Petite introduction thématique à la théorie des graphes

Click here to load reader

download Petite introduction thématique à la théorie des graphes

of 26

  • date post

    30-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    114
  • download

    7

Embed Size (px)

description

Petite introduction thématique à la théorie des graphes. Dominique Barth, PRiSM-UVSQ. Plan. Introduction et concepts de base Coloration de graphes Planarité Comparaison de graphes Conclusion. Introduction et concepts de base. Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux}). - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Petite introduction thématique à la théorie des graphes

  • Petite introduction thmatique la thorie des graphesDominique Barth, PRiSM-UVSQ

  • PlanIntroduction et concepts de baseColoration de graphesPlanaritComparaison de graphesConclusion

  • Introduction et concepts de base

  • Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux})(vrai) graphe orientGraphe orient symtriqueGraphe non-orient Degrs Distances, diamtre Chaine, chemin, cycle, circuits Connexit, forte-connexit, k-connexit pondration, tiquetageGraphe de la relation, matrice dadjacence, listes par extension

  • Coloration de graphes

  • Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs.G=(V,E), graphe non-orient

    Coloration de G: application f de V dans un ensemble de couleursColoration propre : (u,v) une arte de E implique f(u) diffrent de f(v)Taille dune coloration(propre) : cardinal de f(V)Nombre chromatique de G : taille minimum dune coloration propre de GProblme historique des 4 couleurs

  • Thorme : Un graphe est 2-coloriable ssi il ne contient pas de cycles de longueur impaire.

  • Thorme : Dcider si un graphe peut ou non tre colori avec au plus 3 couleurs est un problme NP-completComplexit Nombre de donnes processeur x 1000 traites / 24h

    Linaire 1 million x1000Polynomial (deg. 4) 4000 x 2

    Exponentiel 150 +20Factoriel 12 +2}Classe PDifficult dun problme : plus petite complexit dun algorithme le rsolvantTaille dun problme : nombre de sommets, de liens

  • Classe P: problmes faciles, pouvant tre rsolus en temps polynomial fonction du nombre de sommets et dartes.

    Classe NP: problmes pour lesquels pour chaque instance, vrifier si une solution possible est une solution ralisable ou optimale est facile (do algorithme exponentiel). Contient la classe P.

    Problme NP-complet : problme X de NP tel que tout autre problme de NP peut de facon facile se ramener un sous-problme de X (donc, problmes les plus durs de NP).

    Hirarchie de classes de problmes Question : P=NP ?

    Si un des problmes NP-complet est dans P, alors P=NP

  • Savoir si un problme est NP-complet :Si un problme X est au moins aussi difficile quun problme connucomme tant lun des plus difficiles (NP-complet) alors X est aussiun des problmes les plus difficiles (NP-complet).

    Que faire si un problme est NP-complet : Heuristiques polynomiales Approximation, garanties de performances Liens entre invariants et complexit

  • Thorme : Dcider si un graphe peut ou non tre colori avec au plus 3 couleurs est un problme NP-complet335247Invariant de complexit : largeur arborescente (calcul NP-complet)Problme : enchevtrement de cycles

  • Planarit

  • K3K4K5K3,3Graphe planaire : graphe que lon peut dessiner sur un plan (une sphre) Sans que deux artes ne se croisentouiouinonnon?

  • Graphe homomorphe Thorme (Kuratowski ) : Un graphe est planaire ssi il nest homomorphe ni K5, ni K3,3Dcider si un graphe est planaire est dans P.

  • Carte planaire : dessin planaire dun graphe planaire= caratrisation par un graphe + parcours des artes dcrivant les faces

  • Comparaisons de graphes

  • Morphisme dun graphe G=(V,E) dans un graphe H=(V,E) :Application f de V dans V tel que (u,v) dans E implique (f(u),f(v)) dans E.

    f est un isomorphisme ssi f est une bijection (donc linverse de f est un (iso)morphisme)

    Graphe GGraphe HIsomorphisme entre G et H (a) = 1 (b) = 6(c) = 8(d) = 3(g) = 5(h) = 2(i) = 4(j) = 7

  • f est un automorphisme ssi f est un isomorphisme et G=H

    - groupe dautomorphismes dun graphe, - classes dquivalence de sommets, - symtries (involutions) - graphes sommet-transitifs

  • f homomorphisme ssi isomorphisme injectivit (contraction de V dans V) (puis notion de mineur)Graphe homomorphe

  • Comparaison de sous-graphes : plus grand sous-graphes de GEt de H qui ont la proprit de morphisme vise.

    Plongement de graphes: f:V -> V, injectif. Critre : minimiser dist(f(u),f(v)) pour tout (u,v) de E

    Transformation (dition, mineur) dun graphe un autre en minimisantLe nombre doprations lmentaires

  • Conclusion

  • Question : un graphe est-il rond ou long?

    Existe-t-il un critre mesurable pour cette question? Est-il facile calculer?

    Si non, utilisation de critres croiss : - Excentricit moyenne (calcul polynomial) - Taille de sparateur (NP-complet, critre ngatif) - Heuristique de largeur de bandePetites introductions pour futurs MoDiMo :

    Thorie des jeux, combinatoire,

  • 1237654891011SparateurExcentricitLargeur de bande