Unité 5 – Lenvironnement LAmérique française Le subjonctif régulier et irrégulier Mon slogan.
Une brève introduction au CHAOS. Les deux séries de données suivantes se ressemblent beaucoup sur...
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Une brève introduction au CHAOS
Les deux séries de données suivantes
se ressemblent beaucoup sur
la moyenne l’aspect irrégulier le spectre d’intensité
Données 1 Hasardx(n) = RND (random)
CHAOSDéterministe
x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)]
Données 2
etc.
Données 1 générées par le
Hasardx(n) = RND (random)
Données 2 générées par un CHAOS déterministe
x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)]
x(n+1)
x(n)
DéfinitionCHAOS
Déterministeon prédit cette valeur
avec ces valeurs
CHAOS
Petit nombre de Variables
x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2))
Définition
DéfinitionCHAOS
Résultat Complexe
PropriétésCHAOS
Espace des phases de basse dimension
espace des phasesd , hasard d = 1, chaos
PropriétésCHAOS
Sensibilité aux conditions initiales
Valeurs initialestrès proches
Valeurs finalestrès différentes
PropriétésCHAOS
BifurcationsPetit changement pour un paramètre
Un pattern Un pattern différent
Séries temporelles
X(t)
Y(t)
Z(t)
“enchassées”
Espace des phases
X(t)
Z(t)
Y(t)
Attracteurs dans l’espace des phasesEquation logistique
X(n+1)
X(n)
X(n+1) = 3,95 X(n) [1-X(n)]
Attracteurs dans l’espace des phases
Equations de Lorenz
X(t)
Z(t)
Y(t)
X(n+1)
X(n)
Equation logistique espace des phasesSéries fonction du temps
d<1
Le nombre de variables indépendantes est la valeur entière juste supérieure
à la dimension fractale d de l’attracteur
Ici d < 1, donc l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend d’1 variable indépendante.
Equations de Lorenzespace des phasesséries f(t)
d =2.03
Le nombre de variables indépendantes est le nombre entier juste supérieur
à la dimension fractale d de l’attracteur
Ici d = 2.03, donc l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend de 3 variables indépendantes..
X(t)
Z(t)
Y(t)
X(n+1)
n
Données 1 Séries temporelles
Espace des phases avec attracteur dont ladimension fractale tend vers l’infini
Quand ,Les séries
temporellesont été générées
par un mécanisme aléatoire.
d
Données 2 séries temporelles
espace des phasesd = 1
Quand d = 1 ,les séries ont
été générées par un mécanisme
déterministe.
Construit par des mesures directes:Espace des phases
Chaque point dans l’espace des phases a des coordonnéesX(t), Y(t), Z(t)
Mesures X(t), Y(t), Z(t) Z(t)
X(t) Y(t)
Construit à partir d’une seule variableEspace des phases
Théorème de TakensTakens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand & Young, Springer-Verlag, pp. 366 - 381
X(t+ t)
X(t+2 t)
X(t)
chaque point dans l’espace des phases a des coordonnées X(t), X(t + t), X(t+2 t)
vite
sse
(cm
/sec
)
Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de
l’oreille interneTeich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279
10-1
-10-1
-10-4 3 x 10-5déplacement (cm)
stimulus = 171 Hz
Rappel physiologique : http://www.med.univ-tours.fr/enseign/orl/Otol/aud/phyoi3/phyoi3.html
vite
sse
(cm
/sec
)
Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de
l’oreille interneTeich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279
5 x 10-6déplacement (cm)
stimulus = 610 Hz
-3 x 10-2
3 x 10-2
-2 x 10-5
micro-électrode
cellule cardiaque de poussin
sourceélectrique voltmètre
Cellules myocardiques de poussin
v
Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357
Battement spontané, pas de stlimulation externe
Cellules myocardiques de poussin
voltage
temps
Stimulées périodiquement2 stimulations - 1 battement
Cellules myocardiques de poussin
2:1
Cellules myocardiques de poussin
1:1
Stimulées périodiquement1 stimulation - 1 battement
Cellules myocardiques de poussin
2:3
Stimulées périodiquement2 stimulations - 3 battements
Stimulation périodique - réponse chaotique
Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin
Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357
Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin
Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357
Tant que la courbe dans l’espace des phases est de dimension 1, la synchronisation entre les battementsde ces cellules peut être décrite par une relation déterministe.
ProcédureProcédure Séries temporellesSéries temporelles
Par ex. le voltage en fonction du Par ex. le voltage en fonction du tempstemps
Représenter les séries Représenter les séries temporelles en un objet temporelles en un objet géométrique. Cette opération géométrique. Cette opération s’appelle “enchassement” s’appelle “enchassement” (embedding(embedding))
ProcédureProcédure Déterminer les propriétés Déterminer les propriétés
topologiques de cet objettopologiques de cet objet et particulièrementet particulièrement, , sa sa dimension fractaledimension fractale
Dimension fractale élevéeDimension fractale élevée = hasard= hasard Dimension fractale basseDimension fractale basse = Chaos déterministe= Chaos déterministe
Dimension fractale d:Dimension fractale d:combien de nouveaux détails de combien de nouveaux détails de la série temporelle apparaissent la série temporelle apparaissent quand ils sont observés à une quand ils sont observés à une échelle de résolution temporelle échelle de résolution temporelle plus fine.plus fine.
X
temps
Dimension fractale:Dimension fractale:La dimension La dimension dd de l’attracteur de l’attracteur dans l’espace des phases est dans l’espace des phases est corrélé au nombre de variablescorrélé au nombre de variablesindépendantesindépendantes
X
temps
d
x(t) x(t+ t)
x(t+2 t)
Mécanisme qui génère les donnéesMécanisme qui génère les données
Chanced(espace des phases)
Déterminismed(espace des phases) = faible
Données
x(t)
t
?
Air froid
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
Modéle
Air Chaud
(Rayleigh, Saltzman)
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
Equations
X = vitesse de la circulation X = vitesse de la circulation convective convective X > 0 sens horaire, X > 0 sens horaire, X < 0 sens anti-horaire X < 0 sens anti-horaire
Y = différence deY = différence de température entre les flux température entre les flux
montants et descendantsmontants et descendants
Equations
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
Z = température du bas Z = température du bas vers le haut moins le vers le haut moins le gradient linéairegradient linéaire
Equations
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
Espace des phases
LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141
Z
X Y
Attracteur de LorenzAttracteur de Lorenz
X < 0 X > 0
Cylindre d’air tournant dans le sens anti-horaire
cylindre d‘air tournant dans le sens horaire
Déterministe non-chaotiqueDéterministe non-chaotique
X(n+1) = f {X(n)}
Précision des valeurs calculées pour X(n):
1,736 2,345 3,2545,455 4,876 4,2343,212
Déterministe chaotiqueDéterministe chaotique
X(n+1) = f {X(n)}
Précision des valeurs calculées pour X(n):
3,455 3.,45? 3,4?? 3.??? ? ? ?
ConditionsConditions initiales initiales X(tX(t00), Y(t), Y(t00), Z(t), Z(t00)...)...
Univers “horlogerie”détermimiste non-chaotique
(paradigme Newtonien)
Calcul possible de toutes les valeurs futures
X(t), Y(t), Z(t)...Equations
Conditions initialesConditions initiales X(t X(t00), Y(t), Y(t00), Z(t), Z(t00)...)...
Univers Chaotiquedétermimiste chaotique
sensibilitéaux conditions
initialesImpossibilitéde calculer
à long termeX(t), Y(t), Z(t)...
Equations
Attracteur Etrange de LorenzAttracteur Etrange de Lorenz
Les trajectoires venant du dehors
sont attirées VERS lui
d’où son nom d’attracteur!
En partant de loin:
Attracteur Etrange de LorenzAttracteur Etrange de Lorenz
Des trajectoires proches sur l’attracteur
sont poussées vers la séparation
l’une de l’autre:BIFURCATION(sensitibilité aux
conditions initiales)
En partant dedans:
L’attracteurL’attracteur “Etrange”“Etrange”est fractalest fractal
espace des phases
ordinaire étrange
““Chaotique”Chaotique”sensibilité aux conditions initialessensibilité aux conditions initiales
Séries temporelles
non chaotique chaotique
X(t)
t
X(t)
t
““Shadowing Theorem”Shadowing Theorem”
Si les erreurs à chaque étape d’intégration sont petites, il existe une trajectoire EXACTE qui arrive à une petite distance de la trajectoire erronée que nous avons calculée
Il existe un nombre INFINI de trajectoires dans un attracteur. Quand nous sortons de l’attracteur, nous sommes aspirés vers l’arrière à une vitesse exponentielle. Nous sommes sur une trajectoire exacte, pas juste sur celle où nous croyons être.
Shadowing TheoremShadowing Theorem
4. Nous sommes sur une trajectoire
“réelle”3. puis nous
sommes attirésvers l’attracteur
2. L’erreur nousfait sortir
de l’attracteur
1. Nous démarrons ici
Trajectoireque nous calculons
en réalité
Trajectoire que nous essayons
de calculer
La sensibilité aux La sensibilité aux conditions initiales signifie conditions initiales signifie
que les conditions de que les conditions de l’expérience peuvent être l’expérience peuvent être très très semblablessemblables, mais que , mais que les résultats peuvent être les résultats peuvent être
assez assez différentsdifférents..
Mardi
++
10 µlArT
10 µl
Vendredi
ArT
++
A = 3,22
X(n)
n
X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]
A = 3,42
X(n)
n
X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]
A = 3,62
X(n)
n
Bifurcation
Des changements soudains dans le pattern indiquent la présence de bifurcations
x(n)x(n)
Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
Faites battre l’index gauche au rythme(en phase) avec le métronome.
Essayez de faire battre
l’index droit hors du rythme du métronome.
Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
Pendant que la fréquence du métronome augmente, l’index droit passe d’une oscillation hors-phase (décalé / métronome) à une oscillation en phase.
Position de l’index droitPosition de l’index gauche
A. Séries temporelles
Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
ADD
ABD
Position de l’index droit
360o
0o
B. Évaluation du point de phase relative
180o
Transitions de phase auto-organiséesHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag
Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press
2 sec
De petits changements dans les paramètres peuvent produire de gros changements dans le comportement.
+
10cc ArT
++
9cc ArT
Les bifurcations peuvent servir à tester si le système est déterministe
Modèle mathématique déterministe Expérience
Bifurcations observéesBifurcations prédites
correspondance ?
La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient
générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.
Données expérimentalesx(t)
t
X(t+ t)Espace des phases
X(t)
La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient
générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.
Mécanisme qui a généré les données expérimentales
Déterministe Hasard
d = bas d
La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient
générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.
EpidémiesSchaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden,
Princeton Univ. Press
400015000
0 0
rougeoleNew York
Séries temporelles:
Espace des phases:
varicelle
EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504
dimension de l’attracteur dans l’espace des phases
rougeole varicelle
Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee 2,6 3,2St. Louis 2,2 2,7New York 2,7 3,3
EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504
Modèles SEIR: 4 variables indépendantes S susceptible = prédisposé E exposé, mais pas encore infecté I infecté R recovered = convalescent
EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504
Conclusion: rougeole: chaotique varicelle: quasi – cyclique annuel
Séries temporelles:voltageKaplan and Cohen 1990 Circ. Res. 67:886-892
normal Fibrillation ventriculaire mort
D = 1chaos
D = hasard
Espace des phasesV(t), V(t+ t)
Electrocardiogramme:enregistrement électrique de
l’activité musculaire cardiaque
8
Séries temporelles: voltageBabloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211
normal
D = 6chaos
Electrocardiogramme:enregistrement électrique de
l’activité musculaire cardiaque
Electrocardiogramme:enregistrement électrique de
l’activité musculaire cardiaque
Séries temporelles: intervalle de temps entre les battements cardiaquesBabloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211
normal
D = 6chaos
FV mortD = 4chaos
arythmies induitesD = 3chaos
Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond 1989 Circ. Suppl. 80:II-134
Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, O’Toole and Thomas 1989 Biol. Cybern, 61:371-381
Electroencephalogramme:enregistrement électrique
de l’activité cérébraleMayer-Kress and Layne 1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 504:62-78
séries temporelles: V(t)
Espace des phases:
D=8 chaos
V(t)
V(t+ t)
Différents groupes de chercheurs trouvent
différentes dimensions en appliquant les mêmes
conditions expérimentales
Electroencephalogramme:enregistrement électrique
de l’activité cérébrale
tâche mentale
Éveil calme, paupières fermées
Sommeil
virus: Creutzfeld -Jakob
Epilepsie: petit mal
Méditation, Qi-kong
Electroencephalogramme:enregistrement électrique
de l’activité cérébrale
Peut-être que…dimensionélevée
dassedimension
Ecroulement du pont de Tacoma
Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma entre en oscillation sous l'action du vent.
L'amplitude de torsion devient excessive et le pont s'écroule.
C’est l’effet de résonnance qui a détruit le pont. Pour la même raison, une troupe de soldats doit rompre le pas (se désynchroniser, revenir à une marche chaotique) au passage d’un pont.
Analyse des données expérimentales
En principe, vous pouvez savoir si les données ont été générées par unmécanisme aléatoire ou déterministe
La bonne nouvelle:
Analyse des données expérimentales
En pratique, ce n’est pas facile.
La mauvaise nouvelle:
Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases
Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430
petite
direction moyenne
Hasard Pas de flux uniforme
Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases
Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430
grande
Déterministe
direction moyenne
Flux uniforme
Séries temporelles Espace des phases
Expérience
Dimensionbasse = déterministeélevée = hasard
exemples: ECG, EEG
FAIBLE
Faire varier un paramètre
Expérience
prédit par un modèle
non-linéaire
FORTEVoir le comportement
stimulation électriquede cellules, réactionsbiochimiques
exemples:
Contrôle des systèmes biologiques
L’ancienne
manière d’agirUn contrôle par la force brute
GROSSE machine
GROSSE puissancecoeur
Ampères
Contrôle des systèmes biologiques
Nouvelle manière
d’agir:de délicates impulsions astucieusement rythmées
petite machine
petite puissance
mA
coeur
Ancienne façon
de voir les choses:
Des forces pilotent le système entre des états
stables
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
Force D Force E
état stable B
état stable A état stable C
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
Nouvelle façon de voir:
Se maintenir un bon
moment dans une
condition pousse le
système dans une
autre condition.
Dynamique de A
Dynamique de B
Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?
état instable B
état instable A état instable C
Le Chaos en résumé
PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES
Mais le comportement est si complexe qu’il mime un comportement aléatoire.
Le Chaos en résumé
Les valeurs des variables à l’instant suivant peuvent être
calculées à partir de leurs valeurs à l’instant précédent.
xi (t+ t) = f (xi (t))
SYSTEME DYNAMIQUEDETERMINISTE
Le Chaos en résumé
x1(t+ t) - x2(t+ t) = Ae t
SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALESNON PREDICTIBLE A LONG
TERME
Le Chaos en résumé
ATTRACTEUR ETRANGE
L’espace des phases est de basse dimension
(souvent fractale).