Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 1

Stage Graphes et Mupad

Première journée

Plan de la journée

• Graphes: outils de modélisation• Mathématisation

• Algorithmétisation • Découverte de Mupad

• MuPad et graphes

Graphes: outils de modélisation

Optimisation combinatoirePlus court chemin…

Recherche opérationnelleOrdonnancement, flot…

Représentation de liens de dépendance Logique, promenades aléatoires…

Comportement de systèmes informatiquesSystèmes distribués…

Problèmes dans des réseaux etc.

4 villages de Sildavie

Zmrzlina

Kolac Dort

1211 8

Zmrzlina

Kolac Dort

Réseau routierProblème: organiser la signalisation (routage)

Problème 2: trouver une tournée pour le postier

1211 8

Zmrzlina

Kolac Dort

Zmrzlina

Kolac Dort

Une tournée possible du postier

Exercice 1Ce circuit est-il le plus court possible?

1211 8

Zmrzlina

Kolac Dort

Matrice aux arcs du graphe

.434241

34.32.

2423.21

Le produit est remplacé par la concaténation des mots et la somme par l’union, de plus, on ne retient que les chemins sans

circuit (chemins élémentaires).

.423.413432421

324.342341.321

234243.213.241

134.132.

.434241

34.32.

2423.21

.434241

34.32.

2423.21

Le produit latin

.421341324321

...3241.3421

21342413.2341

1324.1342.

.434241

34.32.

2423.21

.423.413432421

324.342341.321

234243.213.241

134.132.

Proposition: Les puissances r-ièmes successives de M énumèrent les chemins élémentaires d’ordre r du graphe

.421341324321

...3241.3421

21342413.2341

1324.1342.

On obtient l’ensemble des chemins hamiltoniens (chemins élémentaires passant par tous les points du graphe)

D’où on déduit les circuits hamiltoniens du graphe

Il y a essentiellement 2 circuits (hamiltoniens):

• 13421 Longueur 11+6+25+8=50

• 13241 Longueur 11+9+12+9=41

13421 est le meilleur!

Exercice 2Le problème de monsieur Nô

Mr. Nô, personnage mythique japonais, habite la case du coin supérieur gauche d’un carré de 8x8 cases, et se propose de rendre visite à Mr. Gô, lequel habite la case du coin inférieur droit. Mr. Nô se déplace sur l’échiquier en passant d’une case à l’une des cases adjacentes (pas de diagonale). Est-il possible de trouver un parcours qui l’amène chez Mr. Gô , en passant une et une seule fois sur toutes les autres cases de l’échiquier?

Berge (1970)

Le problème revient à trouver un chemin hamiltonien dans le graphe des déplacements

possibles sur l’échiquier

On peut cependant remarquer que Mr. Nô et Mr. Gô habitent sur des cases blanches, Mr. Nô doit faire 63 sauts,

il aboutira donc nécessairement sur une case noire(absurde)

Un projet d’adduction d’eau

Zmrzlina

Ordonnancement des tâches

Tâche Durée Opérations antérieures

a Cahier des charges 30

b Approbation par Zmrzlina 5 a

c Approbation par Kava 5 a

d Approbation par Kolac 5 a

e Approbation par Dort 5 a

f Lancement des appels d'offres 8 b,c,d,e

g Commande 2 f

h Creuser les tranchées 10 b,c,d,e

i Construire les châteaux 20 g

j Placer les canalisations 5 h

k Installer l'électronique 3 h,g

l Installer les pompes 3 j

m Tester le système 5 h,i,k,l

n Distribution de l'eau au public 6 m

Graphe d’ordonnancement des tâches

Fin de chacune des tâches

35644442

756947

Chemin critique incompressible, si on allonge une durée sur ce chemin c’est la durée totale des travaux qui est allongée.

Capacité des canalisations et flot maximal

Zmrzlina

Kolac Dort

Débit de chaque château d’eauCapacité des canalisations

100100

Consommation maximale de chaque village

Flot dans le réseau

• On cherche des réels définissant le flux sur l’arête (a,b)

a bba,

Conservation du flux

• Loi de Kirchof:

Le flux entrant est égal au flux sortant dans chaque nœud

Compatibilité avec la capacité des arêtes

• Compatibilité du flot:

Le flux dans chaque arête est inférieur ou égal à la capacité de l’arête

a bba,

baca c ,,0

Le problème du flot maximal

Trouver un flot maximal c’esttrouver un flot compatible qui rend

maximal le flot dans l’arête virtuelle (S,E) dont la capacité est posée infinie

Premières étapes

• Trouver un flot compatible

Le flot nul convient

• Saturer le flot

Tant qu’il existe un chemin de E vers S sans aucune arête saturée, on augmente le débit

sur ce chemin

jusqu’à saturation d’une arête

Première étape de la boucle « tant que »

(100)(50)

Deuxième étape de la boucle « tant que »

Au bout d’un certain nombre d’étapes

En fait: au plus le nombre d’arêtes -2 !

Sur notre exemple exactement 8 étapes

On obtient un flot complet Il n’est pas forcément maximal!

400400

Montrons qu’il n’est pas maximal

Equation de conservation du flux

Flux entrant Flux sortant

100+125+100+50+50 = 25+400

Pour le flux entrant, on ne peut pas faire mieux!

Objectif: diminuer le flux sortant

de l’arête (B,3)

400400

Réduction du débit sur le tuyau (B,3)

(225) (75) (100) (150)

E 12550

200125

400400

On peut le réduire à zéro

Equation de conservation du flux

Flux entrant Flux sortant

100+125+100+50+50 = 0 + 425

Le flux entrant est maximum

Le flot maximum est atteint !

Conclusion

Le réseau ne permet pas de répondre à une demande maximale des quatre villages!

Il faut construire une nouvelle canalisation de C vers 4 de capacité minimum 25 l/s

Les responsables auraient mieux fait de faire une étude préalable!

200125

400425

Question

Evaluer le flot maximum du réseau électrique EDF sur toute la France

Algorithme de Ford et Fulkerson

Définition- Correction- Complexité

Un autre problème: celui du chauffeur de taxi

Zmrzlina

Kolac Dort

Graphe de transition

0.5 0.5

0.50.5

0.20.1

0.1 0.5

Où désigne la probabilité conditionnelle que le taxi aille en j sachant qu’il est en i

Mathématisons la promenade aléatoire du taxi sur notre réseau

Posons:

5.02.01.02.0

3.05.02.00

1.02.05.02.0

05.005.0

Exercice 3

La matrice que nous venons de construire à les propriétés:

jijij petp

Toute matrice qui a ces propriétés est dite stochastique.

Montrer que les matrices stochastiques admettent 1 comme valeur propre.

Réponse exo 3

• Le vecteur est vecteur propre pour la valeur propre 1

Posons où désigne la probabilité que le taxi soit en i. Soit V’ le vecteur défini

par: V’=VM

4321 ,,, qqqqV iq 4321 ',',',' qqqq

alors désigne la probabilité conditionnelle que le taxi se trouve après une course dans la ville i sachant la distribution de probabilité initiale V de présence dans chacune des viles

Chaîne de Markov

Par récurrence, on définit un processus:

010 ,,,

Où désigne le vecteur « condition initiale » et le vecteur représente la distribution de probabilité de présence du taxi

dans chacune des villes à la fin de la nième course, sachant la condition initiale .

Expérimentation

0,0,0,10 V

On fait l’hypothèse que le chauffeur de taxi part le matin de la ville de Dort (1). Où se trouve-t-il après la

cinquantième course?

Calculons 50V

Un petit coup de MuPad!

M:=matrix(4,4,[[0.5,0,0.5,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]);

0.5 0 0.5 00.2 0.5 0.2 0.10 0.2 0.5 0.3

0.2 0.1 0.2 0.5

0.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.2575757576

v:=matrix(1,4,[1,0,0,0]);v*N;

N:=M^50;

¡0.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.2575757576

Manifestement au bout d’un certain nombre de courses, la position du taxi devient

« indépendante » de sa position de départ.

432 ,,,1

44332214321 VVVVVMetVVVVV nnnn

linalg::eigenvalues(M);

Les sous espaces propres associés aux valeurs propres de tM sont supplémentaires,

on peut donc décomposer tout vecteur suivant ces 4 sous espaces

On note ces valeurs propres:

La composante est indépendante de la condition initiale, c’est le vecteur limite. On l’appelle la distribution stationnaire du processus, elle est l’unique

solution de l’équation X=XM avec x1+x2+x3+x4=1.

Exercice 4

Montrer que pour un processus à deux états, ce phénomène arrive toujours, sauf dans deux cas.

Eliminons le cas où la matrice est l’identité, dans ce cas le processus est stationnaire quelque soit la distribution initiale.

1 21 1

Eliminons aussi le cas où -1 est valeur propre, le processus est alors périodique

Supposons que la matrice de transition soit de la forme

1010,101

abetbaavec

1 est valeur propre et la trace est la somme des valeurs propres, donc la deuxième valeur propre est l=a+b-1

Elle vérifie la double inégalité: 11 l

On obtient le même phénomène: convergence vers l’unique solution de l’équation XM=X avec x1+x2=1

1-ba b

linalg::eigenvectors(linalg::transpose(M));

a 1ÅÅÅÅ

a b 1 1

"Ã 11

1Soit, en normalisant

Résolvons cette équation

Définition: On dit qu’un processus de Markov est positivement régulier si, quand n tend vers l’infini, la matrice tend vers une matrice composée de r lignes A identiques.

Proposition: dans les conditions de la définition, quelle que soit la distribution initiale la loi limite est rqqqV ,, 210

Proposition: Pour qu’une suite aléatoire de Markov soit positivement régulière, il est nécessaire et suffisant qu’il existe un entier s tel que tous les termes de soient strictement positifs sM

Exercice 5

Que pensez-vous d’un processus dont le graphe serait le suivant?

Zone A

Zone B

Zone C

La zone A est transitoire, les zones B et C sont absorbantes, le processus n’est pas positivement régulier.

Question: quelle est la durée moyenne de présence dans la zone A d’un processus, avant de tomber dans l’une des zones absorbantes?

Pour cela on réunit les deux zones absorbantes en un état absorbant, la réponse pour cette configuration est la même que celle précédente.

Le soir, le taxi rentre chez lui

Quand le chauffeur décide de rentrer, il utilise la méthode suivante: il continue

à faire des courses jusqu’à ce qu’il soit rendu dans sa ville de Dort (1).

0.5 0.5

0.20.1

0.1 0.5

Encore un petit coup de MuPad

M:=matrix(4,4,[[1,0,0,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]);

1 0 0 00.2 0.5 0.2 0.10 0.2 0.5 0.3

0.2 0.1 0.2 0.5

n:=M^50;0

1 0 0 00.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.00030765842020.9988517191 0.0003299065377 0.0004027951879 0.00041557916680.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.0003076584202

v:=matrix(1,4,[0,1,0,0]): v*n;:¡0.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.0003076584202

Question: quelle est la probabilité que le chauffeur rentre chez lui?

Posons la probabilité que le chauffeur rentre chez lui, en partant de l’état iiq

Ces probabilités vérifient le système:

5.02.01.02.0

3.05.02.00

1.02.05.02.0

On trouve une unique solution:

14321 qqqq

Ce qui est rassurant!

Combien de courses fait-il en moyenne avant de rentrer?

Posons le nombre moyen de courses faites en partant de l’état iim

Ces valeurs moyennes vérifient le système

5.02.01.02.01

3.05.02.001

1.02.05.02.01

On trouve une unique solution:

7,9,7,0 4321 mmmm

Ce qui est beaucoup!

Quelques simulations (10 transitions)

107.552.5

Mathématisation

Un graphe (orienté) G est la donnée d’une partie F d’un produit cartésien S×S, où S est

un ensemble

S peut être

Fini, infini dénombrable, infini

Notation: G=(S,F)S est l’ensemble des sommets de G

F est l’ensemble des arcs (arêtes orientées) de G{u,v} est une arête de G si (u,v) ou (v,u), est dans F

Représentation d’un graphe

S={1,2,3,4,5,6}F={ (1,2) , (1,5) , (2,1) , (2,4) , (2,5) , (4,6) , (6,2) , (6,3) }

Exercice 6

Construire le graphe des diviseurs pour n=10

Réponse exercice 6

Dans ce qui suit S est fini

le graphe G est dit alors fini

L’ordre de G est le cardinal de S

Vocabulaire de base

• Boucle: arc de la forme (x,x)

• Graphe simple:

Graphe sans boucle

• Graphe complet

Graphe simple avec F maximal

• Graphe symétrique (ou non orienté)FijFji ),(),(

Une arête {u,v} est un arc non orienté

Chemins et chaînes

nsss ...21

nn ssssss ,,...,,,, 13221

Un chemin dans un graphe G est une suite finie d’arcs consécutifs, c’est-à-dire de la forme :

Une chaîne dans un graphe G est une suite finie d’arêtes consécutives:

Notation:

La longueur d’un chemin (resp. d’une chaîne) est le nombre d’arcs (resp. d’arêtes) constituant le chemin (resp. la chaîne)

nn ssssss ,,...,,,, 13221

Cycles et circuits

• Un circuit (resp. un cycle) est un chemin (resp. une chaîne) dont les extrémités coïncident, et dont les arcs (resp. arêtes) sont tous distincts (resp. toutes distinctes)

Chemins et circuits Hamiltoniens

Dans un graphe G, on dit qu’un chemin s1s2…sn est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe.

On dit qu’un circuit s1s2…sns1 est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe.

nsss ...21

Voyage autour du monde (Hamilton)

Trouver un circuit hamiltonien sur le dodécaèdre régulier

Voyage autour du monde (Hamilton)

Le graphe de Petersen

Ce graphe n’admet pas de circuit hamiltonien

Exercice 7

Proposer une méthode pour prouver ce résultat

Chaînes et cycles eulèriens

Soit G un graphes

On appelle chaîne eulérienne (resp. cycle eulèrien) une chaîne (resp. un cycle) qui

utilise toutes les arêtes du graphe une et une seule fois.

Les ponts de Kœnigsberg (Euler)

Partir de A, passer une seule fois par chacun des ponts, et revenir en A

Graphe associé

: Tracer les arcs de ce graphe sans lever le crayon

Connexité et forte connexité

Un graphe G = (S,F) est dit connexe (resp. fortement connexe) s’il vérifie la propriété suivante :

pour toute paire de sommet (x,y) de S, il existe une chaîne (resp. un chemin) reliant x à y.

La composante connexe (resp. fortement connexe) d’un sommet x de S est le plus grand sous-graphe connexe (resp. fortement connexe) de G contenant le sommet x.

2 composantes connexes

7 composantes fortement connexes

Exercice 8

1. Calculez les composantes connexes (resp.fortement connexes) du graphe des diviseurs pour n=10.

Représentation des graphes Matrices d’adjacence

On identifie l’ensemble S des sommets à {1, 2, …, N }

La matrice d’adjacence du graphe orienté G = (S,F) est la matrice A de MN({0,1}) définie par :

• A[i][j] = 1 si et seulement si (i,j) F

• A[i][j] = 0 si et seulement si (i,j) F

Représentation fondamentalement booléenne des arcs Complexité en espace : O(N2)

Représentation des graphes Matrices d’adjacence

0 1 00 0 11 1 1

Matrice d’adjacencedu graphe G

Un graphe G

Représentation des graphes MuPadMatrices d’adjacence

Représentation des graphes Listes de successeurs

On identifie l’ensemble S des sommets à {1, 2, …, N }.

La liste des successeurs du sommet i d’un graphe orienté G = (S,F) est la liste L[i] définie par :

• L[i] = { j S, (i,j) F }

La donnée de l’ensemble des listes de successeurs est équivalente à celle du graphe G.

Représentation dynamique du graphe

Complexité en espace : O(N+M) où M = |F|

Représentation des graphes :Listes de successeurs

Listes de successeursdu graphe G

Un graphe G

Représentation des graphes MuPadListes de successeurs

Parcours de graphe :Exploration en profondeur d’abord

Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ?

Initialement tous les sommets ne

sont pas marqués

Principe :marquer ou numéroter

les sommets

-1 -1 -1

Initialement tous les sommets ne

sont pas marqués

Principe :marquer ou numéroter

les sommetsC’est-à-dire sont

tous numérotés à -1

C’est-à-dire sont tous numérotés à -1

-1 -1 -1

Etape 1 : on numérote à 0le sommet initial

Etape 2 :on numérote récursivement les successeurs du sommet

initial

1 -1 -1

si ceux-ci ne sont pas déjà numérotés !

Etape 2 :on numérote récursivement les successeurs du sommet

initial

Un sommet non encore exploré peut en effet avoir été numéroté lors de l’exploration récursive de l’un de ces frères.

Exploration en profondeur d’abord

Exercice 2 :Exploration en profondeur d’abord

Appliquer la méthode d’exploration en profondeur d’abord au graphe donné ci-dessus en commençant l’exploration en 1.

Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Documents

Transcript of Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes pour l'analyse de réseaux …smai.emath.fr/documents/smai-mairci/slides_jouve.pdf · 1.Introduction 2. Clans 3. Démontabilité4. Conclusion Théorie des graphes

Théorie des graphes (deuxième partie) - …jehresmann.free.fr/fichiers/FICHIERS PDF/16 GRAPHES/GRAPHE PARTI… · Théorie des graphes (deuxième partie) ... A l'aide de la matrice

Théorie des graphes et biologie moléculaire : la sociologie des ...

Petite introduction thématique à la théorie des graphes

Théorie des graphes (2)

Cours - Théorie des graphes (Pierre Bornsztein)

Stage Graphes et Mupad Première journée

éléments de théorie des graphes quelques exercices d'application

Théorie des Graphes - Brainternet · Théorie des Graphes - Graphe Définition Degré Sous-graphe Clique et Stable Les graphes modélisent de nombreuses situations concrêtes où

Éric SopenaAvril 2005 Théorie des graphes Quelques exemples dapplication…

Les graphes 2-intervallaires - Philippe GAMBETTEphilippe.gambette.free.fr/LIAFA/Gambette - Les graphes 2... · Mots-clés : théorie des graphes, bioinformatique, ordonnancement,

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES GRAPHES - joseouin.fr · MM-Académie de Créteil Théorie élémentaire des graphes page 2/15 Une arête pourra être désignée par ses extrémités s’il

Rappel de théorie des graphes et introduction aux ...gstauffe/cours/MSE... · Rappel de théorie des graphes et introduction aux différents probłèmes/modèles de ﬂots MSE3211A:

Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices

Travaux Dirigés - Enoncés des exercices - efreidoc.frefreidoc.fr/L3/Théorie des graphes/TD/2008-09/2008-09.TD.tds... · Exercices de Théorie des Graphes Exercice 15 -- Algorithme

Théorie des graphes. Transformation du plan.

theorie des graphes - jehresmann.free.frjehresmann.free.fr/fichiers/FICHIERS PDF/16 GRAPHES/GRAPHE PARTI… · 1 Théorie des graphes et calcul matriciel Début Ceci est la représentation

LÉMENTS DE THÉORIE DES GRAPHES - dept …dept-info.labri.fr/~baudon/...Poly_Elements_de_theorie_des_graphes.pdf · Éléments de théorie des graphes – Éric Sopena MHT063 3 version

Théorie des Graphes - Brainternet · 2017. 2. 25. · Théorie des Graphes - Graphe Définition Degré Sous-graphe Clique et Stable Les graphes modélisent de nombreuses situations

Répétitions de théorie des graphes 2017-2018Répétitions de théorie des graphes 2017-2018 Par convention, tous les graphes de ces notes sont supposés ﬁnis. Chapitre 1 Sections