Primitives Terminales STI Lycée Paul Langevin - Beauvais François Gonet 2005/2006.

PrimitivesPrimitives

Terminales STITerminales STI

Lycée Paul Langevin - BeauvaisLycée Paul Langevin - Beauvais

François Gonet 2005/2006François Gonet 2005/2006

On considère la fonction f définie sur R On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=xtelle que f(x)=x

Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=0 et x=b?

b0 1

1

x

y

On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=xtelle que f(x)=x


Réponse

21

2b

Aire du triangle: (B x h)/2

b0 1

1

x

y

Soit


a b0 1

1

x

y

Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=a et x=b?


a b0 1

1

x

y


Réponse:

2 21 1

2 2b a

On considère la fonction f définie sur IR On considère la fonction f définie sur IR telle que f(x)=3-0,4xtelle que f(x)=3-0,4x


b0 1

1

x

y



Aire du trapèze rectangle:

[3 ( )]

2

f b b

Soit: b0 1

1

x

y

23 0,2b b

Réponse



a b0 1

1

x

y



2 2(3 0,2 ) (3 0,2 )b b a a

Réponse

a b0 1

1

x

y

Résumons…Résumons… Pour calculer l’aire comprise entre la courbe d’une fonction f, l’axe

des x, les droites d’équation x=a et x=b, on utilise une fonction F:

si alors

si alors

L’aire cherchée est alors

21( )

2F x x( )f x x

( ) 3 0,4f x x 2( ) 3 0,2F x x x

( ) ( )F b F a

Quelle est le lien entre f et F ?Quelle est le lien entre f et F ?

Conjecture…Conjecture…

La dérivée de F est f , soit ( ) ( )F x f x

En effet si 21( )

2F x x alors ( )F x x

Et si 2( ) 3 0,2F x x x alors ( ) 3 0,4F x x

Vous avez trouvé bien sûr :

Conjecture…Conjecture…

La dérivée de F est f , soit

En effet si 21( )

2F x x alors ( )F x x

Et si 2( ) 3 0,2F x x x alors ( ) 3 0,4F x x

Vous avez trouvé bien sûr :

Vérifions sur un autre cas …

( ) ( )F x f x

On considère la fonction f définie sur R On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x²telle que f(x)=x²

Quelle est l’aire comprise entre la courbe de f, l’axe des x, les droites d’équation x=1 et x=2?

2

2

3

4

0 1

1

x

y

On considère la fonction f définie sur R On considère la fonction f définie sur R telle que f(x)=x²telle que f(x)=x²


2

2

3

4

0 1

1

x

y

1°) Trouver une fonction F , telle que '( ) ( )F x f x

On considère la fonction f définie sur R On considère la fonction f définie sur R telle que telle que f(x)=x²f(x)=x²


2

2

3

4

0 1

1

x

y

1°) Trouver une fonction F , telle que '( ) ( )F x f x

31( )

3F x xPar exemple :

2°) L’aire serait 7

(2) (1)3

F F

Vérifions avec la calculatriceVérifions avec la calculatrice::

DéfinitionDéfinition

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Si F une fonction dérivable telle que pour tout

( ) ( )F x f x

x I

On dit que F est une primitive de f

ExempleExemple

Soit la fonction f définie sur R par :2( ) 2 3f x x x

Une primitive de f est la fonction F définie sur R par:

ExempleExemple



3 21( ) 3

3F x x x x

ExempleExemple



3 21( ) 3

3F x x x x

Une autre primitive de f est la fonction G définie sur R par:

ExempleExemple



3 21( ) 3

3F x x x x


3 21( ) 3 1

3G x x x x

ExempleExemple



3 21( ) 3

3F x x x x


3 21( ) 3 1

3G x x x x

Ou bien :3 21

( ) 3 ,3

G x x x x k k R

PropriétéPropriété

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, alors deux primitives de f diffèrent d’une constante.

Autrement dit, si F et G sont deux primitives de f, alors :

( ) ( )F x G x k k Ravec

Démonstration:Démonstration:

soit F et G sont deux primitives de f, alors :

( ) ( ) ( ) ( )F x f x et G x f x

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

Donc F x G x

Donc F G x

Donc F G

est la fonction constante

( ) ( )F x G x k k RDonc ,

Primitives usuellesPrimitives usuelles

Pour trouver les primitives des fonctions usuelles, il suffit de lire le tableau des dérivées usuelles, à l’envers.

Cependant, il est nécessaire de savoir que:

( ) nf x x alors1

( )1

nxF x k

n

Si

ExercicesExercices

Exercice 1: Déterminer les primitives des fonctions

f, g, h définies sur R par :

4 3 2( ) 2 3 2

( ) sin( )

( ) cos( )

f x x x x x

g x x

h x x

Exercice 2 : Montrer que la fonction F, définie sur R par ( ) cos( ) .sin( )F x x x x est une primitive de la

fonction f définie sur R par ( ) .cos( )f x x x

FinFin

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