1.5 serie de taylor

download 1.5 serie de taylor

of 30

  • date post

    04-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    121
  • download

    5

Embed Size (px)

Transcript of 1.5 serie de taylor

1. MTODOS NUMRICOSMTODOS NUMRICOS 1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor Gustavo RochaGustavo Rocha 2005-22005-2 2. 1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor 3. 1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor La serie de Taylor es, sin duda, el fundamentoLa serie de Taylor es, sin duda, el fundamento matemtico ms importante para comprender, manejar ymatemtico ms importante para comprender, manejar y formular mtodos numricos que se basan en laformular mtodos numricos que se basan en la aproximacin de funciones por medio de polinomios.aproximacin de funciones por medio de polinomios. Aunque a veces no sea muy evidente, la mayora de losAunque a veces no sea muy evidente, la mayora de los mtodos numricos se basan en la aproximacin demtodos numricos se basan en la aproximacin de funciones por medio de polinomios.funciones por medio de polinomios. 4. 1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor La expansin de Taylor de una funcin, es una serie infinita de potenciasLa expansin de Taylor de una funcin, es una serie infinita de potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la funcin en laque representa, de manera exacta, el comportamiento de la funcin en la vecindad de un punto dado.vecindad de un punto dado. Si se ignoran todos los trminos de la serie de Taylor, excepto unosSi se ignoran todos los trminos de la serie de Taylor, excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la funcin verdadera.cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la funcin verdadera. El error del mtodo numrico depende de la precisin con la que elEl error del mtodo numrico depende de la precisin con la que el polinomio aproxima a a la funcin verdadera.polinomio aproxima a a la funcin verdadera. Los errores por truncamiento se evalan a travs de la comparacin delLos errores por truncamiento se evalan a travs de la comparacin del desarrollo polinomial de la solucin numrica, con la serie de Taylor, de ladesarrollo polinomial de la solucin numrica, con la serie de Taylor, de la solucin exacta.solucin exacta. 5. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor Sea una funcin f(X) que tiene derivadas continuas hasta de ordenSea una funcin f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden nn en el punto Xen el punto Xii, para el cual se conoce el valor de la funcin a, para el cual se conoce el valor de la funcin a00 y ely el de sus derivadas: ade sus derivadas: a11, a, a22, a, a33, a, a44, a, ann, , f(x) x xi Xi+1 a0 f(Xi+1) 6. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor Se trata de encontrar un polinomio de la forma:Se trata de encontrar un polinomio de la forma: _____ (1.13)_____ (1.13) que permita predecir el valor de la funcin en un punto cualquiera X, enque permita predecir el valor de la funcin en un punto cualquiera X, en trminos de la propia funcin y de sus derivadas en el punto Xtrminos de la propia funcin y de sus derivadas en el punto Xii.. El polinomio P(X) se hace coincidir con la funcin f(X), y lasEl polinomio P(X) se hace coincidir con la funcin f(X), y las primerasprimeras nn derivadas del polinomio se hacen coincidir con lasderivadas del polinomio se hacen coincidir con las nn primeras derivadas de la funcin en el punto Xprimeras derivadas de la funcin en el punto Xii.. _____ (1.14)_____ (1.14) i i i i i (n) (n) i i P(X ) = f(X ) P'(Xi) = f'(X ) P''(X ) = f''(X ) ... P (X ) = f (X ) 32 n 0 1 2 3 nP(X) = a + a X + a X + a X + ... + a X + ... 7. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor El valor de la funcin en un punto cualquiera X se puede evaluar aEl valor de la funcin en un punto cualquiera X se puede evaluar a travs de un polinomio equivalente al de la expresin (1.13):travs de un polinomio equivalente al de la expresin (1.13): ____ (1.15)____ (1.15) Desarrollando la expresin (1.15) y comparndola con la expresinDesarrollando la expresin (1.15) y comparndola con la expresin (1.13), se obtiene:(1.13), se obtiene: _____(1.16)_____(1.16) 2 3 n 0 1 i 2 i 3 i n if(X) = P(X) = b + b (X - X ) + b (X - X ) + b (X - X ) + ... + b (X - X ) + ... 2 3 4 0 0 1 i 2 i 3 i 4 i 2 3 1 1 2 i 3 i 4 i 2 2 2 3 4 i n n a = b - b X + b X - b X + b X - ... a = b - 2b X + 3b X - 4b X + ... a = b - 3b Xi + 6b X - ... ... a = b - ... 8. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor LasLas nn primeras derivadas del polinomio son:primeras derivadas del polinomio son: _____ (1.17)_____ (1.17) Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto XEvaluando el polinomio y sus derivadas en el punto Xii:: _____ (1.18)_____ (1.18) 2 n-1 1 2 i 3 i n i n-2 2 3 i n i n-3 3 n i (n) P'(X) = b + 2b (X - X ) + 3b (X - X ) + ... + nb (X - X ) + ... P''(X) = 2b + 3 2b (X - X ) + ... + n(n-1)b (X - X ) + ... P'''(X) = 3 2b + ... + n(n-1)(n-2)b (X-X ) + ... ... P (X) = n(n- n n1)(n-2) ... 3 2 1b + ... = n!b + ... i 0 0 i 1 1 i 2 2 (n) i n P(X ) = b 0!b P'(X ) = b 1!b P''(X ) = 2b = 2!b ... P (X ) = n!b = = 9. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor Considerando simultneamente las expresiones (1.14) y (1.18):Considerando simultneamente las expresiones (1.14) y (1.18): ______________ (1.19)(1.19) Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresin (1.15):Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresin (1.15): _____ (1.20)_____ (1.20) que en forma sinttica se expresa:que en forma sinttica se expresa: _____ (1.20')_____ (1.20') 0 i 1 i 2 i n i b = f(X ) b = f'(X )/1! b = f''(X )/2! ... b = f(n)(X )/n! 2 i i i i i 3 (n) n i i i i f(X) = f(X ) + f'(X )(X - X ) + f''(X )(X - X ) /2! + f'''(X )(X - X ) /3! + ... + f (X )(X - X ) /n! + ... j i i j=0 f(X) = f(j)(X )(X - X ) /j! 10. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan laLas expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la expansin en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la funcin enexpansin en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la funcin en cualquier punto X, en trminos de la propia funcin y de sus derivadas en elcualquier punto X, en trminos de la propia funcin y de sus derivadas en el punto Xpunto Xii. Se pueden presentar dos casos:. Se pueden presentar dos casos: A)A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de XCuando el valor de X se encuentra a la derecha de Xii, se usa la, se usa la nomenclatura Xnomenclatura Xi+1i+1, con lo que se indica que es mayor que X, con lo que se indica que es mayor que Xii.. _____ (1.21)_____ (1.21) donde h se denomina tamao del paso, tratndose en este caso de un pasodonde h se denomina tamao del paso, tratndose en este caso de un paso hacia adelante.hacia adelante. i+1 i i+1 i (j) (j) j j i+1 i i+1 i i j=0 j=0 X = X > X ; X - X = h > 0 f(X ) = f (X )(X - X ) /j! = f (X )h /j! 11. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor B)B) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de XCuando el valor de X se encuentra a la izquierda de Xii, se usa, se usa la nomenclatura Xla nomenclatura Xi-1i-1, con lo que se indica que es menor que X, con lo que se indica que es menor que Xii.. _____ (1.22)_____ (1.22) _____ (1.22')_____ (1.22') donde h es el tamao del paso, tratndose en este caso de un pasodonde h es el tamao del paso, tratndose en este caso de un paso hacia atrs.hacia atrs. Para cada combinacin de puntos XPara cada combinacin de puntos Xii, X, Xi+1i+1 en una funcin f(x), la serieen una funcin f(x), la serie de Taylor es nica, es decir, no hay otra serie de potencias en h =de Taylor es nica, es decir, no hay otra serie de potencias en h = XXi+1i+1 X Xii , para representar a f(X), para representar a f(X) i-1 i i i-1 (j) (j)j j i-1 i i i-1 i i i-1 j par j impar (j) (j)j j i-1 i i j par j impar X = X < X ; X - X = h > 0 f(X ) = f (X )(X - X ) /j! - f (X )(X - X ) /j! f(X ) = f (X )h /j! - f (X )h /j! 12. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor Ejemplo. En el punto XEjemplo. En el punto Xii = 1, la funcin f(X) y sus derivadas toman= 1, la funcin f(X) y sus derivadas toman los siguientes valores:los siguientes valores: f(1) = 1;f(1) = 1; f'(1) = 6;f'(1) = 6; f''(1) = 2;f''(1) = 2; f'''(1) = 6.f'''(1) = 6. A partir de estos datos y utilizando la expansin en serie de TaylorA partir de estos datos y utilizando la expansin en serie de Taylor dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor dedada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de la funcin para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de lala funcin para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la funcin para Xfuncin para Xi+1i+1 = 3.= 3. f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)22 /2! + 6(X - 1)/2! + 6(X - 1)33 /3!/3! = 1 + 6X - 6 + X= 1 + 6X - 6 + X22 - 2X + 1 + X- 2X + 1 + X33 - 3X- 3X22 + 3X - 1+ 3X - 1 = - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22 + X+ X33 h = Xh = Xi+1i+1 - X- Xii = 3 - 1 = 2= 3 - 1 = 2 f(Xf(Xi+1i+1) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)22 /2! + 6(2)/2! + 6(2)33 /3!/3! = 1 + 12 + 4 + 8 = 25= 1 + 12 + 4 + 8 = 25 13. 1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansinVamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansin en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la funcinen serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la funcin para Xpara Xi-1i-1 = 0.= 0. f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)22 /2! - 6(1 - X)/2! - 6(1 - X)33 /3!/3! = 1 - 6 + 6X + X= 1 - 6 + 6X + X22 - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X- 2X + 1 - 1 + 3X - 3X22 + X+ X33 = - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22 + X+ X33 h = Xh = Xii - X- Xi-1i-1 = 1 - 0 = 1= 1 - 0 = 1 f(Xf(Xi-1i-1) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)22 /2! - 6(1)/2! - 6(1)33 /3!/3! = 1 - 6 + 1 - 1 = - 5= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5 14. 1.5.1 Expansin en seri