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Cours de Mathématiques – Classe de Terminale STI - Chapitre 3 : Dérivées et Primitives

Chapitre 3 – Dérivées et Primitives

A) Rappels de première et compléments

1) Dérivées usuelles

Fonction définie sur Fonction f(x) = Dérivée f’(x) = Dérivée définie sur

ℝ k 0 ℝ

ℝ a x + b a ℝ

ℝ a xn n a xn-1 ℝ

ℝ* = ℝ \ {0}

ax

−a

x2 ℝ* = ℝ \ {0}

ℝ* = ℝ \ {0}

a

xn

−n a

xn+1 ℝ* = ℝ \ {0}

[0 ;+∞] a √ xa

2√ x]0 ;+∞ ]

ℝ a sin( x ) a cos( x ) ℝ

ℝ a cos( x ) −asin( x ) ℝ

ℝ+* a ln (x )ax ℝ

* = ℝ \ {0}

ℝ a e x a e x ℝ

Remarques :. Si on admet n réel quelconque, la 3ème ligne du tableau sert pour trouver les six premières lignes !

Il faut pour cela savoir que x−n = 1

x n et que x12= x .

. ln(x) est le logarithme népérien de x et ex est l'exponentielle de x (voir chapitres suivants).

Exemples :

Calculer les dérivées de : a). f x =x5 b) f x =1

x 4 c) f x =1

x

2) Opérations sur les dérivées

Opération Formule de la dérivée

uv u 'v '

k u k u '

u v u ' vuv '

1v

−v '

v2

uv

u' v –uv '

v2

un , pour tout n∈ℝ n u ' un−1

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Exemples : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

. f x =x2

1xcos x f ( x )=cos(2 x−1)

. f x =x3 sinx f ( x )=1

2 x−1

. f ( x )=cos ( x)

x2+ 1

f ( x )=x+ 2

3 x+ 1

3) Dérivation d’une fonction composée

Théorème :

Remarques :. Cette formule permet de trouver la dérivée (u(ax + b))' = a u’(a x + b) en posant v = a x + b.. De même pour (un)’ = n u’(x) un - 1 (x)

Exemples :Calculer la dérivée de :f ( x )=√sin( x ) f ( x )=√3 x2 – 2x+3

4) Dérivées et tangentes

On appelle tangente en x0 à la courbe représentative d’une fonction f la droite passant par le point(x0 ; f(x0)) et de coefficient directeur (pente) le nombre dérivé f’(x0).

Théorème 1Soit f dérivable en x0. la courbe de f admet alors en x0 une tangente d’équation :

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

En effet, cette droite passe visiblement par (x0 ; f(x0)) et sa pente (coefficient directeur) est bienf’(x0) !

Exemples :Calculer l'équation de la tangente à la courbe de f(x) en x = a

a) f ( x )=x 2

4 avec a = 2 (réponse : y = x - 1)

b) f ( x )=3√ x−1 avec a = 9c) f ( x )=cos (2 x ) avec a = π/12

5) Lien avec le tableau de variation

Théorème 2

Soit f une fonction dérivable sur I ⊂ℝ .Si ∀ x∈I , f ' x0 , alors f est strictement croissante sur I.Si ∀ x∈I , f ' x0 , alors f est strictement décroissante sur I.

Conséquence

L’étude du signe de la dérivée permet de déterminer le tableau de variation d’une fonction.

Exemple :

Faire le tableau de variation de la fonction :

a) f x =3 x2 – 5 x1x

b) f ( x )=2 x+ 1x−3

c) f ( x )=x−2

x 2−2 x+ 3

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(u(v(x)))’ = v’(x) u’(v(x))


6) Dérivées successives

Soit f dérivable sur I et f' sa dérivée. Si f' est dérivable sur I, on nomme f'' sa dérivée et on l’appelle

dérivée seconde de f. On la note aussi d 2 fd x2 .

Si f'' est dérivable, on nomme f''' sa dérivée, dérivée troisième de f, notée aussi f(3) ou d 3 fd x3 .

Ensuite, la dérivée nième sera notée f(n) oud n fd xn .

(Ne pas confondre fn, puissance nième de f, et f(n), dérivée de niveau n de f).

Exemples :Calculer f’, f'' et f(3) pour :f x =x3

x

f ( x )=x2+ 2+

1x

f x =sin x

Particularité des polynômes :Les dérivées d'un polynôme de degré n sont toutes nulles à partir de f(n+1)(x).

Exemple :Calculer toutes les dérivées de f(x) = x4 – 3 x² + 5 x – 3.

B) Les Primitives

1) Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ .

On appelle primitive F de f sur I, toute fonction dont la dérivée sur I est f.

2) Vérification

Pour vérifier qu’une fonction F(x) est une primitive de f(x), il suffit de dériver F(x) et de vérifierque l’on trouve bien f(x).

ExemplesVérifier que F(x) = 5 x² – 2 x + 17 est bien une primitive de f(x) = 10 x - 2.

3) Théorèmes

a) Existence d’une primitive (théorème admis)

Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I = ]a ; b[ .

Alors, f admet des primitives sur I.

b) Relation entre les primitives

Soit f une fonction définie sur I ⊂ ℝ et F0(x) une fonction primitive de f sur I.Alors, l’ensemble des fonctions primitives de f sur I sera l’ensemble des fonctions de la forme F x=F0 xc avec c constante : c ∈ ℝ .

On appelle cette expression la forme générale des primitives de f .

En effet, si F(x) = F0(x) + c, on aura F’(x) = F0’(x) + 0 = F0’(x) = f(x).

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Réciproquement si F’(x) = f(x), on aura, en posant G(x) = F(x) – F0(x) :G’(x) = F’(x) – F0’(x) = f(x) – f(x) = 0 donc G est une primitive de la fonction nulle, et seules lesconstantes ont une dérivée nulle. G(x) est donc une constante.

C) Recherche des primitives d’une fonction

1) En inversant le tableau des dérivées usuelles, on obtient :

Fonction définiesur

Fonction f(x) = Primitive F(x) =Primitive définie

sur

ℝ 0 c ℝ

ℝ a ≠ 0 a x + c ℝ

ℝ a xn a x n+1

n+1+c ℝ

ℝ* = ℝ \ {0}

1

x2

−1x

+c ℝ* = ℝ \ {0}

ℝ* = ℝ \ {0}

1

xn , n>1−1

(n−1) x n−1+c ℝ

* = ℝ \ {0}

]0 ;∞ ]1

√ x2√ x+c [0 ;∞]

ℝ cos (x ) sin( x)+c ℝ

ℝ sin( x) −cos( x )+c ℝ

]−π2

;π2

[1

cos2( x )

=1+tan2( x ) tan ( x)+c ]−

π2

;π2

[

ℝ* = ℝ \ {0}

ax

a ln (x )+c ℝ* = ℝ \ {0}

ℝ a e x a e x+c ℝ

ExemplesTrouver les primitives de :a) f(x) = x17

b) f x=1

x4

Cas spécial :

On a vu dans le tableau que pour 1

xn , il faut avoir n > 1 : on verra dans la chapitre sur les

logarithmes que les primitives de 1x

sont de la forme ln(x) + c, où ln(x) est le logarithme népérien

de x.

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2) Opérations sur les primitives

a) Produit par une constante

Si la primitive de f(x) est F(x) + c, celle de k f(x) sera k F(x) + c.

Remarquons qu'il est inutile de multiplier le c par k, car k˟c est aussi une constante quelconque.

Exemples :

Primitives de :

I) f(x) = 5 x F(x)=5x2

2+c II) f(x) = 4 x5 F x =4

x6

6c=2

x6

3c

III) f(x) = 3 sin(x) F(x) = - 3 cos(x) + c

b) Somme de deux fonctions

De même que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées ((u + v)’ = u’ + v’), les primitivesd’une somme sont les sommes des primitives on ne mettra qu'une fois le "+ c").

Exemples :Primitives de :

I) 3x² + 2x + 1 x3 + x² + x + c II) 5x –1

x4 5x2

2

13 x3 c

III) 3 –1

x3x – 2xc IV) 6x – cos x 3x² - sin x + c

V) cos x – x17 sin x –x18

18c

c) Primitives et fonctions composées

En partant de la formule générale qui donne comme dérivée de u(v(x)) la fonction v'(x) × u'(v(x)),donc de la primitive de v' u'(v) qui est u(v) + c, on trouve les cas particuliers importants suivants :

Fonction f(x) = Primitive F(x) =

u'(ax + b) 1a

u a xbc

sin(ax + b) 1a

cos a xb c

cos(ax + b) −1a

sina xbc

u'(x) (u(x))nu x

n1

n1c

u ' x

u x n n > 1

−1

n – 1u xn – 1c

u ' x

u x2u x c

u ' x

u x

ln(u(x)) + c

1a xb

ln a xb

ac

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Exemples

I) sin (3x + 2) −cos 3x2

3c

II) 5(5x – 2)²5 x – 2

3

3c

III) sin(x) cos3(x) −cos4

x

4c

IV)tanx

cos x

1cos x

c

V)2x5

x25x−2

2x25 x – 2c

VI)3

2x−132

ln 2 x –1c

d) Primitive prenant une valeur donnée en un point

Soit une fonction f, dérivable sur I, un nombre x0 de I et un réel y0.

Théorème :Il existe une unique fonction F0 qui soit primitive de f et prenne la valeur y0 en x0.

(c’est à dire telle que F0(x0) = y0).

En effet, soit F la forme générale des primitives de f, soit F(x) = F1(x) + c.Pour trouver F0 telle que F0(x0) = y0 et F0’(x) = f(x), on fait :

F0(x) = F1(x) + c et F0(x0) = y0 = F1 (x0) + c, donc c = y0 – F1(x0)

On appelle 'condition initiale' la condition F0(x0) = y0, car elle correspond souvent à x0 = 0.

Exemple :F(x) = 2x² - 3x + 2Trouver la primitive de f prenant la valeur 17 pour x = 6.

Solution :

. Forme générale des primitives : F x =2x3

3–3

x2

22xc

. Prise en compte des conditions initiales : F(6) = 144 – 54 + 12 + c = 17 d’où c = - 85

. D'où le résultat final : F(x)=2x3

3– 3

x2

2+2 x−85 .

3) Recherche de primitives

a) Faisabilité

On ne peut pas toujours trouver facilement les primitives d’une fonction, en particulier quand on aaffaire à des produits ou des quotients.

Par exemple, la fonction inverse n’a pas de primitive dans les fonctions que vous connaissez : onappelle cette primitive le logarithme népérien et on l’étudiera dans un chapitre ultérieur.

Parfois, on peut y arriver avec les tableaux ci-dessus, parfois ce n'est pas suffisant. Dans certainscas, on peut alors y arriver en changeant la forme de la fonction.

Nous allons étudier quelques cas de ce genre.

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b) Polynômes trigonométriques

On a les formules cos2x =

1cos x

2 et sin 2

x=1 – cos 2x

2.

Plus généralement, les formules de Moivre permettent de "linéariser" les puissances des sinus etcosinus, c'est à dire à faire disparaître ces puissances en utilisant des combinaisons de sin(nx) etcos(nx).

On peut donc transformer toutes les puissances de cos(x) et sin(x) en sinus ou cosinus de multiplesde x, plus faciles à intégrer, c'est à dire qu'il est plus facile d'en trouver les primitives.

Exemples :

1) f(x) = 6sin²x f(x) = 3 – 3cos(2x) d'où F x =3x32

sin 2x c

2) f(x) = 4cos4x f(x) = 2(1 + cos(2x))² = 2 + 4 cos2x + 2 cos²(2x)f(x) = 2 + 4 cos(2x) + 1 + cos(4x) = 3 + 4 cos(2x) + cos(4x)

F x =3x2sin 2xsin 4x

4c

Remarque :

Pour les puissances impaires, on peut aussi utiliser u' un et se servir de cos² x + sin² x = 1, d’oùcos²(x) = 1 – sin²(x) et sin²(x)= 1 – cos²(x).

Exemple :

f(x) = sin3(x) + 3 sin5(x)f(x) = sin(x) (1 – cos²(x)) + 3 sin(x) (1 – cos²(x))² f(x) = sin(x) – sin(x) cos²(x) + 3 sin(x) (1 – 2cos²(x) + cos4(x))f(x) = 4 sin(x) – 7 sin(x) cos²(x) + 3 sin(x) cos4(x)D'où cette fois la primitive :

F(x)=−4cos (x )+7 cos3

(x )

3–

3cos5(x)

5+c .

c) Avec les formules du tableau des fonctions composées

Quand on peut faire apparaître u' un, u '

un , u 'u

et u '

u, on peut trouver des primitives.

Exemple :Trouver les primitives des fonctions suivantes :

I) f(x) = (x + 1) (3x² + 6x – 7)² F x =3x2

6 x –73

18c .

II) f(x) = (10x4 + 6) (x5 + 3x + 1) F(x) = (x4 + 3x + 1)² + c.

III) f(x) = sin(x) cos7(x) F x =−cos8

x

8c .

IV) f x=x3

x42

3F x =

−1

8x422

c .

V) f x=x

4−x2 F x =−4– x2c .

VI) f x=10x4

6x5

3x−2F x =2 ln x5

3 x – 2c .

d) Fonctions rationnelles

Il existe un moyen général de transformer les fonctions rationnelles de façon à pouvoir en trouver

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les primitives. Nous ne parlerons ici que de quelques cas simples.

1 er cas : f x=a xbc xd

Soir par exemple f x=2 x – 3x1

:

On aura f (x )=2x+4 – 7

x+1=

2(x+1)– 7x+1

, soit f (x)=2 –7

x+1.

D'où la primitive qui sera :

F(x) = 2x – 7 ln(x + 1) + c.

Exemple :

Trouver la primitive de f x=4 x62 x−1

.

On aura f x=4 x – 28

2 x−1=

2 2 x−1−82 x−1

=2−8

2 x−1.

On trouve donc finalement F(x)=2 x – 8ln (2x−1)

2+c soit F ( x)=2 x−4 ln(2 x−1)+c .

2 ème cas : a x2bxc

d xe

On admet qu'on peut toujours mettre ce genre de fonction sous la forme f x=a ' xb 'c '

d xe.

On procède soit par division polynomiale, soit par identification des numérateurs en écrivant f(x)sous ses deux formes et en réduisant au même dénominateur.

Le passage à la primitive est alors possible en procédant comme ci-dessus.

Exemple :

Trouver la forme générale des primitives de f x=2x2 –7 x3

x1.

On trouve d'abord f (x )=2x+−9 x+3

x+1=2x – 9+

12x+1

,

Et on en déduit facilement la primitive générale :

F(x) = x² – 9 x + 12 ln(x + 1) + c.

D) Une application simple : la loi de la gravité et la chute d'un corps

Depuis Newton, on sait que les pommes (et les urus) tombent des arbres parce qu’ils sont attirés parla terre (la planète, pas l’humus).

A une altitude donnée, cette force induit une accélération constante aux objets qui tombent.

Comment, à partir de cette accélération (appelée g et de valeur à peu près égale à 9,81m/s² à lasurface de la terre), peut-on retrouver la formule donnant la vitesse d’un objet en chute libre ?

On a l'accélération a(t) = g qui vaut à peu près 9,8 m/s², on voudrait trouver v(t).On sait seulement que a(t) = v’(t), dérivée de la vitesse v(t).

Le chemin inverse de la dérivation, trouver une fonction F dont f est la dérivée, s’appelle larecherche de primitives.

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Dans le tableau des primitives usuelles, on voit que v(x) = g x + c.

On arrive donc ici à une vitesse de la forme v(t) = g t + c. Cependant, l'accélération est orientée versle bas, donc pour être cohérent, on notera v(t) = - g t + c.

Si on connaît la vitesse à l’instant t = 0 (par exemple une pierre qu’on lâche à l’instant 0), et qu’onla nomme v0, on aura v(t) = v0 - g t, puisque v(0) = v0 = 0 + c ce qui implique c = v0. D'où :vt=−gtv0 .

Pour remonter enfin à l'altitude, on refait la même opération : dans le tableau on voit que pour unefonction de type k t, la primitive sera de la forme k t²/2 + c.

Quant à v(t), sa primitive sera donc h(t) - g t² / 2 + v0 t + c.Si h0 est la hauteur initiale, on aura h(0) = c = h0.

D'où : h t =−12

g t2v0 th0

On retrouve bien ici la formule de la hauteur h parcourue lors d’une chute libre.

Remarquons que l'on n'a pas tenu compte de la résistance de l'air, qui fait qu'un kilo de plombtombe plus vite qu'un kilo de plumes....

Le même cheminement se fait couramment en physique, parce que les lois de la physique portent leplus souvent sur des dérivées de grandeurs.

Exemple :

En électricité, avec un condensateur "parfait" on a i t =Cdu t

dt, où u est la tension, i l'intensité

et C la capacité du condensateur.

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Fiche de révision (1/3) : Dérivées

Définition : f ’(a)=dfdx

(a)=limh→0 (

f (a+h) – f (a)

h )Dérivées de base :

Fonction définie sur Fonction f(x) = Dérivée f’(x) = Dérivée définie sur

ℝ k 0 ℝ

ℝ a x + b a ℝ

ℝ a xn n a xn-1 ℝ

ℝ* = ℝ \ {0}

ax

−a

x2 ℝ* = ℝ \ {0}

ℝ* = ℝ \ {0}

a

xn

−n a

xn+1 ℝ* = ℝ \ {0}

[0 ;∞] a √ xa

2√ x]0 ;∞ ]

ℝ a sin( x ) a cos( x ) ℝ

ℝ a cos( x ) −asin( x ) ℝ

ℝ+* a ln (x )ax ℝ

* = ℝ \ {0}

ℝ a e x a e x ℝ

Opérations sur les dérivées Dérivées des fonctions composées

Opération Formule de la dérivée Fonction composée Formule de la dérivée

uv u 'v ' sin(u) u ' cos (u)

k u ku ' cos (u) −u ' sin(u)

u v u ' v+u v ' uaxb au ' axb

√uu '

2√u(a x+b)

n a n(a x+b)n−1

uv

u' v –uv '

v2

1

(a x+b)n

−a n

(a x+b)n+1

un n u ' un−1 sin(a x+b) a cos(a x+b)

1

un

−nu '

un+1 cos (a x+b) −asin(a x+b)

Dérivée d’une fonction composée :

Formule générale : (u(v (x))) ' = v ’(x)×u ’(v (x)) d'où : (u(ax+b)) ' = a×u ’(a x+b)

Équation de la tangente en x0 à la courbe de la fonction f(x) de dérivée f'(x) :

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

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Fiche de révision (2/3) : Les primitives

Primitives des fonctions usuelles

f(x) définie sur Fonction f(x) = Primitive F(x) = F(x) définie sur

ℝ 0 c ℝ

ℝ a (avec a≠0) a x+c ℝ

ℝ a xn a x n+1

n+1+c ℝ

ℝ* = ℝ \ {0}

a

xn avec n>1

−a

(n−1) x n−1+c ℝ

* = ℝ \ {0}

]0 ;∞ ]a

√ x2a √ x+c [0 ;∞]

ℝ a cos( x ) a sin( x )+c ℝ

ℝ a sin( x ) −acos ( x)+c ℝ

]−π2

;π2

[a

cos2( x )

= a(1+ tan2( x)) a tan( x )+c ]−

π2

;π2

[

ℝ* = ℝ \ {0}

ax

a ln (x )+c ℝ* = ℝ \ {0}

ℝ a e x a e x+c ℝ

Quelques primitives de fonctions composées

Fonction f(x) = u’ v’(u) Primitive F(x) = v(u)+c Fonction f(x) = v’(ax + b)Primitive F ( x)=

v (a x+b)

a+c

u '×sin(u)- cos(u)+c sin(a x+b)

-1a

cos (a x+b)+c

u '×cos (u)sin(u)+c cos (a x+b)

1a

sin(a x+b)+c

u ' un un+1

n+1 + c (a x+b)

n (a x+b)n+1

a (n+1)+c

u ' ( x )

(u (x ))n (pour n > 1)

−1

(n – 1)(u( x ))n – 1

+c1

(a x+b)n (pour n > 1)

−1

a(n – 1)(a x+b)n – 1

+c

u '( x )

√u ( x)2√u( x )+c

1

√a x+b2a

√a x+b+c

u ' ( x )

u (x )ln (u (x ))+c

1a x+b

ln (a x+b)a

+c

u '

cos2(u) tan (u)+c

1

cos2(a x+b)

tan(a x+b)

a+c

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Fiche de révision (3/3) : Rappel, signe de ax² + bx + c

Pour étudier le signe d'une dérivée, on a souvent besoin de connaître ceci :

Courbe et signe du polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c

Un polynôme du second degré du type f(x) = ax² + bx + c a pour signe : le signe de a endehors de ses racines (qui sont les solutions de l’équation f(x) = 0), et prend le signe

contraire entre les racines, au cas où elles existent (c’est à dire si Δ >0).

Soit, si a > 0 : x -∞ x1 x2 +∞

ax² + bx + c + 0 - 0 +

Si a < 0 : x -∞ x1 x2 +∞

ax² + bx + c - 0 + 0 -

Sachant que si Δ < 0, ax² + bx + c est toujours du signe de a.

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