V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da...
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V Polinˆ omios de Taylor: Parte 1
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V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R,
I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto,
a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I ,
f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0,
a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h),
r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),
r(h)
h→ 0, h→ 0.
V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
f (a + h) = p(h) + r(h),
r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0,
temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0.
Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),
p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato,
se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade,
devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster
q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a),
q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a)
e assim q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim
q(x) = p(x).
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
Exemplo:
a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
Exemplo: a = 0,
f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex ,
f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h)
= eh = (1 + h) + r(h)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh
= (1 + h) + r(h)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
Teorema
Suponha que f : I → R,
I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I .
Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se,
existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1
e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao
r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R
tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0,
r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0
e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h)
= p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
Prova:
Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema,
entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao
p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),
p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e,
como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h=
b1 +r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h
→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1,
h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
