Post on 16-Aug-2020
Traitement du signal
Chapitre 2- Transformation en Z
Vahid Meghdadi
ELT2
2012-2013
Echantillonnage
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Peigne de dirac.
n
T nTtt )()(
k
TT
kf
Tt )(
1)(
)()()( ttxtx TT
Echantillonnage
k
eae
k
a
k
aT
kffXfTkfXT
T
kf
TfXtx
)()/(1
)(1
*)()(
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Transformée de Z
Transformée de Laplace de 𝑥𝑇 𝑡 est:
t
st
n
aT dtenTtnTxsX )()()(
nTs
n
aT enTxsX
)()(
On pose 𝑧 = 𝑒𝑠𝑇 Alors:
n
nznxzX )()(Transformée en Z
d’une séquence
discrète
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
𝑋𝑇 𝑠 = 𝑋 𝑧 𝑧=𝑒𝑠𝑇 𝑋 𝑧 = 𝑋𝑇 𝑠 𝑠=1𝑇ln (𝑧)
Rappel : ln 𝑟 + 𝑗𝜃 = ln 𝑟 + 𝑗𝜃
Relation plan Z et plan S
, sT T j Tz e s j z e e
C-à-d qu’à partir de la TL de 𝑥𝑇 𝑡 , on obtient la TZ de 𝑥 𝑛 .
Remarque: la transformée de Z est en relation avec 𝑥𝑇 𝑡 et non pas
avec 𝑥𝑎 𝑡
jΩ0
∑0
jΩ
∑
Plan S Plan Z
TjTee 00
ReZ
ImZ
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
TF et TZ
Dans le domaine temps continu, en général, on a 𝑋 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑠 𝑠=𝑗Ω.
On peut dire donc que la transformée de Fourier de 𝑥𝑇 𝑡 est la transformée
de Laplace 𝑋𝑇 𝑠 calculée sur l’axe 𝑗Ω (𝑠 = 𝑗Ω) :
jsTT sXjX )()(
La séquence 𝑥 𝑛 est obtenue à partir de 𝑥𝑇 𝑡 ou de 𝑥𝑎 𝑡 : 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇).
Sachant que 𝑋 𝑧 = 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛∞𝑛=−∞ et que 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝑛𝜔∞
𝑛=−∞ , la
transformée de Fourier de 𝑥 𝑛 peut s’obtenir par :
1ln( ) /
( ) ( ) ( ) |jj
j
Tz e s e j TT
X e X z X s
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Conclusion
•𝑋(𝑧) calculé sur le cercle unité donne 𝑋(𝑒𝑗𝜔) qui est la transformée de
Fourier (TFSD) de 𝑥(𝑛).
•La transformée de Fourier du signal temps discret 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) est obtenu
en remplaçant Ω par 𝜔
𝑇 dans 𝑋𝑇(jΩ).
•C’est-à-dire qu’en transformant le signal « peigné » en séquence, nous
avons exactement le même spectre (mise à part d’un facteur d’échelle)
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
𝜔 ⟺ Ω𝑇
Exemple
10
( ) ( )
1 ( ) ( )
1
n
n n n n
n n
x n a u n
X z a u n z a zaz
Convergence si azaz 11
Si a<1, la transformée de Fourier existe.
j
j
aeeX
1
1)(
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Domaine de convergence de TZ
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Le domaine de convergence est l’ensemble de points sur le plan Z où la
TZ converge. C-à-d
Exemple: Pour un delta dirac
zznnTZn
n
pour 1)()(
( ) ( ) ( )n n n
n n n
x n z x n z x n r
Alors domaine de convergence DOC est le plan Z.
Note: On ne considère que des signaux bornés de gauche
Domaine de convergence de TZ
Exemple: 𝑥 𝑛 = 𝑢(𝑛)
10 1
1)()(
zzznuzX
n
n
n
n
Domaine de convergence : 1z
Remarque
Si 1 1DOC tel que , DOCz z z z z
Remarque: Si cercle unité appartient au DOC, TF existe.
Remarque: Le DOC est toujours à l’extérieur d’un cercle (pour les
signaux bornée de gauche)
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Propriétés de TZ
Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
1- Linéarité
)()()()( 2121 zbXzaXnbxnax
2- Décalage dans le temps
0
0( ) ( )n
x n n z X z
Exemple:
1 2DOC x xR R
)1(4
1)(
4
1
1)(
1
nunx
z
zX
n
Propriétés de TZ
3- Multiplication par exponentiel
00 /)( zzXnxzn
Résultat:
0 0( )( )
j n je x n X e
Exemple: )()cos()( 0 nunrnx n
221
0
1
0
cos21
cos1)(
zrzr
zrzX
Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
Propriétés de TZ
4- Dérivé de X(z)
dz
zdXznnx
)()(
5- convolution )().()(*)( 2121 zXzXnxnx
6- Valeur initiale: si 𝑥 𝑛 = 0 pour 𝑛 < 0 (𝑥(𝑛) est causal) alors:
)(lim)0( zXxz
Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
Transformée inverse de Z
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
A part l’utilisation de la formule exacte de l’inverse de la transformée
en Z qui est souvent complexe, il existe trois autres méthodes.
1- Utilisation des tables et des propriétés.
11
1)(
aznuan avec la propriété de dérivation:
21
1
)1()(
az
aznunan
Alors donne
1
1 2
0.5( )
(1 0.5 )
zX z
z
(0.5) ( ) ( )
2
n
n
nn u n u n
2- Décomposition en éléments simples
C’est à utiliser pour des fonctions rationnelles
N
k
k
M
k
k
za
zb
zX
0
1
0
1
)(
Si 𝑀 < 𝑁 alors:
1
0 1
11 10
1
(1 )
( )1
(1 )
M
k Nk k
Nk k
k
k
c zb A
X za d z
d z
où kdzkk zXzdA
)(1 1
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
1
( ) ( ) ( )N
n
k k
k
x n A d u n
Décomposition en éléments simples
Si 𝑀 ≥ 𝑁 alors
Et pour chaque terme: 1
( ) ( )1
nkk k
k
AA d u n
d z
Alors:
1
( ) ( ) ( )N
n
k k
k
x n A d u n
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
10 1
( )1
M N Nr k
r
r k k
AX z B z
d z
Exemple
𝑋 𝑧 =1 + 2𝑧−1 + 4𝑧−2
1 + 𝑧−1
𝑋 𝑧 =4𝑧−2 + 2z−1 + 1
𝑧−1 + 1= 4𝑧−1 − 2 +
3
1 + 𝑧−1
𝑥 𝑛 = −2𝛿 𝑛 + 4𝛿 𝑛 − 1 + 3 −1 𝑛𝑢 𝑛
Décomposition en éléments simples
Exercice: 21
21
2
1
2
31
21)(
zz
zzzX
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Solution:
)(2
198)(2)( nunnx
n
3-Développement en série
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
On développe 𝑋(𝑧) en une série de 𝑧−1 et on identifie les 𝑥(𝑛).
...)1()0()1(...)()( 101
zxzxzxznxzXn
n
Exemple:
112
1112
2
11
2
1
)1)(1)(2
11()(
zzz
zzzzzX
Développement en série
Exemple 11
1)(
azzX
En faisant une division longue on obtient :
...1)( 221 zaazzX
Ce qui donne )()( nuanx n
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Exercice
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Soit un système LIT avec la réponse impulsionnelle ci-dessous.
Calculer la réponse du système à un échelon (réponse indicielle).
)(3
13)( nunh
n
Solution 1: Convolution directe.
0
( ) ( )* ( ) ( ) ( )n
m k
y n u n h n h n m h k
Exercice (suite)
Solution 2: Calcul de 𝑋(𝑧) et 𝐻(𝑧), puis 𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 𝐻(𝑧), et finalement
𝑦 𝑛 = 𝑍−1𝑌 𝑧
11 3/11
4/3
1
4/9)(
zzzY
)(3
1
4
3)(
4
9)( nununy
n
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z