Octobre 2011 Roland Charnay 1

RESOLUTION DE PROBLEMES ET CALCUL

au cycle 2

Octobre 2011 Roland Charnay 2

L’enseignement du calcul, une question complexe

• Quart d’heure de calcul mental• Soustraction posée ou non au

CE1

Souvent ramenée à celle de la

maîtrise du calcul mental et des

techniques opératoires (cf. débats récents)

Mais qui englobe d’autres aspects…

Octobre 2011 Roland Charnay 3

Maîtriser une opération

Procédures, techniquesRésultats

à mémoriser, automatiserà savoir élaborer

Langage, évocationanalogique

verbalsymbolique

JustificationsPropriétés

Problèmes

Exemple du triple code : petits nombres

42011 - Roland Charnay

5cinq

Exemple du triple code : numération décimale

52011 - Roland Charnay

173cent soixante-treize

2011 - Roland Charnay

Exemple du triple code multiplication

6

3 x 44 x 3

Trois fois quatre

Quatre multiplié par trois

Produit de trois par quatre

Octobre 2011 Roland Charnay 7

Qu'est-ce que savoir calculer ?

• traduction d’une situation en termes mathématiques

• Interprétation des résultats

Etre capable de rendre des situations

calculables

• de façon automatisée ou raisonnée • pour aboutir à un résultat exact ou

approché

Etre capable de traiter des

calculs, soi-même

• Calculatrice• Tableur au collège

Etre capable d'organiser un calcul pour le

rendre exécutable par une machine

Octobre 2011 Roland Charnay 8

PLAN

Les problèmes arithmétiquesLes moyens de calcul

Octobre 2011 Roland Charnay 9

LES PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES

DifficultésModalités de

résolutionPistes de travail

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Exemple au CE1 (d’après Cap Maths)

Combien y a-t-il d’enfants sur le

bateau ?

Octobre 2011 Roland Charnay 11

Ce qui peut faire difficulté

• Prendre les informationsLire

• Comprendre, interpréterSe construire une

représentation mentale de la

situation• Raisonner• Faire appel au sens des concepts

Imaginer une résolution possible

• Gérer des calculs, une schématisation…

La mettre en œuvre, la mener à son terme

• Trouver la réponse à partir des traitements

Interpréter les traitements réalisés

• Selon une forme adaptée ou demandée

Communiquer la réponse

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Mais aussi… l’idée que les élèves se font de

l’activité « Résoudre un problème »

• C’est trouver la bonne opérationRésoudre un problème

• C’est utiliser une opération étudiée récemment

Résoudre un problème

• C’est chercher des mots « qui aident » dans l’énoncé

Résoudre un problème

• C’est inventer, explorer…Résoudre un problème

Roland Charnay - 2011 13

Schéma d’analyse sommairedes sources de difficulté

Connaissances et compétences

en lecture (ordre des informations,

place de la question)

sur le contexte

sur les concepts mathématiques

(sens, expertise pour certains problèmes)

raisonnement

en calcul

Connaissances

sur ce qui est

attendu

sur ce qui est

permis

sur ce qui marche souvent

sur "l'accueil

" des erreurs

A la bonne place (éva début CE2)

Roland Charnay - 2011 14

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309

300

400 500 600

300 309 400 367 500 582 60

0

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Quelles résolutions possibles (le bateau)

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

B

25 + 5 = 30 + 30 = 60

5 + 30 = 35

C 2 5+ . . 6 0

D60 – 25 = 35

E

Octobre 2011 Roland Charnay 16

Différentes modalités de résolution

Résolution dans la réalité

Résolution par simulation de la réalité, plus ou moins schématisée (par des objets, par un dessin, par des objets « symboliques » : traits, croix…), puis recours au comptage

Résolution par une série de calculs proches de « l’action »

Résolution utilisant une opération connue (ou plusieurs)

Octobre 2011 Roland Charnay 17

Quelle représentation de la tâche ?

Trouver la bonne opération

• Statut du brouillon• Acceptation de

modalités différentes de résolution

• Exploitation de la diversité des modalités

Elaborer un

moyen de

répondre à la

question

Octobre 2011 Roland Charnay 18

Aider à la représentation de la situation

L’énoncé écrit n’est qu’une façon de présenter un problème

L’image est en est une autre La simulation une autre encore Le problème posé à partir d’une

expérience doit prévaloir au cycle 2

Au cycle 2, l’abus de travail sur fiches nuit gravement aux apprentissages mathématiques

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Schéma pour des situations d’apprentissage

RéelFavorise

l’appropriation de la situation et du

problème

Anticipation

Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures

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Difficultés pour identifier les opérations pertinentes

L’opération en jeu n’est pas toujours un bon critère

Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes. Que s'est-il passé l'après-midi ?

21 % de réponses exactes (entrée 6e)

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Difficultés pour identifier les opérations pertinentes

La concordance avec le sens « primitif » du concept intervient fortement La soustraction pour « le bateau » est un cas

de discordance D’où la nécessité d’apprendre que la résolution

« par soustraction » est équivalente à la résolution « par complément »

La taille des nombres intervient également Soustraire 28 de 31 est plus difficile que

« Combien ajouter à 28 pour avoir 31 » ?

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Aider à progresser…

Prise de conscience au cours de la mise en commun

Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes

Choix des variablesExemple : 100 passagers, 5 adultes

Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions » (ici validation expérimentale)

Octobre 2011 Roland Charnay 23

Quels problèmes au cycle 2 ?La plupart des problèmes qui seront

« un jour » résolus par addition, soustraction, multiplication ou division peuvent être proposés tout au long du

cycle 2Ils sont d’abord résolus par des modes

de résolution personnels

Puis, par des modes de résolution experts, lorsque ceux-ci sont enseignés au cycle 2 ou au

cycle 3

Octobre 2011 Roland Charnay 24

LES MOYENS DE CALCUL

Différents moyens

Etat des lieuxPistes de travail

25Octobre 2011 Roland Charnay

Les moyens de calcul

CALCUL AUTOMATISE

CALCUL REFLECHI OU RAISONNE

Résultat exact Résultat approché

Calcul mental

RésultatsProcédures

Procédures construiteschoix des arrondis

Calcul écrit

Techniques opératoires

Procédures construiteschoix des arrondis

Calcul instrumenté

Calculs usuels

Ex : passer de 23 à 100 avec

x2 et +1

26Octobre 2011 Roland Charnay

Quelques résultats à l’entrée au CE2

24 + 6 83 %36 + 11 79 %32 + 9 77 %10 x 9 68 %

45 + 15 64 %21 x 2 55 %48 - 11 52 %51 - 30 49 %43 - 5 49 %

Octobre 2011 Roland Charnay 27

QUELQUES REPÈRES POUR LES CALCULS ADDITIFS ET

SOUSTRACTIFS(CALCUL MENTAL)

Trois catégories de procédures

Appui sur l’aspect cardinal Quantités réelles ou évoquées (doigts, jetons,

dessins…) Appui sur l’aspect ordinal

File numérique : avancer de 4 au-delà de 8 Ou avancer de 2, puis de 2

Appui sur le calcul (connaissances numériques) 8 et 2 et encore 2 8 plus 4 mémorisé

2011 - Roland Charnay 28

8 + 4

Des repères mentaux et figuratifs pour les nombres

Le subitizing (jusqu’à 3 ou 4)

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Les relations avec 5 et 10 Doigts Avec la constellation

Passage à 7, à 3… Idem avec 10 (comme 2 fois 5)

Passage de 7 à 10 Passage de 10 à 12

File numérique

2011 - Roland Charnay 30

1 2 3 4 5 6 7

Les relations avec les doubles

2011 - Roland Charnay 31

2011 - Roland Charnay 32

Comment aider les élèves

à mémoriser les tables ?

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Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ?Exemple avec 6 +7

6 + 7 et 7 + 6 sont égaux à 13Pour aller de 6 à 13, il y a 7Pour aller de 7 à 13, il y a 613 – 6 = 7 et 13 – 7 = 613 se décompose, entre autres, en 6 +

7 et en 7 + 6

Addition et multiplicationDes conditions différentes

Addition Mémorisation complète Mémorisation partielle et reconstruction

instantanée Multiplication

Mémorisation complète

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Des points de repèrepour la mémorisation

Pour le domaine additif Aperçu pour le domaine muktiplicatif

2011 - Roland Charnay 35

Comprendre aide à mémoriser

(référence, contrôle) Addition sous le double aspect Cardinal : réunion ou augmentation de

quantités Ordinal : avancer sur une piste

numérotée Multiplication sous un triple aspect

Itération de quantités Organisation « rectangulaire » de

quantités Addition itérée (fois)

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Possibilité de construire ou de retrouver

des résultats inconnus ou oubliés

Répertorier et organiser aide à les mémoriser

Rassembler des résultats en vrac (affiche)

Chercher à les organiser Compléter avec ceux qui manquent

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Organisation sous forme de listes (CP, CE1)

5 6 7 8 …0 + 51 + 42 + 33 + 24 + 15 + 0

0 + 61 + 52 + 43 + 34 + 25 + 16 + 0

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Organisation sous forme de tableau(à partir du CE2)

2 3 4 52 4 6 8 103 6 9 12 154 8 12 16 205 10 15 20 25

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Points d’appui pour la mémorisation

Commutativité S’appuyer sur des régularités ou des

propriétés Ajouter ou soustraire 1 : dire le suivant ou

le précédent De 3 en 3 dans la table de 3… Alternance de 0 et de 5 dans la table de 5

S’appuyer sur des résultats connus Doubles, compléments à 10… Voisins

2011 - Roland Charnay 40

Etapes de la mémorisation(par zones numériques pour

l’addition)0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123456789

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Etapes de la mémorisation(par tables pour la multiplication)

Tables de 2 et de 5 Tables de 4 et de 8 (doubles à partir de celle

de 2) Tables de 3 et de 6 Table de 9 avec ses particularités

4 x 9 = 36 3 + 6 = 9

Table de 7 (ne reste que 7 x 7 !)

2011 - Roland Charnay 42

- 1

Autres conditions

S’entraîner, répéter (jeux de calcul…) Savoir ce qu’on sait et ce qui reste à

apprendre Lien entre conditions de mémorisation

et possibilités de « rappel » éviter la récitation des tables Interroger sur sommes, différences,

compléments, décompositions

2011 - Roland Charnay 43

2011 - Roland Charnay 44

Le cas du calcul réfléchi

Octobre 2011 Roland Charnay 45

Le calcul réfléchi se caractérise par…

La diversité des procédures

Exemple de 32 + 9 2 + 9 = 11 30 + 11 = 41 32 + 8 = 40 40 + 1 41 31 + 9 = 40 40 + 1 = 41 32 + 10 = 42 42 – 1 = 41 31 + 1 + 9 = 31 + 10 = 41Etc.

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Le calcul réfléchi se caractérise par…

La recherche d’une stratégie

Réfléchir un calcul, c'est raisonner pour le remplacer par un calcul souvent plus long, mais plus simple, ce qui nécessite l'appui sur des connaissances.

Octobre 2011 Roland Charnay 47

Exemple : calcul d'une différence

100 – 97

Remplacé par 97 pour aller à 100

(Equivalence complément –

soustraction)

100 – 3

Remplacé par "reculer de 3" (sens primitif de la soustraction)

Utilisation de 10 – 3(implicite : 90 + 10 – 3)

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Le calcul réfléchi se caractérise par…

Le fait qu'aucune procédure n'est à privilégier : le calcul réfléchi est un calcul personnel

L'importance de l'explicitation et de l'échange

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L'APPRENTISSAGE DU CALCUL MULTIPLICATIF

Différents langagesLe répertoire

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Au départ : même démarche Des problèmes vers le calcul

Problème des tours (Cap maths, CE1) 

Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ? Trouvez toutes les possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes.

Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles. ..

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Des procédures variées

•Recensement des réponses3 tours de 10 cubes 5 tours de 6 cubes 10 tours de 3 cubes 15 tours de 2

cubes… 

•Expression des procédures et contrôle des réponses

 Dessin

Comptage de n en n

Ecriture additive

Expression avec « fois »

Octobre 2011 Roland Charnay 52

L'écriture 3 x 10 est rattachée… À des réalisations "concrètes" (tours)

À une expression orale significative avec le mot "fois", déjà installée

Au comptage de 10 en 10 ou de 3 en 3

A l'addition répétée