Théorie sur les vecteurs

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1 CHAPITRE II : LES VECTEURS II.1 : Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles – motivation Le calcul vectoriel est largement utilisé par les physiciens et a été développé à la fin du 19 ème siècle pour leurs besoins. Déjà au début de l’étude de la mécanique, son utilisation s’impose, lorsqu’on désire décrire un mouvement dans l’espace à trois dimensions. Commençons toutefois par le plus simple, les mouvements rectilignes pour lesquels le calcul vectoriel n’est pas indispensable. II.1.1 : Mouvements rectilignes Le mobile, qui se trouve au point P(t) à l’instant t, est repéré par une coordonnée cartésienne x(t) sur un axe Ox, qui coïncide avec la trajectoire (ou, éventuellement, qui lui est parallèle); l’unité de mesure de longueur, ici le mètre (m), doit être précisée (voir fig.II.1). Figure II.1. : Repérage d’un mobile sur un axe Le point P(t) se trouve du même côté que la flèche indiquant le sens de l’axe, par rapport à l’origine de l’axe, O. Dès lors, x(t) est positif. Par contre, le point P(t’) se trouve de l’autre côté de O ; donc x(t’) = OP(t’) est négatif. La coordonnée est une grandeur scalaire. Une grandeur scalaire est une grandeur définie par un nombre, positif, négatif ou nul et une unité. Exemples : la coordonnée, une température, le temps, le déplacement d’un mobile sur un axe. Déplacement sur un axe : Entre les instants t 1 et t 2 (avec t 1 < t 2 ) le mobile se déplace de P(t 1 ) à P(t 2 ) ; le déplacement du mobile est défini par: ( ) ( ) 1 2 2 1 i i x t ,t x -x x xt Δ * (simplification de la notation) (II.1) *Dans ce cours, le symbole signifie “est défini par”. Si le mobile se déplace dans le sens de l’axe : ( ) 2 1 1 2 x >x ; on a donc:Δx t ,t >0 (fig.II.2.a.). Par contre, s’il se déplace en sens inverse de l’axe : ( ) 2 1 1 2 x <x et Δx t ,t <0 (fig.II.2.b.). P(t’)

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CHAPITRE II : LES VECTEURS

II.1 : Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles – motivation Le calcul vectoriel est largement utilisé par les physiciens et a été développé à la fin du 19ème siècle pour leurs besoins. Déjà au début de l’étude de la mécanique, son utilisation s’impose, lorsqu’on désire décrire un mouvement dans l’espace à trois dimensions. Commençons toutefois par le plus simple, les mouvements rectilignes pour lesquels le calcul vectoriel n’est pas indispensable. II.1.1 : Mouvements rectilignes

Le mobile, qui se trouve au point P(t) à l’instant t, est repéré par une coordonnée cartésienne x(t) sur un axe Ox, qui coïncide avec la trajectoire (ou, éventuellement, qui lui est parallèle); l’unité de mesure de longueur, ici le mètre (m), doit être précisée (voir fig.II.1).

Figure II.1. : Repérage d’un mobile sur un axe Le point P(t) se trouve du même côté que la flèche indiquant le sens de l’axe, par rapport à l’origine de l’axe, O. Dès lors, x(t) est positif. Par contre, le point P(t’) se trouve de l’autre côté de O ; donc x(t’) = OP(t’) est négatif. La coordonnée est une grandeur scalaire. Une grandeur scalaire est une grandeur définie par un nombre, positif, négatif

ou nul et une unité. Exemples : la coordonnée, une température, le temps, le déplacement d’un mobile sur un axe. Déplacement sur un axe : Entre les instants t1 et t2 (avec t1 < t2) le mobile se déplace de P(t1) à P(t2) ; le déplacement du mobile est défini par:

( ) ( )1 2 2 1 i ix t ,t x - x où x x tΔ ≡ ≡ * (simplification de la notation) (II.1)

*Dans ce cours, le symbole ≡ signifie “est défini par”. Si le mobile se déplace dans le sens de l’axe : ( )2 1 1 2x > x ;on a donc:Δx t ,t >0 (fig.II.2.a.).

Par contre, s’il se déplace en sens inverse de l’axe : ( )2 1 1 2x < x et Δx t ,t < 0 (fig.II.2.b.).

P(t’)

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a) b)

Figure II.2. : Déplacement sur un axe, Δx(t1,t2), positif (a) et négatif (b).

Le déplacement est donc bien une grandeur scalaire. II.1.2 : Mouvements dans un plan

Dans le cas d’un mouvement à deux dimensions (2D), il faut deux axes, Ox et Oy pour repérer la position du mobile ; on les choisit orthogonaux. La position P(t) du mobile à un instant donné est déterminée par les deux coordonnées cartésiennes de ce point, x(t) et y(t). Supposons que le mobile se trouve en ( )1 1P P t≡ , à l’instant t1 et en ( )2 2P P t≡ à l’instant t2. En projetant le déplacement de P1 à P2 sur les deux axes, on obtient deux déplacements scalaires, un sur chaque axe (voir fig.II.3).

( )( )

1 2 2 1

1 2 2 1

x t ,t x - x

y t ,t y - y

Δ =

Δ =

Figure II.3. : Déplacement dans un plan Les deux déplacements successifs, Δx, suivant l’axe x et Δy, suivant l’axe y, sont équivalents au déplacement en ligne droite, de P1 à P2. On note ce dernier 1 2P P . 1 2P P est un vecteur dans un espace à deux dimensions. Il est caractérisé par deux nombres, sa longueur, la distance de P1 à P2 (remarque : une distance est toujours positive), et un angle, par exemple, l’angle azimutal ϕA, l’angle qu’il fait avec l’axe x, compté dans le sens trigonométrique, c’est-à-dire le sens inverse des aiguilles d’une montre.

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II.1.3 : Mouvement dans l’espace à trois dimensions (3D) Cette fois il faut trois axes, Ox, Oy et Oz, pour repérer la position P(t) du mobile et celle-ci sera déterminée par les trois coordonnées cartésiennes, x(t), y(t) et z(t). En projetant le point P sur chacun des trois axes, on obtient (voir fig.II.4) :

x(t) = OPx(t) y(t) = OPy(t) z(t) = OPz(t)

Figure II.4. : Référentiel cartésien Le déplacement d’une position P1 à une position P2 peut se décomposer en trois déplacements successifs suivant chacun des axes, Δx(t1,t2), Δy(t1,t2) et Δz(t1,t2).

Figure II.5. : Déplacement à trois dimensions. Ces trois déplacements successifs sont équivalents au déplacement en ligne droite, de P1 à P2, représenté par 1 2P P . 1 2P P est un vecteur dans l’espace à trois dimensions. Il est caractérisé par trois nombres, sa longueur, la distance de P1 à P2, et deux angles, par exemple, l’angle azimutal

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ϕA, l’angle que sa projection dans le plan Oxy fait avec l’axe x, compté dans le sens trigonométrique et l’angle polaire θA, que 1 2P P fait avec l’axe Oz. II.2 : Vocabulaire et notations Différentes notations sont utilisées pour signaler les grandeurs vectorielles : une flèche ou une barre au-dessus du symbole de la grandeur ou encore écrire celui-ci en caractère gras : V ou V ou V La grandeur du vecteur est appelée norme ou module ; on dit parfois intensité ou longueur. Le module d’un vecteur est toujours positif ; il se signale en encadrant le symbole du vecteur par une ou deux barres ou encore, en omettant simplement la flèche, la barre, ou le caractère gras : V ou V ou V

Dans ce cours nous utiliserons les notations V pour un vecteur et V pour son module.

L’origine d’un vecteur peut être placée n’importe où ; ce qui le caractérise sont : son module, sa direction et son sens. Les vecteurs A et B de la figure II.6 sont égaux si et seulement si leurs modules et leurs angles azimutaux sont égaux.

A B

A = B ssi

A = B et φ =φ

Figure II.6. : Egalité de deux vecteurs II.3 : La multiplication des vecteurs II.3.1 : Multiplication par un nombre Lorsqu’on multiplie un vecteur par un nombre (sans dimension), son module est multiplié par la valeur absolue de ce nombre ; si le nombre est positif, le vecteur garde même direction et même sens ; si le nombre est négatif, le vecteur garde la même direction mais il change de sens. Par exemple, en multipliant un vecteur représentant une force, ayant un module de 3 N, par -2, le module devient 6 N et la force change de sens.

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II.3.2 : Multiplication par un scalaire Lorsque le vecteur et le scalaire représentent des grandeurs physiques, ils ont le plus souvent une unité. Le vecteur multiplié par le scalaire, de la même manière que pour le nombre, correspond à une grandeur physique de nature différente, avec une nouvelle unité. Par exemple, en multipliant un vecteur qui représente une vitesse, par un temps, on obtient un déplacement. Si la vitesse est exprimée en mètres par seconde et le temps en secondes, le déplacement sera exprimé en mètres. II.4 : L’addition des vecteurs Exemple : Si on effectue un premier déplacement 1d , suivi d’un deuxième déplacement 2d , le

déplacement total totd s’obtient en additionnant les vecteurs 1d et 2d (voir fig.II.7).

tot 1 2d = d + d

Fig.II.7. : Exemple : addition de deux déplacements. II.4.1 : La règle du parallélogramme La somme de deux vecteurs peut se construire graphiquement en appliquant la règle du parallélogramme. Ce dernier peut se construire soit en mettant les deux vecteurs bout à bout (fig.II.8.a), soit en leur donnant une origine commune (fig.II.8.b).

a) b)Fig.II.8. : La règle du parallélogramme : S= A + B.

La figure II.9. permet de voir que l’ordre dans lequel on additionne les deux vecteurs est indifférent. L’addition vectorielle est commutative.

a)

b) S= A + B= B+ A

Fig.II.9. : La commutativité de l’addition vectorielle.

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II.4.2 : Addition de plusieurs vecteurs Dans le cas de plusieurs vecteurs, on additionne les deux premiers, ensuite, on additionne le troisième au résultat de l’addition des deux premiers et ainsi de suite (voir fig.II.10). Cela revient à mettre les vecteurs à additionner bout à bout ; la somme est alors donnée par le vecteur qui a son origine à l’origine du premier vecteur et son extrémité à l’extrémité du dernier vecteur. Ici aussi, l’ordre dans lequel on additionne ces vecteurs est indifférent. De même, on peut par exemple additionner d’abord le 2ème et le 3ème vecteur et ensuite ajouter le 1er vecteur au résultat de cette addition. L’addition vectorielle est associative.

Associativité de l’addition vectorielle :

( ) ( )S= A + B + C + D= A + B+C + D⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Animation

Fig.II.10. : L’addition de plusieurs vecteurs. L’addition vectorielle est différente de l’addition usuelle de deux scalaires. Considérons le cas particulier de l’addition de deux vecteurs B et C faisant un angle droit entre eux, de modules respectifs 3 et 4, dans une unité quelconque ; leur somme A est confondue avec l’hypoténuse du triangle rectangle qu’ils forment (voir fig.II.11). Le module de ce vecteur A est donc donné par le théorème de Pythagore et vaut 5 ; il n’est donc pas égal à l’addition scalaire des modules B et C qui vaut 7. Il ne faut donc pas oublier les flèches qui permettent de reconnaître les vecteurs,

sous peine d’écrire des choses fausses !

B= B =3 C = C = 4

Fig.II.11 : Exemple

Addition vectorielle : A = B+C Addition scalaire : A B+C≠

Pythagore : 2 2A = A = =5 3+ 4 = 7B C+ ≠

II.4.3 : La soustraction des vecteurs Il y a deux constructions possibles pour obtenir la différence de deux vecteurs, soit additionner le vecteur à soustraire inversé au vecteur de départ, A (fig.II.12.a), soit obtenir la différence

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comme étant le vecteur à ajouter au vecteur à soustraire pour obtenir le vecteur de départ (voir fig.II.12.b).

a) ( )V = A - B= A -B+ b) ( )A = A - B B= V B+ +

Fig.II.12 : La soustraction de deux vecteurs. II.5 : Les composantes des vecteurs et les vecteurs unitaires Un vecteur peut être représenté de manière unique par ses composantes dans un système de référence donné. Celles-ci permettent de faire les différentes opérations sur les vecteurs plus facilement et de manière plus précise qu’avec des constructions graphiques. II.5.1 : Cas à deux dimensions Composantes et vecteurs unitaires : En projetant un vecteur A quelconque sur deux axes Ox et Oy, on obtient deux vecteurs soit respectivement xA et yA , qui permettent de décomposer A : x yA = A + A (fig.II.13) ; toutefois,

ce ne sont PAS LES VECTEURS xA et yA que l’on appelle les composantes de A . Ce qu’on appelle les composantes d’un vecteur sont des scalaires que nous allons définir.

Vecteurs unitaires (ou vecteurs de base):

xu , yu , avec x yu u 1= = et xu ┴ yu ,

soit le scalaire xA tel que x x xA = A u

soit le scalaire yA tel que y y yA = A u

On a : x x y yA = A u + A u

Ax et Ay définissent univoquement le vecteur A . Nous verrons que ces scalaires permettent

d’exécuter facilement les différentes opérations sur les vecteurs.

Fig.II.13 : Décomposition d’un vecteur à 2 dimensions.

Les scalaires xA et yA sont les composantes de A dans la base xu , yu .

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Calcul des composantes d’un vecteur : Soit le vecteur A d’origine (x1, y1) et d’extrémité (x2, y2), de module A et d’angle azimutal ϕA

Fig.II.14 : Composantes des vecteurs.

• A partir des coordonnées cartésiennes :

x 2 1 xA = x - x > 0 car A a même sens que Ox

y 2 1 yA = y - y < 0 car A de sens opposé à Oy • A partir du module et de l’angle :

( )

( )x A

y A

A = A cos φ côté adjacent de l'angle droit

A = A sin φ côté opposé de l'angle droit

du triangle rectangle d’hypoténuse A .

On a bien Ay < 0 car ϕA < 0 (sens trigonométrique inverse, en partant de Ox).

Calcul du module et de l’angle à partir des composantes : Par le théorème de Pythagore, on obtient :

2 2 2 2 2x y x yA = A + A = A + A 2 2

x yA = A + A

Dans le même triangle rectangle, on a : ( ) yA

x

Atg φ =

A

Attention aux signes : si Ax et Ay sont de même signe, tg(ϕA) > 0 et 0 < ϕA < π/2 ou -π < ϕA < -π/2 (1er ou 3ème quadrant), si Ax et Ay sont de signe opposé, tg(ϕA) < 0 et π/2 < ϕA < π ou -π/2 < ϕA < 0 (2ème ou 4ème quadrant). Pour déterminer le quadrant, il faut dessiner la circonférence trigonométrique et regarder les signes respectifs de Ax et de Ay. Application à l’addition des vecteurs : La figure II.15 montre que lorsqu’on projette sur les axes Ox et Oy, les deux vecteurs que l’on additionne, A et B , ainsi que leur somme S , sur chacun des deux axes, les projections de A et B s’ajoutent pour donner celle de leur somme.

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Fig.II.15 : Addition de deux vecteurs à partir de leurs projections.

En exprimant les projections en fonctions des vecteurs unitaires et des composantes, puis en simplifiant par rapport aux vecteurs unitaires, on obtient une relation entre composantes, facile à utiliser : S = A + B S u = A u + B u S ux x x x x x x x x x x⇒ ⇒ = A ux x + B ux x

S = A + Bx x x⇒

De même : S = A + By y y

Pour obtenir les composantes d’un vecteur somme d’un nombre quelconque de vecteurs, on fait la somme des composantes :

Si n

1 2 n ii=1

S= V + V + + V = V∑

Alors

n

x 1x 2x nx ixi=1n

y 1y 2y ny iyi=1

S = V + V V = V

S = V + V V = V

⎧ + +⎪⎪⎨⎪ + +⎪⎩

∑ (II.2)

II.5.2 : Généralisation à trois dimensions Composantes et vecteurs unitaires : Tout vecteur A dans un espace à 3 dimensions peut être décomposé en une somme de 3 vecteurs qui sont sa projection sur chacun des 3 axes : x y zA = A + A + A (fig.II.16).

+ BS A=

xx x+ BS A=

yy y+ BS A=

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Nous avons cette fois 3 vecteurs unitaires orthogonaux (ou vecteurs de base) :

xu , yu , zu , avec x y zu u u 1= = =

soit le scalaire xA tel que x x xA = A u

soit le scalaire yA tel que y y yA = A u

soit le scalaire zA tel que z z zA = A u

On a : x x x y y z zA = A u + A u + A u (II.3)

Ax, Ay et Az définissent univoquement le vecteur A .

Fig.II.16 : Décomposition d’un vecteur à 3 dimensions.

Les scalaires xA , yA et zA sont les composantes de A dans la base xu , yu , zu .

Calcul des composantes d’un vecteur :

• A partir des coordonnées cartésiennes : Soit (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2) les coordonnées de l’origine et de l’extrémité du vecteur :

x 2 1 xA = x - x > 0 car A a même sens que Ox (dans l’exemple choisi, fig.II.16),

y 2 1 yA = y - y > 0 car A a même sens que Oy, (II.4)

z 2 1 zA = z -z > 0 car A a même sens que Oz. • A partir du module et des angles :

Fig.II.17: Projection du vecteur A sur l’axe Oz et dans le plan Oxy

Pour obtenir Az, on projette directement A sur l’axe Oz et on obtient un premier triangle rectangle conduisant à (fig.II.17):

( )z AA = A cos θ (II.5)

Pour obtenir Ax et Ay, on projette d’abord A dans le plan Oxy, ce qui donne OP' . Le triangle rectangle OP’P conduit à (fig.II.17):

( )AOP' = A sin θ

Ensuite OP' est projeté sur les axes Ox et Oy, ce qui donne, à l’aide de 2 nouveaux triangles rectangles (fig.II.18) :

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( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )x A A A

y A A A

A = OP' cos φ = A sin θ cos φ

A = OP' sin φ = A sin θ sin φ(II.6)

Fig.II.18: Projection du vecteur A , dans le plan Oxy, puis sur les axes Ox et Oy.

Calcul du module et des angles à partir des composantes : Par le théorème de Pythagore appliqué aux triangles rectangles des figures II.18 et II.17, on obtient :

2 2 2 2 2x y x y

2 2 2 2 2 2z x y z

OP' = A + A = A + A

A = OP' + A = A + A + A

⎫⎪ ⇒⎬⎪⎭

2 2 2x y zA = A + A + A (II.7)

Comme à deux dimensions, le triangle rectangle dans le plan Oxy donne (fig.II.18):

( ) yA

x

Atg φ =

A (II.8)

Le triangle rectangle dans le plan perpendiculaire, donne quant à lui :

( )Az

OP'tg θ =

A. En remplaçant OP' par l’expression obtenue ci-dessus par Pythagore, on a :

( )2 2x y

Az

A + Atg θ =

A (II.9)

II.6 : Le produit de deux vecteurs Pour la multiplication de deux vecteurs, il est possible de définir deux types de produit, suivant que le résultat de la multiplication des deux vecteurs soit un scalaire ou un vecteur. Ces deux produits ont tous deux de multiples applications en physique, par exemple, le travail d’une force lors d’un déplacement pour le produit scalaire et la force magnétique pour le produit vectoriel. II.6.1 : Le produit scalaire

Définition : Soit deux vecteurs A et B faisant entre eux un angle θ (fig.II.19). Leur produit scalaire se définit de la manière suivante :

( )A B A B cos θ≡i (II.10)

Fig.II.19 : définition de A , B et θ

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Il se note par un point. Signification du produit scalaire : Le produit scalaire tel que défini ci-dessus se résume au produit du module d’un des deux vecteurs et de la projection de l’autre vecteur sur le premier. En effet :

a)

( )B B cos θ= , projection de B sur A

( )A B= A B cos = A Bθi (II.11)

= produit du module de A par la projection de B sur A (voir II.20.a).

b)

( )A A cos θ= , projection de A sur B

( )A B= A B cos = B Aθi (II.12)

= produit du module de B par la projection de A sur B (voir II.20.b).

Fig.II.20 : Signification du produit scalaire.

Exemple d’application en physique : le travail d’une force constante F lors d’un déplacement rectiligne d : W F d = F d cos(θ)≡ i i i (voir chapitre V)

Signe du produit scalaire : Si vecteur projeté et vecteur sur lequel a lieu la projection ont même sens, θ < π/2, le cosinus et donc le produit scalaire sont positifs (fig II.21.a). Si vecteur projeté et vecteur sur lequel a lieu la projection sont de sens opposé, θ > π/2, le cosinus et donc le produit scalaire sont négatifs (fig II.21.b).

a) b) Fig.II.21 : Si l’angle est plus petit que π/2, le produit scalaire est positif (a) ; si l’angle est plus

grand que π/2, le produit scalaire est négatif (b). Produit scalaire des vecteurs unitaires :

x x y y z zu u u u u u 1= = =i i i (II.13)

Page 13: Théorie sur les vecteurs

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( )i i i iEn effet, en appliquant la définition (II.10) du produit scalaire : u u u u cos 0 1= ° =i

x y y z z xu u u u u u 0= = =i i i (II.14)

( )i j i jEn effet, en appliquant la définition du produit scalaire: u u u u cos 90 0= ° =i

Produit scalaire de vecteurs orthogonaux : Si A B⊥ , alors A B 0=i , car cos(90°) = 0

Et réciproquement, si A B 0=i , A 0≠ et B 0≠ , alors A B⊥

Le produit scalaire offre un moyen de déterminer l’orthogonalité de deux directions.

Produit scalaire en fonction des composantes : Pour trouver l’expression du produit scalaire en fonction des composantes des vecteurs A et B , exprimons ces vecteurs en fonction de leurs composantes et des vecteurs unitaires :

( ) ( )x x y y z z x x y y z z

x x x x y y x x

A B A u A u A u B u B u B u

A u B u A u B u

= + + + +

= +

i i

i i z z x xA u B u+ i

x x y yA u B u+ i y y y y z z y yA u B u A u B u+ +i i

x x z zA u B u+ i y y z zA u B u+ i z z z zA u B u+ i

Les termes comportant deux vecteurs unitaires orthogonaux s’annulent, ce qui donne :

x x y y z zA B A B A B A B= + +i (II.15)

Détermination de l’angle entre deux directions : Le produit scalaire est souvent utilisé pour déterminer l’angle entre deux directions. En partant de la définition du produit scalaire (II.10), on trouve l’expression du cosinus entre les deux vecteurs :

( ) ( ) A BA B A B cos θ cos θA B

= ⇒ =ii

Ce qui donne, en fonction des composantes des deux vecteurs :

( ) x x y y z z

2 2 2 2 2 2x y z x y z

A B A B A Bcos θ

A A A B B B

+ +=

+ + + + (II.16)

Page 14: Théorie sur les vecteurs

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II.6.2 : Le produit vectoriel Définition : Soit deux vecteurs A et B (fig.II.22.a), leur produit vectoriel est donné par :

( ) nA×B A B sin θ u≡ , (II.17)

où θ est l’angle le plus petit entre les vecteurs A et B ( 0 θ π≤ ≤ ), nu est un vecteur unitaire

perpendiculaire à A et à B ( nu 1= , n nu A , u B⊥ ⊥ ). Le sens du produit vectoriel, et donc, de

nu , est déterminé par la règle des trois doigts de la main droite (fig.II.22.b). Il se note par x ou Λ.

a)

b)

Fig.II.22 : Le produit vectoriel (a) et la règle des 3 doigts de la main droite (b)

Si on permute les vecteurs A et B , on doit permuter pouce et indexe, ce qui implique un changement de sens du médium et donc du produit vectoriel. L’ordre dans lequel apparaissent les deux vecteurs a donc de l’importance : les permuter change le signe du produit vectoriel (fig.II.23).

Le produit vectoriel n’est pas commutatif.

B A A B× = − × (II.18)

Fig.II.23 : Le produit vectoriel n’est pas commutatif. Signification du produit vectoriel : Le module du produit vectoriel, tel que défini en (II.17), se résume au produit du module d’un des deux vecteurs et de la projection de l’autre vecteur sur la direction perpendiculaire au premier, c’est-à-dire l’aire du parallélogramme sous-tendu par les deux vecteurs. En effet :

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a)

( )B B sin θ⊥ =

( )A×B = A B sin = A Bθ ⊥ (II.19)

= aire du rectangle

b)

L’aire des deux triangles sur la figure ci-contre étant égales, on a aussi :

( )A×B = A B sin = A Bθ ⊥

= aire du parallélogramme

Fig.II.24 : Signification du produit vectoriel Exemples d’applications en physique : le moment d’une force : O r F= ×M , le moment angulaire :

r p= × (voir chapitre VII), la force de Lorentz : F q v B= × (voir Physique générale II). Produit vectoriel des vecteurs unitaires :

x x y y z zu u u u u u 0× = × = × = (II.20)

( )i i i i

En effet, en appliquant la définition du module du produit vectoriel (fig.II.17):

u u u u sin 0 0× = ° =

x y z y z x z x yu u u u u u u u u× = × = × = (II.21)

( )i j i j z x z y

En effet, en appliquant la définition du module du produit vectoriel:

u u u u sin 90 1, car u u et u u etc...× = ° = ⊥ ⊥

Pour le sens, se référer à la règle des 3 doigts (fig.II.22.b). On aura par contre :

y x z z y x x z yu u u u u u u u u× = − × = − × = − (II.22)

Produit vectoriel de vecteurs parallèles : Si A B , alors A×B 0= , car sin(0°) = 0

Et réciproquement, si A×B 0= , A 0≠ et B 0≠ , alors A B

Le produit vectoriel offre un moyen de déterminer le parallélisme de deux directions.

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Systèmes de coordonnées lévogyres et dextrogyres :

Produit vectoriel en fonction des composantes : Pour trouver l’expression des composantes du produit vectoriel en fonction des composantes des vecteurs A et B , exprimons ces vecteurs en fonction de leurs composantes et des vecteurs unitaires :

( ) ( )x x y y z z x x y y z z

x x x x

C A×B A u A u A u B u B u B u

A u x B u

= = + + × + +

= x x y y x x z z

y y x x y y y y

A u x B u A u x B u

A u x B u A u x B u

+ +

+ + y y z z

z z x x z z y y z z z z

A u x B u

A u x B u A u x B u A u x B u

+

+ + +

Les termes comportant deux vecteurs unitaires identiques s’annulent. Ce qui donne en réordonnant les termes:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

y z y z z x z x x y x

z y y z x z z x y x x

y z z y y z z x x z z x x y y x x

C A B u u A B u u A B u u

A B u u A B u u A B u u

A B -A B u u A B -A B u u A B -A B u u

y

y

y

= × + × + ×

+ − × + − × + − ×

= × + × + ×

Ou en utilisant (II.21) : ( ) ( ) ( )y z z y x z x x z y x y y x zC A B -A B u A B -A B u A B -A B u= + +

En comparant le résultat obtenu à x x y y z zC C u C u C u= + + , on obtient les composantes du produit vectoriel en fonction des composantes des termes du produit:

x y z z y

y z x x z

z x y y x

C A B -A B

C A B -A B

C A B -A B

=

=

=

(II.23)

Produit vectoriel en notation matricielle : Pour retenir plus facilement ces relations, on peut écrire le produit vectoriel en utilisant la notation matricielle. Le produit vectoriel de A par B est donné par le déterminant de la matrice 3

Page 17: Théorie sur les vecteurs

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x 3, dont les lignes successives sont dans l’ordre, les vecteurs unitaires, les composantes du vecteur A et celles du vecteur B :

x y z

x y z

x y z

u u uA×B A A A

B B B= (II.24)

II.7 : Exercices Il y a une ou deux séances d’exercices prévues sur ce chapitre, pour lesquelles il y a une préparation à faire à domicile. Les consignes et les énoncés sont distribués dans un document séparé (voir dossier « exercices sur l’Université Virtuelle). De nombreux autres exercices, avec corrections et exemples, vous sont proposés sur l’Université Virtuelle, dans le module d’Objectif Réussite « Introduction au calcul vectoriel ».