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Traitement du signal

Chapitre 2- Transformation en Z

Vahid Meghdadi

ELT2

2012-2013

Echantillonnage

Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z

Peigne de dirac.

n

T nTtt )()(

k

TT

kf

Tt )(

1)(

)()()( ttxtx TT

Echantillonnage

k

eae

k

a

k

aT

kffXfTkfXT

T

kf

TfXtx

)()/(1

)(1

*)()(


Transformée de Z

Transformée de Laplace de 𝑥𝑇 𝑡 est:

t

st

n

aT dtenTtnTxsX )()()(

nTs

n

aT enTxsX

)()(

On pose 𝑧 = 𝑒𝑠𝑇 Alors:

n

nznxzX )()(Transformée en Z

d’une séquence

discrète


𝑋𝑇 𝑠 = 𝑋 𝑧 𝑧=𝑒𝑠𝑇 𝑋 𝑧 = 𝑋𝑇 𝑠 𝑠=1𝑇ln (𝑧)

Rappel : ln 𝑟 + 𝑗𝜃 = ln 𝑟 + 𝑗𝜃

Relation plan Z et plan S

, sT T j Tz e s j z e e

C-à-d qu’à partir de la TL de 𝑥𝑇 𝑡 , on obtient la TZ de 𝑥 𝑛 .

Remarque: la transformée de Z est en relation avec 𝑥𝑇 𝑡 et non pas

avec 𝑥𝑎 𝑡

jΩ0

∑0

jΩ

∑

Plan S Plan Z

TjTee 00

ReZ

ImZ


TF et TZ

Dans le domaine temps continu, en général, on a 𝑋 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑠 𝑠=𝑗Ω.

On peut dire donc que la transformée de Fourier de 𝑥𝑇 𝑡 est la transformée

de Laplace 𝑋𝑇 𝑠 calculée sur l’axe 𝑗Ω (𝑠 = 𝑗Ω) :

jsTT sXjX )()(

La séquence 𝑥 𝑛 est obtenue à partir de 𝑥𝑇 𝑡 ou de 𝑥𝑎 𝑡 : 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇).

Sachant que 𝑋 𝑧 = 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛∞𝑛=−∞ et que 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝑛𝜔∞

𝑛=−∞ , la

transformée de Fourier de 𝑥 𝑛 peut s’obtenir par :

1ln( ) /

( ) ( ) ( ) |jj

j

Tz e s e j TT

X e X z X s


Conclusion

•𝑋(𝑧) calculé sur le cercle unité donne 𝑋(𝑒𝑗𝜔) qui est la transformée de

Fourier (TFSD) de 𝑥(𝑛).

•La transformée de Fourier du signal temps discret 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) est obtenu

en remplaçant Ω par 𝜔

𝑇 dans 𝑋𝑇(jΩ).

•C’est-à-dire qu’en transformant le signal « peigné » en séquence, nous

avons exactement le même spectre (mise à part d’un facteur d’échelle)


𝜔 ⟺ Ω𝑇

Exemple

10

( ) ( )

1 ( ) ( )

1

n

n n n n

n n

x n a u n

X z a u n z a zaz

Convergence si azaz 11

Si a<1, la transformée de Fourier existe.

j

j

aeeX

1

1)(


Domaine de convergence de TZ


Le domaine de convergence est l’ensemble de points sur le plan Z où la

TZ converge. C-à-d

Exemple: Pour un delta dirac

zznnTZn

n

pour 1)()(

( ) ( ) ( )n n n

n n n

x n z x n z x n r

Alors domaine de convergence DOC est le plan Z.

Note: On ne considère que des signaux bornés de gauche

Domaine de convergence de TZ

Exemple: 𝑥 𝑛 = 𝑢(𝑛)

10 1

1)()(

zzznuzX

n

n

n

n

Domaine de convergence : 1z

Remarque

Si 1 1DOC tel que , DOCz z z z z

Remarque: Si cercle unité appartient au DOC, TF existe.

Remarque: Le DOC est toujours à l’extérieur d’un cercle (pour les

signaux bornée de gauche)


Propriétés de TZ

Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z

1- Linéarité

)()()()( 2121 zbXzaXnbxnax

2- Décalage dans le temps

0

0( ) ( )n

x n n z X z

Exemple:

1 2DOC x xR R

)1(4

1)(

4

1

1)(

1

nunx

z

zX

n

Propriétés de TZ

3- Multiplication par exponentiel

00 /)( zzXnxzn

Résultat:

0 0( )( )

j n je x n X e

Exemple: )()cos()( 0 nunrnx n

221

0

1

0

cos21

cos1)(

zrzr

zrzX


Propriétés de TZ

4- Dérivé de X(z)

dz

zdXznnx

)()(

5- convolution )().()(*)( 2121 zXzXnxnx

6- Valeur initiale: si 𝑥 𝑛 = 0 pour 𝑛 < 0 (𝑥(𝑛) est causal) alors:

)(lim)0( zXxz


Transformée inverse de Z

Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z

A part l’utilisation de la formule exacte de l’inverse de la transformée

en Z qui est souvent complexe, il existe trois autres méthodes.

1- Utilisation des tables et des propriétés.

11

1)(

aznuan avec la propriété de dérivation:

21

1

)1()(

az

aznunan

Alors donne

1

1 2

0.5( )

(1 0.5 )

zX z

z

(0.5) ( ) ( )

2

n

n

nn u n u n

2- Décomposition en éléments simples

C’est à utiliser pour des fonctions rationnelles

N

k

k

M

k

k

za

zb

zX

0

1

0

1

)(

Si 𝑀 < 𝑁 alors:

1

0 1

11 10

1

(1 )

( )1

(1 )

M

k Nk k

Nk k

k

k

c zb A

X za d z

d z

où kdzkk zXzdA

)(1 1


1

( ) ( ) ( )N

n

k k

k

x n A d u n

Décomposition en éléments simples

Si 𝑀 ≥ 𝑁 alors

Et pour chaque terme: 1

( ) ( )1

nkk k

k

AA d u n

d z

Alors:

1

( ) ( ) ( )N

n

k k

k

x n A d u n


10 1

( )1

M N Nr k

r

r k k

AX z B z

d z

Exemple

𝑋 𝑧 =1 + 2𝑧−1 + 4𝑧−2

1 + 𝑧−1

𝑋 𝑧 =4𝑧−2 + 2z−1 + 1

𝑧−1 + 1= 4𝑧−1 − 2 +

3

1 + 𝑧−1

𝑥 𝑛 = −2𝛿 𝑛 + 4𝛿 𝑛 − 1 + 3 −1 𝑛𝑢 𝑛

Décomposition en éléments simples

Exercice: 21

21

2

1

2

31

21)(

zz

zzzX


Solution:

)(2

198)(2)( nunnx

n

3-Développement en série


On développe 𝑋(𝑧) en une série de 𝑧−1 et on identifie les 𝑥(𝑛).

...)1()0()1(...)()( 101

zxzxzxznxzXn

n

Exemple:

112

1112

2

11

2

1

)1)(1)(2

11()(

zzz

zzzzzX

Développement en série

Exemple 11

1)(

azzX

En faisant une division longue on obtient :

...1)( 221 zaazzX

Ce qui donne )()( nuanx n


Exercice


Soit un système LIT avec la réponse impulsionnelle ci-dessous.

Calculer la réponse du système à un échelon (réponse indicielle).

)(3

13)( nunh

n

Solution 1: Convolution directe.

0

( ) ( )* ( ) ( ) ( )n

m k

y n u n h n h n m h k

Exercice (suite)

Solution 2: Calcul de 𝑋(𝑧) et 𝐻(𝑧), puis 𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 𝐻(𝑧), et finalement

𝑦 𝑛 = 𝑍−1𝑌 𝑧

11 3/11

4/3

1

4/9)(

zzzY

)(3

1

4

3)(

4

9)( nununy

n


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