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PrimitivesPrimitives
Terminales STITerminales STI
Lycée Paul Langevin - BeauvaisLycée Paul Langevin - Beauvais
François Gonet 2005/2006François Gonet 2005/2006
On considère la fonction f définie sur R On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=xtelle que f(x)=x
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?
b0 1
1
x
y
On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=xtelle que f(x)=x
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?
Réponse
21
2b
Aire du triangle: (B x h)/2
b0 1
1
x
y
Soit
On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=xtelle que f(x)=x
a b0 1
1
x
y
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?
On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=xtelle que f(x)=x
a b0 1
1
x
y
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?
Réponse:
2 21 1
2 2b a
On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4xtelle que f(x)=3-0,4x
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?
b0 1
1
x
y
On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4xtelle que f(x)=3-0,4x
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?
Aire du trapèze rectangle:
[3 ( )]
2
f b b
Soit: b0 1
1
x
y
23 0,2b b
Réponse
On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4xtelle que f(x)=3-0,4x
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?
a b0 1
1
x
y
On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4xtelle que f(x)=3-0,4x
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?
2 2(3 0,2 ) (3 0,2 )b b a a
Réponse
a b0 1
1
x
y
Résumons…Résumons… Pour calculer l’aire comprise entre la courbe d’une fonction f, l’axe
des x, les droites d’équation x=a et x=b, on utilise une fonction F:
si alors
si alors
L’aire cherchée est alors
21( )
2F x x( )f x x
( ) 3 0,4f x x 2( ) 3 0,2F x x x
( ) ( )F b F a
Quelle est le lien entre f et F ?Quelle est le lien entre f et F ?
Conjecture…Conjecture…
La dérivée de F est f , soit ( ) ( )F x f x
En effet si 21( )
2F x x alors ( )F x x
Et si 2( ) 3 0,2F x x x alors ( ) 3 0,4F x x
Vous avez trouvé bien sûr :
Conjecture…Conjecture…
La dérivée de F est f , soit
En effet si 21( )
2F x x alors ( )F x x
Et si 2( ) 3 0,2F x x x alors ( ) 3 0,4F x x
Vous avez trouvé bien sûr :
Vérifions sur un autre cas …
( ) ( )F x f x
On considère la fonction f définie sur R On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x²telle que f(x)=x²
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2?
2
2
3
4
0 1
1
x
y
On considère la fonction f définie sur R On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x²telle que f(x)=x²
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2?
2
2
3
4
0 1
1
x
y
1°) Trouver une fonction F , telle que '( ) ( )F x f x
On considère la fonction f définie sur R On considère la fonction f définie sur R telle que telle que f(x)=x²f(x)=x²
Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2?
2
2
3
4
0 1
1
x
y
1°) Trouver une fonction F , telle que '( ) ( )F x f x
31( )
3F x xPar exemple :
2°) L’aire serait 7
(2) (1)3
F F
Vérifions avec la calculatriceVérifions avec la calculatrice::
DéfinitionDéfinition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si F une fonction dérivable telle que pour tout
( ) ( )F x f x
x I
On dit que F est une primitive de f
ExempleExemple
Soit la fonction f définie sur R par :2( ) 2 3f x x x
Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:
ExempleExemple
Soit la fonction f définie sur R par :2( ) 2 3f x x x
Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:
3 21( ) 3
3F x x x x
ExempleExemple
Soit la fonction f définie sur R par :2( ) 2 3f x x x
Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:
3 21( ) 3
3F x x x x
Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par:
ExempleExemple
Soit la fonction f définie sur R par :2( ) 2 3f x x x
Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:
3 21( ) 3
3F x x x x
Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par:
3 21( ) 3 1
3G x x x x
ExempleExemple
Soit la fonction f définie sur R par :2( ) 2 3f x x x
Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:
3 21( ) 3
3F x x x x
Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par:
3 21( ) 3 1
3G x x x x
Ou bien :3 21
( ) 3 ,3
G x x x x k k R
PropriétéPropriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, alors deux primitives de f diffèrent d’une constante.
Autrement dit, si F et G sont deux primitives de f, alors :
( ) ( )F x G x k k Ravec
Démonstration:Démonstration:
soit F et G sont deux primitives de f, alors :
( ) ( ) ( ) ( )F x f x et G x f x
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
Donc F x G x
Donc F G x
Donc F G
est la fonction constante
( ) ( )F x G x k k RDonc ,
Primitives usuellesPrimitives usuelles
Pour trouver les primitives des fonctions usuelles, il suffit de lire le tableau des dérivées usuelles, à l’envers.
Cependant, il est nécessaire de savoir que:
( ) nf x x alors1
( )1
nxF x k
n
Si
ExercicesExercices
Exercice 1: Déterminer les primitives des fonctions
f, g, h définies sur R par :
4 3 2( ) 2 3 2
( ) sin( )
( ) cos( )
f x x x x x
g x x
h x x
Exercice 2 : Montrer que la fonction F, définie sur R par ( ) cos( ) .sin( )F x x x x est une primitive de la
fonction f définie sur R par ( ) .cos( )f x x x
FinFin