Post on 13-Feb-2021
Info4C - Licence 2 - Année 2019/2020
Relation binaire, relation d’ordre, treillis
J.-L. Baril
Université de BourgogneLabo. LIB
http://jl.baril.u-bourgogne.fr
February 21, 2020
J.-L. Baril Relation binaire, relation d’ordre, treillis
Relation Binaire
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12/3/4 1/2/3413/2/4 1/24/31/23/414/2/3
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Treillis et alg èbres de Boole
1. Relations binaires2. Relations d’ équivalences3. Relations d’ordres4. Treillis5. Alg èbres de Boole
J.-L. Baril Relation binaire, relation d’ordre, treillis
Relation binaire
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Soient E et F deux ensembles.
Définitions :Une relation binaire de E vers F est une partie R de E × F . Si(x , y) ∈ R alors on dit que x est en relation avec y et on le notexRy . Dans le cas ou E = F on dit que R est définie sur E.
Remarque: représentation par diagramme sagittal, matriceExemples : R = ∅ ou R = E × F .X = {a,b, c} et Y = {e, f ,g} et R = {(a,e), (a, f ), (a,g)}.R = [1,10]× [−1,30] est une relation binaire de[0,20]× [−2,32].xRy si y est le carré de x .
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Relation binaire
Définition :Soit R une relation binaire de E vers F . On appelle relationréciproque de R et on note R−1 la relation binaire de F vers Edéfinie par : ∀(x , y) ∈ E × F , yR−1x ⇐⇒ xRy .
Exemple : Si X = {a,b, c} et Y = {e, f ,g} etR = {(a,e), (a, f ), (a,g)} alors R−1 = {(e,a), (f ,a), (g,a)}.Trouver la relation réciproque de xRy si y est le carré de x .
Définition :Soit R une relation binaire de E vers F et S une relation binairede F vers G. La composée T de R et S est une RB de E versG notée T = RS est définie par: ∀(x , y) ∈ E × G,xT y ⇐⇒ il existe z ∈ F tq xRz et zSy .
Remarque : La composition est associative: (RS)T = R(ST ).Trouver la composée de R par R ( (x , y) ∈ R ⇔ y = x2)
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Relation binaire
Définition :On dit qu’une relation binaire R définie sur E est:• réflexive si ∀x ∈ E , xRx• symétrique si ∀(x , y) ∈ E × E , xRy ⇐⇒ yRx .• transitive si ∀(x , y , z) ∈ E3, xRy et yRz ⇐⇒ xRz.• antisymétrique si ∀(x , y) ∈ E2, xRy et yRx =⇒ x = y .
Exemples : La relation ≤ est antisymétrique, réflexive,transitive sur l’ensemble des réels.La relation de parité est symétrique, réflexive, transitive surl’ensemble des entiers.Quelles sont les propriétés de la relation xRy si y est le carréde x?
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Relation d’équivalence
Définitions :Une relation d’équivalence ∼ de E est une relation binaire de Eréflexive, symétrique et transitive. Pour x ∈ E donné,l’ensemble des éléments qui sont en relation avec lui estappelé sa classe d’équivalence x̄ = {z ∈ E , x ∼ z}. Unélément z ∈ x̄ est un représentant de la classe. L’ensemble desclasses d’équivalence est appelé l’ensemble quotient notéE/ ∼:= {x̄ , x ∈ E}.
Remarque: Les classes forment une partition de E .Piège: Trouver les classes d ’équivalencesxRy ⇔ y multiple de xExemples : ”=”, Si f : E → F alors la relationx ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y) est une relation d’équivalence.Exercice: Montrer que si f est indempotente (f ◦ f = f ) d’unensemble E dans lui-même, la relation definie parxRy ⇐⇒ y = f (x) est antisymétrique et transitive.
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Relation d’équivalence
Exemples : Pour n > 0, l’ensemble des entiers modulo n estl’ensemble quotient Z/nZ = Z/ ∼ ou p ∼ q ⇐⇒ n divise p − q.Z/2Z = {0̄, 1̄}, Z/nZ = {0̄, 1̄, . . . ,n − 1}.
Définition:Soient deux ensembles munis d’une relation d’équivalence ∼Eet ∼F . Une fonction f : E → F passe au quotient six ∼E y ⇐⇒ f (x) ∼F f (y) et cela permet de définir la fonctionf̄ : Ē → F̄ qui a x̄ associe f (x).
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Relation d’équivalence
Proposition : factorisation canonique
Toute fonction f : E → F est la composée d’une surjection, unebijection et une injection:f : E → E/ ∼ → Im(f ) → F
x → x̄ → f (x) → f (x)
Exemples : La fonction réelle f : x → x2 se factorise commesuit:f : R → R/ ∼ → Im(f ) = R+ → R
x → x̄ = {−x , x} → x2 → x2
On construit les rationnels avec les entiers grâce à la relationd’équivalence sur Z× Z∗ : (x , y) ∼ (u, v) ⇐⇒ xv = yu.
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Relation d’équivalence - Exercices
Exercice 0:Soit P l’ensemble des nombres premiers strictementsupérieurs à 2. On considère la relation R entre deux élémentsde P définie par:
pRq ⇐⇒p + q
2∈ P.
La relation est-elle réflexive, symétrique et transitive?
Exercice 1:Soient E un ensemble et A ∈ P(E) une partie de E . On définitune relation ∼ sur P(E) en posant pour tous X ,Y ∈ P(E)
X ∼ Y ⇐⇒ X ∩ A = Y ∩ A.
Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur P(E).Exhiber une bijection de P(A) sur l’ensemble quotient.
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Relation d’ordre
Définition:
Une relation sur X ∼ qui est réflexive , antisym étrique ettransitive est appelée une relation d’ordre.On dit alors que X est partiellement ordonn ée et on note ≤ àla place de ∼.Si (x , y) ∈ X 2, x et y seront comparables si x ≤ y ou y ≤ x .Si tous les éléments de X sont comparables, on dit que l’ordreest total .Si x ≤ y et x 6= y alors on note x < y .On dit que y couvre x (y est un successeur de x) si x < y ets’il n’existe pas d’éléments entre eux, i.e.x ≤ z ≤ y =⇒ x = z ou z = x .
l’inclusion ⊆ sur les parties d’un ensemble EN,Z,Q,R sont totalement ordonnés par ≤Est-ce que < est un ordre sur R?La relation a divise b dans N est elle un ordre partiel?
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Relation d’ordre
Définition:Si X est fini, son diagramme de Hasse est le graphe orientédont les sommets sont les éléments de X et les arêtesreprésentées du bas vers le haut sont les couples (x , y) ou ycouvre x .
Exemple : X = {a,b, c,d ,e, f} et a ≤ b, a ≤ c, b ≤ d , c ≤ d ,d ≤ e, d ≤ f .Exemple: ”Bons parenthésages” de longueurs 2n munis de latransformation ....)(.... ⇐= ....()....Exemple: a ≤ b si a divise b dans N . Que se passe t il dansZ?u ≤ v si ||u|| ≤ ||v || pour u et v vecteurs du plan
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Relation d’ordre
Définition:Si l’ordre est total sur X , le diagramme de Hasse s’appelle unechaine. Un sous ensemble ou aucune paire n’est comparableest une anti-chaine.
L’intervalle [x , y ] ⊂ X est l’ensemble des éléments comparablesà x et y et compris entre eux.[x , y ] = {z ∈ X , x ≤ z ≤ y}
Le minimum (ou plus petit élément d’un ensemble X ) est unélément qui est plus petit ou égal à tous les autres.m = min(X ) ⇐⇒ m ∈ X et ∀x ∈ X , m ≤ x .
Un ensemble X est totalement ordonné si toute partie non videadmet un plus petit élément.
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Relation d’ordre
Le maximum (ou plus grand élément d’un ensemble X ) estun élément qui est plus grand ou égal à tous les autres.M = max(X ) ⇐⇒ M ∈ X et ∀x ∈ X , x ≤ M.Un ensemble X est totalement ordonné si toute partie non videadmet un plus grand élément.Un élément m est minimal s’il est plus petit ou égal à tous ceuxqui lui sont comparables dans X .Un élément m ∈ X est un minorant de Y dans X s’il est pluspetit que tous les éléments de Y .La borne inf érieure de Y dans X , notée infX (Y ), est s’il existele plus grand des minorants de Y . Si Y admet un minimumc’est aussi la borne inférieure.
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Exemples
I = [1,100] admet un plus petit element ...I = [1,100[ ???sur N, a ≤ b si b multiple de a: plus petit element 1 et 0 est leplus grand element!Meme relation sur F = {2,3,5,7,8,10} plus petit majorant? leplus grand minorant?Maintenant avec G = {3,9,27,243} majorant? plus grandelement de G? minorants? plus petit element?F = {x2/(x2 + 1), x ∈ R} majorant? plus petit majorant?plusgrand element de F? plus grand minorant? plus petit elementde F?
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Exercices
On définit sur N × N la relation
(a,b) ≤ (c,d) ⇐⇒{
a + b < c + d ou biena + b = c + d et b ≤ d
Montrer que ≤ est une relation d’ordre. Réaliser le diagrammede Hasse pour le sous-ensemble [1,5]2.
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Treillis
Definition
Un treillis est un ensemble partiellement ordonné ou toutcouple (x , y) admet une borne supérieure et une borneinférieure.
On note a ∨ b la borne sup érieure , et a ∧ b la borneinf érieure de a et b.* L’inclusion est une relation d’ordre partiel sur les parties d’unensemble: X = {a,b, c}* Les entiers naturels peuvent être munis d’un ordre plus subtilque l’ordre usuelq est plus grand que p si q est multiple de p. , D48 est un treillis
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Treillis
DéfinitionSi (X ,≤) est un treillis et Y ⊂ X , alors Y est un sous treillis deX ssi ∀(a,b) ∈ Y 2, a ∧ b ∈ Y et a ∨ b ∈ Y .
Exemple: L’ensemble des diviseurs de n est un sous treillis de(N,divise) si n divise N.
DéfinitionSoient (X ,≤) et (Y ,≤) deux treillis alors f une fonction de Xdans Y est un morphisme de treillis ssi:∀(x , y) ∈ X 2 f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y) et f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y).
Remarque: Si f est un morphisme de treillis alors f estcroissante
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Treillis
Définitionun morphisme bijectif entre deux treillis est un isomorphismede treillis
Exemple: A = {a,b}, (P(A),⊂) et (D10,divise)Si f (∅) = 1, f (a) = 2, f (b) = 5, f (a,b) = 10 alors f est unisomorphisme de treillis.
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Treillis
Propri étés si (x , y , z) ∈ E3 ou (E ,≤) est un treillis, alorsx ∧ x = x , x ∨ x = x idempotencex ∨ y = y ∨ x , x ∧ y = y ∧ x commutativité(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) associativitéx ≤ y ⇐⇒ x ∨ y = y consistencex ∧ (x ∨ y) = x absorptionx ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
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Treillis
DéfinitionUn treillis est dit borné ssi il admet un élément maxi (noté 1) etmini (noté 0). On dit qu’un élément a admet un complément ssiil existe b tel que a ∧ b = 0 et a ∨ b = 1. Un treillis borné estalors complémenté ssi tout élément adment un complément.
Exemple: (P(A),⊂)
Propri été
Tout treillis fini est borné
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Treillis
DéfinitionUn treillis est dit distributif ssi on a pour tout x , y , z,x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) etx ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
Remarque: la première condition implique la secondeExemple : (P(A),⊂), (N,divise)
proposition
Un treillis est distributif ssi on peut simplifier comme suit:∀a,b, c, a ∧ c = b ∧ c et a ∨ c = b ∨ c =⇒ a = b
CorollaireTout élément d’un treillis distributif complémenté possède uncomplément unique.
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Algebre de Boole
DéfinitionUne algèbre de Boole est la donnée d’un treillis distributifcomplémenté possédant au moins deux éléments On appellealors atome tout élément minimal différent de 0.
Exemples : (P(A),⊂), Bn = {0,1}n avec la relation d’ordreadequat,Faire des diagrammes de Hasse
Théor èmeTout algèbre de Boole finie est isomorphe à (P(A),⊂) ou A estl’ensemble de ses atomes
CorollaireLe cardinal de toute algèbre de Boole finie est une puissancede 2
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Algebre de Boole
Loi de de Morgan¯a ∨ b = ā ∧ b̄ et ¯a ∧ b = ā ∨ b̄
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Fonction booléennes
On note B = {0,1}
Définition
Une fonction bool éenne d’arit é n est une fonction de Bn versB. On note Fn l’ensemble des fonctions booléennes d’arité n
Remarque: Il y a 2n n−uplets de 0 et 1, donc il y a 22n
fonctionsbooléennes d’arité n.Par exemple F1 possède 4 fonctions.Représentation d’une fonction Booléenne =⇒ Table de VéritéExemple: Donner la table de vérité de la fonction Booléenned’arité 2 suivante: (a1,a2) → a1 + a2.L’ensemble des fonctions booléennes est une algèbre de Boole.
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Fonction booléennes
Electroniqued=sup(a,inf(b,c)) pour le circuit suivant/ Entree————————/ A———————-Sortie — — — / /— ———-/ B—————-/ C——
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