 1

2yz´1dy `

`8ż

1

θ`

1x

˘

´ 1

2

ˆ

1

x

˙z´1 dxx2

On rappelle que @t ą 0, θ ptq “1?tθ

ˆ

1?t

˙

Emily Clement page 154

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

p˚q : x “1

y, dy “ ´

dxx2

π´zΓ pzq ζ p2zq “

`8ż

1

θ pyq ´ 1

2

´

yz´1` y´

1z´z¯

dy ``8ż

1

ˆ

y

2

´ 12´z

´y

2

´1´z˙

dy

looooooooooooooomooooooooooooooon

«

12 y´z´ 1

2

´z` 12

´12 y´z

´z

ff`8

1

`8ż

1

θ pyq ´ 1

2

´

yz´1` y

´12´z¯

dy `1

2z ´ 1´

1

2z

On obtient :@Rez ą

1

2:

π´zΓ pzq ζ p2zq “

`8ż

1

θ pyq ´ 1

2

´

yz´1` y´

12´z¯

dy

looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon

“F pzq

`1

2z ´ 1´

1

2zp1q

Montrons que F est une fonction entière.

On remarque que @y ě 1 z P C ÞÑθ pyq ´ 1

2

´

yz´1` y´

12´z¯

est entière.

Soit K un compact de C, DR ą 0 tel que K Ă B p0, Rq.

supzPK

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

θ pyq ´ 1

2

´

yz´1` y´

12´z¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ďθ pyq ´ 1

2yR´1

P L1pr1,`8rq

Or @r ě 0,Mr “ supyě1

yret ă `8 donc :

@y ě 1,

θ pyq ´ 1

2yR`1

“ 2`8ÿ

n“1

e´πn2yyR`1

“ 2`8ÿ

n“1

e´πn2y`

πn2y˘R`1 1

pπn2qR`1

ď 2MR´1

πR`1

`8ÿ

n“1

1

pn2qR`1

ă `8

Emily Clement page 155

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

Doncθ pyq ´ 1

2yR´1

“ Oˆ

1

y2

˙

yÑ`8

Dans l’équation p1q :

Terme de gauche : Fonction holomorphe sur Cz"

´NN,1

2

*

Terme de droite, premier membre : fonction entière.

Terme de : fonction holomorphe sur Cz"

0,1

2

*

Comme Cz"

´N,1

2

*

est un ouvert connexe, on obtient par prolongement

analytique :

@z P Cz"

´N,1

2

*

π´zΓ pzq ζ p2zq “ F pzq `1

2z ´ 1´

1

2z

@k P N˚ : pz ` kqΓ pzq π´zζ p2zq “ pz ` kqF pzqloooooomoooooon

ÝÑ0zÑ´k

`pz ` kq

ˆ

1

2z ´ 1´

1

2z

˙

loooooooooooooomoooooooooooooon

ÝÑ0zÑ´k

Or : pz ` kqΓ pzq π´zζ p2zq ÝÑzÑ´k,‰

p´1qk

k!πkζ p´2kq car Γ admet un pôle

simple en z “ ´k de résidup´1qk

k!On obtient que donc @k P N˚, ζ p´2kq “ 0En résumé :

— On a démontré que la fonction zêta de Riemann ζ définie sur Cz t1une s’annule pas sur tz P C,Rez ą 1u

— On a montré que @k P N˚ ζ p´2kq “ 0Ces entiers pairs strictement négatifs sont appelés zéros triviaux deζ, on peut montrer que ce sont les seuls zéros de ζ dans l’ouverttz P C,Rez ă 0u

IV Un peu de culture : L’hypothèse de Rie-mann (1859)

Hypothèse de Riemann (1859)

Emily Clement page 156

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CHAPITRE 6. FONCTION THÊTA

Si z P C tel que 0 ď Rez ď 1, z ‰ 1, ζ pzq “ 0 dans Rez “1

2.

L’hypothèse de Riemann est équivalente au fait que :

Π pxq “ # tp P P : p ď xu “ li pxq `O`?

z lnx˘

ou li est le logarithme intégral :

li pxq “

2

dtln t

“x

lnx`p1!qx

plnxq2`p2!qx

plnxq3` ¨ ¨ ¨ `

pn!qx

plnxqn`1 ` o

ˆ

x

plnxqn`1

˙

quand xÑ `8 De La Vallée Paussin et Hadamard est démontré en 1896 quela fonction ζ n’admet pas de zéros sur tz P C : Rez “ 1u z t1u. Ceci a permisd’établir le théorème des nombres premiers.

Π pxq „xÑ`8

x

lnx„

xÑ`8li pxq

Il est connu que la fonction zêta admet une infinité de zéros sur la droite"

Rez “1

2

*

.

En 2004, Gourdon et Demichel ont calculé 10000 milliards de zéros de la

fonction ζ tous de partie réelle1

2mais la fonction zêta n’oscille pas beaucoup

dans le domaine explorée donc des possibles contre-exemples peuvent peut-être exister beaucoup plus loin...En 1929, Convey à la suite des travaux de Hardy, Selberg et Levinson, adémontré qu’au moins 40% des zéros de la fonction ζ sont des parties réelles1

2.

Weil a prouvé que l’hypothèse de Riemann est équivalente à la négativitéd’une certaine forme quadratique.D’autres formulations analogues équivalentes ont été démontrées par Hasseet Grothendieck entre 1930 et 1975. Depuis les années 70, Alain Connes a dé-veloppé une géométrie non commutative. Dans ce cas, si on savait démontrerune formule de trace en on déduirait l’hypothèse de Riemann en l’appliquantà certains système dynamiques.

Problème de type ouvert :

Il s’agit de l’un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900 (le hui-tième), l’un des sept problèmes du millénaire, posés en 2000 par l’Institut demathématiques Clay et l’un des 18 problèmes posés par Steve Smal (médailleFields 1966) en 2000 pour l’Union mathématique internationale.

Emily Clement page 157

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Chapitre 7

Méthode de la phase stationnaire

Objet : Étudier les intégrales à paramètre.

I ptq “

ż

R

eitϕpxqa pxq dx

ϕ pxq : phase.a pxq : fonction amplitude.où a P C`80 pR,Cq, ϕ P C8 pR,Rq : la phase est à valeur réelle !Dans l’asymptotique tÑ `8 :

I Phase non stationnaire

Soient a P C`80 pRq ϕ P C8 pR,Rq.Si @x P Supp a, ϕ1 pxq ‰ 0, alors :

@N ě 1, I ptq “ OtÑ`8

ˆ

1

tN

˙

Proposition 7.1.

Remarque 7.1.

1. Si ϕ pxq “ εx où ε P t˘1u alors @x P R, ϕ1 pxq “ ε ‰ 0.On retrouve le fait que si ϕ P C80 pRq alors @N P N lim

|ξ|Ñ`8|ξ|N |a pξq| “

0

I ptq “

ż

R

eiεtxa pxq dx “ a pεtq

158

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

2. La preuve suivante se généralise facilement en tout dimension finien ě 1.

Démonstration.Comme Supp a est non compact, Dc ě 0, @x P Supp a |ϕ1 pxq| ě c ą 0

On définit L “ϕ1 pxq

|ϕ1 pxq|2Bx (en dimension n :

∇ϕ pxq|∇ϕ pxq|2

¨∇x )

L`

eitϕpxq˘

“it pϕ1 pxqq2

|ϕ1 pxq|2eitϕpxq “ iteitϕpxq

@t ą 0,

I ptq “

ż

R

eitϕpxqa pxq dx

ż

R

1

itL`

eitϕpxq˘

a pxq dx

ż

R

1

it

ϕ1 pxq

|ϕ1 pxq|2Bx

`

eitϕpxq˘

a pxq dx

“IPP

1

it

ż

R

eitϕpxq Bx

ˆ

ϕ1 pxq

|ϕ1 pxq|2a pxq

˙

dxlooooooooooooomooooooooooooon

“LT aPC80 pRq

C’est une intégrale de même type avec une fonction amplitude différenteindépendante de t.@N ě 1, @t ą 0 :

I ptq “

ż

R

ˆ

1

itL

˙N`

eitϕpxq˘

a pxq dx

“1

pitqN

ż

R

eitϕpxq`

LT˘N

a pxqlooooomooooon

PC80 pRq indépedante de t

dx avec N intégrations par parties

@N ě 1, @t ą 0 :

|I ptq| ď1

tN

ż

R

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

`

LT˘N

a pxqlooooomooooon

PC80 pRq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

dx

“ Oˆ

1

tN

˙

tÑ`8

Emily Clement page 159

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

II Phase stationnaire

On s’intéresse aux intégrales : I ptq “ż

R

eitϕpxqa pxq dx où

#

ϕ P C8 pR, RRqa P C80 pR,Cq

dans le cas où il existe x0 P Supp a tel que ϕ1 px0q ´ 0 et ϕ2 px0q ‰ 0.On rappelle que le résultat de la méthode de Laplace traite le cas des phasesimaginaires pures.

K ptq “

a

etψpxqa pxq dx “bż

a

eitp´iψpxqqa pxq dx

où I “ sa, br est un intervalle ouvert (borné ou non), ψ P C8 pI,Rq et a PC0pI,Cq tel que :

1. @t ą 0

a

etψpxq |a pxq| dx ă `8

2. Da ă x0 ă b, Dδą0 tel que a ă x0 ´ δ0 ă x0 ` δ0 ă b et$

&

%

@x P sa, br z tx0u , ψ pxq ă ψ px0q

ψ pxq ă ψ px0q , x P sa, x0 ´ δ0r Y sx0 ` δ0, br

φ1 px0q “ 0, ψ2 px0q ă 0, a px0q ‰ 0Dans ce cas :

K ptq „tÑ`8

d

|ψ2 px0q| tetψpx0qa px0q

Exercice 7.1.Donner un équivalent de K ptq quand tÑ `8 :

Si Dk ě 1, @1 ď j ď 2k ´ 1, ψpjq px0q “ 0, φp2kq px0q ă 0On remarque que la méthode de Laplace ne requiert pas plus de ré-gularité que la continuité pour la fonction amplitude a P C0

pI,Cqcontrairement à la méthode de la phase stationnaire.

Emily Clement page 160

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

Soient a P C80 pR,Cq , ϕ P C8 pR,Rq une phase réelles.Supposons que D!x0 P Supp a tel que ϕ1 px0q “ 0.On suppose de plus que ϕ2 px0q ‰ 0.Alors @N ě 0, il existe des nombres complexes pAkq1ďkďN indépen-dants de t tel que, @t ě 1 :

I ptq “

ż

R

eitϕpxqa pxq dx

“ a px0q eitϕpx0q

d

|ϕ2 px0q| teiπ4signpϕ2px0qq `

Nÿ

k“1

Ak

tk`12

eitϕpx0q `RN ptq

où DcN ą 0 @t ě 1 |Rn ptq| ďcN

tn`32

En particulier, si a px0q ‰ 0 :

I ptq „tÑ`8

d

|ϕ2 px0q| teiπ4signpϕ2px0qqeitϕpx0qa px0q

Théorème 7.1.

Remarque 7.2. On verra dans la preuve que l’on peut calculer explicite-ment tous les termes Ak :

Démonstration.On a d’après la formule de Taylor :

@x P R, ϕ pxq “ ϕ px0q`ϕ1px0q px´ x0q`

¨

˝

0

p1´ tqϕ2 pp1´ tqx0 ` txq dt

˛

looooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon

ψ0pxq

px´ x0q2

ψ0 P C8 pR,Rq vérifie ψ0 px0q “ ϕ2 px0q

0

p1´ tq dt “1

2ϕ2 px0q ‰ 0

Posons ψ pxq “1

ψ0 px0qψ0 pxq P C8 pR,Rq, ψ px0q “ 1

@x P R, ϕ pxq “ ϕ px0q ` sign pϕ2 px0qq1

2|ϕ2 px0q|ψ pxq px´ x0q

2

Emily Clement page 161

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

On définit :

$

&

%

y pxq “ px´ x0qa

ψ pxq au voisinage de x0

y1 pxq “a

ψ pxq ` px´ x0qψ1 pxq

2a

ψ pxq, y1 px0q “ 1

Dδ ą 0 tel

que y : sx0 ´ δ0, x0 ` δ0r Ñ R est un C8 difféomorphisme de sx0 ´ δ, x0 ` δrsur sy px0 ´ δq , y px0 ` δqr

Soit χ P C80 pR, r0, 1sq tel que

$

&

%

Suppχ Ă sx0 ´ δ0, x0 ` δ0r

χ ” 1 sur„

x0 ´δ

2, x0 `

δ

2

I ptq “ I1 ptq`

I2 ptq

$

&

%

I1 ptq “

ż

R

eitϕpxqa pxqχ pxq dx

I2 ptq “

ż

R

eitϕpxqa pxq p1´ χ pxqq dx “ Oˆ

1

tN

˙

, @N ě 1, quand tÑ `8

a pxq p1´ χ pxqq P C80 pRq et @x P Supp pa p1´ χqq, ϕ1 pxq ‰ 0.On a :

I1 ptq “ eitϕpx0q

ż

R

ˆ

eitsgnpϕ2px0qq

2

˙

|ϕ2 px0q|ψ pxq px´ x0q2 χ pxq a pxq dx

“ eitϕpx0q

x0`δż

x0´δ

eit2sgnpϕ2px0qq|ϕ2px0q|ypxq

2

χ pxq a pxq dx

“ eitϕpx0q

ypx0`δqż

ypx0´δq

eit2sgnpϕ2px0qq|ϕ2px0q|y2

b pyq dy

où b pyq “χ pg pyqq a pg pyqq

y1 pg pyqqP C80 pΩq, b p0q “

χ pc0q a px0q

y1 px0q“ a px0q car

g p0q “ x0.Par théorème de convergence dominée :

I1 ptq “ eitϕpx0q limεÑ0

ż

R

b pyq e´εy2

eity2ϕ2px0qy2

loooooooomoooooooon

PL2pRq

dy

carˇ

ˇ

ˇb pyq e´εy

2

eit2ϕ2px0qy2

ˇ

ˇ

ˇď |b pyq| P L1

pRq car b P C80 pR,Cq

I1 ptq “ eitϕpx0q limεÑ0,εą0

´

b pyq e´pε´it2ϕ2px0qy2q

¯

L2pRq

“ eitϕpx0q limεÑ0ą

b pξqF´

e´pε´it2ϕ2px0qqy2

¯

pξqL2pRq

Emily Clement page 162

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

On a vu au chapitre précédent :@Rez ą 0, @ξ P Rż

R

e´z2x2

e´2iπxξdx “c

ze´

2π2

zξ2

en posantz

2“ ε´

it

2ϕ2 px0q

“ eitϕpx0q limεÑ0ą

ż

R

b pξq?π e´

12

logpε´ it2ϕ2px0qq

looooooooomooooooooon

“e´p 1

2 lnpε2` t24 pϕ2px0q

2q´ 12 iArgpε´

i2 tϕ

2px0qqqq

´ e´π2pε´i t2ϕ

2px0qqε2` t

24 pϕ

2px0qq2ξ2

“ eitϕpx0q

ż

R

b pξq e´ 1

4ln´

t2

4|ϕ2px0q|

¯2

loooooooomoooooooon

“p t2 |ϕ2px0q|q

´12

`eiπ4sgnpϕ2px0qqe

2i π2

tϕ2px0qξ2

C’est licite car :

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

b pξq e´π2 pε´

it2 ϕ2px0qq

ε2` t24 ϕ

2px0qε2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

ˇ

ˇ

ˇb pξq

ˇ

ˇ

ˇP L1

pRq car b P C80 pRq donc

B P S pRq

I1 ptq “ eiπ4sgnpϕ2px0qqeitϕpx0q

d

t |ϕ2 px0q|

ż

R

b pξq ei

ˆ

2π2

tϕ2px0q

˙

ξ2

On utilise : @x P R, eix “Nÿ

n“0

pinqn

n!`pixqN`1

N !

0

p1´ tqN eitxdt

loooooooomoooooooon

“RN pxq

@x P R, @N ě 0, |Rn pxq| ď

0

p1´ tqN dt ď 1

I1 ptq “ eiπ4sgnpϕ2px0qqeitϕpx0q

d

t |ϕ2 px0q|p

»

Nÿ

n“0

1

n!

ż

R

b pξqi2π2

tϕ2 px0qξ2

fi

fl

n

`

ż

R

b pξq1

N !

i2π2

tϕ2 px0qξ2

N`1

RN

ˆ

2π2ξ2

tϕ2 px0q

˙

dξq

On noteż

R

b pξq dξ “ b p0q “ a px0q

Emily Clement page 163

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

R

B pξq1

N !

i2π2

tϕ2 px0qξ2

N`1

RN

ˆ

2π2ξ2

tϕ2 px0q

˙

fi

fl ď1

tN`1

ˆ

2π2

|ϕ2 px0q|

˙N`11

N !

ż

R

ˇ

ˇ

ˇb pξq

ˇ

ˇ

ˇ|ξ|2N`2 dξ

“ Oˆ

1

tN`1

˙

I1 ptq “ eiπ4sgnpϕ2px0qqeitϕpx0qa px0q

d

t |ϕ2 px0q|`

Nÿ

n“1

An

tn`12

eitϕpx0q`Oˆ

1

tN`1

˙

quand nÑ `8

III Application aux fonctions de BesselPour tout n P N, la fonction de Bessel de première espèce est définie par :

@z P C, In pzq “`8ÿ

k“0

p´1qk

2n`2k pk!q pn` kq!zn`2k

C’est une série entière de rayon de convergence 8On vérifie que In est solution de l’équation de Bessel d’indice entier n P N :

@z P C˚, Jn pzq “`8ÿ

k“0

p´1qk

2n`2k pk!q pn` kq!zn`2k

qui est une série entière de rayon de convergence infini.On vérifie que Jn est solution de l’équation de Bessel d’indice n P N :

@z P C˚, u2 pzq `1

zu1 pzq `

ˆ

1´n2

z2

˙

u pzq “ 0

On montre que :

@n P N, @z P C, Jn pzq “1

2πż

0

eiz sin θe´inθdθ

On veut donner un développement asymptotique de Jn pxq quand x P R, xÑ`8.

@x P R, Jn pxq “1

2πż

0

eix sin θe´inθdθ “ż

R

a pθq eixϕpθqdθ

Emily Clement page 164

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

où a pθq “1

2π1r0,2πs pθq e

´inθ et ϕ pθq “ sin θ on a :

@0 ď θ ď 2π, ϕ1 pθq “ cos θ, ϕ2 pθq “ ´ sin θ

Donc tθ P r0, 2πs , ϕ1 pθq “ 0u “

"

π

2,3π

2

*

et ϕ2´π

2

¯

“ ´1, et ϕ2ˆ

2

˙

“ 1

Soient χ1 P C80´ıπ

2´π

4,π

2`π

4

, r0, 1s¯

tel que χ1 “ 1 sur”π

2´π

8,π

2`π

8

ı

et χ2 P C80ˆ

2´π

4,3π

2`π

4

, r0, 1s

˙

telle que χ2 “ 1 sur„

2´π

8,3π

2`π

8

Jn pxq “ An pxq `Bn pxq ` Cn pxq

où :

$

&

%

An pxq “

ż

R

a pθqχ1 pθq eixϕpθqdθ

Bn pxq “

ż

R

a pθqχ2 pθq eixϕpθqdθ

Cn pxq “

ż

R

p1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq a pθq eixϕpθqdθ

D’après le théorème

précédent,

An pxq “

c

xe´i

π4 a

´π

2

¯

χ1

´π

2

¯

eixϕpπ2 q

loooooooooooomoooooooooooon

12πe´in

π2 eix

` OxÑ`8

ˆ

1

x32

˙

Bn pxq “

c

xeiπ4 a

ˆ

2

˙

χ3

ˆ

2

˙

eixϕp3π2 q

looooooooooooooomooooooooooooooon

12πe´in

3πn2 e´ix“ 1

2πeiπ2 ne´ix

` OxÑ`8

ˆ

1

x32

˙

Donc :

Jn pxq “

c

2

πxcos

´

x´nπ

2´π

4

¯

` Cn pxq ` OxÑ`8

ˆ

1

x32

˙

De plus :

Cn pxq “1

2πż

0

p1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq e´inθeix sin θdθ

Or :Bθ`

eix sin θ˘

“ ix cos θeix sin θ

Emily Clement page 165

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

Posons L “1

ix cos θBθ Alors :

@θ ıπ

2mod π, L

`

eix sin θ˘

“ eix sin θ

Par construction, il existe C ą 0 tel que @θ P r0, 2πsXSupp p1´ χ1 ´ χ2q , |cos θ| ěC Alors :

Cn pxq “1

2πż

0

p1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq e´inθ 1

ix cos θBθ`

eix sin θ˘

1

2πp1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq e

´inθ 1

ix cos θeix sin θ

1

0

´1

2iπx

2πż

0

eix sin θBθ

ˆ

p1´ χ1 pθq ´ χ2 pθqq e´inθ

cos θ

˙

“1

x

2πż

0

eix sin θ 1

2iπBθ

ˆ

pχ1 pθq ` χ2 pθq ´ 1q e´inθ

cos θ

˙

En itérant les intégrations par parties, on montre que @n P N, Cn pxq “

OxÑ`8

ˆ

1

xn

˙

Ainsi Jn pxq “c

2

πxcos

´

x´π

4´ n

π

2

¯

` OxÑ`8

ˆ

1

x32

˙

IV Autre application : Étude du comportementasymptotique de la fonction d’Airy qui estsolution du problème :

y2 ´ xy “ 0

Cette équation prend en compte un phénomène de transition en x “ 0 entredeux types de comportement asymptotique. En effet, si on gèle la coefficientvariable x et x “ ˘ω2 où ω ą 0 on constate que les solutions que l’équation :

y2 ´ ω2y “ 0

sont exponentiellement croissantes ou décroissantes :

y “ c`eωx` c´e

´ωx

Emily Clement page 166

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CHAPITRE 7. MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE

où c˘ P C alors que les solution de l’équation :

y2 ` ω2y “ 0

sont oscillantes :y “ c` cos pωxq ` c´ sin pωxq

où c˘ P CPour résoudre l’équation d’Airy y2 ´ xy “ 0 formellement on écrit :

y pxq “1

ż

R

y pξq eixξdξ

y2 pxq ´ xy pxq “1

ż

R

y pξq p´xq2 eixξdξ ´1

ż

R

y pξq xeixξloomoon

1i

ddξ pe

ixξq

“1

ż

R

eixξ`

´ξ2y pξq ´ iy1 pξq˘

donc on veut y1 pξq “ iξ2y pξq soit y “ Cetξ3

3

On pose :

@x P R, pAiq pxq def“

ż

R

ei

ˆ

xξ` ξ3

3

˙

où l’intégrale converge au sens des intégrales impropres.

Définition 7.1.

La fonction d’Airy satisfait :

1. @N ě 0, pAiq pxq “ OxÑ`8

ˆ

1

xN

˙

: décroissance rapide en `8.

2. pAiq pxq “2?π

|x|14

cos

ˆ

2

3|x|

32 ´

π

4

˙

` OxÑ`8

˜

1

|x|74

¸

: oscilla-

tions et décroissance en |x|´14 quand xÑ ´8.

Théorème 7.2.

Emily Clement page 167

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Chapitre 8

Méthode du col

Objectif : On souhaite étudier l’asymptotique en temps long t Ñ `8

d’intégrale à paramètre.

I ptq “

ż

γ

g pzq ethpzqdz, t ě 1

où g, h sont des fonctions holomorphes sur Ω un ouvert simplement connexenon vide (par exemple un ouvert étoilé non vide) et où γ est un chemin tracédans Ω.

γ : rt0, t1s Ñ Ω , γ pt0q ‰ γ pt1q

En utilisant le fait queż

γ

f pzq dz “ 0 si

#

f P H pΩqγ est un vircuit tracé dans Ω

On en déduit :I ptq “

ż

˜γ

g pzq ethpzqdz

où ˜γ est un autre chemin tracé dans Ω tel que :

#

˜γ pt0q “ γ pt0q˜γ pt1q “ γ pt1q

L’idée de la méthode du col est d’utiliser cette indépendance pour choisir lechemin γ de sorte que la méthode de Laplace soit applicable.Comme

ˇ

ˇethpzqˇ

ˇ “ etRephpzqq, un chemin judicieux est telle que Re ph pzqq at-teigne sa valeur maximale en un unique point de γ. Quitte à diviser le cheminen juxtaposition de deux autres et à effectuer une translation, on peut sup-poser que Re ph pzqq admet un maximum en z “ 0 P Ω. γ : r0, ar Ñ C oùa ą 0 vérifie γ p0q “ 0 ou a “ `8.@t ą 0,Re ph pγ ptqqq ă Re ph p0qq.

168

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CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL

I Hypothèse sur la fonction amplitude g et laphase complexe h

On suppose que g n’est pas identiquement nulle et h non constante surΩ.

Dδ ą 0,B p0, δq Ă Ω, @ |z| ă δ, g pzq “ Azn ``8ÿ

k“n“`1

gpkq p0q

k!zk où A ‰ 0 et

n ě 0En ce qui concerne la phase :

@ |z| ă δ, h pzq “ a ` czn ``8ÿ

k“m`1

hpkq p0q

k!zk où a P C,m ě 1, c “ ρeiα ‰ 0

avec ρ ą 0 et 0 ď α ă 2πOn définit le secteur angulaire :

S0 “

!

ueiθ, u ě 0,´π

2m`π ´ α

mď θ ď

π

2m`π ´ α

m

)

on note

#

@1 ď k ď m´ 1, Sk “ e2ikπm S0

@0 ď k ď m´ 1, S1k “ ep2k`!qiπ

m S0

On vérifie :

@0 ď k ď m´ 1,@z P Sk,Re pczmq ď 0

@z P S 1k,Re pczmq ě 0

z P Sk ô z “ ueiθ avec ´π

2m`π ´ α

mď θ `

2kπ

π

2m`π ´ α

m

Re pczmq “ Re`

ρeiαumeimθ˘

“ ρmumloomoon

ě0

Re`

eipα`mθq˘

loooooomoooooon

cospα`mθqď0

où ´π

2` π ´ 2kπ ď α `mθ ď

π

2` π ´ 2kπ

π

2´ 2kπ ď α `mθ ď

2´ 2kπ

Idem : @z P S 1k,Re pczmq ě 0

Re ph pzqq “ Re paq ` Re pczmq ` Re

˜

`8ÿ

k“m`1

hpkq p0q

k!zk

¸

Emily Clement page 169

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CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL

Soit 0 ď k ď m´ 1 et ωk “p2k ` 1q π ´ α

mOn a :

h`

zeiωk˘

“ a` c`

zeiωk˘m

loooomoooon

ρeiαzmeipp2k`1qπ´αq“´ρzm

`

`8ÿ

j“m`1

hpjq p0q

j!

`

zeiωk˘j

@x ě 0,Re`

h`

zeiωk˘˘

“ Rez ´ ρxm `O`

xm`1˘

@ |z| ă δ h`

zeiωk˘

“ a´ ρzmF pzq.

où F pzq “ 1``8ÿ

j“m`1

hpjq p0q

j!zj´meijωk P H pB p0, δqq

où F p0q “ 1 quitte à réduire δ ą 0, on peut supposer :

@ |z| ă δ, |F pzq ´ 1| ă 1

On peut définir :

@ |z| ă δ,H pzq “ z exp

ˆ

1

mLog pF pzqq

˙

où Log désigne la détermination principale du logarithme dans CzROn remarque :

@ |z| ă δ,H pzqm “ zm exp pLog pF pzqqq “ zmF pzq

d’où :@ |z| ă δ, h

`

zeiωl˘

“ z ´ ρH pzqm

H 1p0q “ exp

ˆ

1

mLog pF p0qq

˙

“ 1

d’après le théorème d’inversion locale, quitte à réduire encore δ ą 0, on peutsupposer que H : B p0, δq Ñ U “ H pB p0, δqq est holomorphe bijectivetelle que :

G :“ H´1 : U Ñ B p0, δq

soit holomorphe.U “ H pB p0, δqq étant un ouvert simplement connexe non vide d’après lethéorème de l’application ouverte.H p0q “ 0 ñ G p0q “ 0,et @ |z| ă δ,G pH pzqq “ z@ |z| ă δ,G1 pH pzqqH 1

pzq “ 1 donc :

G1 p0qH 1p0q “ 1

Emily Clement page 170

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CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL

Donc G1 p0q “ 1Comme 0 P U , Dε0 ą 0 tel que B p0, ε0q Ă UPar continuité de H et la fait que H p0q “ 0, il existe 0 ă δ0 ă δ tel que :

H pB p0, δ0qq Ă B p0, ε0q Ă U

Pour tout 0 ď s ď δ0, on considère la restriction de H à r0, δ0s.

@0 ď s ď δ0, H psq “ P psq ` iQ psq où

#

P psq “ Re pH psqqQ psq “ Im pH psqq

On remarque que

#

H 1p0q “ 1

H p0q “ 0ñ

#

P 1 p0q “ 1

Q1 p0q “ 0et

#

P p0q “ 0

Q p0q “ 0

On peut supposer, quitte à réduire encore δ0 ą 0 que :

@0 ď s ď δ0, |Q psq| ď |P psq| tan´ π

4m

¯

@s ą 0, P psq “

0

P 1 ptq dt ą 0 si 0 ă s ! 1

@s ą 0ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

q psq

P psq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Q psq “ Q p0q

s´ 0

s´ 0

P psq ´ P p0q

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ÝÑsÑ0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Q1 p0q

P 1 p0q

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 0

La condition p˚q assure que si γ psq “ H psq alors :

@0 ď s ď δ0, γ psq P Sk

II Hypothèse sur le cheminOn peut supposer γ : r0, ar Ñ Ω où a ą 0 ou a “ `8 est tel que :

1. D0 ă s0 ă a tel que

$

&

%

γ p0q “ 0

@0 ď s ď s0, |γ ps0q| ď δ0

|γ ps0q| “ δ0

p “ γ ps0q P Sk où 0 ď k ď m´ 1On suppose de plus que :

2. Dµ ą 0 tel que

#

@s ě s0, γ psq P Nµ :“ t|z| ă δ,Re ph pzqq ď <a´ µuλ “ C p0, p, qq Ă Nµ

avec q “ δ0eiωk où C p0, p, qq est le cercle joignant p à q.

Emily Clement page 171

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CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL

III Conclusion des hypothèses : un théorème.

Sous les hypothèses précédentes et siż

I

|g pγ psqq| eRephpγpsqqq |γ1 psq| ds

où I “ r0, arAlors :

ż

γ

g pzq ethpzqdz „tÑ`8

A

ˆ

n` 1

m

˙

eateipn`1qωk

pρtqn`1m

Théorème 8.1.

Démonstration.Comme on peut mettre en facteur le terme eat on peut supposer pour sim-plifier que a “ 0.On utilise que @s ě s0, Re ph pγ psqqq ď ´µ@t ě 1,

I ptq :“

ż

IXrs0,`8r

|g pγ psqq| etRephpγpsqqq |γ1 psq| ds

I ptq “

ż

IXrs0,`8r

|g pγ psqq| eRephpγpsqqqept´1qRephpγpsqqq|γ1 psq| ds

ď e´tµeµż

I

|g pγ psqq| eRephpγpsqqq |γ1 psq| ds “ O`

e´µt˘

qd tÑ `8

Il suffit donc d’établir :ż

γ0

g pzq ethpzqdz „tÑ`8

A

ˆ

n` 1

m

˙

eipn`1qωk

pρtqn`1m

où γ0 “ γ|r0,s0s.ż

γ0

g pzq ethpzqdz “ż

r0,qs

g pzq ethpzqdz `ż

λ

g pzq ethpzqdz

Par le théorème de Cauchy.

Emily Clement page 172

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CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL

Orˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż

λ

g pzq ethpzqdz

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď longueur pλqloooooomoooooon

ďδ0π

2m

supzPλ|g pzq| etRephpzqq

looomooon

ďe´tµ car λĂN

“ O`

e´µt˘

quand tÑ `8

car λ est compact.Il suffit d’établir :

ż

r0,qs

g pzq ethpzqdz „tÑ`8

A

ˆ

n` 1

m

˙

eipn`1qωk

pρtqn`1m

ż

r0,qs

g pzq ethpzqdz “δ0ż

0

g`

eiωkx˘

ethpeiωkxq

looomooon

e´tρxmF pxq“e´tρHpxq

m

eiωkdx “δ0ż

0

g`

eiωkx˘

eiωke´tρHpxqm

dx

On pose ξ “ H pxq, x “ G pξq dx “ G1 pξq dξDonc :

ż

r0,qs

g pzq ethpzqdz “ż

β

g`

eiωkG pξq˘

eiωke´tρξm

G1 pξq dξ

où β :r0, δ0s Ñ B p0, ε0q Ă Us ÞÑ H psq

β p0q “ 0, β pδ0q “ H pδ0q “ ξ0

Posons g1 pξq “ g`

eiωkG pξq˘

eiωkG1 pξq.On veut donner un équivalent de :

ż

β

g1 pξq e´tρξmdξ “

ε0ż

0

g1 pξq e´tρξmdξ `

ż

σ

g1 pξq e´tρξmdξ

Par le théorème de Cauchy.

@0 ď t ď 1,Re´´

p1´ tq ε0 ` tξ0

¯m¯

mÿ

j“0

Cjm p1´ tq

m´j εm´j0 tjRe´

ξ0j¯

On remarque que :

ξ0 “

ˇ

ˇ

ˇξ0

ˇ

ˇ

ˇeiβ où

ˇ

ˇ

ˇβˇ

ˇ

ˇď

π

4m

x0j“

ˇ

ˇ

ˇξ0

ˇ

ˇ

ˇ

j

eijβ

Emily Clement page 173

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CHAPITRE 8. MÉTHODE DU COL

Re´

ξ0j¯

ˇ

ˇ

ˇξ0

ˇ

ˇ

ˇ

j

cos´

jβ¯

looomooon

ě?

22

ˇ

ˇjβ

ˇ

ˇ

ˇď

4mďπ

4

Donc @0 ď t ď 1, Re´´

p1´ tq ε0 ` tξ0

¯m¯

ě

?2

2

mÿ

j“0

Cjm p1´ tq

m´j εm´j0 tjˇ

ˇ

ˇξ0

ˇ

ˇ

ˇ

j

Doncż

σ

g1 pξq e´tρξmdξ “ O

`

e´tρε0˘

quand tÑ `8

?2

2

´

p1´ tq ε0 ` tˇ

ˇ

ˇξ0

ˇ

ˇ

ˇ

¯m

ě ε0 ą 0

Il reste à montrer que :ε0ż

0

g1 pξq e´tρξmdξ „

A

ˆ

n` 1

m

˙

eipn`1qωk

pρtqn`1m

g1 pξq „ξÑ0

A`

eiωkξ˘neiωk “ Aeipn`1qωkξn

Donc G p0q “ 0, G1 p0q “ 1 donc G pξq „ξÑ0

ξ, G1 pξq „ξÑ0

1

Soit f une fonction continue sur r0, x0s à valeur réelles telle quef pxq „

xÑ0xn alors :

x0ż

0

f pxq e´ρtxm

dx „tÑ`8

1

ˆ

n` 1

m

˙

1

pρtqn`1m

Lemme 8.1.

Soit 0 ă λ ă 1, D0 ă xλ ă x0, @0 ă x ă xλ, 1´ λ ďf pxq

xnď 1` λ

p1´ λq

xλż

0

xne´ρtxm

dx ď

xλż

0

f pxq e´ρtxm

dx ď p1` λq

xλż

0

xne´ρtxn

dx

Or

xλż

0

xne´tρxm

dx “

ρxλmtż

0

unm

pρtqnme´u

duρtm

ˆ

u

ρt

˙m´1n

“1

mpρtq

n`1m

¨

˚

˝

ρxmλ tż

0

un`1m´1e´udu

˛

1

ˆ

n` 1

m

˙ˆ

1

ρt

˙n`1m

Emily Clement page 174