Optimisation topologique de formeset adaptation de maillage

Frédéric GOLAY

Pierre SEPPECHER

Mikaël STEHLY

Laboratoire ANAM

Analyse Non linéaire Appliquée et Modélisation

Université de Toulon et du Var

Plan

Approche matériaux à blocage

Formulation numérique

Quelques exemples

Validation analytique

Raffinement de maillage

dvFMin

1:D:

.A.Cv

duFMin

MdVh0)x(h

élasticité'dpbduSolutionu

Approche matériaux à blocage

u

Déplacement solution du pb d ’élasticité

vv2

1 Tv

Tenseur des déformations

D Tenseur d ’élasticité

 épaisseur de plaque)x(h

Domaine de conception

F

Soient : Le volume dx)x(hV v un champ de déplacement C.A.

L’énergie élastique dxh:D:2

1)h( uu

L’énergie potentielle dlv.Fdxh:D:2

1)h,v(J vv

le champ de déplacement solution du problème d’élasticité u minimise J(v,h)

dlv.F2

1dxh:D:

2

1)h,u(J)h( uu

)h(InfPOP

Vdx)x(h0h

)h,v(JSupInfv

Vdx)x(h0h

Théorème du MinMax

)h,v(JInfSup

Vdx)x(h0hv

dlv.Fdxh:D:2

1SupInf vv

Vdx)x(h0hv

On pose s

vw et

vv :D:s

dlw.Fs:D:2

VsInf ww

2

1:D:s,w

ww

On concentre h où l’énergie est la plus élevée

dlv.F:D:

2

VInf vvv

2

1:D:w

dlw.FInfV2

1

ww

L’inf sur s est atteint pour dlw.FV

1s

2

1:D:w

dlw.FV2

1Inf

ww

Formulation numérique

On approxime la norme infinie

p

1p

vvpdx:D:lim

ww :D:

dlv.F2:D:VInf vvv

dlv.F2dx:D:V)v(J

p

1p

vvp

Vv).u(Jp

dx:D::D:2 vu

1p

uu

dlv.F2

1

dx:D:

1pp

uu

Problème d’élasticité non-linéaire en contraintes planes

avec

1

p

1

p

uu

1p

uu dx:D::D:V)u(H

dlv.F

dx:D:)u(H vu

Formulation analogue

:D:

1p

uuOn pose h(u)=

h(u)

dx:D: vu

dlv.F

V

dx :D: uu

1p

1

h(u)

dlv.F

dlv.Fdx:D:dx:D:V vu

:D:

1p

uu

1p

1

p

uu

Formulation Eléments Finis

Avec les notations vectorielles habituelles

uB u)x(N)x(u et

e elte elte

T1p FNuBDBH)u(R

On réécrit le problème sous la forme

0Fu)u(K)u(R Soit à résoudre le problème non-linéaire

avec

e elt

T1p

eT

e BDBuBDBu)u(K

Le problème est fortement non-linéaireDonc, à partir de la solution élastique, on incrémente la valeur de p

)1i()i(

)1i()1i(

uuu

)u(Ru)u(u

R

v:wDHv:uDw:uDH)1p(2 ss1pssss2p

Résolution par Newton-Raphson

Dérivée seconde

Ecriture matricielle

H)1p(2u

R T2p BDBHT1p

uBDB

T

uBDBT

Validation Analytique

F

F

F

F

44 2y

1

2x

1h

2x2y

1p

2y2x

1p

x

y

Validation Analytique

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1 10 100

Paramètre p

Nor

me

L2

de l'

erre

ur s

ur l'

épai

sseu

r

Maillage 20x20

Maillage 40x40

Maillage 80x80

Ecart relatif

Quelques exemples

p=5p=25

p=109

Th

ick

nes

s

BA

e1 e1 e2

e1e1

e2e3

e4

e1e1

e2? Un Elt créé ?

Elt conforme ?

Elt à raffiner ?

Boucle sur les éléments

Fin de boucle sur les éléments

raffinement

Essai de découpage

Oui

Non

OuiNon

Oui

Non

Raffinement de maillage

e1

e1 e2

e3e4

e1

e1

e1

e2e1 e1

e2

e3

e1 e1

e2

e3

e1

e2e3

e4

e1

Méthode:Par permutation on se replace dans les cas élémentaires

Difficulté:Comment discerner les nœuds non conformes

P=0,2,4

Raf

P=4,6

Raf

P=6,8,12,16Raf

P=16,20,24,28

Qualité ?Critère ?Stratégie ?

A

B

C

a

b

c ricba

aire2ri

rccba

aire4rc

Qualité

20rcri

On maîtrise la qualité du maillage

50riMax

ri

elt

On maîtrise l’évolution du maillage

1 2

3

4

1 2

3

4

1 2

3

4+

Critère

On applique la méthodologie de Zienkiewicz

L’épaisseur est un champ discontinu hd, on cherche donc le champ continu hc qui l’approche au mieux:

0d, hh dc

On approche le champ continu par une discrétisation éléments finis iic h)y,x(N)y,x(h

elt e

edjelt e

eiij dvhNdvhNN

elt e ed

elt e edvhNhdvN N

Critères utilisés ….

e cdeh

e

1

e

2dehe

1c

cehMax

e

cc dehhe

1

e

2

cd dehhe

1

cdehhMax

e d deh

e

1

e

2

d dehe

1

dehMax

+ Normalisation

P = 2Nelt = 130Nnoe=399

P = 4Nelt=244Nnoe=679

P = 6Nelt=357Nnoe=956

P = 8Nelt=510Nnoe=1353

P = 10Nelt=759Nnoe=1898

P = 12Nelt=947Nnoe=2282

P = 14Nelt=1170Nnoe=2723

P=2

Temps de calcul avec remaillage: 1166 sTemps de calcul sur maillage optimisé: 1262 s

Critère épaisseur moyenne Critère épaisseur max

Critère différence moyenne Critère gradient maximal

Calcul d’erreur a posteriori

eface e

2

u dlD)u(h2

1e

2ece deR 22

e r

2

1

e

2eKerreur

R. Verfürth (2000)

dlAAuerreur 2l

2'p

arêtes arêtel

1p

areteh

2p

harete

h

2p

hl uuuuA

1'p

1

p

1

avec

0uudiv2p

W. Liu & N. Yan (2001)

Conclusions et perspectives

Mise en œuvre simple

Résolution numérique validée en 2D

Un bon outil initial de dimensionnement

Raffinement validé

Critères intuitifs efficaces

Erreurs a posteriori en cours d’étude

SIC2002