V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da...

V Polinomios de Taylor: Parte 1

Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

Seja f : I → R,

I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

Seja f : I → R, I intervalo aberto,

a ∈ I , f ′(a) existe.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I ,

f ′(a) existe.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0,

a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h),

r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),

h→ 0, h→ 0.

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

Se h 6= 0, a + h ∈ I

f (a + h)− f (a)

h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.

f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).

f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸︷︷︸p(h)

+r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f (a + h) = p(h) + r(h),

h→ 0, h→ 0.

Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).

p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).

De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

Definindo r(0) = 0,

temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0.

Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),

p′(0) = f ′(a).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

De fato,

se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade,

devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster

q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a),

q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a)

e assim q(x) = p(x).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim

q(x) = p(x).

f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)

h→ 0, h→ 0.

Exemplo:

a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)

Exemplo: a = 0,

f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)

Exemplo: a = 0, f (x) = ex ,

f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)

Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h)

= eh = (1 + h) + r(h)

Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh

= (1 + h) + r(h)

Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)

Teorema

Suponha que f : I → R,

I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e

uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I .

Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se,

existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e

uma funcao

r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R

tais que r(h)h → 0 com

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

h→ 0,

r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

h→ 0, r(0) = 0

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h)

= p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Teorema

h→ 0, r(0) = 0 e

f (a + h) = p(h) + r(h)

se a + h ∈ I .

Prova:

Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.

Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

Suponha que existam p e r como no teorema,

entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

Suponha que existam p e r como no teorema, entao

p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),

p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e,

como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

f (a + h)− f (a)

b1 +r(h)

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1,

h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

f (a + h)− f (a)

h= b1 +

h→ b1, h→ 0.

Assim f ′(a) = b1 = p′(0).

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