Post on 18-Jul-2016
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Universite Antonine Semestre 3Annee 2014- 2015
Analyse complexe et de Fourier 1
Chapitre VI- Transformee de Laplace
Exercice 1. Trouver la transformee de Laplace de chacune des fonctions suivantes :
1. f1(t) = 3t2 − 4t + 5 cos t
2. f2(t) = 6e−t + 3t sin(5t)
3. f3(t) = e2t−3
4. f4(t) = (1 + t)4
5. f5(t) = sin2(t)
6. f6(t) = 2 cos(3t + π4)
Exercice 2. Trouver les transformees de Laplace inverses des fonctions suivantes :
1. F1(s) =1
s4 − 1
2. F2(s) =3s + 6
s2 + 9
3. F3(s) =2s + 10
s2 + 6s + 25
4. F4(s) =s3 + 3s2 − s + 1
s(s + 1)2(s2 + 1)
Exercice 3. Utiliser le produit de convolution pour trouver la transformee inverse desfonctions suivantes :
1. F (s) =1
s(s2 + 1)
2. F (s) =s
(s2 + 1)(s2 + 4)
Exercice 4. Resoudre les equations suivantes :
1. f(t) = 2 cos t−∫ t0(t− u)f(u)du
2. f(t) + 4∫ t0(t− u)f(u)du = 2
3. f(t) = et +∫ t0et−uf(u)du
1. Drs R. Akoury & C. Ghannam - 2014
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Exercice 5. Utiliser la transformee de Laplace pour resoudre les equations differentiellessuivantes :
1. y′′(t) + y′(t)− 2y(t) = 0 , y(0) = 1, y′(0) = 4
2. y′′(t) + y(t) = Un(t) , y(0) = y′(0) = 0
3. y′′(t)− 2y′(t) + 5y(t) = 8e−t, y(0) = 1, y′(0) = 2
4. y′′′(t) + 4y′′(t) + 5y′(t) + 2y(t) = 10 cos t, y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = 3
Exercice 6. On considere le montage electrique RLC represente par la figure suivante.A l’instant t = 0, on bascule l’inverseur. La tension V (t) aux bornes des trois dipoles enserie est donnee par :
V (t) = Ldi(t)
dt+ Ri(t) +
q(t)
C
ou i(t) est l’intensite du courant, et q(t) la charge du condensateur, liee a i(t) par :
i(t) =dq(t)
dt. L’equation differentielle de i(t) s’ecrit alors sous la forme suivante :
Ldi(t)
dt+ Ri(t) +
1
C
∫ t
0
i(u)du = V (t)
Utiliser la transformee de Laplace pour trouver i(t). On donne V (t) = 4 sin t, i(t = 0) = 0,q(t = 0) = 0, R = 8, L = 4 et C = 0.25 (unites S.I.).
Exercice 7. On considere une particule electrique q, de masse m, placee dans un champ
electromagnetique (−→E ,−→B ) avec :
−→E = E0
−→k et
−→B = B0
−→j . (Pour le calcul, prendre
q = m = E0 = 1 et B0 = 2)On suppose qu’a l’instant t = 0, la particule est au repos au point O, origine du repere.
Soit−→M(t) = (−→x (t),−→y (t),−→z (t)) la position de la particule a l’instant t, et
−→V (t) =
d−→M
dtsa
vitesse. On a alors :
m.d2−→M
dt2= q
(−→E +
−→V ∧
−→B)
1. Ecrire le systeme differentiel aux trois inconnues −→x (t), −→y (t) et −→z (t).
2. Verifier que y(t) = 0 (le mouvement est donc plan).
3. Utiliser la transformee de Laplace pour resoudre le systeme.