Une brève introduction au CHAOS

Les deux séries de données suivantes

se ressemblent beaucoup sur

la moyenne l’aspect irrégulier le spectre d’intensité

Données 1 Hasardx(n) = RND (random)

CHAOSDéterministe

x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)]

Données 2

etc.

Données 1 générées par le

Hasardx(n) = RND (random)

Données 2 générées par un CHAOS déterministe

x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)]

x(n+1)

x(n)

DéfinitionCHAOS

Déterministeon prédit cette valeur

avec ces valeurs

CHAOS

Petit nombre de Variables

x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2))

Définition

DéfinitionCHAOS

Résultat Complexe

PropriétésCHAOS

Espace des phases de basse dimension

espace des phasesd , hasard d = 1, chaos

PropriétésCHAOS

Sensibilité aux conditions initiales

Valeurs initialestrès proches

Valeurs finalestrès différentes

PropriétésCHAOS

BifurcationsPetit changement pour un paramètre

Un pattern Un pattern différent

Séries temporelles

X(t)

Y(t)

Z(t)

“enchassées”

Espace des phases

X(t)

Z(t)

Y(t)

Attracteurs dans l’espace des phasesEquation logistique

X(n+1)

X(n)

X(n+1) = 3,95 X(n) [1-X(n)]

Attracteurs dans l’espace des phases

Equations de Lorenz

X(t)

Z(t)

Y(t)

X(n+1)

X(n)

Equation logistique espace des phasesSéries fonction du temps

d<1

Le nombre de variables indépendantes est la valeur entière juste supérieure

à la dimension fractale d de l’attracteur

Ici d < 1, donc l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend d’1 variable indépendante.

Equations de Lorenzespace des phasesséries f(t)

d =2.03

Le nombre de variables indépendantes est le nombre entier juste supérieur

à la dimension fractale d de l’attracteur

Ici d = 2.03, donc l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend de 3 variables indépendantes..

X(t)

Z(t)

Y(t)

X(n+1)

n

Données 1 Séries temporelles

Espace des phases avec attracteur dont ladimension fractale tend vers l’infini

Quand ,Les séries

temporellesont été générées

par un mécanisme aléatoire.

d

Données 2 séries temporelles

espace des phasesd = 1

Quand d = 1 ,les séries ont

été générées par un mécanisme

déterministe.

Construit par des mesures directes:Espace des phases

Chaque point dans l’espace des phases a des coordonnéesX(t), Y(t), Z(t)

Mesures X(t), Y(t), Z(t) Z(t)

X(t) Y(t)

Construit à partir d’une seule variableEspace des phases

Théorème de TakensTakens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand & Young, Springer-Verlag, pp. 366 - 381

X(t+ t)

X(t+2 t)

X(t)

chaque point dans l’espace des phases a des coordonnées X(t), X(t + t), X(t+2 t)

vite

sse

(cm

/sec

)

Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de

l’oreille interneTeich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279

10-1

-10-1

-10-4 3 x 10-5déplacement (cm)

stimulus = 171 Hz

Rappel physiologique : http://www.med.univ-tours.fr/enseign/orl/Otol/aud/phyoi3/phyoi3.html

vite

sse

(cm

/sec

)

Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de

l’oreille interneTeich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279

5 x 10-6déplacement (cm)

stimulus = 610 Hz

-3 x 10-2

3 x 10-2

-2 x 10-5

micro-électrode

cellule cardiaque de poussin

sourceélectrique voltmètre

Cellules myocardiques de poussin

v

Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357

Battement spontané, pas de stlimulation externe

Cellules myocardiques de poussin

voltage

temps

Stimulées périodiquement2 stimulations - 1 battement

Cellules myocardiques de poussin

2:1

Cellules myocardiques de poussin

1:1

Stimulées périodiquement1 stimulation - 1 battement

Cellules myocardiques de poussin

2:3

Stimulées périodiquement2 stimulations - 3 battements

Stimulation périodique - réponse chaotique

Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin

Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357

Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin

Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357

Tant que la courbe dans l’espace des phases est de dimension 1, la synchronisation entre les battementsde ces cellules peut être décrite par une relation déterministe.

ProcédureProcédure Séries temporellesSéries temporelles

Par ex. le voltage en fonction du Par ex. le voltage en fonction du tempstemps

Représenter les séries Représenter les séries temporelles en un objet temporelles en un objet géométrique. Cette opération géométrique. Cette opération s’appelle “enchassement” s’appelle “enchassement” (embedding(embedding))

ProcédureProcédure Déterminer les propriétés Déterminer les propriétés

topologiques de cet objettopologiques de cet objet et particulièrementet particulièrement, , sa sa dimension fractaledimension fractale

Dimension fractale élevéeDimension fractale élevée = hasard= hasard Dimension fractale basseDimension fractale basse = Chaos déterministe= Chaos déterministe

Dimension fractale d:Dimension fractale d:combien de nouveaux détails de combien de nouveaux détails de la série temporelle apparaissent la série temporelle apparaissent quand ils sont observés à une quand ils sont observés à une échelle de résolution temporelle échelle de résolution temporelle plus fine.plus fine.

X

temps

Dimension fractale:Dimension fractale:La dimension La dimension dd de l’attracteur de l’attracteur dans l’espace des phases est dans l’espace des phases est corrélé au nombre de variablescorrélé au nombre de variablesindépendantesindépendantes

X

temps

d

x(t) x(t+ t)

x(t+2 t)

Mécanisme qui génère les donnéesMécanisme qui génère les données

Chanced(espace des phases)

Déterminismed(espace des phases) = faible

Données

x(t)

t

?

Air froid

LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

Modéle

Air Chaud

(Rayleigh, Saltzman)

LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

Equations

X = vitesse de la circulation X = vitesse de la circulation convective convective X > 0 sens horaire, X > 0 sens horaire, X < 0 sens anti-horaire X < 0 sens anti-horaire

Y = différence deY = différence de température entre les flux température entre les flux

montants et descendantsmontants et descendants

Equations

LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

Z = température du bas Z = température du bas vers le haut moins le vers le haut moins le gradient linéairegradient linéaire

Equations

LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

Espace des phases

LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

Z

X Y

Attracteur de LorenzAttracteur de Lorenz

X < 0 X > 0

Cylindre d’air tournant dans le sens anti-horaire

cylindre d‘air tournant dans le sens horaire

Déterministe non-chaotiqueDéterministe non-chaotique

X(n+1) = f {X(n)}

Précision des valeurs calculées pour X(n):

1,736 2,345 3,2545,455 4,876 4,2343,212

Déterministe chaotiqueDéterministe chaotique

X(n+1) = f {X(n)}

Précision des valeurs calculées pour X(n):

3,455 3.,45? 3,4?? 3.??? ? ? ?

ConditionsConditions initiales initiales X(tX(t00), Y(t), Y(t00), Z(t), Z(t00)...)...

Univers “horlogerie”détermimiste non-chaotique

(paradigme Newtonien)

Calcul possible de toutes les valeurs futures

X(t), Y(t), Z(t)...Equations

Conditions initialesConditions initiales X(t X(t00), Y(t), Y(t00), Z(t), Z(t00)...)...

Univers Chaotiquedétermimiste chaotique

sensibilitéaux conditions

initialesImpossibilitéde calculer

à long termeX(t), Y(t), Z(t)...

Equations

Attracteur Etrange de LorenzAttracteur Etrange de Lorenz

Les trajectoires venant du dehors

sont attirées VERS lui

d’où son nom d’attracteur!

En partant de loin:

Attracteur Etrange de LorenzAttracteur Etrange de Lorenz

Des trajectoires proches sur l’attracteur

sont poussées vers la séparation

l’une de l’autre:BIFURCATION(sensitibilité aux

conditions initiales)

En partant dedans:

L’attracteurL’attracteur “Etrange”“Etrange”est fractalest fractal

espace des phases

ordinaire étrange

““Chaotique”Chaotique”sensibilité aux conditions initialessensibilité aux conditions initiales

Séries temporelles

non chaotique chaotique

X(t)

t

X(t)

t

““Shadowing Theorem”Shadowing Theorem”

Si les erreurs à chaque étape d’intégration sont petites, il existe une trajectoire EXACTE qui arrive à une petite distance de la trajectoire erronée que nous avons calculée

Il existe un nombre INFINI de trajectoires dans un attracteur. Quand nous sortons de l’attracteur, nous sommes aspirés vers l’arrière à une vitesse exponentielle. Nous sommes sur une trajectoire exacte, pas juste sur celle où nous croyons être.

Shadowing TheoremShadowing Theorem

4. Nous sommes sur une trajectoire

“réelle”3. puis nous

sommes attirésvers l’attracteur

2. L’erreur nousfait sortir

de l’attracteur

1. Nous démarrons ici

Trajectoireque nous calculons

en réalité

Trajectoire que nous essayons

de calculer

La sensibilité aux La sensibilité aux conditions initiales signifie conditions initiales signifie

que les conditions de que les conditions de l’expérience peuvent être l’expérience peuvent être très très semblablessemblables, mais que , mais que les résultats peuvent être les résultats peuvent être

assez assez différentsdifférents..

Mardi

++

10 µlArT

10 µl

Vendredi

ArT

++

A = 3,22

X(n)

n

X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

A = 3,42

X(n)

n

X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

A = 3,62

X(n)

n

Bifurcation

Des changements soudains dans le pattern indiquent la présence de bifurcations

x(n)x(n)

Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag

Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press

Faites battre l’index gauche au rythme(en phase) avec le métronome.

Essayez de faire battre

l’index droit hors du rythme du métronome.

Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag

Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press

Pendant que la fréquence du métronome augmente, l’index droit passe d’une oscillation hors-phase (décalé / métronome) à une oscillation en phase.

Position de l’index droitPosition de l’index gauche

A. Séries temporelles

Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag

Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press

ADD

ABD

Position de l’index droit

360o

0o

B. Évaluation du point de phase relative

180o

Transitions de phase auto-organiséesHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag

Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press

2 sec

De petits changements dans les paramètres peuvent produire de gros changements dans le comportement.

+

10cc ArT

++

9cc ArT

Les bifurcations peuvent servir à tester si le système est déterministe

Modèle mathématique déterministe Expérience

Bifurcations observéesBifurcations prédites

correspondance ?

La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient

générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.

Données expérimentalesx(t)

t

X(t+ t)Espace des phases

X(t)

La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient

générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.

Mécanisme qui a généré les données expérimentales

Déterministe Hasard

d = bas d

La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient

générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.

EpidémiesSchaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden,

Princeton Univ. Press

400015000

0 0

rougeoleNew York

Séries temporelles:

Espace des phases:

varicelle

EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504

dimension de l’attracteur dans l’espace des phases

rougeole varicelle

Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee 2,6 3,2St. Louis 2,2 2,7New York 2,7 3,3

EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504

Modèles SEIR: 4 variables indépendantes S susceptible = prédisposé E exposé, mais pas encore infecté I infecté R recovered = convalescent

EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504

Conclusion: rougeole: chaotique varicelle: quasi – cyclique annuel

Séries temporelles:voltageKaplan and Cohen 1990 Circ. Res. 67:886-892

normal Fibrillation ventriculaire mort

D = 1chaos

D = hasard

Espace des phasesV(t), V(t+ t)

Electrocardiogramme:enregistrement électrique de

l’activité musculaire cardiaque

8

Séries temporelles: voltageBabloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211

normal

D = 6chaos

Electrocardiogramme:enregistrement électrique de

l’activité musculaire cardiaque

Electrocardiogramme:enregistrement électrique de

l’activité musculaire cardiaque

Séries temporelles: intervalle de temps entre les battements cardiaquesBabloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211

normal

D = 6chaos

FV mortD = 4chaos

arythmies induitesD = 3chaos

Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond 1989 Circ. Suppl. 80:II-134

Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, O’Toole and Thomas 1989 Biol. Cybern, 61:371-381

Electroencephalogramme:enregistrement électrique

de l’activité cérébraleMayer-Kress and Layne 1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 504:62-78

séries temporelles: V(t)

Espace des phases:

D=8 chaos

V(t)

V(t+ t)

Différents groupes de chercheurs trouvent

différentes dimensions en appliquant les mêmes

conditions expérimentales

Electroencephalogramme:enregistrement électrique

de l’activité cérébrale

tâche mentale

Éveil calme, paupières fermées

Sommeil

virus: Creutzfeld -Jakob

Epilepsie: petit mal

Méditation, Qi-kong

Electroencephalogramme:enregistrement électrique

de l’activité cérébrale

Peut-être que…dimensionélevée

dassedimension

Ecroulement du pont de Tacoma

Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma entre en oscillation sous l'action du vent.

L'amplitude de torsion devient excessive et le pont s'écroule.

C’est l’effet de résonnance qui a détruit le pont. Pour la même raison, une troupe de soldats doit rompre le pas (se désynchroniser, revenir à une marche chaotique) au passage d’un pont.

Analyse des données expérimentales

En principe, vous pouvez savoir si les données ont été générées par unmécanisme aléatoire ou déterministe

La bonne nouvelle:

Analyse des données expérimentales

En pratique, ce n’est pas facile.

La mauvaise nouvelle:

Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases

Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430

petite

direction moyenne

Hasard Pas de flux uniforme

Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases

Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430

grande

Déterministe

direction moyenne

Flux uniforme

Séries temporelles Espace des phases

Expérience

Dimensionbasse = déterministeélevée = hasard

exemples: ECG, EEG

FAIBLE

Faire varier un paramètre

Expérience

prédit par un modèle

non-linéaire

FORTEVoir le comportement

stimulation électriquede cellules, réactionsbiochimiques

exemples:

Contrôle des systèmes biologiques

L’ancienne

manière d’agirUn contrôle par la force brute

GROSSE machine

GROSSE puissancecoeur

Ampères

Contrôle des systèmes biologiques

Nouvelle manière

d’agir:de délicates impulsions astucieusement rythmées

petite machine

petite puissance

mA

coeur

Ancienne façon

de voir les choses:

Des forces pilotent le système entre des états

stables

Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?

Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?

Force D Force E

état stable B

état stable A état stable C

Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?

Nouvelle façon de voir:

Se maintenir un bon

moment dans une

condition pousse le

système dans une

autre condition.

Dynamique de A

Dynamique de B

Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?

état instable B

état instable A état instable C

Le Chaos en résumé

PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES

Mais le comportement est si complexe qu’il mime un comportement aléatoire.

Le Chaos en résumé

Les valeurs des variables à l’instant suivant peuvent être

calculées à partir de leurs valeurs à l’instant précédent.

xi (t+ t) = f (xi (t))

SYSTEME DYNAMIQUEDETERMINISTE

Le Chaos en résumé

x1(t+ t) - x2(t+ t) = Ae t

SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALESNON PREDICTIBLE A LONG

TERME

Le Chaos en résumé

ATTRACTEUR ETRANGE

L’espace des phases est de basse dimension

(souvent fractale).