LA RESOLUTION DE PROBLEMES :

Une place centrale

Ne pas confondre problème et exercice

L’exercice est une activité qui consiste en l’application d’un modèle de résolution : procédure toute faite.

Résoudre un problème ce n’est pas appliquer et trouver une réponse mais entrer dans une dynamique de recherche : c’est inventer une stratégie, c’est concevoir et mener une démarche de recherche. 

Un problème doit avoir du sens pour l’élève. Il ne doit être ni trop facile, ni trop difficile. Le maître et l’analyse métacognitive ont un rôle déterminant.

Quelques différences entre ces deux activités :

Exercice ProblèmeConditionnementApplicationReproductionSituation connueDémarche déjà acquiseExécution mécaniqueSaisie immédiateConsolidation d’un savoirEntraînement

OuvertureCréativitéDécouverteSituation inéditeMéthode inconnueProcessus à inventerAnalyser méthodiqueAcquisition d’un savoirAutonomisation

De l’école maternelle à l’école élémentaire

L’école maternelle donne l’occasion aux enfants :

• de vivre leurs premières expériences dans le monde des nombres

• d’organiser l’espace dans lequel ils vivent

• de se familiariser avec certaines formes de cet espace.

Mais l’action seule ne suffit pas …

Pour être source d’apprentissage, Pour être source d’apprentissage, les activités proposées doivent :les activités proposées doivent :

• donner lieu à des questionnementsdes questionnements qui invitent l’enfant à : choisir, décider, prévoir, essayer.choisir, décider, prévoir, essayer.

Petit à petit, l’’enfant va prendre conscience du pouvoir que lui donnent Petit à petit, l’’enfant va prendre conscience du pouvoir que lui donnent ses connaissances, ses connaissances, pour pour anticiper anticiper une action ou le résultat de celle-ciune action ou le résultat de celle-ci

Enfin, la réalisation effective de l’action va ensuite confirmer ou infirmer la pertinence de sa prévision.

Dès l’école maternelle, la résolution de Dès l’école maternelle, la résolution de problèmes est donc au coeur de la problèmes est donc au coeur de la première activité mathématique de première activité mathématique de

chaque enfant.chaque enfant.

Ces problèmes doivent porter :

• sur des situations réelles, vécues par l’enfant

que ce soit au cours des activités quotidiennes, dans des jeux ou encore à l’occasion d’activités construites par l’enseignant.

Le travail sur fiche ne peut pas, particulièrement pour de jeunes Le travail sur fiche ne peut pas, particulièrement pour de jeunes enfants, se substituer aux questions posées sur des objets que enfants, se substituer aux questions posées sur des objets que l’enfant peut effectivement manipuler. l’enfant peut effectivement manipuler.

Résoudre des problèmes portant sur les quantités n’implique pas forcément l’utilisation du formalisme mathématique.

(signes +, –, =, par exemple).

• Le tâtonnement progressivement organisé

• Le recours au dessin plus ou moins schématisé,

• L’utilisation de la comptine orale des nombres…

sont autant de moyens pour l’élève de traiter les questions qui lui sont posées.

Le langage ordinaire, éventuellement accompagné d’un dessin, suffit souvent pour exprimer la procédure utilisée

et donner l’occasion d’un échange avec les autres enfants, avec l’aide de l’adulte.

LA RESOLUTION DE PROBLEMES  • C’est le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines mathématiques.

( c’est ce qui montre que l’on a compris : le réinvestissement )( c’est ce qui montre que l’on a compris : le réinvestissement )

• C’est le moyen d’une appropriation des connaissances qui en garantit le sens.

( c’est ce qui permet de comprendre : la construction)( c’est ce qui permet de comprendre : la construction)

Les mathématiques doivent être perçues comme :Les mathématiques doivent être perçues comme :

• Des moyens, des outils pour anticiper prévoir et décider

Faire des mathématiques, c’est élaborer des outils qui permettent de résoudre des problèmes.

• Il faudra donc :

Chercher à connaître ces outils

S’entraîner à leur utilisation

Ces outils devenant de plus en plus complexes au fur et à mesure de la scolarité.

P o u r la co n s tru c tio n d e s co n n a issa n ces P o u r le ré in ve stisse m en t d e s co n n a issa n ces P o u r pa sse r d e la so lu tio n p erso n ne lle à la so lu tio n exp e rte

L a ré so lu tion d e p ro b lèm e s :

LA CONSTRUCTION DES CONNAISSANCES

La plupart des notions enseignées à l’école élémentaire :

• Dans le domaine numérique• Dans le domaine géométrique• Dans le domaine des mesures

peuvent être construites comme des outils pertinents pour résoudre des problèmes

Les problèmes proposés doivent permettre aux élèves de Les problèmes proposés doivent permettre aux élèves de prendre conscience :prendre conscience :

• Des limites

• De l’insuffisance des connaissances dont ils disposent déjà

• D’en élaborer de nouvelles ( dont le sens sera progressivement enrichi )

EXEMPLE :

En GS : Un problème de partage peut être résolu en s’appuyant sur des compétences relatives au dénombrement.

Au cycle 2 : Résoudre le même type de problèmes ( posés avec des nombres plus grands) à l’aide • De l’addition• De la soustraction itérée ( on répète le même type d’opération )• Des premières connaissances sur la multiplication

Au cycle 3 : En partant des procédures élaborées précédemment, en les organisant, en cherchant comment réduire le nombre d’étapescomment réduire le nombre d’étapes, on élabore des techniques de calcul pour une nouvelle opération :

• La division

Le sens de la notion ( le partage dans l’exemple ) se construit progressivement dans la durée

LE REINVESTISSEMENT DES CONNAISSANCES

Il existe des problèmes destinés :

• A permettre l’utilisation « directe » des connaissances acquises

• A la mobilisation de plusieurs connaissances mathématiques

Ce sont des problèmes «  complexes » qui peuvent être :Ce sont des problèmes «  complexes » qui peuvent être :

• Des situations proches de la vie de l’élève

• Des situations vécues par la classe

• Des situations en relation avec d’autres domaines de savoirs

Leur présentation peut se faire :

Sous forme écrite : énoncés écrits, tableaux, schémas ou graphiques

Sous forme orale : A partir de situation authentiques

Cela nécessite parfois :

• Une recherche d’informationsUne recherche d’informations sur différents supports ( tableaux, croquis, schémas, texte, etc. ) • De reconnaître, d’identifier et d’interpréter les données pertinentesdonnées pertinentes • De déterminer au cours de la résolution, de nouvelles questionsnouvelles questions en prenant conscience que les données ne sont pas toujours fournies dans l’ordre de leur traitementles données ne sont pas toujours fournies dans l’ordre de leur traitement

DE LA SOLUTION PERSONNELLE A LA SOLUTION EXPERTE

Les problèmes peuvent être traités très tôt. Ils peuvent être résolus par des solutions personnelles.des solutions personnelles.

Exemple : le problème de partage En GS : on aura recours au dessin, au dénombrement

En fin de cycle 2 : on utilisera des soustractions successives, voire des essais multiplicatifs

En fin de cycle 3 : On utilisera une solution plus « experte »« experte » : la division

IL EST IMPORTANT DE LAISSER LA POSSIBILITE IL EST IMPORTANT DE LAISSER LA POSSIBILITE AUX ELEVES D’ELABORER AUX ELEVES D’ELABORER

DES SOLUTIONS PERSONNELLES DES SOLUTIONS PERSONNELLES « ORIGINALES »« ORIGINALES »

Ce qui implique :

• le développement de l’autonomie de l’élève

• un moyen de différenciation pour l’enseignant

qui ensuite déterminera le moment où il enseignera la solution experte.

LES MISES EN SITUATIONS

Elles ont pour but de développer une réelle activité intellectuelle.

Il faudra donc veiller à ce que les élèves :

• ne se lancent pas trop vite dans un calcul avec les nombres de l’énoncé

• n’appliquent pas ce qui vient d’être étudié en classe sans s’interroger sur la pertinence des connaissances utilisées

• sachent prendre en charge les différentes tâches associées à la résolution d’un problème 

C’est à dire :

• faire des hypothèses, les tester

• élaborer une démarche pertinente afin de produire une solution personnelle

• organiser par un raisonnement les différentes étapes d’une résolution

• vérifier par eux même les résultats obtenus

• formuler une réponse dans les termes du problème

• expliquer leurs méthodes, les mettre en débat, argumenter